max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m

Transcript

1 Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 10 Εισαγωγή στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 29 Φεβρουαρίου 2016

2 Προβλήματα ακέραιου προγραμματισμού Πρόβλημα (γραμ.) ακέραιου προγραμματισμού (π.α.π.) = π.γ.π. + Περιορισμός κάποιων μεταβλητών στους ακεραίους. Τυπική μορφή π.α.π. : max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m x 1, x 2,..., x n 0. x i ακέραιος, i I..

3 Χαλάρωση γραμμικού προγραμματισμού Χαλάρωση γραμμικού προγραμματισμού (χ.γ.π.) ενός π.α.π. = π.γ.π. με ίδια αντικειμενική και ίδιους περιορισμούς, αλλά χωρίς τους περιορισμούς ακεραιότητας. Η εφικτή περιοχή της χ.γ.π. ενός π.α.π. είναι υπερσύνολο της εφικτής περιοχής του π.α.π. Αν η βέλτιστη λύση του χ.γ.π. ενός π.α.π. ικανοποιεί τους περιορισμούς ακεραιότητας του π.α.π. τότε είναι βέλτιστη λύση του π.α.π. Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr ΥΜΘΑ - Ενότητα 10

4 Τεχνικές μοντελοποίησης Μοντελοποίηση δυαδικών αποφάσεων. Μοντελοποίηση εξαρτώμενων αποφάσεων. Μοντελοποίηση διαζευκτικών περιορισμών. Μοντελοποίηση μεταβλητών με πεπερ. πλήθος τιμών. Μοντελοποίηση κατά τμήματα γραμμικών συναρτήσεων. Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr ΥΜΘΑ - Ενότητα 10

5 Μοντελοποίηση δυαδικών αποφάσεων Για την μοντελοποίηση δυαδικών αποφάσεων (να κάνω το A ή να μην το κάνω) εισάγουμε δυαδικές μεταβλητές: { 1, αν ληφθεί η απόφαση A x A = 0, διαφορετικά.

6 Παράδειγμα - Δυαδικές αποφάσεις Επέκταση κατασκευαστικής εταιρείας. Κτίσιμο νέων εργοστασίων, αποθηκών σε Αθήνα/Θεσ. Αποφάσεις - Απαιτούμενα κεφάλαια - Αποδόσεις: α/α Απόφαση Απαιτ. κεφάλαιο Απόδοση 1 Εργοστ. Αθήνα 6 εκατ. 9 εκατ. 2 Εργοστ. Θεσ. 3 εκατ. 5 εκατ. 3 Αποθ. Αθήνα 5 εκατ. 6 εκατ. 4 Αποθ. Θεσ. 2 εκατ. 4 εκατ. Διαθέσιμο κεφάλαιο: 10 εκατ. Σκοπός: Μεγιστοποίηση απόδοσης. Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr ΥΜΘΑ - Ενότητα 10

7 Παράδειγμα - Δυαδικές αποφάσεις Δεδομένα: Διαθέσιμο κεφάλαιο 10 εκατ. Αποφάσεις - Απαιτούμενα κεφάλαια - Αποδόσεις: α/α Απόφαση Απαιτ. κεφάλαιο Απόδοση 1 Εργοστ. Αθήνα 6 εκατ. 9 εκατ. 2 Εργοστ. Θεσ. 3 εκατ. 5 εκατ. 3 Αποθ. Αθήνα 5 εκατ. 6 εκατ. 4 Αποθ. Θεσ. 2 εκατ. 4 εκατ. Μεταβλητές αποφάσεων: { 1, αν ληφθεί η απόφαση j x j = 0, διαφορετικά j = 1, 2, 3, 4

8 Παράδειγμα - Δυαδικές αποφάσεις Δεδομένα: Διαθέσιμο κεφάλαιο 10 εκατ. Αποφάσεις - Απαιτούμενα κεφάλαια - Αποδόσεις: α/α Απόφαση Απαιτ. κεφάλαιο Απόδοση 1 Εργοστ. Αθήνα 6 εκατ. 9 εκατ. 2 Εργοστ. Θεσ. 3 εκατ. 5 εκατ. 3 Αποθ. Αθήνα 5 εκατ. 6 εκατ. 4 Αποθ. Θεσ. 2 εκατ. 4 εκατ. Π.α.π.: max 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 υπό 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10 x j {0, 1}, j = 1, 2, 3, 4.

9 Μοντελοποίηση εξαρτώμενων αποφάσεων Ι Για τη μοντελοποίηση δυο δυαδικών αποφάσεων έχουν εισαχθεί οι μεταβλητές x A και x B. Αν η απόφαση A επιτρέπεται να λήφθει μόνο αν ληφθεί η απόφαση B τότε εισάγουμε τον περιορισμό x A x B. Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr ΥΜΘΑ - Ενότητα 10

10 Παράδειγμα - Εξαρτώμενες αποφάσεις Ι Πρόβλημα επέκτασης κατασκευαστικής εταιρείας με τα ίδια δεδομένα. Επιπλέον περιορισμός: Η κατασκευή αποθήκης σε μια πόλη είναι δυνατή μόνο αν κατασκευαστεί σε αυτήν εργοστάσιο. Μεταβλητές απόφασης: x 1 : Κατασκευή εργοστασίου στην Αθήνα. x 2 : Κατασκευή εργοστασίου στη Θεσσαλονίκη. x 3 : Κατασκευή αποθήκης στην Αθήνα. x 4 : Κατασκευή αποθήκης στη Θεσσαλονίκη. Επιπλέον περιορισμοί: x 3 x 1 x 4 x 2.

11 Παράδειγμα - Εξαρτώμενες αποφάσεις Ι Νέο π.α.π. : max 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 υπό 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10 x 1 + x 3 0 x 2 + x 4 0 x j {0, 1}, j = 1, 2, 3, 4.

12 Μοντελοποίηση εξαρτώμενων αποφάσεων ΙΙ Για τη μοντελοποίηση δυο δυαδικών αποφάσεων έχουν εισαχθεί οι μεταβλητές x A και x B. Αν το πολύ μία από τις αποφάσεις A, B επιτρέπεται να λήφθει τότε εισάγουμε τον περιορισμό x A + x B 1. Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr ΥΜΘΑ - Ενότητα 10

13 Παράδειγμα - Εξαρτώμενες αποφάσεις ΙΙ Πρόβλημα επέκτασης κατασκευαστικής εταιρείας με τα ίδια δεδομένα. Επιπλέον περιορισμός: Το πολύ μια αποθήκη μπορεί να κτιστεί. Μεταβλητές απόφασης: x 1 : Κατασκευή εργοστασίου στην Αθήνα. x 2 : Κατασκευή εργοστασίου στη Θεσσαλονίκη. x 3 : Κατασκευή αποθήκης στην Αθήνα. x 4 : Κατασκευή αποθήκης στη Θεσσαλονίκη. Επιπλέον περιορισμός: x 3 + x 4 1. Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr ΥΜΘΑ - Ενότητα 10

14 Παράδειγμα - Εξαρτώμενες αποφάσεις ΙΙ Νέο π.α.π. : max 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 υπό 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10 x 1 + x 3 0 x 2 + x 4 0 x 3 + x 4 1 x j {0, 1}, j = 1, 2, 3, 4.

15 Μοντελοποίηση διαζευκτικών περιορισμών Σε ένα τυπικό πρόβλημα μαθηματικού προγραμματισμού όλοι οι περιορισμοί πρέπει να ικανοποιούνται (συζεύξη - και ). Σε ένα μοντέλο μπορεί να υπεισέρχονται υποσύνολα περιορισμών που πρέπει εναλλακτικά να ικανοποιούνται (διάζευξη - ή ). Η χρήση ακέραιων μεταβλητών επιτρέπει την μοντελοποίηση διαζευκτικών (εναλλακτικών) περιορισμών. Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr ΥΜΘΑ - Ενότητα 10

16 Μοντελοποίηση διαζευκτικών περιορισμών Μεταβλητές αποφάσεων: x 1, x 2,..., x n 0. Παράμετροι: a 1, a 2,..., a n, c 1, c 2,..., c n, b, d 0. Περιορισμός: Να ισχύει τουλάχιστον μία από τις ανισότητες a 1 x 1 + a 2 x a n x n b c 1 x 1 + c 2 x c n x n d. Εισάγουμε μια νέα μεταβλητή y και τους περιορισμούς a 1 x 1 + a 2 x a n x n by c 1 x 1 + c 2 x c n x n d(1 y) y {0, 1}. Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr ΥΜΘΑ - Ενότητα 10

17 Μοντελοποίηση διαζευκτικών περιορισμών Μεταβλητές αποφάσεων: x j 0, j = 1, 2,..., n. Παράμ: a ij 0, b i 0, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n. Περιορισμός: Να ισχύουν τουλάχιστον k από τις ανισότητες n a ij x j b i, i = 1, 2,..., m. j=1 Εισάγουμε νέες μεταβλητές y i, i = 1, 2..., m και τους περιορισμούς n j=1 a ijx j b i y i, i = 1, 2,..., m m i=1 y i k y i {0, 1}, i = 1, 2,..., m.

18 Μοντελοποίηση μεταβλ. με πεπερ. πλήθος τιμών Εστω μεταβλητή x με πεπερασμένο πλήθος δυνητικών τιμών από το σύνολο {a 1, a 2,..., a m } Εισάγουμε μεταβλητές y i, i = 1, 2,..., m και τους περιορισμούς x = m i=1 a iy i m i=1 y i = 1 y i {0, 1}, i = 1, 2,..., m. Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr ΥΜΘΑ - Ενότητα 10

19 Μοντελοποίηση κατά τμήματα γραμ. συναρτήσεων Εστω f(x) συνεχής, κατά τμήματα γραμμική συνάρτηση, ορισμένη σε ένα πεπερασμένο διάστημα [a 1, a k ]. Η f(x) καθορίζεται από τα σημεία (a i, f(a i )), i = 1, 2,..., k, με a 1 < a 2 < < a k. Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr ΥΜΘΑ - Ενότητα 10

20 Μοντελοποίηση κατά τμήματα γραμ. συναρτήσεων Κάθε x [a 1, a k ] γράφεται ως: x = k λ i a i. i=1 Η επιλογή των λ i δεν είναι μοναδική. Γίνεται μοναδική αν απαιτήσουμε το πολύ δυο συνεχόμενα λ i να είναι μη-μηδενικά. Τότε κάθε x [a i, a i+1 ] γράφεται μοναδικά ως Τότε x = λ i a i + λ i+1 a i+1, λ i + λ i+1 = 1, λ i, λ i+1 0. f(x) = k λ i f(a i ), x [a 1, a k ]. Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr ΥΜΘΑ - Ενότητα 10 i=1

21 Μοντελοποίηση κατά τμήματα γραμ. συναρτήσεων Για σωστή μοντελοποίηση απαιτείται να θέσουμε τον περιορισμό: Το πολύ δυο συνεχόμενα λ i είναι μη-μηδενικά. Ορίζουμε y i {0, 1}, i = 1, 2,..., k 1, με { 1 αν ai x a y i = i+1, 0 διαφορετικά. Επιτρέπουμε μόνο ένα y i να είναι 1. Αν y i = 1 τότε λ j = 0 για j i, i + 1. Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr ΥΜΘΑ - Ενότητα 10

22 Μοντελοποίηση κατά τμήματα γραμ. συναρτήσεων Η βελτιστοποίηση της f(x) γίνεται: min υπό k k i=1 λ if(a i ) i=1 λ i = 1, λ 1 y 1, λ i y i 1 + y i, i = 2, 3,..., k 1, λ k y k 1, k 1 i=1 y 1 = 1, λ i 0, i = 1, 2,..., k, y i {0, 1}, i = 1, 2,..., k 1. Αν η f(x) είναι κυρτή κατά τμήματα γραμμική τότε υπάρχει απλούστερη μοντελοποίηση (ως π.γ.π.).

23 Μοντελοποίηση γραμ. συναρτήσεων με άλματα Σε διαδ. παραγωγής συχνά υπάρχουν κόστη εκκίνησης. Σε προβλήματα μεταφοράς συχνά υπάρχουν πάγια κόστη. Αν x είναι η ποσότητα παραγωγής ή ή ποσότητα προς μεταφορά, το αντίστοιχο κόστος είναι συχνά { 0 αν x = 0 c(x) = K + cx αν x > 0. Τέτοιες συναρτήσεις μοντελοποιούνται με χρήση δυαδικών μεταβλητών. Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr ΥΜΘΑ - Ενότητα 10

24 Μοντελοποίηση γραμ. συναρτήσεων με άλματα Θέτουμε min υπό Ky + cx x My x 0 y {0, 1}, όπου M κάποιος μεγάλος αριθμός (πρακτικά κάποιο άνω φράγμα που γνωρίζουμε για το x). Η ιδέα γενικεύεται αν έχουμε πολλές μεταβλητές και πολλά είδη κόστους εκκίνησης.

25 Το πρόβλημα του σακιδίου n αντικείμενα. w j : βάρος του j. c j : χρησιμότητα (αξία) του j. k: μέγιστο επιτρεπόμενο βάρος. Στόχος: Επιλ. αντικειμένων, μεγιστοπ. χρησιμότητας. Μεταβλητές αποφάσεων: { 1, αν το j επιλεγεί, x j = 0, διαφορετικά. Π.α.π.: max υπό n j=1 c jx j n j=1 w jx j k x j {0, 1}, j = 1, 2,..., n.

26 Τα προβλήματα κάλυψης, ομαδοπ., διαμέρισης M = {1, 2,..., m}: Σύνολο σημείων. N = {1, 2,..., n}: Σύνολο δεικτών. {M 1, M 2,..., M n }: Συλλογή υποσυνόλων του M. c j : Βάρος συνόλου M j. F N κάλυψη του M j F M j = M. F N ομαδοποίηση του M M j M k =, για j, k F, j k. F N διαμέριση του M F κάλυψη και ομαδοποίηση του M.

27 Τα προβλήματα κάλυψης, ομαδοπ., διαμέρισης Πρόβλημα βέλτιστης κάλυψης: Κάλυψη ελάχ. βάρους. Πρόβλημα βέλτιστης ομαδοπ.: Ομαδοπ. μέγ. βάρους. Πρόβλημα βέλτιστης διαμερ.: Διαμέρ. ελαχ./μεγ. βάρους (2 εκδοχές). Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr ΥΜΘΑ - Ενότητα 10

28 Τα προβλήματα κάλυψης, ομαδοπ., διαμέρισης M = {1, 2,..., m}: Σύνολο σημείων. {M 1, M 2,..., M n }: Συλλογή υποσυνόλων του M. A = (a ij ) m n πίνακας: Πίνακας πρόσπτωσης της συλλογής {M 1, M 2,..., M n }: a ij = { 1, αν i Mj 0, διαφορετικά. Μεταβλητές αποφάσεων: { 1, αν j F x j = 0, διαφορετικά. Διάνυσμα αποφάσεων x = (x 1, x 2,..., x n ) T. Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr ΥΜΘΑ - Ενότητα 10

29 Τα προβλήματα κάλυψης, ομαδοπ., διαμέρισης A = (a ij ) m n πίνακας πρόσπτωσης: { 1, αν i Mj a ij = 0, διαφορετικά. Μεταβλητές αποφάσεων: { 1, αν j F x j = 0, διαφορετικά. Διάνυσμα αποφάσεων x = (x 1, x 2,..., x n ) T. e = (1, 1,..., 1) T. F κάλυψη Ax e. F ομαδοποίηση Ax e. F διαμέριση Ax = e.

30 Τα προβλήματα κάλυψης, ομαδοπ., διαμέρισης Π.α.π. κάλυψης, ομαδοποίησης, διαμέρισης: max υπό n j=1 c jx j n j=1 a ijx j (, =)1, i = 1, 2,... m, x j {0, 1}, j = 1, 2,..., n.

31 Το πρόβλημα σχεδιασμού πτήσεων πληρωμάτων αεροπορικής εταιρείας - Crew scheduling problem Αεροπορική εταιρεία πρέπει να καλύψει τις 11 πτήσεις που έχει αναλάβει ανά ημέρα με 3 πληρώματα. Υπάρχουν 12 δυνατές ακολουθίες πτήσεων που σέβονται τη χρονική αλληλουχία των πτήσεων, τα ελάχιστα χρονικά διαστήματα μεταξύ των πτήσεων, τους κανονισμούς προσωπικού Κάθε ακολουθία πτήσεων περιγράφει ποιές πτήσεις θα κάνει ένα πλήρωμα και με τί σειρά και το αντίστοιχο κόστος. Υπάρχει η δυνατότητα να μεταφερθεί περισσότερο από ένα πλήρωμα σε μια πτήση. Πρέπει να καλυφθούν όλες οι πτήσεις με πληρώματα με το ελάχιστο κόστος. Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr ΥΜΘΑ - Ενότητα 10

32 Το πρόβλημα σχεδιασμού πτήσεων πληρωμάτων αεροπορικής εταιρείας - Crew scheduling problem Πτήση Αθ-Θεσ Αθ-Ηρακ Αθ-Ροδ Θεσ-Ιωαν Θεσ-Αθ Ιωαν-Ηρακ Ιωαν-Ροδ Ηρακ-Αθ Ηρακ-Ιωαν Ροδ-Αθ Ροδ-Θεσ Κόστος (σε χιλ.)

33 Το πρόβλημα σχεδιασμού πτήσεων πληρωμάτων αεροπορικής εταιρείας - Crew scheduling problem Πρόκειται για πρόβλημα κάλυψης. Το σύνολο των σημείων M είναι το σύνολο των πτήσεων. Η συλλογή των υποσυνόλων είναι η συλλογή των ακολουθιών πτήσεων. Ο πίνακας πρόσπτωσης είναι ο A = (a ij ) με { 1 αν η πτήση i ανήκει στην ακολουθία j a ij = 0 διαφορετικά. Μεταβλητές αποφάσεων { 1 αν η ακολουθία j επιλεγεί x j = 0 διαφορετικά.

34 Το πρόβλημα σχεδιασμού πτήσεων πληρωμάτων αεροπορικής εταιρείας - Crew scheduling problem Η βέλτιστη λύση είναι x 3 = x 4 = x 11 = 1 και τα υπόλοιπα 0. Δηλαδή 3 πληρώματα για 1 Αθήνα - Ρόδο - Αθήνα, 2 Αθήνα - Θεσσαλονίκη - Ιωάννινα - Ηράκλειο - Αθήνα, 3 Αθήνα - Ηράκλειο - Ιωάννινα - Ρόδο - Θεσσαλονίκη - Αθήνα. Βέλτιστο κόστος: ευρώ. Σχετικό είναι και το πρόβλημα του σχεδιασμού πτήσεων αεροσκαφών αεροπορικής εταιρείας. Αυτό αντιστοιχεί σε πρόβλημα διαμέρισης (αφού δεν ταξιδεύει κενό αεροσκάφος σε κάποια διαδρομή). Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr ΥΜΘΑ - Ενότητα 10

35 Το πρόβλημα της ανάθεσης m άτομα: A 1, A 2,..., A m, m εργασίες: B 1, B 2,..., B m. Ακριβώς ένα άτομο για κάθε εργασία. r ij : Απόδοση του ατόμου A i στην εργασία B j. Στόχος: Ανάθεση εργασιών για μέγιστη απόδοση. Μεταβλητές αποφάσεων: { 1, αν το άτομο Ai ασχοληθεί με την B x ij = j 0, διαφορετικά. Π.α.π.: max υπό m m i=1 j=1 r ijx ij m j=1 x ij = 1, i = 1, 2,..., m m i=1 x ij = 1, j = 1, 2,..., m x ij {0, 1}, i, j = 1, 2,..., n.

36 Το πρόβλημα ελάχιστου επικαλυπτικού δέντρου G = (N, E) : μη-κατευθυνόμενο γράφημα. N : σύνολο κορυφών, n: αριθμός κορυφών. E: σύνολο ακμών, m: αριθμός ακμών. c e : βάρος ακμής e E. Βάρος δέντρου-υπογραφήματος του G = Άθροισμα των βαρών των ακμών του. Στόχος: Εύρεση δέντρου-υπογραφήματος ελάχιστου βάρους του G που συνδέει όλες τις κορυφές του. Κλασικό πρόβλημα στην κατασκευή δικτύων (συγκοινωνιακών, υπολογιστικών, ύδρευσης κ.τ.λ.). Μεταβλητές αποφάσεων: { 1, αν η ακμή e περιληφθεί στο υπογράφημα x e = 0, διαφορετικά.

37 Το πρόβλημα ελάχιστου επικαλυπτικού δέντρου Μοντελοποίηση απαλοιφής των κύκλων: Επικαλυπτικό δέντρο = Υπογράφημα με n 1 ακμές χωρίς κύκλους. Σύνολο εσωτερικών ακμών ενός συνόλου κορυφών S N : E(S) = {(i, j) E : i, j S} Π.α.π.: min e E c ex e υπό e E x e = n 1 e E(S) x e S 1, S N, S, N x e {0, 1}, e E.

38 Το πρόβλημα ελάχιστου επικαλυπτικού δέντρου Μοντελοποίηση των τομών: Επικαλυπτικό δέντρο = Συνεκτικό υπογράφημα με n 1 ακμές. Τομή ενός συνόλου κορυφών S N : Π.α.π.: δ(s) = {(i, j) E : i S, j / S} min e E c ex e υπό e E x e = n 1 e δ(s) x e 1, S N, S, N x e {0, 1}, e E.

39 Το πρόβλημα του πλανώδιου πωλητή G = (N, E) : μη-κατευθυνόμενο γράφημα. N : σύνολο κορυφών, n: αριθμός κορυφών. E: σύνολο ακμών, m: αριθμός ακμών. c e : βάρος ακμής e E. Βάρος υπογραφήματος του G = Άθροισμα των βαρών των ακμών του. Στόχος: Εύρεση κύκλου ελάχιστου βάρους του G που συνδέει όλες τις κορυφές του. Μεταβλητές αποφάσεων: { 1, αν η ακμή e περιληφθεί στον κύκλο x e = 0, διαφορετικά.

40 Το πρόβλημα του πλανώδιου πωλητή Σύνολο εσωτερικών ακμών ενός συνόλου κορυφών S N : E(S) = {(i, j) E : i, j S} Τομή ενός συνόλου κορυφών S N : δ(s) = {(i, j) E : i S, j / S}

41 Το πρόβλημα του πλανώδιου πωλητή Μοντελοποίηση απαλοιφής των κύκλων: Κύκλος = Υπογράφημα με 2 ακμές ανά κορυφή χωρίς μικρότερους κύκλους. Π.α.π.: min υπό e E c ex e e δ({i}) x e = 2, i N e E(S) x e S 1, S N, S, N x e {0, 1}, e E.

42 Το πρόβλημα του πλανώδιου πωλητή Μοντελοποίηση των τομών: Κύκλος = Υπογράφημα με 2 ακμές ανά κορυφή που για κάθε υποσύνολο κορυφών του υπάρχουν 2 ακμές που το συνδέουν με το συμπληρωματικό του. Π.α.π.: min υπό e E c ex e e δ({i}) x e = 2, i N e δ(s) x e 2, S N, S, N x e {0, 1}, e E.

43 Το πρόβλημα της τέλειας αντιστοίχισης G = (N, E) : μη-κατευθυνόμενο γράφημα. N : σύνολο κορυφών, n: αριθμός κορυφών - άρτιος. E: σύνολο ακμών, m: αριθμός ακμών. c e : βάρος ακμής e E. Βάρος υπογραφήματος του G = Άθροισμα των βαρών των ακμών του. Στόχος: Εύρεση αντιστοίχισης των κορυφών (ζευγάρωμα ανά δύο) ώστε να ελαχιστοποιείται το βάρος. Μεταβλητές αποφάσεων: { 1, αν τα άτομα της e αντιστοιχηθούν x e = 0, διαφορετικά.

44 Το πρόβλημα της τέλειας αντιστοίχισης Τομή ενός συνόλου κορυφών S N : δ(s) = {(i, j) E : i S, j / S} Π.α.π.: min υπό e E c ex e e δ({i}) x e = 1, i N x e {0, 1}, e E.

45 Το πρόβλημα επιλογής τοποθεσίας εγκαταστάσεων n δυνατές τοποθεσίες παροχής υπηρεσιών. m πελάτες. c j : Κόστος εγκατάστασης παρόχου υπηρεσιών στην τοποθεσία j. d ij : Κόστος ανάθεσης πελάτη i στον πάροχο j. Στόχος: Επιλογή τοποθεσιών για εγκατάσταση παρόχων υπηρεσιών και ανάθεση κάθε πελάτη σε έναν πάροχο, με ελάχιστο δυνατό κόστος. Μεταβλητές αποφάσεων: { 1 αν η j τοποθεσία χρησιμοποιηθεί για πάροχο y j = 0 διαφορετικά { 1 αν ο πελάτης i ανατεθεί στον πάροχο j x ij = 0 διαφορετικά. Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr ΥΜΘΑ - Ενότητα 10

46 Το πρόβλημα επιλογής τοποθεσίας εγκαταστάσεων Η κλασική μοντελοποίηση Facility Location (FL) - Π.α.π.: min υπό n n j=1 c jy j + m n i=1 j=1 d ijx ij j=1 x ij = 1, i = 1, 2,..., m x ij y j, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n x ij {0, 1}, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n y j {0, 1}, j = 1, 2,..., n.

47 Το πρόβλημα της επιλογής τοποθεσίας εγκαταστάσεων Η εναλλακτική μοντελοποίηση Aggregate Facility Location (AFL) - Π.α.π.: min υπό n n j=1 c jy j + m n i=1 j=1 d ijx ij j=1 x ij = 1, i = 1, 2,..., m m i=1 x ij my j, j = 1, 2,..., n x ij {0, 1}, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n y j {0, 1}, j = 1, 2,..., n.

48 Προγραμματισμός βαρδιών Τηλεφωνικό κέντρο θέλει να προγραμματίσει τις βάρδιες προσωπικού σε εβδομαδιαία βάση. d j : Ο αριθμός των απαιτούμενων υπαλλήλων τη μέρα j, j = 1, 2,..., 7. Κάθε υπάλληλος δουλεύει 5 συνεχόμενες μέρες και μετά έχει 2 συνεχόμενες μέρες ρεπό. Στόχος είναι να βρεθεί ο προγραμματισμός των βαρδιών του προσωπικού που ελαχιστοποιεί τον αριθμό των απαιτούμενων υπαλλήλων σε εβδομαδιαία βάση. Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr ΥΜΘΑ - Ενότητα 10

49 Προγραμματισμός βαρδιών - Μοντελοποίηση x j : αριθμός υπαλλήλων που αρχίζουν να δουλεύουν τη μέρα j. Π.α.π.: min 7 j=1 x j υπό x 1 +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 d 1 x 1 +x 2 +x 5 +x 6 +x 7 d 2 x 1 +x 2 +x 3 +x 6 +x 7 d 3 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 7 d 4 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 d 5 x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 d 6 x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 d 7 x j {0, 1, 2,...}. Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr ΥΜΘΑ - Ενότητα 10

50 Επιλογή καλής μοντελοποίησης - Παράδειγμα Γενίκευση πρόβληματος επιλογής τοποθεσίας εγκαταστάσεων - Δεδομένα: 1 n δυνατές τοποθεσίες παροχής υπηρεσιών. 2 m πελάτες. 3 c j κόστος εγκατάστασης στην j. 4 d ij κόστος ανάθεσης του i στην j. Μεταβλητές αποφάσεων: { 1 αν η j τοποθεσία χρησιμοποιηθεί για πάροχο y j = 0 διαφορετικά x ij = ποσοστό ζήτησης του i που ικανοποιείται από τη j Υπάρχουν εναλλακτικές μοντελοποιήσεις.

51 Επιλογή καλής μοντελοποίησης - Παράδειγμα Η κλασική μοντελοποίηση Facility Location (FL) - Π.α.π.: min υπό n n j=1 c jy j + m n i=1 j=1 d ijx ij j=1 x ij = 1, i = 1, 2,..., m x ij y j, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n 0 x ij 1, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n y j {0, 1}, j = 1, 2,..., n.

52 Επιλογή καλής μοντελοποίησης - Παράδειγμα Η εναλλακτική μοντελοποίηση Aggregate Facility Location (AFL) - Π.α.π.: min υπό n n j=1 c jy j + m n i=1 j=1 d ijx ij j=1 x ij = 1, i = 1, 2,..., m m i=1 x ij my j, j = 1, 2,..., n 0 x ij 1, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n y j {0, 1}, j = 1, 2,..., n.

53 Επιλογή καλής μοντελοποίησης - Παράδειγμα Ποιά από τις δυο μοντελοποιήσεις είναι προτιμότερη;

54 Επιλογή καλής μοντελοποίησης - Παράδειγμα Οι εφικτές περιοχές και των δυο μοντελοποιήσεων είναι οι ίδιες. Η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι η ίδια και για τις δυο μοντελοποιήσεις. Οι εφικτές περιοχές των χαλαρώσεων γραμμικού προγραμματισμού (χ.γ.π.) δεν είναι οι ίδιες. Εστω 1 P F L : Εφικτή περιοχή της χ.γ.π. της FL, 2 P AF L : Εφικτή περιοχή της χ.γ.π. της AFL, 3 I F L : Εφικτή περιοχή της FL, 4 I AF L : Εφικτή περιοχή της AFL. Είναι I AF L = I F L P F L P AF L. Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr ΥΜΘΑ - Ενότητα 10

55 Επιλογή καλής μοντελοποίησης - Παράδειγμα Η βελτιστοποίηση πάνω στις I AF L, I F L είναι δύσκολη. Οι εφικτές περιοχές π.γ.π. είναι μη συνεκτικά, μη-κυρτά σύνολα. Η βελτιστοποίηση πάνω στις P AF L, P F L είναι πολύ ευκολότερη. Εχουμε π.γ.π. Αν τύχει η βέλτιστη λύση της χ.γ.π. του π.α.π. να ικανοποιεί τους περιορισμούς ακεραιότητας, τότε είναι και βέλτιστη λύση του π.α.π. Άρα καλύτερη μοντελοποίηση είναι αυτή που δίνει μικρότερη εφικτή περιοχή της χ.γ.π. Στο παράδειγμα η FL είναι καλύτερη μοντελοποίηση, παρότι έχει περισσότερους περιορισμούς από την AFL. Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr ΥΜΘΑ - Ενότητα 10

56 Ιδανική μοντελοποίηση Εστω H η εφικτή περιοχή ενός π.α.π. Εστω P η εφικτή περιοχή της αντίστοιχης χ.γ.π. του π.α.π. Εστω CH(H) η κυρτή θήκη της H, δηλαδή: CH(H) = {x : x = i λ i x i, i λ i = 1, λ i 0, x i H}. Το CH(H) είναι εφικτή περιοχή π.γ.π. και οι κορυφές του ικανοποιούν τους περιορισμούς ακεραιότητας του π.α.π. Βελτιστοποιώντας πάνω στο CH(H) (λύνοντας το αντίστοιχο π.γ.π.) βρίσκουμε τη βέλτιστη λύση του π.α.π. Ιδανική μοντελοποίηση είναι μια μοντελοποίηση που P = CH(H). Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr ΥΜΘΑ - Ενότητα 10

57 Σύγκριση μοντελοποιήσεων Μια μοντελοποίηση ακέραιου προγραμματισμού είναι καλύτερη μιας άλλης αν η εφικτή περιοχή της χ.γ.π. της είναι μικρότερη της εφικτής περιοχής της χ.γ.π. της άλλης. Ο αριθμός των περιορισμών δεν είναι το κρίσιμο στοιχείο για την μοντελοποίηση ακέραιου προγραμματισμού. Η ιδανική μοντελοποίηση είναι αυτή που η εφικτή περιοχή της χ.γ.π. ταυτίζεται με την κυρτή θήκη της εφικτής περιοχής του π.α.π. Η επίλυση της χ.γ.π. της ιδανικής μοντελοποίησης δίνει την λύση του π.α.π. Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr ΥΜΘΑ - Ενότητα 10

58 Σύγκριση μοντελοποιήσεων Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr ΥΜΘΑ - Ενότητα 10