HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

Transcript

1 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 12/04/2016 Αντώνης Α. Αργυρός Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/13/2016 1

2 ιαδικαστικά θέµατα Πρόοδος το ερχόµενο Σάββατο, 16/04/2016, ώρα 11:00-14:00. Προαιρετική αλλά ισχυρά συνιστώµενη! Ύλη: ότι έχουµε κάνει µέχρι την διάλεξη #15 εν επιτρέπονται βιβλία & σηµειώσεις Να έχετε µαζί σας αστυνοµική ταυτότητα ή πάσο, κλπ. Ερχόµενη Πέµπτη: Φροντιστήριο σε συναρτήσεις / αρχή του περιστερώνα Ερχόµενη Παρασκευή:Επαναληπτική διάλεξη: Θα συζητήσουµε απορίες που ενδεχοµένως έχετε στην ύλη της προόδου 4/13/2016 2

3 Συναρτήσεις ένα-προς-ένα Μία συνάρτηση είναιένα-προς-ένα (1-1), αν και µόνο αν κάθε στοιχείο στο εύρος της σχετίζεται µε ένα µόνο στοιχείο του πεδίου ορισµού της. Τυπικά: δοσµένης f:a B, f, ένα-προς-ένα : ( x,y: x yf(x) f(y)). 4/13/2016 3

4 Συναρτήσεις «επί» Μία συνάρτηση f:a Bείναι «επί»εάν το εύρος της είναι το ίδιο µε το πεδίο τιµών της ( b B, a A: f(a)=b). 4/13/2016 4

5 Αγγλική ορολογία 1. injection = 1-προς-1 2. surjection = επί 3. bijection = αµφιµονοσήµαντη 3 = 1&2εποµένως, για να αποδείξουµε ότι µία συνάρτηση είναι αµφιµονοσήµαντη αρκεί να αποδείξουµε ότι είναι 1-1 και επί 4/13/2016 5

6 Αντίστροφη συνάρτηση Για µία αµφιµονοσήµαντησυνάρτηση f:a B, υπάρχει η αντίστροφητης f 1, f 1 : B A ιαισθητικά, αυτή είναι η συνάρτηση που ακυρώνει ότι κάνει η f Τυπικά, είναι η µοναδική εκείνη συνάρτηση για την οποία 1 f f = I A (θυµηθείτε ότι I A είναι η ταυτοτικήσυνάρτηση στο A) 4/13/2016 6

7 Μερικές χρήσιµες συναρτήσεις Συχνά χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες συναρτήσεις στους πραγµατικούς αριθµούς: Την συνάρτηση floor :R Z, όπου x είναι ο µεγαλύτερος ακέραιος που είναι µικρότερος ή ίσος του x. ηλ., x : max({i Z i x}). Την συνάρτηση ceiling :R Z, όπου x είναι ο µικρότερος ακέραιος που είναι µεγαλύτερος ή ίσος του x. ηλ., x : min({i Z i x}) 4/13/2016 7

8 Η αρχή του περιστερώνα (!) 4/13/2016 8

9 Η αρχή του περιστερώνα Pigeonhole principle Dirichlet drawer principle Εάνπερισσότερα από kαντικείµενα τοποθετούνται σε kθέσεις, τότε τουλάχιστον σε µία θέση έχουν τοποθετηθείτουλάχιστον 2 αντικείµενα. Σε σχέση µε την αντίστοιχη συνάρτηση: Εάν f:a Bκαι A B +1, τότε η fδεν µπορεί να είναι 1-1 και εποµένως, περισσότερα από ένα στοιχεία του πεδίου ορισµού έχουν την ίδια εικόνα στο πεδίο τιµών 4/13/2016 9

10 Παράδειγµα Υπάρχουν 101 δυνατοί βαθµοί (0-100) στην επερχόµενη πρόοδο του ΗΥ118. Ας υποθέσουµε πως την πρόοδο θα τη δώσουν περισσότεροι από 101 φοιτητές. Εποµένως, πριν δω τα γραπτά, µε βάση την αρχή του περιστερώνα, είµαι βέβαιος ότι θα υπάρξουν τουλάχιστον δύο φοιτητές που θα πάρουν ακριβώς τον ίδιο βαθµό! 4/13/

11 Γενικευµένηαρχή του περιστερώνα Εάν N αντικείµενα τοποθετούνται σε k θέσεις,τότε υπάρχει µία θέση στην οποία έχουν τοποθετηθεί τουλάχιστον N/k αντικείµενα. 4/13/

12 Απόδειξη της γενικευµένης αρχής Εάν Nαντικείµενατοποθετούνται σε kθέσεις,τότε υπάρχει µία θέση στην οποία έχουν τοποθετηθεί τουλάχιστον N/k αντικείµενα. Απόδειξη Ας υποθέσουµε πως κάθε θέση έχει λιγότερα από N/k αντικείµενα. Εποµένως: αριθµός αντικειµένων ανά θέση = Α N/k 1. Τότε ο συνολικός αριθµός αντικειµένων είναι το πολύ N N N ka= k 1 < k = k = N k k k Άρα, ο συνολικός αριθµός αντικειµένων είναι µικρότερος από N, γεγονός που έρχεται σε αντίφαση µε την υπόθεσή µας για N αντικείµενα! 4/13/

13 Γενικευµένη αρχή:παράδειγµα οσµένο: Υπάρχουν 258 εγγεγραµµένοι φοιτητές στο ΗΥ118.Χωρίς να ξέρουµε τίποτε για τα γενέθλια του καθενός από εσάς, ποιά είναι η µεγαλύτερη δυνατή τιµή nγια την οποία µπορούµε να ισχυριστούµε µε βεβαιότητα ότι τουλάχιστον n φοιτητές γεννήθηκαν τον ίδιο µήνα; 4/13/

14 Γενικευµένη αρχή:παράδειγµα οσµένο: Υπάρχουν 258 εγγεγραµµένοι φοιτητές στο ΗΥ118.Χωρίς να ξέρουµε τίποτε για τα γενέθλια του καθενός από εσάς, ποιά είναι η µεγαλύτερη δυνατή τιµή nγια την οποία µπορούµε να ισχυριστούµε µε βεβαιότητα ότι τουλάχιστον n φοιτητές γεννήθηκαν τον ίδιο µήνα; Απάντηση: 258/12 = 21.5 = 22 4/13/

15 Παράδειγµα Υποθέστε ότι µέσα στον Ιούνιο, µία οµάδα θα παίξει τουλάχιστον ένα παιχνίδι την ηµέρα,αλλά συνολικά, το πολύ 45 παιχνίδια. είξτε ότι θα πρέπει να υπάρχει µια ακολουθία από ηµέρες στον Ιούνιο κατά τις οποίες η οµάδα θα παίξει ακριβώς 14 παιχνίδια. 4/13/

16 Παράδειγµα Υποθέστε ότι µέσα στον Ιούνιο, µία οµάδα θα παίξει τουλάχιστον ένα παιχνίδι την ηµέρα,αλλά συνολικά, το πολύ 45 παιχνίδια. είξτε ότι θα πρέπει να υπάρχει µια ακολουθία από µέρες στον Ιούνιο κατά τις οποίες η οµάδα θα παίξει ακριβώς 14 παιχνίδια. Απόδειξη: Έστω a j οαριθµόςτωνπαιχνιδιώνπουηοµάδαέχειπαίξειµέχρικαιτηµέρα j του Ιουνίου. Τότε, η a 1,,a 30 Z + είναι µία ακολουθία από 30 διαφορετικούς ακεραίους όπου 1 a j 45. Εποµένως, a 1 +14,,a είναι µία ακολουθία από 30 διαφορετικούς ακεραίουςµε 15 a j Άρα, (a 1,,a 30, a 1 +14,,a )είναιµίαακολουθία 60ακεραίωναπότοσύνολο {1,..,59}. Απότην αρχήτουπεριστερώνα,δύοαπόαυτούςείναιίσοι,αλλάοι a 1,,a 30 είναι διαφορετικοίµεταξύτουςκαιοι a 1 +14,,a είναιδιαφορετικοίµεταξύτους. Εποµένως, ij: a i = a j +14. Εποµένως, ij: a i a j =14, κι εποµένως υπάρχουν όντως ηµέρες i και j τέτοιες ώστε µεταξύ τους να έχουν παιχτεί 14 παιχνίδια. 4/13/

17 Κι άλλο παράδειγµα Αποδείξτε ότι εάν πέντε σηµεία επιλεγούν στο εσωτερικό ενός τετραγώνου πλευράς µήκους 1, τότε υπάρχουν δύο σηµεία που απέχουν το πολύ 2 / 2 4/13/

18 Κι άλλο παράδειγµα Πρόβληµα: Αποδείξτε ότι εάν πέντε σηµεία επιλεγούν στο εσωτερικό ενός τετραγώνου πλευράς µήκους 1, τότε αναγκαστικά πρέπει να υπάρχουν δύο σηµεία που απέχουν το πολύ 2 / 2 Λύση: Περιστέρια (5): Τα 5 επιλεγµένα σηµεία Περιστερώνες (4):Οι περιοχές 1/2 1/2 που παίρνουµε ενώνοντας τα µέσα των απέναντι πλευρών του τετραγώνου. Η επιλογή ενός σηµείου στο τετράγωνο αντιστοιχεί στην τοποθέτηση ενός περιστεριού σε ένα περιστερώνα. εδοµένου ότι 5 περιστέρια τοποθετούνται σε 4 περιστερώνες, τουλάχιστο ένα ζεύγος περιστεριών θα τοποθετηθεί στον ίδιο περιστερώνα. Γι αυτά τα σηµεία, είναι προφανές ότι η απόστασή τους είναι µικρότερη από το µήκος της διαγωνίου του 1/2 1/2 τετραγώνου (= 2/2). 4/13/

19 Κι άλλο παράδειγµα Πρόβληµα: Έστω µια σκακιέρα από την οποία αφαιρούµε το επάνω αριστερά και το κάτω δεξιά τετράγωνό της. Είναι δυνατόν να καλύψουµε το σκάκι µε κοµµάτια ντόµινο, καθένα από τα οποία έχει µέγεθος ακριβώς 2 τετράγωνα της σκακιέρας; (η τοποθέτηση ενός ντόµινο θεωρείται νόµιµη εάν είναι οριζόντια ή κατακόρυφη). Λύση??? 4/13/

20 Κι άλλο παράδειγµα Πρόβληµα: Έστω µια σκακιέρα από την οποία αφαιρούµε το επάνω αριστερά και το κάτω δεξιά τετράγωνό της. Είναι δυνατόν να καλύψουµε το σκάκι µε κοµµάτια ντόµινο, καθένα από τα οποία έχει µέγεθος ακριβώς 2 τετράγωνα της σκακιέρας; (η τοποθέτηση ενός ντόµινο θεωρείται νόµιµη εάν είναι οριζόντια ή κατακόρυφη). Λύση Τα τετράγωνα που αφαιρούµε έχουν το ίδιο χρώµα. Αυτό σηµαίνει πως µετά την αφαίρεσή τους, το ένα χρώµα θα έχει δύο τετράγωνα περισσότερα από το άλλο χρώµα Κάθε τοποθέτηση ενός ντόµινο στη σκακιέρα καλύπτει ακριβώς ένα άσπρο και ακριβώς ένα µαύρο τετράγωνο. Εποµένως, από την αρχή του περιστερώνα γνωρίζουµε ότι δεν θα µπορέσουµε τελικά να καλύψουµε όλα τα τετράγωνα. 4/13/

21 Αποδεικνύοντας προτάσεις µέσω της αρχής του περιστερώνα Αποφάσισε ποιά είναι τα «περιστέρια» Αποφάσισε ποιοί είναι οι «περιστερώνες» Αποφάσισε τον κανόνα µε τον οποίο τα «περιστέρια» αντιστοιχίζονται στους «περιστερώνες» Εφάρµοσε την αρχή του περιστερώνα προκειµένου να εξακριβωθεί αν µπορεί να εξαχθεί το επιθυµητό συµπέρασµα 4/13/

22 Κι άλλο παράδειγµα Έστω ότι σε ένα κουτί υπάρχουν 10 µπλε και 12καφέ κάλτσες. Πόσες είναι οι ελάχιστες που πρέπει να βγάλετε (χωρίς να βλέπετε) για να είστε σίγουροι ότι τελικά θα έχετε τουλάχιστο ένα ζευγάρι κάλτσες του ίδιου χρώµατος; 4/13/

23 Κι άλλο παράδειγµα Τρεις! Γιατί;;;; Περιστέρια: Κάλτσες που επιλέγονται. Περιστερώνες: τα δύο διαφορετικά χρώµατα. Ψάχνουµε να βρούµε εκείνο το ελάχιστο πλήθος «περιστεριών» που εάν τοποθετήσουµε στους «περιστερώνες», θα µας οδηγήσει στην τοποθέτηση δύο περιστεριών στον ίδιο περιστερώνα. Από την αρχή του περιστερώνα, αυτό είναι 3 Όντως, αν επιλέξω τρεις κάλτσες, τουλάχιστον οι δύο από αυτές θα είναι αναγκαστικά του ίδιου χρώµατος 4/13/

24 Κι άλλο παράδειγµα Ένα µπώλπεριλαµβάνει 10 κόκκινεςκαι 10 κίτρινες µπάλες. Πόσες πρέπει να επιλέξουµε προκειµένου να εξασφαλίσουµε ότι θα έχουµε τρεις του ίδιου χρώµατος; Πόσες µπάλες απαιτούνται αν έχουµε 2 χρώµατα και κάποιος πρέπει να επιλέξει 3 µπάλες ίδιου χρώµατος; Πόσα περιστέρια πρέπει να έρθουν στον περιστερώνα αν πρέπει 3 να µπουν υποχρεωτικά στην ίδια θέση και υπάρχουν 2 θέσεις; Αριθµός θέσεων: k = 2 Θέλουµε N/k = 3 Ποιο είναι το ελάχιστο N? N = 5 24

25 Μέσα σε έξι αµοιβαίες γνωριµίες, µπορεί κανείς να βρει αναγκαστικά µια υποοµάδα τριών αµοιβαίων φίλων, ή τριών αµοιβαίων εχθρών.

26 Μέσα σε έξι αµοιβαίες γνωριµίες, µπορεί κανείς να βρει αναγκαστικά µια υποοµάδα τριών αµοιβαίων φίλων, ή τριών αµοιβαίων εχθρών. Φ Φ Φ

27 Μέσα σε έξι αµοιβαίες γνωριµίες, µπορεί κανείς να βρει αναγκαστικά µια υποοµάδα τριών αµοιβαίων φίλων, ή τριών αµοιβαίων εχθρών. E E E

28 Μέσα σε έξι αµοιβαίες γνωριµίες, µπορεί κανείς να βρει αναγκαστικά µια υποοµάδα τριών αµοιβαίων φίλων, ή τριών αµοιβαίων εχθρών. Πως θα το αποδεικνύαµε αυτό; Θα µπορούσαµε να απαριθµήσουµε όλες τις σχέσεις γνωριµίας Υπάρχουν 15 ζεύγάρια... Για κάθε ζευγάρι, υπάρχουν δύο ενδεχόµενα, να είναι φίλοι ή εχθροί Άρα, 2 15 δυνατές σχέσεις Αν θέλουµε ένα λεπτό για να αναλύσουµε κάθε σχέση, θα χρειαζόµασταν 546 ώρες...

29 Ας επιλέξουµε ένα άτοµο: * Έχει 5 γνωριµίες * Αυτές οι 5 πρέπει να είναι είτε µε εχθρούς, είτε µε φίλους Η αρχή του περιστερώνα µας λέει ότι τουλάχιστον τρεις θα πρέπει να είναι ίδιες, δηλαδή είτε τρεις φίλοι είτε τρεις εχθροί

30 Έστω οι τρεις φίλοι του * *???

31 Έστω οι τρεις φίλοι του * Είτε τουλάχιστον δύο από τους τρείς είναι φίλοι µεταξύ τους *?? Οπότε έχουµε µια παρέα 3 φίλων

32 Έστω οι τρεις φίλοι του * Είτε τουλάχιστον δύο από τους τρείς είναι φίλοι µεταξύ τους Είτε κανείς δεν είναι φίλος µε τους υπόλοιπους δύο * Οπότε έχουµε τρεις εχθρούς

33 Ανάλογα αν θεωρήσουµε ότι και οι τρεις είναι εχθροί του * *???

34 Κάποιοι ορισµοί Υποθέστε ότι οι a 1,a 2, a n αποτελούν µια ακολουθία διαφορετικών πραγµατικών αριθµών. Μιαυποακολουθίααυτής της ακολουθίαςείναι µια ακολουθία a i1, a i 2,, a i m, όπου 1 i 1 < i 2 <... < i m n Μια ακολουθία λέγεταιαυστηρά αύξουσααν κάθε όρος της είναι αυστηρά µεγαλύτερος από τον προηγούµενο. Μια ακολουθία λέγεταιαυστηρά φθίνουσααν κάθε όρος της είναι αυστηρά µεγαλύτερος από τον επόµενο. Πχ: {1, 5, 6, 2, 3, 9} είναι µια ακολουθία. {5,6,9} είναι µια αυστηρά αύξουσα υπακολουθία

35 Θεώρηµα Θεώρηµα: Κάθε ακολουθία n 2 +1 διαφορετικών πραγµατικών αριθµών περιλαµβάνει υποακολουθία µήκους τουλάχιστον n+1, η οποία είναι αυστηρά αύξουσα ή φθίνουσα Παράδειγµα: 8, 11, 9, 1, 4, 6, 12, 10, 5, 7 10 = όροι, άρα πρέπει να υπάρχει υπακολουθίαµήκους 4 η οποία είναι αυστηρά αύξουσα ή φθίνουσα. Πράγµατι, 1,4,6,12 1,4,6,7 11,9,6,5

36 Θεώρηµα Έστω a 1, a 2,, a n 2+1ακολουθία n 2 +1 διαφορετικών αριθµών. Σχετίστε κάθε όροτης µε ένα διατεταγµένο ζεύγος (i k,d k ) όπου i k το µήκος της µέγιστης αύξουσας ακολουθίας που ξεκινά από το a k και d k το µήκος της µέγιστης φθίνουσας ακολουθίας που ξεκινά από το a k. Πχ: 8, 11, 9, 1, 4, 6, 12, 10, 5, 7 a 2 = 11, (2,4) a 4 = 1, (4,1) Απόδειξη µε αντίφαση: Ας υποθέσουµε ότι δεν υπάρχει αύξουσα ή φθίνουσα ακολουθία µήκους n+1 ή µεγαλύτερου. Τότε, οι i k και d k είναι θετικοί ακέραιοι n, για k=1 έως το n 2 +1.

37 Υπάρχουν n 2 δυνατάδιατεταγµένα ζεύγη (i k,d k ). (Γιατί;;;). Από την αρχή του περιστερώνα, εφόσον έχουµε n 2 +1 διατεταγµένα ζεύγη (ένα για κάθε όρο της ακολουθίας) δύο από αυτά θα είναι ακριβώς τα ίδια. Τυπικά, όροι a s και a t της ακολουθίας, µε s<t τέτοιοι ώστε i s = i t και d s = d t. Θα δείξουµε ότι αυτό δεν είναι δυνατόν. Επειδή οι όροι της ακολουθίας είναι διαφορετικοί, είτε a s <a t είτε a s > a t. Αν a s < a t, µια αύξουσα υπακολουθίαµήκους i t +1 (ή µεγαλύτερου) µπορεί να κατασκευαστεί, ξεκινώντας από το a s ακολουθούµενο από αύξουσα υπακολουθίαµήκους i t, ξεκινώντας από το a t. Αλλά είπαµε ότι i s = i t. Αυτό είναι αντίφαση. Όµοια, αν a s > a t, µπορούµε να δείξουµε ότι το d s πρέπει να είναι µεγαλύτερο από το d t, το οποίο είναι επίσης αντίφαση.

38 Ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις Αυτή ήταν µια «δύσκολη» απόδειξη, που µας πήρε λίγη ώρα να διατυπώσουµε και να καταλάβουµε Πόσο χρόνο θα µας έπαιρνε για να λύσουµε αυτό το πρόβληµα δοκιµάζοντας όλα τα δυνατά ενδεχόµενα; Για ακολουθίες µήκους 2: 2 ενδεχόµενα Για ακολουθίες µήκους 5: 120 ενδεχόµενα Για ακολουθίες µήκους 10: ενδεχόµενα Για ακολουθίες µήκους 17: 3,6 x ενδεχόµενα Για ακολουθίες µήκους 26: 4.0 x ενδεχόµενα Για ακολουθίες µήκους 37: 1.4 x ενδεχόµενα

39 Ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις Ταχύτητα του φωτός: 3,0 x 10 8 m/sec ιάµετρος πρωτονίου: m Ας υποθέσουµε ένα υπολογιστή που κάνει µια πράξη στο χρονικό διάστηµα που χρειάζεται το φως για να διανύσει απόσταση ίση µε τη διάµετρο του πρωτονίου. Μιλάµε για ένα υπολογιστή που κάνει 3,0 x πράξεις το δευτερόλεπτο Συγκρίνετέ τον µε τους σηµερινούς σειριακούς υπολογιστές που µπορούν να κάνουν 6,0 x πράξεις το δευτερόλεπτο

40 Ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις Το Big Bang συνέβειπριν από περίπου 14 δισεκατοµµύρια χρόνια ηλαδή πριν από 4,4 x sec Άρα, αν ξεκινάγαµε µε το Bing Bang, θα είχαµε κάνει 1,33 x πράξεις σε αυτόν τον υπολογιστή ηλαδή, η εξαντλητική απαρίθµηση δεν θα είχε ολοκληρωθεί και δεν θα είχαµε καταφέρει να αποδείξουµε το θεώρηµα ούτε καν για ακολουθίες 37 διαφορετικών αριθµών Για την ακρίβεια, θα χρειαζόµασταν κάπου 100 φορές την ηλικία του σύµπαντος Η µαθηµατική απόδειξη πήρε πολύ λιγότερο και µας δίνει τη βεβαιότητα για οποιοδήποτε µήκος ακολουθίας

41 Συνέπειες Συµπίεση χωρίς απώλειες (Lossless compression) Κάθε αλγόριθµος συµπίεσης γενικού σκοπού ο οποίος επιτρέπει πλήρη ανάκτηση της αρχικής πληροφορίας και ο οποίος µειώνει το µέγεθος ενός αρχείου εισόδου, είναι καταδικασµένος να κάνει το µέγεθος κάποιου άλλου αρχείου µεγαλύτερο! ( Αλλιώς, δύο αρχεία θα έπρεπε υποχρεωτικά να συµπιέζονται στο ίδιο, µικρότερο αρχείο, πράγµα που θα σήµαινε ότι δεν θα µπορούσαµε να ανακτήσουµε την αρχική πληροφορία) (Hash functions Τα collisions είναι αναπόφευκτα σε hash tables γιατί ο αριθµός των κλειδιών είναι µεγαλύτερος από τον αριθµό των δεικτών στο hash table. ) 4/13/