HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

Transcript

1 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/02/2017 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/21/

2 Προτασιακός λογισµός, προηγούµενη φορά Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον προτασιακό λογισµό για να αποδείξουµε την αλήθεια συγκεκριµένων συλλογισµών. Πχ: Από τις υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα εν έχουµε ατυχήµατα µπορώ να οδηγηθώ στο συµπέρασµα: εν έχει κρύο Πως; 2/21/

3 Προτασιακός λογισµός K= Έχει κρύο X= Xιονίζει A= Έχουµε ατυχήµατα Οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Κ Χ Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα Χ Α εν έχουµε ατυχήµατα Α Το συµπέρασµα: εν έχει κρύο K 2/21/

4 Προτασιακός λογισµός Με αυτά τα δεδοµένα, αρκεί να δείξουµε ότι στον προτασιακό λογισµό η πρόταση: ((Κ Χ) (Χ Α) Α) Κ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ αποτελεί ταυτολογία! 2/21/

5 Απόδειξη ((Κ Χ) (Χ Α) Α) Κ ((Κ Χ) ( Χ Α) Α) Κ ((Κ Χ) ( Α ( Χ Α)) Κ ((Κ Χ) (( Α Χ) ( Α Α)) Κ ((Κ Χ) (( Α Χ) F) Κ ((Κ Χ) ( Α Χ)) Κ (( Κ Χ) ( Α Χ)) Κ (( Κ ( Α Χ)) (Χ ( Α Χ))) Κ (( Κ Α Χ) (Χ Α Χ)) Κ (( Κ Α Χ) F) Κ ( Κ Α Χ) Κ 2/21/

6 Απόδειξη ( Κ Α Χ) Κ ( Κ Α Χ) Κ K A X Κ (K Κ) (A X) T (A X) T [Ο.Ε..] 2/21/

7 Απόδειξη µε άλλο τρόπο Αλλιώς 1. εν έχουµε ατυχήµατα (δεδοµένο) 2. Εάν χιονίζει έχουµε ατυχήµατα (δεδοµένο) 3. ΕΠΟΜΕΝΩΣ Εάν δεν έχουµε ατυχήµατα δεν χιονίζει (αντιστροφοαντίθετη της 2) 4. ΕΠΟΜΕΝΩΣ δεν χιονίζει 5. Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει (δεδοµένο) 6. ΕΠΟΜΕΝΩΣ Εάν δεν χιονίζει δεν έχει κρύο (αντιστροφοαντίθετη της 5) 7. ΕΠΟΜΕΝΩΣ εν έχει κρύο [Ο.Ε..] 2/21/

8 Απόδειξη µε άλλο τρόπο Αλλιώς 1. εν έχουµε ατυχήµατα ( Α) 2. Εάν χιονίζει έχουµε ατυχήµατα (Χ Α) 3. ΕΠΟΜΕΝΩΣ Εάν δεν έχουµε ατυχήµατα δεν χιονίζει ( Α Χ) (αντιστροφοαντίθετη της 2) 4. ΕΠΟΜΕΝΩΣ δεν χιονίζει ( Χ) 5. Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει (Κ Χ) 6. ΕΠΟΜΕΝΩΣ Εάν δεν χιονίζει δεν έχει κρύο ( Χ Κ) (αντιστροφοαντίθετη της 5) 7. ΕΠΟΜΕΝΩΣ εν έχει κρύο ( Κ) [Ο.Ε..] 2/21/

9 Topic #3 Predicate Logic Κατηγορηµατικός λογισµός Όµως, άλλα λογικά συµπεράσµατα δεν µπορούν να αποδειχτούν µε τον προτασιακό λογισµό Όλοι θαυµάζουν την Μαρία Εποµένως: Κάποιος θαυµάζει την Μαρία Όλοι θαυµάζουν κάποιον Για τέτοιου είδους συµπεράσµατα, χρειαζόµαστε ένα λογικό οικοδόµηµα µε µεγαλύτερη εκφραστικότητα Ανάγκη χειρισµού των όρων «κάποιος» και «καθένας» 2/21/

10 Topic #3 Predicate Logic Κατηγορηµατικός λογισµός Αποτελεί έναν από τους πιο πολύ χρησιµοποιούµενους τυπικούς συµβολισµούς για να γράφουµε ορισµούς, αξιώµατα, καιθεωρήµατα. 2/21/

11 Topic #3 Predicate Logic Κατηγορηµατικός λογισµός Η βάση πολλών συστηµάτων τεχνητής νοηµοσύνης... Προτάσεις του κατηγορηµατικού λογισµού υποστηρίζονται από µερικές από τις πιό πολύπλοκες µηχανές αναζήτησης σε βάσεις δεδοµένων, παγκόσµιο ιστό, κλπ Υπάρχουν βέβαια και περιορισµοίσχετιζόµενοι µε τη χρήση κατηγορηµατικού λογισµού, που θα τα δούµε αργότερα 2/21/

12 Topic #3 Predicate Logic Κατηγορηµατικός λογισµός Ο κατηγορηµατικός λογισµόςείναι µία επέκταση του προτασιακού λογισµού που επιτρέπει ποσοτικοποίηση σε κλάσεις οντοτήτων. Στον προτασιακό λογισµό (θυµηθείτε) κάθε ατοµική πρόταση αποτελεί µία ατοµική οντότητα. Σε αντίθεση, ο κατηγορηµατικός λογισµός διαφοροποιείτουποκείµενοµιας πρότασηςαπό το κατηγόρηµα. 2/21/

13 Topic #3 Predicate Logic Λίγη γραµµατική Στην πρόταση: Ο Κώστας είναι στεναχωρηµένος : ο Κώστας αποτελεί τουποκείµενοτης πρότασης αυτόν για τον οποίο γίνεται λόγος στην πρόταση. Το στεναχωρηµένος αποτελεί το κατηγόρηµα µία ιδιότητα που χαρακτηρίζει το υποκείµενο. Ο κατηγορηµατικός λογισµός στηρίζεται σε αυτή τη διάκριση. 2/21/

14 Topic #3 Predicate Logic Συµβολισµοί στον κατηγορηµατικό λογισµό (άτυπα) Θα χρησιµοποιήσουµε διάφορους τύπους σταθερών που συµβολίζουν αντικείµενα: a,b,c, Μεταβλητέςπάνω σε αντικείµενα: x, y, z, Τοαποτέλεσµα της εφαρµογήςενός κατηγορήµατος Pπάνω σε µία σταθερά aείναι η πρόταση P(a) ΕΝΝΟΙΑ: Το αντικείµενο που συµβολίζεται µε a έχει την ιδιότητα που συµβολίζεται µε P. 2/21/

15 Topic #3 Predicate Logic Τύποι στον κατηγορηµατικό λογισµό (άτυπα) Το αποτέλεσµατης εφαρµογής του κατηγορήµατος P σε µία σταθερά aείναι η πρόταση P(a). Π.χ.,εάν P = είναι άρτιος αριθµός, και a=7 τότε το P(a), δηλαδή το P(7) είναι η πρόταση Το 7είναι άρτιος αριθµός. 2/21/

16 Topic #3 Predicate Logic Τύποι στον κατηγορηµατικό λογισµό (άτυπα) Το αποτέλεσµατης εφαρµογής του κατηγορήµατος P σε µία µεταβλητή xείναι η προτασιακή µορφή P(x). Π.χ.,εάν P = είναι πρώτος αριθµός, και xµία µεταβλητή, τότε το P(x) είναι η προτασιακή µορφή ο x είναι πρώτος αριθµός. Γιατί δεν είναι πρόταση; Γιατί χωρίς να ξέρουµε τίποτε για το x, δεν µπορούµε να απαντήσουµε το αν είναι αληθής ή ψευδής 2/21/

17 Topic #3 Predicate Logic Παράδειγµα Εστωη προτασιακή µορφή P(x)= 2x x. εν είναι πρόταση γιατί αν δεν ξέρουµε τίποτε για το x, δεν µπορούµε να αποφανθούµε για την αλήθεια της. Πχ, αν το x είναι φυσικός αριθµόςτότε η «πρόταση» είναι σίγουρα αληθής Αν όµως το x είναι ακέραιος, τότε η πρόταση µπορεί να είναι ψευδής 2/21/

18 Topic #3 Predicate Logic Πεδίο ορισµού Είναι η προτασιακή µορφή πρόταση; Όχι! εν µπορούµε να αποφανθούµε για το κατά πόσο είναι αληθής ή όχι! χρειάζεται ένας προσδιορισµός/οριοθέτηση των τιµών των µεταβλητών! Η συλλογή τιµών τις οποίες µία µεταβλητή x µπορεί να πάρει λέγεται πεδίο ορισµού της x. 2/21/

19 Πίσω στον προτασιακό λογισµό Στον προτασιακό λογισµό, µπορούµε να πούµε αν µία σύνθετη πρόταση είναι αληθής, αν γνωρίζουµε τις τιµές αληθείας των επιµέρους ατοµικών προτάσεων Π.χ., η p q είναι F εάν ξέρουµε ότι p=t, q=f 2/21/

20 Κατηγορηµατικός λογισµός Στον κατηγορηµατικό λογισµό, λέµε ότι µία πρόταση είναιαληθήςή ψευδήςσε σχέση µε ένα µοντέλο Μοντέλο = 1. Απόδoση του νοήµατος του κατηγορήµατος 2. Περιγραφή των αντικειµένων (= προσδιορισµός του πεδίου ορισµού των µεταβλητών) για τα οποία ισχύει το κατηγόρηµα 2/21/

21 Topic #3 Predicate Logic Κατηγορήµατα µε nορίσµατα Ο κατηγορηµατικός λογισµόςγενικεύειτην έννοια του κατηγορήµατοςώστε αυτή να συµπεριλαµβάνει προτασιακές µορφές οποιουδήποτε πλήθους ορισµάτων χρησιµοποιώντας µεταβλητές Έστωπροτασιακή µορφή R(x, y)= ο x θαυµάζει τον y τότε αν x= Νίκος, y = Κώστας, R(Νίκος, Κώστας) = Ο Νίκος θαυµάζει τον Κώστα Έστωπροτασιακή µορφή P(x, y, z) = Ο x έβαλε στον y το βαθµό z τότε αν x= Αργυρός, y = Νίκος, z= 10, P(Αργυρός,Νίκος, 10) = Ο Αργυρός έβαλε στον Νίκο το βαθµό 10 2/21/

22 Topic #3 Predicate Logic Κατηγορήµατα µε nορίσµατα Τι νόηµα έχει το P(Αργυρός, Νίκος, z); Είναι προτασιακή µορφή, όχι πρόταση! P(Αργυρός,Νίκος, z) = Q(z) = Ο Αργυρός έβαλε στον Νίκο το βαθµό z 2/21/

23 Topic #3 Predicate Logic Ποσοδείκτες Οι ποσοδείκτεςπαρέχουν ένα συµβολισµό που µας δίνει τη δυνατότητα να ποσοτικοποιήσουµε (µετρήσουµε) πόσααντικείµενα στο πεδίο ορισµού ικανοποιούν ένα συγκεκριµένο κατηγόρηµα. : καθολικός ποσοδείκτης (FOR LL). : υπαρξιακός ποσοδείκτης ( XISTS). Για παράδειγµα,οι x P(x) και x P(x) αποτελούν προτάσεις 2/21/

24 Η έννοια των ποσοτικοποιηµένων εκφράσεων Πρώτα, άτυπα: x P(x) σηµαίνει ότι για κάθε x στο π.ο. της x,ηpισχύει. x P(x) σηµαίνει ότιυπάρχειτουλάχιστον ένα x στο π.ο. της x (δηλ. ένα ή και περισσότερα) για το οποίο η P(x) ισχύει. 2/21/

25 Topic #3 Predicate Logic Παράδειγµα: Πως µπορούµε να πούµε µε βάση τον κατηγορηµατικό λογισµό ότι Όλοι θαυµάζουν την Μαρία ; Έστω A το σύνολο των ανθρώπων Έστω x, y µεταβλητές µε π.ο. το σύνολο Α Έστω προτασιακή µορφή Θ(x, y) = o/η xθαυµάζει τον/την y Έστω a = Μαρία (στοιχείο του Α) Τότε η πρότασή µας γράφεται: x Θ(x, a) 2/21/

26 Θυµηθείτε Στον προτασιακό λογισµό, µπορούµε να φτιάξουµε εκφράσεις πεπερασµένου µεγέθους. Π.χ., µπορούµε να γράψουµε P(a) P(b) P(a) P(b) P(c) P(a) P(b) P(c) P(d), κλπ. Αλλά µε αυτόν τον τρόπο, δεν µπορούµε ποτέ να περιγράψουµε µία ιδιότητα Pγια π.χ. όλους τους φυσικούς αριθµούς Στον κατηγορηµατικό λογισµό, µπορούµε να το κάνουµε αυτό µε πολύ απλό τρόπο: xp(x) όπου η µεταβλητή x έχει πεδίο ορισµού το Ν 2/21/

27 Topic #3 Predicate Logic Πάλι για το πεδίο ορισµού Όπως είπαµε, ο προσδιορισµός του πεδίου ορισµού των µεταβλητών έχει ουσιώδη σηµασία! Π.χ., έστωη προτασιακή µορφή P(x)= 2x x. Η πρόταση x P(x) είναιαληθήςόταν το πεδίο ορισµού της x είναι το N Η πρόταση x P(x) είναιψευδήςόταν το πεδίο ορισµού της x είναι το Z 2/21/

28 Παράδειγµα: Έστω ότι το π.ο. της µεταβλητής xείναιοι θέσεις παρκαρίσµατος στο Π.Κ. Έστω ότι P(x) σηµαίνει η x είναι κατειλληµένη Τότε η καθολική ποσοτικοποίηση της P(x), xp(x), είναι η πρόταση: Για κάθε θέση παρκαρίσµατος στο Π.Κ., ισχύει ότι είναι κατειληµµένη. ή αλλιώς, Όλες οι θέσεις παρκαρίσµατος στο Π.Κ. είναι κατειλληµένες 2/21/

29 Παράδειγµα: Έστω ότι το π.ο. της µεταβλητής xείναιοι θέσεις παρκαρίσµατος στο Π.Κ. Έστω ότι P(x) σηµαίνει η x είναι κατειλληµένη Τότε, η υπαρξιακή ποσοτικοποίηση της P(x), xp(x), είναι η πρόταση που µας λέει ότι: Υπάρχει θέση παρκαρίσµατος στο ΠΚ που είναι κατειληµµένη. Τουλάχιστον µία θέση παρκαρίσµατος στο Π.Κ. είναι κατειληµµένη. Κάποια(ες) θέση(εις) παρκαρίσµατος στο Π.Κ. είναι κατειλληµένη(ες). 2/21/

30 Ελεύθερες και δεσµευµένες µεταβλητές Πριν προχωρήσουµε, πρέπει να διακρίνουµε δύο είδη µεταβλητών, τις ελεύθερεςκαι τις δεσµευµένες 2/21/

31 Ελεύθερες και δεσµευµένες µεταβλητές Μία προτασιακή µορφή όπως η P(x) λέγεται ότι έχει µία ελεύθερη µεταβλητή x. Ένας ποσοδείκτης (είτε το είτε το ) λειτουργείσε µία έκφραση που έχει µία ή περισσότερες ελεύθερες µεταβλητές, και δεσµεύειµία ή περισσότερες από αυτές τις µεταβλητές, για να παράξει µία ή περισσότερες δεσµευµένες µεταβλητές. 2/21/

32 Παράδειγµα δέσµευσης (binding) H P(x,y) έχει 2 ελεύθερες µεταβλητές,τις xκαι y. x P(x,y) έχει 1 ελεύθερη µεταβλητή και µία δεσµευµένη µεταβλητή. [Ποιά είναι ποιά;] Μία προτασιακή µορφή µε καµία ελεύθερη µεταβλητή αποτελεί µία πρόταση. Μία προτασιακή µορφή µε µία ή περισσότερες ελεύθερες µεταβλητές είναι παρόµοια µε ένα κατηγόρηµα: π.χ.έστω Q(y) = xθαυµάζει(x, y) 2/21/

33 Εµφανίσεις µεταβλητών που δεν είναι ελεύθερες, είναι δεσµευµένες. Ας ελέγξουµε τι καταλάβαµε: Ποιές µεταβλητές (αν υπάρχουν) είναι ελεύθερεςστις παρακάτω εκφράσεις; 1. x P(x) 2. x P(x) 3. yq(x) 4. xp(b) (η b είναι σταθερά) 5. x( y R(x,y)) ΚΑΜΙΑ ΚΑΜΙΑ H x ΚΑΜΙΑ ΚΑΜΙΑ 2/21/

34 Ελεύθερες µεταβλητές, τυπικός ορισµός Οι εµφανίσεις όλων των ελεύθερων µεταβλητών στην α είναι όλες οι εµφανίσεις ελευθέρων µεταβλητών στην α Οι εµφανίσεις όλων των ελεύθερων µεταβλητών στην (ατελεστήςβ) είναι όλες οι εµφανίσεις ελευθέρων µεταβλητών στηνασυν τις εµφανίσεις όλων των ελεύθερων µεταβλητών της β Οι εµφανίσεις όλων των ελεύθερων µεταβλητών στην xϕ είναι όλες οι εµφανίσεις ελευθέρων µεταβλητών στην ϕ εκτός από όλες/κάθε εµφάνιση της x. Οι εµφανίσεις όλων των ελεύθερων µεταβλητών στην xϕ είναι όλες οι εµφανίσεις ελευθέρων µεταβλητών στην ϕ εκτός από όλες/κάθε εµφάνιση της x. 2/21/

35 Ένας πιό τυπικός ορισµός της αλήθειας ποσοτικοποιηµένων εκφράσεων Συµβολισµός: ϕ(x:=a)είναι το αποτέλεσµα της αντικατάστασης όλων τωνελεύθερων εµφανίσεων της µεταβλητής xστηνϕ,µε τη σταθερά a 2/21/

36 Παράδειγµα Ας δούµε τι σηµαίνει ϕ(x:=a), εάνϕ= 1. P(x) 2. R(x, y) 3. P(b) 4. x P(x) 5. y Q(x) P(a) R(a, y) P(b) x P(x) y Q(a) 2/21/

37 Ένας πιο ακριβής ορισµός... Έστωϕ=P(x)µία προτασιακή µορφήµε τη x ορισµένη στο D. Τότε η xϕ είναι αληθής στo D εάντουλάχιστον µίαέκφρασηϕ(x:=a) είναι αληθής στο D. Αλλιώς, η xϕ είναι ψευδής. ηλαδή, η x P(x) είναι αληθής πρόταση στο D αν τουλάχιστον µία πρόταση της µορφής P(a)για κάποιο a στο D είναι αληθής, και ψευδής αλλιώς. 2/21/

38 Όµοια για το Έστωϕ=P(x)µία προτασιακή µορφήµε τη x ορισµένη στο D. Τότε η xϕ είναι αληθής στo D εάνκάθεέκφρασηϕ(x:=a) είναι αληθής στο D. Αλλιώς, η xϕ είναι ψευδής. ηλαδή, η x P(x) είναι αληθής πρόταση στο D άν όλες οι προτάσεις της µορφής P(a)για όλα τα a στο D είναι αληθείς, και ψευδής αλλιώς. 2/21/

39 Topic #3 Predicate Logic Τι συµβαίνει όταν το π.ο. είναι το κενό σύνολο (δεν έχει στοιχεία); Σε αυτές τις περιπτώσεις υπάρχει σύµβαση που καθορίζει τη σηµασιολογία των προτάσεων. Όσοι ενδιαφέρονται, ας κοιτάξουν το Πιο συγκεκριµένα: Κάθε πρόταση της µορφής x Φ είναι ψευδής. Κάθε πρόταση της µορφής x Φ είναι αληθής. Ο κατηγορηµατικός λογισµός στον οποίο επιτρέπονται κενά π.ο. χωρίς κανένα αντικείµενο ονοµάζεται «Ελεύθερη Λογική» (Free Logic): Γενικά, υποθέτουµε ότι τα πεδία ορισµού των µεταβλητών δεν είναι κενά. 2/21/ (c) , Michael P. Frank

40 Ένα παράδειγµα... Έστω η πρόταση P= Πέρασα όλα τα µαθήµατα που έδωσα το προηγούµενο εξάµηνο Έστω Mτο σύνολο των µαθηµάτων που έδωσα το προηγούµενο εξάµηνο. Έστω Π(x) = Πέρασα το µάθηµα x Τότε η πρόταση P γράφεται ως: x Π(x) Είναι η παραπάνω πρόταση αληθής; 2/21/

41 Ακόµα ένα παράδειγµα... P= Πέρασα όλα τα µαθήµατα που έδωσα το προηγούµενο εξάµηνο Έστω M το σύνολο των µαθηµάτων που έδωσα το προηγούµενο εξάµηνο. Έστω Π(x) = Πέρασα το µάθηµα x Τότε η πρόταση P γράφεται ως: x Π(x) Είναι η παραπάνω πρόταση αληθής; Εάν έδωσες κάποια µαθήµατα και τα πέρασες όλα τότε, ναι, είναι αληθής... αλλά και εάν ΕΝ έδωσες κανένα µάθηµα, τότε πάλι η πρόταση είναι αληθής! 2/21/

42 Πως µπορούµε να χειριστούµε την ίδια περίπτωση χωρίς να εµπλέξουµε κενό πεδίo ορισµού; P= Πέρασα όλα τα µαθήµατα που έδωσα το προηγούµενο εξάµηνο ΈστωΣτο σύνολο όλων των µαθηµάτων (µη κενό) Έστω Π(x) = Πέρασα το µάθηµα x Έστω Ε(x) = Έδωσα το µάθηµα x Τότε η πρόταση Pγράφεται: x (Ε(x) Π(x)) Είναι η παραπάνω πρόταση αληθής; Εάν έδωσες κάποια µαθήµατα και τα πέρασες όλα τότε, ναι, είναι αληθής... αλλά και εάν ΕΝ έδωσες κανένα µάθηµα, τότε πάλι η πρόταση είναι αληθής! 2/21/