ÂÚÈ fiìâó ªË ÓÈÎ ÛÙÂÚÂÔ ÛÒÌ ÙÔ. Οι κινήσεις των στερεών σωμάτων Σύνθετη κίνηση (κύλιση) Ροπή δύναμης... 56

Transcript

1 ÂÊ Ï ÈÔ 3 ÂÚÈ fiìâó ªË ÓÈÎ ÛÙÂÚÂÔ ÛÒÌ ÙÔ Οι κινήσεις των στερεών σωμάτων... 9 Σύνθετη κίνηση (κύλιση) Ροπή δύναμης Ισορροπία στερεού σώματος Ροπή αδράνειας Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης Στροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης Στροφική κίνηση γύρω από άξονα ο οποίος μετατοπίζεται Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης Τροχαλία Σύστημα σωμάτων Στροφορμή Αρχή διατήρησης στροφορμής... 5 Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής Στροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής Στροφική κίνηση γύρω από άξονα ο οποίος μετατοπίζεται... 8 Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής Τροχαλία Σύστημα σωμάτων Έργο και ισχύς στη στροφική κίνηση Ô Âapple Ó ÏËappleÙÈÎfi ÎÚÈÙ ÚÈÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË Ô Âapple Ó ÏËappleÙÈÎfi ÎÚÈÙ ÚÈÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË... 37

2 ÂÊ Ï ÈÔ 4 ÚÔ ÛÂÈ Î È Û ÂÙÈÎ ÎÈÓ ÛÂÈ Γενικά περί κρούσης Μετωπική ελαστική κρούση Μετωπική ανελαστική κρούση Πλαστική κρούση Έκκεντρη και πλάγια κρούση Κρούση και απλή αρμονική ταλάντωση Φαινόμενο Doppler Ô Âapple Ó ÏËappleÙÈÎfi ÎÚÈÙ ÚÈÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË Ô Âapple Ó ÏËappleÙÈÎfi ÎÚÈÙ ÚÈÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË Aapple ÓÙ ÛÂÈ

3 ÎÂÊ Ï ÈÔ 3 ªË ÓÈÎ ÛÙÂÚÂÔ ÛÒÌ ÙÔ

4

5 3.1 OÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙˆÓ ÛÙÂÚÂÒÓ ÛˆÌ ÙˆÓ 1 ΔÔ ÏÈÎfi ÛËÌÂ Ô Υλικό σημείο ονομάζεται το σώμα που έχει όλες τις ιδιότητες της ύλης εκτός από διαστάσεις. Ένα σώμα που δεν έχει διαστάσεις μπορεί να εκτελεί μόνο μεταφορική κίνηση.. π ø ΔÔ ÛÙÂÚÂfi ÛÒÌ Στερεό σώμα είναι κάθε σώμα του οποίου οι διαστάσεις δεν μπορούν να θεωρηθούν αμελητέες. Το στερεό σώμα έχει σχήμα και μέγεθος καθορισμένα και αμετάβλητα. Σε αντιδιαστολή με το υλικό σημείο που έχει τη δυνατότητα να εκτελεί μόνο μεταφορική κίνηση, ένα στερεό σώμα μπορεί, εκτός από μεταφορική, να εκτελεί και περιστροφική κίνηση. Μηχανικό στερεό είναι κάθε στερεό σώμα που δεν παραμορφώνεται όταν ασκούνται σε αυτό δυνάμεις. 3 ªÂÙ ÊÔÚÈÎ Î ÓËÛË ÛÙÂÚÂÔ Στη μεταφορική κίνηση ενός στερεού σώματος μεταβάλλεται η θέση του σώματος στο χώρο. Όλα τα σημεία του σώματος (οι στοιχειώδεις μάζες του) έχουν την ίδια ταχύτητα: την ταχύτητα του στερεού. Στη μεταφορική κίνηση των στερεών ισχύουν οι νόμοι που διέπουν και την κίνηση των υλικών σημείων. 4 B. ª Δ º ƒπ π Δ À Δ ƒ À øª Δ Δ Â Ë ÙË ÌÂÙ ÊÔÚÈÎ Î ÓËÛË Η μεταφορική κίνηση ενός στερεού σώματος μπορεί να είναι είτε ευθύγραμμη είτε καμπυλόγραμμη. Οπωσδήποτε, πάντως, δεν αλλάζει ο προσανατολισμός του σώματος στο χώρο. Στη μεταφορική κίνηση ενός στερεού σώματος όλες οι στοιχειώδεις μάζες του διαγράφουν παράλληλες τροχιές. ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 9

6 ı ÁÚ ÌÌË ÌÂÙ ÊÔÚÈÎ Î ÓËÛË Ìapple ÏfiÁÚ ÌÌË ÌÂÙ ÊÔÚÈÎ Î ÓËÛË Οι τροχοί ενός αυτοκινήτου είναι δυνατό να εκτελούν μόνο μεταφορική κίνηση: Κατά τη διάρκεια φρεναρίσματος σε παγωμένο δρόμο οι τροχοί δεν περιστρέφονται, αλλά ολισθαίνουν. 5. ƒπ Δƒ ºπ π Δ À Δ ƒ À øª Δ ÂÚÈÛÙÚÔÊÈÎ Î ÓËÛË ÛÙÂÚÂÔ Στην περιστροφική (ή στροφική) κίνηση μεταβάλλεται ο προσανατολισμός του στερεού σώματος στο χώρο. Το σώμα περιστρέφεται γύρω από μια ευθεία, που λέγεται άξονας περιστροφής. Όλα τα υλικά σημεία (στοιχειώδεις μάζες) του στερεού που βρίσκονται πάνω στον άξονα περιστροφής παραμένουν ακίνητα. Τα υπόλοιπα σημεία του στερεού διαγράφουν περιφέρειες κύκλων, με τα επίπεδά τους κάθετα στον άξονα περιστροφής και τα κέντρα τους πάνω στον άξονα περιστροφής. 6 Ã Ú ÎÙËÚÈÛÙÈÎ ÌÂÁ ıë ÙË ÛÙÚÔÊÈÎ Î ÓËÛË ÁˆÓÈ Î Ù ÙËÙ ˆ Όλες οι στοιχειώδεις μάζες του στερεού εκτελούν μία πλήρη περιστροφή, επιστρέφοντας στην αρχική τους θέση, στον ίδιο χρόνο. Η γωνιακή ταχύτητα ω είναι το μέγεθος που περιγράφει το πόσο γρήγορα περιστρέφεται ένα στερεό σώμα σε κάποια στιγμή και εκφράζει το ρυθμό με τον οποίο το στερεό διαγράφει τις γωνίες. 10 º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Bã ÙfiÌÔ

7 3 ªË ÓÈÎ ÛÙÂÚÂÔ ÛÒÌ ÙÔ 3.1 È ÎÈÓ ÛÂÈ ÙˆÓ ÛÙÂÚÂÒÓ ÛˆÌ ÙˆÓ Î Â Ê Ï Έστω ότι το στερεό σώμα περιστρέφεται κατά γωνία Δθ σε χρόνο Δt. È Ô Μέση γωνιακή ταχύτητα ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος το οποίο έχει μέτρο ίσο με το πηλίκο της γωνιακής μετατόπισης Δθ προς το χρονικό διάστημα Δt στο οποίο πραγματοποιείται αυτή. θ ω = Δ Δt Όταν ο χρόνος Δt τείνει στο μηδέν, ορίζουμε τη στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα. Η στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα είναι το όριο της μέσης γωνιακής ταχύτητας καθώς ο χρόνος Δt τείνει στο μηδέν. Δθ dθ ω = lim ή ω = Δt 0 Δt dt H μονάδα της γωνιακής ταχύτητας στο S.I. είναι το 1 rad/s. Η γωνιακή ταχύτητα ω είναι διάνυσμα που βρίσκεται πάνω στον άξονα περιστροφής και συνεπώς είναι κάθετο στο επίπεδο περιστροφής κάθε στοιχειώδους μάζας του στερεού. ÚÔÛ ÈÔÚÈÛÌfi ÙË ÊÔÚ ÙË ÁˆÓÈ Î Ù ÙËÙ : Î ÓfiÓ ÂÍÈÔ ÂÚÈÔ Η φορά της γωνιακής ταχύτητας προσδιορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού: Όταν τα τέσσερα δάκτυλα λυγίζουν κατά τη φορά περιστροφής του στερεού, ο αντίχειρας δείχνει τη φορά της γωνιακής ταχύτητας. Û ÛË ÙË ÁˆÓÈ Î Ù ÙËÙ Ì ÙËÓ appleâú Ô Ô Î È ÙË Û ÓfiÙËÙ appleâúèûùúôê Αν είναι Τ (σε s) n περίοδος περιστροφής του στερεού και f (σε Hz) η συχνότητα περιστροφής του, ισχύει: π ω = ω = π Τ και f Όλες οι στοιχειώδεις μάζες του στερεού εκτελούν μία πλήρη περιστροφή και επιστρέφουν στην αρχική τους θέση στον ίδιο χρόνο (σε μία περίοδο Τ). Συμπεραίνουμε ότι όλες οι στοιχειώδεις μάζες του στερεού έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα. ÁÚ ÌÌÈÎ Ù ÙËÙ appleâúèûùúôê ÂÓfi ÏÈÎÔ ÛËÌÂ Ô ÙÔ ÛÙÂÚÂÔ ÛÒÌ ÙÔ Έστω ένα στερεό σώμα το οποίο περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής με γωνιακή ταχύτητα ω. Όλα τα υλικά σημεία του στερεού σώματος έχουν σε κάθε χρονική στιγμή την ίδια γωνιακή ταχύτητα. Θεωρούμε ένα υλικό σημείο του στερεού το οποίο κινείται σε κυκλική τροχιά και διαγράφει τόξο μήκους ds σε χρονικό διάστημα dt. Η γραμμική ταχύτητα περιστροφής του υλικού σημείου είναι ένα διανυσματικό μέγεθος το οποίο έχει: διεύθυνση εφαπτόμενη σε κάθε χρονική στιγμή στο σημείο της κυκλικής τροχιάς όπου βρίσκεται το υλικό σημείο, ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 11

8 φορά ίδια με τη φορά κίνησης του υλικού σημείου και μέτρο ίσο με το πηλίκο του μήκους του τόξου ds που διαγράφει το υλικό σημείο στο χρονικό διάστημα dt, προς το χρονικό διάστημα dt: ds υγρ = dt H μονάδα της γραμμικής ταχύτητας περιστροφής στο S.I. είναι το 1 m/s. Û ÛË ÌÂÙ Í ÙË ÁˆÓÈ Î Ù ÙËÙ ÙÔ ÛÙÂÚÂÔ Î È ÙË ÁÚ ÌÌÈÎ Ù - ÙËÙ appleâúèûùúôê ÂÓfi ÏÈÎÔ ÛËÌÂ Ô ÙÔ ÛÙÂÚÂÔ Έστω ένα στερεό σώμα το οποίο περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής με γωνιακή ταχύτητα ω. Θεωρούμε ένα υλικό σημείο Σ του στερεού, το οποίο πραγματοποιεί κυκλική τροχιά ακτίνας r. Σε ορισμένο χρονικό διάστημα dt το υλικό σημείο διαγράφει τόξο μήκους ds και το στερεό έχει περιστραφεί κατά γωνία dθ. To μήκος του τόξου και η επίκεντρη γωνία συνδέονται με τη σχέση s = rθ. Επομένως: θ θ υγρ = ds = dr ( ) dt dt = r d ή υγρ dt = ωr Από τη σχέση μεταξύ της γραμμικής ταχύτητας περιστροφής και της γωνιακής ταχύτητας, παρατηρούμε ότι δεν έχουν όλες οι στοιχειώδεις μάζες του στερεού την ίδια γραμμική ταχύτητα. Συμπέρασμα: Όλες oι στοιχειώδεις μάζες από τις οποίες αποτελείται ένα στερεό σώμα που στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω, έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα (ω ) και διαφορετική γραμμική ταχύτητα υ, η οποία εξαρτάται από την απόστασή τους r από τον άξονα περιστροφής. Ì Ï ÛÙÚÔÊÈÎ Î ÓËÛË Ομαλή στροφική κίνηση εκτελεί ένα στερεό σώμα όταν η γωνιακή ταχύτητά του είναι σταθερή. Στην ομαλή στροφική κίνηση, η μέση και η στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα ταυτίζονται. ÂÓÙÚÔÌfiÏÔ ÂappleÈÙ ÓÛË Όταν ένα στερεό εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση (ω = σταθ.), το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας περιστροφής των διαφόρων σημείων του στερεού σώματος παραμένει σταθερό (υ = ωr), μεταβάλλεται όμως η κατεύθυνση του διανύσματος της γραμμικής ταχύτητας περιστροφής. Κατά συνέπεια, μεταβάλλεται το διάνυσμα της γραμμικής ταχύτητας περιστροφής. Η επιτάχυνση που αντιστοιχεί στη μεταβολή 1 º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Bã ÙfiÌÔ

9 3 ªË ÓÈÎ ÛÙÂÚÂÔ ÛÒÌ ÙÔ 3.1 È ÎÈÓ ÛÂÈ ÙˆÓ ÛÙÂÚÂÒÓ ÛˆÌ ÙˆÓ Î Â Ê Ï της κατεύθυνσης της γραμμικής ταχύτητας περιστροφής ονομάζεται κεντρομόλος επιτάχυνση ακεντρ. Η κεντρομόλος επιτάχυνση είναι διάνυσμα κάθετο στη γραμμική ταχύτητα περιστροφής (βρίσκεται δηλαδή στη διεύθυνση της ακτίνας), έχει φορά προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και μέτρο: υγρ ακεντρ = r όπου υ γρ το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας περιστροφής και r η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς που πραγματοποιεί κάθε σημείο του στερεού σώματος. Η μονάδα της κεντρομόλου επιτάχυνσης στο S.Ι. είναι το 1 m/s. È Ô Á ÁˆÓÈ Î ÂappleÈÙ ÓÛË ÁˆÓ Μέχρι τώρα έχουμε θεωρήσει ότι η περιστροφή του στερεού γίνεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Ένα στερεό, όμως, μπορεί να στρέφεται και επιταχυνόμενο. Έστω ότι ένα στερεό έχει γωνιακή ταχύτητα ω 1 τη χρονική στιγμή t 1 και γωνιακή ταχύτητα ω τη χρονική στιγμή t. Η γωνιακή επιτάχυνση αγων είναι το μέγεθος το οποίο περιγράφει το πόσο γρήγορα μεταβάλλεται η γωνιακή ταχύτητα ενός στερεού και εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας του στερεού σώματος. Μέση γωνιακή επιτάχυνση ονομάζεται το πηλίκο της μεταβολής Δω του μέτρου της γωνιακής ταχύτητας προς το χρονικό διάστημα Δt στο οποίο πραγματοποιείται αυτή. Δω αγων = Δt Όταν ο χρόνος Δt τείνει στο μηδέν, ορίζουμε τη στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση. Η στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση είναι το όριο της μέσης γωνιακής επιτάχυνσης καθώς ο χρόνος Δt τείνει στο μηδέν. Δω αγων = Δt = dω lim ή αγων Δt 0 dt Η μονάδα της γωνιακής επιτάχυνσης στο S.I. είναι το 1 rad/s. Η γωνιακή επιτάχυνση α γων είναι διάνυσμα που έχει την κατεύθυνση του διανύσματος της μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας dω : Όταν η γωνιακή ταχύτητα του στερεού αυξάνεται, η γωνιακή επιτάχυνση έχει ίδια κατεύθυνση με τη γωνιακή ταχύτητα (σχήμα (α)), ενώ, όταν η γωνιακή ταχύτητα μειώνεται, η γωνιακή επιτάχυνση έχει αντίθετη κατεύθυνση από τη γωνιακή ταχύτητα (σχήμα (β)). ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 13

10 (α) (β) Ì Ï ÌÂÙ ÏÏfiÌÂÓË ÛÙÚÔÊÈÎ Î ÓËÛË Ομαλά μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση εκτελεί ένα στερεό σώμα όταν η γωνιακή επιτάχυνσή του είναι σταθερή. Στην ομαλά μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση η μέση και η στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση ταυτίζονται. Όταν η γωνιακή ταχύτητα του στερεού αυξάνεται, η στροφική κίνηση του στερεού είναι επιταχυνόμενη, ενώ, όταν η γωνιακή ταχύτητα του στερεού μειώνεται, η στροφική κίνηση του στερεού είναι επιβραδυνόμενη. appleèùúfi È ÂappleÈÙ ÓÛË Όταν η γωνιακή ταχύτητα του στερεού μεταβάλλεται, τότε μεταβάλλεται και η γραμμική ταχύτητα περιστροφής (υ γρ = ωr) των διαφόρων σημείων του στερεού σώματος. Το μέγεθος που εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του μέτρου της γραμμικής ταχύτητας περιστροφής ονομάζεται επιτρόχια επιτάχυνση α ε. α ε υ = d dt γρ Û ÛË ÌÂÙ Í ÙË ÂappleÈÙÚfi È ÂappleÈÙ ÓÛË Î È ÙË ÁˆÓÈ Î ÂappleÈÙ ÓÛË Η γραμμική ταχύτητα περιστροφής ενός υλικού σημείου του στερεού σώματος, το οποίο απέχει r από τον άξονα περιστροφής, έχει μέτρο υ γρ = ωr. Οπότε, το μέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης είναι: dυγρ d( ωr) ω αε = = = r d ή αε = αγωνr dt dt dt Η επιτρόχια επιτάχυνση έχει ίδια κατεύθυνση με τη γραμμική ταχύτητα περιστροφής όταν η στροφική κίνηση είναι επιταχυνόμενη και αντίθετη κατεύθυνση από τη γραμμική ταχύτητα περιστροφής όταν η στροφική κίνηση είναι επιβραδυνόμενη. 14 º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Bã ÙfiÌÔ

11 3 ªË ÓÈÎ ÛÙÂÚÂÔ ÛÒÌ ÙÔ 3.1 È ÎÈÓ ÛÂÈ ÙˆÓ ÛÙÂÚÂÒÓ ÛˆÌ ÙˆÓ Î Â Ê Ï ª π π Δ À Δø ø È Ô 1 Όταν ένα στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής, όλα τα υλικά σημεία από τα οποία αποτελείται διαγράφουν κυκλικές τροχιές με διαφορετικές ακτίνες. Όλα τα υλικά σημεία έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα και την ίδια γωνιακή επιτάχυνση (αφού αυτά είναι μεγέθη τα οποία χαρακτηρίζουν την περιστροφή του στερεού). Επειδή, όμως, τα υλικά σημεία διαγράφουν κυκλικές τροχιές με διαφορετικές ακτίνες, το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας περιστροφής (υ = ωr) και της επιτρόχιας επιτάχυνσης (α ε = α γων r) είναι διαφορετικά για κάθε υλικό σημείο. Ομαλή στροφική κίνηση Ένα στερεό σώμα εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση όταν η γωνιακή ταχύτητά του είναι σταθερή. Στην ομαλή στροφική κίνηση η μέση και η στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα ταυτίζονται, ενώ η γωνιακή επιτάχυνση του στερεού είναι ίση με μηδέν. Οι εξισώσεις της ομαλής στροφικής κίνησης Γωνιακή επιτάχυνση: α γων = 0 Γωνιακή ταχύτητα: ω = σταθ. Γωνία στροφής: Από τον ορισμό της γωνιακής ταχύτητας Δθ ω = έχουμε ότι: Δt Δθ = ω Δt Γραφικές παραστάσεις στην ομαλή στροφική κίνηση Το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της γωνιακής ταχύτητας και του άξονα των χρόνων εκφράζει τη γωνία στροφής που διαγράφει το στερεό στο αντίστοιχο χρονικό διάστημα. Η κλίση της γραφικής παράστασης της γωνίας στροφής θ σε συνάρτηση με το χρόνο t είναι σταθερή και εκφράζει τη γωνιακή ταχύτητα του στερεού: Δθ εφφ = = ω Δt 3 Ομαλά μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση Ένα στερεό σώμα εκτελεί ομαλά μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση όταν η γωνιακή επιτάχυνσή του είναι σταθερή. Στην ομαλά μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση η μέση και η στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση ταυτίζονται. ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 15

12 Οι εξισώσεις της ομαλά μεταβαλλόμενης στροφικής κίνησης Θεωρούμε ένα στερεό σώμα το οποίο περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α γων. Έστω ότι τη χρονική στιγμή t = 0 η γωνιακή ταχύτητα του στερεού είναι ω 0. Γωνιακή επιτάχυνση: α γων = σταθ. Γωνιακή ταχύτητα: ω = ω 0 ± α γων t 1 Γωνία στροφής: Δθ = ω0t ± α γων t Στις δύο τελευταίες σχέσεις το πρόσημο (+) αναφέρεται στην επιταχυνόμενη στροφική κίνηση (το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας αυξάνεται) και το ( ) στην επιβραδυνόμενη κίνηση (το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας μειώνεται). Ú ÊÈÎ apple Ú ÛÙ ÛÂÈ ÛÙËÓ ÔÌ Ï ÌÂÙ ÏÏfiÌÂÓË ÛÙÚÔÊÈÎ Î ÓËÛË Το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της γωνιακής επιτάχυνσης και του άξονα των χρόνων εκφράζει τη μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας που διαγράφει το στερεό στο αντίστοιχο χρονικό διάστημα. Το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της γωνιακής ταχύτητας και του άξονα των χρόνων εκφράζει τη γωνία στροφής που διαγράφει το στερεό στο αντίστοιχο χρονικό διάστημα. Η κλίση της γραφικής παράστασης της γωνίας στροφής σε συνάρτηση με το χρόνο t εκφράζει τη στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα του στερεού: dθ εφφ = = ω dt 16 º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Bã ÙfiÌÔ

13 3 ªË ÓÈÎ ÛÙÂÚÂÔ ÛÒÌ ÙÔ 3.1 È ÎÈÓ ÛÂÈ ÙˆÓ ÛÙÂÚÂÒÓ ÛˆÌ ÙˆÓ Î Â Ê Ï È Ô Απόδειξη της σχέσης ω = ω 0 + α γων t Θεωρούμε ένα στερεό σώμα το οποίο περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής. Έστω ότι τη χρονική στιγμή t 0 = 0 η γωνιακή ταχύτητα του στερεού έχει αλγεβρική τιμή ω 0. Αν το στερεό περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α γων, θα ισχύει: α Δω ω ω0 = ή α = ή ω ω0 = α Δt t 0 γων γων γων 1 Απόδειξη της σχέσης Δθ = ω 0 t + α γων t Επειδή η γωνιακή επιτάχυνση είναι σταθερή, η γραφική παράσταση της γωνιακής ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο είναι ευθεία γραμμή. Η γωνία στροφής Δθ του σώματος από τη χρονική στιγμή t 0 = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t είναι ίση με το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης ω = f(t) και του άξονα των χρόνων. Οπότε: ω Δθ = Ε ή Δθ = ΑΒΓΔ και επειδή ω = ω 0 + α γων t, έχουμε: ω0 + ω0 + α Δθ = + ω t 0 γων t 1 t ή Δθ = ω0 t + αγων t 4 Αναγνώριση των χαρακτηριστικών της περιστροφικής κίνησης από διαγράμματα α. Διάγραμμα γωνιακής επιτάχυνσης χρόνου Ας μελετήσουμε το διάγραμμα που ακολουθεί. t ή ω = ω 0 + α γων t Τμήμα διαγράμματος Αλγεβρική τιμή γωνιακής επιτάχυνσης Είδος περιστροφικής κίνησης Τμήμα Α Θετική Ομαλά επιταχυνόμενη στροφική κίνηση Τμήμα Β Μηδέν Ομαλή στροφική κίνηση Τμήμα Γ Αρνητική Ομαλά επιβραδυνόμενη στροφική κίνηση ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 17

14 Υπολογισμός από το διάγραμμα Το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης και του άξονα των χρόνων εκφράζει τη μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας του στερεού στο αντίστοιχο χρονικό διάστημα. β. Διάγραμμα γωνιακής ταχύτητας χρόνου Ας μελετήσουμε το διάγραμμα που ακολουθεί. Τμήμα διαγράμματος Αλγεβρική τιμή γωνιακής ταχύτητας Φορά περιστροφής στερεού Μέτρο γωνιακής ταχύτητας Είδος περιστροφικής κίνησης Τμήμα Α Θετική Περιστροφή κατά Αυξάνεται Ομαλά τη θετική φορά επιταχυνόμενη Τμήμα Β Θετική Περιστροφή κατά Σταθερό Ομαλή τη θετική φορά Τμήμα Γ Θετική Περιστροφή κατά Μειώνεται Ομαλά τη θετική φορά επιβραδυνόμενη Τμήμα Δ Μηδέν Το στερεό δεν Μηδέν Το στερεό δεν περιστρέφεται περιστρέφεται Τμήμα Ε Αρνητική Περιστροφή κατά Αυξάνεται Ομαλά την αρνητική φορά επιταχυνόμενη 5 Υπολογισμοί από το διάγραμμα Η κλίση της γραφικής παράστασης εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής, δηλαδή τη γωνιακή επιτάχυνση: Δω εφφ = = Δt Το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης και του άξονα των χρόνων εκφράζει τη γωνία στροφής του στερεού σώματος. Αν γνωρίζουμε τη γωνία στροφής Δθ του στερεού σε ορισμένο χρονικό διάστημα, μπορούμε να υπολογίσουμε τον αριθμό των περιστροφών Ν που έχει πραγματοποιήσει το στερεό στο αντίστοιχο χρονικό διάστημα: Ν = Δθ π αγων 18 º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Bã ÙfiÌÔ

15 3 ªË ÓÈÎ ÛÙÂÚÂÔ ÛÒÌ ÙÔ 3.1 È ÎÈÓ ÛÂÈ ÙˆÓ ÛÙÂÚÂÒÓ ÛˆÌ ÙˆÓ Î Â Ê Ï 6 Αντιστοίχιση μεγεθών μεταφορικής και περιστροφικής κίνησης Μεταφορική κίνηση Περιστροφική κίνηση È Ô Μετατόπιση Δx Ταχύτητα υ cm Επιτάχυνση α cm Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση υ = σταθ. Δx = υ Δt Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση α cm = σταθ. υ = υ 0 ± α cm t 1 Δx = υ0 t ± αcmt Γωνία στροφής Δθ Γωνιακή ταχύτητα ω Γωνιακή επιτάχυνση α γων Ομαλή στροφική κίνηση ω = σταθ. Δθ = ω Δt Ομαλά μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση α γων = σταθ. ω = ω 0 ± α γων t 1 Δθ = ω0t± α γων t Àª ƒ π ª Δ Ú ÂÈÁÌ 1 Μία ράβδος ΑΒ μήκους l = 1 m περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω = 4 rad/s. Ο άξονας περιστροφής της ράβδου είναι κάθετος στη ράβδο και απέχει l 1 = 0 cm από το άκρο Α και l = 80 cm από το άκρο Β. Να υπολογίσετε: α. τις γραμμικές ταχύτητες περιστροφής των άκρων Α και Β της ράβδου, β. τη γωνία στροφής της ράβδου και το μήκος του τόξου που διαγράφουν τα άκρα της Α και Β σε χρόνο Δt = s. α. Το άκρο Α της ράβδου απέχει l 1 από τον άξονα περιστροφής, επομένως πραγματοποιεί κυκλική τροχιά ακτίνας l 1. Η γραμμική ταχύτητα περιστροφής του άκρου Α είναι: υ 1 = ωl 1 ή υ 1 = 0,8 m/s Όμοια, το άκρο Β πραγματοποιεί κυκλική τροχιά ακτίνας l, επομένως η γραμμική ταχύτητα περιστροφής του είναι: υ = ωl ή υ = 3, m/s β. Επειδή η ράβδος στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, η γωνία στροφής Δθ της ράβδου σε χρονικό διάστημα Δt είναι: Δθ = ω Δt ή Δθ = 8 rad ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 19

16 Στο ίδιο χρονικό διάστημα Δt, το μήκος του τόξου Δs 1 που διαγράφει το άκρο Α είναι: Δs 1 = υ 1 Δt ή Δs 1 = 1,6 m ενώ το μήκος του τόξου Δs που διαγράφει το άκρο Β είναι: Δs = υ Δt ή Δs = 6,4 m Ú ÂÈÁÌ Ένας κυκλικός δίσκος περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδο περιστροφής του. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 ο δίσκος έχει γωνιακή ταχύτητα ω 0 = 10 rad/s και στη συνέχεια αποκτά σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α γων = rad/s. Να υπολογίσετε: α. τη γωνιακή ταχύτητα του δίσκου τη χρονική στιγμή t 1 = 5 s, β. τη γωνία στροφής του δίσκου από τη χρονική στιγμή t 0 = 0 έως τη χρονική στιγμή t 1 = 5 s και τον αντίστοιχο αριθμό περιστροφών του και γ. τον αριθμό των περιστροφών του δίσκου από τη χρονική στιγμή t 0 = 0 έως τη χρονική στιγμή κατά την οποία ο δίσκος έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω = 30 rad/s. α. Επειδή ο δίσκος περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση, το μέτρο της γωνιακής ταχύτητάς του υπολογίζεται, σε κάθε χρονική στιγμή, από τη σχέση: ω = ω 0 + α γων t Οπότε, τη χρονική στιγμή t 1 = 5 s έχουμε: ω = 0 rad/s β. Η γωνία στροφής Δθ του δίσκου από τη χρονική στιγμή t 0 = 0 έως τη χρονική στιγμή t 1 = 5 s υπολογίζεται από τη σχέση: 1 Δθ = ω0t1+ αγωνt1 οπό τε Δθ = 75 rad Ο αριθμός των περιστροφών του δίσκου είναι: Ν Δ θ 37, 5 = ή Ν = περιστροφές π π γ. Από τη σχέση ω = ω 0 + α γων t θα υπολογίσουμε τη χρονική στιγμή t κατά την οποία ο δίσκος έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω. Είναι: ω ω0 ω = ω0 + αγωνt ή t = ή t = 10 s α Η γωνία στροφής του δίσκου από τη χρονική στιγμή t 0 = 0 έως τη χρονική στιγμή t = 10 s είναι: 1 Δθ' = ω0t+ αγωνt οπό τε Δθ' = 00 rad Ο αντίστοιχος αριθμός περιστροφών του δίσκου είναι: Δθ' 100 Ν' = ή Ν' = π π περιστροφ έ ς γων 0 º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Bã ÙfiÌÔ

17 3 ªË ÓÈÎ ÛÙÂÚÂÔ ÛÒÌ ÙÔ 3.1 È ÎÈÓ ÛÂÈ ÙˆÓ ÛÙÂÚÂÒÓ ÛˆÌ ÙˆÓ Î Â Ê Ï Ú ÂÈÁÌ 3 Ένας τροχός ακτίνας R = 0,5 m περιστρέφεται γύρω από άξονα περιστροφής, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδο περιστροφής του. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 ο τροχός είναι ακίνητος και στη συνέχεια αρχίζει να περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α γων = 10 rad/s. Να υπολογίσετε: α. την επιτρόχια επιτάχυνση των σημείων της περιφέρειας του τροχού, β. τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού και τη γραμμική ταχύτητα περιστροφής των σημείων της περιφέρειάς του τη χρονική στιγμή t = 5 s, καθώς και τη γωνία στροφής του τροχού από τη χρονική στιγμή t 0 = 0 έως τη χρονική στιγμή t = 5 s. È Ô α. Το μέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης των σημείων της περιφέρειας του τροχού είναι ίσο με το ρυθμό μεταβολής της γραμμικής ταχύτητας περιστροφής τους. Είναι: dυγρ d( ωr) ω αε = = = R d ή αε = αγωνr dt dt dt οπότε: α ε = 5 m/s β. Επειδή ο τροχός στρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση, το μέτρο της γωνιακής ταχύτητάς του υπολογίζεται, σε κάθε χρονική στιγμή, από τη σχέση: ω = ω 0 + α γων t Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 είναι ω 0 = 0, επομένως η γωνιακή ταχύτητα του τροχού τη χρονική στιγμή t = 5 s είναι: ω = α γων t ή ω = 50 rad/s H γραμμική ταχύτητα περιστροφής των σημείων της περιφέρειας του τροχού τη χρονική στιγμή t = 5 s είναι: υ γρ = ωr ή υ γρ = 5 m/s Η γωνία στροφής του τροχού από τη χρονική στιγμή t 0 = 0 έως τη χρονική στιγμή t = 5 s υπολογίζεται από τη σχέση: 1 Δθ = ω0t + α γων t Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 είναι ω 0 = 0, επομένως η γωνία στροφής του τροχού θα είναι: 1 Δθ = αγωνt ή Δθ = 15 rad Ú ÂÈÁÌ 4 Ένας δίσκος ακτίνας R = 10 cm περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδο περιστροφής του. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 ο δίσκος είναι ακίνητος και αρχίζει να περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α γων = 4 rad/s μέχρι τη χρονική ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 1

18 στιγμή t 1 = 5 s όπου αποκτά γωνιακή ταχύτητα ω 1. Στη συνέχεια, ο δίσκος στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω 1 για χρονικό διάστημα s. Τέλος, ο δίσκος αρχίζει να επιβραδύνεται με γωνιακή επιβράδυνση σταθερού μέτρου α γων, = 5 rad/s μέχρι να σταματήσει. α. Να γράψετε τις εξισώσεις με τις οποίες προσδιορίζουμε τη γωνιακή ταχύτητα του δίσκου σε όλη τη διάρκεια της περιστροφικής του κίνησης. β. Να σχεδιάσετε σε βαθμολογημένους άξονες τη γραφική παράσταση του μέτρου της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου σε συνάρτηση με το χρόνο, από τη χρονική στιγμή t 0 = 0 μέχρι να σταματήσει η περιστροφή του δίσκου. γ. Να υπολογίσετε τη συνολική γωνία στροφής του δίσκου σε όλη τη διάρκεια της περιστροφικής του κίνησης, καθώς και το συνολικό αριθμό περιστροφών του δίσκου. α. Από τη χρονική στιγμή t 0 = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t 1 = 5 s ο δίσκος εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη στροφική κίνηση. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση: ω = α γων,1 t ή ω = 4t, S.I., για 0 t 5 s Τη χρονική στιγμή t 1 = 5 s η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου έχει μέτρο ω 1 = 0 rad/s. Από τη χρονική στιγμή t 1 = 5 s μέχρι τη χρονική στιγμή t = 7 s ο δίσκος εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω 1 = 0 rad/s. Μετά τη χρονική στιγμή t = 7 s ο δίσκος εκτελεί ομαλά επιβραδυνόμενη στροφική κίνηση με αρχική γωνιακή ταχύτητα ω 1 = 0 rad/s και γωνιακή επιβράδυνση μέτρου α γων, = 5 rad/s. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση: ω = ω 1 α γων, t ή ω = 0 5t, S.I. Αν στην εξίσωση αυτή θέσουμε ω = 0, θα υπολογίσουμε το χρονικό διάστημα που διαρκεί η επιβραδυνόμενη κίνηση του δίσκου. Είναι: 0 = 0 5t ή t = 4 s Επομένως η εξίσωση ω = 0 5t περιγράφει τη μεταβολή του μέτρου της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου σε συνάρτηση με το χρόνο για το χρονικό διάστημα 7 s t 11 s. β. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας μεταβάλλεται σε συνάρτηση με το χρόνο ως εξής: 4t, SI.., για 0 t 5 s ω = 0 rad/s για 5 s t 7 s 0 5t SI 7 s t 11 s,.., για Με βάση τις εξισώσεις αυτές, το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο παριστάνεται γραφικά στο διπλανό διάγραμμα. º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Bã ÙfiÌÔ

19 3 ªË ÓÈÎ ÛÙÂÚÂÔ ÛÒÌ ÙÔ 3.1 È ÎÈÓ ÛÂÈ ÙˆÓ ÛÙÂÚÂÒÓ ÛˆÌ ÙˆÓ Î Â Ê Ï γ. Η γωνία στροφής του δίσκου σε όλη τη διάρκεια της περιστροφής του είναι ίση με το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης ω = f(t) και του άξονα των χρόνων. Είναι: Δθ ολ = Δθ 1 + Δθ + Δθ 3 ή Δθ ολ = Ε ΑΒΓ + Ε ΒΔΕΓ + Ε ΔΕΖ ή Δθ ολ = 130 rad Ο αριθμός των περιστροφών που έχει πραγματοποιήσει ο δίσκος είναι: Ν Δ θολ 65 = ή Ν = π π περιστροφ έ ς È Ô ƒøδ π øƒπ 1. α. Τι ορίζουμε ως υλικό σημείο και τι ως στερεό σώμα; Τι είδους κίνηση μπορεί να εκτελέσει το καθένα; β. Τι ονομάζουμε μηχανικό στερεό;. Πότε λέμε ότι ένα στερεό σώμα εκτελεί μεταφορική κίνηση και πότε περιστροφική; 3. Ένα στερεό σώμα εκτελεί περιστροφική κίνηση. Γνωρίζουμε ότι οι στοιχειώδεις μάζες του στερεού που βρίσκονται πάνω στον άξονα περιστροφής του παραμένουν ακίνητες. Τι συμβαίνει με τις άλλες στοιχειώδεις μάζες του στερεού; 4. α. Τι εκφράζει η γωνιακή ταχύτητα; Να δώσετε τον ορισμό της γωνιακής ταχύτητας και τη μονάδα της. β. Ποια είναι η διεύθυνση του διανύσματος της γωνιακής ταχύτητας; Με ποιον τρόπο προσδιορίζεται η φορά του; 5. Έχουν όλες οι στοιχειώδεις μάζες ενός περιστρεφόμενου στερεού την ίδια γωνιακή ταχύτητα και την ίδια γραμμική ταχύτητα; Ποια σχέση συνδέει τις δύο ταχύτητες; 6. Να αποδείξετε τη σχέση που συνδέει τη γωνιακή ταχύτητα ενός στερεού το οποίο περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής με τη γραμμική ταχύτητα περιστροφής ενός σημείου του στερεού που απέχει r από τον άξονα περιστροφής. 7. Οι τροχοί του σχήματος στρέφονται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής κατά τη φορά που δείχνουν τα βέλη. Να σχεδιάσετε σε κάθε περίπτωση: α. το διάνυσμα που παριστάνει τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού και β. τα διανύσματα που παριστάνουν τη γραμμική ταχύτητα περιστροφής και την κεντρομόλο επιτάχυνση για ένα υλικό σημείο της περιφέρειας του τροχού. ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 3

20 8. α. Τι εκφράζει η γωνιακή επιτάχυνση; Να δώσετε τον ορισμό της γωνιακής επιτάχυνσης και τη μονάδα της. β. Ποια είναι η κατεύθυνση του διανύσματος της γωνιακής επιτάχυνσης; 9. Οι δίσκοι του σχήματος πραγματοποιούν ομαλά επιταχυνόμενη στροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής κατά τη φορά που δείχνουν τα βέλη. Να σχεδιάσετε σε κάθε περίπτωση: α. τα διανύσματα που παριστάνουν τη γωνιακή ταχύτητα και τη γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου και β. τα διανύσματα που παριστάνουν τη γραμμική ταχύτητα περιστροφής και την επιτρόχια επιτάχυνση για ένα σημείο της περιφέρειας του δίσκου. 10. Ένα στερεό σώμα εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη στροφική κίνηση. Τη χρονική στιγμή t = 0 η γωνιακή ταχύτητα του στερεού έχει μέτρο ω 0. Να γράψετε τις εξισώσεις ω = f(t) και Δθ = f(t) οι οποίες περιγράφουν, αντίστοιχα, τη μεταβολή του μέτρου της γωνιακής ταχύτητας και τη γωνία στροφής του στερεού σε συνάρτηση με το χρόνο και να τις αποδείξετε. 11. Δίσκος ακτίνας R εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη στροφική κίνηση. Να αποδείξετε τη σχέση που συνδέει τη γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου με την επιτρόχια επιτάχυνση των σημείων της περιφέρειάς του. ÚˆÙ ÛÂÈ ÎÏÂÈÛÙÔ Ù appleô Στις ερωτήσεις 1 19 που ακολουθούν υπάρχει μόνο μία σωστή απάντηση. Να την επιλέξετε. 1. Ένα στερεό σώμα εκτελεί μεταφορική κίνηση. α. Η κίνηση είναι ευθύγραμμη. β. Ο προσανατολισμός του σώματος στο χώρο αλλάζει. γ. Όλες οι στοιχειώδεις μάζες του στερεού διαγράφουν παράλληλες τροχιές. δ. Το στερεό κινείται με σταθερή ταχύτητα. 13. Ένα στερεό σώμα εκτελεί περιστροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα. α. Όλα τα σημεία του στερεού περιστρέφονται. β. Τα διάφορα σημεία του στερεού έχουν διαφορετικές γωνιακές ταχύτητες. γ. Οι στοιχειώδεις μάζες του στερεού, εκτός από αυτές που βρίσκονται πάνω στον άξονα περιστροφής, διαγράφουν περιφέρειες κύκλων, με τα επίπεδά τους κάθετα στον άξονα και τα κέντρα τους πάνω στον άξονα. δ. Όλα τα σημεία του στερεού έχουν την ίδια γραμμική ταχύτητα περιστροφής. 14. Ένα στερεό σώμα εκτελεί περιστροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα. Η γωνιακή ταχύτητα του στερεού εκφράζει 4 º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Bã ÙfiÌÔ

21 3 ªË ÓÈÎ ÛÙÂÚÂÔ ÛÒÌ ÙÔ 3.1 È ÎÈÓ ÛÂÈ ÙˆÓ ÛÙÂÚÂÒÓ ÛˆÌ ÙˆÓ Î Â Ê Ï α. το ρυθμό με τον οποίο διαγράφει τις γωνίες το στερεό σώμα. β. το ρυθμό μεταβολής της γραμμικής ταχύτητας περιστροφής των υλικών σημείων του στερεού. γ. το ρυθμό μεταβολής του τόξου που διαγράφει ένα υλικό σημείο της περιφέρειας του στερεού. δ. το ρυθμό μεταβολής της γωνιακής επιτάχυνσης του στερεού. È Ô 15. Η γωνιακή ταχύτητα ενός στερεού που εκτελεί περιστροφική κίνηση α. είναι εφαπτόμενη στην κυκλική τροχιά κάθε στοιχειώδους μάζας του στερεού. β. έχει φορά από τη στοιχειώδη μάζα προς τον άξονα περιστροφής. γ. είναι διάνυσμα κάθετο στον άξονα περιστροφής. δ. είναι διάνυσμα που βρίσκεται πάνω στον άξονα περιστροφής και είναι κάθετο στο επίπεδο περιστροφής κάθε στοιχειώδους μάζας. 16. Ο δίσκος του σχήματος στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής με τη φορά του βέλους. Σε ποιο από τα επόμενα σχήματα έχει σχεδιαστεί σωστά το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου; 17. Ένα στερεό σώμα εκτελεί περιστροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα. Η γωνιακή επιτάχυνση του στερεού εκφράζει α. το ρυθμό με τον οποίο διαγράφει τις γωνίες το στερεό σώμα. β. το ρυθμό μεταβολής της γραμμικής ταχύτητας περιστροφής των υλικών σημείων του στερεού. γ. το ρυθμό μεταβολής του τόξου που διαγράφει ένα υλικό σημείο της περιφέρειας του στερεού. δ. το ρυθμό μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας του στερεού. 18. Η γωνιακή επιτάχυνση ενός στερεού σώματος που εκτελεί περιστροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα, είναι διάνυσμα το οποίο α. είναι εφαπτόμενο στην κυκλική τροχιά κάθε στοιχειώδους μάζας του στερεού. β. έχει διεύθυνση κάθετη στον άξονα περιστροφής. γ. έχει ίδια φορά με το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας του στερεού. δ. έχει ίδια φορά με το διάνυσμα της μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας του στερεού. 19. Ένας δίσκος στρέφεται επιβραδυνόμενος γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής κατά τη φορά που δείχνει το βέλος. Σε ποιο από τα επόμενα σχήματα έχουν σχε- ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 5

22 διαστεί σωστά τα διανύσματα της γωνιακής ταχύτητας και της γωνιακής επιτάχυνσης του δίσκου; 0. Ένα στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα. Να σημειώσετε ένα για καθένα από τα παρακάτω μεγέθη αν αυτά έχουν την ίδια τιμή για κάθε στοιχειώδη μάζα του στερεού. 1. Γραμμική ταχύτητα περιστροφής υ γρ. Γωνιακή ταχύτητα ω 3. Γωνιακή επιτάχυνση α γων 4. Κεντρομόλος επιτάχυνση α κεντρ 5. Γωνία στροφής Δθ 6. Τόξο το οποίο διαγράφεται κατά τη διάρκεια μιας πλήρους περιστροφής 7. Χρονικό διάστημα το οποίο διαρκεί μία πλήρης περιστροφή 1. Ένα στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής. Να αντιστοιχίσετε στις εκφράσεις της στήλης Α τα φυσικά μεγέθη που αναφέρονται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β 1. Ρυθμός μεταβολής της γωνιακής α. Γωνιακή ταχύτητα περιστροφής ταχύτητας. Ρυθμός με τον οποίο διαγράφονται β. Γωνιακή επιτάχυνση οι γωνίες 3. Ρυθμός με τον οποίο διαγράφονται γ. Επιτρόχια επιτάχυνση τα τόξα 4. Ρυθμός μεταβολής του μέτρου της δ. Γραμμική ταχύτητα περιστροφής γραμμικής ταχύτητας περιστροφής. Ένα στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής. Να αντιστοιχίσετε στα γινόμενα της στήλης Α τα φυσικά μεγέθη που αναφέρονται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β 1. Ακτίνα τροχιάς επί γωνία που α. Γωνία που διαγράφει το στερεό διαγράφεται κατά την περιστροφή όταν εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση. Γωνιακή ταχύτητα επί ακτίνα τροχιάς β. Μήκος τόξου 3. Γωνιακή επιτάχυνση επί ακτίνα τροχιάς γ. Επιτρόχια επιτάχυνση 4. Γωνιακή ταχύτητα επί χρονικό διάστημα δ. Γραμμική ταχύτητα περιστροφής 6 º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Bã ÙfiÌÔ

23 3 ªË ÓÈÎ ÛÙÂÚÂÔ ÛÒÌ ÙÔ 3.1 È ÎÈÓ ÛÂÈ ÙˆÓ ÛÙÂÚÂÒÓ ÛˆÌ ÙˆÓ Î Â Ê Ï 3. Οι επόμενες προτάσεις αναφέρονται στις κινήσεις ενός στερεού σώματος. Να σημειώσετε Σ για κάθε σωστή και Λ για κάθε λανθασμένη πρόταση. α. Στη μεταφορική κίνηση ενός στερεού μεταβάλλεται ο προσανατολισμός του στερεού στο χώρο. β. Η μεταφορική κίνηση μπορεί να είναι είτε ευθύγραμμη είτε καμπυλόγραμμη. γ. Στην περιστροφική κίνηση όλες οι στοιχειώδεις μάζες του στερεού έχουν την ίδια γραμμική ταχύτητα περιστροφής. δ. Στην περιστροφική κίνηση όλες οι στοιχειώδεις μάζες διαγράφουν κυκλικές τροχιές με την ίδια ακτίνα, αλλά με διαφορετικές γωνιακές ταχύτητες. È Ô 4. Οι επόμενες προτάσεις αναφέρονται στην περιστροφή ενός στερεού σώματος. Να σημειώσετε Σ για κάθε σωστή και Λ για κάθε λανθασμένη πρόταση. α. Ένα στερεό σώμα εκτελεί στροφική κίνηση. Αν σε κάποια χρονική στιγμή ισχύει ω 0, τότε οπωσδήποτε θα είναι και α γων 0. β. Ένα στερεό σώμα εκτελεί στροφική κίνηση. Αν σε κάποια χρονική στιγμή ισχύει α γων 0, τότε οπωσδήποτε θα είναι και ω 0. γ. Ένα στερεό σώμα εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση, οπότε η γωνιακή του επιτάχυνση είναι σταθερή. δ. Η περιστροφική κίνηση ενός στερεού σώματος χαρακτηρίζεται ομαλά μεταβαλλόμενη όταν η γωνιακή επιτάχυνσή του αυξάνεται γραμμικά με το χρόνο. 5. Ένας δίσκος στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου μεταβάλλεται σε συνάρτηση με το χρόνο σύμφωνα με το διπλανό διάγραμμα. Να σημειώσετε Σ για κάθε σωστή και Λ για κάθε λανθασμένη πρόταση. α. Από τη χρονική στιγμή t 0 = 0 έως τη χρονική στιγμή t 1 η γωνιακή επιτάχυνση και η γωνιακή ταχύτητα έχουν την ίδια κατεύθυνση. β. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης είναι μεγαλύτερο στο χρονικό διάστημα από τη χρονική στιγμή t έως τη χρονική στιγμή t 3 απ ό,τι στο χρονικό διάστημα από τη χρονική στιγμή t 0 = 0 έως τη χρονική στιγμή t 1. γ. Αν τα χρονικά διαστήματα από τη χρονική στιγμή t 0 = 0 έως τη χρονική στιγμή t 1 και από τη χρονική στιγμή t 1 έως τη χρονική στιγμή t είναι ίσα, το στερεό διαγράφει μεγαλύτερη γωνία στο χρονικό διάστημα από τη χρονική στιγμή t 1 έως τη χρονική στιγμή t. δ. Στο χρονικό διάστημα από τη χρονική στιγμή t έως τη χρονική στιγμή t 3 το στερεό στρέφεται αντίθετα απ ό,τι στο χρονικό διάστημα από τη χρονική στιγμή t 0 = 0 έως τη χρονική στιγμή t Ένας δίσκος στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Στο διάγραμμα του σχήματος ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 7

24 που ακολουθεί παριστάνεται η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου σε συνάρτηση με το χρόνο. Να σημειώσετε Σ για κάθε σωστή και Λ για κάθε λανθασμένη πρόταση. α. Μεγαλύτερη μεταβολή στη γωνιακή του ταχύτητα υφίσταται ο δίσκος από τη χρονική στιγμή t 0 = 0 έως τη χρονική στιγμή t 1. β. Ο δίσκος δεν περιστρέφεται από τη χρονική στιγμή t 1 έως τη χρονική στιγμή 3t 1. γ. Ο δίσκος από τη χρονική στιγμή 3t 1 έως τη χρονική στιγμή 4t 1 στρέφεται αντίθετα σε σχέση με την περιστροφή του από τη χρονική στιγμή t 0 = 0 έως τη χρονική στιγμή t 1. δ. Η γραμμική ταχύτητα περιστροφής των σημείων της περιφέρειας του δίσκου είναι σταθερή από τη χρονική στιγμή t 1 έως τη χρονική στιγμή 3t 1. ÚˆÙ ÛÂÈ ÓÔÈÎÙÔ Ù appleô Στις ερωτήσεις 7 33 που ακολουθούν να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. 7. Ένας δίσκος ακτίνας R = 0 cm περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Ένα υλικό σημείο Σ του δίσκου, το οποίο βρίσκεται στο μέσο μιας ακτίνας του, έχει γραμμική ταχύτητα περιστροφής μέτρου υ γρ,σ = m/s. Α. Ποιο είναι το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου; α. ω = rad/s β. ω = 10 rad/s γ. ω = 0 rad/s Β. Ποιο είναι το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας περιστροφής των σημείων της περιφέρειας του δίσκου; α. υ = 1 m/s β. υ = m/s γ. υ = 4 m/s 8. Ένας δίσκος ακτίνας R = 10 cm περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής με σταθερή συχνότητα f = 5/π Hz. Α. Ποιο είναι το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου; α. ω = 5 rad/s β. ω = 10 rad/s γ. ω = 0 rad/s Β. Ποιο είναι το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας περιστροφής των σημείων της περιφέρειας του δίσκου; α. υ = 1 m/s β. υ = 5 m/s γ. υ = 10 m/s Γ. Ποιο είναι το μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνσης των σημείων της περιφέρειας του δίσκου; α. α κεντρ = 1 m/s β. α κεντρ = 5 m/s γ. α κεντρ = 10 m/s 8 9. Η ράβδος AB του διπλανού σχήματος έχει μήκος l = 40 cm και περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής, ο οποίος απέχει l 1 = 3l/4 από το άκρο της Α και l = l/4 από το άλλο άκρο της Β. Το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας περιστροφής του άκρου Α της ράβδου είναι υ γρ,α = 1,5 m/s. º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Bã ÙfiÌÔ

25 3 ªË ÓÈÎ ÛÙÂÚÂÔ ÛÒÌ ÙÔ 3.1 È ÎÈÓ ÛÂÈ ÙˆÓ ÛÙÂÚÂÒÓ ÛˆÌ ÙˆÓ Î Â Ê Ï Α. Ποια είναι η γραμμική ταχύτητα περιστροφής του άκρου Β της ράβδου; α. υ γρ,β = 0,5 m/s β. υ γρ,β = 1,5 m/s γ. υ γρ,β = 4,5 m/s Β. Ποια είναι η γωνιακή ταχύτητα με την οποία περιστρέφεται η ράβδος; α. ω = 5 rad/s β. ω = 10 rad/s γ. ω = 0 rad/s È Ô 30. Ένας αρχικά ακίνητος δίσκος, ακτίνας R = 0 cm, αρχίζει να περιστρέφεται τη χρονική στιγμή t 0 = 0 γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α γων = 5 rad/s. A. Ποιο είναι το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του τροχού τη χρονική στιγμή t = 4 s; α. ω = 10 rad/s β. ω = 0 rad/s γ. ω = 40 rad/s B. Ποιος είναι ο αριθμός των περιστροφών του δίσκου από τη χρονική στιγμή t 0 = 0 έως τη χρονική στιγμή t = 4 s; α. Ν = 40 περιστροφές β. Ν = 0 περιστροφές γ. Ν = 0/π περιστροφές 31. Ένας αρχικά ακίνητος τροχός, ακτίνας R = 5 cm, αρχίζει να περιστρέφεται τη χρονική στιγμή t 0 = 0 γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση. Το μέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης των σημείων της περιφέρειας του τροχού είναι α ε = 5 m/s. A. Ποιο είναι το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του τροχού; α. α γων = 5 rad/s β. α γων = 0 rad/s γ. α γων = 50 rad/s Β. Ποιο θα είναι το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του τροχού τη χρονική στιγμή t = s; α. ω = 10 rad/s β. ω = 40 rad/s γ. ω = 100 rad/s Γ. Ποια θα είναι η γωνία στροφής του τροχού από τη χρονική στιγμή t 0 = 0 έως τη χρονική στιγμή t = s; α. Δθ = 10 rad β. Δθ = 40 rad γ. Δθ = 100 rad 3. Στο διάγραμμα του σχήματος παριστάνεται γραφικά η μεταβολή του μέτρου της γωνιακής ταχύτητας ενός τροχού ακτίνας R = 10 cm, o oποίος στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής, σε συνάρτηση με το χρόνο. Α. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του τροχού είναι: α. α γων = rad/s β. α γων = 10 rad/s γ. α γων = 0 rad/s Β. Η γωνία στροφής του τροχού από τη χρονική στιγμή t 1 = 5 s έως τη χρονική στιγμή t = 10 s είναι: α. Δθ = 5 rad β. Δθ = 50 rad γ. Δθ = 75 rad Γ. Το μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνσης των υλικών σημείων της περιφέρειας του τροχού τη χρονική στιγμή t = 10 s είναι: α. α κεντρ = 10 m/s β. α κεντρ = 0 m/s γ. α κεντρ = 40 m/s Δ. Το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας περιστροφής των υλικών σημείων της περιφέρειας του τροχού τη χρονική στιγμή t 3 = 8 s είναι: α. υ = 0,8 m/s β. υ = 1,6 m/s γ. υ = 4 m/s ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 9

26 33. Στο διπλανό διάγραμμα παριστάνεται γραφικά η μεταβολή του μέτρου της γωνιακής ταχύτητας ενός στερεού σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο. Αν Ν 1 είναι ο αριθμός των περιστροφών του στερεού από τη χρονική στιγμή t 0 = 0 έως τη χρονική στιγμή t 1 = s και Ν ο αριθμός των περιστροφών του στερεού από τη χρονική στιγμή t 1 = s έως τη χρονική στιγμή t = 4 s, τότε ισχύει: Ν1 1 Ν1 1 Ν1 α. = β. = γ. = Ν Ν 3 Ν 3 5 π ƒ μ ª Δ 34. Ένας δίσκος ακτίνας r = 50/π cm περιστρέφεται με σταθερή συχνότητα γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής, πραγματοποιώντας 10 πλήρεις περιστροφές σε χρονικό διάστημα Δt = s. α. Ποιο είναι το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου; β. Ποια είναι τα μέτρα της γραμμικής ταχύτητας περιστροφής και της κεντρομόλου επιτάχυνσης των σημείων της περιφέρειας του δίσκου; 35. Η ράβδος ΑΒ του σχήματος έχει μήκος l = 1 m και περιστρέφεται με σταθερή περίοδο Τ = s γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής που είναι κάθετος στη ράβδο και διέρχεται από το άκρο της Α. α. Ποιο είναι το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου; β. Ποια είναι τα μέτρα της γραμμικής ταχύτητας περιστροφής του μέσου Κ της ράβδου και του άκρου Β της ράβδου; γ. Ποια είναι η γωνία στροφής της ράβδου και ποια είναι τα μήκη των τόξων που διαγράφουν το μέσο Κ της ράβδου και το άκρο της Β σε χρονικό διάστημα Δt = 5 s; 36. Ένας ομογενής δίσκος στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Ο δίσκος είναι αρχικά ακίνητος και τη χρονική στιγμή t 0 = 0 ξεκινά να περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α γων = 5 rad/s. Να υπολογίσετε: α. τη γωνιακή ταχύτητα του δίσκου τη χρονική στιγμή t 1 = 4 s, β. τη γωνία στροφής του δίσκου από τη χρονική στιγμή t 0 = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t 1 = 4 s και γ. τον αριθμό των περιστροφών του δίσκου στο ίδιο χρονικό διάστημα. 30 º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Bã ÙfiÌÔ

27 3 ªË ÓÈÎ ÛÙÂÚÂÔ ÛÒÌ ÙÔ 3.1 È ÎÈÓ ÛÂÈ ÙˆÓ ÛÙÂÚÂÒÓ ÛˆÌ ÙˆÓ Î Â Ê Ï 37. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ενός τροχού, ο οποίος στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, μεταβάλλεται όπως φαίνεται στη γραφική παράσταση του σχήματος. α. Ποιο είναι το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του τροχού; β. Ποια είναι η γωνία κατά την οποία έχει περιστραφεί ο τροχός από τη χρονική στιγμή t 0 = 0 έως τη χρονική στιγμή t = 4 s; γ. Ποιος είναι ο αριθμός των περιστροφών του τροχού στο ίδιο χρονικό διάστημα; È Ô 38. Ένας τροχός ακτίνας R = 30 cm στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του, με γωνιακή ταχύτητα ω 0 = rad/s. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του τροχού αρχίζει να μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό, οπότε τη χρονική στιγμή s έχει πενταπλασιαστεί. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του τροχού και το μέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης των σημείων της περιφέρειας του τροχού, β. τη γραμμική ταχύτητα περιστροφής των σημείων της περιφέρειας του τροχού τη χρονική στιγμή t = s και γ. τον αριθμό των περιστροφών του τροχού κατά τη διάρκεια του ου δευτερολέπτου. 39. Μία ράβδος μήκους l = 1 m μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής, ο οποίος διέρχεται από το ένα άκρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Η ράβδος είναι αρχικά ακίνητη και τη χρονική στιγμή t = 0 ξεκινά να περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση. Αν η γωνία στροφής της ράβδου από τη χρονική στιγμή t 0 = 0 έως τη χρονική στιγμή t 1 = 4 s είναι Δθ = 40 rad, να υπολογίσετε: α. τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου τη χρονική στιγμή t 1, β. τη γραμμική ταχύτητα περιστροφής του ελεύθερου άκρου της ράβδου τη χρονική στιγμή t 1, γ. το μήκος του τόξου που έχει διαγράψει το άκρο της ράβδου από τη χρονική στιγμή t 0 = 0 έως τη χρονική στιγμή t 1, δ. το επιπλέον χρονικό διάστημα που απαιτείται προκειμένου η ράβδος να στραφεί κατά γωνία Δθ = 10 rad ακόμη. 40. Ένας κυκλικός δίσκος ο οποίος στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, που είναι κάθετος στο δίσκο και διέρχεται από το κέντρο του, έχει σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α γων = 5 rad/s και διαγράφει γωνία Δθ = 10 rad σε χρονικό διάστημα Δt = 6 s. α. Ποια ήταν η γωνιακή ταχύτητα του κυκλικού δίσκου στην αρχή του χρονικού διαστήματος των 6 s; β. Αν ο δίσκος συνεχίσει να περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση, να υπολογίσετε τη γωνία στροφής του στα επόμενα 6 s της περιστροφής του. ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 31

28 41. Ένας τροχός στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 η γωνιακή ταχύτητα του τροχού είναι ω 0 = 0 rad/s και η γωνιακή επιβράδυνσή του έχει μέτρο α γων = 5 rad/s. α. Μετά από πόσο χρόνο θα ακινητοποιηθεί ο τροχός; β. Πόσες περιστροφές θα διαγράψει ο τροχός μέχρι να ακινητοποιηθεί; 4. Ένας δίσκος ακτίνας R = 0 cm στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής. Η αρχική γωνιακή ταχύτητα του δίσκου είναι ω 0 = 30 rad/s, ενώ τη χρονική στιγμή t 0 = 0 ο δίσκος αρχίζει να επιβραδύνεται με σταθερό ρυθμό. Στα πρώτα δύο δευτερόλεπτα της επιβραδυνόμενης κίνησής του ο δίσκος έχει περιστραφεί κατά γωνία Δθ 1 = 50 rad. Να υπολογίσετε: α. το ρυθμό μείωσης της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου β. τη γραμμική ταχύτητα περιστροφής των σημείων της περιφέρειας του δίσκου τη χρονική στιγμή t 1 = s γ. τη γωνία στροφής του δίσκου από τη χρονική στιγμή t 1 = s μέχρι να μηδενιστεί η γωνιακή ταχύτητά του. 43. Ένας δίσκος περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο του δίσκου και διέρχεται από το κέντρο του. Στο διπλανό διάγραμμα παριστάνεται η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου σε συνάρτηση με το χρόνο. α. Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου στα διάφορα χρονικά διαστήματα και να την παραστήσετε γραφικά σε συνάρτηση με το χρόνο. β. Να υπολογίσετε τη γωνία στροφής του δίσκου σε κάθε χρονικό διάστημα, καθώς και τον συνολικό αριθμό των περιστροφών τις οποίες εκτελεί ο δίσκος από τη χρονική στιγμή t 0 = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t = 1 s. 44. Ένα ηλεκτρικό πριόνι έχει δίσκο διαμέτρου d = 0, m και λειτουργεί εκτελώντας 600 περιστροφές το λεπτό. Διακόπτουμε τη λειτουργία του και διαπιστώνουμε ότι ο δίσκος έπειτα από 5 s εκτελεί 450 περιστροφές το λεπτό. Ο ρυθμός με τον οποίο μειώνεται η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου είναι σταθερός. α. Ποια είναι η γωνιακή επιβράδυνση του δίσκου και ποιος ο αριθμός των περιστροφών που εκτελεί αυτός στον παραπάνω χρόνο; β. Πόσος επιπλέον χρόνος απαιτείται μέχρι να ακινητοποιηθεί ο δίσκος; 3 º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Bã ÙfiÌÔ