ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ

Transcript

1 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ Οριζόντιος δίσκος ακτίνας R=0, στρέφεται γύρ από κατακόρυφο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του. Η ιακή ταχύτητα του δίσκου, µεταβάλλεται όπς στο επόµενο διάγραµµα: (0,0) t () - a) Ποια τα είδη της κίνησης που εκτελεί ο δίσκος στο χρονικό διάστηµα 0-8 ec ; Να σχεδιάσετε το διάγραµµα ιακής επιτάχυνσης-χρόνου α =f(t) στο παραπάν χρονικό διάστηµα. β) Ποια η ιακή µετατόπιση του δίσκου και πόσες συνολικά περιστροφές εκτελεί στο παραπάν χρονικό διάστηµα; γ) Τις χρονικές στιγµές t =, t =3, t 3 =5, t 4 =7 ποια η ιακή ταχύτητα του δίσκου; Ποιο το µέτρο της γραµµικής ταχύτητας, της κεντροµόλου και της επιτρόχιας επιτάχυνσης ενός σηµείου της περιφέρειας του δίσκου τις παραπάν χρονικές στιγµές; Να σχεδιάσετε κατάλληλα σχήµατα, ένα για κάθε χρονική στιγµή, όπου να φαίνονται τα παραπάν διανύσµατα. Θετική φορά περιστροφής θερείται η αντίθετη από τη φορά περιστροφής τν δεικτών του ρολογιού ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Υπολογίζουµε τη ιακή επιτάχυνση του δίσκου σε χρονικά διάστηµα όπου η γραφική παράσταση =f(t) έχει σταθερή κλίση. 0 π ( 0 π ) 0 Από 0-4 ec: a a π = = a = a 5 = π t 4 0 4

2 0 Από 4-8 ec: a a π = = a = a 5 = π t α (/^) 5π (0,0) t() -5π Εφόσον η ιακή επιτάχυνση έχει σταθερή τιµή σε συγκεκριµένα χρονικά διαστήµατα, η κίνηση στα χρονικά αυτά διαστήµατα είναι οµαλά µεταβαλλόµενη. Στα χρονικά διαστήµατα όπου οι αλγεβρικές τιµές της ιακής ταχύτητας και της ιακής επιτάχυνσης είναι οµόσηµες ( α >0) η κίνηση είναι επιταχυνόµενη, ενώ στα χρονικά διαστήµατα όπου οι αλγεβρικές τιµές της ιακής ταχύτητας και της ιακής επιτάχυνσης είναι ετερόσηµες ( α <0) η κίνηση είναι επιβραδυνόµενη. Από 0- ec: <0 και α >0, άρα η κίνηση είναι οµαλά επιβραδυνόµενη περιστροφική κατά την αρνητική φορά (οµόρροπα µε τη φορά περιστροφής τν δεικτών του ρολογιού) Από -4 ec: >0 και α >0, άρα η κίνηση είναι οµαλά επιταχυνόµενη περιστροφική κατά τη θετική φορά (αντίρροπα από τη φορά περιστροφής τν δεικτών του ρολογιού) Από 4-6 ec: >0 και α <0, άρα η κίνηση είναι οµαλά επιβραδυνόµενη περιστροφική κατά τη θετική φορά (αντίρροπα από τη φορά περιστροφής τν δεικτών του ρολογιού) Από 6-8 ec: <0 και α <0, άρα η κίνηση είναι οµαλά επιταχυνόµενη περιστροφική κατά την αρνητική φορά (οµόρροπα µε τη φορά περιστροφής τν δεικτών του ρολογιού) β) Η ιακή µετατόπιση Δφ υπολογίζεται:

3 i) είτε από το εµβαδό που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της ιακής ταχύτητας και τον άξονα του χρόνου, ii) είτε από τη σχέση Δφ= 0 Δt + ½ a Δt όπου 0 η ιακή ταχύτητα τη χρονική στιγµή που ξεκινά το χρονικό διάστηµα Δt. (0,0) t () - Έτσι λοιπόν έχουµε: 0 t : Δφ = ½ (-0) (-) = - ή ϕ = ( 0 π ) + 5π ϕ = ϕ Αριθµός περιστροφών: N = N π π t 4: Δφ = ½ (4-) = ή ϕ = 0+ 5 π (4 ) ϕ = ϕ Αριθµός περιστροφών: N = N π π 4 t 6: Δφ 3 = ½ (6-4) (-) = - ή ϕ3 = 0 π (6 4) + ( 5 π ) (6 4) ϕ3 = ϕ3 Αριθµός περιστροφών: N3 = N3 π π 3

4 6 t 8: Δφ 4 = ½ (8-6) (-) = - ή ϕ4 = 0 + ( 5 π ) (8 6) ϕ4 = ϕ4 Αριθµός περιστροφών: N4 = N4 π π Στο χρονικό διάστηµα 0-8 ec η ιακή µετατόπιση του δίσκου είναι: Δφ= Δφ + Δφ + Δφ 3 + Δφ 4 = 0 ενώ διαγράφει συνολικά Ν=0 περιστροφές (0 οµόρροπα και 0 αντίρροπα από τη φορά περιστροφής τν δεικτών του ρολογιού) γ) Η ιακή ταχύτητα υπολογίζεται από τη σχέση: = 0 + α Δt όπου 0 η ιακή ταχύτητα τη χρονική στιγµή που ξεκινά το χρονικό διάστηµα Δt. Για 0 t 4 ec: a 5 = π και 0 =- /. Για t = : = + 5 π ( 0) = 5π /. Για t = 3 : = + 5 π (3 0) = 5π / Τα µέτρα της γραµµικής ταχύτητας, της κεντροµόλου και της επιτρόχιας επιτάχυνσης ενός σηµείου της περιφέρειας δίνονται από τις σχέσεις: d dϕ υ = υ = R υ= R () dt dt υ = = () και R R dυ d( R) d aε = = = R aε = a R (3) dt dt dt Την t =: υ = R υ = 5π 0, = π και το διάνυσµα υ () () 5 0, 50 = R () θα έχει τη διεύθυνση της ακτίνας 4

5 aε () = 5π 0, = π και το διάνυσµα aε () και αφού η κίνηση εκείνη τη στιγµή είναι επιβραδυνόµενη, θα έχει αντίθετη φορά από τη γραµµική ταχύτητα υ Την t =3: υ = R υ = 5π 0, = π και το διάνυσµα υ () () 5 0, 50 = R () θα έχει τη διεύθυνση της ακτίνας aε () = 5π 0, = π και το διάνυσµα aε () και αφού η κίνηση εκείνη τη στιγµή είναι επιταχυνόµενη, θα έχει ίδια φορά µε τη γραµµική ταχύτητα υ t=3 α α κ α ε υ 5

6 Για 4 t 8 ec: a 5 = π και 0 = /. Για t 3 = 5 : 3 = 0 π + ( 5 π )(5 4) 3 = 5π /. Για t 4 = 7 : 4 = 0 π + ( 5 π )(7 4) = 5π / Την t 3 =5: υ3 = 3 R υ = 5π 0, = π και το διάνυσµα υ3 (3) 3 (3) 5 0, 50 = R (3) θα έχει τη διεύθυνση της ακτίνας aε (3) = 5π 0, = π και το διάνυσµα aε (3) και αφού η κίνηση εκείνη τη στιγµή είναι επιβραδυνόµενη, θα έχει αντίθετη φορά από τη γραµµική ταχύτητα υ3 t=5 α κ υ α ε α Την t 4 =7: υ4 = 4 R υ4 = 5π 0, = π και το διάνυσµα υ4 (4) 4 (4) 5 0, 50 = R (3) θα έχει τη διεύθυνση της ακτίνας 6

7 aε (4) = 5π 0, = π και το διάνυσµα aε (4) και αφού η κίνηση εκείνη τη στιγµή είναι επιταχυνόµενη, θα έχει ίδια φορά µε τη γραµµική ταχύτητα υ4 Θοδρής Παπασγουρίδης papagou@gail.co 7