12 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωμετρίας Θεσσαλονίκη, Μαΐου 2015 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ - ΠΕΡΙΛΗΨΕΙΣ PROGRAM - ABSTRACTS

Transcript

1

2 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Γεωμετρίας 12 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωμετρίας Θεσσαλονίκη, Μαΐου 2015 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ - ΠΕΡΙΛΗΨΕΙΣ PROGRAM - ABSTRACTS Θεσσαλονίκη 2015

3 Εκτύπωση / Printed by Εκδόσεις ΖΗΤΗ

4 ΟΡΓΑΝΩΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ / ORGANIZING COMMITTEE Ι. Καφφάς Κ. Παναγιωτίδου Δ. Παπαδοπούλου Ι.-Ι. Παπαδοπούλου Φ. Πεταλίδου Σ. Σταματάκης (Πρόεδρος) Γραμματειακή υποστήριξη: Μ. Τσιτσιλιάνου

5 ΧΟΡΗΓΟΙ / SPONSORS Πε ρ ι φ ε ρ ε ι α κ ή Υπ η ρ ε σ ί α Το υ ρ ι σ m ο ύ Κεντρικής Μακεδονίας

6 ΚΑΛΩΣΟΡΙΣΜΑ Αγαπητοί Σύνεδροι Με ιδιαίτερη χαρά σας καλωσορίζουμε στο 12 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωμετρίας, που πραγματοποιείται στο Τμήμα Μαθηματικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Οι στόχοι του Συνεδρίου είναι σαφείς: να παρουσιασθούν νέα επιστημονικά αποτελέσματα μέσω των οποίων θα αναδειχθεί η ερευνητική δραστηριότητα που υπάρχει στο ευρύ πεδίο της Γεωμετρίας, καθώς και οι αλληλοεπιδράσεις αυτής με άλλους κλάδους των Μαθηματικών και γενικότερα των Θετικών Επιστημών. Αλλά όχι μόνον αυτό: μας δίνεται η ευκαιρία να συναντήσουμε επιστήμονες, τους οποίους διαφορετικά γνωρίζουμε μόνο από τις δημοσιεύσεις τους, και να αναπτύξουμε ευκολότερα σχέσεις συνεργασίας. Ασφαλώς, η άρτια διοργάνωση ενός Συνεδρίου παίζει σπουδαίο ρόλο, όμως η δική σας ενεργός συμμετοχή είναι ο πιο σημαντικός παράγοντας για την επιτυχία του. Επιθυμούμε να εκφράσουμε και από τη θέση αυτή τις θερμές ευχαριστίες μας προς όλους εκείνους, που με τις ευγενικές χορηγίες τους ενίσχυσαν οικονομικά ή με άλλο τρόπο το 12 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωμετρίας. Στις δύσκολες μέρες που βρίσκεται η πατρίδα μας, οι χορηγίες αυτές αποτελούν δείγμα γενναιόδωρου φρονήματος και μήνυμα κατανόησης της κοινωνικής ευθύνης προς εκείνους που μπορούν να προσφέρουν. Επίσης, ευχαριστούμε θερμά τους διακεκριμένους συναδέλφους, οι οποίοι αποδέχθηκαν την πρόσκλησή μας να συμμετάσχουν ως κύριοι ομιλητές στο Συνέδριο, όλους τους Συνέδρους για τη συμμετοχή τους. Ευχόμαστε σε όλους σας δημιουργική συμμετοχή στο Συνέδριο και ευχάριστη διαμονή. Η Οργανωτική Επιτροπή

7 WELCOME Dear colleagues and participants It is with great pleasure that we welcome you to the 12th Panhellenic Geometry Conference which is taking place at the Department of Mathematics of Aristotle University in Thessaloniki. The great objective of this conference is clear: To present new scientific results which will bear testament to the rich scientific activity that exists within the field of Geometry, as well as the mutual influences of this field with other branches of Mathematics and sciences in general. Furthermore, we have the opportunity to get to know scientists whom we only know by their publications and to develop new relations and colaborations. It is true that the successful organization of a conference plays a significant role. It is, however, truer that your participation plays the most crucial part in its success. We would like to take this opportunity to express our deepest appreciation and gratitude towards all those that have sponsored financially or have helped otherwise the realization of the 12th Panhellenic Geometry Conference. In the difficult and challenging times that our country is currently going through, sponsors such as these become a powerful message of the presence of a generous spirit and of the understanding of the social responsibility by the ones that are still able to offer. We would also like to thank, our distinguished colleagues who accepted our invitation to participate as the main speakers, as well as all the participants. We wish you all a productive conference and a pleasant stay. The Organizing Committee

8 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ / PROGRAM 08:30-09:45 Παραλαβή συνεδριακού υλικού 09:45-10:10 Έναρξη Συνεδρίου - Χαιρετισμοί ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 29 ΜΑΪΟΥ Αίθουσα Α31 πρώτου ορόφου Προεδρία: Ν. Κ. Στεφανίδης 10:10-10:55 H. Martini: Αποτελέσματα και Προβλήματα από τη Γεωμετρία του Minkowski Results and Problems from Minkowski Geometry 11:00-11:45 P. Xu: Συμπλεκτικές υλοποιήσεις πολλαπλοτήτων Poisson Symplectic realizations of Poisson manifolds 11:45-12:10 Διάλειμμα - Καφές / Coffee Break Προεδρία: Β. Παπαντωνίου 12:10-12:30 Α. Αρβανιτογεώργος: Δυναμική μελέτη της κανονικοποιημένης ροής Ricci σε ομογενείς χώρους The normalized Ricci flow on some homogeneous spaces under a dynamical point of view 12:30-12:50 Α. Σάββας-Χαλιλάι: Ροή μέσης καμπυλότητας και ισοτοπία απεικονίσεων μεταξύ πολυπτυγμάτων Riemann Mean curvature flow and isotopy of maps between Riemannian manifolds 12:50-13:10 Π. Γιαννιώτης: Η ροή Ricci σε πολλαπλότητες με σύνορο The Ricci flow on manifolds with boundary 13:10-13:20 Διάλειμμα / Break 7 Προεδρία: Ε. Βασιλείου 13:20-13:40 Π. Μπατακίδης: Η κλάση Atiyah συζυγών ζευγών από το διαφορικό του Fedosov The Atiyah class of matched pairs from the Fedosov differential 13:40-14:00 J. Voglaire: Αναλλοίωτες συνδέσεις και το Θεώρημα PBW για ζεύγη ομαδοειδών Lie Invariant connections and PBW theorem for Lie groupoid pairs 14:00-16:30 Γεύμα / Lunch Πρόγραμμα / Program

9 ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 29 ΜΑΪΟΥ Αίθουσα Α31 πρώτου ορόφου Προεδρία: Θ. Κουφογιώργος 16:30-16:50 Γ. Σουρής: Γεωδαισιακές καμπύλες σε ομογενείς χώρους μέσω υπεμβαπτίσεων Riemann Geodesics in homogeneous spaces under Riemannian submersions 16:55-17:15 Μ. Σταθά: Μη φυσικά αναγωγικές μετρικές Einstein σε συμπαγείς ομάδες Lie Einstein metrics on compact Lie groups which are not naturally reductive 17:20-17:40 M. Langford: Μία ταυτότητα τύπου Simons για εμφυτευμένες υπερεπιφάνειες και μερικές εφαρμογές A Simons-type identity for embedded hypersurfaces and some applications 17:40-18:05 Διάλειμμα - Καφές / Coffee Break 8 Προεδρία: Α. Κοτσιώλης 18:05-18:25 Θ. Μπουρνή: Θεωρήματα κανονικότητας του Allard Allard's regularity theorems 18:30-18:50 Ν. Λαμπρόπουλος: Διπλά βέλτιστη ομογενής ανισότητα Sobolev με ίχνος σε ένα στερεό τόρο Doubly optimal homogeneous trace Sobolev inequality in a solid torus 18:55-19:15 Χ. Ζαμπάρας: Εκτιμήσεις πυκνότητας για ισομεταβλητές λύσεις της εξίσωσης Allen-Cahn Density Estimates for Equivariant Solutions of the Allen-Cahn Equation 12 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωμετρίας Θεσσαλονίκη, Μαΐου 2015

10 ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 29 ΜΑΪΟΥ Αίθουσα Μ2 τρίτου ορόφου Προεδρία: Χ. Χαρίτος 16:30-16:50 Γ. Γαλάνης: Information Geometry και εφαρμογές σε τεχνικές βελτιστοποίησης αριθμητικών μοντέλων πρόγνωσης περιβαλλοντικών παραμέτρων Information Geometry and applications to optimization techniques for numerical environmental models 16:55-17:15 Π. Δόσπρα: Ένας χαρακτηρισμός των καμπυλών με μη-πρωτογενή Πυθαγόρεια οδογραφήματα A characterization of non-primitive Pythagorean hodograph curves 17:20-17:40 Φ. Τραυλοπάνος: Μεταβολή της ομοπαραλληλικής συνοχής στην κινηματική υπερεπιφανειών Variation of the affine connection in the kinematics of hypersurfaces 17:40-18:05 Διάλειμμα - Καφές / Coffee Break Προεδρία: Γ. Τσαπόγας 18:05-18:25 Ι. Πλατής: Υπερβολική oμάδα Heisenberg Hyperbolic Heisenberg group 18:30-18:50 Π. Σπηλιώτη: Ruelle και Selberg zeta συναρτήσεις σε συμπαγείς υπερβολικές πολλαπλότητες περιττής διάστασης Ruelle and Selberg zeta functions on compact hyperbolic odd dimensional manifolds 18:55-19:15 Α. Φωτιάδης: Η ανισότητα του Πτολεμαίου σε H-τύπου ομάδες The Ptolemaean inequality in H-type groups 9 Πρόγραμμα / Program

11 ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΜΑΪΟΥ Αίθουσα Μ2 τρίτου ορόφου Προεδρία: Γ. Στάμου 09:30-10:15 H. Stachel: Ισοσεβιανά σημεία και ισοσεβιανά στροφοειδή Equicevian Points and Equicevian Strophoids 10:20-11:05 J. Pérez: Παράγωγοι των πραγματικών υπερεπιφανειών πολλαπλοτήτων Kähler Derivatives on real hypersurfaces of some Kähler manifolds 11:05-11:30 Διάλειμμα - Καφές / Coffee Break Προεδρία: Π. Δαμιανού 11:30-11:50 Θ. Βλάχος: Ψευδολόμορφες καμπύλες στην S 6 και τα οκτώνια Pseudoholomorphic Curves in S 6 and the Octonions 11:50-12:10 Ν. Γεωργίου: Ελαχιστικές επιφάνειες στο γινόμενο ψευδο-riemannian πολλαπλοτήτων Minimal surfaces in the product of pseudo-riemannian two manifolds 12:10-12:30 Ε. Μουτάφη: Συνθήκες καμπυλότητας σε (κ, μ, ν)-πολλαπλότητες επαφής Curvature conditions of (κ, μ, ν)-contact manifolds 12:30-12:40 Διάλειμμα / Break 10 Προεδρία: Φ. Ξένος 12:40-13:00 Γ. Καϊμακάμης: Νέα είδη Ricci σολιτονίων των πραγματικών υπερεπιφανειών σε μη- Ευκλείδειους μιγαδικούς χώρους μορφής New types of Ricci solitons of real hypersurfaces in non-flat complex space forms 13:00-13:20 Θ. Θεοφανίδης: Πραγματικές υπερεπιφάνειες μη ευκλείδειων μιγαδικών χώρων μορφής, με γενικευμένο ξ-παράλληλο τελεστή δομής του Jacobi Real hypersurfaces of non-flat complex space forms with generalized ξ-parallel Jacobi structure operator 13:20-13:40 Κ. Παναγιωτίδου: Τελεστές Jacobi των πραγματικών υπερεπιφανειών στον υπερβολικό χώρο των μιγαδικών 2-πλαισίων Grassmann Jacobi operators of real hypersurfaces in complex hyperbolic two-plane Grassmannians 13:40-16:00 Γεύμα / Lunch 12 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωμετρίας Θεσσαλονίκη, Μαΐου 2015

12 Προεδρία: Ι. Πλατής 16:00-16:20 Ε. Βασιλείου: Γεωμετρία Fréchet μέσω προβολικών ορίων Fréchet Geometry via Projective limits 16:20-16:40 Γ. Τσαπόγας: Επί της γεωδαισιακής ροής σε Ευκλείδειες επιφάνειες με κωνικές ανωμαλίες On the geodesic flow of Euclidean surfaces with conical singularities 16:40-17:00 Ι. Παπαδοπεράκης: Ευκλείδειες επιφάνειες με κωνικές ανωμαλίες Euclidean surfaces with conical singularities 17:00-17:25 Διάλειμμα - Καφές / Coffee Break Προεδρία: Θ. Βλάχος 17:25-17:45 Ι. Καφφάς: Υπερεπιφάνειες του χώρου E n+1 εφοδιασμένες με σχετικές καθετοποιήσεις Laplace Hypersurfaces in the Euclidean space E n+1 equipped with relative Laplacenormalizations 17:45-18:05 Ι. -Ι. Παπαδοπούλου: Κεντρικές, πολικές και γραμμικές σχετικές καθετοποιήσεις ευθειογενών επιφανειών του Ευκλείδειου χώρου E 3 Central, polar and linear relative normalizations of ruled surfaces in the Euclidean space E 3 18:05-18:25 Ι. Ανδρουλιδάκης: Κ-θεωρητικοί υπολογισμοί για φυλλώδεις δομές με ιδιομορφίες K-theory calculation for singular foliations 18:30 Συμπεράσματα Συζήτηση Προγραμματισμός του 13 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Γεωμετρίας 11 21:00 Δεiπνο / Dinner Το Δείπνο προς τιμή των Συνέδρων θα δοθεί στην ψαροταβέρνα «Θερμαϊκός» της Νέας Κρήνης (Θέτιδος 29). Η μετάβαση και η επιστροφή θα γίνει με πούλμαν με ώρα αναχώρησης στις 21:00 από το ξενοδοχείο ABC. The Dinner in honour of the Participants is going to be held in the fish tavern Thermaikos in Nea Krini (Thetidos str. 29). Free bus transportation will be provided. The bus is going to depart from the hotel ABC at 21:00. Πρόγραμμα / Program

13 ΚΥΡΙΑΚΗ, 31 ΜΑΪΟΥ Eκδρομή / Excursion Ημερήσια εκδρομή στον Αρχαιολογικό χώρο του Δίου (με ξενάγηση) και στον Παλαιό Παντελεήμονα Πιερίας. Η αναχώρηση θα γίνει από το ξενοδοχείο ABC στις 09:00. Daily excursion to the archaeological site of Dion (conducted tour) and to Paleos Panteleimonas of Pieria. The bus is going to depart from the hotel ABC at 09: ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωμετρίας Θεσσαλονίκη, Μαΐου 2015

14 ΠΕΡΙΛΗΨΕΙΣ Langford Mat (Freie Universität Berlin) Μία ταυτότητα τύπου Simons για εμφυτευμένες υπερεπιφάνειες και μερικές εφαρμογές Δοθείσας μίας εμφυτευμένης υπερεπιφάνειας M R n του Ευκλείδειου χώρου (ή M N K ενός χώρου μορφών N K ), εισάγουμε μία βαθμωτή αναλλοίωτη ποσότητα k επί της M η οποία περιέχει χρήσιμες πληροφορίες περί της εμφύτευσής της. Θα α- ποδείξουμε ότι η k ικανοποιεί μία ταυτότητα τύπου Simons (υπό μία ασθενή έννοια) και θα δούμε πως αυτή η ταυτότητα σχετίζεται με το Θεώρημα του Alexandrov, με τη μη-collapsing εκτίμηση της ροής μέσης καμπυλότητας του Andrews, και με την επίλυση της εικασίας του Lawson από τον Brendle, πριν αποδείξουμε ένα νέο αποτέλεσμα (κοινό με Θ. Μπουρνή) περί των σχεδόν CMC υπερεπιφανειών. 13 Martini Horst (TU Chemnitz) Αποτελέσματα και Προβλήματα από τη Γεωμετρία του Minkowski Η γεωμετρία των νορμικών χώρων ή των χώρων Minkowski (δηλ. των πραγματικών χώρων Banach πεπερασμένης διάστασης) μπορεί να θεωρηθεί ως μια επέκταση της Κλασικής Κυρτότητας (αφού η μοναδιαία μπάλα μπορεί να είναι ένα αυθαίρετο κυρτό σώμα με κέντρο την αρχή) και ως «υποπερίπτωση» της Γεωμετρίας του Finsler (από τοπική σκοπιά) και της Θεωρίας των πραγματικών χώρων Banach (μόνον πεπερασμένης διάστασης). Οι αξιωματικές θεμελιώσεις αναπτύχθηκαν από τον H. Minkowski πριν από εκατό και πλέον χρόνια, και το μεγαλύτερο μέρος των αποτελεσμάτων που έχουν αποδειχτεί ως τώρα (και συνδέονται με τα ονόματα των H. Busemann, M. M. Day, J. J. Schaeffer, H. Guggenheimer, B. Gruenbaum, V. Klee και πολλών άλλων) είχε εν μέρει συστηματοποιηθεί στη βιβλιογραφία. Σύγχρονες εξελίξεις δείχνουν πόσο παραγωγικά Περιλήψεις

15 14 το πεδίο αυτό αρχίζει να συνδυάζεται με άλλα σύγχρονα πεδία, όπως η Διακριτή Διαφορική Γεωμετρία, η Υπολογιστική Γεωμετρία και η Διακριτή Γεωμετρία, αλλά επίσης μέσω νέων τρόπων και με πιο παραδοσιακούς κλάδους όπως (βεβαίως) η Συναρτησιακή Ανάλυση, η Θεωρία Προσεγγίσεων, η Κυρτότητα, η Κλασική Διαφορική Γεωμετρία, ακόμη και η Στοιχειώδης Γεωμετρία, και άλλους. Μετά από κάποιο εισαγωγικό τμήμα, θα παρουσιάσουμε παραδείγματα μερικών από αυτές τις σύγχρονες εξελίξεις. Οι εξελίξεις αυτές αναφέρονται στα ακόλουθα επιμέρους πεδία: 1) Κυρτότητα σε χώρους Minkowski Θα επικεντρωθούμε σε ειδικές κλάσεις κυρτών σωμάτων, π.χ. σωμάτων σταθερού πλάτους. Γνωστές γενικεύσεις αυτών είναι οι κλάσεις των πλήρων σωμάτων (κάθε γνήσιο υπερσύνολο ενός πλήρους σώματος έχει μεγαλύτερη διάμετρο) και περιορισμένων σωμάτων (κάθε κυρτό υποσύνολο ενός περιορισμένου σώματος έχει μικρότερο ελάχιστο πλάτος). Προκύπτει, ότι είναι πολύ δυσκολότερο να χειριστούμε τη γεωμετρία των περιορισμένων και των πλήρων σωμάτων στους χώρους Minkowski σε σχέση με την Ευκλείδεια υποπερίπτωση. 2) Διακριτή Γεωμετρία σε χώρους Minkowski Επεκτείνουμε το περίφημο πρόβλημα των Fermat-Torricelli από την Ευκλείδεια υ- ποπερίπτωση σε χώρους Minkowski. Αποδεικνύεται πώς ακριβώς η γεωμετρία της μοναδιαίας μπάλας επηρεάζει τη γεωμετρία του συνόλου των λύσεων αυτού του κλασικού προβλήματος θέσεως. Επίσης παρουσιάζουμε αποτελέσματα, που σχετίζονται με το πρόβλημα καθολικής κάλυψης του Lebesgue. 3) Κλασικές καμπύλες σε επίπεδα του Minkowski Εδώ θα ασχοληθούμε με τη γεωμετρία των πολυεστιακών ελλείψεων και των καμπυλών του Cassini σε νορμικά επίπεδα. Μερικά από αυτά τα αποτελέσματα έχουν στο μεταξύ επεκταθεί σε επίπεδα των οποίων η κυρτή μοναδιαία μπάλα δεν είναι απαραίτητα κεντρικά συμμετρική (gauges). 4) Στοιχειώδης Γεωμετρία σε σταθμικά επίπεδα Θα ασχοληθούμε με τη γεωμετρία των εγγεγραμμένων, των περιγεγραμμένων και των παρεγγεγραμμένων κύκλων τριγώνων σε νορμικά επίπεδα ειδικότερα θα γενικευθεί το θεώρημα των τριών κύκλων του Titeica και το θεώρημα του Miquel για σταθμικά επίπεδα. Βασιζόμενοι σ αυτό, θα αποδείξουμε, ότι ο κύκλος του Feuerbach δεν είναι πλέον κύκλος εννέα σημείων, αλλά μόνο κύκλος έξι σημείων σε γενικευμένα νορμικά επίπεδα. Pérez Juan de Dios (Universidad de Granada) Παράγωγοι των πραγματικών υπερεπιφανειών πολλαπλοτήτων Kähler Σε μια πραγματική υπερεπιφάνεια M μιας Kähler πολλαπλότητας μπορούμε να θεωρήσουμε τη Levi-Civita σύνδεση και για κάθε μη μηδενικό σταθερό αριθμό k την αντίστοιχη γενικευμένη σύνδεση Tanaka-Webster. Ετσι λοιπόν, στην πραγματική υπερεπιφάνεια M έχουμε τις συναλλοίωτες παραγώγους και τις αντίστοιχες Lie παραγώγους ως προς αυτές τις δύο συνδέσεις. Μελετούμε τις παραπάνω παραγώγους του τελεστή 12 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωμετρίας 2 Θεσσαλονίκη, Μαΐου 2015

16 σχήματος ή του τελεστή δομής Jacobi των πραγματικών υπερεπιφανειών M, όταν ο περιβάλλων χώρος είναι είτε ο προβολικός μιγαδικός χώρος ή ο χώρος των μιγαδικών 2-πλαισίων Grassmannian. Stachel Hellmuth (TU Wien) Ισοσεβιανά σημεία και ισοσεβιανά στροφοειδή Ενα σημείο P του επιπέδου δοθέντος τριγώνου ονομάζεται ισοσεβιανό, όταν τα μήκη των τριών σεβιανών, που διέρχονται από το P, είναι ίσα. Τα ισοσεβιανά σημεία, που κείνται εκτός του τριγώνου, ονομάζονται γνήσια. Τα σημεία αυτά μπορούν να βρεθούν με χρήση τριών κυβικών καμπυλών, που ονομάζονται ισοσεβιανές κυβικές. Θα αποδείχθεί, ότι στο Ευκλείδειο επίπεδο τα γνήσια ισοσεβιανά σημεία είναι τα πραγματικά και τα φανταστικά εστιακά σημεία της περιγεγραμμένης έλλειψης του Steiner. Οι ισοσεβιανές κυβικές είναι στροφοειδή, δηλαδή κυκλικές των οποίων οι εφαπτόμενες είναι κάθετες στον κόμβο τους. Η διάλεξη κλείνει με την αναφορά γεωμετρικών προβλημάτων όπου εμφανίζονται στροφοειδή ως γεωμετρικός τόπος. Voglair Yannick (Université du Luxembourg) Αναλλοίωτες συνδέσεις και το Θεώρημα PBW για ζεύγη ομαδοειδών Lie (Κοινή εργασία με τον C. Laurent-Gengoux) Για δοθέν κλειστό ευρύ υποομαδοειδές Lie A ενός ομαδοειδούς Lie L, δηλ. για ένα ζεύγος ομαδοειδών Lie, θα εξηγήσουμε πως η επισυναπτόμενη κλάση Atiyah είναι το εμπόδιο για την ύπαρξη ινωδών αφφινικών συνδέσεων επί του ομογενούς χώρου L/A. Για τα ζεύγη ομαδοειδών Lie με μηδενιζόμενη κλάση Atiyah θα αποδείξουμε ότι η αριστερή A-δράση επί του χώρου πηλίκου L/A μπορεί να γραμμικοποιηθεί και να δώσει μία εναλλακτική απόδειξη του αποτελέσματος του Calaque περί της Poincaré Birkhoff Witt (PBW) απεικονίσεως για ζεύγη ομαδοειδών Lie με μηδενιζόμενη κλάση Atiyah. 15 Xu Ping (Penn State University) Συμπλεκτικές υλοποιήσεις πολλαπλοτήτων Poisson Οι αγκύλες Poisson εισήχθησαν στις αρχές του 19 oυ αιώνα προκειμένου να παρέχουν ένα πλαίσιο μελέτης προβλημάτων της Κλασικής Μηχανικής. Η Γεωμετρία Poisson άρχισε να εξελίσσεται σε ένα ξεχωριστό κλάδο των Μαθηματικών από τη δεκαετία του 1960, με εφαρμογές που αφορούν διάφορες πτυχές της Φυσικής, καθώς και άλλους κλάδους των Μαθηματικών, όπως θεωρία αναπαραστάσεων και ολοκληρώσιμα συστήματα. Σε αυτή την ομιλία θα συζητήσουμε το πρόβλημα της συμπλεκτικής υλοποίησης των πολλαπλοτήτων Poisson, ένα κλασικό πρόβλημα που ανάγεται στον S. Lie. Περιλήψεις

17 Ανδρουλιδάκης Ιάκωβος (Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών) K-θεωρητικοί υπολογισμοί για φυλλώδεις δομές με ιδιομορφίες Υπολογίζουμε τις ομάδες K-θεωρίας για τις φυλλώδεις δομές που προκύπτουν από τη δράση ενός διανυσματικού πεδίου, της ομάδας SO(3) και της ομάδας SL(2, R). Αυτοί οι υπολογισμοί δείχνουν ότι η κατάλληλη στρατηγική για τη διατύπωση της εικασίας Baum-Connes για φυλλώδεις δομές με ιδιομορφίες είναι η κατανόηση της συνδυαστικής οργάνωσης των φύλλων στην περιβάλλουσα πολλαπλότητα. Δίνουμε τη γεωμετρική κατασκευή μιας τηλεσκοπικής C -άλγεβρας που καταγράφει αυτές τις πληροφορίες και είναι K-ισοδύναμη με τη C -άλγεβρα της φυλλώδους δομής. Θα συζητήσουμε γιατί αυτή η κατασκευή είναι κατάλληλη για τη διαμόρφωση της εικασίας Baum-Connes για κάθε φυλλώδη δομή με ιδιομορφίες. Αρβανιτογεώργος Ανδρέας (Πανεπιστήμιο Πατρών) Δυναμική μελέτη της κανονικοποιημένης ροής Ricci σε ομογενείς χώρους 16 Η ομιλία αφορά την παρουσίαση κάποιων πρόσφατων αποτελεσμάτων σχετικά με την μελέτη της κανονικοποιημένης ροής Ricci στους γενικευμένους χώρους Wallach G/H. Οι χώροι αυτοί ταξινομήθηκαν πλήρως μόλις πρόσφατα από τον Yu. G. Nikonorov (2014) και ανεξάρτητα από τους Z. Chen, Y. Kang, K. Liang (2014). Για έναν γενικευμένο χώρο Wallach εφοδιασμένο με μια G-αναλλοίωτη μετρική, η κανονικοποιημένη ροή Ricci ανάγεται σε ένα σύστημα τριών συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Ο όγκος V της G-αναλλοίωτης μετρικής αποτελεί ένα πρώτο ολοκλήρωμα του συστήματος αυτού, οπότε επί της επιφάνειας V 1, το σύστημα αυτό ανάγεται σε ένα σύστημα από δύο διαφορικές εξισώσεις. Τα ιδιάζοντα σημεία του συστήματος αυτού είναι ακριβώς οι αναλλοίωτες μετρικές Einstein στους γενικευμένους χώρους Wallach, οι οποίες είχαν μελετηθεί από τους E. V. Firsov, A. M. Lomshakov, Yu. G. Nikonorov (2004). Στην παρούσα ομιλία θα παρουσιάσω κάποια αποτελέσματα από κοινή εργασία με τους Abiev, Nikonorov, Siasos (2014), όπου μελετήσαμε τα ιδιάζοντα σημεία του συστήματος της κανονικοποιημένης ροής Ricci (ως μετρικές Einstein στους γενικευμένους χώρους Wallach). Στην μελέτη μας αυτή, είχαμε αφήσει ανοικτά κάποια δύσκολα προβήματα (π.χ. τοπολογικές ιδιότητες αλγεβρικής επιφάνειας), τα οποία πρόσφατα λύθηκαν από τον N. A. Abiev (2014) και τους A. B. Batkhin, A. D. Bruno (2015). Θα παρουσιάσω μερικές νέες κατευθύνσεις και προβληματισμούς έρευνας στο θέμα αυτό. Βασιλείου Ευστάθιος (Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών) Γεωμετρία Fréchet μέσω προβολικών ορίων Οι πολλαπότητες και νηματικές δέσμες με μοντέλα χώρους Banach έχουν αναπτυχθεί 12 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωμετρίας 4 Θεσσαλονίκη, Μαΐου 2015

18 από τη δεκαετία του Ομως, σε πολλές σημαντικές περιπτώσεις, στη γεωμετρία και τη φυσική, χρειάζεται να θεωρήσουμε μοντέλα Fréchet. Παρ όλο που τα τελευταία φαίνονται να είναι πολύ κοντά στους χώρους Banach, έχουν πολλές κρίσιμες ανεπάρκειες, π.χ. δεν διαθέτουν γενική θεωρία επίλυσης διαφορικών εξισώσεων, ο χώρος των γραμμικών ισομορφισμών δεν έχει μια λογική δομή ομάδας Lie κλπ. Η κατάσταση γίνεται ακόμη πιο περίπλοκη όταν θεωρούμε πολλαπλότητες με μοντέλα χώρους Fréchet. Θεμελειώδη εργαλεία, όπως η εκθετική απεικόνιση μιας ομάδας Lie-Fréchet, μπορεί να μην υπάρχουν. Επιπλέον δυσκολίες εμφανίζονται όταν θεωρούμε Fréchet (νηματικές) δέσμες, με σκοπό την αναπτύξη μιας θεωρίας συνοχών. Η δομική ομάδα τέτοιων δεσμών δεν είναι ομάδα Lie, οι παράλληλες μετατοπίσεις μπορεί να μην ορίζονται κ.ο.κ. Πολλές από τις αδυναμίες του πλαισίου Fréchet μπορούν να ξεπεραστούν αν δούμε, υπό κατάλληλες συνθήκες, τα γεωμετρικά αντικείμενα ως προβολικά όρια αντιστοίχων Banach ομολόγων τους. Ετσι, αντικαθιστούμε διάφορες παθολογικές δομές, όπως τη δομική ομάδα μιας νηματικής δέσμης Fréchet, διάφορους χώρους γραμμικών απεικονίσεων, τις δέσμες πλαισίων, τις συνοχές σε πρωτεύουσες και διανυσματικές δέσμες κλπ., με κατάλληλες οντότητες, οι οποίες υπόκεινται στη διαδικασία του προβολικού ορίου. Με αυτόν τον τρόπο, πολλά κλασικά αποτελέσματα επεκτείνονται στη Γεωμετρία Fréchet. Βλάχος Θεόδωρος (Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων) Ψευδολόμορφες καμπύλες στην S 6 και τα οκτώνια (Κοινή εργασία με τον J.-H. Eschenburg) Ο πολλαπλασιασμός της άλγεβρας των οκτωνίων στον R 7 επάγει μια σχεδόν Kähler δομή στη σφαίρα S 6. Οι ψευδολόμορφες καμπύλες ως προς αυτή τη δομή είναι σύμμορφες ελαχιστικές εμβαπτίσεις, στην πραγματικότητα είναι υπερσύμμορφες (όλα τα διαφορικά του Hopf είναι μηδέν, εκτός του τελευταίου). Δίνουμε μια εναλλακτική απόδειξη ε- νός θεωρήματος του Hashimoto δίνοντας έσωθεν χαρακτηρισμούς των ψευδολόμορφων καμπυλών. Εστιάζουμε σε αυτές που είναι υπερελαχιστικές καθώς και σε αυτές που περιέχονται σε μια μέγιστη σφαίρα S 5. Εισάγουμε μια νέα μέθοδο η οποία κάνει χρήση της κανονικής συνοχής για τη G 2 δομή στην S 6, με αποτέλεσμα να μειώνεται αισθητά το πλήθος των ολοκληρωτικών συνθηκών. 17 Γαλάνης Γεώργιος (Σχολή Ναυτικών Δοκίμων) Information Geometry και εφαρμογές σε τεχνικές βελτιστοποίησης αριθμητικών μοντέλων πρόγνωσης περιβαλλοντικών παραμέτρων Τεχνικές και μεθοδολογίες της Διαφορικής Γεωμετρίας, προερχόμενες ιδιαίτερα από τον κλάδο της Information Geometry, θα συζητηθούν σε αυτήν την παρουσίαση για την εκτίμηση των αποστάσεων μεταξύ μεγάλων συνόλων δεδομένων που εμφανίζονται και Περιλήψεις

19 χρησιμοποιούνται στην πρόγνωση περιβαλλοντικών παραμέτρων και σε δραστηριότητες σχετικές με ανανεώσιμες πηγές ενέργειας. Πιο συγκεκριμένα, θα οριστούν οι στατιστικές πολλαπλότητες που σχηματίζονται από δεδομένα μετεωρολογικών προγνώσεων και αντίστοιχων παρατηρήσεων, θα αναπτυχθεί το κατάλληλο γεωμετρικό πλαίσιο και θα χρησιμοποιηθούν οι σχετικές γεωδαισιακές καμπύλες για την βέλτιστη εκτίμηση των σφαλμάτων που εμφανίζονται σε τοπικές προγνώσεις. Τα αποτελέσματα της παραπάνω προσέγγισης χρησιμοποιούνται για την ανάπτυξη νέων τεχνικών βελτιστοποίησης περιβαλλοντικών προγνώσεων: Φίλτρα Kalman υποστηριζόμενα από τις τεχνικές της Information Geometry δίνουν μια εξαιρετική λύση για τη διόρθωση των αποτελεσμάτων μεγάλων προγνωστικών συστημάτων και μετεωρολογικών μοντέλων κάνοντας ένα βήμα μπροστά από τα συνήθως χρησιμοποιούμενα εργαλεία που υιοθετούν κλασικές τεχνικές ελαχίστων τετραγώνων. Γεωργίου Νίκος (Federal University of the Amazon) Ελαχιστικές επιφάνειες στο γινόμενο ψευδο-riemannian πολλαπλοτήτων 18 Σε αυτήν την ομιλία θα ορίσουμε, πρώτα, συγκεκριμένες (para-) Kähler δομές στο γινόμενο (Σ 1 Σ 2,g 1 + g 2 ), όπου (Σ 1,g 1 ) και (Σ 2,g 2 ) είναι δύο διδιάστατες ψευδο- Riemannian πολλαπλότητες. Εν συνεχεία, θα επικεντρώσουμε την προσοχή μας στη θεωρία επιφανειών της Σ 1 Σ 2 και θα δώσουμε μία ταξινόμηση όλων των Lagrangian επιφανειών της Σ 1 Σ 2 όταν οι Gaussian καμπυλότητες των g 1 και g 2 ικανοποιούν μία συνθήκη. Τέλος, θα παρουσιάσουμε μερικά πρόσφατα αποτελέσματα που αφορούν τις ελαχιστικές επιφάνειες των πολλαπλοτήτων Σ Σ, όπου Σ είναι ένας διδιάστατος χώρος μορφών, των οποίων η (para-) Kähler δομή (που θα περιγράψουμε στην αρχή της ομιλίας μας) είναι ουδέτερη. Γιαννιώτης Παναγιώτης (University College London) Η ροή Ricci σε πολλαπλότητες με σύνορο Η ροή Ricci είναι μία γεωμετρική ροή στην οποία μία μονοπαραμετρική οικογένεια μετρικών Riemann μεταβάλλεται προς τη διεύθυνση της καμπυλότητας Ricci. Διαισθητικά, μπορεί να θεωρηθεί ως το ανάλογο της εξίσωσης της θερμότητας για μετρικές Riemann και η προσδοκία είναι ότι μπορεί να μετασχηματίσει μια δοσμένη μετρική Riemann σε μία με καλύτερες ιδιότητες. Αν και στη μελέτη της ροής Ricci σε πλήρεις πολλαπλότητες έχει σημειωθεί σημαντική πρόοδος, η συμπεριφορά της σε πολλαπλότητες με σύνορο παραμένει μυστήριο. Σε αυτήν την ομιλία θα κάνουμε μια ανασκόπηση της ιστορίας του προβλήματος και θα παρουσιάσουμε μερικά νέα αποτελέσματα σχετικά με τις κατάλληλες συνοριακές 12 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωμετρίας 6 Θεσσαλονίκη, Μαΐου 2015

20 συνθήκες που εξασφαλίζουν την ύπαρξη και μοναδικότητα της ροής για μικρό χρόνο. Δόσπρα Πετρούλα (Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών) Ενας χαρακτηρισμός των καμπυλών με μη-πρωτογενή Πυθάγορεια οδογραφήματα Το οδογράφημα μίας παραμετρικής χωροκαμπύλης r(t) =(x(t),y(t),z(t)) είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ορίζεται από την παράγωγο r (t) =(x (t),y (t),z (t)). Καμπύλες με Πυθαγόρεια οδογραφήματα οι οποίες χαρακτηρίζονται από την ιδιότητα ό- τι r (t) είναι μία πολυωνυμική συνάρτηση αποτελούν ενεργή ερευνητική περιοχή της Υπολογιστικής Γεωμετρίας. Ενα Πυθαγόρειο οδογράφημα r (t) είναι δυνατόν να οριστεί από ένα πολυώνυμο A(t) με συντελεστές στην τετραδική άλγεβρα. Το οδογράφημα αυτό καλείται πρωτογενές αν ισχύει gcd(x (t),y (t),z (t))=1και μη-πρωτογενές στην αντίθετη περίπτωση. Οι καμπύλες με πρωτογενή Πυθαγόρεια οδογραφήματα είναι προτιμότερες στις εφαρμογές, καθώς τέτοιες καμπύλες δεν έχουν ανώμαλα σημεία, δηλαδή ισχύει r (t) =0για κάθε t. Σε αυτή την ομιλία θα παρουσιάσουμε μία ικανή και αναγκαία συνθήκη για να έχει μία ομαλή καμπύλη ένα μη-πρωτογενές οδογράφημα. Πιο συγκεκριμένα, αποδεικνύουμε ότι μία καμπύλη έχει αυτή την ιδιότητα αν και μόνον αν ορίζεται από ένα πολυώνυμο A(t) το οποίο έχει ένα δεξί μιγαδικό παράγωγο και παρουσιάζουμε αυτή την συνθήκη χρησιμοποιώντας πίνακες του Bézout. Επίσης, δίνουμε και μερικά παραδείγματα. 19 Ζαμπάρας Χριστόφορος (Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εκτιμήσεις πυκνότητας για ισομεταβλητές λύσεις της εξίσωσης Allen Cahn Η ομιλία αφορά την επέκταση των εκτιμήσεων πυκνότητας των Caffarelli Córdoba στη διανυσματική και ισομεταβλητή περίπτωση ομοιόμορφα φραγμένων λύσεων της εξίσωσης Allen Cahn (phase transition model) u W u (u) =0, της οποίας το δυναμικό W είναι αναλλοίωτο ως προς τη δράση μίας ομάδας Coxeter. Το αποτέλεσμα, του οποίου η απόδειξη κάνει χρήση μεθόδων της Γεωμετρικής Θεωρίας Μέτρου, αφορά την ισχύ των ενεργειακών εκτιμήσεων του συναρτησοειδούς της Allen Cahn ενέργειας, της οποίας η αρχική εξίσωση είναι η αντίστοιχη εξίσωση Euler Lagrange. Η μελέτη των ανωτέρω πραγματοποιείται στα πλαίσια ολοκλήρωσης μεταπτυχιακής εργασίας υπό την επίβλεψη του καθηγητή Ν. Αλικάκου. Περιλήψεις

21 Θεοφανίδης Θεοχάρης (Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης) Πραγματικές υπερεπιφάνειες μη ευκλείδειων μιγαδικών χώρων μορφής, με γενικευμένο ξ παράλληλο τελεστή δομής του Jacobi Μία n-διάστατη πολλαπλότητα Kähler, σταθερής ολομορφικής τμηματικής καμπυλότητας c, καλείται μιγαδικός χώρος μορφής και συμβολίζεται ως M n (c). Ενας πλήρης και απλά συνεκτικός μιγαδικός χώρος μορφής είναι: 1) ένας προβολικός χώρος CP n, αν c>0, 2) ένας υπερβολικός χώρος CH n, αν c<0, 3) ένας ευκλείδειος χώρος C n, αν c =0. Η επαγόμενη μετρική δομή σχεδόν επαφής επί μίας πραγματικής υπερεπιφάνειας M του M n (c) συμβολίζεται ως (φ,ξ,η,g). Συμβολίζουμε με l τον τελεστή δομής του Jacobi: lx = R(X, ξ)ξ και ταξινομούμε τις πραγματικές υπερεπιφάνειες M που ικανοποιούν τις συνθήκες: α) la = Al, περιορισμένη στην υποδέσμη D = ker(η) της TM, όπου ker(η) αποτελείται από όλα τα ορθογώνια ως προς το ξ διανσυματικά πεδία επί της M, και β) ( ξ l)x = ω(x)ξ + ψ(x)lx, όπου ω(x),ψ(x) είναι 1-μορφές. Η συνθήκη (β) είναι γενικότερη από την συνθήκη ξ l =0που έχει χρησιμοποιηθεί ως τώρα. Αποδεικνύεται το παρακάτω θεώρημα: Εστω M μια πραγματική υπερεπιφάνεια ενός μιγαδικού χώρου μορφής M n (c), n > 2 και c = 0, που ικανοποιεί τις lax = AlX, για κάθε τομή X της D, και ( ξ l)x = ω(x)ξ + ψ(x)lx, για κάθε διανυσματικό πεδίο X επί της M, όπου ω(x), ψ(x) είναι 1-μορφές. Τότε, η M είναι υπερεπιφάνεια Hopf. Αν, επιπλέον, ισχύει η(aξ) = 0, τότε, η M είναι τύπου A. 20 Καϊμακάμης Γεώργιος (Στρατιωτική Σχολή Ευελπίδων) Νέα είδη Ricci σολιτονίων των πραγματικών υπερεπιφανειών σε μη- Ευκλείδειους μιγαδικούς χώρους μορφής (Κοινή εργασία με τους J. D. Pérez και Κ. Παναγιωτίδου) Στην παρούσα ομιλία παρουσιάζονται αποτελέσματα που σχετίζονται με τις πραγματικές υπερεπιφάνειας σε μη ευκλείδειους μιγαδικούς χώρους μορφής και τα Ricci σολιτόνια αυτών. Πιο συγκεκριμένα, θα παρουσιαστούν δυο νέες μορφές Ricci σολιτονίων: α) *-Ricci σολιτόνια και β) Ricci σολιτόνια ως προς τη γενικευμένη σύνδεση Tanaka- Webster, που ορίζεται στις πραγματικές υπερεπιφάνειες σε μη ευκλείδειους μιγαδικούς χώρους μορφής. Στη συνέχεια θα εξαταστεί ποιες από τις γνωστές πραγματικές υπερεπιφάνειες δέχονται τα παραπάνω είδη σολιτονίων ([1], [2]). Αναφορές [1] G. Kaimakamis and K. Panagiotidou: *-Ricci solitons of real hypersurfaces in non-flat complex space forms, J. Geom. and Phys. 86, (2014). [2] G. Kaimakamis, K. Panagiotidou and J. D. Pérez: New types of Ricci solitons of real hypersurfaces in non-flat complex space forms in terms of generalized Tanaka-Webster connection. (Work in progress) 12 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωμετρίας 8 Θεσσαλονίκη, Μαΐου 2015

22 Καφφάς Ιωάννης (Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης) Υπερεπιφάνειες του χώρου E n+1 εφοδιασμένες με σχετικές καθετοποιήσεις Laplace (Κοινή εργασία με τον Στ. Σταματάκη) Η ομιλία αναφέρεται σε υπερεπιφάνειες του Ευκλείδειου χώρου E n+1 (n 2) με καμπυλότητα του Gauss διάφορη του μηδενός, οι οποίες είναι σχετικά καθετοποιημένες. Ο E. Heil [1] εισήγαγε την έννοια της καθέτου του Laplace μιας σχετικά καθετοποιημένης υπερεπιφάνειας (Φ, y 0 ) και απέδειξε ότι οι κάθετοι του Laplace είναι σχετικές κάθετοι της Φ και προσδιόρισε τις αντίστοιχες σχετικές καθετοποιήσεις. Στην ομιλία αυτή μελετούμε αρχικά διάφορες ιδιότητες αυτών των καθετοποιήσεων, τις οποίες ονομάζουμε πρώτες σχετικές καθετοποιήσεις του Laplace της Φ ως προς την y 0. Στο εξής υποθέτουμε αφενός ότι n 3 και αφετέρου ότι η αρχική καθετοποίηση y 0 δεν είναι ομοιόθετη προς την ισοαφφινική καθετοποίηση της Φ. Στη συνέχεια ορίζουμε τις ν-οστές σχετικές καθετοποιήσεις του Laplace y ν της Φ ως προς την y 0, για ν =2, 3,..., ως τις πρώτες σχετικές καθετοποιήσεις του Laplace της Φ ως προς την y ν 1. Εκλέγουμε μια τυχαία ν-οστή σχετική καθετοποίηση του Laplace y ν, ν =1, 2,..., και ονομάζουμε την ακολουθία L := ( y ν ) ν N μια ακολουθία σχετικών καθετοποιήσεων του Laplace της Φ ως προς την y 0. Βασιζόμενοι σε αποτελέσματα του άρθρου [3] εκφράζουμε τα σχετικά μεγέθη μιας τυχαίας καθετοποίησης y ν Lσυναρτήσει εκείνων της y 0 και αποδεικνύουμε το κεντρικό αποτέλεσμα της ομιλίας: Κάθε ακολουθία σχετικών καθετοποιήσεων του Laplace της Φ συγκλίνει στην ισοαφφινική καθετοποίηση της Φ. Με ανάλογο τρόπο ορίζουμε στο τελευταίο μέρος της ομιλίας τις προηγούμενες ακολουθίες του Laplace της Φ και αποδεικνύουμε ότι αυτές δεν συγκλίνουν. Αναφορές [1] Heil, E.: Relative and affine normals, Results Math, 13 (1988), [2] Stamatakis, S. and Kaffas I.: On the Laplace-sequence of relative normalizations of hypersurfaces in the Euclidean space R n+1. Will appear in J. Geom. [3] Stamatakis, S., Kaffas I. and Papadopoulou, I.-I.: Characterizations of ruled surfaces in R 3 and of hyperquadrics in R n+1 via relative geometric invariants, J. Geom. Graph, 18 (2014), Λαμπρόπουλος Νίκος (Πανεπιστήμιο Πατρών) Διπλά βέλτιστη ομογενής ανισότητα Sobolev με ίχνος σε ένα στερεό τόρο (Κοινή εργασία με τον Αθ. Κοτσιώλη) Οι ανισότητες Sobolev είναι από τις πιο σημαντικές ανισότητες της συναρτησιακής α- νάλυσης, λόγω της πολύ ενδιαφέρουσας αυτόνομης ύπαρξής τους, αλλά και λόγω της ισχυρής σύνδεσης τους με την επιλυσιμότητα ενός μεγάλου αριθμού μη-γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων. Εκφράζουν ολοκληρωσιμότητα και/ή κανονικότητα μιας συνάρτησης f υπό όρους ολοκληρωσιμότητας των μερικών παραγώγων της f. Στο πρώτο μέρος της διάλεξης, θα παράσχουμε μια ανασκόπηση της ιστορίας και Περιλήψεις 9

23 της εξέλιξης των ανισοτήτων τύπου Sobolev, παρουσιάζοντας τα πιο ενδιαφέροντα παραδείγματα και θα συζητήσουμε τον κρίσιμο ρόλο της γεωμετρίας στον καθορισμό των βέλτιστων σταθερών. Στο δεύτερο μέρος, αξιοποιώντας τη συμμετρία που παρουσιάζει ο στερεός τόρος, θα μελετήσουμε το πρόβλημα του προσδιορισμού των βέλτιστων σταθερών για την διπλά ομογενή ανισότητα Sobolev με σύνορο. Μουτάφη Ευαγγελία (Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης) Συνθήκες καμπυλότητας σε (κ, µ, ν)-πολλαπλότητες επαφής (Κοινή εργασία με την Φ. Γουλή-Ανδρέου) Σε μία (κ, µ, ν)-μετρική πολλαπλότητα επαφής M 3 (η,ξ,φ,g) ο τανυστής καμπυλότητας ικανοποιεί, για κάθε ζεύγος (X, Y ) λείων διανυσματικών πεδίων επί της M, τη συνθήκη R(X, Y )ξ = κ(η(y )X η(x)y )+µ(η(y )hx η(x)hy ) ν(η(y )φhx η(x)φhy ), όπου h = 1 2 ( ξφ) και κ, µ, ν είναι λείες συναρτήσεις επί της M 3. Ταξινομούμε τέτοιες πολλαπλότητες στις ακόλουθες περιπτώσεις: α) Εάν ο τανυστής καμπυλότητάς της ικανοποιεί τη συνθήκη R(Y,ξ) C =0(C είναι ο τανυστής Weyl για τρισδιάστατες πολλαπλότητες). β) Εάν l =0(l = R(,ξ)ξ είναι ο τελεστής Jacobi). 22 γ) Εάν οι πολλαπλότητες είναι φ-recurrent (κ, µ, ν)-μετρικές πολλαπλότητες επαφής, δηλαδή, εάν υπάρχει μία μη-μηδενική 1-μορφή A τέτοια ώστε, για όλα τα εφαπτόμενα διανυσματικά πεδία X,Y,Z,W επί της M, να ισχύει: φ 2 (( W R)(X, Y )Z) = A(W )R(X, Y )Z και A(X) =g(x, ρ), όπου ρ είναι το προσαρτημένο διανυσματικό πεδίο στην A μέσω της g. Η θεωρούμενη κλάση πολλαπλοτήτων εισήχθη από τις συγγραφείς επεκτείνοντας τον κατά Takahashi ορισμό των τοπικά φ- συμμετρικών Sasakian πολλαπλοτήτων. Μπατακίδης Παναγιώτης (Penn State University) Η κλάση Atiyah συζυγών ζευγών από το διαφορικό του Fedosov (Κοινή εργασία με τον P. Xu) Ενα αλγεβροειδές Lie είναι μία διανυσματική δέσμη L πάνω σε μία λεία πολλαπλότητα M εφοδιασμένη με μια δομή που γενικεύει ταυτόχρονα τις άλγεβρες Lie και τις εφαπτόμενες δέσμες. Αν A είναι ένα υποαλγεβροειδές Lie του L, τότε το ζεύγος (L, A) καλείται ζεύγος Lie, π.χ. το ζεύγος (TM,D) της εφαπτόμενης δέσμης TM και μίας ολοκληρώσιμης κατανομής D της M συνιστούν ζεύγος Lie. Ορίζοντας κατάλληλα τις συνοχές L, A και L/A επί των L, A και L/A, αντίστοιχα, μελετούμε τις συνοχές 12 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωμετρίας 10 Θεσσαλονίκη, Μαΐου 2015

24 επί του L που είναι συμβατές με την A. Εστω E μία διανυσματική δέσμη επί της M που είναι A-πρότυπο ως προς την A-συνοχή A επί της E. Το αντικείμενο της παρούσας ομιλίας είναι η μελέτη της κλάσης Atiyah α E της E που εισήχθη στο [2]. Η α E μας πληροφορεί εάν υπάρχει μία L-συνοχή επί του E συμβατή με την A. Η κλάση Atiyah γενικεύει την κλάση Molino των φυλλώσεων, την κλάση Bott της T M/D, την κλάση Dolbeault των ολόμορφων διανυσματικών πεδίων και έχει, ήδη, χρησιμοποιηθεί για τη μελέτη των βαρών Rozansky-Witten [4], των πολλαπλοτήτων Kapranov [3], και τη γεωμετρική πλευρά του ισομορφισμού Duflo [1]. Μια ιδιαιτέρως ενδιαφέρουσα οικογένεια ζευγών Lie είναι τα συζυγή ζεύγη. Παραδείγματα τέτοιων ζευγών είναι το ζεύγος (TX C,T (0,1) X), όπου X είναι μία μιγαδική πολλαπλότητα, το ζεύγος δύο εγκάρσιων φυλλώσεων επί της M, διασπάσεις της εφαπτόμενης δέσμης μιας ομάδας Poisson-Lie και αμφιαλγεβρών Lie. Αποδεικνύουμε ότι, εάν E = L/A και έχουμε ένα συζυγές ζεύγος, τότε η κλάση Atiyah προέρχεται από τη Lie διαφόριση μιας συνοχής επί μίας κατάλληλης φύλλωσης ως προς το διαφορικό του Fedosov. Αναφορές [1] D. Calaque, C. Rossi, Lectures on Duflo isomorphisms in Lie algebra and complex geometry, EMS Series of Lectures in Mathematics 14 (2011). [2] Z. Chen, M. Stiénon and P. Xu, From Atiyah Classes to Homotopy Leibniz Algebras, arxiv: [3] C. Laurent-Gengoux, M. Stiénon and P. Xu, Kapranov dg-manifolds and PBW isomorphisms, arxiv: [4] Y. Voglaire, P. Xu, Rozansky-Witten-type invariants from symplectic Lie pairs, arxiv: Μπουρνή Θεοδώρα (Freie Universität Berlin) Θεωρήματα κανονικότητας του Allard (Κοινή εργασία με τον A. Volkmann) Το 1972, ο Allard απέδειξε ένα αξιόλογο θεώρημα κανονικότητας για k-varifolds V του R n+k. Αντικαθιστώντας το varifold με μία λεία πολλαπλότητα M, το θεώρημά του μας λέει ότι, εάν η μέση καμπυλότητα της M είναι στοιχείο του χώρου L p (H k ), p>k, και εάν το εμβαδόν της M B 1 (0) είναι αρκετά κοντά σε αυτό της μοναδιαίας k-διάστατης μπάλλας, τότε, M B 1/2 (0) είναι το γράφημα μίας C 1,α συνάρτησης με εκτιμήσεις, όπου α =1 k/p. Αργότερα, το 1975, ο Allard απέδειξε ότι αυτό το αποτέλεσμα κανονικότητας μπορεί να επεκταθεί σε k-varifolds με C 1,1 σύνορο. Σε αυτήν την ομιλία θα παρουσιάσουμε τα θεωρήματα κανονικότητας του Allard καθώς και κάποιες πρόσφατες επεκτάσεις τους. Δηλαδή, ότι το συνοριακό θεώρημα κανονικότητας του Allard μπορεί να επεκταθεί για C 1,α σύνορα και ότι το εσωτερικό θεώρημα κανονικότητάς του αληθεύει για rectifiable n-διάστατα varifolds V, υποθέτοντας μία ασθενέστερη συνθήκη για την πρώτη μεταβολή (ακριβέστερα, χωρίς να υποθέσουμε τη φραγμότητα της πρώτης μεταβολής.) Περιλήψεις 11

25 Παναγιωτίδου Κωνσταντίνα (Στρατιωτική Σχολή Ευελπίδων) Τελεστές Jacobi των πραγματικών υπερεπιφανειών στον υπερβολικό χώρο των μιγαδικών 2-πλαισίων Grassmann (Κοινή εργασία με τον J. D. Pérez) Οι πραγματικές υπερεπιφάνειες τόσο στους μιγαδικούς χώρους μορφής, όσο και στο χώρο των μιγαδικών 2-πλαισίων Grassmann, έχουν μελετηθεί όταν οι τελεστές Jacobi αυτών ικανοποιούν διάφορες γεωμετρικές συνθήκες, όπως συνθήκες παραλληλίας, αντιμετάθεσης με άλλους τελεστές των πραγματικών υπερεπιφανειών, κ.α. Στην παρούσα ομιλία, αρχικά θα οριστούν τα είδη των τελεστών Jacobi των πραγματικών υπερεπιφανειών στον υπερβολικό χώρο των μιγαδικών 2-πλαισίων Grassmann. Στη συνέχεια, θα παρουσιαστούν αποτελέσματα που έχουν προκύψει από τη μελέτη των παραπάνω υπερεπιφανειών, όταν οι τελεστές Jacobi αυτών ικανοποιούν διάφορες συνθήκες παραλληλίας. Παπαδοπεράκης Ιωάννης (Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών) Ευκλείδειες επιφάνειες με κωνικές ανωμαλίες 24 Εστω S συμπαγής επιφάνεια με Ευκλείδεια μετρική με κωνικές ανωμαλίες. Δείχνουμε τα εξής: α) Αν S είναι κλειστή, τότε το σύνολο των κλειστών γεωδαισιακών είναι πυκνό στο χώρο των γεωδαισιακών της S. β) Εστω ότι η S είναι επιφάνεια γένους 1, με μία συνεκτική συνιστώσα και μία κωνική ανωμαλία. Τότε, η γεωμετρία της S καθορίζεται απο τα μήκη κλειστών γεωδαισιακών. Παπαδοπούλου Ιωάννα- Ιρις (Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης) Κεντρικές, πολικές και γραμμικές σχετικές καθετοποιήσεις ευθειογενών επιφανειών του Ευκλείδειου χώρου E 3 (Κοινή εργασία με τον Στ. Σταματάκη) Η ομιλία αναφέρεται σε σχετικά καθετοποιημένες στρεβλές ευθειογενείς επιφάνειες του τριδιάστατου Ευκλείδειου χώρου E 3. Οταν δοθεί μια ευθειογενής επιφάνεια Φ, βρίσκουμε τις σχετικές καθετοποιήσεις, οι οποίες έχουν μια από τις παρακάτω ιδιότητες: α) οι σχετικές κάθετοι της Φ κείνται πάνω στο αντίστοιχο κεντρικό επίπεδο της Φ, ή β) οι σχετικές κάθετοι της Φ κείνται πάνω στο αντίστοιχο πολικό επίπεδο της Φ, ή γ) η σχετική εικόνα της Φ είναι επίσης ευθειογενής επιφάνεια, της οποίας οι γενέτειρες είναι παράλληλες σε εκείνες της Φ. Τις σχετικές καθετοποιήσεις που προκύπτουν τις ονομάζουμε αντίστοιχα κεντρικές, πολικές και γραμμικές. Ακολουθεί η εύρεση ιδιοτήτων των καθετοποιήσεων αυτών. Κλείνοντας, προσδιορίζουμε όλες τις ευθειογενείς επιφάνειες και τις σχετικές τους καθετοποίησεις οι οποίες είναι τέτοιες, ώστε η Φ να είναι γνήσια ή μη γνήσια σχετική σφαίρα ή η σχετική της εικόνα να είναι καμπύλη. 12 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωμετρίας 12 Θεσσαλονίκη, Μαΐου 2015

26 Πλατής Ιωάννης (Πανεπιστήμιο Κρήτης) Υπερβολική ομάδα Heisenberg Η συνήθης ομάδα Heisenberg H είναι το C R με έναν πολλαπλασιασμό που το τρέπει σε μία μηδενοδύναμη ομάδα 2-βημάτων. Στη μελέτη των οιονεί συμμόρφων απεικονίσεων εντός αυτού του πλαισίου, παρουσιάζονται συχνά απεικονίσεις που διατηρούν τον κατακόρυφο άξονα V = {0} R. Τούτες είναι συγκρίσιμες με τις συνήθεις οιονεί σύμμορφες απεικονίσεις του μιγαδικού επιπέδου που διατηρούν την πραγματική ευθεία. Συνεπώς, είναι φυσιολογικό να ρωτήσουμε εάν υπάρχει δομή της H = C R, δηλαδή της H εκτός του άξονα V, που να έχει ίδιο ενδιαφέρον. Προκύπτει ότι όντως έτσι είναι και στην ομιλία αυτή θα περιγράψουμε κάποιες από τις ιδιότητες της H. Μεταξύ άλλων θα δείξουμε: 1. Υπάρχει πολλαπλασιασμός ομάδων με τον οποίο η H είναι μία 3-διάστατη ομάδα Lie (όχι Lie υποομάδα της H και όχι μηδενοδύναμη). 2. Υπάρχει μετρική Riemann στην H με αυτή τη μετρική, η H είναι ισόμορφη με τη μοναδιαία εφαπτόμενη δέσμη του υπερβολικού επιπέδου. 3. Οι μορφισμοί επαφής της H περιορισμένοι στην H έχουν μία επιπρόσθετη ειδική ιδιότητα. Σάββας - Χαλιλάι Ανδρέας (Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων) Ροή μέσης καμπυλότητας και ισοτοπία απεικονίσεων μεταξύ πολυπτυγμάτων Riemann (Κοινή εργασία με τον K. Smoczyk) 25 Εστω f μια λεία απεικόνιση μεταξύ δύο πολυπτυγμάτων Riemann M και N. ΟMichael Gromov διατύπωσε το πρόβλημα κατά ποσο οι Ιακωβιανές της f ελέγχουν τον ομοτοπικό τύπο της. Προσεγγίζουμε αυτό το πρόβλημα παραμορφώνοντας την f και μεταβάλλοντας δια της ροής μέσης καμπυλότητας το γράφημά της στο πολύπτυγμα γινόμενο M N. Πιο συγκεκριμένα, δείχνουμε ότι, έαν η f συστέλλει τα διδιάστατα εμβαδά, τότε, κάτω από φυσιολογικές γεωμετρικές υποθέσεις, η ροή μέσης καμπυλότητας παράγει μια διαφορίσιμη παραμόρφωση της f σε μια σταθερή ή μία ελαχιστική απεικόνιση. Σουρής Νικόλαος Παναγιώτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Γεωδαισιακές καμπύλες σε ομογενείς χώρους μέσω υπεμβαπτίσεων Riemann Ενας χώρος γεωδαισιακών τροχιών (geodesic orbits space ή g.o. space) είναι μια ο- μογενής πολλαπλότητα Riemann (G/K, g) τέτοια ώστε κάθε γεωδαισιακή γ αυτής να αποτελεί τροχιά μιας μονοπαραμετρικής υποομάδας της ομάδας Lie G, δηλαδή γ(t) = Περιλήψεις

27 26 exp(tx) o, ως προς την μεταβατική δράση της G στη G/K. Οι χώροι με την παραπάνω ιδιότητα αποτελούν μια μεγάλη κλάση ομογενών χώρων που περιλαμβάνει τους συμμετρικούς χώρους εφοδιασμένους με την κανονική μετρική, τους φυσικά α- ναγωγικούς ομογενείς χώρους, καθώς επίσης και τις ομάδες Lie εφοδιασμένες με μια αμφιαναλλοίωτη μετρική. Στην παρούσα ομιλία θα ασχοληθούμε με ομογενείς χώρους Riemann οι γεωδαισιακές των οποίων έχουν τη μορφή γ(t) = exp(tx) exp(ty ) o, δηλαδή είναι τροχιές γινομένου δύο εκθετικών παραγόντων, συνεπώς αποτελούν μια φυσική γενίκευση των χώρων γεωδαισιακών τροχιών. Η παραπάνω ιδιότητα προκύπτει αν θεωρήσουμε μια ειδική κλάση μετρικών ως προς κάθε ομογενή νηματοποίηση του G/K. Θεωρούμε έναν ομογενή χώρο G/K, με G συμπαγή και G, K συνεκτικές ομάδες Lie, και την διάσπαση g = k m των αντίστοιχων αλγεβρών Lie, όπου ο χώρος m ταυτίζεται κατά φυσικό τρόπο με τον εφαπτόμενο χώρο T o (G/K). Επιλέγουμε μια άλγεβρα Lie h τέτοια ώστε k h g. Προκύπτει η ομογενής νηματοποίηση π : G/K G/H με νήμα H/K όπου H είναι μια συνεκτική υποομάδα Lie της G με άλγεβρα h. Τότε έχουμε τη διάσπαση m = m 1 m 2, όπου οι υπόχωροι m 1 και m 2 ταυτίζονται με τους χώρους T o (G/K) και T o (H/K), αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι η άλγεβρα g δέχεται ένα Ad-αναλλοίωτο εσωτερικό γινόμενο B και θεωρούμε την G-αναλλοίωτη μετρική g της πολλαπλότητας G/K που αντιστοιχεί στο εσωτερικό γινόμενο g o = B m1 + cb m2, c>0, του m. Τότε, η παραπάνω νηματοποίηση είναι μια υπεμβάπτιση Riemann με ολικώς γεωδαισιακά νήματα. Αποδεικνύουμε ότι οι γεωδαισιακές του (G/K, g) έχουν τη μορφή γ(t) = exp(tx)exp(ty ) o. Συγκεκριμένα, κάθε πολλαπλότητα σημαιών M δέχεται μια τέτοιου είδους μετρική ως προς τη νηματοποίηση συστροφής αυτής πάνω σε ένα συμμετρικό χώρο. Ενα τυπικό παράδειγμα είναι και οι γενικευμένοι χώροι Wallach, όπως για παράδειγμα η πολλαπλότητα SO(k 1 + k 2 + k 3 )/SO(k 1 ) SO(k 2 ) SO(k 3 ). Σπηλιώτη Πολυξένη (Univeristät Bonn) Ruelle και Selberg zeta συναρτήσεις σε συμπαγείς υπερβολικές πολλαπλότητες περιττής διάστασης Σε αυτή την ομιλία θα παρουσιάσουμε μερικά πρόσφατα αποτελέσματα για τις Ruelle και Selberg zeta συναρτήσεις επί συμπαγών προσανατολισμένων υπερβολικών πολλαπλοτήτων X περιττής διάστασης d. Αυτές είναι δυναμικές συναρτήσεις που σχετίζονται με τη γεωδαιτική ροή στη σφαιρική δέσμη S(X) και συνδέονται, κατά φυσικό τρόπο, με υπερβολικά δυναμικά συστήματα. Θεωρούμε G = Spin(d, 1), K = Spin(d) και Γ μια διακριτή υποομάδα της G, έτσι ώστε X = Γ \ G/K να είναι μία συμπαγής υπερβολική πολλαπλότητα. Θεωρούμε, επίσης, την Iwasawa ανάλυση G = KAN της G και M = Centr K (A). Ορίζουμε τις δυναμικές συναρτήσεις S(s; σ, χ) (Selberg zeta function) και R(s; σ, χ) (Ruelle zeta function) σε σχέση με συγκεκριμένες αναπαραστάσεις χ και σ των υποομάδων Γ και M, αντίστοιχα, και αποδεικνύουμε ότι συγκλίνουν σε ένα ημιεπίπεδο του μιγαδικού επιπέδου. Επιπρόσθετα, αποδεικνύουμε ότι υπάρχει αναλυτική συνέχιση αυτών των 12 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωμετρίας 14 Θεσσαλονίκη, Μαΐου 2015

28 συναρτήσεων καθώς και συναρτησιακές εξισώσεις για αυτές. Σταθά Μαρίνα (Πανεπιστήμιο Πατρών) Μη φυσικά αναγωγικές μετρικές Einstein σε συμπαγείς ομάδες Lie Μια πολλαπλότητα Riemann (M,g) λέγεται Einstein εάν ο τανυστής Ricci Ric(g) της μετρικής g ικανοποιεί την εξίσωση Ric(g) =λg, λ R. Ο Jensen (1971) απέδειξε την ύπαρξη αριστερά αναλλοίωτων μετρικών Einstein σε συμπαγείς ομάδες Lie. Γενικά, οι αριστερά αναλλοίωτες μετρικές σε συμπαγείς ομάδες Lie δεν έχουν μελετηθεί επαρκώς. Ακόμα και όταν η διάσταση της ομάδας Lie είναι μικρή, για παράδειγμα στις ομάδες SU(3) και SU(2) SU(2), ο αριθμός τέτοιων μετρικών είναι άγνωστος. Στην εργασία των J. E. D Arti και W. Ziller: Naturally reductive metrics and Einstein metrics on compact Lie groups, Memoirs Amer. Math. Soc. 19 (215) (1979), δίνεται περιγραφή ενός αρκετά μεγάλου πλήθους από αριστερά αναλλοίωτες μετρικές Einstein οι οποίες είναι φυσικά αναγωγικές. Το πρόβλημα της εύρεσης αριστερά αναλλοίωτων μετρικών Einstein οι οποίες δεν είναι φυσικά αναγωγικές είναι αρκετά δύσκολο και αυτό τονίζεται από τους παραπάνω συγγραφείς. Ο K. Mori (1996) βρήκε μετρικές Einstein στην ομάδα Lie SU(n) για n > 5, οι οποίες δεν είναι φυσικά αναγωγικές, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των υπεμβαπτίσεων Riemann. Αργότερα, οι A. Arvanitoyeorgos, K. Mori και Y. Sakane (2012) απέδειξαν την ύπαρξη μετρικών οι οποίες δεν είναι φυσικά αναγωγικές στις συμπαγείς ομάδες Lie SO(n) (n 11), Sp(n) (n 3), E 6, E 7 και E 8. Τέλος, οι Z. Chen και K. Liang (2014) βασιζόμενοι στη θεωρία αναπαραστάσεων των συμπαγών και απλών ομάδων Lie βρήκαν στην ομάδα Lie F 4 τρείς φυσικά αναγωγικές μετρικές Einstein και μία μετρική Einstein η οποία δεν είναι φυσικά αναγωγική. Στην παρούσα εργασία αποδεικνύουμε την ύπαρξη νέων αριστερά αναλλοίωτων μετρικών Einstein στις συμπαγείς ομάδες Lie G {SO(n), Sp(m)} για n 7 και m 3, οι οποίες δεν είναι φυσικά αναγωγικές. Η παρουσίαση βασίζεται σε κοινές εργασίες με τους Α. Αρβανιτογεώργο και Y. Sakane. 27 Τραυλοπάνος Φώτιος (Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο) Μεταβολή της ομοπαραλληλικής συνοχής στην κινηματική υπερεπιφανειών (Κοινή εργασία με τον Ν. Καδιανάκη) Οι ομοπαραλληλικοί μετασχηματισμοί χρησιμοποιούνται ως βασικά παραδείγματα στην μηχανική του παραμορφωσίμου 3 διάστατου συνεχούς (ομογενείς παραμορφώσεις). Διατηρούν την παραλληλία και ενίοτε χρησιμοποιούνται ως προσεγγίσεις σε γενικούς μετασχηματισμούς - παραμορφώσεις. Οταν το παραμορφούμενο σώμα είναι μία μεμβράνη, ένα κέλυφος ή μία διεπιφάνεια, τα οποία περιγράφονται από μία επιφάνεια, η παραλληλία ορίζεται μέσω της συναλλοιώτου παραγώγου ή συνοχής της επιφάνειας. Στην παρούσα εργασία μελετώνται απειροστικώς ομοπαραλληλικές, χρονικά εξαρτώμενες, παραμορφώ- Περιλήψεις

29 σεις, έχοντας προσδιορίσει τύπους για την μεταβολή της συνοχής, εντός του ευρύτερου πλαισίου υπερεπιφανειών πολλαπλοτήτων Riemann. Αποδεικνύονται ισοδύναμοι τύποι οι οποίοι εκφράζουν τη μεταβολή της συνοχής είτε με τη χρήση γεωμετρικών ποσοτήτων συνδεόμενων με τη μεταβολή της μετρικής, είτε μέσω ποσοτήτων της μηχανικής σχετιζομένων με την κινηματική του συνεχούς. Η εισαγωγή των κινηματικών ποσοτήτων επιτυγχάνεται με τη χρήση μίας προσαρμοσμένης εκδοχής του θεωρήματος πολικής αναλύσεως, το οποίο χρησιμοποιείται συχνά στη μηχανική προκειμένου να αναλυθεί η κίνηση. Τα ανωτέρω αποτελέσματα εφαρμόζονται στις ειδικές περιπτώσεις της εφαπτομενικής και καθετικής κινήσεως. Προσδιορίζουμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες έτσι ώστε η εν λόγω μεταβολή να μηδενίζεται (απειροστικώς ομοπαραλληλικές κινήσεις - infinitesimally affine motions), λαμβάνοντας πληροφορίες για τη μορφή κινήσεων αλλά και υπερεπιφανειών οι οποίες επιτρέπουν τέτοιες κινήσεις. Τέλος, μελετώνται κάποια συγκεκριμένα παραδείγματα μηχανικού ενδιαφέροντος, τα οποία μας παρέχουν απειροστικά ομοπαραλληλικές κινήσεις οι οποίες δεν είναι απειροστικά ισομετρικές. Τσαπόγας Γεώργιος (Πανεπιστήμιο Αιγαίου) Επί της γεωδαισιακής ροής σε Ευκλείδειες επιφάνειες με κωνικές ανωμαλίες (Κοινή εργασία με τους Χ. Χαρίτο και Ι. Παπαδοπεράκη) 28 Εστω S κλειστή επιφάνεια γένους g 1 με πεπερασμένες το πλήθος κωνικές ανωμαλίες γωνίας > 2π. Με χρήση προσφάτων αποτελεσμάτων που αφορούν την απόσταση μίας μη κλειστής γεωδαισιακής από το σύνολο των κωνικών ανωμαλιών, αποδεικνύουμε ότι η γεωδαισιακή ροή στην S είναι τοπολογικά μεταβατική και σύμμεικτη. Φωτιάδης Ανέστης (Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης) Η ανισότητα του Πτολεμαίου σε H-τύπου ομάδες Αποδεικνύουμε την ανισότητα του Πτολεμαίου και το Θεώρημα του Πτολεμαίου στο πλαίσιο των H-τύπου ομάδων Iwasawa. 12 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωμετρίας 16 Θεσσαλονίκη, Μαΐου 2015