π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση.

Transcript

1 3 Παράρτημα 2 Παρατηρήσεις, ασκήσεις και Διορθώσεις Παράγραφος ) Σελίδα, : Παρατηρούμε τα ακόλουθα για το χώρο πηλίκο / Y : Y = / Y και (α) { } (β) = Y / Y { } Επίσης από τον τύπο () έπεται ιδιαίτερα ότι : x x, x 2) Σελίδα 2 Το θεώρημα 5 και το Λήμμα 3 είναι καλύτερα να συγχωνευθούν στο ακόλουθο, Θεώρημα: Έστω χώρος με νόρμα, Y κλειστός υπόχωρος του και π : / Y η κανονική απεικόνιση τότε έχουμε: ) π ( x) x, x και άρα π Ιδιαίτερα η π είναι συνεχής π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση 2) ( ) / Y 3) Αν Y, τότε π = Παρατηρούμε ότι, αν υποθέσουμε ότι ο είναι χώρος Baach τότε από το θεώρημα και ο / Y θα είναι χώρος Baach και συνεπώς ο ισχυρισμός (2) είναι συνέπεια (και) του θεωρήματος ανοικτής απεικόνισης 3)Σελίδα, 4, γραμμή -5 Διορθώστε σε «z / Y με z =» 4)Σελίδα 7: B Γραμμή, Συμπληρώστε σε, «Έστω z i, από την παρατήρηση 9 (β)» x i Γραμμή, -6 Διορθώστε σε «Πράγματι, αν ε > τότε υπάρχει λ > µ k +» 5)Σελίδα, 9: Γραμμές 3, 6, 9, αντικατάστησε το T με το F k : < ε Αν 2 k 6) Γραμμή, 3, αντικατάστησε, «ο T είναι φραγμένος» με το «ο F είναι φραγμένος» Δεύτερη απόδειξη του ισχυρισμού ΙΙΙ ( Ο F είναι φραγμένος με F = T )

2 32 ( ) sup ( ) T = sup T x = F x+ KerT = ( με χρήση του λήμματος 3) x+ KerT < x < x < ( ) = sup F x+ KerT = F Σημειώνουμε ότι η απόδειξη του γεγονότος ότι ο τελεστής F είναι φραγμένος δεν χρειάζεται την υπόθεση ότι ο είναι πλήρης χώρος με νόρμα ( χώρος Baach) 7)Σελίδα, : Πρβλ την απόδειξη του Πορίσματος 3 με την άσκηση ( σελ 3) της παραγράφου 3 Παράγραφος 2 )Σελίδες,, 2, 3, παρατηρήσεις: Έστω P : Y γραμμική προβολή Τότε η P ταυτίζεται ουσιαστικά με την απεικόνιση πηλίκο π : / Z, όπου Z = KerP F : / Z Y : F x+ Z = P x, x Τότε η απεικόνιση F είναι Πράγματι, ορίζουμε, ( ) ( ) αλγεβρικός ισομορφισμός μεταξύ των χώρων / Z και Y Δείτε και το διάγραμμα P = Foπ Ανάλογα, αν ο είναι χώρος με νόρμα, ο Y κλειστός υπόχωρος του και P : Y φραγμένη προβολή με Z = KerP, τότε η π : / Z είναι βέβαια φραγμένη ( με π ) και «ταυτίζεται» με την P Στην περίπτωση αυτή η απεικόνιση F : / Z Y F x+ Z = P x x ) είναι ( με ( ) ( ), τοπολογικός ισομορφισμός και οι χώροι με νόρμα / Z και Y είναι ( τοπολογικά )ισόμορφοι( Πρβλ την Πρόταση 2 καθώς και την άσκηση ) 2) Σελίδα 5, γραμμές -8 και- 9 Συντομότερα μπορούμε να προχωρήσουμε ως εξής: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x y = F x F y = F x Λ y = F x F x = k k k k k k k 3)Σελίδα 6: Σχετικά με την παρατήρηση 27 σημειώνουμε ότι αν {(, ) : } D = x y R x + y < τότε η άλγεβρα του δίσκου A D ( δηλαδή όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f : D C ώστε f D είναι ολόμορφη συνάρτηση) μπορεί να { } i ταυτισθεί με τον κλειστό υπόχωρο του C( T ) όπου T e θ : θ [, 2π] = = (ο κλειστός

3 33 iθ μοναδιαίος κύκλος), που παράγεται από το σύνολο { e : } όλων των συναρτήσεων f C( T) ώστε f ( ),, 2, 3, 2π iθ f ( ) = f ( θ) e dθ 2π είναι ο Αυτός είναι ο χώρος = =, όπου οστος συντελεστής Fourier της f Αποδεικνύεται ότι η άλγεβρα του δίσκου A D ( ταυτιζόμενη όπως παραπάνω με τον υπόχωρο του C( T ) ) δεν είναι συμπληρωματικός υπόχωρος του χώρου Baach C( T ) ( Πρβλ το βιβλίο [R] Σ 28-3) 4)Σελίδα 6: Σχετικά με την παρατήρηση 27 (2), σημειώνουμε ότι αν ο H είναι χώρος Hilbert και ο F είναι κλειστός υπόχωρος του H, τότε ο χώρος πηλίκο H / F ( με τη νόρμα πηλίκο) είναι ισομετρικός με το ορθογώνιο συμπλήρωμα F του F και συνεπώς είναι χώρος Hilbert ( Πράγματι, η απεικόνιση : : ( ) μοναδικό στοιχείο του F ώστε x y d( x, F) P( H) = F και KerP F P H H P x = x y, όπου y F το = είναι ορθογώνια προβολή με = Έστω π : H H / F η κανονική απεικόνιση τότε, όπως έπεται από την πρόταση 2, η φ : H / F F είναι τοπολογικός ισομορφισμός, η οποία είναι επί πλέον ισομετρία Συμπληρώστε τις λεπτομέρειες) Παράγραφος 3 )Σχετικά με το πόρισμα 32, παρατηρούμε ότι ο μονοδιάστατος υπόχωρος F = x του E είναι επιπλέον κλειστός ( Πρβλ την άσκηση 7) 2)Σχετικά με την άσκηση 5, πρβλ και την πρόταση 34 (ιχ) 3)Σχετικά με την άσκηση, σημειώνουμε ότι η ακόλουθη ασθενέστερη μορφή του ισχυρισμού (α) αποδεικνύεται ευκολότερα: (α ) Έστω A κυρτό υποσύνολο του τδχ E Αν x A και y A τότε [ x, y) A ( Άσκηση ) Μια ενδιαφέρουσα εφαρμογή του (α ) ( την οποία θα χρησιμοποιήσουμε και στην παράγραφο 5 ), είναι η ακόλουθη: Έστω (, ) χώρος με νόρμα και x, y S { x : x } υπάρχει λ (,) ώστε το z λx ( λ) y S [ x y] S ( Άσκηση), = = με x y Υποθέτουμε ότι = +, τότε το ευθύγραμμο τμήμα

4 34 Παράγραφος 32 )Σελίδα 34, γραμμή 3: P y x P x y k =» Αντί του, «τότε ( ) ε ε ( ),,2,, k k k P y x < P x y k =» Να γραφεί «τότε ( ) ε ε ( ),,2,, k k k τ τ 2)Σελίδα 35, γραμμές 5 και 6: Διαγράψτε το «ότι xa+ ya x+ y και λa xa λx» 3) Σελίδα 36, παράδειγμα 326 (2): Παρατηρείστε ότι ημινόρμα p ( f ) f ( γ) προέρχεται από το γραμμικό συναρτησοειδές : E K γ Παράγραφος 33 γ =, δ ώστε δ ( f ) f ( γ) γ = )Σελίδα 4: παρατηρούμε ότι οι ισχυρισμοί (ι)-(ιν) της Πρότασης 333 είναι επίσης ισοδύναμοι με τον ακόλουθο ισχυρισμό, (ν) p συνεχής σε κάποιο x E ( Άσκηση) 2)Σχετικά με το θεώρημα 337 παρατηρούμε τα ακόλουθα: (α) p ( x) x ta t H ( x) (, ) A = > = + ) A (β) Αν ο E είναι πραγματικός χώρος τότε η υπόθεση ότι το κυρτό σύνολο A είναι ισορροπημένο στον ισχυρισμό (ιιι) μπορεί να αντικατασταθεί από την ( ισοδύναμη ) υπόθεση ότι το A είναι συμμετρικό, δηλαδή x A x A 3)Σελίδα 45, γραμμή 4: Αντί του, «x H ( x)», να γραφεί «t H ( x) B» 4)Σελίδα 45: Σχετικά με την παρατήρηση (2), σημειώνουμε ότι αν το S δεν είναι συμμετρικό τότε βέβαια και το κυρτό ( ) B A= B, \ δεν είναι συμμετρικό ( ισορροπημένο) Παρόλα αυτά το συναρτησοειδές του Mikowski Ευκλείδεια ) νόρμα Επίσης χρήσιμη είναι και η ακόλουθη απλή παρατήρηση: pa του A είναι ( η Αν E είναι διανυσματικός χώρος και A B E κυρτά και απορροφούντα υποσύνολα του E, τότε p B p A 5)Σελίδα 46: Παρατηρούμε ότι αν το σύνολο U της Πρότασης 338 δεν είναι ισορροπημένο, τότε το υπογραμμικό συναρτησοειδές p U δεν είναι ( από την Πρόταση 324 ) ημινόρμα

5 35 Έτσι, επιλέγοντας το ανοικτό και κυρτό U να μην είναι ισορροπημένο, έχουμε παράδειγμα υπογραμμικού συναρτησοειδούς P, το οποίο δεν είναι ημινόρμα 6)Σελίδα 53-54: Σημειώνεται ότι η ιδιότητα (α) του παραδείγματος 337 αποδεικνύεται ότι ισχύει ( με τον ίδιο τρόπο ) και για τον χώρο c των μηδενικών ακολουθιών με την τοπολογία Τ P της σύγκλισης κατά σημείο 7) Σελίδα 55: Από την πρόταση 338 έπεται ιδιαίτερα ότι αν Λ, Λ : E K είναι γραμμικά συναρτησοειδή ώστε KerΛ KerΛ, τότε υπάρχει a K ώστελ= aλ Δηλαδή τα Λ και Λ είναι γραμμικά εξαρτημένα 8) Σελίδα 58, άσκηση :Το αποτέλεσμα που περιγράφεται στην άσκηση αυτή δεν ισχύει χωρίς την υπόθεση της τοπικής κυρτότητας του χώρου E Για ένα παράδειγμα πρβλ την άσκηση 2 ( σελ77-78) της παραγράφου 35, καθώς και την υπόδειξή της Παράγραφος 34 )Σελίδα 62, γραμμή 3: Διορθώστε σε, «και Μ τυχών θετικός» (, TC ) 2)Μια ποιο άμεση απόδειξη του γεγονότος ότι ο C( ) Ω είναι διαχωρίσιμος χώρος ( παράδειγμα 34 ) έπεται και από το κλασσικό προσεγγιστικό θεώρημα του Weierstrass Θεώρημα ( Weierstrass) Έστω πολυωνύμων ( d) στο χώρο Baach C( K ) K d R συμπαγές τότε η άλγεβρα των περιορισμών των {,, : πολυώνυµο µεταβλητών} p x x p d επί του K είναι πυκνή Από το αποτέλεσμα αυτό εύκολα αποδεικνύουμε ότι το σύνολο των πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές περιορισμένων επί του Ω είναι αριθμήσιμο και πυκνό υποσύνολο του ( C( ), TC ) Ω 3)Ανάλογες παρατηρήσεις ισχύουν και για το παράδειγμα 343, όπου τα πολυώνυμα p : I R με ρητούς συντελεστές είναι αριθμήσιμο και πυκνό υποσύνολο του χώρου C ( I), με την τοπολογία T που ορίζεται εκεί Το βασικό επιχείρημα περιέχεται στο ακόλουθο λήμμα που είναι ( πάλι) συνέπεια του προσεγγιστικού θεωρήματος του Weierstrass Λήμμα Έστω a b κλάσης ( ) < < <+ Αν :[, ] f a b R είναι διαφορίσιμη συνάρτηση της C, τότε υπάρχει ακολουθία πολυωνύμων ( p ) k =, 2,, να ισχύει p ( k) ( k) f, ομοιόμορφα επί του [ a, b ], ώστε για κάθε Η απόδειξη του Λήμματος αφήνεται ως άσκηση Σημειώνουμε ότι η παρούσα παρατήρηση μπορεί να θεωρηθεί ως ( εκτενέστερη ) απόδειξη για την άσκηση της παραγράφου 35

6 36 4)Στα παραδείγματα 342 και 343 χρησιμοποιήσαμε την ακόλουθη γενική παρατήρηση: Έστω ( E, T ) απειροδιάστατος ( τοπικά κυρτός ) τδχ με την ιδιότητα Heie-Borel τότε η τοπολογία του E δεν επάγεται από νόρμα Για την απόδειξη πρβλ Τα θεωρήματα και την παρατήρηση που ακολουθεί το θεώρημα 336 Παράγραφος 35 )Σελίδα 7, γραμμή -2 Να γραφεί(, R ) E αντί του (, ) E 2)Σελίδα 75, γραμμή 7: Συμπληρώστε την γραμμή 6 με τη φράση «f γραμμικό συναρτησοειδές και» 3)Σχετικά με το πόρισμα 353 αξίζει να παρατηρήσουμε τον δυϊσμό μεταξύ ( συνεχών ) γραμμικών συναρτησοειδών : E K Λ και (συνεχών) ημινορμών : [, ) Λ γραμμικό συναρτησοειδές τότε p= Λ είναι βέβαια ημινόρμα p E + Αν ( παράδειγμα 323 ()) και αν p ημινόρμα ( με p ) τότε ( πόρισμα 353) υπάρχει γραμμικό συναρτησοειδές Λ ( με Λ ) ώστε Λ p 4)Σχετικά με το πόρισμα 35, παρατηρούμε ότι η απόδειξή του απλοποιείται με τη χρήση του λήμματος 338 Πράγματι, Kerf M Ker( ) = Λ, συνεπώς υπάρχει a K ώστε M Λ M = af, επειδή Λ ( x ) = f ( x ) =, έπεται ότι a= Επίσης σημειώνουμε ότι, μια άλλη απόδειξη αυτού του πορίσματος είναι δυνατή, με χρήση της αναλυτικής μορφής του θεωρήματος Hah-Baach ( θεώρημα352) και της άσκησης 5 της παραγράφου33 ( Άσκηση) 5)Σχετικά με την άσκηση 4 (γ) ( σελίδα 78), σημειώνουμε ότι ο υποκείμενος πραγματικός χώρος E R του E C είναι ο E E με την πράξη του βαθμωτού πολλαπλασιασμού περιορισμένη στο R Παράγραφος 4 )Σελίδα 82, παρατήρηση (5): Αν ο είναι απειροδιάστατος χώρος με νόρμα τότε οι περιοχές του δεν είναι φραγμένα σύνολα ( ούτε και ) στην ασθενή τοπολογία, εφόσον τότε ο θα ήταν χώρος με νόρμα ( θεώρημα 335 ) και συνεπώς μετρικοποιήσιμος 2)Σελίδα 82, γραμμή -5: Διορθώστε σε = < < < k < 3)Σελίδα 84, γραμμή 4: Διορθώστε σε, x ( j) j= 9

7 37 4)Σελίδα 85: Σχετικά με την απόδειξη του θεωρήματος 43 (Mazur ), παρατηρούμε ότι το { } γεγονός ότι το σύνολο : Re ( ) U = x Λ x < λ είναι ασθενώς ανοικτό προκύπτει αμέσως ( και ) από τον ορισμό της ασθενούς τοπολογίας * 5)Σελίδα 88, γραμμή 6: Διορθώστε σε, ( x i ) τ Φ Λ * 6)Σελίδα 9, γραμμή 5: Συμπληρώστε την γραμμή 5 με «ϕ( x ) w ϕ( x)» * * ** * 7) Σελίδα 9, γραμμή- 7: διορθώστε την ανισότητα σε Re x ( x) λ λ2 Re x ( x) 8)Σελιδα 92, γραμμές 2-6: Διορθώστε σε «T( x) * * * ( y ot)( x) = y ( T( x) ) y ( y), εφόσον T( x) * * * y ot x y ot x = y ( T x ), εφόσον ( )( ) ( )( ) ( ) y Για κάθε y y και i < Y έχουμε * * * * y ot και x x» 9) Στην απόδειξη της Πρότασης44 χρησιμοποιήσαμε το ακόλουθο στοιχειώδες αποτέλεσμα: Αν { A : i I} τότε A ( A) sup = sup sup i i I Παράγραφος 42 i είναι οικογένεια μη κενών υποσυνόλων του R και A = )Σχετικά με την παρατήρηση 425 (2), σημειώνουμε ότι το γεγονός ότι κάθε ασθενώς συμπαγές υποσύνολο ενός χώρου Baach είναι orm φραγμένο, έπεται και απευθείας όπως στην απόδειξη της κατεύθυνσης του θεωρήματος 424 2)Το σχόλιο μετά τον ορισμό 42, συμπληρώνεται ως εξής: Αν A H κλειστό και κυρτό, τότε, για κάθε x H υπάρχει ακριβώς ένα y A έτσι ώστε d( x, y) = d( x, A) 3)Ο ισχυρισμός (α) της άσκησης () ( σελ ), δεν χρειάζεται την υπόθεση ότι ο είναι χώρος Baach Η υπόθεση αυτή χρειάζεται στον ισχυρισμό (β) της ίδιας άσκησης ( Γιατί;) Επίσης σημειώνουμε ότι ο ισχυρισμός (α) είναι συνέπεια της ασθενούς κάτω ημισυνέχειας της νόρμας ( πρβλ και την άσκηση 6 αυτής της παραγράφου) Αντίστοιχα ο (β) είναι συνέπεια της ασθενούς * κάτω ημισυνέχειας της ( δυϊκής ) νόρμας * του Περαιτέρω ο (α) μπορεί να χρησιμοποιηθεί και να απλοποιήσει την απόδειξη του θεωρήματος 422 ( Πώς;) 4)Σχετικά με τον ισχυρισμό (β) της άσκησης 4, αυτής της παραγράφου, παρατηρούμε ότι αν ο είναι χώρος Baach πεπερασμένης διάστασης, τότε βέβαια δεν είναι αναγκαία ισομετρικός με τον l 2, όπου = dim i I *, αλλά ο A i

8 38 Παράγραφος 5 )Σχετικά με το παράδειγμα 52 (3), σημειώνουμε ότι αν K είναι ανοικτό και κυρτό υποσύνολο ενός τδχ E, τότε το K δεν έχει ακραία σημεία Ιδιαίτερα ο ίδιος ο E δεν έχει ακραία σημεία 2)Σχετικά με το παράδειγμα 54 (4), παρατηρούμε περαιτέρω ότι, αν (, ) με νόρμα και ευθύγραμμο τμήμα [ y z] είναι χώρος x S ώστε x= λ y+ ( λ) z με < λ < και y, z με y z, τότε το, S ( Πρβλ και τις παρατηρήσεις της παραγράφου 3 του παρόντος παραρτήματος) Ειδικότερα παρατηρούμε ότι αν υποσύνολο της ( ) 2 2 {, : } S = x y x + y = είναι ακραίο υποσύνολο της 2 2 {(, ) : } = +, εφόσον ex B = S B x y x y B 2 =l 2, τότε κάθε μη κενό 3)Γραμμή -, σελίδα ( απόδειξη του θεωρήματος Krei Milma ) : Διορθώστε σε «από τους ισχυρισμούς (β) και (δ) της ίδιας πρότασης έχουμε το συμπέρασμα» 4)Στην παρατήρηση 57 () της σελίδας 2, προσθέστε και το ακόλουθο σχόλιο: Έτσι στον χώρο l,< p<, κάθε συμπαγές και κυρτό σύνολο έχει ακραία σημεία, εφόσον από την p * άσκηση 2 ( σελίδα 77) της παραγράφου 35, ισχύει ότι l = l 5)Σελίδα 4, γραμμή- 7 ( παράδειγμα 5 () ): Διορθώστε σε y( ) και z( ) ( ) x, = x( ), = 4 p ( ) x, = x( ) +, = 4 6)Το παράδειγμα που περιγράφεται στην παρατήρηση 56 μας πληροφορεί επιπλέον ότι, αν είναι απειροδιάστατος χώρος Baach και K είναι orm συμπαγές τότε η co( ) είναι σχετικά αλλά όχι αναγκαία συμπαγές υποσύνολο του, όπως συμβαίνει στις πεπερασμένες διαστάσεις 7)Η άσκηση 7 ( θεώρημα Καραθεοδωρή )έπεται ιδιαίτερα ότι στην περίπτωση των πεπερασμένων διαστάσεων, ένα συμπαγές και κυρτό σύνολο κυρτή θήκη των ακραίων σημείων του, δηλαδή K co ex( K) K ( ) R, ισούται με την = ( η κλειστότητα δεν χρειάζεται) Σημειώνουμε ότι και το (σχετιζόμενο και) ενδιαφέρον Λήμμα 53 αποδίδεται επίσης στον Καραθεοδωρή

9 39 8)Σχετικά με την άσκηση ( σελίδα 26), η υπόδειξη της άσκησης μας πληροφορεί επιπλέον ότι ένας χώρος με νόρμα (, ) είναι γνήσια κυρτός αν και μόνο αν x, y S και x y x+ y < 2 ( Πρβλ και την παρατήρηση (2) παραπάνω ) Ασκήσεις ) Έστω E διανυσματικός χώρος και p, p2,, p, ημινόρμες επί του E Αποδείξτε ότι: (α) Οι λ p ( λ > ), p p2 p λ <+, είναι ημινόρμες επί του E max, 2,, + + +, { } p p p και ( ) 2 (β) Οι x = x ( ) 2 + x2 + x3 και x max ( x x2, x2 x3, x x3 ) x= ( x, x, x ) είναι νόρμες επί του 2 3 γ) Έστω (, ) και (, ) p + p + + p, λ λ λ 2 λ = ± ± ±, όπου, 3 R Γενικεύονται αυτές οι νόρμες στον Y χώροι με νόρμα,,, ( ) ( ) ( ) p p p p x, y = a x + y + β max y γ, x επί του Y [ Υπόδειξη Για το (α): Για την ( ) λ Για τα (β) και (γ) μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το (α)] a β γ > και [, ) R ; p +, τότε ο τύπος, όπου ( x, y) Y, ορίζει νόρμα λ p + + p λ χρησιμοποιήστε την ανισότητα Mikowski 2)α) Έστω ( E, T ) τοπικά κυρτός χώρος Ένα κυρτό ισορροπημένο και φραγμένο υποσύνολο του E ονομάζεται δίσκος Έστω F η γραμμική θήκη ενός δίσκου D συναρτησοειδές του Mikowski pd : F R του D στον F είναι μια νόρμα E Αποδείξτε ότι το (β) Έστω K κλειστό κυρτό ισορροπημένο και φραγμένο υποσύνολο ενός χώρου Baach ( το K ονομάζεται τότε ένας δίσκος Baach) και Y η γραμμική θήκη του K Έστω νόρμα επί του Y η οποία ορίζεται από το συναρτησοειδές του Mikowski pk : Y R ( x p ( x), x Y = K K ) Αποδείξτε ότι ο ( Y, K) κλειστή μοναδιαία σφαίρα B Y του Y ; [ Υπόδειξη: Για το (β): Έστω ( ) στον, έστω x η K είναι ένας χώρος Baach Ποια είναι η x ακολουθία Cauchy στον ( Y, K) x Αν U είναι κλειστή σφαίρα ( με κέντρο Ο) στον ( Y ) είναι και κλειστό υποσύνολο του Έστω φυσικός αριθμός με τότε είναι και Cauchy, K τότε

10 4, m x xm U Τότε x x U x K x 3)Έστω oo για κάθε άρα x Y και συνεπώς A c ( = ο χώρος των τελικά μηδενικών ακολουθιών πραγματικών ) κυρτό και συμμετρικό σύνολο ώστε e A, ( όπου ( ) ότι: (α) Το A είναι απορροφούν υποσύνολο του c oo e η συνήθης βάση του oo c ) Αποδείξτε (β) Αν επιπλέον A [,], τότε το συναρτησοειδές Mikowski p A του A είναι νόρμα x p x x x c και ισχύει ( ), A oo (Μάλιστα το A είναι ένας δίσκος στον ( oo, p) [ Υπόδειξη: Για το (α): Έστω c T ) k k oo ώστε k= x= x e c x = xk Τότε x A, εφόσον το A είναι απόλυτα κυρτό ( πρβλ την άσκηση της παραγράφου 3 ) Για το (β): παρατηρούμε ότι αν x c τότε, oo k= x x A x ] 4)Έστω p, o p, p 2 τρία μη συνευθειακά σημεία του Ευκλείδειου επιπέδου { i j : 2} = και K = c ( A) Αποδείξτε ότι ex( K) A p p i j o = A [ Υπόδειξη : Το K είναι ένα κυρτό εξάγωνο με κορυφές τα σημεία του A ] 2 R Θέτομε