B τρόπος: μακροχρόνια περίοδος

Transcript

1 B τρόπος: μακροχρόνια περίοδος I) min C w w, s.t. f, i i w,w, C II) ma p C Αρχικά λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης του κόστους (στη μακροχρόνια και βραχυχρόνια περίοδο, Θεωρία Κόστους) και μετά, έχοντας τη συνάρτηση κόστους, βρίσκουμε το άριστο επίπεδο παραγωγής (στη μακροχρόνια και βραχυχρόνια περίοδο).

2 Ελαχιστοποίηση κόστους Μια επιχείρηση ελαχιστοποιεί το κόστος της αν παράγει κάθε δεδομένο επίπεδο προϊόντος 0 στο μικρότερο δυνατό κόστος. Η c() συμβολίζει το μικρότερο δυνατό συνολικό κόστος παραγωγής μονάδων προϊόντος. Η c() είναι η συνάρτηση συνολικού κόστους της επιχείρησης.

3 Ελαχιστοποίηση κόστους Όταν η επιχείρηση αντιμετωπίζει δεδομένες τιμές συντελεστών w = (w,w,,w n ), η συνάρτηση συνολικού κόστους μπορεί να γραφεί ως c(w,,w n,). 3

4 Το πρόβλημα της ελαχιστοποίησης κόστους Ας πάρουμε μια επιχείρηση που παράγει ένα προϊόν και χρησιμοποιεί δύο συντελεστές παραγωγής. Η συνάρτηση παραγωγής είναι = f(, ). Ας πάρουμε το επίπεδο παραγωγής 0 ως δεδομένο. Με δεδομένες τις τιμές των συντελεστών w και w, το κόστος ενός συνόλου εισροών (, ) είναι w + w. 4

5 Το πρόβλημα της ελαχιστοποίησης κόστους Για δεδομένες τιμές των w, w και, το πρόβλημα που έχει να λύσει η επιχείρηση είναι min, 0 w Υπό τον περιορισμό w f (, ). 5

6 Το πρόβλημα της ελαχιστοποίησης κόστους Τα επίπεδα των *(w,w,) και *(w,w,) στο συνδυασμό εισροών που ελαχιστοποιεί το κόστος είναι οι παράγωγες συναρτήσεις ζήτησης για εισροές και (ή υπό συνθήκη συναρτήσεις ζήτησης για εισροές και ). Το (μικρότερο δυνατό) συνολικό κόστος παραγωγής μονάδων του προϊόντος είναι * * c( w, w, ) w ( w, w, ) w ( w, w, ). 6

7 Το πρόβλημα της ελαχιστοποίησης κόστους Με δεδομένα τα w, w και, πώς μπορούμε να εντοπίσουμε το συνδυασμό *(w,w,) και *(w,w,) που ελαχιστοποιεί το κόστος; Πώς υπολογίζουμε τη συνάρτηση συνολικού κόστους; Αρχικά, θα λύσουμε το πρόβλημα αλγεβρικά και μετά διαγραμματικά. 7

8 B τρόπος: μακροχρόνια περίοδος Αλγεβρική λύση της ελαχιστοποίησης του κόστους I) min C w w, s.t. f, Βήμα ο : Κατασκευάζω τη συνάρτηση Lagrange L(₁,₂,λ)=w₁₁+w₂₂-λ(f(₁,₂) -) λ πολλαπλασιαστής Lagrange 8

9 B τρόπος: μακροχρόνια περίοδος Αλγεβρική λύση της ελαχιστοποίησης του κόστους Βήμα ο : ΣΠΤ L L 0 w f 0 0 w f 0 L 0 f, 0 / f f w w i i w,w,, w f w f Παράγωγες (ή υπο συνθήκη) συναρτήσεις ζήτησης εισροών 9

10 B τρόπος: μακροχρόνια περίοδος Αλγεβρική λύση της ελαχιστοποίησης του κόστους και η συνάρτηση κόστους: Cw,w, w w 0

11 B τρόπος: μακροχρόνια περίοδος Αλγεβρική λύση της ελαχιστοποίησης του κόστους Βήμα 3 ο : ΣΔΤ Κατασκευάζω την εσσιανή μήτρα δευτέρων παραγώγων και για να έχω ελάχιστο θα πρέπει η Η να είναι θετικά ορισμένη, δηλ. οι κύριες ελάσσονες να είναι αρνητικές. H L L L L L L L L L f f f f f f f f 0 H f f f 0 f 0 H f f f f f f f f 0 f f f f f f f 0

12 B τρόπος: μακροχρόνια περίοδος Αλγεβρική λύση της ελαχιστοποίησης του κόστους Βήμα 3 ο : ΣΔΤ (συνέχεια) Ή, ισοδύναμα, οι καμπύλες ισοπαραγωγής να είναι κυρτές, δηλ. d d 0 ή ο MRTS να είναι φθίνων, dmrts d 0

13 B τρόπος: μακροχρόνια περίοδος Διαγραμματική λύση της ελαχιστοποίησης του κόστους Μια καμπύλη που περιλαμβάνει όλους τους συνδυασμούς εισροών που έχουν το ίδιο κόστος λέγεται καμπύλη ίσου κόστους. π.χ., δεδομένων των w και w, η γραμμή ίσου κόστους των 00 έχει την εξίσωση w w. 00 3

14 Γραμμές ίσου κόστους Γενικά, με δεδομένα τα w και w, η εξίσωση της γραμμής ίσου κόστους είναι ή w w c w w c. w Η κλίση είναι - w /w. 4

15 Γραμμές ίσου κόστους c w +w κλίσεις = -w /w c w +w c < c 5

16 Η γραμμή ίσου προϊόντος Όλοι οι συνδυασμοί εισροών που παράγουν μονάδες προϊόντος. Ποιος είναι ο πιο φτηνός; f(, ) 6

17 Το πρόβλημα της ελαχιστοποίηση κόστους Όλοι οι συνδυασμοί εισροών που παράγουν μονάδες προϊόντος. Ποιος είναι ο πιο φτηνός; f(, ) 7

18 Το πρόβλημα της ελαχιστοποίησης κόστους Όλοι οι συνδυασμοί εισροών που παράγουν μονάδες προϊόντος. Ποιος είναι ο πιο φτηνός; f(, ) 8

19 Το πρόβλημα της ελαχιστοποίηση κόστους Όλοι οι συνδυασμοί εισροών που παράγουν μονάδες προϊόντος. Ποιος είναι ο πιο φτηνός; * * f(, ) 9

20 Το πρόβλημα της ελαχιστοποίηση κόστους Ένας εσωτερικό συνδυασμό εισροών που ελαχιστοποιεί το κόστος (α) f( *, * ) * * (β) κλίση γρ. ίσου κόστους = κλίση γρ. ίσου προϊόντος w w MRTS MP MP f(, ) 0

21 Το πρόβλημα της ελαχιστοποίηση κόστους Στο άριστο ισχύει MP MP w w (Το MPi το συμβολίζουμε και ως fi, δηλ. f/f=w/w)

22 Καμπύλη επέκτασης * ** Καμπύλη επέκτασης προϊόντος (epansion curve): ο γεωμετρικό τόπος των συνδυασμών εισροών που δίνουν min C Όλα τα σημεία στην καμπύλη επέκτασης ικανοποιούν MP/ MP = w₁/w₂ και αποτελούν υποψήφια σημεία για την ma Π(). Η θεωρία κόστους δεν ασχολείται αν η επιχείρηση είναι λήπτης τιμών στην αγορά του προϊόντος (δεν έχω το p εδώ), είναι όμως λήπτης τιμών στην αγορά εισροών.

23 Παρατηρήσεις: Παράγωγες συναρτήσεις ζήτησης εισροών w,w, w,w,. Είναι ομογενής μηδενικού βαθμού ως προς τις τιμές των εισροών, πχ διπλασιασμός και των δυο τιμών δεν αλλάζει το *.. di /dwi <0 τυπικά i φθίνουσα ως προς wi 3. d /dw>0 ισχύει για εισροές μόνο, δηλ. υποκατάστατες (για περισσότερες εισροές δεν γνωρίζουμε) 3

24 Παρατηρήσεις: Συνάρτηση κόστους Cw,w, w w. Είναι ομογενής πρώτου βαθμού ως προς τις τιμές των εισροών, πχ διπλασιασμός και των δυο τιμών, διπλασιάζει το κόστος.. dc/dwi 0, dc/d 0 3. Λήμμα του Shepard: dc dw i i w,w, 4

25 Ελαχιστοποίηση κόστους: Cobb-Douglas Ας πάρουμε μια συνάρτηση παραγωγής Cobb- Douglas / / 3 3 f (, ). Οι τιμές των συντελεστών είναι w και w. Ποιες είναι οι παράγωγες συναρτήσεις ζήτησης της επιχείρησης; 5

26 Ελαχιστοποίηση κόστους: Cobb-Douglas Στο συνδυασμό ( *, *) που ελαχιστοποιεί το κόστος παραγωγής μονάδων προϊόντος: (α) * / * / 3 3 και ( ) ( ) (β) w / w / * / 3 * / 3 * / 3 * / 3 ( / 3)( ) ( ) ( / 3)( ) ( ) * *. 6

27 Ελαχιστοποίηση κόστους: Cobb-Douglas * / * / ( ) 3 ( ) 3 w (β) w * w Από τη (β), w *. (α) * *. Αντικαθιστούμε στην (α) και έχουμε / 3 / 3 * / w w * w * ( ) 3. w 7

28 Ελαχιστοποίηση κόστους: Cobb-Douglas Λύνοντας για έχουμε: * w w / 3 Είναι η παράγωγη ζήτηση για την εισροή. 8

29 Ελαχιστοποίηση κόστους: Cobb-Douglas w w * * w w 3 * / Είναι η παράγωγη ζήτηση για την εισροή. Αφού και w w w w w w 3 3 * / / 9

30 Ελαχιστοποίηση κόστους: Cobb-Douglas Επομένως ο πιο φτηνός συνδυασμός εισροών που παράγουν μονάδες προϊόντος είναι * * ( w, w, ), ( w, w, ) w w / 3 / 3 w,. w 30

31 Ελαχιστοποίηση κόστους: Cobb-Douglas Και η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι * * w w / 3 / 3 w w w w / 3 / / / / / c( w, w, ) w ( w, w, ) w ( w, w, ) 3 w w 4 w w w w / 3. 3

32 Παράγωγες καμπύλες ζήτησης συντελεστών Σταθερά w και w. 3

33 Παράγωγες καμπύλες ζήτησης συντελεστών Σταθερά w και w. * ( ) * * ( ) * ( ) * ( ) * 33

34 Παράγωγες καμπύλες ζήτησης συντελεστών Σταθερά w και w. * ( ) * ( ) * * ( ) * ( ) * ( ) * ( ) * ( ) * ( ) 34 *

35 Παράγωγες καμπύλες ζήτησης συντελεστών * ( ) * ( ) * ( ) Σταθερά w και w. * ( ) * ( ) * ( ) * ( ) * ( ) * ( ) * ( ) * ( ) * ( ) 35 * *

36 Παράγωγες καμπύλες ζήτησης συντελεστών * ( ) * ( ) * ( ) Σταθερά w και w. * ( ) * ( ) * ( ) Γραμμή επέκτασης προϊόντος * ( ) * ( ) * ( ) * ( ) * ( ) * ( ) 36 * *

37 Παράγωγες καμπύλες ζήτησης συντελεστών * ( ) * ( ) * ( ) Σταθερά w και w. * ( ) * ( ) * ( ) Γραμμή επέκτασης προϊόντος Παράγωγη ζήτηση για εισροή * ( ) * ( ) * ( ) * ( ) * ( ) * ( ) Παράγωγη ζήτηση για εισροή 37 * *

38 Ελαχιστοποίηση κόστους: τέλεια συμπληρωματικά Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι min{ 4, }. Οι τιμές των εισροών w και w είναι δεδομένες. Ποιες είναι οι παράγωγες συναρτήσεις ζήτησης για τις εισροές και ; Ποια είναι η συνάρτηση συνολικού κόστους; 38

39 Ελαχιστοποίηση κόστους: τέλεια συμπληρωματικά 4 = min{4, } 39

40 Ελαχιστοποίηση κόστους: τέλεια συμπληρωματικά 4 = min{4, } Που είναι ο πιο φτηνός συνδυασμός που παράγει μονάδες προϊόντος; 40

41 Ελαχιστοποίηση κόστους: τέλεια συμπληρωματικά 4 = Που είναι ο πιο φτηνός συνδυασμός που παράγει μονάδες προϊόντος; * = min{4, } * = /4 4

42 Ελαχιστοποίηση κόστους: τέλεια συμπληρωματικά Η συνάρτηση παραγωγής είναι min{ 4, } και οι παράγωγες συναρτήσεις ζήτησης εισροών * ( w, w, ) 4 * και ( w, w, ). Άρα η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι * * c( w, w, ) w ( w, w, ) w( w, w, ) w w w w

43 Μέσο Συνολικό Κόστος (ΜΣΚ) & Οριακό Κόστος (ΟΚ) Average Cost (AC) & Marginal Cost (MC) AC Cw,w, MC Cw,w, Στη μακροχρόνια περίοδο έχω το συνολικό κόστος (LTC long-run total cost), το μέσο (LAC long-run average cost) και το οριακό (LΜC long-run marginal cost). Δεν υπάρχει σταθερό κόστος. 43

44 Αποδόσεις κλίμακας και ΜΣΚ Οι ιδιότητες των αποδόσεων κλίμακας μιας επιχείρησης προσδιορίζουν το πώς μεταβάλλεται το μέσο κόστος σε σχέση με το επίπεδο του προϊόντος. Ας υποθέσουμε ότι η επιχείρηση παράγει μονάδες προϊόντος. Πώς μεταβάλλεται το μέσο κόστος της επιχείρησης αν η επιχείρηση παράγει μονάδες προϊόντος; 44

45 Σταθερές αποδόσεις κλίμακας και ΜΣΚ Αν μια επιχείρηση έχει σταθερές αποδόσεις κλίμακας, τότε ο διπλασιασμός του επιπέδου του προϊόντος από σε απαιτεί το διπλασιασμό των ποσοτήτων των εισροών. Το συνολικό κόστος παραγωγής διπλασιάζεται Το μέσο κόστος παραγωγής δεν μεταβάλλεται. 45

46 Φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας και ΜΣΚ Αν μια επιχείρηση έχει φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας, τότε ο διπλασιασμός του επιπέδου του προϊόντος από σε απαιτεί υπερδιπλασιασμό των ποσοτήτων των εισροών. Το συνολικό κόστος παραγωγής υπερδιπλασιάζεται. Το μέσο κόστος παραγωγής αυξάνεται. 46

47 Αύξουσες αποδόσεις κλίμακας και ΜΣΚ Αν μια επιχείρηση έχει αύξουσες αποδόσεις κλίμακας, τότε ο διπλασιασμός του επιπέδου του προϊόντος από σε απαιτεί υποδιπλασιασμό των ποσοτήτων των εισροών. Το συνολικό κόστος παραγωγής υποδιπλασιάζεται. Το μέσο κόστος παραγωγής μειώνεται 47

48 AC() Αποδόσεις κλίμακας και ΜΣΚ Φθίνουσες α.κ. Σταθερές α.κ. Αύξουσες α.κ. 48

49 Αποδόσεις κλίμακας και ΣΚ Τι συνεπάγονται τα πιο πάνω για το σχήμα των συναρτήσεων συνολικού κόστους (ΣΚ); 49

50 Αποδόσεις κλίμακας και ΣΚ Το ΜΣΚ αυξάνει με το αν η τεχνολογία παρουσιάζει φθίνουσες α.κ. c( ) c( ) κλίση = c( )/ = AC( ). κλίση = c( )/ = AC( ). 50

51 Αποδόσεις κλίμακας και ΣΚ c( ) c( ) Το ΜΣΚ αυξάνει με το αν η τεχνολογία παρουσιάζει φθίνουσες α.κ. c() κλίση = c( )/ = AC( ). κλίση = c( )/ = AC( ). 5

52 Αποδόσεις κλίμακας και ΣΚ c( ) c( ) Το ΜΣΚ μειώνεται με το αν η τεχνολογία παρουσιάζει αύξουσες α.κ. κλίση = c( )/ = AC( ). κλίση = c( )/ = AC( ). 5

53 Αποδόσεις κλίμακας και ΣΚ c( ) c( ) Το ΜΣΚ μειώνεται με το αν η τεχνολογία παρουσιάζει αύξουσες α.κ. c() κλίση = c( )/ = AC( ). κλίση = c( )/ = AC( ). 53

54 Αποδόσεις κλίμακας και ΣΚ c( ) =c( ) c( ) Το ΜΣΚ είναι σταθερό με το αν η τεχνολογία παρουσιάζει σταθερές α.κ. c() κλίση = c( )/ = c( )/ = c( )/ και AC( ) = AC( ). 54

55 Αποδόσεις κλίμακας και συνάρτηση κόστους C AC MC AC = MC Σταθερές αποδόσεις κλίμακας C AC MC AC MC Αύξουσες αποδόσεις κλίμακας C AC MC ΜC ΑC Φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας 55

56 B τρόπος: βραχυχρόνια περίοδος Ελαχιστοποίηση κόστους min C w w s.t. f, w, w, Cw, w, w w Το δεν μεταβάλλεται και το θα πρέπει να ικανοποιεί τη συνάρτηση παραγωγής. Εδώ το συνολικό κόστος χωρίζεται σε: w w μεταβλητό κόστος w και σε σταθερό κόστος w Total Cost = Variable Cost + Fied Cost Πάλι έχω τις έννοιες του μέσου και οριακού κόστους. 56

57 Βραχυχρόνιο και μακροχρόνιο συνολικό κόστος Μακροχρόνια μια επιχείρηση μπορεί να μεταβάλει όλους τους συντελεστές παραγωγής. Ας υποθέσουμε ότι μια επιχείρηση δεν μπορεί να μεταβάλει το επίπεδο της εισροής k από k. Πώς συγκρίνεται το βραχυχρόνιο συνολικό κόστος παραγωγής του με το μακροχρόνιο κόστος παραγωγής του ; 57

58 Βραχυχρόνιο και μακροχρόνιο συνολικό κόστος Το πρόβλημα ελαχιστοποίησης του μακροχρόνιου κόστους είναι min k, l 0 w k w l Το πρόβλημα ελαχιστοποίησης του βραχυχρόνιου κόστους είναι min w k' w l υπό τον περιορισμό. f l0 ( k, l) υπό τον περιορισμό f ( k', l). 58

59 Βραχυχρόνιο και μακροχρόνιο συνολικό κόστος Το πρόβλημα ελαχιστοποίησης του βραχυχρόνιου κόστους είναι το ίδιο με το πρόβλημα μακροχρόνιου κόστους, υπό τον πρόσθετο περιορισμό ότι k = k. Αν η μακροχρόνια επιλογή για το k ήταν k τότε ο πρόσθετος περιορισμός k = k δεν επηρεάζει και το βραχυχρόνιο και μακροχρόνιο κόστος συμπίπτουν. 59

60 Βραχυχρόνιο και μακροχρόνιο συνολικό κόστος Το βραχυχρόνιο πρόβλημα είναι το ίδιο με το μακροχρόνιο υπό τον επιπλέον περιορισμό ότι k = k. Αλλά, αν η μακροχρόνια επιλογή για k k τότε ο επιπλέον περιορισμός k = k εμποδίζει την επιχείρηση να επιτύχει το μακροχρόνιο κόστος της και το βραχυχρόνιο κόστος είναι υψηλότερο από το μακροχρόνιο. 60

61 Βραχυχρόνιο και μακροχρόνιο συνολικό κόστος l Ας πάρουμε τρία επίπεδα προϊόντος k 6

62 Βραχυχρόνιο και μακροχρόνιο συνολικό κόστος l Μακροχρόνια όταν η επιχείρηση είναι ελεύθερη να επιλέξει τα k και l, οι συνδυασμοί που ελαχιστοποιούν το κόστος είναι k 6

63 l l l '' l ''' ' Βραχυχρόνιο και μακροχρόνιο συνολικό κόστος k ' Μακροχρόνια γραμμή επέκτασης προϊόντος '' k ''' k Μακροχρόνια κόστη: c( ) c( ) c( ) k w k w k w k ' '' ''' w w w l l ' l '' ''' 63

64 Βραχυχρόνιο και μακροχρόνιο συνολικό κόστος Ας υποθέσουμε τώρα ότι η επιχείρηση υπόκειται στο βραχυχρόνιο περιορισμό k = k. 64

65 l l l l Βραχυχρόνιο και μακροχρόνιο συνολικό κόστος Βραχυχρόνια γραμμή επέκτασης προϊόντος Μακροχρόνια κόστη: c( ) c( ) c( ) w k w k w k ' '' ''' w w w l l ' l '' ''' k k k k 65

66 l l l l Βραχυχρόνιο και μακροχρόνιο συνολικό κόστος k Βραχυχρόνια γραμμή επέκτασης προϊόντος k k Μακροχρόνια κόστη: c( ) c( ) c( ) k w k w k w k ' '' ''' w w w Βραχυχρόνια κόστη : cs( ) c( ) cs( ) c( ) c ( ) c( ) s l l ' l '' ''' 66

67 Βραχυχρόνιο και μακροχρόνιο συνολικό κόστος Το βραχυχρόνιο συνολικό κόστος υπερβαίνει το μακροχρόνιο συνολικό κόστος εκτός από το επίπεδο του προϊόντος όπου ο περιορισμός του βραχυχρόνιου επίπεδου εισροής είναι η επιλογή του μακροχρόνιου επιπέδου εισροής. Αυτό συνεπάγεται ότι η μακροχρόνια καμπύλη συνολικού κόστους έχει πάντα ένα κοινό σημείο με μια συγκεκριμένη βραχυχρόνια καμπύλη συνολικού κόστους. 67

68 Βραχυχρόνιο και μακροχρόνιο συνολικό κόστος Μια βραχυχρόνια καμπύλη συνολικού κόστους έχει πάντα ένα κοινό σημείο με τη μακροχρόνια καμπύλη συνολικού κόστους και σε όλα τα άλλα σημεία είναι πάνω από την καμπύλη μακροχρόνιου κόστους. c s () F w c() 68