x(t) = 4 cos(2π600t π/3) + 2 cos(2π900t + π/8) + cos(2π1200t) (3)

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ιάρκεια : 3 ώρες Ρήτρα τελικού : 4.0/0.0 Θέµα ο - Περιοδικά Σήµατα - 20 µονάδες Εστω το περιοδικό σήµα αʹ.5 µ. Υπολογίστε την περίοδό του, T 0. xt = 4 cos600t π/3 + 2 cos900t + π/8 + cos200t ϐʹ 5 µ. Σχεδιάστε το ϕάσµα πλάτους και το ϕάσµα ϕάσης του σήµατος. γʹ.5 µ. Ενα ιδανικό ϕίλτρο της µορφής ht = 400 cos900tsinc200t δέχεται ως είσοδο το παραπάνω σήµα. Βρείτε τη µαθηµατική µορφή της εξόδου, yt. αʹ Η ϑεµελιώδης συχνότητα δίνεται από τη σχέση Άρα η περίοδός του είναι T 0 = f 0 = 300 s. ϐʹ Εχουµε f 0 = Μ.Κ..{600, 900, 200} = 300 Hz 2 xt = 4 cos600t π/3 + 2 cos900t + π/8 + cos200t 3 = 2e j600t e jπ/3 + 2e j600t e jπ/3 + e j900t e jπ/8 + e j900t e jπ/8 + 2 ej200t + 2 e j200t 4 Το ϕάσµα πλάτους και ϕάσης ϕαίνεται στο Σχήµα. Φάσμα πλάτους π/3 Φάσμα φάσης f -π/ π/ f -π/3 Σχήµα : Φάσµα πλάτους και ϕάσης σήµατος xt.

2 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Τελική Εξέταση 2 γʹ Το ϕίλτρο αυτό είναι ιδανικό Ϲωνοπερατό ϕίλτρο, µε f d = f c2 f c = 200 και f c = fc +fc 2 = 900, οπότε η 2 απόκριση σε συχνότητα ϑα είναι, 800 < f < 000 Hf =, 000 < f < , αλλού Άρα η έξοδος του ϕίλτρου είναι yt = 2 cos900t + π/8 6 Ακόµα κι αν δεν µπορέσατε να το ταυτοποιήσετε από τις σηµειώσεις σας, µπορείτε να το δείξετε ϱητά : Hf = F{400 cos900tsinc200t} 7 = 2 δf f 2 δf rect f 900 f = rect + rect που είναι ένα Ϲωνοπερατό ϕίλτρο γύρω από τη συχνότητα f = 900 Hz, µε συχνότητες αποκοπής f c = 800 Hz και f c2 = 000 Hz. Θέµα 2ο - ιαφορικές Εξισώσεις - 25 µονάδες ίνεται η παρακάτω διαφορική εξίσωση που περιγράφει ένα ΓΧΑ σύστηµα : d 2 yt dt 2 6 dyt dt αʹ 0 µ. Βρείτε τη συνάρτηση µεταφοράς, Hs. + 8yt = 2 dxt dt ϐʹ 2.5 µ. Βρείτε την κρουστική απόκριση του συστήµατος, ht. + 3xt 0 γʹ.5 µ. Μπορείτε να ϐρείτε την απόκριση συχνότητας Hf του συστήµατος µέσω της συνάρτησης µεταφοράς ; Αν ναι, ϐρείτε τη. Αν όχι, αιτιολογήστε. αʹ Εφαρµοζοντας µετασχ. Laplace στη διαφορική εξίσωση, έχουµε d 2 yt 6 dyt + 8yt = 2 dxt + 3xt dt 2 dt dt s 2 Y s 6sY s + 8Y s = 2sXs + 3Xs 2 Hs = 2s + 3 s 2 6s µε πόλους στις ϑέσεις s = 2, s = 4. Άρα το πεδίο σύγκλισης είναι {R{s} > 4}. ϐʹ Είναι Hs = 2s + 3 s 2 6s + 8 = A s 2 + B s 4 4 5

3 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Τελική Εξέταση 3 µε A = 2s + 3 = 7 s 4 s=2 2 B = 2s + 3 = s 2 s=4 2 Οπότε Hs = 7 2 s s 4 και έτσι, αφού η διαφορική εξίσωση περιγράφει ένα αιτιατό σύστηµα ht = 7 2 e2t ut + 2 e4t ut 9 γʹ Οχι, δεν µπορούµε να ϐρούµε το µετασχ. Fourier απ το µετασχ. Laplace γιατί το πεδίο σύγκλισης δεν περιλαµβάνει το ϕανταστικό άξονα. Θέµα 3ο - Μετασχηµατισµός Fourier - 35 µονάδες αʹ 5 µ. Ως γνωστόν, η ϕάση Xf ενός µετασχηµατισµού Fourier Xf δίνεται ως Xf = tan X If X R f 20 µε X R f, X I f το πραγµατικό και ϕανταστικό µέρος του Xf. είξτε ότι για Xf = a e jθf, µε a R, ισχύει Xf = tan sinθf 2 a cosθf ϐʹ 0 µ. Βρείτε το µέτρο Hf και τη ϕάση σε συχνότητα Hf του ΓΧΑ συστήµατος που περιγράφεται από την απόκριση jf 2 ejf Hf = e 2 e jf 22 γʹ0 µ. Η καθυστέρηση οµάδας τf είναι µια συχνά χρησιµοποιούµενη µετρική στην επεξεργασία σήµατος για την ανάλυση της επίδρασης ϕάσης ενός συστήµατος. Ο ορισµός της καθυστέρησης οµάδας δίνεται ως είξτε ότι η καθυστέρηση οµάδας του παραπάνω συστήµατος είναι αʹ Είναι τf = d df Hf3 τf = 8 cosf cosf 24 Xf = a e jθf = a cosθf j sinθf5 = a cosθf j sinθf6 οπότε Xf = tan X If X R f = tan sinθf a cosθf = tan sinθf a cosθf 27

4 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Τελική Εξέταση 4 ϐʹ Για το µέτρο, αφού Zf / Z f =. Για τη ϕάση, Hf = e jf 2 ejf 2 e jf = = 28 Hf = e jf + 2 e jf 2 e jf = e jf + 2 e jf + 2 e jf 29 Αν Zf = 2 e jf = Zf e jφf, τότε Z f = 2 e = jf Zf e = jφf Zf ejφf 30 οπότε Hf = e jf + 2 e jf + 2 e jf 3 και άρα, από το προηγούµενο ερώτηµα Hf = e jf + 2 e jf + 2 e jf 32 = f tan 2 cosf tan 2 cosf = f 2 tan 2 cosf γʹ Είναι τf = d df Hf = = + 2 d df = + 2 tan 2 cosf f 2 tan d df 2 cosf + 2 cosf 2 cosf = cosf 2 cosf 2 cosf + 2 cosf = + 2 cosf2 cosf 2 cosf + cosf2 cosf = cosf + = cosf cos2 f sin 2 f 2 cosf = + 4 cosf 2 2 cosf = cosf 4 cosf 2 2 cosf + sin 2 f + 2 cosf 2 cosf 2 cosf

5 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Τελική Εξέταση 5 4 cosf 2 = cosf + cos 2 f + sin 2 f = + 4 cosf cosf = 4 cosf cosf 5 4 cosf 5 4 cosf = 8 cosf cosf Θέµα 4ο - ΓΧΑ Συστήµατα - 20 µονάδες Εστω το διάγραµµα πόλων-µηδενικών που ϕαίνεται στο Σχήµα 2 για µια ϱητή συνάρτηση µεταφοράς Hs. αʹ.5 µ. Ποιά είναι τα δυνατά πεδία σύγκλισης ; jf ϐʹ 5 µ. Γράψτε µια πιθανή µαθηµατική µορφή για τη συνάρτηση µεταφοράς Hs. γʹ.5 µ. Υπάρχει ευσταθές και αιτιατό σύστηµα που να έχει αυτό το διάγραµµα πόλων-µηδενικών ; Αιτιολογήστε. δʹ 0 µ. Το αντίστροφο σύστηµα H i s ενός συστήµατος Hs ικανοποιεί τη σχέση H i shs =, R H R Hi. Υπάρχει ευσταθές και αιτιατό αντίστροφο σύστηµα για το σύστηµα που έχει το διάγραµµα πόλων-µηδενικών του Σχήµατος 2; αʹ Τα δυνατά πεδία σύγκλισης είναι τρία : R{s} > R{s} < 3 3 < R{s} < ϐʹ Μια πιθανή µαθηµατική µορφή για την Hs είναι η Hs = s + 2s s + 3s + Χ -2 Χ -3 - Σχήµα 2: Σχήµα Θέµατος 4. σ 48 γʹ Ναι, υπάρχει ευσταθές και αιτιατό σύστηµα που να έχει το διάγραµµα αυτό, και είναι το σύστηµα µε πεδίο σύγκλισης R{s} >, αφού είναι δεξιόπλευρο και περιλαµβάνει το ϕανταστικό άξονα. δʹ Το αντίστροφο σύστηµα ϑα είναι της µορφής H i s = s + 3s + s + 2s 49 άρα ϑα έχει έναν πόλο στη ϑέση s = 2 και έναν πόλο στη ϑέση s =. Για να είναι ευσταθές, ϑα πρέπει να περιλαµβάνει το ϕανταστικό άξονα, άρα το πεδίο σύγκλισης 2 < R{s} < είναι υποψήφιο. Οµως ένα τέτοιο πεδίο σύγκλισης αντιστοιχεί σε αµφίπλευρο σήµα στο χρόνο, δηλ. µη αιτιατό. Άρα δεν υπάρχει ευσταθές και αιτιατό αντίστροφο σύστηµα για το σύστηµα µε το διάγραµµα πόλων-µηδενικών του Σχήµατος 2.

6 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Τελική Εξέταση 6 Θέµα 5ο - ειγµατοληψία - 0 µονάδες αʹ µ. Εστω το σήµα xt = cosf 0 t, < t < + 50 Επαληθεύστε ή διαψεύστε την πρόταση : Ο ϱυθµός Nyquist για το παραπάνω σήµα είναι f 0. Σε κάθε περίπτωση δικαιολογήστε την απάντησή σας. ϐʹ 4 µ. Εστω το σήµα { cosf0 t, T < t < T xt = 0, αλλού Επαληθεύστε ή διαψεύστε την πρόταση : Η µοναδική συχνότητα που υπάρχει στο σήµα είναι η f = f 0. Αρα ο ϱυθµός Nyquist είναι 2f 0. Σε κάθε περίπτωση δικαιολογήστε την απάντησή σας. γʹ 4 µ. Σχεδιάστε το ϕάσµα πλάτους του σήµατος του ϐ ερωτήµατος και προτείνετε µια καλή συχνότητα δειγµατοληψίας. ικαιολογήστε την επιλογή σας. αʹ Ο ϱυθµός Nyquist είναι διπλάσιος της µέγιστης συχνότητας που υπάρχει στο σήµα. Το σήµα xt είναι ένα συνηµίτονο άπειρης διάρκειας µε µετασχ. Fourier 5 Xf = 2 δf f δf + f 0 52 και έχει µοναδική συχνότητα την f 0, άρα ο ϱυθµός Nyquist είναι 2f max λανθασµένη. = 2f 0, οπότε η πρόταση είναι ϐʹ Το σήµα xt γράφεται ως και έχει µετασχ. Fourier t xt = cosf 0 trect 2T Xf = 2 δf f δf + f 0 2T sinc2t f = T sinc2t f f 0 + T sinc2t f + f Προφανώς, λόγω των συναρτήσεων sinc, η µοναδική συχνότητα που υπάρχει δεν είναι η f = f 0. πρόταση είναι λανθασµένη. Άρα η γʹ Το ϕάσµα του παραπάνω σήµατος ϕαίνεται στο Σχήµα 3. Μια καλή πιθανή επιλογή ως µέγιστη συχνότητα Xf T -f 0 0 f 0 f Σχήµα 3: Φάσµα σήµατος xt.

7 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Τελική Εξέταση 7 του σήµατος είναι το σηµείο του τρίτου µηδενισµού, δηλ. f max = f 0 + 3, ϑεωρώντας ότι το συχνοτικό 2T περιεχόµενο του σήµατος από εκεί και έπειτα δεν είναι σηµαντικό. Οπότε η συχνότητα δειγµατοληψίας ϑα είναι η f s = 2f T 0 = 2f Οποιαδήποτε παρόµοια απάντηση που ϐασίζεται σε µια καλή ϑεώρηση T του εύρους της σηµαντικής πληροφορίας είναι αποδεκτή όπως για παράδειγµα, f max = f 0 + 2T, f T, κλπ., αλλά όχι κάποια συχνότητα µικρότερη της f 0 ή µικρότερη του πρώτου µηδενισµού.