Θέματα Εξετάσεων Ιουνίου 2003 στο μάθημα Σήματα και Συστήματα και Λύσεις

Transcript

1 Θέματα Εξετάσεν Ιουνίου 00 στο μάθημα Σήματα και Συστήματα και Λύσεις ΘΕΜΑ. μονάδες Έστ το αιτιατό σύστημα d y t y t x t d t όπου x t η είσοδος και y t η έξοδος του συστήματος. α Να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς και η απόκριση συχνότητας του συστήματος. β Να κατασκευαστεί το διάγραμμα Bode. γ Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός ourier της εξόδου του συστήματος για είσοδο x t e u t όπου u t η συνάρτηση μοναδιαίου βήματος. δ Να υλοποιήσετε διαγραμματικά το σύστημα χρησιμοποιώντας αθροιστές πολλαπλασιαστές και ολοκληρτές. Λύση Υπενθυμίζεται ότι η συνάρτηση μεταφοράς H s ενός συστήματος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της κρουστικής του απόκρισης h t, δηλαδή, H s L{ h t} Επίσης η απόκριση συχνότητας H ενός συστήματος είναι ο μετασχηματισμός ourier της κρουστικής του απόκρισης h t, δηλαδή, H { h t}. α Εφαρμόζοντας ML και στα δύο μέλη της διαφορικής εξίσσης και χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της γραμμικότητας και διαφόρισης έχουμε dy t L L{ y t } L{ x t } s s s s dt Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι s H s H s s s Παρατηρούμε ότι έχει πόλο στο σημείο - και επειδή το σύστημα είναι αιτιατό το πεδίο σύγκλισης είναι Re { s} >. Επειδή στο πεδίο σύγκλισης περιέχεται ο φανταστικός άξονας του μιγαδικού επιπέδου η απόκριση συχνότητας βρίσκεται εύκολα ς H H s H s j j Η απόκριση συχνότητας βρίσκεται και εφαρμόζοντας M και στα δύο μέλη της διαφορικής εξίσσης και χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της γραμμικότητας και διαφόρισης έχουμε dy t { y t } { x t } j dt έτσι η απόκριση συχνότητας του συστήματος είναι H H j β Το μέτρο της απόκρισης συχνότητας είναι H 4 H j j 9 t 9

2 και σε db 0log0 H 0log0 0log0 9 στις χαμηλές συχνότητες έχουμε log log 0log0 H 0log0 0log log0 ενώ στις υψηλές συχνότητες έχουμε 0log0 H 0log0 0log0 Για το σημείο db έχουμε 0log0 0log0 0log0 0log0 log0 log0 Στο Σχήμα φαίνεται το διάγραμμα Bode. 0log0 H ασύμπττη ευθεία 0 log 0 Σημείο - d B ασύμπττη ευθεία 0log0 0 log 0 log 0 Σχήμα Το διάγραμμα Bode στο Θέμα. log 0 γ Όταν η είσοδος του συστήματος είναι το σήμα t x t e u t j Από το θεώρημα της συνέλιξης ο μετασχηματισμός ourier του σήματος εξόδου είναι H j j j j δ Στο Σχήμα α υπάρχει η διαγραμματική υλοποιήση του συστήματος η οποία χρησιμοποιεί ένα αθροιστή δύο πολλαπλασιαστές και ένα ολοκληρτή. Στο Σχήμα β υπάρχει εναλλακτική υλοποίησης του συτήματος η οποία απερρέει αν ολοκληρώσουμε τη διαφορική εξίσση. Η υλοποίηση αυτή έχει ένα ολοκληρτή περισσότερο από την πρώτη υλοποίηση. y& t x t yt xt dt dt y t dt α β Σχήμα Διαγραμματικές υλοποίησεις του συστήματος στο Θέμα.

3 ΘΕΜΑ. μονάδες α Να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος y,5 y y,4 x όπου x η είσοδος και y η έξοδος. β Επίσης να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση. Ποια αντιστοιχεί σε ευσταθές σύστημα; γ Να δώσετε διαγραμματική αναπαράσταση του παραπάν φίλτρου. Λύση Υπενθυμίζεται ότι η συνάρτηση μεταφοράς H ενός διακριτού συστήματος είναι ο μετασχηματισμός της κρουστικής του απόκρισης h, δηλαδή, H { h t}. α Εφαρμόζοντας M και στα δύο μέλη της εξίσσης διαφορών και χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της γραμμικότητας και της χρονικής ολίσθησης έχουμε,5,4,5,4 και η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος διακριτού χρόνου είναι,4 H H,5 Οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς είναι και και τα πιθανά πεδία σύγκλισης είναι <, < < και <. β Αναλύουμε τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος σε απλά κλάσματα, H i Αν η περιοχή σύγκλισης είναι > το σύστημα είναι αιτιατό η κρουστική του απόκριση είναι 7 8 u u ή 0,466 h u,866 u h 5 5 ii Αν η περιοχή σύγκλισης είναι < < το σύστημα είναι ευσταθές αφού στο πεδίο σύγκλισης περιέχεται ο μοναδιαίος κύκλος η κρουστική του απόκριση είναι 8 u u h iii Αν η περιοχή σύγκλισης είναι < η κρουστική του απόκριση είναι 8 u u h Αν η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος γραφεί ς,4 H,5 τότε το κλάσμα αυτό δεν αναλύεται σε απλά κλάσματα επειδή ο βαθμός του αριθμητή είναι ίσος με το βαθμό του παρονομαστή. Αναλύουμε σε απλά κλάσματα την ποσότητα H, και έτσι έχουμε 8 5

4 H Αν δεν χρησιμοποιηθεί η παραπάν μεθοδολογία τότε πρέπει να κάνουμε διαίρεση οπότε έχουμε,5,4,5,4 7 H,4,4,4,5 0 0 Γνρίζουμε x a u > a. Λόγ της ιδιότητας a a x έχουμε x a u a a και για το αυστηρά μη αιτιατό εκθετικό σήμα για το οποίο x a u < a a a λόγ της ιδιότητας της ολίσθησης έχουμε > a x a u a a Τώρα η κρουστική απόκριση του ευσταθούς συστήματος διακριτού χρόνου είναι h,4δ < a u u γ Η διαγραμματική αναπαράσταση του φίλτρου είναι στο Σχήμα. x,4 y -,5 y y Σχήμα Η υλοποίηση του φίλτρου του Θέματος. ΘΕΜΑ.,5 μονάδες Δίνεται ένα γραμμικό χρονικά αναλλοίτο σύστημα του οποίου όταν η είσοδος είναι το σήμα xt δ t τότε η έξοδος είναι το σήμα t yt e ut όπου u t η συνάρτηση μοναδιαίου βήματος. α Να υπολογιστεί η έξοδος του συστήματος όταν η είσοδος του συστήματος είναι το σήμα xt si t β Επίσης να υπολογιστούν οι συντελεστές της σειράς ourier της εξόδου και να σχεδιαστεί το μέτρο τους. 4

5 Λύση α Η κρουστική απόκριση h t συστήματος, είναι η έξοδός του, όταν αυτό διεγείρεται από τη συνάρτηση t h t S δ t. Έτσι η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι δ, δηλαδή, { } t at h t e u t ή h t a e u t όπου a και η απόκριση συχνότητας του ΓΧΑ συστήματος είναι a H ή H a j j Η απόκριση συχνότητας του συστήματος μπορεί να βρεθεί και με τη βοήθεια του θερήματος της συνέλιξης ς x t y t e δ t t u t j H H j β Επειδή η είσοδος του συστήματος είναι σήμα μιας συχνότητας η έξοδος βρίσκεται με τη βοήθεια της y t H Asi 0t ϕ arg H 0 Η συχνότητα του σήματος εισόδου είναι 0. Η απόκριση συχνότητας του συστήματος για 0 είναι H ή H j j 4 η οποία σε πολική μορφή γράφεται Έτσι η έξοδος του συστήματος είναι H e j π y t si t Η εύρεση της εξόδου του συστήματος με τη βοήθεια του μετασχηματισμού ourier και του θερήματος της συνέλιξης δεν ενδείκνυται. Η εύρεση της εξόδου με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace και του θερήματος της συνέλιξης είναι αρκετά επίπονη. γ Οι συντελεστές της εκθετικής σειράς ourier προσδιορίζονται όπς στο Παράδειγμα.5. Στο Σχήμα 4 έχει σχεδιαστεί το μέτρο τους. 5 Σχήμα 4 Το μέτρο τν συντελεστών ourier της εξόδου του συστήματος στο Θέμα.

6 6 ΘΕΜΑ 4. μονάδες Ένα γραμμικό χρονικά αναλλοίτο αιτιατό σύστημα έχει κρουστική απόκριση u h όπου u η συνάρτηση μοναδιαίου βήματος. Να βρεθεί η έξοδος του συστήματος όταν το σήμα εισόδου είναι x u. Η αρχική συνθήκη του συστήματος είναι y. Λύση Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι ο μετασχηματισμός της κρουστικής απόκρισης του συστήματος, δηλαδή, H u h με πεδίο σύγκλισης > Επειδή το σύστημα έχει αρχικές συνθήκες, για να προσδιορίσουμε την έξοδό του, θα πρέπει αφού πρώτα προσδιοριστεί η εξίσση διαφορών που το χαρακτηρίζει να ενσματώσουμε την αρχική συνθήκη στην εξίσση, με τη βοήθεια του μονόπλευρου μετασχηματισμού, και έτσι να βρεθεί η έξοδος. Γνρίζουμε H και με αντίστροφο μετασχηματισμό ourier βρίσκεται η εξίσση διαφορών x y y Εφαρμόζουμε μονόπλευρο μετασχηματισμό και λαμβάνοντας υπ όψιν την αρχική συνθήκη έχουμε [ ] y ή τελικά και με αντίστροφο μετασχηματισμό υπολογίζεται η έξοδος του συστήματος u y Αν το σύστημα βρίσκεται αρχικά σε ηρεμία τότε η λύση θα είναι > H u h

7 x u > Ο μετασχηματισμός της εξόδου του συτήματος είναι H με πεδίο σύγκλισης την τομή τν αντιστοίχν, δηλαδή, >. Η έξοδός του τώρα είναι y u u που είναι διαφορετική από τη λύση με αρχική συνθήκη. ΘΕΜΑ 5.,5 μονάδα Δίνεται η διάταξη που περιγράφεται στο Σχήμα 4. xt y t r t H r t cos t cos t c c w w Σχήμα 4 Η διάταξη του Θέματος 5. Στην είσοδο της διάταξης εφαρμόζεται σήμα του οποίου το φάσμα είναι, W W 0, αλλιώς Να σχεδιάσετε τα φάσματα τν σημάτν y t, r t και r t. Δίνεται ότι W < W << c 7. Λύση Η λύση του Θέματος βασίζεται στην ιδιότητα ολίσθησης συχνότητας του μετασχηματισμού ourier αν x t, τότε για κάθε πραγματικό αριθμό 0 ισχύει j t e 0 x t 0 φάσμα περιορισμένου εύρους ζώνης με εύρος ζώνης W. Όπς στο Παράδειγμα.0 προσδιορίζουμε το φάσμα του σήματος t. Στο Σχήμα 5α είναι το φάσμα του σήματος εισόδου x t, που είναι ένα y, το οποίο έχει σχεδιαστεί στο Σχήμα 5β. Το φάσμα αυτό αποτελείται από δύο τμήματα το ένα βρίσκεται στην περιοχή c W ές c W και το άλλο στην περιοχή c W ές c W. Όταν το σήμα y t πολαπλασιαστεί με cos t τότε κάθε μία από τις δύο παραπάν τμήματα ολισθαίνουν στην συχνότητα και έτσι το φάσμα του σήματος r t, R αποτελείται από τέσσερα τμήματα. Ένα βρίσκεται στην περιοχή c W ές c W, ένα άλλο βρίσκεται στην περιοχή c W ές c W, και τα δύο τελευταία στην περιοχή c ές c τα οποία προστίθενται και δίνουν το τριγνικό τμήμα στο μηδέν με πλάτος /. Στο Σχήμα 5γ έχει σχεδιαστεί το φάσμα R. c

8 Τέλος όταν το σήμα r t διέλθει μέσα από το ιδανικό φίλτρο βασικής ζώνης αποκόπτονται τα δύο τμήματα που βρίσκονται στις συχνότητες ± c, ενώ το τμήμα που βρίσκεται στη βασική ζώνη διέρχεται με διπλάσιο πλάτος. Το φάσμα του σήματος r t, R έχει σχεδιαστεί στο Σχήμα 5δ. Παρατηρούμε ότι είναι το ίδιο με το φάσμα του σήματος εισόδου της διάταξης. Στο θέμα αυτό περιγράφεται η διαδικασία της διαμόρφσης και της αποδιαμόρφσης. { x tcos } t W 0 W a c c W c cw 0 β { y t cos } R ct c W c c W 4 c W c c W 0 W γ R W 4 c W c c W W 0 δ W Σχήμα 5 Τα φάσματα τν σημάτν x t y t, r και r. t t 8