ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ «Ευαγόρας Παλληκαρίδης» Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 16/12/06 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30

Transcript

1 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ «Ευαγόρας Παλληκαρίδης» Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 16/12/06 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΠΡΟΤΕΙΝΌΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 1. Ζητήθηκε από τους 30 μαθητές μιας τάξης να επιλέξουν τουλάχιστον ένα από τα αθλήματα: ποδόσφαιρο, αντισφαίριση και καλαθόσφαιρα για το μάθημα της φυσικής αγγής, υπό την προϋπόθεση ότι κανένας δεν θα επιλέξει μόνο ποδόσφαιρο. Πέντε μαθητές επέλεξαν καλαθόσφαιρα, ποδόσφαιρο και αντισφαίριση. Εννέα μαθητές επέλεξαν ποδόσφαιρο και αντισφαίριση. Δεκαοκτώ μαθητές επέλεξαν αντισφαίριση. Από τους είκοσι μαθητές που επέλεξαν καλαθόσφαιρα, οι δώδεκα επέλεξαν επίσης ποδόσφαιρο. Πόσοι μαθητές επέλεξαν αντισφαίριση και καλαθόσφαιρα; Σύμφνα με τα δεδομένα τις άσκησης κατασκευάζουμε το πιο κάτ διάγραμμα: Ποδόσφαιρο 0 Καλαθόσφαιρα Αντισφαίριση Μόνο αντισφαίριση έχουν επιλέξει 30 - ( ) = 6 μαθητές. Άρα οι μαθητές που έχουν Καλαθόσφαιρα και αντισφαίριση μόνο είναι ( 9-6 ) + 5 = = 8.

2 2. Στο πιο κάτ σχήμα είναι ΑΖΕ=ΓΖ ˆ ˆ, ΑΕΖ= ΕΒ ˆ ˆ και Β Ε=Γ Ζ ˆ ˆ. Να αποδείξετε ότι Β Ε=ΕΑΖ ˆ ˆ. Ε x x Ζ B Δ Γ Ονομάζουμε τις γνίες όπς φαίνεται στο σχήμα. ˆ ΔΕΖ=180-2 ˆ ΕΔΖ=180-2 ˆ ΕΖΔ=180-2x ΕΖ+Ε Ζ+ΕΖ = ˆ ˆ ˆ x= (x++)=0 x++=180 (1) Στο ΑΕΖ έχ ΕΑΖ+ΑΖΕ+ΖΕΑ= ˆ ˆ ˆ 180 x++εαζ=180 ˆ (2) Από (1) και (2) έχουμε ˆ ˆ ΕΑΖ==ΒΔΕ. 3. Ένας τριήφιος αριθμός διαιρείται με το 3. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα τν ηφίν του επίσης διαιρείται με το 3. Έστ α ο τριήφιος αριθμός και 3/α. Τότε α = 100x z με x είναι το ηφίο τν εκατοντάδν του, τν δεκάδν και z τν μονάδν. Άρα αρκεί να δείξουμε ότι 3 / (x++z). α = 100x z = (99+1)x + (9+1) + z = 99x + x z = 9(10x + ) + (x + + z) και τελικά (x + + z)= α - 9(10x + ) όμς 3/ 9. (10x + 3) και 3/ α άρα θα διαιρεί και την διαφορά τους. Συνεπώς 3/(x + + z).

3 4. Να βρείτε όλους τους τριηφίους φυσικούς αριθμούς οι οποίοι όταν διαιρεθούν με το 5, 7 και 11 αφήνουν υπόλοιπο 2. α = 5x+ 2 α 2 = 5x Έστ α ένας τέτοιος αριθμός. Τότε θα έχουμε: α = 7y+ 2 α 2= 7y α = 11z+ 2 α 2 = 11z που σημαίνει ότι ο αριθμός ( α 2) είναι κοινό πολλαπλάσιο τν 5,7,11 και άρα πολλαπλάσιο του ΕΚΠ(5,7,11)=385. Έτσι α 2 = 385, α 2= 770, α 2 = 1155,... Τελικά α = 387, α = Να βρείτε πόσοι φυσικοί αριθμοί υπάρχουν ανάμεσα στους αριθμούς 1 και 9999 οι οποίοι δεν έχουν δύο ίδια ηφία συνεχόμενα. Μονοήφιοι: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (εκτός 0) 8 αριθμούς. Διήφιοι: Πρώτο ηφίο Δεύτερο ηφίο Πλήθος αριθμών 1 Όλα εκτός το Όλα εκτός το Όλα εκτός το Όλα εκτός το Όλα εκτός το Όλα εκτός το Όλα εκτός το Όλα εκτός το Όλα εκτός το = 81 αριθμούς Ομοίς, Τριήφιοι: = 729 αριθμούς Τετραήφιοι: = 6561 αριθμούς Άρα συνολικά έχουμε = 7379 αριθμούς.

4 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ «Ευαγόρας Παλληκαρίδης» Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 16/12/06 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΠΡΟΤΕΙΝΌΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 1. Να βρείτε όλους τους τριηφίους φυσικούς αριθμούς οι οποίοι όταν διαιρεθούν με το 5, 7 και 11 αφήνουν υπόλοιπο 2. α = 5x+ 2 α 2 = 5x Έστ α ένας τέτοιος αριθμός. Τότε θα έχουμε: α = 7y+ 2 α 2= 7y α = 11z+ 2 α 2 = 11z που σημαίνει ότι ο αριθμός ( α 2) είναι κοινό πολλαπλάσιο τν 5,7,11 και άρα πολλαπλάσιο του ΕΚΠ(5,7,11)=385. Έτσι α 2 = 385, α 2= 770, α 2 = 1155,... Τελικά α = 387, α = 772

5 2. Να βρείτε πόσοι φυσικοί αριθμοί υπάρχουν ανάμεσα στους αριθμούς 1 και 9999 οι οποίοι δεν έχουν δύο ίδια ηφία συνεχόμενα. Μονοήφιοι: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (εκτός 0) 8 αριθμούς. Διήφιοι: Πρώτο ηφίο Δεύτερο ηφίο Πλήθος αριθμών 1 Όλα εκτός το Όλα εκτός το Όλα εκτός το Όλα εκτός το Όλα εκτός το Όλα εκτός το Όλα εκτός το Όλα εκτός το Όλα εκτός το = 81 αριθμούς Ομοίς, Τριήφιοι: = 729 αριθμούς Τετραήφιοι: = 6561 αριθμούς Άρα συνολικά έχουμε = 7379 αριθμούς.

6 3. Στο σχήμα το ΑΟΒ είναι τεταρτοκύκλιο και η Οx είναι η διχοτόμος της ορθής γνίας ˆ ΑΟΒ. Από το τυχαίο σημείο Γ του τόξου ΑΒ φέρουμε ΓΕ ΟΑ, που τέμνει τη διχοτόμο Οx στο Δ. Να αποδείξετε ότι ( ΓΕ ) + ( Ε ) = ( ΟΑ ). Β X Δ Γ Ο Ε Α Φέρουμε την ΟΓ. Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα στ ορθογώνιο τρίγνο ΟΓΕ. Έχουμε (ΓΕ) 2 +(ΟΕ) 2 =(ΟΓ) 2. Επειδή το τρίγνο ΟΔΕ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές ΟΕ=ΕΔ. Επιπλέον ΟΓ=ΟΑ (ακτίνες) (ΓΕ) 2 +(ΔΕ) 2 =(ΟΑ) 2 4. Να βρείτε όλα τα ζεύγη τν φυσικών αριθμών χ και που επαληθεύουν την εξίσση: χ 2 = x (2 5) 2 5 με α,β,γ και δ μη αρνητικοί ακέραιοι = = = = άρα το x και είναι της μορφής: x=2 5 και=2 5 α β γ δ Συνεπώς 2 α β 2γ 2δ α+2γ β+2δ x = =2 5 Έτσι έχουμε 2 α+2γ β+2δ 4 4 x = 2 5 = 2 5 α+2γ = 4 και β + 2δ = 4 Κατασκευάζουμε τον πιο κάτ πίνακα: α β γ δ α β x=2 5 γ δ =2 5 Λύση (x,) =100 (1,100) = =50 (4,50) = =20 (25,20) = (10000,1) = =10 (100,10) = =25 (16,25) =16. 25=400 5 (400,5) = =4 (625,4) =4. 625= (2500,2) Τα ζεύγη είναι: (1, 100), (4, 50), (25, 20), (10000, 1), (100, 10), (16, 25), (400, 5), (625, 4), (2500, 2).

7 5. Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με >Γ ˆ ˆ. Οι διχοτόμοι ΒΖ και ΔΗ τν γνιών ˆΒ και ˆ ˆ ˆ αντίστοιχα τέμνονται στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι ˆ Α Γ ΒΕΗ =. 2 B x x Η Ε Δ φ Ζ Γ Θέτ ˆ Δ =x, ˆ ˆ, ˆ ΔΖΕ=φκαι ˆ ˆ ΒΕΗ= ˆ ˆ 2 2 =. Στο τρίγνο ΕΖ ˆ έχουμε: φ++ ˆ ˆ ˆ = 180. Επίσης φ=x+γ ˆ ˆ ˆ, αφού ˆφ εξτερική γνιά του ˆ ˆ ΒΖΓ. Άρα ˆx+Γ++ ˆ ˆ ˆ = 180 ˆx+=180 ˆ -Γ-ˆ (1) ΑΒΓΔ τετράπλευρο άρα +B+Γ+Δ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Bˆ Γˆ Δˆ ˆ ˆ Γ = = x+ ˆ ˆ = 180 (2) Από τις (1) και (2) έχουμε ˆ Γ ˆ ˆ ˆ Γ ˆ -Γ ˆ ˆ Γ ˆ = 180 ˆ = 0 = =ΒΕΗ ˆ ˆ

8 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ «Ευαγόρας Παλληκαρίδης» Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 16/12/06 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΠΡΟΤΕΙΝΌΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 1. Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με >Γ ˆ ˆ. Οι διχοτόμοι ΒΖ και ΔΗ τν γνιών ˆΒ και ˆ ˆ ˆ αντίστοιχα τέμνονται στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι ˆ Α Γ ΒΕΗ =. 2 B x x Η Ε Δ φ Ζ Γ Θέτ ˆ Δ =x, ˆ ˆ, ˆ ΔΖΕ=φκαι ˆ ˆ ΒΕΗ= ˆ ˆ 2 2 =. Στο τρίγνο ΕΖ ˆ έχουμε: φ++ ˆ ˆ ˆ = 180. Επίσης φ=x+γ ˆ ˆ ˆ, αφού ˆφ εξτερική γνιά του ˆ ˆ ΒΖΓ. Άρα ˆx+Γ++ ˆ ˆ ˆ = 180 ˆx+=180 ˆ -Γ-ˆ (1) ΑΒΓΔ τετράπλευρο άρα +B+Γ+Δ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Bˆ Γˆ Δˆ ˆ ˆ Γ = = x+ ˆ ˆ = 180 (2) Από τις (1) και (2) έχουμε ˆ Γ ˆ ˆ ˆ Γ ˆ -Γ ˆ ˆ Γ ˆ = 180 ˆ = 0 = =ΒΕΗ ˆ ˆ

9 2. (α) Να αποδείξετε ότι α + β 2 με α>0 και β>0 β α α β α β 2αβ α β 2αβ 0 ( α-β) 2 0 β α + + αληθής! Άρα η αρχική πρόταση ισχύει. (β) Με τη βοήθεια της προηγούμενης σχέσης ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο να αποδείξετε ότι: ( χ++ ) με χ,,>0. χ χ χ χ χ ( χ++ ) + + = = χ χ χ χ χ =9 (α) α + β 2 β α

10 3. Τα τετράπλευρα ΑΒΓΔ και ΚΛΜΝ είναι δύο τετράγνα που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες όπς φαίνεται στο σχήμα. Τα τετράγνο ΑΒΓΔ είναι χρισμένο σε πέντε μέρη (Ε 1, Ε 2, Ε 3, Ε 4 και Ε 5 ). Ο Γιώργος θα βάει τα μέρη Ε 1 και Ε 3 με κόκκινη μπογιά, ενώ τα μέρη Ε 2 και Ε 4 θα τα βάει με μπλε μπογιά. Το μέρος Ε 5 δεν θα το βάει. Να αποδείξετε ότι θα χρειαστεί την ίδια ποσότητα κόκκινης και μπλε μπογιάς. Α α Β Ε 1 x Ε 2 Κ Λ Ε 4 z Ε 5 β Ν Μ Ε 3 Δ Γ Θέτ χ, z, και τα ύη για τα τραπέζια ΑΒΛΚ, ΑΚΝΔ, ΔΝΜΓ και ΓΜΛΒ αντίστοιχα. Επίσης η πλευρά του τετραγώνου ΑΒΓΔ ας είναι α και του ΚΛΜΝ β. Τότε έχουμε τα εμβαδά τν τραπεζίν: ( ) α+β x α+β E= 1 = x 2 2 α+β α+β α+β E= 2, E= 3 και E= 4 z Άρα α+β α+β α+β α+β E+E 1 3= x+ = (x+)= (α-β) α+β α+β α+β α+β E+E 2 4= + z= (+z)= (α-β) E+E 1 3=E 2+E4 άρα θα χρειαστεί η ίδια ποσότητα κόκκινης και μπλε μπογιάς.

11 4. Να υπολογίσετε το γινόμενο: = ( 2 1)( 2+ 1) ( 3 1)( 3+ 1) ( 4 1)( 4+ 1) ( )( ) = = = =

12 5. Να βρείτε όλες τις τριάδες (μ,κ,ν) τν θετικών ακεραίν που ικανοποιούν την 2μ 3κ 4ν αναλογία: = = 2+μ 3+κ 4+ν. Για κάθε μ Ν είναι 2μ 2, 2+μ < αφού αν υποθέσουμε ότι 2μ 2 2μ 4 2μ μ + αδύνατο! 2μ 3κ 4ν Έτσι από την αναλογία = = (1) έχουμε: 2+μ 3+κ 4+ν 3κ 2 3κ 6 2κ κ 6 3+κ < < + < και 4ν 2 4ν 8+2ν ν 4 4+ν < < < Άρα κ 1,2,3,4,5} και ν 1,2,3, έτσι έχουμε τις πιο κάτ περιπτώσεις: { { } Αν ν=1, τότε από (1) έχουμε: 2μ 4 4 = 10µ= 8+ 4µ µ= Ν 2+μ 5 3 3κ 4 12 = 15κ= 12+ 4κ κ= Ν 3+κ 5 11 Αν ν=2, τότε από (1) έχουμε: 2μ 4 = 6µ= 8+ 4µ µ= 4 Ν 2+μ 3 3κ 4 12 = 9κ= 12+ 4κ κ= Ν 3+κ 3 5 Αν ν=3, τότε από (1) έχουμε: 2μ 12 = 14µ= µ µ= 12 Ν 2+μ 7 3κ 12 = 21κ= κ κ= 4 Ν 3+κ 7 Άρα (μ, κ, ν) = (12, 4, 3)