Έστω οι παρακάτω περιπτώσεις τοµής ενός κώνου µε ένα επίπεδο:

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Έστω οι παρακάτω περιπτώσεις τοµής ενός κώνου µε ένα επίπεδο:"

Ἀβειρὼν Αποστολίδης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ CAD Έστω οι παρακάτω περιπτώσεις τοµής ενός κώνου µε ένα επίπεδο: σχ.1 Σύµφωνα µε τη θεωρία, όταν ο κώνος κοπεί µε επίπεδο παράλληλο σε επίπεδο που περιέχει την κορυφή του και δεν τον τέµνει σε άλλο σηµείο, τότε η τοµή θα είναι µια έλλειψη. Όταν το επίπεδο τοµής είναι παράλληλο σε επίπεδο που περιέχει την κορυφή του κώνου και εφάπτεται σε µία γενέτειρά του, τότε η τοµή είναι µια παραβολή. Τέλος, όταν το επίπεδο τοµής είναι παράλληλο σε επίπεδο που περιέχει την κορυφή του κώνου και δύο γενέτειρες αυτού, τότε η τοµή είναι µια υπερβολή (ο ένας κλάδος). (σχ.1) Όταν χρησιµοποιούµε ένα πρόγραµµα CAD όπως είναι το AutoCAD, και χρειάζεται να σχεδιάσουµε µια κωνική τοµή, αυτό µπορεί να γίνει είτε µε γραφικές µεθόδους, όπως θα το αντιµετωπίζαµε µε κανόνα και διαβήτη, είτε µε πράξεις προβολών και τοµών πάνω στον ίδιο τον κώνο, από τον οποίο θα πάρουµε την καµπύλη, ως τοµή του µε ένα επίπεδο. Στη δεύτερη περίπτωση, χρειάζεται να γνωρίζουµε τον αρχικό κώνο (την ακτίνα της βάσης και το ύψος του στην περίπτωση του ορθού εκ περιστροφής) καθώς επίσης και τη θέση και κλίση του επιπέδου τοµής. Στη συνέχεια θα εξεταστεί µία περίπτωση τοµής ενός δοθέντος κώνου µε δοθέν επίπεδο, ξεκινώντας µε την κατασκευή του τρισδιάστατου µοντέλου και δουλεύοντας στις τρεις διαστάσεις. (σχ.2) 1

2 σχ.2 Στο σχ.2 φαίνεται σε δύο προβολές ο κώνος και το επίπεδο τοµής, το οποίο είναι παράλληλο σε επίπεδο που περιέχει την κορυφή του κώνου και δεν έχει άλλο κοινό σηµείο µε αυτόν. Συνεπώς, σύµφωνα µε τη θεωρία, περιµένουµε η τοµή του κώνου µε το επίπεδο αν είναι µια έλλειψη. Αρχικά, δουλεύοντας σε αξονοµετρική άποψη, µε την εντολή rotate 3d περιστρέφουµε το δεύτερο επίπεδο προβολής γύρω από τον άξονα y12, ώστε να έρθει σε κατακόρυφη θέση και κατασκευάζουµε το τρισδιάστατο µοντέλο του κώνου. (σχ.3) Πλέον, έχουµε πλήρη εποπτεία της κατεύθυνσης του επιπέδου τοµής. σχ.3 Στη συνέχεια, µε την εντολή slice κόβουµε τον κώνο µε το επίπεδο ως εξής: Έχοντας εισάγει την εντολή, επιλέγουµε τον κώνο και λέµε στο πρόγραµµα ότι θα δείξουµε το επίπεδο τοµής επιλέγοντας τρία σηµεία αυτού. (τρία σηµεία ορίζουν επίπεδο): 2

3 Slice επιλογή κώνου 3 επιλογή των τριών σηµείων του επιπέδου, δηλαδή της κορυφής Ο, ενός σηµείου πάνω στον ηµιάξονα Οx και ενός τρίτου σηµείου πάνω στον ηµιάξονα Oy. Λέµε στο πρόγραµµα να κρατήσει και τα δύο τµήµατα του κώνου που έχει δηµιουργήσει µετά την τοµή, πληκτρολογώντας Β (από τη λέξη both). Το αποτέλεσµα είναι εκείνο που φαίνεται στο σχ.4 και σβήνοντας το επάνω µέρος του κώνου προκύπτει το σχ.5. σχ.4 σχ.5 Τέλος, εκτελώντας την εντολή explode στο κάτω τµήµα του κώνου, «διαλύουµε» το στερεό στις επιφάνειες από τις οποίες αποτελείται. (σχ.6) Παίρνουµε δηλαδή την ελλειπτική επιφάνεια της επάνω βάσης του κοµµένου κώνου, την κυκλική επιφάνεια της κάτω βάσης του και την παράπλευρη κωνική επιφάνεια. Εκτελώντας για δεύτερη φορά την εντολή για την επάνω ελλειπτική βάση, η επιφάνεια χάνει τις ιδιότητές της, και αυτό που αποµένει είναι το περίγραµµά της, δηλαδή η έλλειψη της τοµής. (σχ.7) σχ.6 3

4 Η καµπύλη της έλλειψης είναι δυνατόν να σχεδιαστεί απευθείας µέσω της εντολής ellipse του προγράµµατος. Στην περίπτωση όµως της παραβολής ή της υπερβολής δεν ισχύει κάτι τέτοιο. Στις περιπτώσεις αυτές καλούµαστε να σχεδιάσουµε τις καµπύλες ως τοµή ενός κώνου µε ένα επίπεδο, όπως αναπτύχθηκε παραπάνω. (σχ.8) σχ.7 σχ.8 4

5 Σύµφωνα µε το θεώρηµα του Dadelin της προβολικής γεωµετρίας, µπορούµε να βρούµε τις εστίες της έλλειψης της τοµής εγγράφοντας δύο σφαίρες µέσα στον κώνο. Μία πάνω από το επίπεδο τοµής και µία κάτω από αυτό. (σχ.9) Οι σφαίρες αυτές θα εφάπτονται τόσο στον κώνο, όσο και στο επίπεδο τοµής αυτού. Τα σηµεία επαφής τους µε το επίπεδο τοµής µας δίνουν τις δύο εστίες της έλλειψης της τοµής. σχ.9 5

Σχετικά έγγραφα

{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1)

{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1. Γενικά Επειδή οι επιφάνειες δευτέρου βαθµού συναντώνται συχνά στη µελέτη των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών θεωρούµε σκόπιµο να τις περιγράψουµε στην αρχή του βιβλίου