Συνδυαστική Βελτιστοποίηση

Transcript

1 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 1 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Άγγελος Σιφαλέρας sifalera@uom.gr 1 η Διάλεξη

2 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 2 Ανακοινώσεις Μετά από κάθε μάθημα, θεωρία ή εργαστήριο, διαφάνειες, κώδικες και υποστηρικτικό υλικό θα ανακοινώνονται στην διεύθυνση sifalera@uom.gr Ώρες γραφείου κάθε Τρίτη 11:00 13:00

3 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 3 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Βιβλίο Παπαρρίζος Κ., Σαμαράς Ν., Σιφαλέρας Α., Δικτυακή Βελτιστοποίηση, Εκδόσεις Ζυγός, 2009.

4 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 4 Τι είναι η Συνδυαστική Βελτιστοποίηση? Ποια η εφαρμογή των μοντέλων Συνδυαστικής Βελτιστοποίησης? Ένα πρώτο παράδειγμα?

5 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 5 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή Στα προβλήματα Συνδυαστικής Βελτιστοποίησης αναζητούμε ένα αντικείμενο από ένα πεπερασμένο σύνολο, (συνήθως είναι ένα γράφημα, ένας ακέραιος αριθμός, ένα σύνολο ή μια μετάθεση.

6 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 6 Περιγραφή Το μάθημα αυτό στοχεύει σε μια εισαγωγή στα μοντέλα βελτιστοποίησης δικτύων και στον ακέραιο προγραμματισμό. Θα δοθεί έμφαση στη μοντελοποίηση και στις εφαρμογές βελτιστοποίησης στη σχεδίαση δικτύων ευρείας κλίμακας. Στο μάθημα παρουσιάζονται τα ακόλουθα θέματα: το πρόβλημα των ελαχίστων δρόμων, το πρόβλημα του ελαχίστου δένδρου καλύμματος, το πρόβλημα της εύρεσης μεγίστης ροής και το πρόβλημα της εύρεσης ροής ελαχίστου κόστους.

7 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 7 Περιγραφή (συνέχεια) Επιπλέον, θα γίνει μια εισαγωγή σε τεχνικές μοντελοποίησης και επίλυσης προβλημάτων ακεραίου προγραμματισμού, στον αλγόριθμο κλάδου & φραγής, στο δυναμικό προγραμματισμό αλλά ενδεχομένως και σε ειδικά προβλήματα όπως δένδρα Steiner και το πρόβλημα του πλανόδιου εμπόρου (TSP). Σε κάθε ενότητα, εκτός από την μεθοδολογία, θα παρουσιαστεί και η χρήση σύγχρονων λογισμικών πακέτων βελτιστοποίησης όπως η γλώσσα μοντελοποίησης AMPL και οι λύτες CPLEX & Gurobi.

8 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 8 Ένα πρώτο παράδειγμα Σχεδίαση δικτύων μεγάλης κλίμακας Τηλεπικοινωνιακών δικτύων Οδικών δικτύων Δικτύων ηλεκτρισμού κ.α. Εφαρμογές στη βελτιστοποίηση εφοδιαστικής αλυσίδας Δρομολόγηση οχημάτων Χωροταξική τοποθέτηση αποθηκών

9 Ένα δεύτερο παράδειγμα (A cutting stock example) Η βιομηχανία χαρτιού χρησιμοποιεί ακέραιο προγραμματισμό για να βρει το βέλτιστο σύνολο τρόπων κοπής των ρολών χαρτιού διαφόρων μεγεθών (best mix of cutting patterns). Παρόμοια εφαρμογή συναντούμε και στις εταιρίες παραγωγής φύλλων μεταλλικής πλάκας (sheet steel producers), όπου κόβονται λωρίδες σιδήρου διαφόρων μεγεθών από λεπτά ρολά σιδήρου. Έστω για παράδειγμα, ότι μια εταιρία παράγει ρολά πλάτους 110 από λεπτά φύλλα μεταλλικής πλάκας και έπειτα τα κόβει σε μικρότερα ρολά πλάτους 12, 15 και 30 για τους πελάτες της. Η ζήτηση για αυτά τα μεγέθη πλάτους ποικίλλει κάθε εβδομάδα. Υπάρχουν αρκετοί τρόποι κοπής των ενός ρολού πλάτους 110 σε μεγέθη των 12, 15 και 30. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 9

10 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 10 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Ένα δεύτερο παράδειγμα συνέχεια (A cutting stock problem) Ένας τρόπος κοπής cutting pattern είναι ένας συνδυασμός του αριθμού των ρολών μικρότερου μεγέθους, κάθε τύπου, τα οποία θα κοπούν από την αρχική μεταλλική πλάκα (π.χ. 110 = 7* ). Το ζητούμενο σε αυτό το πρόβλημα είναι να αξιοποιηθεί όσο γίνεται περισσότερη από την αρχική μεταλλική πλάκα, δίχως να μείνουν άχρηστα περισσεύματα. Έστω, ότι η εταιρία προτείνει τους ακόλουθους τρόπους κοπής. Μέγεθος του τελικού ρολού Τρόπος περίσσευμα

11 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 11 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Ένα δεύτερο παράδειγμα συνέχεια (A cutting stock example) Η ζήτηση για αυτήν την εβδομάδα είναι ρολά, ρολά και ρολά. Η εταιρία θέλει να αναπτύξουμε ένα μοντέλο το οποίο θα προσδιορίζει το πλήθος των 110 ρολών τα οποία θα κοπούν με κάθε ένα τρόπο κοπής, έτσι ώστε να ικανοποιήσει τη ζήτηση των πελατών της αλλά και να ελαχιστοποιήσει το περιττό περίσσευμα.

12 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 12 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Ένα δεύτερο παράδειγμα συνέχεια (A cutting stock example) Min z = 5x + 5x + 8x + 2x + 11x + 11x x +0x +1x +9x +2x +7x x +1x +0x +0x +1x +1x x +3x +3x +0x +2x +0x x i (12" ρολά) 715 (15" ρολά) 630 (30" ρολά)

13 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 13 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Διαφορές στις λύσεις προβλημάτων γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Εφικτή περιοχή προβλήματος ακεραίου προγραμματισμού

14 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 14 Διαφορές στις λύσεις προβλημάτων γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού, (συνέχεια) Αλγόριθμος κλάδου & φραγής (Branch & bound algorithm)

15 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 15 Λογισμικά πακέτα για προβλήματα Συνδυαστικής Βελτιστοποίησης AMPL (A Mathematical Programming Language) AMPL is a comprehensive and powerful algebraic modeling language for linear and nonlinear optimization problems, in discrete or continuous variables. Developed at Bell Laboratories, AMPL lets you use common notation and familiar concepts to formulate optimization models and examine solutions, while the computer manages communication with an appropriate solver. AMPL's open interface makes possible a wide variety of solver connections. In most cases, the solver linking code is available at no additional charge. Solvers for which links have been constructed include CPLEX, GUROBI, MINOS, MOSEK, etc.

16 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 16 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Λογισμικά πακέτα για προβλήματα Συνδυαστικής Βελτιστοποίησης (συνέχεια) IBM ILOG CPLEX Optimizer www-01.ibm.com/software/integration/optimization/cplex-optimizer Model business issues mathematically and solve them with IBM ILOG CPLEX Optimizer's powerful algorithms to produce precise and logical decisions. IBM ILOG CPLEX Optimizer's mathematical programming technology enables analytical decision support for improving efficiency, reducing costs, and increasing profitability.

17 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 17 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Λογισμικά πακέτα για προβλήματα Συνδυαστικής Βελτιστοποίησης (συνέχεια) Gurobi Optimizer The Gurobi Optimizer is a state-of-the-art linear programming (LP) and mixedinteger programming (MIP) solver, built from the ground up to exploit modern multi-core processors. For solving LP models, the Gurobi Optimizer includes high-performance implementations of the primal simplex method, the dual simplex method, and a parallel barrier solver. For MIP models, the Gurobi Optimizer incorporates the latest methods including cutting planes and powerful solution heuristics. All models benefit from advanced presolve methods to simplify models and slash solve times.

18 Βιβλιογραφία στη Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Alexander Schrijver, Combinatorial Optimization: Polyhedra and Efficiency, Springer, Jon Lee, A First Course in Combinatorial Optimization, Cambridge University Press, Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 18

19 Διεθνή Συνέδρια στη Συνδυαστική Βελτιστοποίηση The 16 th Conference on Integer Programming and Combinatorial Optimization (IPCO XVI) March 18-20, 2013, Valparaíso Chile. International Network Optimization Conference (INOC 2013) May 20-22, 2013, Tenerife, Spain. The 25 th Conference of the European Chapter on Combinatorial Optimization (ECCO) April 26-28, 2012, Antalya, Turkey. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 19

20 Διεθνή Περιοδικά στη Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 20 Journal of Combinatorial Optimization Mathematical Programming