ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. τέτοιο ώστε. στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χχ. της γραφικής παράστασης της f x με. Κατηγορίες Ασκήσεων

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. τέτοιο ώστε. στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χχ. της γραφικής παράστασης της f x με. Κατηγορίες Ασκήσεων"

Κασσιέπεια Κυπραίος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Διατύπωση: Εάν για μια συνάρτηση ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE x ισχύουν Η x συνεχής στο [α,β] Η x παραγωγίσιμη στο (α, β) a τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ' 0 Γεωμετρική Ερμηνεία : Γεωμετρικά το θεώρημα ROLLE εξασφαλίζει ότι υπάρχει Ένα τουλάχιστον σημείο M,, στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χχ της γραφικής παράστασης της x με Κατηγορίες Ασκήσεων 1 η ) Συνθήκες Συμπεράσματα στο Θ Rolle είναι προτιμότερο να εξετάσουμε πρώτα αν ισχύει η σχέση a αν δεν ισχύει μία από τις παραπάνω συνθήκες, τότε το θεώρημα δεν ισχύει Για μια συνάρτηση, ' 0, χωρίς να ισχύουν στο [α,β] x μπορεί να υπάρχει με κάποιες από τις προϋπόθεσης του θεωρήματος Rolle Αφού διαπιστώσουμε ότι ισχύει το Θ Rolle Βρίσκουμε την παράγωγο '( x ) και λύνουμε την εξίσωση '( ) 0 1) Να εξετασθεί αν ισχύει το θεώρημα ROLLE για τις επόμενες συναρτήσεις στο διάστημα [α, β] και να βρεθούν οι ρίζες της παραγώγου στο (α, β) i ( x) x 6x, [-1, 7] ii ( x) x 1 x, [1, ] iii ( x) x (1 x), [0, π] x x x, 1 iv ( x), [-, ] 8x x, x 1 v ( x) x, [-1, 1] ) Να εξετασθεί αν ισχύει το θεώρημα ROLLE για τις επόμενες συναρτήσεις στο διάστημα [α, β] και να βρεθούν οι ρίζες της παραγώγου στο (α, β) i 1 x, x0 ( x), [-1, 1] 1 x, x 0 ii 4x, x1 ( x), [-, ] x 5 x, x 1 iii x 4x 1, x ( x), [-6, 0] 4x 16 x, x g x x e x x παραγωγίσιμη στο R και )Δίνεται η συνάρτηση, όπου η ισχύει 0 0 Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 0, ' τέτοιο ώστε

2 4) Δίνεται η συνάρτηση :, a, η οποία είναι συνεχής στοa, και παραγωγίσιμη στο (α, β) Να αποδείξετε ότι : i Για τη συνάρτηση στο a, x g x e x a x ii Υπάρχει, τέτοιο ώστε, ' 5)Έστω μια συνάρτηση 0 0 ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος ROLLE x συνεχής στο 1 1 a 0, και 0, και παραγωγίσιμη στο i Να δείξετε ότι για τη συνάρτηση g x x x, x 0, θεωρήματος ROLLE στο 0, ii Να δείξετε ότι υπάρχει το 0, τέτοιο ώστε ' ισχύουν οι προϋποθέσεις του η ) Εύρεση Παραμέτρων Αν δίνετε μια συνάρτηση x με παραμέτρους και θέλουμε να βρούμε τις τιμές Των παραμέτρων αυτών, ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle σε κάποιο Δοσμένο διάστημα a,, τότε απαιτούμε a Η x να είναι συνεχής στο, στο σημείο x 0, όταν η Η a, κάνοντας ενδεχομένως χρήση του ορισμού για τη συνέχεια x δίνεται κατά κλάδους x να είναι παράγωγίσιμη στο(α, β), κάνοντας ενδεχομένως και εδώ χρήση του ορισμού της παραγώγου x a x 1, 0 1, 0 6) Δίνεται η συνάρτηση x x x x i Να βρείτε τις τιμές των a, έτσι ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο διάστημα 1,1 ii Να εφαρμόσετε το θεώρημα για την x στο 1,1 ax x 1, 1 1, 1 7) Δίνεται η συνάρτηση x x a x x i Να βρείτε τις τιμές των a,, έτσι ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο 1, ii Να εφαρμόσετε το θεώρημα για την x στο 1, 8) Δίνεται η συνάρτηση x i Να βρείτε τις τιμές των,, x ax x, 0 4, 0 x x x a έτσι ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο, ii Να εφαρμόσετε το θεώρημα για την, x στο η ) Πολλαπλή Εφαρμογή του Θ Rolle Σε ορισμένα θέματα είναι απαραίτητο να εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle περισσότερες από μία φορές και μάλιστα σε διαφορετικά διαστήματα, αλλά πιθανόν και στις,,, αρκεί βέβαια να πληρούνται οι προϋποθέσεις Αξίζει εδώ να αναφέρουμε ότι ανάμεσα σε δύο ρίζες της θα υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της, όπου παραγωγίσιμη συνάρτηση στο διάστημα των ριζών αυτών

3 9) Μία συνάρτηση : i Υπάρχουν 1, ii Υπάρχει 1, είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με 1 x x διαφορετικά μεταξύ τους τέτοια, ώστε ' x1 ' x τέτοια, ώστε '' 0 10) Αν η συνάρτηση x είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο a, με a και ' a ' 0, να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε ''' 0 Να αποδειχθεί ότι : 11) Αν η συνάρτηση x είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο a, με a ' a 0 και ' 0, να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε ''' 0 4 η ) Rolle σε βοηθητική συνάρτηση Μεθοδολογία Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και δημιουργούμε συνάρτηση g(x), θέτοντας όπου χ το ξ βρίσκουμε μια συνάρτηση G(χ) που έχει παράγωγο την g(x) δηλαδή G'( x) g( x) Δείχνουμε ότι για την G(χ) ισχύει το θεώρημα ROLLE οπότε υπάρχει (, ) ώστε G'( ) 0 δηλαδή g( ) 0 που είναι η ζητούμενη σχέση Παρακάτω αναφέρουμε τις ποιο χαρακτηριστικές περιπτώσεις που συναντάμε Συχνότερα 1) ΜΟΡΦΗ : '( ), Θεωρούμε G( x) ( x) x, και αν για τη G ισχύει το θεώρημα Rolle οπότε υπάρχει (, ) ώστε G'( ) 0 δηλαδή '( ) 0 '( ) ) ΜΟΡΦΗ : '( ) ( ) Θεωρούμε τη διαφορά '( x) ( x) 0 Τότε πολλαπλασιάζουμε με e x δηλαδή x x x x x e '( x) e ( x) e '( x) ( e )' ( x) e ( x) ' 0 x οπότε θέτουμε G( x) e ( x) στην οποία εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle οπότε υπάρχει (, ) ώστε G'( ) 0 από το οποίο δείχνουμε τη ζητούμενη σχέση ) ΜΟΡΦΗ : '( )( ) ( ) Θεωρούμε τη διαφορά '( x)( x) ( x) 0 Τότε ισχύει '( x)( x) ( x)' ( x) 0 [( x) ( x)]' 0, από όπου καταλαβαίνουμε ότι πρέπει να θέσουμε την G( x) ( x) ( x) Στην οποία εφαρμόζουμε το θεώρημα ROLLE οπότε υπάρχει (, ) ώστε G'( ) 0 4) ΜΟΡΦΗ : '( )( ) ( ) Θεωρούμε τη διαφορά '( x)( x ) ( x) 0 τότε '( x)( x ) ( x )' ( x) 0 οπότε x '( x)( x ) ( x )' ( x) ( x) 0 ' 0 ( x) x άρα θέτουμε ( x) Gx ( ) x

4 5) ΜΟΡΦΗ : '( ) 1 Θεωρούμε τη διαφορά 1 '( x) x 0 τότε έχουμε '( x) x ' 0 ( x) x ' 0, οπότε θέτουμε G( x) ( x) x 1) Αν η συνάρτηση x είναι παραγωγίσιμη στο R και 0 δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα, : i ' 0 ii ' iii ' 0 1) Έστω μια συνάρτηση x συνεχής στο, και a 0 να a και παραγωγίσιμη στο a, i Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ' ii Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της x στο σημείο A, αξόνων διέρχεται από την αρχή των 14) Μία συνάρτηση x είναι συνεχής στο a, και παραγωγίσιμη στο a, Αν a, να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα, Ώστε ' 15) Μία συνάρτηση είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο 0,1 με συνεχή παράγωγο στο 0,1 και ισχύουν οι σχέσεις 1 0 και Να αποδείξετε ότι : 0,1 i Υπάρχει τέτοιο, ώστε ' ii Υπάρχει a 0,1 τέτοιο, ώστε 16) Μία συνάρτηση : με 1 ' a a ' 0 0 τέτοιο 1 1 η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R Να αποδείξετε ότι υπαρχει ξ>0 τέτοιο, ώστε ' 17) Δίνονται οι συναρτήσεις, g: Οι, g είναι παραγωγίσιμες στο a, και είναι συνεχής στο a, i Αν g xg ' x 0 για κάθε x a, και a g g a ', τέτοιο, ώστε g' g ii Αν xg x 0 για κάθε x a, και a g, g ' g' υπάρχει, τέτοιο, ώστε 0 g, να αποδείξετε ότι υπάρχει να αποδείξετε ότι

5 5 η ) Ύπαρξη Ρίζας με το Θ Rolle Εάν θέλω να δείξω ότι η εξίσωση x 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (α, β) και δεν εφαρμόζεται το θεώρημα Bolzano ή κάποια άλλη μέθοδος επίλυσης εξισώσεων τότε βρίσκω F(x) μία αρχική της (Δηλαδή F (x)=(x)) και εφαρμόζω το θεώρημα Rolle 18) Να δειχθεί ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν τουλάχιστον μία ρίζα σε κάθε διάστημα: x x 0 στο (0, 1) για κάθε i ii iii 4 1 x x x a στο (0, 1) για κάθε a, x x στο (0, 1) για κάθε, 19) Αν α +5β+10γ=0, να αποδείξετε ότι η εξίσωση ax 4 x 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα το (0, 1) 0) Αν για κάθε,,, ισχύει 0 να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 x x x 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα το (0, 1) 1) Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν τουλάχιστον δύο ρίζες σε κάθε διάστημα : x 4 x x x 0 στο (-, ) i ii 4 5x 4x x 6x 6 στο (-1, ) 6 η ) Ύπαρξη ακριβώς μία ή το πολύ μία Ρίζας στο (α, β) με το Θ Rolle Α Για να δείξω ότι η έχει ακριβώς μία ρίζα τότε 1 ον Δείχνω ότι έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α, β) με το θ Bolzano ή προφανή ρίζα ή με το Θ Rolle σε αρχική συνάρτηση ον Δέχομαι ότι έχει και δεύτερη ρίζα έστω εκτός της 1 που βρήκα παραπάνω και εφαρμόζω το Θ Rolle στο διάστημα, και καταλήγω σε άτοπο 1 Β Για να δείξω ότι η έχει το πολύ μία ρίζα στο (α, β) Δέχομαι ότι έχει δύο ρίζες 1, και εφαρμόζω το Θ Rolle στο διάστημα 1, και καταλήγω σε άτοπο οπότε έχει το πολύ μία Γ Γενικά για να δείξω ότι μια εξίσωση έχει το πολύ ν τότε δέχομαι ότι έχει ν+1 και εφαρμόζοντας πολλαπλά το ΘRolle και καταλήγω σε άτοπο ) Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν μοναδική ρίζα στο διάστημα Δ στις εξής περιπτώσεις : 8x 5 6x 1 x, Δ=(0, 1) i ii x 1 ax, 0<α<1, Δ=(-, -1) iii ln x ax 0, 0<α<e, Δ=( 1 e, 1) iv ln x x, Δ=(1, e) ) Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν το πολύ μία ρίζα στο διάστημα Δ στις εξής περιπτώσεις : i x 9x 1x 17 0, Δ=(1, ) ii 6x 9x x 1 0, Δ=(0, 1)

6 4 4) Αν α<0, να αποδείξετε ότι η εξίσωση x ax x 0 έχει το πολύ δύο ρίζες στο (0, 1) 5) Δίνετε η συνάρτηση : '' x 0 δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με για κάθε x Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 0 έχει το πολύ δύο ρίζες τρεις φορές παραγωγίσιμη στο R με ''' x 0 6) Δίνετε η συνάρτηση : για κάθε x Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 0 έχει το πολύ τρεις ρίζες 7) Δίνονται οι συναρτήσεις x x και g x x x x Να αποδείξετε ότι οι C και C g έχουν ακριβώς δύο κοινά σημεία που έχουν τετμημένες και x x1,0 0, Θεωρητικές Ασκήσεις 8) Δίνετε η συνάρτηση : για κάθε x '' x 0 δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με x έχει το πολύ δύο ρίζες i Να αποδείξετε ότι η εξίσωση εξίσωση 0 ii Η συνάρτηση ' x είναι «1-1» iii Αν 1, να αποδείξετε ότι η εξίσωση x x ' x 9) Δίνετε η συνάρτηση : δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, να αποδείξετε τα παρακάτω: έχει ακριβώς μια ρίζα στο (1, ) i Μεταξύ δύο ριζών της x 0 υπάρχει τουλάχιστον μια ρίζα της εξίσωσης ' x 0 ii Μεταξύ δύο ριζών της της εξίσωσης ' x 0 υπάρχει τουλάχιστον μια ρίζα της εξίσωσης '' x 0 iii Μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της εξίσωσης ' x 0 υπάρχει το πολύ μία ρίζα της εξίσωσης x 0 iv Αν εξίσωση ' x 0 έχει ακριβώς μία ρίζα στο R, τότε η εξίσωση x 0 έχει το πολύ δύο διαφορετικές ρίζες

Σχετικά έγγραφα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει: