5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Εύρεση Ριζών.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Εύρεση Ριζών."

Νέστωρ Κρεστενίτης
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Εύρεση Ριζών

2 Εύρεση Ριζών Πρόβλημα : Ζητείται x 0, τέτοιο ώστε f(x 0 )=0 x0 : ρίζα, ή μηδενικό (zero of a function)

3 Παράδειγμα Για τον BJ : Να βρεθεί το (m: μάζα) ώστε v = 36 m/s, για t = 4 s Δίνεται ότι C D = 0,25 kg /s Πρώτη σκέψη: Γραφική Μέθοδος Εύκολη εφαρμογή, καλή εικόνα του προβλήματος Δύσκολη αλγοριθμική επίλυση Υπολογιστικές Μέθοδοι Κλειστές (Bracketing) εγκλωβισμός της ρίζας σε κλειστό διάστημα Ανοιχτές (open) αναζήτηση ξεκινώντας από μια αρχική εκτίμηση

4 Βασίζονται στο: Κλειστές (Bracketing) χρειάζονται δυο αρχικές εκτιμήσεις (initial guesses) συγκλίνουν πάντα (όταν ξεκινήσουν) Αν x, f(x) R και f συνεχής για x (x l, x u ), και f(x l )*f(x u ) < 0 τότε ξ (x l, x u ) : f(ξ) = 0 x l, x u =? Εύρεση των x l, x u με σταδιακή επαύξηση του διαστήματος (incremental search) Υπάρχουν πολλές εναλλακτικές Μπορεί να χαθεί ρίζα από μεγάλη επαύξηση του διαστήματος

5 Μέθοδος διχοτόμησης (bisection method) f(x) x u x x l Εκτιμήσεις, x r, της ρίζας με διαδοχικά βήματα εγκλωβισμού της. Διχοτόμηση (bisection) του διαστήματος (x l, x u ) x r = (x l +x u )/2 Τερματισμός: ε a < ε f (κριτήριο τερματισμού, πχ ε f = 5*10-3 ) ε a = x r (n) xr (n 1) x r (n)

6 Σύγκλιση της μεθόδου Πορεία σύγκλισης - Απόδειξη Ε a > Ε t, γιατί? ασφάλεια εκτίμησης η μέθοδος συγκλίνει πάντα στη ρίζα!

7 Ανοιχτές Μέθοδοι (open methods): χρειάζονται μια αρχική εκτίμηση (initial guess), δε συγκλίνουν πάντα θα εξετάσουμε: α) Επανάληψη σταθερού σημείου (Fixed Point Iteration) β) Μέθοδος Newton Raphson

8 Επανάληψη σταθερού σημείου (Fixed Point Iteration) ή (Μέθοδος διαδοχικών αντικαταστάσεων (successive substitution) ή Μέθοδος Picard Πρόβλημα : Ζητείται x, τέτοιο ώστε f(x)=0 Αναδιατύπωση: Ζητείται x, τέτοιο ώστε x = g(x) Επαναληπτικό σχήμα: Αρχική εκτίμηση (initial guess): x 1 = a Ενημέρωση (update), διόρθωση (correction) : x i+1 = g(x i ) Κριτήριο τερματισμού: ε α = x i+1 x i x i+1 < e (επιλογής μας, πχ e = 5x 10-3 )

9 Παράδειγμα: να βρεθεί η ρίζα της f(x) = e -x - x Αναδιατύπωση : f(x) = e -x - x ==> x = e -x Επαναληπτικό σχήμα : x 1 = 0 Αποτελέσματα: x i+1 = e -x i Η ρίζα είναι x 0 =

10 Γραφική αναπαράσταση

11 η μέθοδος δε συγκλίνει πάντα! Αποδεικνύεται ότι Ε i+1 = g (ξ) * Ε i Για g > 1 η μέθοδος αποκλίνει

12 Μέθοδος Newton Raphson ή Newton Iteration ff(x) = f x i 0 x i x i+1 Επαναληπτικό σχήμα: Αρχική εκτίμηση (initial guess): x 1 = a Ενημέρωση (update), διόρθωση (correction) : x i+1 = x i f x i ff(x i ) Κριτήριο τερματισμού: ε α = x i+1 x i x i+1 < e (επιλογής μας, πχ e = 5x 10-3 )

13 Παράδειγμα: να βρεθεί η ρίζα της f(x) = e -x - x f x = e x 1 Επαναληπτικό σχήμα : αρχική εκτίμηση (initial guess) : x 0 = 0 Ενημέρωση (update) x i+1 = x i f x i ff(x i ) Αποτελέσματα: x i+1 = x i e x i x i e x i 1 Η ρίζα είναι x 0 =

14 Η μέθοδος Newton δε συγκλίνει πάντα γρήγορα Παράδειγμα: να βρεθεί η ρίζα της f x = x 10 1 αρχική εκτίμηση (initial guess) : x 0 = 0.5 Ενημέρωση (update) x i+1 = x i f x i ff(x i ) Αποτελέσματα: x i+1 = x i x i x i 9 Η ρίζα είναι x 0 = 1.

15 Η μέθοδος Newton δε συγκλίνει πάντα γρήγορα (γραφική αναπαράσταση)

16 προβληματικές περιπτώσεις όπου η Newton αποκλίνει

17 Και ο bungee jumper... Εύρεση του m για v(t=4) = 36 m/s, c D = 0,25 kg/m f m = gg c D tanh gc D m t v(t) Στη μέθοδο Newton χρειαζόμαστε την f dd(m) dd = 1 2 g mc D tanh gc D m t g gc t (cosh 2m D m t ) 2!!! Επίλυση στο εργαστήριο....

18 Τελικά δεν είναι τόσο δύσκολο Μέθοδος Χορδής (secant method) (παραλλαγή της Newton) ff(x i ) f x i 1 f x i x i 1 x i Ενημέρωση (update) x i+1 = x i f(xx)/ f x i 1 f x i x i 1 x i Εναλλακτικά (αλλά καλύτερα) Τροποποιημένη Μέθοδος Χορδής (modified secant method) (πιο κοντά στη Newton) ff(x i ) f x i + h f x i h, h μικρή διαταραχή στο x i x i+1 = x i f(x i )/ f x i + h f x i h

19 Πάλι αυτός... (ο bungee jumper) Εύρεση του m για v(t=4) = 36 m/s, c D = 0,25 kg/m f m = gg c D tanh gc D m t v(t) Επίλυση με τροποποιημένη μέθοδο χορδής Αρχική εκτίμηση x 0 = 50, Προσοχή στην επιλογή του h. Εδώ επιλέξτε h = a*x i, a=10-6 Αποτελέσματα:

Σχετικά έγγραφα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 47 Αριθμητικές Μέθοδοι