ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

Transcript

1

2 ΓΕΏΡΓΙΟΣ Δ. ΜΑΝΏΛΗΣ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΠΑΝΑΓΙΏΤΗΣ K. ΚΟΛΙΌΠΟΥΛΟΣ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας ΧΡΉΣΤΟΣ Γ. ΠΑΝΑΓΙΩΤΌΠΟΥΛΟΣ Ινστιτούτο υπολογιστικών μαθηματικών Ίδρυμα τεχνολογίας και έρευνας ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

3 Δυναμική των Κατασκευών Συγγραφή Γεώργιος Δ. Μανώλης Παναγιώτης Κ. Κολιόπουλος Χρήστος Γ. Παναγιωτόπουλος Κριτικός αναγνώστης Τριαντάφυλλος Κ. Μακάριος Συντελεστές έκδοσης Γλωσσική Επιμέλεια: Ελένη Ελισάβετ Όξενκιουν Γραφιστική Επιμέλεια: Κυριάκος Παπαδόπουλος Τεχνική Επεξεργασία: Κυριάκος Παπαδόπουλος ISBN: Copyrght ΣΕΑΒ, 05 Το παρόν έργο αδειοδοτείται υπό τους όρους της άδειας Creatve Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Όχι Παράγωγα Έργα 3.0. Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτής επισκεφτείτε τον ιστότοπο creatvecommons.org/lcenses/by-nc-nd/3.0/gr/ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΩΝ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 5780 Ζωγράφου 3

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πίνακας συντομεύσεων-ακρωνύμια 7 Πρόλογος 8 Πρόσβαση στο εκπαιδευτικό λογισμικό 9 Κεφάλαιο : Εισαγωγή στη Δυναμική των Κατασκευών. Χρονικώς Μεταβαλλόμενα Φορτία...0. Προσομοίωση των Φορέων....3 Μόρφωση Εξισώσεων Δυναμικής Ισορροπίας Σεισμικότητα Γεωγραφικών Περιοχών Ειδικά Θέματα της Δυναμικής των Κατασκευών...8 Κεφάλαιο : Μονοβάθμια Δυναμικά Συστήματα. Βασικές Έννοιες...0. Ελεύθερη Ταλάντωση χωρίς Απόσβεση....3 Ελεύθερη Ταλάντωση με Απόσβεση Παράδειγμα εφαρμογής ΙΙΙ Ταλάντωση λόγω Εδαφικού Κραδασμού Ταλάντωση σε Διέγερση Πλήγματος Απόκριση Μονοβάθμιου Ταλαντωτή με Ολοκλήρωμα Duhamel...39 Κεφάλαιο 3: Σεισμικές Φορτίσεις και Φάσματα Απόκρισης 3. Σύνθεση και Ιδιότητες Σεισμικών Φασμάτων Χρήση Φασμάτων στον Αντισεισμικό Σχεδιασμό Φάσματα Απόκρισης και Φάσματα Σχεδιασμού...5 Κεφάλαιο 4: Πολυβάθμια Δυναμικά Συστήματα 4. Βασικές Έννοιες Αναπόσβεστη Ελεύθερη Ταλάντωση Συστήματος -ΒΕ Αναπόσβεστη Ελεύθερη Ταλάντωση Συστήματος ν-βε Ορθογωνικότητα των Ιδιομορφών Η Μέθοδος της Ιδιομορφικής Επαλληλίας Αποσβεσμένη Ελεύθερη Ταλάντωση...7 4

5 4.8 Καταναγκασμένη Ταλάντωση Σεισμική Φασματική Ανάλυση με Συνδυασμό Ιδιομορφών Παράμετροι Αντισεισμικού Σχεδιασμού Γενικευμένος Μονοβάθμιος Ταλαντωτής Πηλίκο του Raylegh...85 Κεφάλαιο 5: Ειδικά Θέματα των Δυναμικών Συστημάτων 5. Το Συνεχές Δυναμικό Σύστημα Ελαστο-πλαστικά Δυναμικά Συστήματα Σεισμική Μόνωση Βάσης Ασύμμετρα Μητρώα με Αλλαγή των Μεταβλητών...0 Κεφάλαιο 6: Δυναμική Αλληλεπίδραση Εδάφους-Κατασκευής 6. Εισαγωγή Διατύπωση του Προβλήματος Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Οι Διατάξεις των Αντισεισμικών Κανονισμών...4 Κεφάλαιο 7: Δυναμική Ανάλυση στο Πεδίο των Συχνοτήτων 7. Τα Πεδία του Χρόνου και της Συχνότητας Στοιχεία της Θεωρίας Σημάτων Γραμμικά Φίλτρα...33 Κεφάλαιο 8: Μέθοδοι Χρονικής Ολοκλήρωσης 8. Εισαγωγή Διατύπωση Αλγορίθμων Χρονικής Ολοκλήρωσης Ανάλυση Σύγκλισης των Αλγορίθμων Χρονικής Ολοκλήρωσης Παραδείγματα Εφαρμογής Σύνοψη...58 Κεφάλαιο 9: Προσομοίωση Συμβατικών Κτιριακών Κατασκευών 9. Εισαγωγή Προσομοίωση Μονώροφων Πλαισίων Προσομοίωση Πολυώροφων Πλαισίων

6 Κεφάλαιο 0: Δυναμική Ανάλυση Κτιριακών Κατασκευών 0. Ανάλυση Κτιρίων Πλαισιακού Τύπου Ανάλυση Πολυώροφων Πλαισίων με Τοιχώματα Ανάλυση Πολυώροφων Πλαισίων με Πυρήνα...96 Κεφάλαιο : Επίλυση Κτιριακών Κατασκευών με χρήση Επιταχυνσιογραμμάτων. Εισαγωγή Περιγραφή του Φορέα Σεισμικές Καταγραφές Ανάλυση με τα Αρχικά Επιταχυνσιογραμμάτων Κανονικοποίηση ως προς τη Μέγιστη Εδαφική Επιτάχυνση Κανονικοποίηση ως προς τη Φασματική Τιμή της Θεμελιώδους Ιδιοπεριόδου Γενικά Συμπεράσματα...37 Κεφάλαιο : Μέτρηση Απόκρισης Kτιρίου σε Εξωτερική Φόρτιση. Εισαγωγή Διαδικασία Ανάλυσης Δυναμικών Σημάτων Διαδικασία Επεξεργασίας Δυναμικών Σημάτων...44 Κεφάλαιο 3: Εφαρμογές και Προγράμματα Επίλυσης με Η/Υ 3. Η Εφαρμογή Dynasoft Το Γραφικό Περιβάλλον Dynasoft Οντότητα Μονοβάθμιου Ταλαντωτή sdof Οντότητα Μονώροφου Κτιρίου storey Οντότητα Επιπέδου Πλασίου frame Οντότητα Σύνθεσης Φασμάτων από Χρονοϊστορίες Specalc...67 Κεφάλαιο 4: Στατική μη-γραμμική Ανάλυση (Pushover Analyss) Πολυωρόφων Επίπεδων Πλαισίων 4. Μαθηματική Διατύπωση Η Στοχευόμενη Μετατόπιση Πλαισιακού Φορέα Αριθμητικό Παράδειγμα...77 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 85 ΔΙΕΘΝΗΣ ΟΡΟΛΟΓΙΑ 89 6

7 Πίνακας συντομεύσεων-ακρωνύμια m,c,k,u,f M,C,K,U,F x,y t, ω,ω Μικρά γράμματα χρησιμοποιούνται για τις ιδιότητες του μονοβάθμιου ταλαντωτή ή για την απόκρισή του. Κεφαλαία γράμματα χρησιμοποιούνται για τον πολυβάθμιο ταλαντωτή, όπως και η χρήση τονισμένων (bold) γραμμάτων. Τα σύμβολα αυτά αφορούν στις χωρικές συνταγμένες. Τα σύμβολα αυτά αφορούν στο χρόνο. Τα σύμβολα αυτά αφορούν στις συχνότητες. [] Μητρώα. {} Διανύσματα. DOF FEM MSK SDOF ΒΕ ΔΑΕΚ ΕΑΚ ΙΤΣΑΚ ΚΣΣ Degrees of freedom Fnte element method Medvedev-Sponheuer-Karnk Sngle degree of freedom Βαθμός Ελευθερίας Δυναμική αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής Ελληνικός Αντισεισμικός Κανονισμός Ινστιτούτο Τεχνικής Σεισμολογίας και Αντισεισμικών Κατασκευών Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ΜΒΤ ΜΠΣ ΜΣΣ Μονοβάθμιος Ταλαντωτής Μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων Μέθοδος των συνοριακών στοιχείων 7

8 Πρόλογος Στόχος του παρόντος ηλεκτρονικού συγγράματος είναι η παρουσίαση των βασικών φυσικών και μαθηματικών αρχών της Δυναμικής των Κατασκευών, με έμφαση σε θέματα Αντισεισμικής Μηχανικής, κατά τρόπο απλό και κατανοητό. Απευθύνεται, κατά κύριο λόγο, σε πολιτικούς μηχανικούς και τεχνολόγους δομικούς μηχανικούς και γι αυτό περιλαμβάνει πακέτα λογισμικού Η/Υ σε γλώσσα προγραμματισμού Java που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκπόνηση σωρείας παραδειγμάτων με εφαρμογές στην αντισεισμική ανάλυση. Προαπαιτούμενες γνώσεις περιλαμβάνουν τα βασικά κεφάλαια της Στατικής (ανάλυση ισοστατικών και υπερστατικών φορέων, μέθοδος των δυνάμεων, μέθοδος των μετακινήσεων, κ.λπ..) καθώς και των Μαθηματικών (θεωρία μητρώων, τεχνικές επίλυσης διαφορικών εξισώσεων). Εκτός από την ανάπτυξη του θεωρητικού υποβάθρου της δυναμικής με παραδείγματα σεισμικής απόκρισης απλών κατασκευών που αποτελούν τον βασικό κορμό, το παρόν βιβλίο περιέχει και ενότητες με πιο προηγμένα θέματα δυναμικής ανάλυσης, καθώς και υλικό πάνω στις σύγχρονες αντιλήψεις σχετικά με την προσομοίωση πλαισίων, τη χρήση των φασμάτων για αντισεισμικό σχεδιασμό και στοιχεία αντισεισμικής μηχανικής. 8

9 Πρόσβαση στο εκπαιδευτικό λογισμικό Στην ηλεκτρονική διεύθυνση: Απαιτείται φόρτωση του ελέυθερου λογισμικού Java από τη διεύθυνση Ταυτόχρονα, πρέπει το λογισμικό να μπει στη λίστα «trusted stes» ή στο «excepton ste lst» του Η/Υ του χρήστη. Αυτό γίνεται με εκ νέου πρόσβαση από το control panel java, όπου προσθέτουμε: 9

10 Κεφάλαιο : Εισαγωγή στη Δυναμική των Κατασκευών. Χρονικώς Μεταβαλλόμενα Φορτία Φυσικά φαινόμενα, όπως ισχυροί σεισμοί ή τυφώνες, μπορεί να αποβούν καταστροφικά για το δομημένο περιβάλλον. Από την άλλη πλευρά, δυναμικά φορτία που προέρχονται από ανθρώπινες δραστηριότητες είναι πιο πιθανό να δημιουργήσουν προβλήματα λειτουργικότητας, λόγω της δυσμενούς επίδρασής τους σε ανθρώπους και εξοπλισμό. Κανονιστικά πλαίσια παρέχουν πληροφορίες στον μελετητή μηχανικό σχετικά με συγκεκριμένες κατηγορίες δυναμικών διεγέρσεων κατά τρόπο που να επιτρέπουν τον προσδιορισμό των φορτίων που αυτές επιβάλλουν στις κατασκευές (AC ; EΝ ). Τα φορτία αυτά τότε χαρακτηρίζονται ως αιτιοκρατικά (determnstc). Παρά ταύτα, σε κάποιες περιπτώσεις ιδιαίτερου ενδιαφέροντος, απαιτείται η διεξαγωγή μετρήσεων και η χρήση ικανοποιητικού αριθμού καταγραφών για τον ακριβή προσδιορισμό της δυναμικής φόρτισης. Μία τέτοια περίπτωση είναι οι σεισμικές επιταχύνσεις του εδάφους, οι οποίες μπορούν να χαρακτηρισθούν ως τυχαίες ή στοχαστικές (random or stochastc), λόγω της πολυπλοκότητας του συστήματος διάρρηξης του υπεδάφους που τις δημιουργεί. Μία από τις απλούστερες μορφές δυναμικής φόρτισης είναι η αρμονική (ημιτονοειδής) ταλάντωση. Τέτοιου τύπου διέγερση παράγεται, για παράδειγμα, από τη λειτουργία μηχανολογικού εξοπλισμού. Πειραματικές μετρήσεις μπορούν να προσδιορίσουν το εύρος και τη συχνότητά της, ενώ η θεωρία των αρμονικών ταλαντώσεων παρέχει τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν το πρόβλημα (Bggs, 965). Άλλες κατηγορίες διέγερσης έχουν πιο σύνθετη μορφή. Μπορεί να είναι μη-περιοδικές ή να διαρκούν ελάχιστα δευτερόλεπτα, όπως οι διεγέρσεις τύπου πλήγματος (mpulse). Για παράδειγμα, διεγέρσεις πλήγματος δημιουργούνται από εκρήξεις ή από κρούσεις κατά την έμπηξη πασάλων θεμελίωσης. Κλασσικό παράδειγμα μη-περιοδικής διέγερσης, μεγαλύτερης χρονικής διάρκειας από αυτής του πλήγματος, είναι η σεισμική. Η ισχυρή εδαφική κίνηση που την παράγει είναι εξαιρετικά πολύπλοκη και εμπεριέχει το στοιχείο της τυχαιότητας. Γι αυτό εντάσσεται στην κατηγορία των τυχαίων διαδικασιών (random processes). Στην ίδια κατηγορία εντάσσονται και τα φορτία λόγω ανέμων και λόγω θαλάσσιων κυματισμών, καθώς και οι διεγέρσεις στις γέφυρες λόγω της κυκλοφορίας οχημάτων. Τέλος, στο Σχήμα. δίδονται τρείς χαρακτηριστικές περιπτώσεις δυναμικών διεγέρσεων. Μία κατηγοριοποίηση των δυναμικών φορτίων, ανάλογα με την προέλευσή τους και την μετέπειτα χρονική τους εξέλιξη, δίδεται παρακάτω:. Περιβαλλοντικά / Ανθρώπινη δραστηριότητα. Περιοδικά / Mη-περιοδικά 3. Πλήγματα / Μεγάλης χρονικής διάρκειας 4. Τυχηματικά / Αιτιοκρατικά. 0

11 f(t) Αρμονική f(t) Μοναδιαίο t /ε Επιταχυνσιογράφημα τ ε t Σχήμα. Τρεις βασικές κατηγορίες δυναμικών διεγέρσεων.. Προσομοίωση των Φορέων Οι κατασκευές που ενδιαφέρουν τον μηχανικό συχνά παρουσιάζουν μεγάλη πολυπλοκότητα, καθιστώντας πρακτικά ανεφάρμοστη την εισαγωγή όλων των σχετικών δεδομένων που αφορούν στην επίλυση του δυναμικού προβλήματος. Είναι επιβεβλημένη συνεπώς η επιλογή ενός απλοποιημένου αριθμητικού μοντέλου (ή προσομοιώματος), το οποίο να περιλαμβάνει μόνον τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά της πραγματικής κατασκευής (Clough and Penzen, 975; Chopra, 000; Chopra, 004), και κυρίως αυτά που είναι βασικά για τον σχεδιασμό ή την αποτίμηση της συμπεριφοράς της. Στο πλαίσιο της δυναμικής των κατασκευών, η υπολογιστική δυσκολία συνδέεται άμεσα με το πλήθος των βαθμών ελευθερίας (ΒΕ) που απαιτούνται για τον προσδιορισμό και την περιγραφή της απόκρισης του φορέα (Argyrs and Mlejnek, 99). Οι βαθμοί ελευθερίας (degrees-of-freedom, DOF) περιλαμβάνουν μετακινήσεις και στροφές στο επίπεδο ή στον χώρο. Για παράδειγμα, μία αξονικά ατενής δοκός στο επίπεδο (y, z) με δύο μάζες, η κάθε μία εκ των οποίων μπορεί να κινηθεί κατά δύο διευθύνσεις (y και z) και να στραφεί γύρω από τον άξονα x, παρουσιάζει συνολικά έξι ΒΕ, όπως φαίνεται στο Σχήμα..

12 z y z y x Σχήμα. Σύστημα έξι βαθμών ελευθερίας (ΒΕ). Η πλέον βασική τεχνική απλοποίησης του υπό μελέτη φορέα είναι η χρήση συγκεντρωμένων μαζών (lumped mass), σύμφωνα με την οποία η διανεμημένη μάζα (dstrbuted mass) του πραγματικού συστήματος θεωρείται ότι συγκεντρώνεται σε κάποια επιλεγμένα σημεία (ή κόμβους). Για παράδειγμα, εάν θεωρηθεί ότι η μάζα των υποστυλωμάτων του τετραώροφου επίπεδου πλαισίου του Σχήματος.3 είναι αμελητέα σε σύγκριση με τις μάζες των διαφραγμάτων, τότε η συγκέντρωση της ολικής μάζας (με οριζόντια μεταφορική ελευθερία κίνησης μόνο) κάθε ορόφου στο κέντρο βάρους των διαφραγμάτων είναι αποδεκτή. Επιπλέον, εάν εξεταστεί μόνο η μεταφορική συνιστώσα της απόκρισης του φορέα, τότε το απλοποιημένο μοντέλο του φορέα καταλήγει σε ένα σύστημα τεσσάρων ΒΕ. Σχήμα.3 Διακριτοποίηση ενός πλαισιακού φορέα με την τεχνική συγκεντρωμένων μαζών. Η τεχνική των συγκεντρωμένων μαζών δεν εφαρμόζεται επιτυχώς σε γραμμικούς ή επιφανειακούς φορείς με ομοιόμορφη κατανομή μάζας και δυσκαμψίας. Σε αυτές τις περιπτώσεις, μία από τις πλέον διαδεδομένες τεχνικές διακριτοποίησης είναι η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (fnte element method, FEM), σύμφωνα με την οποία η κατασκευή διαιρείται σε στοιχειώδη τμήματα (πεπερασμένα στοιχεία) που συνδέονται μέσω κόμβων (Bathe and Wlson, 976). Οι κόμβοι επιτρέπουν τη μετατόπιση και τη στροφή κατά τρόπο που να προσομοιώνει την κίνηση της πραγματικής κατασκευής. Οι δυνατότητες κίνησης των κόμβων προσδιορίζουν το σύνολο των ΒΕ του φορέα, ενώ η μάζα του συστήματος συγκεντρώνεται στα επιμέρους πεπερασμένα στοιχεία με τρόπο που είναι συμβατός με την όλη δυναμική ανάλυση.

13 Στοιχεία Κόμβοι Σχήμα.4 Διακριτοποίηση πλάκας-προβόλου με εννέα επιφανειακά πεπερασμένα στοιχεία..3 Μόρφωση Εξισώσεων Δυναμικής Ισορροπίας Οι διαφορικές εξισώσεις που διέπουν την κίνηση των δυναμικών συστημάτων μπορούν να προκύψουν με διαφορετικούς τρόπους, καταλήγουν όμως στο ίδιο αποτέλεσμα (Hurty and Rubnsten, 964). Ο πιο θεμελιώδης τρόπος είναι η εφαρμογή της συνθήκης της δυναμικής ισορροπίας του φορέα υπό μελέτη (ουσιαστικά η αρχή του D Alembert που προκύπτει από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα). Δύο άλλες ενεργειακού τύπου μέθοδοι που μπορούν να χρησιμοποιηθούν βασίζονται αντίστοιχα στην αρχή των δυνατών έργων και στην αρχή του Hamlton. Κάποιες από αυτές (όπως η αρχή του Hamlton), είναι πιο κατάλληλες για την μελέτη πολύπλοκων συστημάτων, ενώ κάποιες άλλες (όπως η αρχή του D Alembert) είναι πιο εύκολα εφαρμόσιμες στη μελέτη διακριτοποιημένων συστημάτων με περιορισμένο αριθμό ΒΕ. Μία σύντομη παρουσίαση των τριών παραπάνω μεθόδων θα γίνει με αφορμή τη μελέτη του απλούστερου δυναμικού συστήματος με ένα ΒΕ, δηλαδή του μονοβάθμιου ταλαντωτή (ΜΒΤ) (sngle degree-of-freedom oscllator, SDOF). Το ιδεατό αυτό μηχανικό σύστημα απαρτίζεται από μάζα, αποσβεστήρα, και ελατήριο. Η συγκεντρωμένη μάζα m ( kg) συνδέεται με ελατήριο δυστένειας k ( kn / m) και με έναν μηχανισμό απώλειας ενέργειας, δηλαδή τον ιξώδη αποσβεστήρα με συντελεστή απόσβεσης c ( kn sec/ m ). Το σύστημα υποβάλλεται σε εξωτερική δύναμη f ()( t kn ), η οποία αναγκάζει το μηχανικό σύστημα να ταλαντωθεί. Ανά πάσα χρονική στιγμή, πέρα της εξωτερικής διέγερσης του συστήματος, αναπτύσσονται και πρόσθετες δυνάμεις, της αδράνειας, της απόσβεσης και της ελαστικής επαναφοράς που αντιτίθενται στην κίνηση. Εάν η χρονικά μεταβαλλόμενη απόκριση του φορέα είναι ut ()( m ), η ταχύτητα ut ( ) ( m/ sec) και η επιτάχυνση ut ( ) ( m/ sec ) f() (), τότε η δύναμη αδράνειας είναι ανάλογη της επιτάχυνσης, I t = mut, η δύναμη f () = () ιξώδους απόσβεσης είναι ανάλογη της ταχύτητας, D t cut, ενώ η δύναμη επαναφοράς ανάλογη της f () () μετατόπισης, S t = k ut. c u(t) m f(t) k Σχήμα.5 Μηχανικό σύστημα μάζας, αποσβεστήρα και ελατηρίου με ένα ΒΕ. 3

14 .3. Αρχή του D Alembert Η αρχή αυτή συνδέεται με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, σύμφωνα με τον οποίο ο ρυθμός μεταβολής της ορμής μίας κινούμενης μάζας m, ισούται με το σύνολο των δυνάμεων που δρουν πάνω σε αυτήν. Στην περίπτωση του μονοβάθμιου συστήματος που εξετάζεται εδώ, η αρχή αυτή διατυπώνεται ως εξής: () () () () mu t f t f t f t f t j j D S mut () cut () kut () f() t (.) Κατ αυτό τον τρόπο, προκύπτει μία εξίσωση δυναμικής ισορροπίας, σύμφωνα με την οποία για κάθε χρονική στιγμή t η εξωτερική δράση ισούται με το άθροισμα των δυνάμεων αδρανείας, απόσβεσης και επαναφοράς..3. Αρχή των Δυνατών Εργων Σύμφωνα με την αρχή αυτή, εάν σε ελαστικό σώμα στο οποίο δρα ένα σύστημα δυνάμεων επιβληθεί μία δυνητική (ή υποθετική/ιδεατή) παραμόρφωση που δεν παραβιάζει τις συνοριακές συνθήκες, τότε το συνολικό έργο που παράγεται από το σύστημα των δυνάμεων ισούται με μηδέν. Συνεπώς, εάν στο μονοβάθμιο σύστημα επιβληθεί η ιδεατή μετακίνηση (vrtual dsplacement) u η οποία δεν παραβιάζει τις συνθήκες στήριξης, τα σημεία εφαρμογής όλων των δυνάμεων που ενεργούν μετατοπίζονται, με αποτέλεσμα να παραχθεί το συνολικό έργο του μηχανικού συστήματος Emuucu ukuu f u0 (.) από το οποίο προκύπτει η Εξίσωση δυναμικής ισορροπίας (.) ξανά. Στην παραπάνω διατύπωση του δυνητικού έργου E, το αρνητικό πρόσημο σημαίνει πως η δύναμη αντιτίθεται στην ιδεατή μετατόπιση u. Επίσης, χάριν συντομίας παραλείφθηκε ο δείκτης του χρόνου t στην Εξίσωση (.)..3.3 Αρχή του Hamlton Σύμφωνα με την αρχή αυτή, εάν σε ένα ελαστικό σώμα και για το χρονικό διάστημα ( t, t ) αθροισθεί η μεταβολή της κινητικής και δυναμικής του ενέργειας, τότε πάνω στο έργο που παράγουν οι εξωτερικές μη-συντηρητικές δυνάμεις το άθροισμα των μεταβολών ισούται με μηδέν. Ορίζοντας συνεπώς ως = ( / ) mu την κινητική ενέργεια του σώματος, ως V = ( / ) k u τη δυναμική του ενέργεια στην οποία συμπεριλαμβάνονται οι δυνάμεις επαναφοράς και τυχόν εξωτερικές συντηρητικές δράσεις, ως W το έργο που παράγεται από εξωτερικές μη-συντηρητικές δράσεις και από τις δυνάμεις απόσβεσης, και τέλος ως Eτη μεταβολή (varaton), η εξίσωση που προκύπτει για τον μονοβάθμιο ταλαντωτή είναι: t t ( V ) dt W dt 0 (.3) t t Εύκολα αποδεικνύεται τώρα πως οι μεταβολές των ενεργειακών όρων στην παραπάνω εξίσωση είναι d = m u du, dv = k u du, dw = f() t du- c u du. Μετά από τις παραπάνω αντικαταστάσεις και την παραγοντική ολοκλήρωση του πρώτου όρου της εξίσωσης του Hamlton, προκύπτει η εξίσωση t [ mucu k u f ( t)] udt 0 (.4) t Λαμβάνοντας υπόψη ότι η παραπάνω σχέση ισχύει για οποιαδήποτε, μη-μηδενική, αλλά αυθαίρετη μεταβολή u, τότε ο όρος μέσα στις αγκύλες της Εξίσωσης (.4) πρέπει να μηδενίζεται. Συνεπώς καταλήγουμε πάλι στην ίδια Εξίσωση δυναμικής ισορροπίας (.) που προέκυψε από την εφαρμογή των δύο προηγούμενων μεθόδων. 4

15 .4 Σεισμικότητα Γεωγραφικών Περιοχών Φυσικά φαινόμενα, όπως οι ισχυροί σεισμοί, μπορούν να αποβούν καταστροφικά για το δομημένο περιβάλλον. Στην ευρύτερη περιοχή της Νοτιοανατολικής Ευρώπης και της Δυτικής Ασίας, οι σεισμοί από ιστορικούς χρόνους ήταν ενδημικό πρόβλημα, η αντιμετώπιση του οποίου στη σύγχρονη εποχή συνιστά πλέον εθνική επιταγή για κάθε κράτος και απαιτεί υψηλό επίπεδο τεχνογνωσίας, οικονομικής δραστηριότητας και κοινωνικής οργάνωσης. Οι παλαιότερες πρακτικές για συμβατικές κατασκευές, που στο στάδιο της προμελέτης αντιμετώπιζαν τα σεισμικά φορτία ως ψευδο-στατικά και εκ των υστέρων προστίθεντο αδρανειακά φορτία, τα οποία ήταν ανάλογα με το γινόμενο της μάζας επί την εκτιμώμενη επιτάχυνση του συστήματος, είναι πλέον ανεπαρκείς. Το ίδιο φυσικά ισχύει και για μεγάλα και σημαντικά έργα, όπως γέφυρες, φράγματα, βιομηχανικές εγκαταστάσεις, νοσοκομειακά συγκροτήματα, κ.λπ. Αυτό αντανακλάται πλέον και στους σύγχρονους αντισεισμικούς κανονισμούς, όπου εκτός κάποιων εξαιρέσεων, απαιτείται πλήρης δυναμική ανάλυση της κατασκευής (ΕΝ 998:004). Οπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, η δυναμική ανάλυση των κατασκευών επιβάλλεται από το γεγονός ότι πολλά είδη καταπονήσεων, όπως πρωτίστως ο σεισμός, εξελίσσονται χρονικά παρουσιάζοντας έντονες διακυμάνσεις, τόσο σε επίπεδο εύρους τιμών όσο και στο συχνοτικό τους περιεχόμενο..4. Γένεση και Διάδοση Σεισμών Σύμφωνα με την επικρατούσα επιστημονική αντίληψη, το αίτιο των σεισμών είναι η διάρρηξη των λιθοσφαιρικών πλακών που απαρτίζουν το εξωτερικό στερεό κέλυφος της γης. Το πάχος της λιθόσφαιρας κυμαίνεται από 70 έως 00 km, περιλαμβάνει δε τον φλοιό και το εξωτερικό στρώμα του μανδύα, τη λεγόμενη ασθενόσφαιρα. Η ασθενόσφαιρα έχει μεγαλύτερη πυκνότητα από τον φλοιό και βρίσκεται σε ημίρευστη κατάσταση. Η λιθόσφαιρα δεν είναι ενιαία, αλλά απαρτίζεται από 5 περίπου τεκτονικές πλάκες που συνθέτουν την επιφάνεια της γης. Τα όρια μεταξύ των πλακών σχηματίζουν ζώνες με συστήματα διάρρηξης. Πιο συγκεκριμένα, οι λιθοσφαιρικές πλάκες επιπλέουν πάνω στην ασθενόσφαιρα και παρουσιάζουν σχετικές μετατοπίσεις της τάξεως μερικών cm ανά έτος, που οφείλονται σε ρεύματα μεταφοράς του ημίρευστου υλικού της ασθενόσφαιρας (Bullen and Bolt, 985; Vllaverde, 009). Τα ρεύματα αυτά ασκούν εφαπτομενικές πιέσεις στις κάτω επιφάνειες των πλακών, προκαλώντας είτε τη σύγκλισή τους (ηπειρωτικό σύστημα διάρρηξης), είτε την απόκλισή τους (ωκεάνιο σύστημα διάρρηξης). Το Σχήμα.6 δίδει μία απλή εικόνα του μηχανισμού διάρρηξης μεταξύ δύο τεκτονικών πλακών. Η γένεση των σεισμών (Lee et al., 00) ακολουθεί τα εξής βήματα: () σύγκρουση τεκτονικών πλακών, () τριβές και εμπλοκή των πετρωμάτων σε ορισμένα σημεία (κλείθρα), () σταδιακή παραμόρφωση των πετρωμάτων και συσσώρευση δυνητικής ενέργειας, (v) υπέρβαση της αντοχής των πετρωμάτων, (v) θραύση πετρωμάτων στα κλείθρα και δημιουργία σεισμικού ρήγματος, (v) μετατροπή της δυνητικής ενέργειας σε κινητική, και (ζ) εκπομπή ελαστικών (ή σεισμικών) κυμάτων. Η σεισμικότητα σε παγκόσμιο επίπεδο και σε ετήσια βάση συνοψίζεται σε χάρτες όπως αυτός του Σχήματος.7. Σχήμα.6 Απλοποιημένο γεωφυσικό μοντέλο της ζώνης διάρρηξης. 5

16 Τα σεισμικά κύματα που μεταφέρουν την ενέργεια από το σεισμικό ρήγμα μέχρι την επιφάνεια του εδάφους είναι αρχικά χωρικού τύπου. Όπως φαίνεται στο Σχήμα.8, τα σεισμικά κύματα κατατάσσονται σε δύο είδη, τα διαμήκη (pressure ή P-waves), που δημιουργούν πίεση/ελκυσμό κατά μήκος της διεύθυνσης διάδοσης τους και τα εγκάρσια (shear ή S-waves), που παρουσιάζουν ταλαντώσεις μέσα στο επίπεδο που είναι κάθετο προς τη διεύθυνση διάδοσης (Graff, 975). Η ταχύτητες μετάδοσης των χωρικών κυμάτων μέσω των υπερκείμενων πετρωμάτων είναι της τάξεως των 5-3 km/sec για τα διαμήκη και των 3-6 km/sec για τα εγκάρσια κύματα. Καθώς τα χωρικά κύματα πλησιάζουν την επιφάνεια της γης, ανακλώνται και διαθλώνται μέσω των μαλακών εδαφικών στρωμάτων, με αποτέλεσμα οι κυρίαρχες επιφανειακές δονήσεις να οφείλονται σε οριζοντίως πολωμένα, εγκάρσια ελαστικά κύματα (SH-waves). Ταυτόχρονα, δημιουργείται και μία σωρεία επιφανειακών κυμάτων, όπως τα κύματα του Raylegh λόγω της ελεύθερης επιφάνειας, και τα κύματα του Love όταν έχουμε ένα βραχώδες υπόβαθρο με υπερκείμενο μαλακό εδαφικό στρώμα (Mklowtz, 978). Η ταχύτητες διάδοσης όλων αυτών των σεισμικών κυμάτων μέσα από τα εδαφικά στρώματα των τελευταίων m πριν την επιφάνεια της γης είναι πλέον χαμηλές, δηλαδή της τάξεως των km/sec. Τέλος, το Σχήμα.9 δείχνει μία απλοποιημένη, αλλά συνολική εικόνα του σεισμικού φαινομένου, ξεκινώντας από τις εστίες του σεισμού (υπόκεντρα) και καλύπτοντας τη διαδρομή (εστιακή απόσταση) μέχρι την επιφάνεια του εδάφους. Σημειώνουμε πως οι οριζόντιες προβολές της εστίας και της εστιακής απόστασης πάνω στην ελεύθερη επιφάνεια της γης είναι αντίστοιχα το επίκεντρο και η επικεντρική απόσταση. Σχήμα.7 Παγκόσμιος χάρτης σεισμικότητας για το πρώτο δίμηνο του έτος 05. Σήμερα, το μέγεθος ενός σεισμού μετράται με το Μέγεθος Σεισμικής Ροπής (M w ), το οποίο αντικατέστησε την κλίμακα Rchter. Οπως είναι γνωστό, παλαιότερα, η ισχύς ενός σεισμού δινόταν από το μέγεθος Μ της κλίμακας Rchter που είχε επινοηθεί από το 934 (Bullen and Bolt, 985). Το μέγεθος αυτό αποτελεί μέτρο της σεισμικής ενέργειας που εκλύεται από την εστία του σεισμού και ακολούθως διαχέεται μέσα από τη γη με τη μορφή σεισμικών κυμάτων. Μεταξύ της εκλυόμενης ενέργειας Ε (σε erg) και του μεγέθους M υπάρχει η εξής εμπειρική σχέση: log E = M. Η σχέση αυτή ορίζει πως για κάθε επιπλέον βαθμό της κλίμακας Rchter, η εκλυόμενη ενέργεια αυξάνει 8 φορές περίπου. Εικάζεται πως οι ισχυρότεροι ( ) σεισμοί από ιστορικούς χρόνους και μετά ήσαν αυτοί του Σαν Φρανσίσκο της Καλιφόρνια το 906 M = 8.3, της Αλάσκα το 964 ( M = 8.7) ( ), του Τόκιο το 93 M = 8.9 ( ), της Λισσαβώνας το 755 M = 8.9 και της Χιλής το 960 ( M = 9.0). Η διάρκεια των ισχυρών σεισμών κυμαίνεται από λίγα δευτερόλεπτα μέχρι 4 mn που παρατηρήθηκε για τον σεισμό της Αλάσκα του

17 + Σεισμικά Κύματα επιμήκη κύματα εγκάρσια κύματα Σχήμα.8 Μηχανισμός διάδοσης των σεισμικών κυμάτων προς την επιφάνεια της γης. Συμπληρωματικά, οι πολιτικοί μηχανικοί εξάγουν χρήσιμα συμπεράσματα και από την ένταση του σεισμού, που είναι ένα ποιοτικό μέτρο εκτίμησης των επιπτώσεων του σεισμού στο δομημένο περιβάλλον, ειδικά για τους ιστορικούς σεισμούς όπου δεν υπάρχουν ενόργανες μετρήσεις. Για τον σκοπό αυτό χρησιμοποιείται η δωδεκαβάθμια τροποποιημένη κλίμακα Mercall (MM), η δωδεκαβάθμια κλίμακα Medvedev-Sponheuer-Karnk (MSK) και η επταβάθμια ιαπωνική κλίμακα. (JMA). Για τις δύο πρώτες, οι βλάβες αρχίζουν όταν η κλίμακα βρίσκεται μεταξύ 6-7, η δε πλήρης καταστροφή (ισοπέδωση και γεωλογικές ανακατατάξεις) σημειώνονται όταν η κλίμακα φθάσει το. Επιπλέον, οι κλίμακες ταξινομούν (με υποκειμενικό τρόπο) τις επιπτώσεις του σεισμού στους ανθρώπους, στα κτίρια και στο φυσικό περιβάλλον.4. Βασικές Αρχές του Αντισεισμικού Σχεδιασμού Οι τρεις επιστημονικές περιοχές που εμπλέκονται στην κατανόηση και αντιμετώπιση του φυσικού φαινομένου των σεισμών είναι η τεχνική σεισμολογία (γένεση και διάδοση των σεισμών), η εδαφομηχανική (σεισμικές δράσεις στην διεπιφάνεια εδάφους-θεμελίωσης) και η αντισεισμική τεχνολογία (σεισμική απόκριση των κατασκευών). Ακολούθως, χαράσσεται η στρατηγική αντιμετώπισης του σεισμικού κινδύνου στο επίπεδο έργων του πολιτικού μηχανικού, ο οποίος καλείται να σχεδιάσει και να επιβλέψει την κατασκευή αντισεισμικών κατασκευών. Αυτή η στρατηγική συνοψίζεται στην εξής σειρά γενικών κανόνων (Αναστασιάδης, 989): 7

18 Είδη σεισμών Επιφανειακοί (εστιακό βάθος 0-60 km) Ενδιάμεσου βάθους ( km) Μεγάλου βάθους (>300 km) Τεκτονικοί (90% των επιφανειακών) Ηφαιστειογενείς (7% των επιφ/κών) Εγκατακρημνισιγενείς (3%) Σχήμα.9 Βασικός μηχανισμός γένεσης σεισμών και είδη σεισμών.. Η μορφή του κτιρίου θα πρέπει να είναι συμπαγής, χωρίς πτερύγια, με ομοιόμορφη κατανομή της δυσκαμψίας καθ ύψος.. Τα φέροντα στοιχεία θα πρέπει να είναι συμμετρικά τοποθετημένα στην κάτοψη, πλησίον της περιμέτρου, δίχως διακοπές καθ ύψος. Επιδιώκεται κατά κανόνα ένας δύσκαμπτος σκελετός με συζευγμένα πλαίσια, τοιχεία και πυρήνες. 3. Για τις πλάκες οροφής, επιδιώκεται η διαφραγματική λειτουργία και θα πρέπει να αποφεύγονται οι μεγάλες οπές και η ανισοσταθμία. 4. Για τη μάζα της κατασκευής, επιδιώκεται ομοιόμορφη κατανομή καθ ύψος και θα πρέπει να αποφεύγεται η συγκέντρωση μαζών σε υψηλούς ορόφους. 5. Η θεμελίωση θα πρέπει να είναι μονολιθική για να μην παρουσιάζονται διαφορικές μετακινήσεις. Επίσης, θα πρέπει να υπάρχουν συνδετήριες δοκοί μεταξύ των πεδίλων, καθώς και τοιχεία προσαρμογής σε ανισοσταθμίες και σε περιοχές ασυνέχειας του εδαφικού υποστρώματος. Τέλος, σε περίπτωση ακατάλληλων εδαφών, θα πρέπει να γίνεται χρήση πασσάλων. 6. Οι τοιχοποιίες θα πρέπει να τοποθετούνται συμμετρικά και να συμμετέχουν στη δυσκαμψία του φορέα. 7. Η πλαστιμότητα είναι άκρως επιθυμητή και επιτυγχάνεται μέσω της κατάλληλης όπλισης των διατομών για κατασκευές από σκυρόδεμα και μέσω σωστού σχεδιασμού των συνδέσμων για μεταλλικές κατασκευές. Επίσης, θα πρέπει να λαμβάνονται μέτρα για την αποφυγή ψαθυρής θραύσης και τοπικών αστοχιών..5 Ειδικά Θέματα της Δυναμικής των Κατασκευών Η κλασική θεωρία της δυναμικής των κατασκευών (Αναστασιάδης, 983; Κατσικαδέλης, 00; Μπέσκος, 004) παρέχει τις μεθόδους για την αναλυτική επίλυση των εξισώσεων κίνησης μίας κατασκευής, οι οποίες όμως περιορίζονται σε περιπτώσεις απλών γραμμικών συστημάτων. Αντίθετα, η ευρύτατη χρήση των ηλεκτρονικών υπολογιστών (Η/Υ) σε συνδυασμό με την ταυτόχρονη ανάπτυξη λογισμικού για αριθμητική ανάλυση βασισμένου στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, καθιστούν πλέον υπόθεση ρουτίνας την επίλυση ρεαλι- 8

19 στικών προσομοιωμάτων (μοντέλων) με πολύ μεγάλο αριθμό βαθμών ελευθερίας (ΒΕ) χρησιμοποιώντας λογισμικό του εμπορίου, όπως π.χ. το πρόγραμμα SAP000 (04). Επίσης, δίδεται και η δυνατότητα να ληφθούν υπ όψη φαινόμενα μη-γραμμικής συμπεριφοράς του υλικού της κατασκευής, όταν το εύρος της δυναμικής φόρτισης υπερβεί κάποια όρια. Τα παραπάνω ισχύουν υπό την προϋπόθεση πως είναι δυνατή η μόρφωση των μητρώων δυσκαμψίας, μάζης και απόσβεσης που χαρακτηρίζουν το σύστημα, καθώς και ο προσδιορισμός του διανύσματος της φόρτισης. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις, όπου είτε η φόρτιση είτε κάποια χαρακτηριστικά του συστήματος, δεν είναι απολύτως γνωστά και προσδιορίσιμα. Τυπικό παράδειγμα είναι ο σεισμός, όπου το στοιχείο της τυχαιότητας είναι έντονο, με αποτέλεσμα ότι μελλοντικές καταγραφές δονήσεων θα διαφέρουν από τις ήδη υπάρχουσες καταγραφές. Αυτές οι περιπτώσεις φόρτισης είναι γνωστές ως τυχαίες ή στοχαστικές διεργασίες (random processes) και αντιμετωπίζονται με τη βοήθεια της θεωρίας της στοχαστικής δυναμικής ανάλυσης (stochastc dynamcs). Οσον αφορά την ίδια την κατασκευή, υπάρχουν περιπτώσεις όπου οι παράμετροι του συστήματος παρουσιάζουν τυχαιότητα (μεγάλη ανομοιογένεια στην αντοχή του υλικού, μεγάλες αποκλίσεις στις διαστάσεις των επιμέρους δομικών στοιχειών, κ.λπ.). Τα τελευταία χρόνια η μελέτη δυναμικών συστημάτων με τυχαίες παραμέτρους (parametrc random vbratons) έχει αρχίσει να ενδιαφέρει τους ερευνητές (Μανώλης και Κολιόπουλος, 004), καθώς συμπεριλαμβάνει και τα προβλήματα της στοχαστικής δυναμικής ευστάθειας (stochastc dynamc stablty). Η ταξινόμηση των τρόπων μελέτης των κατασκευών μπορεί να γίνει σε σχέση με τους τρεις βασικούς παράγοντες του προβλήματος, δηλαδή τη φόρτιση, το ίδιο το δυναμικό σύστημα και την απόκρισή του. Στις περισσότερες περιπτώσεις, η φόρτιση και το σύστημα θεωρούνται γνωστά (έστω και με στατιστικό τρόπο) και το ζητούμενο είναι ο προσδιορισμός της απόκρισης. Μία άλλη κατηγορία προβλημάτων, γνωστά ως προβλήματα αναγνώρισης (dentfcaton problems), αφορά περιπτώσεις στις οποίες η καταπόνηση και η προκύπτουσα απόκριση είναι γνωστές, το δε ζητούμενο είναι ο προσδιορισμός των παραμέτρων του δυναμικού συστήματος. Τέτοιες περιπτώσεις παρουσιάζονται όταν, για παράδειγμα, τοποθετούμε όργανα μέτρησης της απόκρισης κατασκευών (όπως π.χ., σε γέφυρες, κτίρια, πύργους, κ.λπ.) για συγκεκριμένου τύπου φορτία με σκοπό την επαλήθευση των τιμών των παραμέτρων που χρησιμοποιήθηκαν κατά τον σχεδιασμό της κατασκευής. Ενας επιπλέον τρόπος ταξινόμησης της ανάλυσης αφορά την ύπαρξη ή όχι μη-γραμμικής συμπεριφοράς στο δυναμικό σύστημα. Η μη-γραμμικότητα κατά κανόνα χαρακτηρίζει το δυναμικό σύστημα, αλλά μπορεί να αφορά και τον μηχανισμό φόρτισης. Η πρώτη περίπτωση, η οποία εμφανίζεται ενίοτε στις περιπτώσεις ισχυρής σεισμικής δράσης, είναι και η πλέον επίπονη, καθώς οι μη-γραμμικές διαφορικές εξισώσεις που προκύπτουν δύσκολα επιλύονται και πολλές φορές οδηγούν σε απλουστεύσεις και σε προσεγγιστικές λύσεις. Επιπλέον, είναι δυνατόν να εμφανισθούν φαινόμενα χάους (chaotc motons) για διάφορες περιπτώσεις μη-γραμμικού νόμου υλικού. Καθώς η κάλυψη θεμάτων μη-γραμμικότητας εμφανίζει μεγάλες μαθηματικές δυσκολίες, θα παρατεθούν μόνο λίγα και εισαγωγικού χαρακτήρα στοιχεία στα επόμενα κεφάλαια. Τέλος, σημειώνουμε πως στο τέλος του βιβλίου παρατίθεται η σχετική βιβλιογραφία, ελληνική και διεθνής, προς όφελος του αναγνώστη που επιθυμεί να μελετήσει τα θέματα της δυναμικής ανάλυσης σε μεγαλύτερο βάθος ή να ενημερωθεί περαιτέρω για νεότερες εξελίξεις της αντισεισμικής τεχνολογίας. 9

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Βασικές Έννοιες Οι κατασκευές αποτελούν συστήματα πολλών (συνήθως εκατοντάδων ή χιλιάδων) βαθμών ελευθερίας (ΒΕ) και κατά συνέπεια η προσομοίωσή τους από μονοβάθμιους ταλαντωτές (sngle-degree-of freedom, SDF) είναι εφικτή μόνο σε εξαιρετικές περιπτώσεις. Παρά ταύτα, υπάρχουν περιπτώσεις κατασκευών, όπως οι υδατόπυργοι ή τα μονώροφα πλαίσια με αβαρή υποστυλώματα, τα οποία προσομοιώνονται ικανοποιητικά ως συστήματα ενός βαθμού ελευθερίας, δηλαδή ως SDF. Επιπλέον, η μελέτη της συμπεριφοράς μονοβάθμιων δυναμικών συστημάτων υπό τη δράση διαφόρων μορφών δυναμικής καταπόνησης, οδηγεί στην κατανόηση των κύριων συνιστωσών του δυναμικού προβλήματος και παρέχει τη βάση για τη μελέτη πιο σύνθετων συστημάτων. Ως παράδειγμα αναφέρουμε το επίπεδο διατμητικό πλαίσιο του Σχήματος., το οποίο υπόκειται σε μεταφορική δυναμική διέγερση f(t). Το άκαμπτο ζύγωμα φέρει το σύνολο των φορτίων βαρύτητας w, ενώ τα υποστυλώματα θεωρούνται αβαρή. Συνεπώς η μάζα του συστήματος θεωρείται συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας του ζυγώματος. u(t) w f(t) fi f(t) c k fd fs fs fd k c u Σχήμα. Μονοβάθμιο διατμητικό πλαίσιο και δυνάμεις που αναπτύσσονται υπό δυναμική φόρτιση. Στο παραπάνω σχήμα, w είναι το συνολικό βάρος του συστήματος (σε kn) από το οποίο προκύπτει η μάζα m = w/g, όπου g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας σε m/s. Οι μονάδες της μάζας είναι σε tn = kn s /m. Η μεταφορική δυσκαμψία k του ταλαντωτή (σε kn/m), προκύπτει από τη σύνθεση των μεταφορικών δυσκαμψιών των υποστυλωμάτων. Ο συντελεστής ιξώδους απόσβεσης c (σε kn s/m) εκφράζει τους διάφορους μηχανισμούς απώλειας ενέργειας του συστήματος και εξαρτάται κυρίως από το υλικό του φορέα, τον τρόπο κατασκευής και τον τρόπο θεμελίωσης. Σύμφωνα με την αρχή του D Alembert, σε κάθε χρονική στιγμή, οι δυνάμεις που δρουν στη μάζα του ταλαντωτή βρίσκονται σε δυναμική ισορροπία. Αυτές οι δυνάμεις περιλαμβάνουν τη δύναμη αδράνειας f I (t) = m u(t ), τη δύναμη απόσβεσης f D (t) = c u (t), την ελαστική δύναμη επαναφοράς f S (t) = ku(t) και την εξωτερική διέγερση f(t). Συνεπώς, f + f + f = mut () + cut () + kut () = f() t (.) I D S 0

21 Η παραπάνω γραμμική διαφορική εξίσωση δευτέρου βαθμού που περιγράφει τη μετάθεση του πλαισίου ταυτίζεται με εκείνη που προέκυψε από τη μελέτη του αρχέτυπου ταλαντωτή πό με ένα ΒΕ, που απαρτίζεται μάζα αποσβεστήρα ελατήριο, του Κεφαλαίου. Πρέπει να σημειωθεί ότι στην περίπτωση στατικού φορτίου f S, η παραπάνω εξίσωση μεταπίπτει στην κλασσική στατική εξίσωση ισορροπίας, ku = f. Συνεπώς, η δυσκαμψία του ταλαντωτή μπορεί να προσδιορισθεί ως η στατική δύναμη που απαιτείται για μοναδιαία μετατόπιση του SDF για u =, k = f... Παράδειγμα εφαρμογής Ι ο διατμητικό πλαίσιο Α-Β-Γ-Δ του Σχήματος. φέρει άκαμπτο ζύγωμα και αβαρή υποστυλώματα κοινής διατομής τα οποία στηρίζονται με πάκτωση στο Α και άρθρωση στο Δ. Θεωρώντας ότι το διανεμημένο φορτίο q, περιλαμβάνει και τα ίδια βάρη, να υπολογισθούν η συνολική μάζα και η δυσκαμψία του μονοβάθμιου φορέα. q u B Γ fst(u=) h k B Γ A Δ l VΒΑ Σχήμα. Μονώροφο πλαίσιο διατμητικού τύπου και ισορροπία του ζυγώματος. VΓΔ. Υπολογισμός μάζας: m = w g = ql g. Υπολογισμός μεταφορικής δυσκαμψίας πλαισίου: k = k AB +k ΔΓ, όπου k είναι η στατική μεταφορική δύναμη f S που απαιτείται για μοναδιαία μετατόπιση. Από τη θεωρία στατικής ανάλυσης φορέων, προκύπτει ότι για μοναδιαία διαφορική μετακίνηση μεταξύ βάσης και κορυφής, u =, τα υποστυλώματα αναπτύσσουν καμπτικές ροπές (M) και τέμνουσες (V), ανάλογα με τις συνθήκες στήριξής τους, ως ακολούθως: M = 6 EI / h, M =+ 6 EI / h V = V = ( M M )/ h = EI / h 3 AB BA AB BA BA AB M ΓΔ =+ 3 EI / h, M ΔΓ = 0 VΓΔ = ( M ΓΔ Μ ΔΓ)/ h = 3 EI / h Κατά συνέπεια, η μεταφορική δυσκαμψία του συστήματος ισούται με: 3 k = f ( u = ) = V + V += 5 EI / h S BA Σημείωση: Εαν η μάζα των υποσ Σημείωση: Εαν η μάζα των υποστυλωμάτων δεν είναι αμελητέα, θα μπορούσε να θεωρηθεί ότι ισοκατανέμεται στους κόμβους αρχής και τέλους των υποστυλωμάτων. Κατά συνέπεια, στη μάζα λόγω των φορτίων του ζυγώματος θα έπρεπε να προστεθεί και η μισή μάζα των υποστυλωμάτων. ΓΔ 3. Ελεύθερη Ταλάντωση χωρίς Απόσβεση Η απλούστερη δυνατή μορφή ταλάντωσης μονοβάθμιου ταλαντωτή προκύπτει όταν η εξωτερική διέγερση f(t) είναι μηδενική. Σε αυτή την περίπτωση, η ταλάντωση οφείλεται στην επιβολή τη χρονική στιγμή t=0, αρχικής μετατόπισης u 0 ή/και αρχικής ταχύτητας u 0. Μετά την απομάκρυνση από την αρχική θέση ισορροπίας, το σύστημα αφήνεται να ταλαντωθεί ελεύθερα. Περαιτέρω απλούστευση προκύπτει αν υποτεθεί ότι είναι μηδενι-

22 κή και η απόσβεση του ταλαντωτή (c = 0). Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση της ταλάντωσης είναι: mut () + kut () = 0 (.) Η λύση της ανωτέρω ομογενούς γραμμικής διαφορικής εξίσωσης δευτέρου βαθμού, έχει τη μορφή u( t) = Aexp( ft). Mε απλή αντικατάσταση, προκύπτει η χαρακτηριστική εξίσωση ( ) exp( ) 0 ( ) 0 ω, m+ rk A ft = m+ rk= r=± ω= km Χρησιμοποιώντας την Χρησιμοποιώντας ταυτότητα του Euler: την ταυτότητα exp( ± ωtτου ) = Euler: cos( ωt) ± sn( ωt), έχουμε τελικά u( t) = R sn( ωt) + R cos( ωt) = Rsn( ωt+ θ) (.3) tan θ = R / R. όπου R= R + R και Η σχέση (.3) αποτελεί την εξίσωση αρμονικής ταλάντωσης εύρους R και κυκλικής συχνότητας ω. Είναι εύκολο να αποδειχθεί πως τα εύρη ταλάντωσης R και R προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες u 0 και u 0, μέσω των σχέσεων R =!u / ω, R = u 0 0. Αντικαθιστώντας, η Εξίσωση (.3) παίρνει την τελική της μορφή: u(t) = (!u 0 ω )sn(ω t) + u 0 cos(ω t) (.4) η ταλάντωση του μονοβάθμιου συστήματος χωρίς απόσβεση είναι Κατά συνέπεια, η ελεύθερη ταλάντωση του μονοβάθμιου συστήματος χωρίς απόσβεση είναι μία αρμονική κίνηση της οποίας το εύρος (που παραμένει αμείωτο με την πάροδο του χρόνου) εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες, ενώ η συχνότητά της εξαρτάται από τα μηχανικά του χαρακτηριστικά (μάζα και δυσκαμψία). Για το λόγο αυτό, η συγκεκριμένη συχνότητα με την οποία ταλαντώνεται ελεύθερα ο μονοβάθμιος ταλαντωτής, ανεξάρτητα από το είδος της αρχικής διατάραξης, ονομάζεται ιδιοσυχνότητα ω ο του ταλαντωτή, ενώ ο χρόνος για την εκτέλεση μίας πλήρους ελεύθερης ταλάντωσης, καλείται ιδιοπερίοδος Τ ο : k m ( rad / sec), / (sec), f / ( Hz) (.5) 0 0 Στο Σχήμα.3 δίδεται η γραφική παράσταση της ελεύθερης ταλάντωσης του SDF και σημειώνονται οι βασικότερες παράμετροι που την προσδιορίζουν. u0 R 3 5 t(s) R 4 o = π/ωο 3 4 5

23 Σχήμα.3 Γραφική παράσταση ελεύθερης ταλάντωσης SDF χωρίς απόσβεση... Παράδειγμα εφαρμογής ΙΙ Το πλαίσιο του Σχήματος.4 φέρει αβαρή υποστυλώματα κοινής τετραγωνικής διατομής 30/30 cm. Το μέτρο ελαστικότητας του υλικού κατασκευής είναι E = N/m. Στο ζύγωμα ενεργεί αρχικά μία στατική μεταφορική δύναμη f st = kn, η οποία προκαλεί αρχική μετατόπιση u 0, και κατόπιν το σύστημα αφήνεται να ταλαντωθεί ελεύθερα. Να υπολογισθεί η ιδιοπερίοδος του ταλαντωτή και να προσδιορισθεί η θέση και η ταχύτητα του ζυγώματος μετά παρέλευση χρόνου t = 0.5 sec. Για απλοποίηση των πράξεων, η τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας να ληφθεί ως g = 0 m/s.. Μετατροπή των μονάδων σε kn και σε m: A = 30cm = 0.3m, Ε = N/m = kn/m. Υπολογισμός της μάζας: Συνολικό βάρος w = q L = 0 0 = 00 kn Μάζα m = w/g = 00/0 = 0 kn sec /m = 0 tn 3. Υπολογισμός της δυσκαμψίας: 0 kn/m B Γ 3,0 m 5,0 m A 0,0 m Δ Σχήμα.4 Μονώροφο πλαίσιο διατμητικού τύπου με ανισοϋψείς στύλους. Η συνολική δυσκαμψία προέρχεται από τη συνεισφορά της μονοπάκτου δοκού ΑΒ και της αμφιπάκτου δοκού ΓΔ, δηλαδή k = k AB + k ΓΔ. Η ροπή αδράνειας της κοινής τετραγωνικής διατομής είναι: I = a 4 / = / = m 4. Συνεπώς, k AB = 3 EI/h 3 = 3 ( ) ( ) / 3 3 =875 kn/m k ΓΔ = EI/h 3 = ( ) ( ) / 5 3 = 60 kn/m k = = 3495 kn/m 4. Υπολογισμός ιδιοσυχνότητας και ιδιοπεριόδου Ιδιοσυχνότητα ω 0 = k m = = 8.69 rad / sec Ιδιοπερίοδος Τ 0 = π/ω 0 = 0.34 sec 5. Υπολογισμός της εξίσωσης κίνησης: Λόγω της στατικής μεταφορικής δύναμης, προκαλείται αρχική μετατόπιση u0 = fs / k = / 3495 = 0.05m Η αρχική ταχύτητα θεωρείται μηδενική. Οι εξισώσεις μετατόπισης και ταχύτητας της ταλάντωσης που προκύπτουν είναι: ut ( ) = 0.05 cos(8.69 t) και 3

24 u(t) = 0.05 (- 8.69) sn(8.69 t) =-0.93sn(8.69 t) 6. Υπολογισμός μετάθεσης και ταχύτητας του ταλαντωτή για t = 0.5 s: u(0.5) = 0.05 (-0.997) = m u (0.5) = -0.93( 0.08) = m/s..3 Ελεύθερη Ταλάντωση με Απόσβεση Είναι φανερό ότι η απουσία μηχανισμού απώλειας ενέργειας στη θεώρηση της Ενότητας., οδήγησε στο μη ρεαλιστικό αποτέλεσμα μίας επ άπειρο συνεχιζόμενης ταλάντωσης. Στην πραγματικότητα, όλα τα δυναμικά συστήματα καταναλώνουν ενέργεια κατά την ταλάντωσή τους, με μηχανισμούς οι οποίοι είναι πολύ πιο σύνθετοι από τον ιξώδη αποσβεστήρα που παρουσιάστηκε στην προσομοίωση με SDF του Κεφαλαίου. Στις δομικές κατασκευές, η απώλεια ενέργειας οφείλεται στην τριβή των συνδέσμων του φέροντος οργανισμού και του συστήματος θεμελίωσης με το έδαφος, στις τριβές και την φθορά των στοιχείων πλήρωσης, την εμφάνιση πλαστικών αρθρώσεων καθώς και των μηχανισμών υστέρησης όταν ο φορέας εισέρχεται στην ανελαστική περιοχή απόκρισης. Για λόγους απλότητας, συχνά θεωρείται ότι το συλλογικό αποτέλεσμα όλων αυτών των μηχανισμών δύναται να αποδοθεί υπό τη μορφή ισοδύναμου ιξώδους αποσβεστήρα, όπως φαίνεται στο Σχήμα.5, με κατάλληλη επιλογή του συντελεστή απόσβεσης c (kn s/m). B Ι Γ c A Δ Σχήμα.5 Ελεύθερη ταλάντωση πλαισίου ως μονοβάθμιου συστήματος με απόσβεση. Εάν στο φορέα επιβληθούν αρχικές συνθήκες u 0 και u 0, η εξίσωση που προκύπτει είναι: με χαρακτηριστική εξίσωση mr + cr + k = 0 και δύο ρίζες: r, c m c ( m) - k/m Για την εκτέλεση ταλάντωσης, οι ρίζες του τριωνύμου πρέπει να είναι μιγαδικές και αυτό συμβαίνει μόνον όταν το πρόσημο της διακρίνουσας είναι αρνητικό, δηλαδή η τρίτη περίπτωση: c ( m) - k/m >0, =0, <0 { } m u(t ) + c u (t) + ku(t) = 0 (.6) Η απαιτούμενη ποσότητα απόσβεσης για να αποτραπεί η ελεύθερη ταλάντωση προκύπτει από μηδενική τιμή της διακρίνουσας και καλείται κρίσιμη απόσβεση c cr και ισούται με: { ( ) - k/m}=0 cr c m c km m (.7) Οταν ο ταλαντωτής διαθέτει απόσβεση μεγαλύτερη της κρίσιμης, τότε όταν αφεθεί ελεύθερος μετά την αρχική απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας, θα επανέλθει σταδιακά στη θέση αυτή δίχως να την υπερβεί. 0 4

25 Σε πρακτικές εφαρμογές χρησιμοποιείται ευρύτατα ένας άλλος δείκτης απόσβεσης που καλείται ποσοστό κρίσιμης απόσβεσης ξ και ορίζεται ως: cccr cmω 0 (.8) Είναι φανερό ότι για δυνατότητα ελεύθερης ταλάντωσης πρέπει ξ <.0. Η λύση της διαφορικής εξίσωσης δυναμικής ισορροπίας (.6) για ξ <.0 παίρνει τη μορφή: u(t) = exp(-ξω0 t )(R sn ωd t + R cos ωd t) = R exp(-ξω0t )sn(ωdt+θ) (.9) όπου οι συντελεστές καθορίζονται με βάση τις αρχικές συνθήκες ως εξής: R ( u u ), R u, R R R, tan R R d 0 Η αποσβεσμένη ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης είναι μικρότερη της ιδιοσυχνότητας χωρίς απόσβεση (ω d < ω 0 ), ενώ το αντίστροφο ισχύει για τις ιδιοπεριόδους (Τ d > Τ 0 ). Τα μεγέθη αυτά συνδέονται με τις ακόλουθες σχέσεις: 0 D -ξ, / D (.0) 0 -ξ Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η ελεύθερη ταλάντωση με απόσβεση του μονοβάθμιου ταλαντωτή διαφέρει από την αντίστοιχη ταλάντωση χωρίς απόσβεση () ως προς τη συχνότητα (ή περίοδο) ταλάντωσης και () ως προς το γεγονός ότι το εύρος βαίνει μειούμενο με την πάροδο του χρόνου, λόγω της παρουσίας του εκθετικού όρου. Στο Σχήμα.6, δίνεται η γραφική παράσταση της ελεύθερης ταλάντωσης με απόσβεση του πλαισίου και σημειώνονται οι βασικότερες παράμετροι που την προσδιορίζουν. u 0 Εκθετική μείωση R*exp(-ξωοt) Χωρίς απόσβεση u0 t(s) Με απόσβεση 0 = π/ω0 d = π/ωd Σχήμα.6 Ελεύθερη ταλάντωση μονοβάθμιου ταλαντωτή με απόσβεση. Στα συνήθη δομικά έργα το ποσοστό κρίσιμης απόσβεσης ξ, κυμαίνεται σε πολύ μικρές τιμές (% 8 %) ανάλογα με το υλικό, τον τύπο της κατασκευής και τον τρόπο θεμελίωσης επί του εδάφους. Τυπικές τιμές του ξ, ανάλογα με το είδος κατασκευής, παρέχονται και στον Ελληνικό Αντισεισμικό Κανονισμό (ΕΑΚ 003). Για παράδειγμα, σε μεταλλικές κατασκευές με συγκολλήσεις λαμβάνεται ξ = %, ενώ σε τυπικές κατασκευές οπλισμένου σκυροδέματος λαμβάνεται ξ = 5%. Οπως προκύπτει και από το Σχήμα.7, για το παραπάνω εύρος τιμών του ξ, οι διαφορές μεταξύ των κυκλικών συχνοτήτων ω 0 και ω d (ή αντίστοιχα των περιόδων Τ 0 και Τ d ), 5

26 είναι αμελητέα. 0,9 0,8 0,7 ξ 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 Τιμές ξ για την περίπτωση δομικών έργων 0 0, 0,4 0,6 0,8 ωd/ω0 Σχήμα.7 Επίδραση της απόσβεσης στην ιδισυχνότητα μοναβάθμιου ταλαντωτή. Η εκθετική περιβάλλουσα του μειούμενου εύρους ταλάντωσης είναι R exp(-ξω 0 t ), οπότε ο λόγος της μέγιστης μετάθεσης (εύρους) R j και R j+ δύο διαδοχικών κύκλων ταλάντωσης j και j+, ικανοποιεί την λογαριθμική σχέση: δ = = πξ πξ (.) ln( Rj+ R ) -ξ j Η τελευταία ισότητα σχύει ισχύει με με πολύ πολύ ικανοποιητική προσέγγιση για για τις τις μικρές τιμές του του ξ του ενδιαφέροντος του πολιτικού μηχανικού. Η ίδια ποσότητα δ (που καλείται λογαριθμική απομείωση εύρους), μπορεί να υπολογισθεί απ ευθείας από τον λόγο των μεγίστων μετά την μεσολάβηση n κύκλων ταλάντωσης ως εξής: nδ = R R = nπξ nπξ (.) ln( j+ n ) -ξ j Είναι προφανές ότι όσο μεγαλύτερη απόσβεση διαθέτει ένα σύστημα, τόσο πιο γρήγορα μειώνεται το εύρος ταλάντωσης και το σύστημα φθάνει σε κατάσταση ηρεμίας. Για παράδειγμα, σύμφωνα με την Εξίσωση (.), οι κύκλοι ελεύθερης ταλάντωσης n (0.5) που απαιτούνται ώστε το αρχικό εύρος ταλάντωσης να μειωθεί στο μισό, είναι οι εξής: n (0.5) 0./ξ (.3) με ξ = 5%, το εύρος μειώνεται κατά 50% για κάθε. Αυτό σημαίνει για ένα σύστημα με ξ = 5%, το εύρος μειώνεται κατά 50% για κάθε. κύκλους ελεύθερης ταλάντωσης. Οι παραπάνω σχέσεις χρησιμοποιούνται ευρύτατα για τον πειραματικό προσδιορισμό των δυναμικών χαρακτηριστικών υφιστάμενων κατασκευών. Προς τον σκοπό αυτό, το σύστημα διαταράσσεται από τη θέση ισορροπίας και κατόπιν αφήνεται να ταλαντωθεί ελεύθερα, ενώ ταυτόχρονα καταγράφεται η κίνησή του, όπως φαίνεται στο Σχήμα.8. 6

27 R R R3 R4 u(t) t (sec) Σχήμα.8 Καταγραφή της ελεύθερης ταλάντωσης μίας υφιστάμενης κατασκευής. Ο υπολογισμός αυτός ακολουθεί τα εξής βήματα:. Υπολογίζεται ο χρόνος που απαιτείται για την ολοκλήρωση πλήρους κύκλου ταλάντωσης Τ d, οπότε ω d = π/τ d.. Υπολογίζεται η λογαριθμική απομείωση δ (για παράδειγμα, ln(r /R 4 ) = 3δ). 3. Με γνωστό το δ υπολογίζεται το ξ = π/δ. 4. Με γνωστά τα ξ και ω d, υπολογίζονται τα ω 0 = ω0 = ω d -ξ και Τ 0 = π/ω 0.3. Παράδειγμα εφαρμογής ΙΙΙ Υδατόπυργος ύψους h = 0m και χωρητικότητας V = 50 m 3 στηρίζεται σε ένα υποστύλωμα κυκλικής διατομής με διάμετρο D, όπως φαίνεται στο Σχήμα.9.. Για τον πειραματικό προσδιορισμό των δυναμικών του χαρακτηριστικών, πληρώνεται με νερό και του επιβάλλεται αρχική μετατόπιση y(0) = 5cm υπό τη δράση στατικής οριζόντιας δύναμης F st. Κατόπιν αφήνεται να εκτελέσει ελεύθερη ταλάντωση, σύμφωνα με τις μετρήσεις του Σχήματος.9. Να προσδιορισθούν: () Το ποσοστό κρίσιμης απόσβεσης ξ, () η ιδιοσυχνότητα ω d και η ιδιοπερίοδος d με απόσβεση, και () η ιδιοσυχνότητα ω 0 και η ιδιοπερίοδος 0 χωρίς απόσβεση.. Υποθέτοντας ότι η ταλαντούμενη μάζα σκυροδέματος m b αντιστοιχεί στο 0% της μάζας του νερού m w, να υπολογισθούν: () Η στατική δύναμη f st, που απαιτήθηκε για την επιβολή της αρχικής μετατόπισης u(0) = 5cm και () η διάμετρος D του κυκλικού υποστυλώματος. Σημείωση: Η μεταφορική δυσκαμψία προβόλου ισούται με την δυσκαμψία μονόπακτης δοκού. Η ροπή αδράνειας κυκλικής διατομής ισούται I=π*D 4 /64. Να ληφθούν οι τιμές Ε =.5*0 7 knm και g = 0 m/s. Η διαδικασία επίλυσης έχει ως εξής: V 33 h 7

28 5 Water ower - Free Vbraton 4 3 h=0 u(cm) 0 0 0, 0,4 0,6 0,8,,4,6,8,,4 - t(s) Σχήμα.9 Υδατόπυργος ως SDF και η απόκρισή του σε ελέυθερη ταλάντωση.. Τα πειραματικά αποτελέσματα ελεύθερης ταλάντωσης αφορούν στο σύστημα με απόσβεση. Από το διάγραμμα, ο χρόνος ολοκλήρωσης για μία πλήρη ταλάντωση εκτιμάται ως d =.0 s. Η ιδιοπερίοδος αυτή αντιστοιχεί σε ιδιοσυχνότητα με απόσβεση ω d = (π)/ d = 6.83 rad/s. Συγκρίνοντας το εύρος δυο διαδοχικών κύκλων ταλάντωσης, βρίσκουμε με βάση την Εξίσωση (.): ln(5/) = πξ ξ = ln(.5)/π = 0.46 ξ = 5% Εφαρμόζοντας την Εξίσωση (.0) έχουμε: ω0 = ω D / -ξ = = rad / sec, και συνεπώς 0 = d -ξ = 0.998sec. Λαμβάνοντας () υ π υ'π' όψη όψη ότι το ειδικό βάρος του νερού είναι ρ = 0 kn/m 3, τότε το βάρος και η μάζα του νερού όταν ο υδατόπυργος είναι πλήρης υπολογίζεται ως: B w = V (0 kn/m 3 ) = 500 kn m w = B w /g = 50 tn Σε αυτήν προστίθεται και η μάζα σκυροδέματος m b = 0% m w = 5 tn Συνεπώς, η συνολική ταλαντούμενη μάζα είναι m tot = m b + m w = 55 tn Ο υπολογισμός της μάζας σε συνδυασμό με τον πειραματικό προσδιορισμό της ιδιοσυχνότητας χωρίς απόσβεση ω 0, επιτρέπει τον υπολογισμό της δυσκαμψίας ως εξής: 0 k/ m k / 55 k = 55 (6.355) =. kn/m. Επομένως, f st = k u st = (.)(0.05) =.06 kn. Επειδή όμως έχουμε πως η δυσκαμψία k = (3EI/h 3 ) =., έχουμε πως I kh 3E D 64 = D = 0.88 m.4 Ταλάντωση λόγω Εδαφικού Κραδασμού Μία από τις σημαντικότερες μορφές διέγερσης των κατασκευών αποτελεί η ισχυρή εδαφική κίνηση λόγω σεισμικής δράσης. Υπάρχουν όμως και περιπτώσεις, συνήθως μικρότερης σημασίας, που ο εδαφικός κραδασμός οφείλεται σε άλλα αίτια (υπόγειες εκρήξεις, εργασίες διάνοιξης σήραγγες, κ.λπ). Σε κάθε περίπτωση, η υπερ- 8

29 κείμενη κατασκευή υπόκειται σε καταναγκασμένες ταλαντώσεις, χωρίς να είναι όμως προφανής η παρουσία εξωτερικής φόρτισης στην εξίσωση δυναμικής ισορροπίας κατά D Alembert. Μία επαναδιατύπωση όμως της διαφορικής εξίσωσης, με κατάλληλη επιλογή της μεταβλητής ταλάντωσης, αποκαλύπτει ότι η εδαφική δράση μπορεί να θεωρηθεί ως μία ισοδύναμη μεταφορική διέγερση της μάζας του συστήματος. ut m u c k ug Σχήμα.0 Διατμητικού τύπου πλαίσιο ως SDF υπό εδαφική κίνηση. Έστω το μονοβάθμιο πλαίσιο του Σχήματος.0, το οποίο υπόκειται σε εδαφικό κραδασμό u g (t). Σε κάθε χρονική στιγμή, η συνολική μετατόπιση του φορέα από την αρχική θέση ισορροπίας u t, απαρτίζεται από την εδαφική μετατόπιση u g και την σχετική μετατόπιση μεταξύ εδάφους και ζυγώματος u ως εξής: u t(t) = u g(t) + u(t) (.4) Η εξίσωση δυναμικής ισορροπίας της ταλαντούμενης μάζας του ζυγώματος είναι ανάλογη αυτής της ελεύθερης ταλάντωσης, καθώς περιλαμβάνει μόνο τις δυνάμεις αδράνειας f I, απόσβεσης f D και επαναφοράς f S ως f I + f D + f S = 0 Η διαφορά σε σχέση με την Εξίσωση (.6) προκύπτει από το γεγονός ότι οι δυνάμεις που αναπτύσσονται στα υποστυλώματα και τον αποσβεστήρα οφείλονται στη σχετική μετατόπιση u και σχετική ταχύτητα u, αντίστοιχα, ενώ η δύναμη αδράνειας ενεργοποιείται από την συνολική επιτάχυνση u t του συστήματος. Αντικαθιστώντας την κάθε συνιστώσα στην παραπάνω σχέση, έχουμε πως m u t (t) + c u (t) + ku(t) = 0 Παραγωγίζοντας δύο φορές την Εξίσωση (.4), προκύπτει ότι ut() t = ug() t + ut () = ag() t + ut () όπου ag () t είναι η εδαφική επιτάχυνση. Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις, η εξίσωση δυναμικής ισορροπίας του ταλαντωτή προκύπτει ως: m(a g (t) + u(t))!! + c!u(t)+ ku(t) = 0 m!! u(t) + c!u(t)+ ku(t) = ma g (t) = f g (t) (.5) Σύμφωνα με την Εξίσωση (.5), η απόκριση ενός ταλαντωτή υπό εδαφικό κραδασμό ταυτίζεται με την απόκριση θεωρώντας αμετακίνητη τη βάση του, υπό τη δράση ισοδύναμου μεταφορικού σεισμικού φορτίου f g (t). Το σεισμικό αυτό φορτίο είναι ανάλογο της ταλαντούμενης μάζας και της εδαφικής επιτάχυνσης, Σχήμα.. Η διαπίστωση αυτή εξηγεί και τον λόγο για τον οποίο οι αντισεισμικοί κανονισμοί χρησιμοποιούν τη μέγιστη εδαφική επιτάχυνση ως κύριο παράγοντα διαμόρφωσης των σεισμικών δράσεων. 9

30 m m fg(t) = - m ag(t) k c = k c ug Σχήμα. Αντιστοιχία εδαφικής κίνησης και διέγερσης μάζας SDF. Το γεγονός ότι η μάζα του συστήματος δρα μόνο ως ένας βαθμωτός πολλαπλασιαστής, σημαίνει ότι το σεισμικό φορτίο μεταφέρει τα χαρακτηριστικά της εδαφικής επιτάχυνσης ως προς τη διάρκεια, τη μορφή, και το συχνοτικό περιεχόμενο. Συνεπώς, τα αποτελέσματα της μελέτης των καταναγκασμένων ταλαντώσεων υπό τη δράση διάφορων μορφών διεγέρσεων που θα αναφερθούν στις επόμενες ενότητες, μπορούν να εφαρμοσθούν και στην περίπτωση του εδαφικού κραδασμού υπό την προϋπόθεση ότι η μορφή της εκάστοτε διέγερσης προσομοιάζει τη μορφή της εδαφικής επιτάχυνσης..5 Ταλάντωση λόγω Αρμονικής Διέγερσης Αρκετά είδη περιοδικής διέγερσης παρουσιάζουν μία κυρίαρχη συχνότητα και μπορούν να δοθούν υπό την μορφή αρμονικής συνάρτησης ως f( t) = f0 sn( ω t) t,, όπου ù Ω είναι η (εξωτερική) συχνότητα διέγερσης. Αρμονικές διεγέρσεις είναι δυνατόν να προέλθουν από την λειτουργία βαρέων μηχανημάτων ή από τη δράση κυματισμών στενού φάσματος σε λιμενικά έργα. Βέβαια, στη δράση περιβαλλοντικών φορτίων, και ιδιαίτερα των σεισμικών φορτίων, συνυπάρχουν πολλές διαφορετικές συχνότητες και συνεπώς είναι εξαιρετικά σπάνιες οι περιπτώσεις στις οποίες η διέγερση θα μπορούσε, έστω και οριακά, να θεωρηθεί ως απλή αρμονική. Εξαίρεση θα μπορούσε να αποτελέσει η οριακή περίπτωση διάδοσης εδαφικού κραδασμού μέσα από έντονα χαλαρά εδάφη τα οποία, σε συνδυασμό με κατάλληλες τοπογραφικές συνθήκες, να επιτρέπουν τη διάδοση της κίνησης με συγκεκριμένη συχνότητα, δηλαδή την κυρίαρχη συχνότητα του ίδιου του εδαφικού σχηματισμού. Παρά τους περιορισμούς που προαναφέρθηκαν, η αρμονική διέγερση του Σχήματος. αποτελεί θεμελιώδη μορφή διέγερσης στη δυναμική των κατασκευών καθώς, λόγω της μαθηματικής της απλότητας, επιτρέπει τη διερεύνηση πολύ σημαντικών παραμέτρων της γενικής καταναγκασμένης ταλάντωσης. Επιπλέον είναι γνωστό ότι μέσω του μετασχηματισμού Fourer, σύνθετες μορφές διέγερσης μπορούν να αναλυθούν σε ένα άθροισμα αρμονικών συνιστωσών και κατά συνέπεια, μέσα στο πλαίσιο της γραμμικής ανάλυσης, το τελικό τους αποτέλεσμα να συντεθεί ως η επαλληλία των αρμονικών ταλαντώσεων των επιμέρους συνιστωσών. m f0 snt f(t) f0 c k -f0 t (s) Σχήμα. Αρμονική διέγερση μονοβάθμιου ταλαντωτή. 30