Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής"

Σταύρος Αφροδίσιος Γλυκύς
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Μαθηματικός Λογισμός Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ- ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Παναγιώτης Βλάμος

2 Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ιόνιο Πανεπιστήμιο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3 . ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Παράδειγμα Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα των παραβολών Παρατηρούμε πως αν B, dd όπου B το χωρίο που περικλείεται μεταξύ (), () τότε () (), και () () Επομένως : B,, και 5 dd d d d 6 6 d B αφού 8 και τελικά dd B Παράδειγμα Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα άξονα και τις παραβολές με εξισώσεις Παρατηρούμε πως αν (), () 5 () (). Επομένως D dd όπου το D χωρίο που περικλείεται από τον, 5. τότε D,, 5 ή D,, 5 () () και dd d d d 5 d 6 D o Με τι ισούται το dd ; D

4 Παράδειγμα Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα ευθείες,, και Επιχειρήστε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Αλλά R,, και R,, R f (, )dd όπου το χωρίο R περικλείεται από τις f (, ) cos( ). cos( )d! f (, )dd cos( )d d cos( )d d R cos( )d cos( )d

5 Παράδειγμα Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα από τα επίπεδα,, z. R zdddz όπου R το χωρίο που περικλείεται Η προβολή D του χωρίου στο επίπεδο περικλείεται από τις ευθείες γραμμές,, z zdddz zdz dd R D z

6 Παράδειγμα 5 Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα dd όπου T η περιοχή του ου T τεταρτημορίου του Καρτεσιανού επιπέδου μεταξύ δύο κύκλων με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνες και αντίστοιχα. Το χωρίο T μπορεί να εκφραστεί με τους ακόλουθους τρόπους: T S S S,, S,, και με τη βοήθεια πολικών συντεταγμένων T r, r,,, Ακολουθούν οι υπολογισμοί των ολοκληρωμάτων: Τέλος, με τη βοήθεια πολικών συντεταγμένων, ο υπολογισμός γίνεται ταχύτατα r dd r drd. T r 5 8

7 Παράδειγμα 6 Να υπολογισθεί ό όγκος του τρισδιάστατου χωρίου που περικλείεται από τους κυλίνδρους: και z. Αν V δηλώνει το τρισδιάστατο χωρίο και R την προβολή του στο επίπεδο ο ζητούμενος όγκος ισούται με: z dddz dz dd dd V R z R όπου R είναι ο δίσκος με σύνορο τον κύκλο με εξίσωση. Επομένως a dd dd d R a 8 και ο ζητούμενος όγκος ισούται με 6. Παράδειγμα 7 Να υπολογίσετε τα παρακάτω διπλά ολοκληρώματα : e (α) cos dd (β) dd a (γ) (α) Εχουμε ότι b e dd (δ) cos dd dd cos d d sin d sin sin d cos cos (β) Εχουμε ότι e e e dd dd d d e ln d ln lnd ln d ln ln e e

8 (γ) Εχουμε ότι a b e a b a b dd e d d e d d a a a b b b b a e d e e d e d e a e ab a. b b b (δ) Εχουμε ότι I Θέτουμε Τότε dd d d sin u, οπότε sin u cos u d cos u cos u du cos u du και d cos u du. cos u du cos u cos u du cos u du sin u sin u cos u du u u 8 Αφού sin u, προκύπτει ότι u, οπότε I sin u sin u u 8 u u. 8 6

9 Παράδειγμα 8 Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα : (α) I sin dd (β), I dd. (α) Θέτουμε : r cos, rsin, r,, dd rdrd. Τότε προκύπτει ότι : I rsinr d dr rsinr dr r sinr dr cosr r (β) Θέτουμε : rcos, rsin, r,, dd rdrd. Τότε προκύπτει ότι : I cos r r r r cos ddr r r sin dr rdr. Παράδειγμα 9 (α) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα (β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα sin dd D τις :,,. (α) Θέτοντας u προκύπτει ότι Επομένως. Ι sin sin dd., όπου το χωρίο D περικλείεται από dd sinu dud Ι (β) Εχουμε ότι sin dd sin dd D sin d sin d sin d cos cos8

Σχετικά έγγραφα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Μαθηματικός Λογισμός Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παναγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται