ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ - ΕΙΚΟΝΑΣ. ΚΑΙ ΑΣΑΦΗΣ ΛΟΓΙΚΗ (fuzzy logic) ΔΠΜΣ ΗΕΠ 1/100. και Ασαφής Λογική

Transcript

1 ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ - ΕΙΚΟΝΑΣ ΚΑΙ ΑΣΑΦΗΣ ΛΟΓΙΚΗ (fuzzy logic) ΔΠΜΣ ΗΕΠ /00

2 Albert Einstein Lecture to Prussian Academy 9 ΔΠΜΣ ΗΕΠ /00

3 Lotfi A. Zadeh ΔΠΜΣ ΗΕΠ 3/00

4 ΔΠΜΣ ΗΕΠ 4/00

5 Α. Γενικά Ασαφή σύνολα Fuzzy set Crisp set Βαθός συετοχής φωτεινότητα φ00 Βαθός συετοχής φωτεινότητα ΔΠΜΣ ΗΕΠ 5/00

6 κίτρινο πορτοκαλί κόκκινο ενεξεδί πλέ ΔΠΜΣ ΗΕΠ 6/00

7 (αντι)παράδειγα ΔΠΜΣ ΗΕΠ 7/00

9 τελικά.. ευχάριστα Ένα ασαφές σύνολο ορίζεται ε την συνάρτηση συετοχής: f(τ) Τ ΔΠΜΣ ΗΕΠ 9/00

10 Μπορεί ένα στοιχείο να ανήκει σε δύο σύνολα??? ευχάριστα ζεστά Τ ΔΠΜΣ ΗΕΠ 0/00

11 Συναρτήσεις συετοχής Χαρακτηριστικές ορφές ασαφών συνόλων Τριγωνική Τραπεζοειδής 0 0 ΔΠΜΣ ΗΕΠ /00

12 (συν.) άλλες ορφές f (x;a,c ) - f (x;a,c ) ΔΠΜΣ ΗΕΠ /00

13 Β. Πως παριστάνονται τα ασαφή σύνολα A ~ N Α(x) Α(x ) Α(xN) x x xn i Α (x x i i ) Ασαφές Σύνολο ε ένα στοιχείο ονοάζεται singleton 0 0 x είναι ο βαθός συετοχής membership function (το σύβολο + δεν σηαίνει άθροισα) ΔΠΜΣ ΗΕΠ 3/00

14 Γ. Πράξεις στα ασαφή σύνολα (Zadeh) Ενωση Α Β(x) Α(x) Β(x) max{ Α (x), Β (x)} Τοή Α Β(x) Α(x) Β(x) min{ Α (x), Β (x)} Συπλήρωα Α ( x) Α (x) Οι πράξεις αυτές πορούν να ορισθούν και ε άλλους τρόπους. πχ. Α Β Α Β (x) (x) Α Α (x) (x) (x) + Β Β (x) Α (x) (x) Β ΔΠΜΣ ΗΕΠ 4/00

15 Τοή,ένωση, συπλήρωα - γραφικά ΔΠΜΣ ΗΕΠ 5/00

16 Ασαφείς κανόνες IF-THEN rules Είναι ένας τρόπος επεξεργασίας Αποτελείται από ένα σύνολο συνθηκών (υποθέσεων) στην είσοδο(antecedent) και ία συνθήκη (δράση-απόφαση ) στην έξοδο (consequent). H εύρεση των κανόνων συνδέεται ε εθόδους οαδοποίησης (clustering) IF (x,a ) THEN (y,b ) IF (x,a ) AND (x,a ) THEN (y,b ) IF (x,a ) AND (x,a ) THEN (y,b 3 ) συνήθως: AND minimum, x x OR maximum ΔΠΜΣ ΗΕΠ 6/00

17 Συνεπαγωγή (inference) Eιναι η διαδικασία που δίνει αριθητικές τιές στους ασαφείς κανόνες Οι τεχνικές συνεπαγωγής περιλαβάνουν και την συνολική εκτίηση των κανόνων στην έξοδο Οι πλέον γνωστές τεχνικές είναι:. max-min (Mamdani) διακριτές τιές. max-product (Correlation product)- διακριτές τιές 3. max-min (Mamdani) ασαφές σύνολο 4. max-product (Correlation product)- ασαφές σύνολο 5. Sugeno ΔΠΜΣ ΗΕΠ 7/00

18 . max-min (Mamdani)-διακριτές τιές Α Α Β Α Α Β Input (i) Input (j) y ΔΠΜΣ ΗΕΠ 8/00

19 . max-product (Correlation product)- διακριτές τιές Α Α Β Α Α Β Input (i) Input (j) y* ΔΠΜΣ ΗΕΠ 9/00

20 3. max-min (Mamdani)-ασαφή σύνολα Α Input (i) Input (j) Α Β Input (i) Α Input (j) Α Β y* ΔΠΜΣ ΗΕΠ 0/00

21 4. max-product (Correlation product)- ασαφή σύνολα Α Input (i) Input (j) Α Β Input (i) Α Α Input (j) Β y* ΔΠΜΣ ΗΕΠ /00

22 5. «Sugeno» συνεπαγωγή Α Α w z Α Α w Input (i) Input (j) z y*σw i z i Παρατήρηση: Στη έθοδο Sugeno ΔΕΝ απαιτείται διαδικασία αποσαφήνισης (defuzzification) ΔΠΜΣ ΗΕΠ /00

23 max-min (Mamdani) συνεπαγωγή - παράδειγα ΔΠΜΣ ΗΕΠ 3/00

24 max-min - ο παράδειγα ΔΠΜΣ ΗΕΠ 4/00

25 συνεπαγωγή Sugeno -παράδειγα ΔΠΜΣ ΗΕΠ 5/00

26 Αποσαφήνιση (defuzzyfication) Α. Μaximum (z*) (z) για κάθε z z* z B. Κέντρο βάρους (Centroid) z (z) z dz (z) dz Γ. Μέση τιή-των εγίστων (συνήθως σε συετρικά σύνολα) z (z) z (z) z* z z ΔΠΜΣ ΗΕΠ 6/00

27 Αποσαφήνιση - Παράδειγα «άθροιση» Κέντρο βάρους (Centroid) z (z) z dz (z) dz z 3 (0.3z)zdz + (0.3)zdz + zdz z 3 (0.3z)dz + (0.3)dz + dz Μέση τιή- (Weighted average) (0.3.5) + (0.5 5) + ( 6.5) z ΔΠΜΣ ΗΕΠ 7/00

28 Καθορισός των παραέτρων (tuning) Οι παράετροι συνήθως είναι αυτές που καθορίζουν την ορφή στα«ασαφή» σύνολα εισόδου - εξόδου Οι έθοδοι που χρησιοποιούνται βασίζονται στις γνωστές τεχνικές όπως: α) Νευρωνικά δίκτυα β) Γενετικοί αλγόριθοι γ) Βάθωση δ) ANFIS matlab(adaptive Neuro-fuzzy Inference System). ΔΠΜΣ ΗΕΠ 8/00

29 Ασαφές σύστηα - ΣΥΝΟΨΗ Ασαφοποίηση Fuzzification Συνεπαγωγή Inference Αποσαφήνιση Defuzzification ΔΠΜΣ ΗΕΠ 9/00

30 Ένα ερώτηα!! ΔΠΜΣ ΗΕΠ 30/00

32 Β Fuzzy γεωετρία Πως θα βρούε περίετρο και εβαδό?? εβαδό ΔΠΜΣ ΗΕΠ 3/00

33 περίετρος συπαγότητα C() 4π εβαδόν (περίετρος) ΔΠΜΣ ΗΕΠ 33/00

34 Β Μέτρηση της ασάφειας σε εικόνα Η ασάφεια είναι 0 εάν όλατα i είναι 0 ή (π.χ. binary image). Η έγιστη τιή βρίσκεται όταν όλα τα i 0.5 ΔΠΜΣ ΗΕΠ 34/00

35 Κατωφλιοποίηση ε ελαχιστοποίηση της ασάφειας Το βέλτιστο κατώφλιο βρίσκεται ε ετακίνηση της S-function και έτρηση της «ασάφειας» ΔΠΜΣ ΗΕΠ 35/00

36 αρχική εικόνα ελαχιστοποίηση ασάφειας ΔΠΜΣ ΗΕΠ 36/00

37 B3 Βελτίωση του Contrast Από την εργασία S.K.Pal and R.A. King 98 Μία εικόνα που παριστάνεται ε την ορφή πίνακα: IMAGE g(n,n ) x x x M x 3 N x x x 3 M x N L L L L L x x x x n n 3n M N n L L L L L x x x x N N 3N M N N ΔΠΜΣ ΗΕΠ 37/00

38 Ασαφοποίηση : gray levels X 3 N /x /x /x M /x 3 N 3 N /x /x /x M /x 3 N L L L L L n n 3n Nn /x /x /x M /x n n 3n Nn L L L L L N N 3N NN /x /x /x M /x N N 3N NN ΔΠΜΣ ΗΕΠ 38/00

39 Τροποποίηση της συνάρτησης συετοχής αύξηση του contrast τελεστής INT Η επίδραση του τελεστή INT σε ένα σύνολο Α θα δώσει ένα άλλο σύνολο Α' ε λιγότερη ασάφεια. Ο INT πορεί να οριστεί ως εξής: [ ( x) ], ( ( x) ) ( x) [ ], ( x) ( x) 0.5 ' mn mn ΔΠΜΣ ΗΕΠ 39/00

40 Αποσαφήνιση : Gray levels x n n x max F d ( (G)) F e ΔΠΜΣ ΗΕΠ 40/00

41 Συνοψη της διαδικασίας του τελεστού ΙΝΤ. ασαφοποίηση n n ( ) Fe x x max F d n n G( xn n ). εφαρογή του τελεστού ΙΝΤ εάν ( ) 0.5 εάν > > αντίστροφη διεργασία x n n x max F d ( ( G)) F e SET F d, F e, α F d F e α IN G() T r () G - ( ) OUT ΔΠΜΣ ΗΕΠ 4/00

42 Βελτίωση του contrast ε τον τελεστή INT (ο παράδειγα) α β γ δ ε (α) Η αρχική εικόνα, (β) το αποτέλεσα από το histogram equalization, το αποτέλεσα του αλγορίθου για (γ) F e, F d 55, r, (δ) F e, F d 5, r και (ε) F e, F d 49.5, r. ΔΠΜΣ ΗΕΠ 4/00

43 B4. Βελτίωση του contrast «ε κανόνες» Τροποιείται το ιστόγραα ως εξής:. Ασαφοποίηση των τιών των pixels. Συνεπαγωγή (πχ. IF σκοτεινό THEN g min κλπ) 3. Αποσαφήνιση (Sugeno) σκοτεινό gmin + γκρίζο gmid + g + + σκοτεινό γκρίζο φωτεινό φωτεινό g max σκοτεινό γκρίζο φωτεινό g min g mid g max φωτεινότητα g φωτεινότητα g ΔΠΜΣ ΗΕΠ 43/00

44 Β5 Fuzzy edge detection Απλή προσέγγιση Με υπολογισό του «degree of edginess» (Tizhoosh, 997) ΔΠΜΣ ΗΕΠ 44/00

45 Edge detection ε «κανόνες» ΔΠΜΣ ΗΕΠ 45/00

46 Χάρτης ακών Ακές ετά από κατωφλιοποίηση ΔΠΜΣ ΗΕΠ 46/00

47 B6 Φιλτράρισα ε ασαφή λογική Μετρούενο Μέγεθος: διαφορές του κεντρικού pixel g mn από τα γειτονικά του g ij. x ij g ij -g mn Ηέξοδοςy mn αποτελεί ία «διόρθωση» τηςαρχικήςτιήςτουpixel g mn : g mn g mn +y mn ΔΠΜΣ ΗΕΠ 47/00

48 σύνολα εισόδου: MN (medium negative), MP (medium positive) εξόδου: SΝ (small negative), SP (small positive) και Ζ(zero) MN MP SN Z SP -L+ L- -L+ L- Συνεπαγωγή: IF x m-,n- is MP.. AND x m+,n+ is MP THEN y mn is SP IF x m-,n- is MN.. AND x m+,n+ is MN THEN y mn is SN ELSE y mn is ZE ΔΠΜΣ ΗΕΠ 48/00

49 os κανόνας P P P P P P P P THEN SP Σε διάγραα: ος κανόνας N N N N N N N N THEN SN Else THEN Z ΔΠΜΣ ΗΕΠ 49/00

50 B7. Οι ασαφείς κανόνες αναφέρονται σε παραέτρους (αυρόασπρη εικόνα) α)οντέλο σήατος x(i,j)s(i,j)+n(i,j) β)επιθυητό φιλτράρισα: οάδα : οογενής περιοχή +Uniform θόρυβος οάδα : οογενής περιοχή + Normal θόρυβος οάδα 3: οογενής περιοχή + Exp. Θόρυβος midpoint filter mean filter median filter οάδα 4:ακή (λεπτοέρεια) + Uniform or Gaussianθόρυβος identity filter οάδα 5:ακή (λεπτοέρεια) + Impulsive θόρυβος median filter γ) παράετροι : K(i,j)σ (i,j)/( σ n + σ (i,j)) Q α (i,j) I(i,j) x(i,j)-median(i,j) / σ n local statistics tail behavior impulse detection ΔΠΜΣ ΗΕΠ 50/00

51 δ) Ασαφή σύνολα ε)κανόνες If K is small and Q a is small then x(i,j) οαδα If K is small and Q a is medium then x(i,j) οαδα If K is small and Q a is Large then x(i,j) οαδα3 If K is Large and I is small then x(i,j) οαδα4 If K is large and I is Large then Εξοδος του φίλτρου: y(i, j) 5 k k k x(i,j) οαδα5 (i, j) ω k k (i, j) (i, j) ΔΠΜΣ ΗΕΠ 5/00

52 B8 Εγχρωη εικόνα - φιλτράρισα παράετροι: α) απόκλιση v( X) β) Δυναικό, "άθροισα δυναικού" i P( ) K Nh i h Διαχωρισός σε 3 οάδες (classes) n (X i X) Ασαφή σύνολα (fuzzy sets). N N g( X) N X - X -p X K( X) ( π ) / exp -X p N N i P( X i ) ( ) first class v(x), g(x) large. second class v(x) large,g(x) small. third class v(x) small ΔΠΜΣ ΗΕΠ 5/00

53 Κανόνες Rule:IF (v,large) AND (g, Large) THEN (Class) Rule:IF (v,large) AND (g, Small) THEN (Class) Rule3:IF (v,small) THEN (Class3) min( L (v), L (g)) min( L (v), S (g)) 3 S (v) first class second class third class pixel is selected as the filter output (VMF) /3 of the total number is averaged all the pixels are selected and averaged. X Vector Μedian N/3 points Averager N points Averager Defuzzification output(x) 3 m m 3 m (X) y m m (X) (X) g(x) v(x) Fuzzy Inference output(x) Το fuzzy φίλτρο σε διάγραα βαθίδων ΔΠΜΣ ΗΕΠ 53/00

54 (α) (β) α)εικόνα ε θόρυβο: gaussian (0,6) and impulsive (%) β)η έξοδοςτουπροτεινοένου fuzzy filter ΔΠΜΣ ΗΕΠ 54/00

56 Γ Οαδοποίηση clustering- Εισαγωγικά ΔΠΜΣ ΗΕΠ 56/00

57 Παράδειγα οαδοποίηση τροχοφόρων Vehicle Top speed km/h Air resistance Weight Kg V V V V V V V V V ΔΠΜΣ ΗΕΠ 57/00

58 Οάδες - Clusters Lorries 500 Weight [kg] Medium market cars Sports cars Top speed [km/h] ΔΠΜΣ ΗΕΠ 58/00

59 Ορολογία Object or data point feature space 3500 label 3000 Lorries feature Weight [kg] cluste r Medium market cars Sports cars Top speed [km/h] feature ΔΠΜΣ ΗΕΠ 59/00

60 Αλγόριθος K-Means παράδειγα Διαχωρισός ( κλάσσεις) frequency intensities 475Hz 557Hz Ok? Yes Yes Yes Yes Yes No No No No No ΔΠΜΣ ΗΕΠ 60/00

61 Tiles data: o whole tiles, * cracked tiles, x centres 0 log(intensity) 557 Hz log(intensity) 475 Hz ΔΠΜΣ ΗΕΠ 6/00

62 Tiles data: o whole tiles, * cracked tiles, x centres 0 log(intensity) 557 Hz log(intensity) 475 Hz Βήα Τυχαία επιλογή κέντρων Κάθε σηείο (data point * και o) ανατίθεται στο πλησιέστερο κέντρο ΔΠΜΣ ΗΕΠ 6/00

63 Tiles data: o whole tiles, * cracked tiles, x centres 0 log(intensity) 557 Hz log(intensity) 475 Hz Βήα Υπολογίζουε τα νέα κέντρα και Κάθε σηείο (data point * και o) ανατίθεται πάλι στο πλησιέστερο κέντρο ΔΠΜΣ ΗΕΠ 63/00

64 Tiles data: o whole tiles, * cracked tiles, x centres 0 log(intensity) 557 Hz log(intensity) 475 Hz Επανάληψη ΔΠΜΣ ΗΕΠ 64/00

65 Tiles data: o whole tiles, * cracked tiles, x centres 0 log(intensity) 557 Hz log(intensity) 475 Hz Επανάληψη3 ΔΠΜΣ ΗΕΠ 65/00

66 Tiles data: o whole tiles, * cracked tiles, x centres 0 log(intensity) 557 Hz log(intensity) 475 Hz Επανάληψη4 Ο αλγόριθος τερατίζεται διότι δεν υπάρχει καία αλλαγή ΔΠΜΣ ΗΕΠ 66/00

67 Πίνακας διαερισού Partition matrix Κέντρο Κέντρο ΔΠΜΣ ΗΕΠ 67/00

68 Τι ελαχιστοποιήσαε?? κλάσσεις δεδοένα v J c i J i c i k,x C k X i k V i v X k ΔΠΜΣ ΗΕΠ 68/00

69 Γ Αλγόριθος Fuzzy C-Means fcm n σηεία, c κέντρα U ik ητιήσυετοχής του X k στο κέντρο V i ΔΠΜΣ ΗΕΠ 69/00

70 fcm τα βήατα v X k U k ο βήα: υπολογισός των U ik U k u ik c d i ik d ik όπου : d ik X i X k c uik γιά k,,..n 0 < uik < n i k n v ΔΠΜΣ ΗΕΠ 70/00

71 fcm τα βήατα v X k ο βήα: υπολογισός των κέντρων V i U k U k V i n k n u k m ik u X m ik k i K c v ΔΠΜΣ ΗΕΠ 7/00

72 FCM - σύνοψη Xdata Nxp U partition matrix u M u C L O L u u N M CN V Centroids [ V, V,..., V C ] Objective function J(t) J(t ) < ε CONTINUE STOP Επαναληπτική διαδικασία ΔΠΜΣ ΗΕΠ 7/00

73 παράδειγα Διαχωρισός ( κλάσεις) ΔΠΜΣ ΗΕΠ 73/00

74 Tiles data: o whole tiles, * cracked tiles, x centres 0 log(intensity) 557 Hz log(intensity) 475 Hz Βήα Τυχαία επιλογή κέντρων Κάθε σηείο (data point * και o) λαβάνει ία τιή συετοχής ανάλογα ε την απόσταση από τα κέντρα ΔΠΜΣ ΗΕΠ 74/00

75 Tiles data: o whole tiles, * cracked tiles, x centres 0 log(intensity) 557 Hz log(intensity) 475 Hz Βήα Υπολογίζονται τα καινούρια κέντρα και στη συνέχεια οι καινούριες τιές συετοχής ΔΠΜΣ ΗΕΠ 75/00

76 Tiles data: o whole tiles, * cracked tiles, x centres 0 log(intensity) 557 Hz log(intensity) 475 Hz Επανάληψη ΔΠΜΣ ΗΕΠ 76/00

77 Tiles data: o whole tiles, * cracked tiles, x centres 0 log(intensity) 557 Hz log(intensity) 475 Hz Επανάληψη 5 ΔΠΜΣ ΗΕΠ 77/00

78 Tiles data: o whole tiles, * cracked tiles, x centres 0 log(intensity) 557 Hz log(intensity) 475 Hz Επανάληψη 0 ΔΠΜΣ ΗΕΠ 78/00

79 Tiles data: o whole tiles, * cracked tiles, x centres 0 log(intensity) 557 Hz log(intensity) 475 Hz Επανάληψη 3- τερατισός ΔΠΜΣ ΗΕΠ 79/00

80 Πίνακας διαερισού (Partition matrix) U ik Κέντρο Κέντρο Τι άθροισα έχουν οι στήλες?? ΔΠΜΣ ΗΕΠ 80/00

81 Πίνακας διαερισού (Partition matrix) Κέντρα c u M u C L O L u u N M CN v v 3 v Δεδοένα Ν X k ΔΠΜΣ ΗΕΠ 8/00

82 Τι ελαχιστοποιήσαε?? συνάρτηση «κόστους» - Objective function J c n i k u m ik X k V i τερατισός του αλγορίθου fcm J(n+)-J(n) ε ή {Uik(n + )} {Uik(n)} ε ΔΠΜΣ ΗΕΠ 8/00

83 fcmdemo ΔΠΜΣ ΗΕΠ 83/00

84 Cluster Validity αξιοπιστία εγκυρότητα οαδοποίησης Άλλα έτρα c N PC(c) ( ij ) N i j PC(c) trace U ik U ik N CE(c) XB(c) N c c N i j N i j ( ) Nmin ij ij { T } V j ij X ln( j V i V i ij ) Ισοδύναα: ΔΠΜΣ ΗΕΠ 84/00

85 Cluster Validity -Πίνακας διαερισού και. ασάφεια U ik U ik U ik U ik * U T ik U ik * U T ik U ik * U T ik 0 0 trace/ Trace/ Τrace/3 ΔΠΜΣ ΗΕΠ 85/00

86 Ελάχιστη ασάφεια βέλτιστη οαδοποίηση (σωστός αριθός κλάσεων) Τα δεδοένα (4 κλάσεις) Δείκτης ασάφειας PC Αριθός κλάσεων c X_data[repmat([,],00,);repmat([,],00,); repmat([,],00,); repmat([,],00,)]; X_dataX_data+0.7*rand(400,);[N,p]size(X_data); plot(x_data(:,),x_data(:,),'o') Fuziness[] for k:0;[prot,u]fcm(x_data,k);fuziness(k)trace(u*u')/n ; end figure; plot(fuziness,'.-'),grid ΔΠΜΣ ΗΕΠ 86/00

87 FCM D Example - Eνα πρόβληα.. compact groups spurious patterns FCM sensitivity to noisy data ΔΠΜΣ ΗΕΠ 87/00

88 Η λύση- Conditional fcm Ας δούε τον U ij u ik c c j f k ( ) d d ik ij όπου : d uik fk γιά k,,..n 0 < uik < N i k ik Τι αλλάζει?? X i N X k Κέντρο Κέντρο f f ΔΠΜΣ ΗΕΠ 88/00

89 Mountain clustering- Subtractive clustering Βρίσκει τον αριθό των κλάσεων Χρησιοποιείται και βοηθητικά στον fcm, και ανεξάρτητα υλοποίηση ΔΠΜΣ ΗΕΠ 89/00

90 Mountain clustering - Subtractive clustering D k K j e u k r u a j Για κάθε δεδοένο j θεωρούε ία Gaussian συνάρτηση. Σε κάθε σηείο k του χώρου δηιουργείται ένα βουνό σαν άθροισα των επί έρους Gaussian συναρτήσεων. ΔΠΜΣ ΗΕΠ 90/00

91 Επίδραση της «ακτίνας» r a Δεδοένα Μεγάλη «ακτίνα» ικρή «ακτίνα» Πολύ ικρή «ακτίνα» ΔΠΜΣ ΗΕΠ 9/00

92 Αφαίρεση του έγιστου «βουνού» D ' k D k D c e u k u r a c ΔΠΜΣ ΗΕΠ 9/00

93 συνέχεια (διαδοχική αφαίρεση και των υπολοίπων) ΔΠΜΣ ΗΕΠ 93/00

94 Ένα παράδειγα (δορυφορική εικόνα) Mountain clustering fcm ΔΠΜΣ ΗΕΠ 94/00

95 FCM - παράδειγα - υπολογισοί ΔΠΜΣ ΗΕΠ 95/00

96 x x x x 3 4 {,3} {3,} Παράδειγα fcm n4,c {.5,3.} {.3,.8} ο βήα:υπολογισός των U ik Θέτουε αυθαίρετα {U (0) ik } 0 Αρχικοί υπολογισοί ο βήα: υπολογισός των κέντρων V i UΧ + UX + U3X3 + U4X4 X + X + X3 V U + U + U3 + U4 + + X X X {, } {.6,3} U Χ + UX U + U + U + U X3 + U + U X X V 3 4 {3,} ΔΠΜΣ ΗΕΠ 96/00

97 Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας ΔΠΜΣ ΗΕΠ Σ. Φωτόπουλος ΠΑΝ. ΠΑΤΡΩΝ 97/00 Παράδειγα fcm fcm (συνέχεια) η επανάληψη -ο βήα:υπολογισός των U ik η επανάληψη -ο βήα:υπολογισός των U ik η επανάληψη 0.0 ) ( 3) (3 d.65 3) (.6) (3 d.47 ) (.8 3) (.3 d 0. 3) (.8.6) (.3 d.66 ) (3. 3) (.5 d 0.3 3) (3..6) (.5 d.8 ) (3 3) ( d 0.6 3) (3.6) ( d d d d d d d d d d d d d d d d d } {U () ik Οοίως:

98 η επανάληψη οβήα: υπολογισός των κέντρων V i η επανάληψη (συνέχεια) UΧ + UX + U3X3 + U4X X X X3... U + U + U + U V 3 4 {.6,3} UΧ + UX + U3X3 + U4X X X X3 + X4... U + U + U + U V 3 4 {3,} Έλεγχος σύγκλισης () (0) () (0) {Uik Uik } max ικ ik i,k Εάν η τιή αυτή είναι ικανοποιητική σταατά η διαδικασία. Διαφορετικά προχωρούε σε η επανάληψη ΔΠΜΣ ΗΕΠ 98/00

99 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Matlab: Zadeh,L.A.,"Fuzzy sets" Information and Control, Vol. 8, pp , 965 Zadeh,L.A.,"Outline of a new approach to the analysis of complex systems and decision processes" IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Vol.3, No., pp.8-44, Jan 973 Dubois D. and Prade H., "Fuzzy sets and Systems, theory and applications" Academic, New York, 980 Bezdec, J., " Pattern recognition with fuzzy abjective function algorithms" Plenum Press, New York, 98 Terano T., Asai K., and Sugeno M., "Fuzzy system theory and its applications" Academic Press, San Diego, CA, 99 B.Kosko "Neural Networks and Fuzzy systems" Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs,NJ,99 F.Russo "Nonlinear Fuzzy Filters: An overview" Proc. ECCTD96, Trieste, Sept 0-3, 996 Τ. Ross " Fuzzy Logic with Engineering Applications" Mc Graw Hill, Inc., 995 ΔΠΜΣ ΗΕΠ 99/00

100 Lofti Zadeh Fuzzy Sets in Info &control,vol.8 (965) pp 9-44 Kaufmann, Arnold and Gupta, Madan M., Introduction to Fuzzy Arithmetic: Theory and Applications, New York: Van Nostrand Reinhold Company Ltd., pp. Klir, George J. and Folger, Tina A., Fuzzy Sets, Uncertainty, and Information, Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, pp. Kosko, Bart A., Neural Networks and Fuzzy Systems, Prentice-Hall, 990. Mamdani, E.H. and Gaines, B.R., Fuzzy Reasoning and its Applications, New York: Academic Press, pp. Negoita, Constantin Virgil, Fuzzy Systems, Cybernetics and Systems Series, Abacus Press, pp. Sugeno, Michio, Industrial Applications of Fuzzy Control, New York: North-Holland, pp. Togai, M., Reasoning with Uncertainty for Rule-based Expert Systems, John Wiley & Sons, in progress. Zimmermann, Hans J., Fuzzy Set Theory and its Applications, Boston MA: Kluwer- Nijhoff Publishing, pp L.Zadeh, FuzzyLogicComputing with words IEEE Trans on Fuzzy Systems, Vol4, No.,996 (pp03-) ΔΠΜΣ ΗΕΠ 00/00