ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ - ΕΙΚΟΝΑΣ. ΚΑΙ ΑΣΑΦΗΣ ΛΟΓΙΚΗ (fuzzy logic) Μάρτιος Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος και Ασαφής Λογική

Transcript

1 ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ - ΕΙΚΟΝΑΣ ΚΑΙ ΑΣΑΦΗΣ ΛΟΓΙΚΗ (fuzzy logic) Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005

2 Albert Einstein Lecture to Prussian Acaemy 9 Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005

3 Μάρτιος Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική

4 Α. Γενικά Ασαφή σύνολα Fuzzy set Crisp set Βαθός συετοχής φωτεινότητα φ00 Βαθός συετοχής φωτεινότητα Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005 4

5 Συναρτήσεις συετοχής -Χαρακτηριστικές ορφές ασαφών συνόλων Τριγωνική Τραπεζοειδής 0 0 Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005 5

6 (συν.) άλλες ορφές f (x;a,c ) - f (x;a,c ) Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005 6

7 Β. Πως περιγράφονται τα ασαφή σύνολα A ~ N Α(x) Α(x ) Α(xN) x x xn i Α (x x i i ) Ασαφές Σύνολο ε ένα στοιχείο ονοάζεται singleton 0 0 x είναι ο βαθός συετοχής membership function (το σύβολο + δεν σηαίνει άθροισα) Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005 7

8 Γ. Πράξεις στα ασαφή σύνολα (Zaeh) Ενωση Α Β(x) Α(x) Β(x) max{ Α(x), Β(x)} Τοή Α Β(x) Α(x) Β(x) min{ Α(x), Β(x)} Συπλήρωα ( x) Α (x) Α Οι πράξεις αυτές πορούν να ορισθούν και ε άλλους τρόπους. πχ. Α Β(x) Α(x) Β(x) (x) (x) + (x) Α Β Α Β Α Β (x) (x) Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005 8

9 Τοή,ένωση, συπλήρωα - γραφικά Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005 9

10 υαδική λογική ασαφής λογική Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005 0

11 Ασαφείς κανόνες IF-THEN rules Είναι ένας τρόπος επεξεργασίας Αποτελείται από ένα σύνολο συνθηκών (υποθέσεων) στην είσοδο(anteceent) και ία συνθήκη (δράση-απόφαση ) στην έξοδο (consequent). H εύρεση των κανόνων συνδέεται ε εθόδους οαδοποίησης (clustering) IF (x,a ) THEN (y,b ) IF (x,a ) AND (x,a ) THEN (y,b ) IF (x,a ) AND (x,a ) THEN (y,b 3 ) συνήθως: AND minimum, x x OR maximum Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005

12 Συνεπαγωγή (inference) Eιναι η διαδικασία που δίνει αριθητικές τιές στους ασαφείς κανόνες Οι τεχνικές συνεπαγωγής περιλαβάνουν και την συνολική εκτίηση των κανόνων στην έξοδο Οι πλέον γνωστές τεχνικές είναι:. max-min (Mamani) διακριτές τιές. max-prouct (Correlation prouct)- διακριτές τιές 3. Γ. max-min (Mamani) ασαφές σύνολο 4.. max-prouct (Correlation prouct)- ασαφές σύνολο 5. Ε. Sugeno Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005

13 . max-min (Mamani)-διακριτές τιές Α Α Β Α Α Β Input (i) Input (j) y Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005 3

14 . max-prouct (Correlation prouct)- διακριτές τιές Α Α Β Α Α Β Input (i) Input (j) y* Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005 4

15 3. max-min (Mamani)-ασαφή σύνολα Α Input (i) Input (j) Α Β Input (i) Α Input (j) Α Β y* Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005 5

16 4. max-prouct (Correlation prouct)- ασαφή σύνολα Α Input (i) Input (j) Α Β Input (i) Α Α Input (j) Β y* Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005 6

17 5. «Sugeno» συνεπαγωγή Α Α w z Α Α w Input (i) Input (j) z y*σw i z i Παρατήρηση: Στη έθοδο Sugeno ΕΝ απαιτείται διαδικασία αποσαφήνισης (efuzzification) Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005 7

18 max-min (Mamani) συνεπαγωγή - παράδειγα Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005 8

19 συνεπαγωγή Sugeno -παράδειγα Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005 9

20 Αποσαφήνιση (efuzzification) Α. Μaximum (z*) (z) για κάθε z z* z B. Κέντρο βάρους (Centroi) z (z) z z (z) z Γ. Μέση τιή-των εγίστων (συνήθως σε συετρικά σύνολα) z (z) z (z) z* z z Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005 0

21 Αποσαφήνιση - Παράδειγα «άθροιση» Κέντρο βάρους (Centroi) z (z) z z (z) z z 3 (0.3z)zz + (0.3)zz + zz z 3 (0.3z)z + (0.3)z + z Μέση τιή- (Weighte average) (0.3.5) + (0.5 5) + ( 6.5) z Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005

22 Καθορισός των παραέτρων (tuning) Οι παράετροι συνήθως είναι αυτές που καθορίζουν την ορφή στα«ασαφή» σύνολα εισόδου - εξόδου Οι έθοδοι που χρησιοποιούνται βασίζονται στις γνωστές τεχνικές όπως: α) Νευρωνικά δίκτυα β) Γενετικοί αλγόριθοι γ) Βάθωση δ) ANFIS matlab(aaptive Neuro-fuzzy Inference System). Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005

23 Ασαφές σύστηα - ΣΥΝΟΨΗ Ασαφοποίηση Fuzzification Συνεπαγωγή Inference Αποσαφήνιση Defuzzification Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005 3

24 Μάρτιος Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική

25 Β. Αλγόριθος Fuzzy C-Means (fcm) Οαδοποίηση - clustering v X k U k n σηεία, c κέντρα U ik η τιή συετοχής του X k στο κέντρο V i ο βήα: U k U ik c i U ik υπολογισός των U ik c i ik ik όπου : γιά k,,.. n 0 < U ik X n k i ik X k < n v Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005 5

26 Fuzzy C-Means (fcm) - Αλγόριθος v X k ο βήα: υπολογισός των κέντρων V i U k U k V i n k n U k m ik U X m ik k i K c J m υπολογισός του «κόστους» n c k i U m ik X k X i v Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005 6

27 Πίνακας διαερισού Partition matrix Παράδειγα (3 σηεία κέντρα) 0.9 { U ik } Σύγκλιση τερατισός του αλγορίθου fcm J(n+)-J(n) ε ή {Uik(n + )} {Uik(n)} ε Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005 7

28 Παράδειγα fcm n4,c x x x x 3 4 {,3} {.5,3.} {.3,.8} {3,} ο βήα:υπολογισός των U ik Θέτουε αυθαίρετα {U (0) ik } 0 Αρχικοί υπολογισοί ο βήα: υπολογισός των κέντρων V i UΧ + UX + U3X3 + U4X4 X + X + X3 V U + U + U3 + U4 + + X X X {, } {.6,3} U Χ + UX U + U + U + U X3 + U + U X X V 3 4 {3,} Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005 8

29 Μάρτιος Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Παράδειγα fcm fcm (συνέχεια) η επανάληψη -ο βήα:υπολογισός των U ik η επανάληψη -ο βήα:υπολογισός των U ik η επανάληψη 0.0 ) ( 3) (3.65 3) (.6) (3.47 ) (.8 3) ( ) (.8.6) (.3.66 ) (3. 3) ( ) (3..6) (.5.8 ) (3 3) ( 0.6 3) (3.6) ( } {U () ik Οοίως:

30 η επανάληψη ο βήα: υπολογισός των κέντρων V i η επανάληψη (συνέχεια) UΧ + UX + U3X3 + U4X X X X3... U + U + U + U V 3 4 {.6,3} UΧ + UX + U3X3 + U4X X X X3 + X4... U + U + U + U V 3 4 {3,} Έλεγχος σύγκλισης () (0) () (0) {Uik Uik } max ικ ik i,k Εάν η τιή αυτή είναι ικανοποιητική σταατά η διαδικασία. ιαφορετικά προχωρούε σε η επανάληψη Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος

31 B. Μία πρώτη προσέγγιση στην επεξεργασία Μονόχρωης Εικόνας Από την εργασία S.K.Pal an R.A. King 98 Μίαεικόναπουπαριστάνεταιε την ορφή πίνακα: IMAGE f(n,n x x ) x M x πορεί να παρασταθεί σαν ένα ασαφές σύνολο όπου κάθε pixel έχει ένα βαθό συετοχής ij στη φωτεινότητα : 3 N x x x x 3 M N L L L L L x x x x n n 3n M N n L L L L L x x x x N N 3N M N N X 3 N /x /x /x M /x 3 N 3 N /x /x /x M /x 3 N L L L L L n n 3n Nn /x /x /x M /x n n 3n Nn L L L L L N N 3N NN /x /x /x M /x N N 3N NN Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005 3

32 Μία επεξεργασία βασισένη στη θεώρηση αυτή είναι η αύξηση του contrast, και περιγράφεται ε τον τελεστή INT. Η επίδραση του τελεστή INT σε ένα σύνολο Α θα δώσει ένα άλλο σύνολο Α' ε λιγότερη ασάφεια. Ο INT πορεί να οριστεί ως εξής: [ ( x) ], ( ( x) ) ( x) [ ], ( x) ( x) 0.5 ' mn mn Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005 3

33 CONTRAST ENHANCEMENTε τον τελεστή INT παράδειγα Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος

34 CONTRAST ENHANCEMENT ε τον τελεστή INT (συν) εάν ( ) 0.5 εάν > > 0.5 Αποτέλεσα ετά από εφαρογή του τελεστή ΙΝΤ Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος

35 Εάν η περιοχή τιών της εικόνας δεν είναι εταξύ 0 και, ή εάν η σχέση εταξύ gray scale και δεν πρέπει να είναι γραική χρησιοποιείται ο εξής ετασχηατισός: n n G(x n n ) Fe ( x x ) max F n n Στη συνέχεια εφαρόζεται ο τελεστής ΙΝΤ εάν ( ) 0.5 εάν > > 0.5 Και στο τέλος γίνεται η αντίστροφη διεργασία x n n x max F ( (G)) F e SET F, F e, α F F e α IN G() T r () G - ( ) OUT Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος

36 CONTRAST ENHANCEMENT ε τοντελεστήint (ο παράδειγα) α β γ δ ε (α) Η αρχική εικόνα, (β) το αποτέλεσα από το histogram equalization, το αποτέλεσα του αλγορίθου για (γ) F e, F 55, r, (δ) F e, F 5, r και (ε) F e, F 49.5, r. Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος

37 Rule base contrast enhancement Τροποιείται το ιστόγραα ως εξής:. Ασαφοποιηση των τιών των pixels. Συνεπαγωγή (IF σκοτεινό THEN g min κλπ) 3. Αποσαφήνιση (Sugeno) σκοτεινό gmin + γκρίζο gmi + g + + σκοτεινό γκρίζο φωτεινό φωτεινό g max σκοτεινό γκρίζο φωτεινό g min g mi g max φωτεινότητα g φωτεινότητα g Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος

38 B3.Οι ασαφείς κανόνες αναφέρονται στις τιές των pixel Βασικό φίλτρο Από τις εργασίες: F. Russo και G. Ramponi Μετρούενο Μέγεθος: διαφορές του κεντρικού pixel g mn από τα γειτονικά του g ij. x ij g ij -g mn Ηέξοδοςy mn αποτελεί ία «διόρθωση» της αρχικής τιής του pixel g mn : g mn g mn +y mn Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος

39 Ασαφή σύνολα εισόδου:mn,mp εξόδου:sν, SP και Ζ. MN MP SN ZE SP -L+ L- -L+ L- Συνεπαγωγή: IF x m-,n- is MP.. AND x m+,n+ is MP THEN y mn is SP IF x m-,n- is MN.. AND x m+,n+ is MN THEN y mn is SN ELSE y mn is ZE Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος

40 os κανόνας P P P P P P P P THEN SP Σε διάγραα: ος κανόνας N N N N N N N N THEN SN Else THEN Z Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος

41 Basic Ege Extractor ηέξοδος: P q y Τα ασαφή σύνολα: D(ifference), E (equal), L (low) και H (high) Οι κανόνες st rule D D D E o D D D THEN o H n rulee E E o o o o THEN H 3r rule o D E D E E D o THEN o H 4th ruleo D o o o o E THEN H Else rule THEN L Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005 4

42 Χάρτης ακών Ακές ετά από κατωφλιοποίηση Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος 005 4

43 B4. Οι ασαφείς κανόνες αναφέρονται σε παραέτρους (αυρόασπρη εικόνα) α)οντέλο σήατος x(i,j)s(i,j)+n(i,j) β)επιθυητό φιλτράρισα: οάδα : οογενής περιοχή +Uniform θόρυβος οάδα : οογενής περιοχή + Normal θόρυβος οάδα 3: οογενής περιοχή + Exp. Θόρυβος mipoint filter mean filter meian filter οάδα 4:ακή (λεπτοέρεια) + Uniform or Gaussianθόρυβος ientity filter οάδα 5:ακή (λεπτοέρεια) + Impulsive θόρυβος meian filter γ) παράετροι : K(i,j)σ (i,j)/( σ n + σ (i,j)) Q α (i,j) I(i,j) x(i,j)-meian(i,j) / σ n local statistics tail behavior impulse etection Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος

44 δ) Ασαφή σύνολα ε)κανόνες If K is small an Q a is small then x(i,j) οαδα If K is small an Q a is meium then x(i,j) οαδα If K is small an Q a is Large then x(i,j) οαδα3 If K is Large an I is small then x(i,j) οαδα4 If K is large an I is Large then Εξοδος του φίλτρου: y(i, j) 5 k k k x(i,j) οαδα5 (i, j) ω k k (i, j) (i, j) Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος

45 B.5 Εγχρωη εικόνα- φιλτράρισα παράετροι: α) απόκλιση v( X) β) υναικό, "άθροισα δυναικού" i P( ) K Nh i h ιαχωρισός σε 3 οάδες (classes) n (X i X) Ασαφή σύνολα (fuzzy sets). N N g( X) N X - X -p X K( X) ( π ) / exp -X p N N i P( X i ) ( ) first class v(x), g(x) large. secon class v(x) large,g(x) small. thir class v(x) small Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος

46 Κανόνες Rule:IF (v,large) AND (g, Large) THEN (Class) Rule:IF (v,large) AND (g, Small) THEN (Class) Rule3:IF (v,small) THEN (Class3) min( L (v), L (g)) min( L (v), S (g)) 3 S (v) first class secon class thir class pixel is selecte as the filter output (VMF) /3 of the total number is average all the pixels are selecte an average. X Vector Μeian N/3 points Averager N points Averager Defuzzification output(x) 3 m m 3 m (X) y m m (X) (X) g(x) v(x) Fuzzy Inference output(x) Το fuzzy φίλτρο σε διάγραα βαθίδων Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος

47 (α) (β) α)εικόνα ε θόρυβο: gaussian (0,6) an impulsive (%) β)η έξοδοςτουπροτεινοένου fuzzy filter Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος

48 Ερωτήσεις εργασίες. Nα βρεθούν παραλλαγές του fcm (από το διαδίκτυο web of science). Να υλοποιηθεί ο τελεστής ΙΝΤ 3. Να υλοποιηθεί η διαδικασία Rule base contrast enhancement και να συγκριθεί ε κλασσικές εθόδου 4. Να εκτελεσθεί ένα βήα του αλγορίθου fcm για το σύνολο των σηείων: x(,) ψ(,), z(3,3) ω(3,4) Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος

49 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Matlab: Zaeh,L.A.,"Fuzzy sets" Information an Control, Vol. 8, pp , 965 Zaeh,L.A.,"Outline of a new approach to the analysis of complex systems an ecision processes" IEEE Transactions on Systems, Man, an Cybernetics, Vol.3, No., pp.8-44, Jan 973 Dubois D. an Prae H., "Fuzzy sets an Systems, theory an applications" Acaemic, New York, 980 Bezec, J., " Pattern recognition with fuzzy abjective function algorithms" Plenum Press, New York, 98 Terano T., Asai K., an Sugeno M., "Fuzzy system theory an its applications" Acaemic Press, San Diego, CA, 99 B.Kosko "Neural Networks an Fuzzy systems" Prentice Hall, Inc., Englewoo Cliffs,NJ,99 F.Russo "Nonlinear Fuzzy Filters: An overview" Proc. ECCTD96, Trieste, Sept 0-3, 996 Τ. Ross " Fuzzy Logic with Engineering Applications" Mc Graw Hill, Inc., Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος

50 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ (συν) Kaufmann, Arnol an Gupta, Maan M., Introuction to Fuzzy Arithmetic: Theory an Applications, New York: Van Nostran Reinhol Company Lt., pp. Klir, George J. an Folger, Tina A., Fuzzy Sets, Uncertainty, an Information, Englewoo Cliffs, NJ: Prentice Hall, pp. Kosko, Bart A., Neural Networks an Fuzzy Systems, Prentice-Hall, 990. Mamani, E.H. an Gaines, B.R., Fuzzy Reasoning an its Applications, New York: Acaemic Press, pp. Negoita, Constantin Virgil, Fuzzy Systems, Cybernetics an Systems Series, Abacus Press, pp. Sugeno, Michio, Inustrial Applications of Fuzzy Control, New York: North- Hollan, pp. Togai, M., Reasoning with Uncertainty for Rule-base Expert Systems, John Wiley & Sons, in progress. Zimmermann, Hans J., Fuzzy Set Theory an its Applications, Boston MA: Kluwer-Nijhoff Publishing, pp L.Zaeh, FuzzyLogicComputing with wors IEEE Trans on Fuzzy Systems, Vol4, No.,996 (pp03-) Ψηφιακή Επεξεργασία Σήατος και Ασαφής Λογική Μάρτιος