ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Θεσσαλονίκη, Φεβρουάριος Ελισσάβετ Κοσµίδου

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην παρούσα διπλωµατική έγινε προσπάθεια επέκταση τη µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου στι οπτικέ συχνότητε. Στα προβλή- µατα όπου εµφανίζονται βραχεί ηλεκτροµαγνητικοί παλµοί µε µεγάλο φάσµα α- ποκτούν ιδιαίτερη σηµασία η ηλεκτρική διασπορά και η µη γραµµικότητα των µέσων. Η ηλεκτρική διασπορά οφείλεται στη µεταβολή τη διηλεκτρική σταθερά του µέσου στο φάσµα συχνοτήτων του αλληλεπιδρόντο µε το µέσο παλµού. Η µη γραµ- µικότητα προέρχεται από τη µεταβολή τη διηλεκτρική σταθερά του µέσου µε την ηλεκτρική πεδιακή ένταση του παλµού. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται εισαγωγή στη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου ή FD-TD. Παρουσιάζεται ο αλγόριθµο του Yee που α- ποτελεί την αρχική µορφή τη µεθόδου και σχολιάζεται η επιλογή των παραµέτρων τη. Τέλο δίνονται τα πλεονεκτήµατά τη, οι περιοχέ των εφαρµογών τη και κάποια χαρακτηριστικά παραδείγµατά του. Στο δεύτερο κεφάλαιο ορίζεται η ηλεκτρική διασπορά και παρουσιάζονται α- ναλυτικά δύο από τι τεχνικέ επέκταση τη µεθόδου FD-TD για την αντιµετώπισή τη, η µέθοδο τη συνέλιξη και η διαφορική µέθοδο. Γίνεται σύγκριση µεταξύ των δύο µεθόδων και εξαγωγή των πλεονεκτηµάτων και µειονεκτηµάτων του. Στο τέλο του κεφαλαίου υλοποιούνται πέντε εφαρµογέ, όπου διαπιστώνονται τα αποτελέσµατα τη αλληλεπίδραση ηλεκτροµαγνητικών παλµών µε υλικά µε διασπορά. Στο τρίτο κεφάλαιο ορίζεται η µη γραµµικότητα και παρουσιάζεται ένα αλγόριθµο για την προσοµοίωση µη γραµµικών µέσων µε χρήση τη FD-TD. Υλοποιούνται τρει εφαρµογέ, όπου διαπιστώνονται οι επιδράσει τη γραµµική και µη γραµµική διασπορά σε διαµορφωµένο παλµό. Τέλο, στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζεται µια τεχνική προσοµοίωση του ελεύθερου χώρου, η µέθοδο του τέλεια προσαρµοσµένου στρώµατο ή PML. Ολοκληρώνοντα την εργασία αυτή, θα ήθελα να εκφράσω τι θερµέ µου ευχαριστίε προ τον επιβλέποντα τη, τον καθηγητή Θεόδωρο. Τσιµπούκη και τον διδάκτορα Νικόλαο Β. Κανταρτζή για την πολύτιµη καθοδήγησή του, την ενθάρρυνση και την ηθική υποστήριξη που µου παρείχαν. Θεσσαλονίκη, Φεβρουάριος Ελισσάβετ Κοσµίδου

2 KΕΦΑΛΑΙΟ Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ. Εισαγωγή Τα προβλήµατα του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου που επιλύονται µε τη χρήση αναλυτικών µεθόδων είναι περιορισµένα σε αριθµό και αναφέρονται κυρίως στο διδιάστατο χώρο και σε απλές γεωµετρίες. Τα πραγµατικά όµως προβλήµατα παρουσιάζουν εν γένει ανοµοιογένειες, ανισοτροπίες, µη γραµµικά χαρακτηριστικά και περίπλοκες γεωµετρίες καθιστώντας έτσι αδύνατη τη χρήση αναλυτικών µεθόδων. Για την αντιµετώπισή τους χρησιµοποιούνται διάφορες αριθµητικές µέθοδοι όπως η µέθοδος ροπών, οι συναρτήσεις Gree, οι µεταβολικές µέθοδοι, οι ολοκληρωτικές εξισώσεις, η µέθοδος πεπερασµένων στοιχείων, η µέθοδος των οριακών στοιχείων και η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών. Μια από τις κύρια χρησιµοποιούµενες είναι η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (Fiite Differece Time Domai Method ή FD-TD) []-[3]. Η µέθοδος FD-TD παρουσιάστηκε για πρώτη φορά το 966 από τον Kae S. Yee. Τα επόµενα έξι χρόνια υπήρξαν µόνο αραιές αναφορές στο δηµοσίευµα του Yee και η µέθοδος έµεινε αναξιοποίητη µέχρι το 97. Την περίοδο εκείνη ο Alle Τaflove µελετούσε την επίδραση ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας µικροκυµατικής συχνότητας στο ανθρώπινο µάτι [4]. ιαπίστωσε ότι οι έως τότε γνωστές µέθοδοι α- δυνατούσαν να χειριστούν ένα µέσο ανοµοιογενές µε περίπλοκη γεωµετρία, όπως το µάτι, και διέγερση µικροκυµατικής συχνότητας. Τότε ανακάλυψε τον αλγόριθµο του Yee που φαινόταν να ξεπερνάει τα παραπάνω προβλήµατα χωρίς πρόσθετο κόστος και τον χρησιµοποίησε σαν βάση για τις έρευνές του. Οδηγήθηκε το 975 σε µια δη- µοσίευση που περιλάµβανε το κριτήριο ευστάθειας του αλγορίθµου του Yee και δύο εφαρµογές του. Το ακρωνύµιο FD-TD χρησιµοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Taflove το 98.. Υλοποίηση της µεθόδου FD-TD Η FD-TD είναι µια τεχνική άµεσης επίλυσης των εξισώσεων στροφής του Maxwell στο πεδίο του χρόνου. Βασίζεται στη χωροχρονική διακριτοποίηση των πεδιακών διανυσµάτων Ε και Η. Είναι µια διαδικασία που εξελίσσεται στο χρόνο και προσοµοιώνει συνεχή διαδιδόµενα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα µε αριθµητικά µοντέλα διακριτής πληροφορίας σε έναν διακριτοποιηµένο υπολογιστικό χώρο.

3 .. Οι εξισώσεις του Maxwell Οι εξισώσεις στροφής του Maxwell, που διακριτοποιεί η µέθοδος FD-TD είναι B E = - - J m (.) t H = D t + J (.) e όπου E το διάνυσµα της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης, D το διάνυσµα της διηλεκτρικής µετατόπισης (ή πυκνότητας ηλεκτρικής ροής), H το διάνυσµα της µαγνητικής πεδιακής έντασης, B το διάνυσµα της µαγνητικής επαγωγής (ή πυκνότητας µαγνητικής ροής). J e και J m είναι η πυκνότητα ρεύµατος ηλεκτρικής αγωγιµότητας και η αντίστοιχη πυκνότητα ρεύµατος µαγνητικής αγωγιµότητας που παριστάνουν τις µετατρεπόµενες σε θερµότητα απώλειες ενέργειας του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου, αντίστοιχα. Σε γραµµικά, ισοτροπικά µέσα ισχύουν επίσης οι παρακάτω καταστατικές εξισώσεις D= ε E (.3) B = µ H (.4) όπου ε και µ είναι η διηλεκτρική σταθερά και η µαγνητική διαπερατότητα του µέσου. Επιπλέον, J = σ E (.5) e Jm = ρ H (.6) µε σ την ειδική ηλεκτρική αγωγιµότητα και ρ µια αντίστοιχη µαγνητική αντίσταση. Χρησιµοποιώντας τις εξισώσεις (.3) ως (.6) οι εξισώσεις στροφής του Maxwell (.) και (.), αποκτούν τελικά τη µορφή H ρ = - E - H t µ µ (.7) E t σ = H - E (.8) ε ε Οι εξισώσεις αυτές καταλήγουν σε ένα σύστηµα έξι βαθµωτών εξισώσεων που περιλαµβάνουν τις πεδιακές συνιστώσες. Αυτές τροποποιούνται στη συνέχεια σύµφωνα µε τους κανόνες της µεθόδου FD-TD. 3

4 .. O αλγόριθµος του Yee Ο αλγόριθµος του Yee αποτελεί τον κορµό της µεθόδου FD-TD. O Yee προσέγγισε το σύστηµα των εξισώσεων στροφής του Maxwell µε ένα σύνολο εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών, για την περίπτωση υλικού χωρίς απώλειες, δηλαδή σ = ρ =. Οι βασικές ιδέες του αλγορίθµου είναι οι εξής:. Προσδιορίζει και τις δύο πεδιακές εντάσεις (ηλεκτρική και µαγνητική) στο χώρο και το χρόνο, χρησιµοποιώντας τις συζευγµένες εξισώσεις στροφής του Maxwell αντί να προσδιορίσει µόνο τη µία από αυτές χρησιµοποιώντας την εξίσωση κύ- µατος. ιαθέτει έτσι σε κάθε στιγµή περισσότερη πληροφορία που µπορεί να οδηγήσει σε µεγαλύτερη ακρίβεια της λύσης. Επιπλέον, επιτρέπει τη µοντελοποίηση συ- µπεριφορών που χαρακτηρίζουν το ένα µόνο από τα δύο πεδία. Όπως φαίνεται στο σχήµα, τοποθετεί τις συνιστώσες των πεδιακών µεγεθών στον τρισδιάστατο χώρο έτσι ώστε κάθε συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου να περικλείεται από τέσσερις συνιστώσες του µαγνητικού και το αντίστροφο. Οι προκύπτουσες εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών για τις χωρικές παραγώγους είναι κεντρικές και έχουν ακρίβεια δεύτερης τάξης. 3. Τοποθετεί τις συνιστώσες στο χρόνο όπως φαίνεται στο σχήµα έτσι ώστε, οι συνιστώσες του ενός πεδίου να παρεµβάλλονται στις συνιστώσες του άλλου. Η διάταξη αυτή καλείται leapfrog. Υπολογίζονται οι τιµές των συνιστωσών του Ε στο χώρο του προβλήµατος σε µια συγκεκριµένη χρονική στιγµή χρησιµοποιώντας τις τι- µές των συνιστωσών του Η που είναι αποθηκευµένες στη µνήµη. Στη συνέχεια αποθηκεύονται και αυτές στη µνήµη. Ακολούθως, εκτελούνται οι υπολογισµοί για το µαγνητικό πεδίο και αποθηκεύονται χρησιµοποιώντας τις τιµές του ηλεκτρικού πεδίου που προηγούµενα υπολογίστηκαν. Ο κύκλος µπορεί να συνεχιστεί υπολογίζοντας εκ νέου το ηλεκτρικό πεδίο µε βάση τις τιµές του µαγνητικού. Η διαδικασία συνεχίζεται έως ότου ολοκληρωθεί η διαδοχή των χρονικών βηµάτων. Η διαδικασία leapfrog είναι πλήρως άµεση (full explicit) µε αποτέλεσµα να α- ποφεύγεται η επίλυση συστηµάτων εξισώσεων καθώς και η αντιστροφή πινάκων. Οι εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών για τις χρονικές παραγώγους είναι επίσης κεντρικές και έχουν ακρίβεια δεύτερης τάξης. Για την εφαρµογή του αλγορίθµου του Yee ο χώρος του προβλήµατος διαιρείται σε ορθογώνια παραλληλεπίπεδα διαστάσεων x,, z, που ονοµάζονται κελιά του Yee. Το κελί του Yee απεικονίζεται στο σχήµα. Έστω u µια οποιαδήποτε από τις έξι συνιστώσες του ηλεκτρικού ή του µαγνητικού πεδίου στο ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων. Έστω επίσης ότι αναφέρεται στη χρονική στιγµή t και στο κελί που βρίσκεται στη θέση (i x, j, k z ). Η συνιστώσα αυτή θα συµβολίζεται µε u (i,j,k). Οι µερικές χρονικές και χωρικές παράγωγοι µετατρέπονται σε κεντρικές διαφορές. Για µια τυχαία µονοδιάστατη συνάρτηση ψ η µερική χωρική παράγωγος µετασχηµατίζεται σε κεντρική διαφορά ως εξής: d ψ ψ ( +) - ( -) = i ψ i dx x (.9) 4

5 Σχήµα Η θέση των ηλεκτρικών και µαγνητικών διανυσµατικών συνιστωσών στο κελί του Yee. 5

6 Σχήµα Θέση των πεδιακών διανυσµάτων στο χώρο και το χρόνο. 6

7 Αντίστοιχα ο Yee για τις µερικές παραγώγους της u όρισε ότι u ( i, j, k) x = u i + j k u i j k,, - -,, x (.) u ( i, j, k) t +/ -/ u ( i, j, k) - u ( i, j, k) t = (.) Παρατηρούµε ότι η πληροφορία για κάθε σηµείο προέρχεται από τα γειτονικά του σε αποστάσεις ± x/ γι αυτό και στον παρονοµαστή του τύπου. υπάρχει ο όρος x αντί του x. Επίσης το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο παρεµβάλλονται σε χρονικά διαστήµατα t /. Στη συνέχεια, θα εφαρµόσουµε τα παραπάνω στο µονοδιάστατο πρόβληµα της διάδοσης του ρυθµού ΤΕ στον κενό χώρο. Από τις εξισώσεις (.7) και (.8) προκύπτουν για σ = ρ = : E t x = (.) E H = - t ε x H z E = - t µ x z (.3) (.4) Θεωρώντας µηδενικές αρχικές τιµές, η πρώτη εξίσωση δίνει E x =, ενώ οι άλλες δύο µε αντικατάσταση των παραγώγων, γίνονται ( + ) - E ( ) - ( ) ( - ) z z i E i H i H i = - t ε x + - H ( ) - ( ) z i+ H z i+ E ( i+ ) - E ( i) = t µ x (.5) (.6) Λύνοντας τις παραπάνω εξισώσεις ως προς H z +/ και E + καταλήγουµε στις + + H ( + ) - z i H z ( i - ) + t E ( ) = ( ) - i E i ε x (.7) + / -/ t E ( i +) - E ( i) H z ( i + ) = H z ( i + ) - µ x (.8) 7

8 Αυτές είναι και οι τελικές εξισώσεις που χρησιµοποιούνται σε προγράµµατα στον υ- πολογιστή. Παρατηρούµε ότι το µαγνητικό πεδίο σε δεδοµένη χρονική στιγµή και θέση υπολογίζεται από την προηγούµενη τιµή του στη συγκεκριµένη θέση και από τις προηγούµενες τιµές του ηλεκτρικού πεδίου στις γειτονικές θέσεις στο πλέγµα που α- πέχουν ± x/. Τα ίδια ισχύουν και για το ηλεκτρικό πεδίο το οποίο υπολογίζεται σε χρονικές στιγµές που απέχουν t/ από τις στιγµές υπολογισµού του µαγνητικού πεδίου...3 Παράµετροι της µεθόδου FD-TD Κατά την υλοποίηση του αλγορίθµου του Yee πρέπει να καθορισθούν οι εξής παράγοντες: Μέγεθος κελιού Ο καθορισµός του µεγέθους του κελιού υπαγορεύεται από δύο παράγοντες. Πρέπει να είναι αρκετά µικρό, ώστε να επιτρέπει την επιθυµητή ακρίβεια και αρκετά µεγάλο, ώστε να µη δηµιουργεί υψηλές υπολογιστικές απαιτήσεις. Ο περιορισµός που τίθεται αρχικά, ανεξάρτητα από τη φύση της εφαρµογής, είναι ότι το µέγεθος του κελιού πρέπει να είναι πολύ µικρότερο από το ελάχιστο µήκος κύµατος για το οποίο απαιτούνται ακριβή αποτελέσµατα. Αν και οι όροι πολύ µικρότερο και ακριβή αποτελέσµατα είναι σχετικοί, το προτεινόµενο όριο για την τάξη µεγέθους του κελιού είναι το / του µήκους κύµατος που αντιστοιχεί στη µέγιστη συχνότητα του προβλήµατος. Θα πρέπει δηλαδή οι ακµές του κελιού να είναι ίσες ή µικρότερες από αυτό το όριο. Σε µερικές εφαρµογές που απαιτούν µεγάλη ακρίβεια, όπως σε ακριβείς εφαρµογές ραντάρ, κελιά µε ακµές λ/ ή µικρότερες είναι απαραίτητα. Σε άλλες πάλι εφαρµογές ακµές λ/4 δίνουν ικανοποιητικά αποτελέσµατα. Τα παραπάνω γίνονται κατανοητά αν θεωρήσουµε το πλέγµα σαν ένα σύνολο δειγµάτων της χωρικής διανοµής του πεδίου. Σύµφωνα µε το θεώρηµα δειγµατοληψίας του Nquist απαιτούνται τουλάχιστον δύο δείγµατα ανά χωρική περίοδο για να δειγµατοληφθεί επαρκώς η χωρική πληροφορία. Πρέπει να συνυπολογίσουµε το γεγονός ότι τα δείγµατα δεν είναι ακριβή καθώς η µέθοδος που χρησιµοποιούµε είναι προσεγγιστική και όχι αναλυτική. Επιπλέον ορισµένες άλλες προσεγγίσεις της FD-TD που οδηγούν σε ασταθή και ανακριβή αποτελέσµατα, περιορίζονται µειώνοντας το µέγεθος του κελιού. Έτσι χρειάζονται περισσότερα από δύο δείγµατα ανά περίοδο και κατά συνέπεια ακµές πολύ µικρότερες από το ελάχιστο µήκος κύµατος. Ένας άλλος παράγοντας που θέτει άνω όριο στο µέγεθος του κελιού είναι η γεω- µετρία του προβλήµατος, καθώς θα πρέπει να µοντελοποιηθούν µε ακρίβεια τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της. Το όριο λ/ ικανοποιεί κι αυτή την απαίτηση εκτός από περιπτώσεις στις οποίες χαρακτηριστικά µικρότερων απ αυτό διαστάσεων καθορίζουν άµεσα την απόκριση που µελετάται. Χαρακτηριστικό παράδειγµα αποτελούν οι λεπτές διπολικές κεραίες στις οποίες µια µεταβολή του πάχους του διπόλου από λ/ σε λ/ αλλάζει την σύνθετη αντίστασή του. Τέλος το µέγεθος του κελιού εξαρτάται άµεσα από το υλικό που περιέχει. Έτσι για παράδειγµα όσο µεγαλύτερη είναι η διηλεκτρική σταθερά ή η αγωγιµότητα ενός υλικού, τόσο µικρότερο είναι και το µήκος κύµατος που αντιστοιχεί σε µια ορισµένη συχνότητα και συνεπώς τόσο µικρότερες οι διαστάσεις του κελιού. Μάλιστα για τη 8

9 µοντελοποίηση ανοµοιογενών χώρων χρησιµοποιούνται συχνά οµάδες κελιών µε διαφορετικά µεγέθη. Χρονικό βήµα Το µέγιστο χρονικό βήµα που εξασφαλίζει ευστάθεια παρέχεται από τη συνθήκη ευστάθειας του Courat η οποία για πλέγµα τριών διαστάσεων µε διαστάσεις κελιού x,, z γράφεται : v t + + ( x) ( ) ( z) (.9) όπου v η µέγιστη ταχύτητα διάδοσης στο χώρο του προβλήµατος, ο οποίος µπορεί να περιλαµβάνει διάφορα υλικά. Συνήθως είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό. Η συνθήκη αυτή προκύπτει από την απλή παρατήρηση ότι στη διάρκεια ενός χρονικού βήµατος το ηλεκτροµαγνητικό κύµα δεν θα πρέπει να διανύσει απόσταση µεγαλύτερη από αυτή µεταξύ δύο γειτονικών σηµείων υπολογισµού των πεδιακών µεγεθών. Έχει παρατηρηθεί εµπειρικά ότι η τιµή του t που δίνεται από την ισότητα στη σχέση (.9) παρέχει ακριβή αποτελέσµατα και στις περισσότερες περιπτώσεις µικρότερα χρονικά βήµατα, αν και επιτρεπτά, δε βελτιώνουν την ακρίβεια. Χρονικά βήµατα µεγαλύτερα απ το όριο του Courat οδηγούν σε αστάθεια. Υπάρχουν ασφαλώς και περιπτώσεις στις οποίες απαιτούνται για ευσταθή αποτελέσµατα µικρότερα χρονικά βήµατα από αυτό που ορίζει η συνθήκη. Τέτοιες είναι οι περιπτώσεις των υλικών µε αγωγιµότητα πολύ µεγαλύτερη του µηδενός καθώς και ορισµένες περιπτώσεις µη γραµµικών υλικών. Στην πρώτη κατηγορία το πρόβληµα αντισταθµίζεται από τη µικρότερη ταχύτητα διάδοσης στο αγώγιµο µέσο, σε σχέση µε τη µέγιστη ταχύτητα v η οποία και καθορίζει το όριο ευστάθειας στον συνολικό χώρο του προβλήµατος. ιέγερση Το επόµενο βήµα είναι η εισαγωγή στο χώρο του προβλήµατος µιας ηλεκτροµαγνητικής διέγερσης. Η πλέον δηµοφιλής στο παρελθόν ήταν το γραµµικά πολωµένο επίπεδο κύµα στο κενό. Η διέγερση αυτή είναι κατάλληλη για προβλήµατα σκέδασης σήµατος ραντάρ από στόχο. Πιο πρόσφατα εισήχθησαν σηµειακές γραµµικές και µη πηγές και φορτία που εξυπηρετούν τη µοντελοποίηση διάδοσης, ανάκλασης, σύζευξης και ακτινοβολίας ψηφιακών σηµάτων σε ηλεκτρονικές πλακέτες πολλαπλών στρωµάτων και µικροτσιπς. Αυτά περιλαµβάνουν αντιστάσεις, πυκνωτές, πηνία, διόδους, τρανζίστορς και λογικές πύλες. Το γραµµικά πολωµένο επίπεδο κύµα χρησιµοποίησε σαν διέγερση και ο Yee το 966 εφαρµόζοντας την µε τη µορφή αρχικών τιµών των έξι συνιστωσών του πεδίου σε όλους τους κόµβους του πλέγµατος. Κατ αυτό τον τρόπο, όµως, έπρεπε να προστίθενται στο χώρο του προβλήµατος επιπλέον κελιά, ώστε να µπορεί να περιλαµβάνει παλµούς µεγάλης διάρκειας και ηµιτονοειδείς διεγέρσεις σαν αρχικές συνθήκες, γεγονός που ισοδυναµούσε µε άσκοπη αποθήκευση και αριθµητικές πράξεις. 9

10 Η προσπάθεια να αποφευχθεί η σπατάλη κατέληξε στις λεγόµενες απευθείας ε- φαρµοζόµενες πηγές. Πρόκειται για σηµειακές διεγέρσεις, όπου συγκεκριµένες ηλεκτρικές ή µαγνητικές πεδιακές συνιστώσες του πλέγµατος τίθενται ως επιθυµητές συναρτήσεις του χρόνου. Τέτοιες πηγές, θεωρώντας µονοδιάστατο πρόβληµα, είναι οι εξής: z i s E = E si( π f t) (.) που τίθεται στο σηµείο i s του πλέγµατος και παράγει ένα συνεχές ηµιτονικό κύµα συχνότητας f. - ( - )/ deca Ez i = Ee (.) s που παράγει έναν ευρύ παλµό Gauss. Η κορυφή του παλµού εµφανίζεται στο χρονικό βήµα και το πλάτος του µειώνεται κατά /e στο χρονικό βήµα deca. Εφόσον η πηγή είναι για = διάφορη του µηδενός, θα πρέπει το να είναι τουλάχιστον 3 deca. Ο περιορισµός αυτός εξασφαλίζει οµαλή µετάβαση από το µηδέν στον παλµό, που για -9 = ισούται µε Ee, οπότε αποκλείει την εισαγωγή ανεπιθύµητων υψηλών συχνοτήτων στο φάσµα µας. - ( - = )/ deca E E e si[ π f ( - ) t] z i s (.) που παράγει έναν παλµό Gauss µε µηδενικό dc περιεχόµενο και φάσµα συµµετρικό γύρω από τη συχνότητα f. Το κύµα που παράγεται από την πηγή διαδίδεται προς τις δύο κατευθύνσεις απο- µακρυνόµενο από αυτήν. Οι υπολογισµοί σταµατούν όταν επιτευχθεί ισορροπία, δηλαδή ηµιτονοειδείς κυµατοµορφές για το διαδιδόµενο και το ανακλώµενο κύµα στην πρώτη περίπτωση και αποµάκρυνσή τους από το χώρο του προβλήµατος στις δύο τελευταίες. Οι πηγές αυτές παρουσιάζουν το εξής µειονέκτηµα. Στο σηµείο όπου τίθενται εµποδίζουν τον υπολογισµό του πεδίου µε βάση τους κανόνες της µεθόδου. Έτσι τα τυχόντα ανακλώµενα κύµατα δεν υπολογίζονται σωστά και επηρεάζεται η ακρίβεια της πεδιακής προσοµοίωσης. Αυτό είναι ιδιαίτερα εµφανές στις δύο τελευταίες πηγές. Καθώς τείνουν στο µηδέν µετά την παρέλευση επαρκούς χρόνου, ισοδυναµούν µε αγώγιµα σηµεία, ενώ ο χώρος του προβλήµατος µπορεί να περιέχει τυχαίο υλικό. Το παραπάνω πρόβληµα στις δύο συγκεκριµένες περιπτώσεις παλµικής διέγερσης ξεπερνιέται απενεργοποιώντας τις πηγές όταν ο παλµός µειωθεί σηµαντικά και εφαρµόζοντας στις θέσεις των πηγών τον αλγόριθµο του Yee. Απορροφητικές συνθήκες Πολλά προβλήµατα του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου εξελίσσονται σε γεωµετρίες που εκτείνονται στο άπειρο σε µια ή περισσότερες διαστάσεις. Χαρακτηριστικότερο παράδειγµα αποτελούν τα προβλήµατα ακτινοβολίας. Καθώς όµως δεν υπάρχει υπολογιστικό σύστηµα µε απεριόριστες δυνατότητες αποθήκευσης, ο υπολογιστικός χώρος είναι κατ ανάγκη περιορισµένος. Παρατηρούνται γι αυτό τον λόγο ανακλώµενα κύµατα στα όρια του χώρου, εφόσον δεν ληφθούν τα απαραίτητα µέτρα. Αυτά είναι οι απορροφητικές συνθήκες που ουσιαστικά προσοµοιώνουν τον άπειρο χώρο.

11 Πρακτικά, κατανοούµε την ανάγκη για απορροφητικές συνθήκες αν παρατηρήσουµε ότι ο αλγόριθµος της FD-TD υπολογίζει τα πεδιακά µεγέθη από τις τιµές τους σε γειτονικά σηµεία. Για τους κόµβους πάνω στο εξωτερικό όριο τα µεγέθη δεν µπορούν να υπολογιστούν, διότι κάποιοι γειτονικοί τους κόµβοι βρίσκονται εκτός του χώρου του προβλήµατος. Έτσι, οι τιµές των πεδίων σ αυτούς είναι αόριστες και ο αλγόριθµος δεν µπορεί να εξελιχθεί. Το πρόβληµα λύνουν οι απορροφητικές συνθήκες που υπολογίζουν µε διάφορους τρόπους τα πεδιακά µεγέθη στο εξωτερικό όριο του χώρου του προβλήµατος. Σ αυτή την εργασία χρησιµοποιείται η απορροφητική συνθήκη πρώτης τάξης του Mur. Αυτή υπολογίζει το πεδίο στο όριο, από τιµές στην προηγούµενη χρονική στιγµή και στο πρώτο γειτονικό σηµείο εντός του ορίου. Για παράδειγµα, για τη συνιστώσα E στη θέση (, j, k) η συνθήκη Mur πρώτης τάξης γράφεται: + c t - x + E (, j, k) = E (, j, k) + E (, j, k) - E (, j, k) c t + x (.3) Πρόσφατα παρουσιάστηκε και µια νέα απορροφητική συνθήκη µε πολλά πλεονεκτήµατα που ονοµάζεται τέλεια προσαρµοσµένο στρώµα (perfect matched laer ή PML) για την απορρόφηση ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων. Η νέα αυτή τεχνική θα α- ναλυθεί σε επόµενο κεφάλαιο..3 Πλεονεκτήµατα της µεθόδου FD-TD Σαν τεχνική µοντελοποίησης η FD-TD προσφέρει πολλά πλεονεκτήµατα: Καθώς είναι τεχνική στο πεδίο του χρόνου, χρησιµοποιώντας µη µονοχρωµατική διέγερση αποκτούµε αποτελέσµατα σε ένα ευρύ φάσµα συχνοτήτων µε µια µόνο εφαρµογή της. ύναται να χειριστεί περίπλοκες γεωµετρίες πετυχαίνοντας την επιθυµητή ακρίβεια µε επαρκή αριθµό κελιών. Επιτρέπει τον καθορισµό του υλικού σε όλα τα σηµεία του χώρου του προβλήµατος. Έτσι µπορεί να συµπεριλάβει ανοµοιογενή υλικά και αντικείµενα. Μοντελοποιεί τις περισσότερες κατηγορίες υλικών µε τον καθορισµό των παραµέτρων σ, µ και ε. Εκτός από υλικά στα οποία αυτές είναι σταθερές καλύπτει υλικά ανισότροπα, µη γραµµικά και υλικά στα οποία κάποια από τις θεµελιώδεις παρα- µέτρους είναι εξαρτώµενη από τη συχνότητα. Μοντελοποιεί οποιαδήποτε διέγερση. Επιτρέπει την παρατήρηση των πεδιακών µεγεθών σε όλα τα σηµεία του χώρου του προβλήµατος. Έτσι εφαρµόζοντας τον αλγόριθµο για διαφορετικές χρονικές στιγµές µπορούµε να δηµιουργήσουµε ταινίες που απεικονίζουν την εξέλιξη του πεδίου. Επίσης, µε τον µετασχηµατισµό µακρινής ζώνης η µέθοδος προβλέπει το πεδίο και εκτός του καθορισµένου χώρου του προβλήµατος. Υπολογίζει ευθέως τις πεδιακές εντάσεις Ε και Η. Είναι εύκολη στην κατανόηση και στην εφαρµογή.

12 .4 Εφαρµογές της FD-TD Η FD-TD αντιµετωπίζει επιτυχώς την πλειοψηφία των κατηγοριών ηλεκτροµαγνητικών προβληµάτων όπως Προβλήµατα διάδοσης Αναφέρονται σε γραµµές µεταφοράς και κυµατοδηγούς. Προβλήµατα ακτινοβολίας και ανίχνευσης Περιλαµβάνουν κεραίες ακόµη και σύνθετες για κυψελωτές και δορυφορικές επικοινωνίες καθώς και για συστήµατα ραντάρ. Προβλήµατα σύζευξης, θωράκισης και διείσδυσης Αντιπροσωπευτικό παράδειγµα αποτελεί η µελέτη ρευµάτων και φορτίων που προκαλούνται στην εξωτερική επιφάνεια και τα ηλεκτρονικά όργανα ενός αεροπλάνου από ηλεκτροµαγνητικό παλµό µικρής διάρκειας και µεγάλου πλάτους όπως ένας κεραυνός ή µια πυρηνική έκρηξη. Προβλήµατα σκέδασης Η κατηγορία αυτή καλύπτει όλους τους σκεδαστές ανεξάρτητα από υλικό και γεωµετρικά χαρακτηριστικά. Μια από τις πλέον χρήσιµες εφαρµογές είναι ο υπολογισµός της προσπίπτουσας στον ανθρώπινο οργανισµό ακτινοβολίας που µετατρέπεται σε θερµότητα, καθώς η προκαλούµενη από ηλεκτροµαγνητικό κύµα υπερθερµία χρησι- µοποιείται για τη θεραπεία του καρκίνου. Η αλµατώδης πρόοδος της τεχνολογίας τροφοδότησε την τεχνική FD-TD µε νέα θέµατα, ενώ η εξέλιξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών την κατέστησε ικανή να χειριστεί και προβλήµατα µε υψηλό υπολογιστικό κόστος. Έτσι χρησιµοποιήθηκε µεταξύ άλλων για την µοντελοποίηση ψηφιακών και µικροκυµατικών ηλεκτρονικών κυκλωµάτων, µικρολωρίδων, ενώ επεκτάθηκε και σε οπτικές συχνότητες µε εφαρµογές σε γραµµές µεταφοράς και διακόπτες υψηλών συχνοτήτων. Επιπλέον τίθενται συνεχώς νέοι στόχοι η επίτευξή των οποίων θα σηµαίνει την αντιµετώπιση ενός ευρέος φάσµατος βασικών προβληµάτων.

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΕ ΥΛΙΚΑ ΜΕ ΙΑΣΠΟΡΑ. ιασπορά του φωτός Είναι γνωστό ότι η ταχύτητα διάδοσης του φωτός σε ένα µέσο εξαρτάται από τις θεµελιώδεις παραµέτρους του ε και µ. Συγκεκριµένα, δίνεται από την εξίσωση u = µε (.) ενώ η ταχύτητα διάδοσης του φωτός στο κενό είναι c = µ ε (.) Ο λόγος της ταχύτητας διάδοσης του φωτός στο κενό προς την ταχύτητα διάδοσής της στο µέσο, ονοµάζεται δείκτης διάθλασης του µέσου c εµ = = = ε rµ r u ε µ (.3) Τα περισσότερα υλικά, εκτός από τα σιδηροµαγνητικά, είναι ελάχιστα µαγνητικά και η σχετική µαγνητική τους διαπερατότητα είναι περίπου ίση µε τη µονάδα. Συνεπώς ε r (.4) Η απόκριση ενός µέσου στην εφαρµογή ηλεκτροµαγνητικής ενέργειας εξαρτάται γενικά από τη συχνότητα της διέγερσης. Η εξάρτηση αυτή σχετίζεται µε τις χαρακτηριστικές συχνότητες συντονισµού του µέσου και εκδηλώνεται σαν εξάρτηση του δείκτη διαθλάσεως από τη συχνότητα. Το φαινόµενο αυτό, δηλαδή η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης ή της σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς ενός µέσου από τη συχνότητα, ονοµάζεται διασπορά. ιαφορετικά, θα µπορούσαµε να πούµε ότι σε ένα υλικό µε διασπορά διαφορετικές συνιστώσες Fourier του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος διαδίδονται µε διαφορετικές ταχύτητες. Προφανώς, στο κενό δεν υφίσταται διασπορά, στα αέρια είναι µικρή ενώ στα υ- γρά και στερεά πολύ µεγαλύτερη. 3

14 Ένας παλµός που διαδίδεται σε υλικό µε διασπορά διασκορπίζεται, δηλαδή αλλάζει σχήµα, καθώς οι συχνοτικές συνιστώσες από τις οποίες αποτελείται ταξιδεύουν µε διαφορετικές ταχύτητες. Ο διασκορπισµός αυτός µπορεί να προκαλέσει αύξηση του εύρους του παλµού, µείωση του πλάτους του και να οδηγήσει σε απώλειες, ιδιαίτερα σε οπτικά τηλεπικοινωνιακά συστήµατα [5]. Σαν µέτρο της διασποράς ενός µέσου χρησιµοποιούνται οι β παράµετροι που ορίζονται ως εξής β = ω c + d ( d ) (.5) ω β β 3 = d d ( + ω ω ω ) c d d 3 = d d (3 + ω ω ω 3 ) c d d (.6) (.7) όπου ο όρος β έχει την αντίστροφη τιµή της ταχύτητας οµάδας, β είναι η διασπορά της ταχύτητας οµάδας που περιγράφει τη διεύρυνση του παλµού και η β 3 περιγράφει τις υψηλότερων τάξεων συνέπειες της διασποράς. Σε ένα µέσο χωρίς διασπορά η β είναι σταθερή, ενώ β =. Σε ένα µέσο µε διασπορά οι παράµετροι αυτές αλλάζουν µε τη συχνότητα. Ιδιαίτερη σηµασία έχει το πρόσηµο της παραµέτρου β. Για συχνότητες στις οποίες η β είναι θετική, η διασπορά του µέσου ονοµάζεται κανονική και τότε οι συνιστώσες υψηλότερης συχνότητας διαδίδονται πιο αργά από τις συνιστώσες χαµηλότερης συχνότητας. Στις συχνότητες οµαλής διασποράς το µέσο δεν παρουσιάζει απορρόφηση. Αντίθετα στις συχνότητες για τις οποίες το β είναι αρνητικό παρατηρείται ανώµαλη διασπορά και απορρόφηση του κύµατος που διαδίδεται στο µέσο. Σε όλα τα οπτικά µέσα υπάρχουν περιορισµένες περιοχές οµαλής διασποράς χαρακτηριστικές για κάθε µέσο.. H Μέθοδος FD-TD στα µέσα µε διασπορά Η µέθοδος FD-TD, όπως αναπτύχθηκε στο πρώτο κεφάλαιο, µπορεί να αντιµετωπίσει µόνο προβλήµατα που αναφέρονται σε µέσα χωρίς διασπορά δηλαδή, µέσα των οποίων οι χαρακτηριστικές παράµετροι δίνονται σαν σταθεροί αριθµοί. Εξαίρεση αποτελούν βέβαια οι περιπτώσεις µονοχρωµατικής διέγερσης, στις οποίες οι παράµετροι έχουν επίσης σταθερή τιµή, την τιµή για τη συχνότητα της διέγερσης, οπότε η διασπορά δεν επηρεάζει το πρόβληµα. Έτσι, στη γενική περίπτωση η µέθοδος, στη µέχρι τώρα ανάλυσή της, µπορεί να περιλάβει κάποια ιδανικά υλικά, όπως κενός χώρος, καλοί αγωγοί και ιδεώδη διηλεκτρικά. Αδυνατεί, όµως, να µοντελοποιήσει µε ακρίβεια τα πραγµατικά υλικά, τα οποία στην πλειοψηφία τους µπορούν να θεωρηθούν χωρίς διασπορά µόνο κατά προσέγγιση και για ένα στενό φάσµα συχνοτήτων. Για παλµούς µε φάσµα που φτάνει στην περιοχή των οπτικών συχνοτήτων η διασπορά δεν µπορεί να αγνοηθεί. 4

15 Με µια τροποποίηση της µορφής της εξίσωσης (.) του Maxwell εισάγεται µια αρχική συχνοτική εξάρτηση των χαρακτηριστικών του υλικού. Η (.) στο πεδίο της συχνότητας γράφεται σ H = σ E+j ωε ˆ rεe = jωε + εr E = jωε rεe (.8) jωε όπου το µιγαδικό µέγεθος ɵ ε r είναι µια σχετική διηλεκτρική σταθερά που περιλαµβάνει τη συνδυασµένη επίδραση των πραγµατικών σταθερών µεγεθών ε και σ. Συ- µπεραίνουµε, λοιπόν, ότι η FD-TD µπορεί να αντιµετωπίσει και υλικά µε διασπορά, καθώς η ɵ ε r εξαρτάται από τη συχνότητα. Και πάλι, όµως, περιορίζεται σε υλικά συγκεκριµένων χαρακτηριστικών δηλαδή, µηδενικής αγωγιµότητας και σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς της µορφής της ɵ ε r. Στην πράξη, υπάρχουν υλικά µε συµπεριφορά διασποράς που επιβάλλει διαφορετική συχνοτική εξάρτηση της διηλεκτρικής σταθεράς και η µέθοδος FD-TD τροποποιείται για να τα αντιµετωπίσει. Η διπλωµατική αυτή εργασία διαπραγµατεύεται τρεις κατηγορίες υλικών που χαρακτηρίζονται από τις αντίστοιχες µιγαδικές σχετικές διηλεκτρικές σταθερές και δίνονται παρακάτω: Debe Πρόκειται για υλικά που παρουσιάζουν χαλάρωση Debe και των οποίων η σχετική διηλεκτρική σταθερά δίνεται από µια εξίσωση µε έναν πόλο πρώτης τάξης, την εξίσωση Debe εs - ε ˆ εr ( ω) = ε + = ε + χ( ω) (.9) + jωt όπου ε s είναι η σχετική διηλεκτρική σταθερά στη συχνότητα µηδέν, ε η σχετική διηλεκτρική σταθερά στη συχνότητα ω = και t ο χρόνος χαλάρωσης. Το µέγεθος χ(ω) είναι η επιδεκτικότητα στο πεδίο της συχνότητας. Ένα αντιπροσωπευτικό υλικό αυτής της κατηγορίας είναι το νερό. Οι παράµετροι µεταβάλλονται µε την πίεση και τη θερ- µοκρασία και έχουν τυπικές τιµές ε s = 8, ε =.8 και t = Drude Η κατηγορία αυτή περιλαµβάνει υλικά σε κατάσταση πλάσµατος και χαρακτηρίζεται από την εξίσωση διασποράς Drude ω p ˆ εr = + = ε + χ( ω) (.) ω(j - ω) v c όπου ν c η συχνότητα κρούσης και ω p η συχνότητα πλάσµατος. Loretz Εδώ εµφανίζεται το φαινόµενο του συντονισµού Loretz. Η αντίστοιχη εξίσωση είναι 5

16 ω ˆ εr = ε + ( ε s - ε ) = ε + χ( ω) (.) ω ωδ ω + j - όπου ω είναι η συχνότητα συντονισµού και δ η σταθερά απόσβεσης. Η χ(ω) µπορεί, βεβαίως, να επεκταθεί και να συµπεριλάβει συνδυασµούς πόλων πρώτης και δεύτερης τάξης, ώστε να µοντελοποιήσει µε ακρίβεια οποιοδήποτε υλικό µε διασπορά. Πρέπει να προσέξουµε, όπως φαίνεται από τη σχέση (.8) ˆ ε = ε + r r σ jωε ότι µια µιγαδική σχετική διηλεκτρική σταθερά µπορεί να θεωρηθεί ότι περιλαµβάνει και έναν όρο αγωγιµότητας σ. Αυτό θα µας φανεί ιδιαίτερα χρήσιµο στην περίπτωση των υλικών Drude, όπως θα δούµε παρακάτω. Γι αυτό τον λόγο στην ανάλυση που ακολουθεί συµπεριλαµβάνεται στις εξισώσεις ο όρος σ και όπου χρειάζεται σηµειώνεται ο µηδενισµός του. Στην παρούσα εργασία αναπτύχθηκαν δύο τεχνικές FD-TD για την αντιµετώπιση προβληµάτων µε διασπορά... Η µέθοδος της συνέλιξης Σ αυτή την περίπτωση η σχέση των µεγεθών E και D [ ] D( ω) = ε ε E( ω) + P( ω) = ε ε + χ ( ω) E ( ω) (.) µετασχηµατίζεται στο πεδίο του χρόνου D( t) = ε ε Ε( t) + ε χ( t) E ( t) (.3) και εκφράζεται µε το ολοκλήρωµα συνέλιξης t D( t ) = ε ε E( t) + ε E ( t - Λ) χ( Λ)dΛ (.4) όπου * συµβολίζει τη συνέλιξη, P είναι το διάνυσµα της ηλεκτρικής πόλωσης, χ(ω) η συνάρτηση επιδεκτικότητας στο πεδίο της συχνότητας και χ(t), η επιδεκτικότητα στο πεδίο του χρόνου, δηλαδή ο µετασχηµατισµός Fourier της χ(ω). Επίσης, τα πεδία θεωρούνται µηδενικά για αρνητικούς χρόνους. Με τη θεώρηση χ(t) = του πρώτου κεφαλαίου η παραπάνω σχέση καταλήγει στην D=ε r ε E όπου η ε r ισοδυναµεί µε την ε. Το ζητούµενο είναι να απαλοιφεί το µέγεθος D από την εξίσωση στροφής - Η του Maxwell (εξίσωση.) έτσι ώστε, αυτή να επιλυθεί ως προς την ηλεκτρική πεδιακή ένταση Ε. Η εξίσωση αυτή στη διακριτή της µορφή για µια διάσταση και για τον ρυθµό TM γράφεται 6

17 + + + ( ) - ( ) H z ( i + ) - H z ( i - ) + σ E D i D i t = - - ( i) x (.5) Αρχικά, διακριτοποιούµε τη συνεχή έκφραση της (.4) θέτοντας t = t t D( t) D ( t) = D = ε ε E + ε E ( t - Λ) χ( Λ)dΛ (.6) r Αν θεωρήσουµε ότι όλες οι πεδιακές ποσότητες είναι κατά προσέγγιση σταθερές σε κάθε χρονικό διάστηµα t, το ολοκλήρωµα µετατρέπεται µερικώς σε άθροισµα και η (.6) γίνεται - ( m+) t -m r m= m t D = ε ε E + ε E χ( Λ)dΛ (.7) Η τιµή της D στην επόµενη χρονική στιγµή είναι ( m+) t m r m= m t D = ε ε E + ε E χ( Λ)dΛ (.8) Αντικαθιστώντας τις τιµές D και D + στη διακριτή εξίσωση του Maxwell (.5) και λύνοντας ως προς την E + καταλήγουµε στην εξίσωση ορισµού της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης ε E i E i E i - + -m m ( ) = ( ) + ( ) χ σ t σ t m= + ε + χ + ε + χ ε ε t H z ( i + ) - H z ( i - ) /( ε x) σ t + ε + χ ε (.9) όπου m χ ( m+) t = χ ( Λ)dΛ (.) m t και m m m χ = χ - χ + (.) 7

18 και υποτίθεται ότι οι τιµές των θεµελιωδών παραµέτρων αντιστοιχούν στο υλικό που επιδρά στο ηλεκτρικό πεδίο στη θέση i x. Η εξίσωση ορισµού της µαγνητικής πεδιακής έντασης είναι η γνωστή από το προηγούµενο κεφάλαιο E i + - E i - + / -/ t H z ( i ) = H z ( i) - µ x (.) εφόσον αναφερόµαστε µόνο σε διηλεκτρικά υλικά µε διασπορά. Στην περίπτωση που θα µελετούσαµε µαγνητικά υλικά µε διασπορά, θα εκτελούσαµε την παραπάνω διαδικασία και για την εξίσωση στροφής-ε του Maxwell. Το επόµενο βήµα είναι η τελική τροποποίηση της εξίσωσης (.9) για τις τρεις κατηγορίες υλικών, αφού προσδιορισθούν οι συναρτήσεις χ(t). Υλικά Debe Η επιδεκτικότητα των υλικών αυτής της κατηγορίας στο πεδίο της συχνότητας δίνεται από τη σχέση εs - ε χ ( ω) = (.3) + j ωt Με µετασχηµατισµό Fourier καταλήγουµε στη συνάρτηση της επιδεκτικότητας στο πεδίο του χρόνου t - t εs -ε χ( t) = e U( t) (.4) t Όπως φαίνεται από το συνελικτικό ολοκλήρωµα της σχέσης (.4), η συνάρτηση αυτή περιγράφει την αντίδραση του υλικού σε ένα ηλεκτρικό πεδίο της µορφής της συνάρτησης δ του Dirac. Η αντίστοιχη διηλεκτρική µετατόπιση λαµβάνει στιγµιαία τη µέγιστη τιµή της και στη συνέχεια µειώνεται εκθετικά. Επίσης, παρατηρούµε ότι η χ(t) είναι αιτιατή, δηλαδή µηδενική για αρνητικούς χρόνους. Το χαρακτηριστικό αυτό είναι απαραίτητο, καθώς το υλικό δεν αποκρίνεται στην ώση πριν την εφαρµογή της. Έτσι, η συνάρτηση χ(ω) περιορίζεται σε µορφές µε αντίστροφους µετασχηµατισµούς Fourier αιτιατές συναρτήσεις. Στη συνέχεια χρησιµοποιούµε τη συνάρτηση χ(t) για να προσδιορίσουµε τα µεγέθη που εµφανίζονται στη σχέση ορισµού της Ε. Με αντικαταστάσεις και απλές ο- λοκληρώσεις βρίσκουµε m χ = ( εs - ε )e - e - m t - t t t (.5) 8

19 - m t - t m t t χ = ( ε s - ε )e - e (.6) Στο σηµείο αυτό στην εξίσωση υπολογισµού της Ε αποµένει ο υπολογισµός του συνελικτικού αθροίσµατος - -m m E ( i) χ (.7) m= Παρατηρούµε ότι για τον άµεσο προσδιορισµό του σε κάθε χρονική στιγµή απαιτείται η αποθήκευση όλων των προηγούµενων τιµών του ηλεκτρικού πεδίου µέχρι τη συγκεκριµένη στιγµή. Πρακτικά από την αρχή των υπολογισµών µέχρι τουλάχιστον τη χρονική στιγµή στην οποία η χ θα έχει µειωθεί αρκετά, ώστε η συνεισφορά από επό- µενα χρονικά βήµατα να µπορεί να αγνοηθεί. Επιπλέον, οι υπολογισµοί εκτελούνται σε κάθε χρονικό βήµα για κάθε κελί. Έτσι, ο αριθµός των κελιών που µπορούν να συµπεριληφθούν στους υπολογισµούς είναι σχετικά µικρός, αφού ο χρόνος που απαιτείται για την ολοκλήρωση της διαδικασίας προσδιορισµού των πεδιακών µεγεθών είναι σχετικά µεγάλος. Θα ήταν µάλιστα ταχύτερο σε ορισµένες περιπτώσεις να χρησιµοποιήσουµε την FD-TD µε µονοχρωµατική διέγερση, και συνεπώς σταθερές παραµέτρους, και να την εφαρµόσουµε πολλές φορές αλλάζοντας κάθε φορά τη συχνότητα, ώστε να καλύψουµε το φάσµα του προβλήµατος. Ευτυχώς η εκθετική µορφή της χ(t) µας επιτρέπει να αποφύγουµε τον άµεσο προσδιορισµό του συνελικτικού αθροίσµατος και να εξοικονοµήσουµε έτσι µνήµη και υπολογιστικό χρόνο. Αυτό το πετυχαίνουµε αντικαθιστώντας το άθροισµα µε µια αναδροµική υπολογιστική διαδικασία που περιγράφεται στη συνέχεια. Αρχικά ορίζουµε µια µεταβλητή στη θέση του αθροίσµατος Ψ - -m m ( i) = E ( i) χ m= (.8) Για να βρούµε τον αναδροµικό τύπο υπολογισµού της Ψ, υπολογίζουµε την τιµή της για τα πρώτα χρονικά βήµατα. Στις επόµενες ισότητες παραλείπεται ο δείκτης i της θέσης. Για = και = -m m = E = E m= Ψ χ χ (.9) -m m = E = E + E m= Ψ χ χ χ (.3) επίσης από την εξίσωση ορισµού της χ m - m t - t m t t χ = ( ε s - ε )e - e 9

20 προκύπτει ότι t - t m+ m χ = e χ (.3) που οφείλεται στην ιδιαίτερη φύση της εκθετικής συνάρτησης σύµφωνα µε την οποία η ολίσθησή της στο χρόνο ισοδυναµεί µε πολλαπλασιασµό της µε µια σταθερά ανάλογη της χρονικής ολίσθησης. Χρησιµοποιώντας την παραπάνω σχέση η Ψ µετατρέπεται σε t t - - t t = E + Ee = E + e Ψ χ χ χ Ψ (.3) απ όπου καταλήγουµε στον γενικό αναδροµικό τύπο t - t - = E + e Ψ χ Ψ (.33) τον οποίο χρησιµοποιούµε για τον προσδιορισµό της ηλεκτρικής έντασης αντί του αθροίσµατος. Έτσι, απαιτείται σε κάθε χρονικό βήµα η αποθήκευση µόνο της µεταβλητής Ψ αντί χιλιάδων ίσως τιµών ηλεκτρικής έντασης και οι απλοί υπολογισµοί της σχέσης (.33) αντί των πολλαπλών πολλαπλασιασµών και αθροίσεων. Ανακεφαλαιώνοντας, το µοντέλο επίλυσης προβληµάτων µε υλικά Debe µε τη µέθοδο της συνέλιξης δίνεται από τις σχέσεις ε E ( i) = E ( i) + + σ t σ t + ε + χ + ε + χ ε ε t H z ( i + ) - H z ( i - ) /( ε x) σ t + ε + χ ε Ψ t - t - = E + e Ψ χ Ψ και +/ -/ H ( ) - ( ) z i+ H z i+ E ( i+ ) - E ( i) = t µ x όπου πρέπει να σηµειώσουµε ότι η αγωγιµότητα σ θεωρείται µηδενική. Υλικά Drude Όπως είδαµε, τα υλικά αυτά χαρακτηρίζονται από την εξίσωση διασποράς Drude

21 ω p ˆ εr = + = ε + χ( ω) ω(j - ω) v c Αν θεωρήσουµε µηδενικό τον όρο αγωγιµότητας, δηλαδή σ =, τότε η συνάρτηση ε- πιδεκτικότητας έχει δύο πόλους, τον έναν στο ω = και τον άλλον στο ω = j ν c. Ό- µως, ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier αυτής της συνάρτησης είναι µη αιτιατός και δεν µπορεί να αντιστοιχεί σε πραγµατικό υλικό όπως αναφέρθηκε και παραπάνω. Μία λύση θα ήταν να προσθέσουµε στην χ(ω) µία ώση δ στην ω =, οπότε η αντίστοιχη χ(t) θα ήταν αιτιατή. Θα έπρεπε όµως να επαναληφθεί η προηγούµενη α- νάλυση και να αλλάξουν κάποιες εξισώσεις. Μία δεύτερη απλούστερη λύση είναι να χρησιµοποιήσουµε τον όρο αγωγιµότητας σ για να απλοποιήσουµε την χ(t). Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (.8) και (.9) που είναι αντίστοιχα η µια εξίσωση στροφής του Maxwell και η εξίσωση Debe σ H = σ E+j ωε ˆ rεe = jωε + εr E = jωε rεe jωε ε - ε ˆ ε ( ω) = ε + = ε + χ( ω) r s + jωt µπορούµε, προσθέτοντας στη µορφή της διηλεκτρικής σταθεράς Debe έναν όρο α- γωγιµότητας, να γράψουµε σ ˆ εr ( ω) = ε + χ( ω) + jωε (.34) και αν µε απλές πράξεις επεκτείνουµε την ɵε r των Drude ως εξής ( ω ) ( p / ν c ω p / ν c ) ˆ εr ( ω) = + ω + j ν c jω (.35) βλέπουµε ότι οι παραπάνω δύο σχέσεις είναι ισοδύναµες αν ισχύουν ε = (.36) χ( ω) = ( ω / ) p vc ω + j v c (.37) ω p σ = ε (.38) v c

22 Συνεπώς, τα υλικά Drude µπορούν να θεωρηθούν υλικά Debe µε αγωγιµότητα. Αν επιπλέον κάνουµε και τις αντικαταστάσεις ε s c ωp - ε = - (.39) v t = (.4) µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το µοντέλο στο οποίο καταλήξαµε στην περίπτωση των υλικών Debe. Παρά τις κοινές εξισώσεις οι δύο κατηγορίες υλικών παρουσιάζουν µια βασική διαφορά. Στη συνάρτηση επιδεκτικότητας χ(t) στα υλικά Drude ο συντελεστής µε τον οποίον πολλαπλασιάζεται το εκθετικό είναι αρνητικός. Αυτό έχει σαν συνέπεια το πραγµατικό µέρος της χ(ω) να αλλάζει πρόσηµο κοντά στη συχνότητα πλάσµατος. Κάτω από τη συχνότητα πλάσµατος, όπου το πραγµατικό µέρος της χ(ω) είναι αρνητικό, το πλάσµα συµπεριφέρεται σαν κυµατοδηγός σε συχνότητα κάτω από την αποκοπή από την άποψη ότι το κύµα δε µεταδίδεται. Πάνω από τη συχνότητα πλάσµατος τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα µεταδίδονται µε απώλειες που µειώνονται καθώς αυξάνεται η συχνότητα και το πλάσµα συµπεριφέρεται σαν κενός χώρος. Το γεγονός αυτό θα το παρατηρήσουµε και στις εφαρµογές. Υλικά Loretz Όπως είδαµε ισχύει v c ω ˆ εr = ε + ( ε s - ε ) = ε + χ( ω) (.4) ω ωδ ω + j - Για να προσδιορίσουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Fourier χρησιµοποιούµε το ζεύγος όπου at γβ χ( t) = γ e si( βt)u( t) (.4) α + β + jωα ω α = δ ( ) β = ω δ (.43) ( ) ω ε s ε γ = β

23 Η προκύπτουσα χ(t) δεν έχει την κατάλληλη µορφή ώστε να υπολογιστεί το άθροισµα στην εξίσωση ορισµού της Ε αναδροµικά. ηλαδή, δεν είναι εκθετική συνάρτηση. Αν, όµως, ορίσουµε τη µιγαδική ποσότητα έτσι ώστε ( α + jβ ) ˆ( χ t) = jγ e U( t) (.44) χ( t) = Re[ ˆ χ( t)] (.45) τότε ισχύουν γι αυτή οι σχέσεις οι αντίστοιχες της επιδεκτικότητας Debe. ηλαδή, m jγ ˆ χ = e e α jβ ( α jβ ) m t ( α jβ ) + + t m jγ ˆ χ = e e α jβ ( α jβ ) m t ( α jβ ) + + t (.46) (.47) η οποία λόγω εκθετικής µορφής έχει την ιδιότητα ˆ ( a+ jβ ) ˆ m+ t m χ = e χ (.48) που επιτρέπει τον αναδροµικό υπολογισµό της µιγαδικής ποσότητας Ψˆ = E ˆ χ + e α β Ψˆ (.49) ( + j ) t µε την ίδια ακριβώς προσέγγιση που χρησιµοποιήθηκε για την αντίστοιχη πραγµατική µεταβλητή στα υλικά Debe. Στη συνέχεια, υπολογίζεται το συνελικτικό άθροισµα που εµφανίζεται στην εξίσωση ορισµού της ηλεκτρικής έντασης - -m m Re ˆ E χ = Ψ = Ψ (.5) m= όπου επιπλέον χ [ χ ] = Re ɵ (.5) Ανακεφαλαιώνοντας, µπορούµε να πούµε ότι και στην περίπτωση του πόλου δεύτερης τάξης χρησιµοποιήθηκε η ίδια διαδικασία προσδιορισµού της συνέλιξης της χ(t) µε την Ε όπως και στον πόλο πρώτης τάξης. Συνεπώς, χρησιµοποιούνται και οι εξισώσεις που προέκυψαν στην περίπτωση των υλικών Debe. Ας σηµειώσουµε ότι υπάρχουν υλικά, όπως µαγνητισµένα πλάσµατα και φερρίτες, µε πιο σύνθετες συναρτήσεις επιδεκτικότητας µε πόλους δεύτερης τάξης [ ] ( ) ( j ) αt α β χ( t) = e ξ cos( βt) + γ si( βt) = Re ξ jγ e + U( t) (.5) 3

24 Αντιµετωπίζονται κι αυτές µε τον ίδιο τρόπο µε την απλή αντικατάσταση -j γ = ξ - j γ. Επίσης, υπάρχουν υλικά, όπως τεχνητά διηλεκτρικά και οπτικά υλικά µε ακόµη πιο σύνθετη εξάρτηση από τη συχνότητα. Σ αυτά τα υλικά απαιτούνται περισσότεροι του ενός πόλοι στη συνάρτηση επιδεκτικότητας για να περιγράψουν τη συµπεριφορά τους. Αναφερόµενοι σε γραµµικά υλικά, αντιµετωπίζουµε µια τέτοια περίπτωση προσθέτοντας απλά τις επιδράσεις όλων των πόλων. ηλαδή προσδιορίζουµε τα απαιτούµενα µεγέθη για κάθε πόλο ( χ, Ψ ) σύµφωνα µε τους κανόνες της κατηγορίας όπου ανήκει και αντικαθιστούµε στην τελική εξίσωση προσδιορισµού του Ε το ά- θροισµά τους... Η διαφορική µέθοδος Η δεύτερη εναλλακτική µέθοδος για την εφαρµογή της FD-TD σε µέσα µε διασπορά είναι η διαφορική µέθοδος. Η µέθοδος αυτή εκφράζει τη σχέση µεταξύ Ε και D µέσω µιας διαφορικής εξίσωσης στο χρόνο. Η εξίσωση αυτή προκύπτει από τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Fourier της εξίσωσης κατάστασης ˆ ε ( ω) ˆ ( ) = εεr ω = Ε D( ω) ( ω) (.53) χρησιµοποιώντας τα παρακάτω ζεύγη ( ) d jω (.54) dt d j ω = - ω (.55) dt Στη συνέχεια, η διαφορική εξίσωση µετατρέπεται κατά τα γνωστά σε εξίσωση πεπερασµένων διαφορών και υπολογίζεται µαζί µε τις εκφράσεις των εξισώσεων στροφής. ηλαδή, το υπολογιστικό µοντέλο είναι µια αναδροµική διαδικασία τριών βηµάτων που για ένα µονοδιάστατο ΤΕ κύµα είναι τα παρακάτω: +/ -/ t H z ( i + ) = H z ( i + ) - E ( i +) - E ( i) µ x t D i D i x H i H i ( ) = ( ) - z ( + z ) - ( - ) (.56) M + - M + E ( i) = f (D,..., D,..., E,..., E ) Η συνάρτηση f θα προσδιοριστεί για κάθε υλικό. Μ είναι η τάξη της διασποράς, δηλαδή, το άθροισµα των τάξεων των πόλων που εµφανίζονται στη συνάρτηση της επι- 4

25 δεκτικότητας. Το µοντέλο αυτό είναι επίσης πλήρως άµεσο και σε σχέση µε τον αλγόριθµο του Yee απαιτεί επιπλέον την αποθήκευση της τρέχουσας τιµής του D, καθώς και προηγούµενων τιµών των Ε και D. Ο αριθµός των προηγούµενων τιµών που απαιτούνται είναι ανάλογος της τάξης διασποράς Μ. Έτσι για ένα υλικό Debe αποθηκεύεται στη µνήµη µια µόνο τιµή των µεγεθών Ε και D εκτός από τις τρέχουσες. Θα εφαρµόσουµε τώρα τα παραπάνω για να εξάγουµε την τρίτη εξίσωση του µοντέλου (.56) για τις τρεις κατηγορίες υλικών. Υλικά Debe Για τα υλικά Debe ισχύει η σχέση ˆ( ε ω) D ( ) - ε ε + s = = E ( ω) + jωt (.57) Μετά από πράξεις προκύπτει ε ε E + j ωt ε ε E = D + jωt D (.58) s και µε µετασχηµατισµό Fourier η διαφορική εξίσωση ε ε de dd se + t ε ε = D + t dt dt (.59) Στην εξίσωση αυτή µετατρέπονται οι παράγωγοι σε κεντρικές διαφορές. Επιπλέον, σαν τιµή των µεγεθών σε κάθε χρονικό βήµα λαµβάνεται ο µέσος όρος των τιµών τους στο προηγούµενο και στο επόµενο χρονικό βήµα. ηλαδή, ισχύει για παράδειγ + + D + D µα για την D ότι D =. Η έκφραση αυτή ονοµάζεται semi-implicit. Προφανώς, και οι παράγωγοι αναφέρονται στην ίδια χρονική στιγµή, δηλαδή + dd D - D =. Τελικά, η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών που προκύπτει λύνεται ως προς E + dt t και δίνει t + t t - t E ( i) = D ( i) + D ( i) + + tεε + εεs t tεε + εεs t t ε ε -ε ε t E i s + ( ) tεε + εε s t (.6) που είναι και η τρίτη εξίσωση υπολογισµού του γενικού µοντέλου (.56). Επιβεβαιώνουµε ότι απαιτείται µια µόνο προηγούµενη τιµή των µεγεθών. Υλικά Drude 5

26 Ισχύει σ αυτή την περίπτωση D ( ω) ω p ˆ( ε ω) = = ε + E ( ω) ω( j ν c ω) (.6) Η αντίστοιχη διαφορική εξίσωση είναι de d E dd d D εω pe + εvc + ε = v + c (.6) dt dt dt dt και η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών v t + E ( i) = D ( i) + c + ε vc t + ε + εω p ( t) vc t D ( i) ε v t + ε + ε ω ( t) c p - + D ( i) ε vc t + ε + εω p ( t) v t ε ω ( t) + ε ε + ε ω ( ) c p vc t + p t ε E ( i) - - E ( i) ε vc t + ε + εω p ( t) (.63) όπου η δεύτερη παράγωγος δίνεται από τη σχέση d E E E + E = d t ( t). Παρατηρούµε ότι για τον υπολογισµό της E χρειάζονται οι τιµές των Ε και D από δύο προηγούµενα χρονικά βήµατα δηλαδή όσα και η τάξη διασποράς καθώς η χ(ω) έχει δύο πόλους πρώτης τάξης. Υλικά Loretz Σ αυτή την περίπτωση ισχύει D ( ω) ω ˆ( ε ω) = = ε ε + ( εs ε ) E ( ω) ω + jωδ ω (.64) ενώ η διαφορική εξίσωση και η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών είναι de d E dd d D ωεεse + δεε + εε = ω D + δ + (.65) dt dt dt dt 6

27 ω ( t) + δ t + E ( i) = D ( i) + + ω ( t) εεs + δ tεε + ε ε 4 - D ( i) ω ( t) ε ε + δ tε ε + ε ε s ω ( t) - δ t D ( i) ω ( t) εε s + δ tεε + ε ε 4ε ε + E ( i) ω ( t) εε s + δ tεε + ε ε ω ( t) ε ε - δ tε ε + ε ε s - - E ( ) i ω ( t) εεs + δ tεε + ε ε (.66) όπου επίσης παρατηρούµε ότι αποθηκεύονται τιµές από δύο προηγούµενα χρονικά βήµατα καθώς η συνάρτηση επιδεκτικότητας των υλικών Loretz έχει έναν πόλο δεύτερης τάξης...3 Σύγκριση των δύο µεθόδων Συγκρίνοντας τις δύο τεχνικές επέκτασης της FD-TD στα µέσα µε διασπορά µπορούµε κατ αρχήν να πούµε ότι και οι δύο παρουσιάζουν πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα. Παρατηρούµε, λοιπόν, ότι η µέθοδος της συνέλιξης καταφέρνει να µοντελοποιήσει ακόµη και υλικά µε σύνθετη διασπορά χρησιµοποιώντας απλούστερες εξισώσεις από τη διαφορική µέθοδο. Εµπλέκει, όµως, µιγαδικές µεταβλητές και πράξεις µιγαδικών. Επίσης, βασιζόµενη στη γραµµικότητα του υλικού η µέθοδος της συνέλιξης επιτρέπει την εισαγωγή πόλων στη συνάρτηση επιδεκτικότητας άµεσα, µε την εισαγωγή µιας µεταβλητής για κάθε πόλο, χωρίς να αλλάξει ο αλγόριθµος. Η διαφορική µέθοδος δεν µπορεί να επεκταθεί ευθέως σε πολλαπλούς πόλους. Για κάθε νέο πόλο θα προκύπτει µία νέα συνάρτηση επιδεκτικότητας και θα πρέπει να εφαρµόζεται η διαδικασία της προηγούµενης παραγράφου, η οποία µάλιστα παράγει διαφορικές εξισώσεις υψηλής τάξης στην περίπτωση πολλαπλών πόλων. Ευτυχώς υπάρχει µέθοδος που απλοποιεί το µοντέλο της διαφορικής µεθόδου σ αυτή την περίπτωση. Επιπλέον, η διαφορική µέθοδος απαιτεί περισσότερη µνήµη για την αποθήκευση τιµών από προηγούµενες χρονικές στιγµές. Έτσι, για διασπορά τάξης Μ η διαφορική µέθοδος αποθηκεύει, επιπλέον σε σχέση µε την FD-TD για µέσα χωρίς διασπορά, τι- µές της Ε από Μ- προηγούµενα χρονικά βήµατα και τιµές της D από Μ προηγούµενα βήµατα. Για την ίδια τάξη διασποράς η συνελικτική µέθοδος αποθηκεύει επιπλέον Μ µεταβλητές, µια πραγµατική για κάθε πόλο πρώτης τάξης και µια µιγαδική δηλαδή, δύο πραγµατικές, για κάθε πόλο δεύτερης τάξης. Για παράδειγµα σε υλικό µε δύο πόλους Loretz, δηλαδή τέταρτης τάξης διασποράς, η διαφορική µέθοδος θα απαιτούσε επιπλέον εφτά πραγµατικές µεταβλητές, ενώ η συνελικτική δύο µιγαδικές που αντιστοιχούν σε τέσσερις πραγµατικές. Με τη συνελικτική µέθοδο, λοιπόν, σ αυτή την 7

28 περίπτωση χρησιµοποιούνται περίπου οι µισές µεταβλητές. Το ποσοστό αυτό είναι M / γενικά και πλησιάζει το / καθώς αυξάνεται η τάξη της διασποράς. M - Οι αυξηµένες απαιτήσεις σε µνήµη της διαφορικής µεθόδου αντισταθµίζονται από τη µεγαλύτερη ακρίβειά της. Έχει διαπιστωθεί από την παρατήρηση αποτελεσµάτων ότι η τετραγωνική µέση τιµή του σφάλµατος στη συχνότητα εξαρτάται από την ποσότητα /R στη διαφορική µέθοδο και από την /R στη µέθοδο της συνέλιξης. Το µέγεθος R είναι ο αριθµός των κελιών στα οποία εκτείνεται η σταθερή διέγερση του προβλήµατος. Εκφράζει δηλαδή την ευκρίνεια του πλέγµατος. Έτσι αυξάνοντας την ευκρίνεια η διαφορική µέθοδος δίνει µικρότερα σφάλµατα ή ισοδύναµα για το ίδιο σφάλµα απαιτεί µικρότερη ευκρίνεια. Το σηµαντικότερο µειονέκτηµα της συνελικτικής µεθόδου έναντι της διαφορικής είναι ότι δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί για µη γραµµικά υλικά, εφόσον βασίζεται στις γραµµικές ιδιότητες των υλικών..3 Εφαρµογές Α. Στην πρώτη εφαρµογή παρακολουθούµε την ανάκλαση και τη διάδοση ενός ηλεκτροµαγνητικού παλµού µετά την πρόσπτωσή του στην οριακή επιφάνεια µεταξύ του κενού χώρου και ενός υλικού Debe. Ο χώρος του προβλήµατος περιλαµβάνει κελιά. Ο κενός χώρος εκτείνεται στα πρώτα 5 κελιά, ενώ τα υπόλοιπα 5 πληρούνται µε υλικό Debe. ηλαδή, ο χώρος είναι ο εξής: Η διέγερση τίθεται στο χιλιοστό κελί και είναι ένας παλµός Gauss µε µοναδιαίο πλάτος και διάρκεια. fs µεταξύ των σηµείων /e. Αυτός ο βραχύς παλµός δεν µπορεί να παραχθεί στο εργαστήριο, αλλά από την ανάλυση Fourier προκύπτει ότι έχει φάσµα που εκτείνεται από τη µηδενική συχνότητα µέχρι τη συχνότητα 7 Hz. Η διέγερση αυτή φαίνεται στο σχήµα. Το κελί έχει µέγεθος dx = 3 - m, το οποίο ισοδυναµεί µε λ /, όπου λ το µήκος κύµατος που αντιστοιχεί στη µέγιστη συχνότητα 7 Hz. Το χρονικό βήµα που χρησιµοποιείται είναι dt =.5 - s, ενώ αυτό που προκύπτει από τη συνθήκη ευστάθειας του Courat είναι dt = -9 s. ηλαδή, το επιλεγόµενο βήµα είναι ίσο µε το ένα τέταρτο του προτεινόµενου από τη συνθήκη ευστάθειας. Οι τιµές αυτές προέρχονται από τη βιβλιογραφία. Επιπλέον, οι παράµετροι του υλικού Debe που χρησιµοποιήθηκε είναι ε s = 8, ε =.8 και t = 8-6 s. 8

29 Στα σχήµατα - απεικονίζεται η εξέλιξη του προβλήµατος στις αναγραφόµενες χρονικές στιγµές. Παρατηρούµε ότι µετά την πρόσπτωση το σχήµα του παλµού δεν αλλοιώνεται. Μειώνεται όµως το πλάτος του και αυξάνεται η διάρκειά του, όπως προβλέπει η θεωρία. Για την εξαγωγή των αποτελεσµάτων χρησιµοποιήθηκε η διαφορική µέθοδος. Ωστόσο και η µέθοδος της συνέλιξης έδωσε ακριβώς τα ίδια αποτελέσµατα. Β. Η δεύτερη εφαρµογή διαφέρει από την πρώτη µόνο στο υλικό µε διασπορά. ηλαδή, σ αυτή την περίπτωση χρησιµοποιείται υλικό Drude. Η συχνότητα κρούσης έχει την τιµή v c = Hz, ενώ ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η επιλογή της συχνότητας πλάσµατος. Με βάση την τιµή της διακρίνουµε τρεις περιπτώσεις. Στην πρώτη περίπτωση, που αντιστοιχεί στα σχήµατα 3-8, ω p =.8 rad/sec. εδοµένου ότι η παλµική διέγερση εκτείνεται µέχρι τα 7 Hz, το µεγαλύτερο µέρος του φασµατικού περιεχοµένου του παλµού βρίσκεται πάνω από τη συχνότητα πλάσµατος. Μάλιστα, η διαφορά στις τάξεις µεγέθους µας επιτρέπει να θεωρήσου- µε ότι σχεδόν όλο το φάσµα της βρίσκεται πάνω από την ω p. Έτσι, σύµφωνα µε τη θεωρία το κύµα θα µεταδίδεται σαν στον κενό χώρο. Πράγµατι, παρατηρούµε στα διαγράµµατα ότι ο παλµός δεν υφίσταται καµία µεταβολή, ενώ δεν παρατηρείται και ανάκλαση στο όριο. Στη δεύτερη περίπτωση, που απεικονίζεται στα σχήµατα 9-4, ω p =.8 6 rad/sec. Το µεγαλύτερο µέρος του φάσµατος του παλµού καταλαµβάνει συχνότητες µικρότερες της ω p κι έτσι ο παλµός υφίσταται διασπορά και µάλιστα µεγαλύτερη απ ότι στο υλικό Debe. Τέλος στην τρίτη περίπτωση ω p =.8 rad/sec και όλο το φασµατικό περιεχόµενο του παλµού βρίσκεται κάτω από τη συχνότητα πλάσµατος. Όπως δείχνουν τα σχήµατα, ο παλµός ανακλάται πλήρως. Η εφαρµογή υλοποιήθηκε µε τη διαφορική µέθοδο. Γ. Στην τρίτη εφαρµογή ο χώρος, η διέγερση και οι παράµετροι της µεθόδου FD-TD παραµένουν ίδια µε των προηγούµενων δύο εφαρµογών. Αλλάζει, όµως, το υλικό µε διασπορά το οποίο είναι, σ αυτή την περίπτωση, Loretz µε παραµέτρους ε s =.5, ε =, ω = 4 6 rad/sec και δ =.8 6 rad/sec σύµφωνα µε τη βιβλιογραφία. Παρατηρούµε στα σχήµατα 3-4, τα οποία προέκυψαν από τη διαφορική µέθοδο, ότι και αυτό το υλικό παρουσιάζει µεγάλη διασπορά, αφού ο παλµός εκτός από µείωση του πλάτους και αύξηση του εύρους του, υφίσταται και σηµαντική αλλοίωση της µορφής του. Σηµειώνουµε ότι η εφαρµογή αυτή και οι υπόλοιπες του κεφαλαίου, που διαπραγµατεύονται διασπορά Loretz, υλοποιήθηκαν µε τη διαφορική µέθοδο. Το πρόβληµα αυτό υλοποιήθηκε µε ποικίλες τιµές των παραµέτρων dx και dt στην προσπάθεια να εξαχθούν συµπεράσµατα για περιορισµούς στις τιµές τους που ίσως θέτει η διασπορά. Έγιναν δοκιµές για κελιά µε διαστάσεις λ/, λ/ και λ/5. Στις δύο πρώτες περιπτώσεις δεν παρατηρήθηκε διασπορά για χρονικά βήµατα µέχρι και dt Courat /4. Με βήµα dt Courat / παρατηρείται διασπορά, αλλά και σφάλµα, καθώς ο παλµός µετά την πρόσπτωσή του στο όριο αποκτά στιγµιαία πλάτος µεγαλύτερο της µονάδας. Το ίδιο συµβαίνει και για κελί λ/5 και βήµα dt Courat /4. 9

30 . Σ αυτή την εφαρµογή, αλλάζει ο χώρος του προβλήµατος. Παρεµβάλλονται δυο τµήµατα υλικού Loretz στον κενό χώρο ως εξής: Όλα τα υπόλοιπα δεδοµένα του προβλήµατος είναι ίδια µε της προηγούµενης ε- φαρµογής. Τα αποτελέσµατα απεικονίζονται στα σχήµατα Παρατηρούµε µεγάλη αλλοίωση της µορφής του παλµού, η οποία οφείλεται σε ανακλάσεις στις τέσσερις διαχωριστικές επιφάνειες µεταξύ κενού χώρου και µέσου Loretz. Ε. Στην τελευταία εφαρµογή του κεφαλαίου παρατηρούµε τη διασπορά ενός δια- µορφωµένου σήµατος. Ο χώρος του προβλήµατος αποτελείται από 6 κελιά που περιέχουν υλικό Loretz µε παραµέτρους ε s = 5.5, ε =.5, ω = 4 4 και δ =.8 9 rad/sec, όπως και στις προηγούµενες εφαρµογές. Η διέγερση τίθεται στη θέση i = και είναι ένα φέρον ηµίτονο συχνότητας f c =.37 4 Hz διαµορφωµένο κατά πλάτος από παλµό Gauss µοναδιαίου πλάτους και διάρκειας 5 fs. Το µέγεθος του κελιού και το χρονικό βήµα είναι dx = 5-9 και dt = s. Παρατηρούµε στα σχήµατα 55-6 κατ αρχήν τη µείωση του πλάτους και την αύξηση του εύρους του διαµορφώνοντος παλµού. Παρατηρούµε όµως και µια νέα επίδραση της διασποράς δεύτερης τάξης πάνω στο φέρον. Η συχνότητά του µεταβάλλεται ασύµµετρα, καθώς αυξάνεται στην αρχή του παλµού και µειώνεται στο τέλος του. Τέλος παρατηρούµε έναν µικρού πλάτους παλµό που ακολουθεί τη διέγερση και υφίσταται επίσης τις επιδράσεις της διασποράς. Αυτός προέρχεται από ανάκλαση του τµήµατος της διέγερσης που µεταδόθηκε προς τα αριστερά στο όριο i =. Βλέπουµε δηλαδή ότι η συνθήκη Mur δεν καταφέρνει να απορροφήσει το κύµα στα όρια, γεγονός αναµενόµενο αφού είναι σχεδιασµένη για τον κενό χώρο. 3

31 x x 4 Σχήµα Σχήµα sizet = 5 sizet = x x 4 Σχήµα 3 Σχήµα 4 sizet = 5 sizet = x x 4 Σχήµα 5 Σχήµα 6 sizet = 3 sizet = 35 3

32 x x 4 Σχήµα 7 Σχήµα 8 sizet = 4 sizet = x x 4 Σχήµα 9 Σχήµα sizet = 6 sizet = x x 4 Σχήµα Σχήµα sizet = 75 sizet = 8 3

33 x Σχήµα 3 Σχήµα 4 sizet = sizet = 5 x x Σχήµα 5 Σχήµα 6 sizet = 7 sizet = 3 x x Σχήµα 7 Σχήµα 8 sizet = 35 sizet = 4 x 4 33

34 x Σχήµα 9 Σχήµα sizet = sizet = 5 x x Σχήµα Σχήµα sizet = 7 sizet = 3 x x Σχήµα 3 Σχήµα 4 sizet = 35 sizet = 4 x 4 34

35 x Σχήµα 5 Σχήµα 6 sizet = sizet = 5 x x Σχήµα 7 Σχήµα 8 sizet = 7 sizet = 3 x x Σχήµα 9 Σχήµα 3 sizet = 35 sizet = 4 x 4 35

36 x x 4 Σχήµα 3 Σχήµα 3 sizet = 5 sizet = x x 4 Σχήµα 33 Σχήµα 34 sizet = 5 sizet = x x 4 Σχήµα 35 Σχήµα 36 sizet = 35 sizet = 4 36

37 x x 4 Σχήµα 37 Σχήµα 38 sizet = 45 sizet = x x 4 Σχήµα 39 Σχήµα 4 sizet = 6 sizet = x x 4 Σχήµα 4 Σχήµα 4 sizet = 8 sizet =9

38 x x 4 Σχήµα 43 Σχήµα 44 sizet = sizet = x x 4 Σχήµα 45 Σχήµα 46 sizet = 5 sizet = x x 4 Σχήµα 47 Σχήµα 48 sizet = 3 sizet = 35 38

39 x x 4 Σχήµα 49 Σχήµα 5 sizet = 4 sizet = x x 4 Σχήµα 5 Σχήµα 5 sizet = 6 sizet = x x 4 Σχήµα 53 Σχήµα 54 sizet = 8 sizet = 9 39

40 x x 4 Σχήµα 55 Σχήµα 56 sizet = 4 sizet = x x 4 Σχήµα 57 Σχήµα 58 sizet = sizet = x x 4 Σχήµα 59 Σχήµα 6 sizet = 4 sizet = 5 4

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΕ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΥΛΙΚΑ ΜΕ ΙΑΣΠΟΡΑ 3. Μη γραµµικά υλικά µε διασπορά. Η συµπεριφορά των ηλεκτροµαγνητικών πεδίων σε µη γραµµικά διηλεκτρικά µέσα αποτελεί κεντρικό θέµα στην τεχνολογία της µη γραµµικής οπτικής και παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον στις περιοχές των λέηζερ, των τηλεπικοινωνιών και των ψηφιακών διακοπτών υψηλών ταχυτήτων. Η µη γραµµικότητα των υλικών προέρχεται από τη µεταβολή των θεµελιωδών τους παραµέτρων (διηλεκτρική σταθερά ή/και µαγνητική διαπερατότητα) µε το πλάτος του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου που αλληλεπιδρά µε τα υλικά. Το φαινόµενο είναι ιδιαίτερα έντονο στην περίπτωση πεδίων µε υψηλά πλάτη. Όταν το υλικό εµφανίζει και διασπορά, έχουµε µεταβολή των µη γραµµικών χαρακτηριστικών του µε το φασµατικό περιεχόµενο του κύµατος που αλληλεπιδρά µ αυτό. Θεωρούµε το µονοδιάστατο πρόβληµα διάδοσης του ΤΕ ρυθµού. Όπως είναι γνωστό περιλαµβάνει τις συνιστώσες Η z και Ε. Η µη γραµµικότητα του υλικού εισάγεται µε την παραδοχή ότι η ηλεκτρική πόλωση P αποτελείται από δύο µέρη: ένα γραµµικό P L και ένα µη γραµµικό P NL. Οι εξισώσεις του Maxwell εξακολουθούν να ισχύουν. Η διαφορά από την περίπτωση των γραµµικών υλικών είναι ότι στη σχέση που συνδέει την ηλεκτρική πεδιακή ένταση µε τη διηλεκτρική µετατόπιση εµφανίζονται και οι δύο συνιστώσες της ηλεκτρικής πόλωσης Η συνιστώσα P L δίνεται από µια γραµµική συνέλιξη της Ε (x,t) µε τη συνάρτηση επιδεκτικότητας πρώτης τάξης χ () E L NL ( ) D - P + P = (3.) ε ε L () (, ) = ( - ) (, )d P x t ε χ t τ E x τ τ (3.) όπου η συνάρτηση χ () παρέχει τη φυσική της γραµµικής διασποράς που σχετίζεται µε την εξαρτώµενη από τη συχνότητα διηλεκτρική σταθερά, όπως είδαµε και στο προηγούµενο κεφάλαιο. Από την παραπάνω σχέση φαίνεται και η φύση της συνεισφοράς της γραµµικής πόλωσης. Η συνάρτηση χ () (τ) δίνει το πλάτος ενός στιγµιαίου παλµικού πεδίου που επιδρά στην πόλωση µετά από συγκεκριµένο χρόνο. Έτσι η χ () (τ) εί- 4

42 ναι ένα µέτρο της µνήµης του µέσου. Αυτή η µνήµη σχετίζεται µε έναν συγκεκριµένο παλµό της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου που έδρασε στο µέσο σε µια προηγούµενη στιγµή. Η συνιστώσα P NL προκύπτει από µια µη γραµµική συνέλιξη της Ε (x,t) µε τη συνάρτηση επιδεκτικότητας τρίτης τάξης χ (3) P NL (3) χ ( t τ, t τ, t τ 3) ( x, t) = ε dτdτ dτ 3 E ( x, τ) E ( x, τ ) E ( x, τ 3) (3.3) όπου η χ (3) παρέχει τη φυσική µιας µη γραµµικότητας µε καθυστέρηση ή µνήµη, δηλαδή µιας µη γραµµικότητας µε διασπορά καθώς είναι συνάρτηση του χρόνου. Σ αυτή την περίπτωση υπάρχουν τρεις παλµοί που δρουν σε τρεις διαφορετικούς χρόνους t - τ, t - τ και t - τ 3. Το αποτέλεσµα της δράσης παρατηρείται στη χρονική στιγµή t. Είναι ανάλογο του γινοµένου τους και εξαρτάται από τη συνάρτηση χ (3) στους χρόνους δράσης. Η συνέλιξη αυτή παρέχει ένα µαθηµατικό ισοδύναµο µοναδικό για κάθε ο- πτικό υλικό µοντελοποιώντας τις συγκεκριµένες ιδιότητες που το καθιστούν µη γραµµικό. Επίσης ας σηµειώσουµε ότι οι συναρτήσεις χ () και χ (3) µπορεί να διαφέρουν σε φυσικές ιδιότητες όπως συντονισµούς και αποσβέσεις. Πιο ειδικά, τώρα, θεωρούµε ένα µέσο µε γραµµική διασπορά Loretz που χαρακτηρίζεται από τη συνάρτηση επιδεκτικότητας χ () (t) ( - ) ( ) () εs ε ω -δ t χ ( t) = e si ω -δ t U( t) (3.4) ω -δ και την αντίστοιχη γραµµική διηλεκτρική σταθερά στη συχνότητα της σχέσης (.) ω ε ω ε ε ε ε χ ω ˆ r ( ) = + ( s - () ) = + ( ) ω + jωδ - ω Επιπλέον, θεωρούµε ότι η µη γραµµικότητα του µέσου χαρακτηρίζεται από το παρακάτω ολοκλήρωµα συνέλιξης για την πόλωση P NL NL (3) (, ) = εχ (, ) ( - τ ) (, τ ) dτ (3.5) - P x t E x t g t E x (3) όπου χ είναι ο συντελεστής µη γραµµικότητας. Η αιτιατή συνάρτηση g(t), η οποία καθορίζει και την απόκριση του µέσου στην εφαρµογή του πεδίου, κανονικοποιείται έτσι ώστε, g ( t )d t = (3.6) Η εξίσωση (3.5) αντιπροσωπεύει µόνο µη συντονισµένες διαδικασίες τρίτης τάξης. Οι αποκρίσεις αυτές µοντελοποιούνται ως εξής: 4

43 g( t) = αδ ( t) + (- α ) g ( t) (3.7) όπου δ(t) είναι η απόκριση στιγµιαίας συνάρτησης δέλτα που µοντελοποιεί τις µη συντονισµένες ηλεκτρονικές µεταβάσεις Kerr της τάξης του fs ή λιγότερο, ενώ η συνάρτηση g R (t) δίνεται από τη σχέση R τ + τ t t gr ( t) = exp - si ττ τ τ (3.8) και µοντελοποιεί τη µεταβατική σκέδαση Rama. Σηµειώνουµε ότι η παράµετρος α καθορίζει τα σχετικά βάρη των αλληλεπιδράσεων Kerr και Rama. Μπορούµε να παρατηρήσουµε ότι οι µη γραµµικές επιδράσεις Kerr είναι στιγµιαίες, ενώ οι αντίστοιχες Rama έχουν διασπορά. 3. Η FD-TD στα µη γραµµικά µέσα µε διασπορά Η διαδικασία επίλυσης προβληµάτων σε µη γραµµικά µέσα µε διασπορά αποτελεί γενίκευση της διαφορικής µεθόδου που χρησιµοποιήθηκε στο προηγούµενο κεφάλαιο για γραµµική διασπορά. Υπενθυµίζεται ότι η διαφορική µέθοδος παίρνει το µετασχηµατισµό Fourier της σχέσης της µιγαδικής διηλεκτρικής σταθεράς στο πεδίο της συχνότητας και καταλήγει σε ένα µοντέλο που συνδέει τα µεγέθη E και D στο χρόνο. Στη µη γραµµική περίπτωση, βέβαια, ο µετασχηµατισµός Fourier δεν είναι εφαρµόσιµος. Το ίδιο µοντέλο όµως, της διαφορικής µεθόδου, θα είχε προκύψει και αν είχε χρησιµοποιηθεί µία εναλλακτική προσέγγιση που θα παραγώγιζε άµεσα στο χρόνο το ολοκλήρωµα ορισµού της γραµµικής πόλωσης (σχέση 3.). Αυτή ακριβώς η προσέγγιση χρησιµοποιείται και σ αυτό το κεφάλαιο. Υποθέτοντας µηδενικές τιµές του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου και των συναρτήσεων επιδεκτικότητας για αρνητικούς χρόνους, ορίζουµε τις συναρτήσεις F(t) και G(t) αντίστοιχα σαν τη γραµµική και µη γραµµική συνέλιξη των πολώσεων P L και P NL t () ( ) = ( - ) ( )d F t ε χ t τ E x, τ τ (3.9) t ( ) = R ( - ) (, )d G t ε g t τ E x τ τ (3.) Στη συνέχεια, παραγωγίζοντας τις F και G, µπορεί να δειχθεί ότι αυτές ικανοποιούν το ακόλουθο σύστηµα εξισώσεων 43

44 d F δ df εs ε (3) F ω dt ω dt ε αχ E + (3) ( εs ε )(- α) χ E ε s ε + G = D (3) (3) ε + αχ E ε + αχ E (3) d G δ dg ( α) χ E (3) G ω dt ω dt ε αχ E + E E + G = D (3) (3) ε αχ E ε αχ E + + (3.) (3.) όπου δ = /τ και ω = (/ τ ) + (/ τ ). Το παραπάνω σύστηµα λύνεται ως προς F και G σε κάθε χρονικό βήµα µε βάση την τρέχουσα τιµή της D και προηγούµενες τι- µές των µεταβλητών F, G, E και D. Τα αποτελέσµατα χρησιµοποιούνται για τον υ- πολογισµό της νέας τιµής της E από τη σχέση E = (3) D - F - (- α) χ EG ε ε + αχ E (3) (3.3) που προκύπτει από την αρχική (3.) µε απλές πράξεις. Το τελικό υπολογιστικό µοντέλο ξεκινάει µε τις γνωστές εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών των εξισώσεων στροφής του Maxwell +/ -/ t H z ( i + ) = H z ( i + ) - E ( i +) - E ( i) µ x t D ( i) = D ( i) - H z ( i + ) - H z ( i - ) x Στη συνέχεια, οι εξισώσεις (3.) και (3.) µετασχηµατίζονται σε εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών µε τους γνωστούς κανόνες που επισηµάνθηκαν και στη διαφορική µέθοδο της γραµµικής διασποράς. Έτσι, προκύπτει το σύστηµα ω δ F ( i) - F ( i) + F ( i) + F ( i) - F ( i) ( t) ω t ε + s ε + - (3) ( ) + + F i F ( i ) ε + aχ E ( i) (3) ( ε s ε )( a) χ E ( i) + - (3) ε aχ E i + ( ) + ( ) G i G i + ( ) = ε ε ε s (3) + aχ E ( i) + - D ( i) + D ( i) (3.4) 44

45 και ω δ G ( i) - G ( i) + G ( i) + G ( i) - G ( i) ( t) ω t (3) ( α) χ E ( i) (3) ( ) + G + G i ( i ) ε + αχ E ( i) E ( i) ( ) + ( ) (3) F i F i ε + αχ E ( i) = ε E ( i) + - (3) E ( i) + αχ D ( i) + D ( i) (3.5) Από το οποίο υπολογίζονται οι τιµές F + και G +. To τελευταίο βήµα του µοντέλου είναι ο υπολογισµός της E + από τη σχέση (3.3) χρησιµοποιώντας µία προσεγγιστική επαναληπτική διαδικασία Newto ως εξής ( p) όπου E D F E G ( p+) E = p =,,,... (3.6) (3) ( p) ε ε + αχ ( E ) συµβολίζει την προσέγγιση της E + στην p-οστή επανάληψη της διαδικασίας Newto και + + (3) ( p) (- α) χ E () = E. Στις εφαρµογές του κεφαλαίου η επαναληπτική διαδικασία διακόπτεται στο p =. Η παραπάνω προσέγγιση διατηρεί την πλήρως άµεση αναδροµική φύση του αλγορίθµου της FD-TD για µέσα χωρίς διασπορά καθώς και την ακρίβεια δεύτερης τάξης. ιατηρεί επίσης τη φυσική της γραµµικής και µη γραµµικής διασποράς χωρίς να αποθηκεύει τους πυρήνες χ () και χ (3) ή να εκτελεί τις συνελικτικές ολοκληρώσεις που προσδιορίζουν τις πολώσεις. Έτσι, αποφεύγει την αποθήκευση πεδιακών τιµών από χιλιάδες προηγούµενες χρονικές στιγµές, γεγονός που θα καθιστούσε αδύνατη την ε- πίλυση των εξισώσεων του Maxwell. Αντίθετα η µέθοδος που χρησιµοποιήθηκε µετατρέπει τις ολοκληρώσεις σε σύστηµα µη γραµµικών διαφορικών εξισώσεων και απαιτεί την αποθήκευση τιµών µόνο από δύο περασµένα χρονικά βήµατα για διασπορά Loretz και από Μ περασµένα χρονικά βήµατα για διασπορά Μ τάξης. Τέλος, η προσέγγιση αυτή φαίνεται να είναι ένας εφικτός τρόπος εισαγωγής της µη γραµµικότητας (συνεχούς και µε διασπορά) στις εξισώσεις του Maxwell αν οι διαστάσεις των κελιών είναι τουλάχιστον 5m, ένα µέγεθος που επιτρέπει στη µακροσκοπική θεώρηση που αντιπροσωπεύει το συνελικτικό µοντέλο να είναι έγκυρη, αν σκεφτούµε τον αριθµό των ατόµων που περιέχονται σε ένα κελί. 3.3 Εφαρµογές Α. Στην πρώτη εφαρµογή του κεφαλαίου εφαρµόζεται ο αλγόριθµος που περιγράφτηκε στις προηγούµενες παραγράφους µε µηδενικό συντελεστή µη γραµµικότητας (χ (3) = ). ηλαδή, µελετάται µόνο η επίδραση της διασποράς. 45

46 Ο χώρος αποτελείται από 5 κελιά µε υλικό Loretz και παραµέτρους ε s = 5.5, ε =.5, ω = 4 4 rad/sec και δ = 9 rad/sec. Οι παράµετροι των µη γραµ- µικών υλικών, παρόλο που περιέχονται στο πρόγραµµα µε το οποίο υλοποιήθηκε η εφαρµογή, δίνονται στο επόµενο πρόβληµα που αντιµετωπίζει τη µη γραµµική διασπορά. Η διέγερση τίθεται στη θέση i = και είναι ένα φέρον ηµίτονο συχνότητας f c =.37 4 Hz διαµορφωµένο κατά πλάτος από παλµό Gauss διάρκειας 5 fs και µοναδιαίου πλάτους. Περίπου 7 κύκλοι του φέροντος περιέχονται στην περιβάλλουσα. Το µέγεθος του κελιού είναι dx = 5-9 m λ /3 και το χρονικό βήµα dt = s. Αυτό είναι περίπου µιάµιση φορά µεγαλύτερο από το χρονικό βήµα της συνθήκης ευστάθειας του Courat, αλλά δεν προκαλεί αστάθεια. Παρατηρούµε και πάλι στα σχήµατα -6 τα αποτελέσµατα της διασποράς, δηλαδή µείωση του πλάτους και αύξηση του εύρους του διαµορφώνοντος παλµού και α- σύµµετρη αλλαγή της συχνότητας του φέροντος. Β. Εδώ µελετάται η µη γραµµική διασπορά. Ο χώρος αποτελείται από 5 κελιά που περιέχουν υλικό µε διασπορά Loretz και µη γραµµικότητα Rama και Kerr. Οι παράµετροι της µεθόδου και των υλικών είναι dt = s, ε s = 5.5, ε =.5, ω = 4 4 rad/sec, δ = 9 rad/sec, χ (3) = 7-7, α =.7, τ =. fs και τ = 3 fs. Η παράµετρος χ (3) είναι η µόνη στις εφαρµογές αυτού του κεφαλαίου που τέθηκε διαφορετική από την προτεινόµενη στη βιβλιογραφία [5] τιµή της (7 - ), καθώς οδηγούσε σε αστάθεια. Η διέγερση είναι η ίδια µε της προηγούµενης εφαρµογής. Παρατηρούµε στα σχήµατα 7- ότι ο παλµός διατηρεί το πλάτος και το εύρος του. Συµπεραίνουµε έτσι ότι η µη γραµµικότητα εξισορροπεί τα αποτελέσµατα της διασποράς. ηλαδή, οι επιδράσεις τους είναι αντίθετες. Η διασπορά είναι βέβαια και πάλι εµφανής από την ασύµµετρη αλλαγή της συχνότητας του φέροντος. Ο παλµός που προκύπτει από τη συνδυασµένη δράση µη γραµµικότητας και διασποράς ονοµάζεται σολιτόνιο (solito). Παρατηρούµε επίσης ότι κατά τη διάρκεια της διάδοσης παράγεται ένας παλµός χαµηλού πλάτους και υψηλής συχνότητας που προηγείται του σολιτονίου. Ο παλµός αυτός ονοµάζεται daughter παλµός, έχει συχνότητα 3.6 φορές µεγαλύτερη από τη συχνότητα του φέροντος και οφείλεται στη µη γραµµικότητα. Γ. Τέλος µελετάµε τη σύγκρουση δύο σολιτονίων διαδιδόµενων µε αντίθετη φορά. Ο χώρος περιλαµβάνει 6 κελιά και πληρείται µε το υλικό της προηγούµενης εφαρµογής. ιέγερση ίδια µε των προηγούµενων εφαρµογών τίθεται στις θέσεις i = και i = 5. Τα αποτελέσµατα φαίνονται στα σχήµατα 3-3. Βλέπουµε κατ αρχήν ότι τα σολιτόνια µετά τη σύγκρουσή τους χωρίζουν και συνεχίζουν να διαδίδονται στην αρχική τους πορεία χωρίς να µεταβληθεί η µορφή τους. Παρατηρούµε επίσης ότι στο σχήµα το πλάτος του σύνθετου σήµατος είναι ελάχιστο. Σ αυτή τη χρονική στιγµή τα δύο σολιτόνια αλληλεπιδρούν µη γραµµικά και πετυχαίνουν εµπλοκή των φερόντων που οδηγεί σε µείωση του πλάτους. Αντίθετα στο σχήµα 5 το πλάτος είναι µέγιστο. Εδώ, η µη γραµµική αλληλεπίδραση των σολιτονίων οδηγεί στην υπέρθεση των φερόντων. 46

47 x x 4 Σχήµα Σχήµα sizet = 4 sizet = x x 4 Σχήµα 3 Σχήµα 4 sizet = sizet = x x 4 Σχήµα 5 Σχήµα 6 sizet = 4 sizet = 45 47

48 x x 4 Σχήµα 7 Σχήµα 8 sizet = 4 sizet = x x 4 Σχήµα 9 Σχήµα sizet = sizet = x x 4 Σχήµα Σχήµα sizet = 4 sizet = 45 48

49 x x 4 Σχήµα 3 Σχήµα 4 sizet = sizet = x x 4 Σχήµα 5 Σχήµα 6 sizet = sizet = x x 4 Σχήµα 7 Σχήµα 8 sizet = 5 sizet = 54 49

50 x x 4 Σχήµα 9 Σχήµα sizet = 55 sizet = x x 4 Σχήµα Σχήµα sizet = 57 sizet = x x 4 Σχήµα 3 Σχήµα 4 sizet = 6 sizet = 6

51 x x 4 Σχήµα 5 Σχήµα 6 sizet = 6 sizet = x x 4 Σχήµα 7 Σχήµα 8 sizet = 7 sizet = x x 4 Σχήµα 9 Σχήµα 3 sizet = 3 sizet = 4 5

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η ΣΥΝΘΗΚΗ ΤΟΥ ΤΕΛΕΙΑ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΜΕΝΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ 4. Εισαγωγή Όπως αναφέρθηκε και στο πρώτο κεφάλαιο, για την αντιµετώπιση των προβλη- µάτων του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου που εκτείνονται στον άπειρο χώρο είναι απαραίτητη η εφαρµογή κάποιας απορροφητικής συνθήκης. Κατά τη διάρκεια της εξέλιξης της µεθόδου FD-TD, και πιο συγκεκριµένα της προσοµοίωσης διάδοσης στον ε- λεύθερο χώρο, χρησιµοποιήθηκαν διάφορες τεχνικές για την απορρόφηση των διαδιδόµενων κυµάτων στα όρια των υπολογιστικών χώρων. Όµως όλες έθεταν κάποια συνθήκη για τέλεια απορρόφηση. Για παραδειγµα, η συνθήκη Mur απορροφά ένα κύ- µα χωρίς ανάκλαση µόνο αν είναι επίπεδο και έχει διέυθυνση διάδοσης κάθετη στο όριο. Οι ατέλειες αυτές των απορροφητικών συνθηκών απαγόρευαν την αντιµετώπιση κάποιων προβληµάτων και έθεταν περιορισµούς σε άλλα. Έτσι, στο παράδειγµα για να ικανοποιηθεί η απαίτηση για κάθετη πρόσπτωση στο όριο πρέπει να παρεµβάλλονται πολλά κελιά µεταξύ της διέγερσης και του ορίου. Κατά συνέπεια µεγαλώνει ο υπολογιστικός χώρος και οι απαιτήσεις από το υπολογιστικό σύστηµα. Πριν από µερικά χρόνια ο Jea-Pierre Bereger παρουσίασε σε άρθρο [6],[7] µια νέα τεχνική για την προσοµοίωση του ελεύθερου χώρου. Η τεχνική αυτή βασίζεται στη χρήση ενός µέσου ειδικά σχεδιασµένου να απορροφά ηλεκτροµαγνητικά κύµατα χωρίς ανακλάσεις. Με το νέο αυτό µέσο ο θεωρητικός συντελεστής ανάκλασης ενός επίπεδου κύµατος που προσπίπτει στην οριακή επιφάνεια µεταξύ του κενού χώρου και του µέσου είναι µηδενικός για κάθε συχνότητα και γωνία πρόσπτωσης. Έτσι, ένα στρώµα του µέσου που περιβάλλει τον κενό χώρο µπορεί να απορροφήσει τέλεια οποιoδήποτε κύµα προσπίπτει στην οριακή επιφάνεια και ονοµάζεται τέλεια προσαρ- µοσµένο στρώµα (Perfectl Matched Laer). Επιπλέον, και η νέα τεχνική ονοµάζεται τεχνική τέλεια προσαρµοσµένου στρώµατος ή PML τεχνική. 4. Περιγραφή της τεχνικής PML Θεωρούµε ένα ΤΕ κύµα στο διδιάστατο χώρο. Σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων οι εξισώσεις του Maxwell για τη γενική περίπτωση ενός µέσου µε ηλεκτρική αγωγιµότητα σ και µαγνητική αγωγιµότητα σ είναι οι ε Ex Hz + σex = (4.) t 5

53 ε E t Hz + σe = (4.) x και Επιπλέον, αν ισχύει η συνθήκη µ H t z E E x + σ Hz = x σ σ = ε µ (4.3) (4.4) τότε η χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση του µέσου είναι ίση µε του κενού χώρου και δε συµβαίνει ανάκλαση όταν ένα επίπεδο κύµα προσπίπτει κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια µέσου-κενού χώρου. Αυτήν ακριβώς την ιδιότητα χρησιµοποιεί η προγενέστερη της PML τεχνική του προσαρµοσµένου στρώµατος. Η βάση της PML είναι ο χωρισµός της µαγνητικής πεδιακής συνιστώσας H z σε δύο σε δύο υποσυνιστώσες H zx και H z.. ηλαδή, στο PML µέσο υπάρχουν τέσσερις πεδιακές συνιστώσες, οι E x, E, H zx και H z, και ισχύουν γι αυτές οι εξισώσεις ε Ex t ε E t ( Hzx + Hz) + σ Ex = ( Hzx + Hz) + σxe = x (4.5) (4.6) µ H t zx µ H t z E + σ x H zx = x E + σ Hz = x (4.7) (4.8) όπου οι παράµετροι σ x και σ είναι αντίστοιχες προς την ηλεκτρική αγωγιµότητα, ενώ οι σ x και σ είναι αντίστοιχες προς τη µαγνητική αγωγιµότητα. Παρατηρούµε ότι αν σ = σ, οι δύο τελευταίες εξισώσεις συγχωνεύονται και το x x x παραπάνω σύστηµα των τεσσάρων εξισώσεων καταλήγει σε ένα σύστηµα τριών εξισώσεων µε µεταβλητές τις E x, E και H z = H zx + H z. Συνεπώς, το µέσο PML περιλαµβάνει σαν ειδικές περιπτώσεις όλα τα συνηθισµένα µέσα. Έτσι, αν όλες οι αγωγιµότητες είναι µηδενικές, δηλαδή σ = σ = σ = σ, τότε το παραπάνω σύστηµα καταλήγει στις εξισώσεις Maxwell του κενού χώρου. Αν σ σύστηµα περιγράφει ένα αγώγιµο µέσο. Τέλος αν σ x = σ και σ = σ =, το ίδιο x x = σ και σ = σ καταλήγει στο σύστηµα των εξισώσεων (4.)-(4.3) για το προσαρµοσµένο στρώµα. x 53

54 4.. ιάδοση επίπεδου κύµατος σε PML µέσο Στη συνέχεια θεωρούµε ένα κύµα του οποίου η διανυσµατική πεδιακή ένταση Ε πλάτους Ε σχηµατίζει γωνία φ µε τον άξονα των, όπως φαίνεται στο σχήµα Áí óõìâïëßóïõìå ìå H zx êáé H z ôá ðëüôç ôùí óõíéóôùóþí H zx êáé H z, ïé ôýóóåñéò ðåäéáêýò óõíéóôþóåò ìýóá óôï PML ìýóï ìðïñïýí íá åêöñáóôïýí ùò åîþò: E x E = E si = E cos e j (4.9) ( t x ) ϕ ω α β e j (4.) ( t x ) ϕ ω α β H H zx z = H = H ( ) (4.) t x zxe jω α β t x ze jω α β ( ) (4.) όπου α και β µιγαδικές σταθερές. Εφόσον το πλάτος E o είναι γνωστό, αποµένει να υπολογιστούν οι ποσότητες α, β, H zx, H z. Θέτοντας τις πεδιακές συνιστώσες από τις εξισώσεις (4.9) έως (4.) στις (4.5) έως (4.8) προκύπτει το παρακάτω σύστηµα σ εe siϕ j E si ϕ = β( Hzx + Hz) (4.3) ω σ x εe cosϕ j E cos ϕ = a( Hzx + Hz) (4.4) ω σ x µ H zx j H zx = αe cos ϕ ω (4.5) σ µ Hz j Hz = βe si ϕ ω (4.6) Επιλύοντας το σύστηµα και µε τη συνθήκη της σχέσης (4.4) να ισχύει για τα δύο ζεύγη των αγωγιµοτήτων, δηλαδή 54

55 σ ε σ ε x σ x = µ σ = µ (4.7) (4.8) προκύπτουν οι παρακάτω εκφράσεις για τη χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση του µέσου και για τις πεδιακές συνιστώσες Ζ = µ / ε (4.9) ψ ψ ω ϕ + ϕ σ ϕ ε σ ϕ ε x = e e e j ( t ( xcos si )/ c) -( cos / c) x -( si / c) (4.) όπου ψ οποιαδήποτε από τις τέσσερις πεδιακές συνιστώσες. Βλέπουµε από την (4.9) ότι η χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση του µέσου είναι ίση µε του κενού. Επιπλέον το πρώτο εκθετικό ης σχέσης (4.) δείχνει ότι η φάση του κύµατος διαδίδεται κάθετα στο ηλεκτρικό πεδίο µε την ταχύτητα του φωτός c, ενώ οι άλλοι δύο εκθετικοί όροι καθορίζουν την εξασθένιση του κύµατος κατά µήκος των αξόνων x και. Στην περίπτωση που σ = σ =, το τελευταίο εκθετικό της σχέσης (4.) ισούται µε τη µονάδα και κατά συνέπεια η απορρόφηση του κύµατος είναι συνάρτηση µόνο της συντεταγµένης x. Αυτό σηµαίνει ότι ένα κύµα διαδιδόµενο κατά τη διεύθυνση του άξονα (cosφ = ) δε µπορεί να απορροφηθεί. 4.. Πρόσπτωση επίπεδου κύµατος στη διαχωριστική επιφάνεια δύο PML µέσων x x x x Στην παράγραφο αυτή θα υπολογιστεί η ανάκλαση ενός επίπεδου κύµατος όταν προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια δύο PML µέσων. Οι παράµετροι των δύο µέσων είναι ( σ, σ, σ, σ ) και ( σ, σ, σ, σ ) και ικανοποιούν ανά ζεύγη τη συνθήκη προσαρµοσµένου στρώµατος. Η επιφάνεια είναι κάθετη στον άξονα x και εκτείνεται στο άπειρο. Έστω ότι οι ηλεκτρικές εντάσεις του προσπίπτοντος και του ανακλώµενου κύµατος, E i και E t, σχηµατίζουν µ αυτήν γωνίες θ και θ αντίστοιχα. Το πρόβληµα απεικονίζεται στο σχήµα 55

56 üðïõ è êáé è åßíáé åðßóçò ïé ãùíßåò ðïõ ó çìáôßæïõí ïé äéåõèýíóåéò äéüäïóçò ôïõ ðñïáðßðôïíôïò êáé ôïõ áíáêëþìåíïõ êýìáôïò ìå ôçí êüèåôç óôçí åðéöüíåéá, äçëáäþ ôïí Üîïíá x, üðùò äéáðéóôþèçêå êáé óôçí ðñïçãïýìåíç ðáñüãñáöï. ÄåäïìÝíïõ üôé ôï áíáêëþìåíï êáé ôï äéáèëþìåíï êýìá åßíáé åðßóçò åðßðåäá êáé üôé ïé óõíôåëåóôýò áíüêëáóçò êáé äéüäïóçò åßíáé óôáèåñïß óå üëç ôçí åðéöüíåéá, ðñïêýðôåé ãéá ïðïéáäþðïôå ðåäéáêþ óõíéóôþóá ç ó Ýóç ψ ( B) t ψ ( B) i ψ t ( A) = (4.) ψ ( A) i όπου Α και Β δύο τυχαία σηµεία της επιφάνειας. Αν η απόσταση ΑΒ είναι ίση µε d, από τη σχέση (4.) προκύπτουν ω ( d si θ / c) ( σ si θ / ε c) d ψ ( B) = ψ ( A) e j (4.) i i ω ( d si θ / c) ( σ si θ / ε c) d ψ ( B) = ψ ( A) e j (4.3) t t κι εφόσον η (4.) ισχύει για οποιαδήποτε απόσταση d, καταλήγουµε τελικά στο νόµο Sell-Descartes σ σ j siθ = j si θ (4.4) ε ω ε ω που συνδέει τις γωνίες πρόσπτωσης και διάθλασης σε µια επιφάνεια κάθετη στον ά- ξονα x µεταξύ δύο PML µέσων. Θεωρούµε τώρα τα πεδιακά µεγέθη του προσπίπτοντος, του ανακλώµενου και του διαθλώµενου κύµατος E i, E r, E t, H i, H r, H t. Η συνέχεια των εφαπτοµενικών συνιδτωσών Ε και H zx +H z πάνω στη διαχωριστική επιφάνεια καταλήγει στις εξισώσεις E cosθ E cosθ = E cosθ (4.5) i r t 56

57 Hi + Hr = Ht (4.6) Επιπλέον, αν E i, E r και E t είναι αντίστοιχα τα πλάτη των ηλεκτρικών εντάσεων E i, E r και E t, από την (4.) για x= παίρνουµε E E E i r t = E = E = E i r t e e e jω ( si θ / c)( j( σ / ε ω )) jωt jω ( si θ / c)( j( σ / ε ω )) jωt jω ( si θ / c)( j( σ / ε ω )) jωt e e e (4.7) (4.8) (4.9) και παρατηρούµε ότι σύµφωνα µε το νόµο Sell-Descartes τα εκθετικά στις τρεις σχέσεις είναι ίσα. Επίσης H i = E Z i (4.3) H r = E Z r (4.3) H t = E Z t (4.3) Θέτοντας τις εξισώσεις (4.7) ως (4.3) στις (4.5) και (4.6) και λύνοντας ως προς το συντελεστή ανάκλασης βρίσκουµε r p Er = cosθ = E cosθ i Z Z cosθ Z cosθ + Z cosθ cosθ cosθ = cosθ cosθ + cosθ (4.33) εφόσον τα δύο µέσα έχουν τις ίδιες παραµέτρους ε και µ. Στη µέχρι τώρα ανάλυση θεωρήσαµε ότι τα δύο µέσα είναι προσαρµοσµένα. Αν επιπλέον έχουν και τις ίδιες αγωγιµότητες σ και σ, δηλαδή χαρακτηρίζονται από τα σύνολα ( σ, σ, σ, σ ) και ( σ, σ, σ, σ ), τότε ο νόµος Sell-Descartes καταλήγει στην x x x x siθ = siθ θ = θ (4.34) και τελικά ο συντελεστής ανάκλασης γίνεται r p = (4.35) Συνεπώς, σε µια επιφάνεια κάθετη στον άξονα x µεταξύ δύο προσαρµοσµένων µέσων που χαρακτηρίζονται από το ίδιο ζεύγος ( σ, σ ), ένα επίπεδο κύµα διαδίδεται χωρίς ανάκλαση για οποιαδήποτε συχνότητα και γωνία πρόσπτωσης. Το συµπέ- 57

58 ρασµα αυτό ισχύει προφανώς και στην περίπτωση που κάποιες από τις αγωγιµότητες είναι µηδενικές. Έτσι παρατηρείται τέλεια ανάκλαση για δύο PML µέσα (,, σ, σ ) και ( σ, σ, σ, σ ), καθώς και για τον κενό χώρο και µέσο PML µε παραµέτρους x x ( σ, σ x x,, ), εφόσον ο κενός χώρος µπορεί να θεωρηθεί επίσης µέσο PML µε αγωγιµότητες (,,,) Ανάλογα παρατηρείται τέλεια διάδοση στην περίπτωση πρόσπτωσης επίπεδου κύµατος σε επιφάνεια κάθετη στον άξονα που παρεµβάλλεται µεταξύ δύο προσαρ- µοσµένων µέσων µε ίδιες παραµέτρους ( σ x, σ x ) Τέλος αξίζει να παρατηρηθεί ότι από την ίδια ανάλυση για µέσα µη προσαρµοσµένα που έχουν ίδιες ( σ, σ ) ή ( σ, σ ) προκύπτει ότι ο συντελεστής ανάκλασης x x εξαρτάται από τη συχνότητα, αλλά είναι ανεξάρτητος της γωνίας πρόσπτωσης Η τεχνική του τέλεια προσαρµοσµένου στρώµατος στη µέθοδο FD-TD Ο υπολογιστικός χώρος που χρησιµοποιεί η τεχνική PML είναι ο εξής: PML( σ, σ, σ, σ ) x x PML(,, σ, σ ) Β PML( σ, σ, σ, σ ) x x Γ Κενός χώρος B Β PML( σ, σ,,) x x διέγερση PML( σ, σ,, ) x Τέλειος αγωγός x A PML( σ, σ, σ, σ ) x x PML( σ, σ, σ, σ ) PML(,, σ, σ ) x x Ï êåíüò þñïò ðåñéâüëëåôáé áðü Ýíá óõíäõáóìü óôñùìüôùí PML ìå ðáñáìýôñïõò êáôüëëçëá åðéëåãìýíåò, þóôå íá ìçäåíßæïíôáé ïé áíáêëüóåéò óôéò äéá ùñéóôéêýò åðéöüíåéåò. Ç äéýãåñóç ôßèåôáé óôïí êåíü þñï, üðïõ êáé åöáñìüæïíôáé ïé åîéóþóåéò ôçò ìåèüäïõ FD-TD. Ï þñïò ôåñìáôßæåé óå ìéá ôýëåéá áãþãéìç åðéöüíåéá. Ìðïñïýìå íá åðéâåâáéþóïõìå ôçí ôýëåéá äéüäïóç ìå âüóç ôá óõìðåñüóìáôá ôçò ðñïçãïýìåíçò ðáñáãñüöïõ. ¼ðùò âëýðïõìå, ôá óôñþìáôá áñéóôåñü êáé äåîéü ôïõ êåíïý þñïõ Ý ïõí ðáñáìýôñïõò ( σ x, σ x,, ) êáé ( σ x, σ x,, ). ôóé óôéò åðéöüíåéåò ôéò êüèåôåò óôïí Üîïíá x ìåôáîý ôùí ìýóùí áõôþí êáé ôïõ êåíïý þñïõ, äçëáäþ óôéò Á êáé ÃÄ, ï óõíôåëåóôþò áíüêëáóçò åßíáé èåùñçôéêü ìçäåíéêüò.ìå 58

59 ôïí ßäéï áêñéâþò óõëëïãéóìü ðñïêýðôåé üôé êáé óôéò åðéöüíåéåò ÂÃ êáé ÁÄ óõìâáßíåé ôýëåéá äéüäïóç. Óôéò ôýóóåñéò ãùíßåò ôá õëéêü PML Ý ïõí áãùãéìüôçôåò ßóåò ìå áõôýò ôùí ãåéôïíéêþí ôïõò óôñùìüôùí. ôóé áðïêëåßïíôáé êáé ïé áíáêëüóåéò óôá üñéá ìåôáîý ôùí êïñõöþí êáé ôùí ðëá íþí ôìçìüôùí, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá óôéò åðéöüíåéåò ÂÂ êáé ÂÂ. Ðáñüëï ðïõ óôéò äéá ùñéóôéêýò åðéöüíåéåò ç äéüäïóç åßíáé ôýëåéá, ôï êýìá áíáêëüôáé óôçí áãþãéìç åðéöüíåéá ðïõ ôåñìáôßæåé ôï þñï. ÌÝóá óôï PML óôñþìá ç åîáóèýíéóç êáèïñßæåôáé áðü ôá äýï ôåëåõôáßá åêèåôéêü ôçò ó Ýóçò (4.) j ψ ψ ω ϕ + ϕ -( σ ϕ ε -( σ ϕ ε x = e e e ( t ( xcos si )/ c) cos / c) x si / c) Óôá ðëá íü óôñþìáôá ôï Ýíá áðü ôá äýï åêèåôéêü éóïýôáé ìå ôç ìïíüäá. ôóé óå ìéá áðüóôáóç ñ áðü ïðïéáäþðïôå åðéöüíåéá ôï êýìá åîáóèåíåß óýìöùíá ìå ôç ó Ýóç ψ ( ρ) = ψ ( ) e ( σcosθ / ε c) ρ (4.36) όπου θ είναι η γωνία πρόσπτωσης και σ είναι η σ x για στρώµα κάθετο στον άξονα x ή η σ για στρώµα κάθετο στον άξονα. Tο κύµα περνάει µέσα από το στρώµα, ανακλάται στον αγωγό και αφού το διασχίσει δεύτερη φορά επανέρχεται στον κενό χώρο. Έτσι, αν το πάχος του στρώµατος είναι δ, ο συντελεστής ανάκλασης ορίζεται ως (4.37) Παρατηρούµε ότι αν το προσπίπτον κύµα διαδίδεται κοντά στην επιφάνεια, δηλαδή θ π /, ο συντελεστής ανάκλασης πλησιάζει τη µονάδα ανεξάρτητα από την τιµή της σ. Αριθµητικά αποτελέσµατα έδειξαν ότι αυτό το σηµείο δεν αποτελεί πρόβληµα, κάτι που άλλωστε ήταν αναµενόµενο, καθώς το κύµα που διαδίδεται σχεδόν παράλληλα προς µια επιφάνεια θα διαδίδεται σχεδόν κάθετα προς την κάθετή της επιφάνεια και θα απορροφηθεί απ αυτήν. Επιπλέον, βλέπουµε ότι η ο συντελεστής ανάκλασης είναι συνάρτηση του γινο- µένου σδ. Συνεπώς το πάχος του στρώµατος θα µπορούσε να µειωθεί θεωρητικά µέχρι το ένα κελί. Όµως η απότοµη µεταβολή της αγωγιµότητας από το µηδέν µέχρι την τελική τιµή της δηµιουργεί αριθµητικές ανακλάσεις. Έτσι στην πράξη το στρώµα καταλαµβάνει µεγαλύτερο αριθµό κελιών και η αγωγιµότητά του κυµαίνεται από µηδέν στη διαχωριστική επιφάνεια µέχρι σ m. Αν σ(ρ) είναι η συνάρτηση που περιγράφει αυτή την µεταβολή, ο συντελεστής ανάκλασης είναι R( θ ) [ R( )] cos θ = (4.38) όπου R( ) = c) ( ) e -(/ δ ε σ ρ d ρ (4.39) ύο συνηθισµένες µορφές µεταβολής της αγωγιµότητας είναι η γραµµική και η παραβολική. ηλαδή, 59

60 ρ σ ( ρ) = σ m ( =,) (4.4) δ οπότε και ο αντίστοιχος συντελεστής ανάκλασης κάθετης πρόσπτωσης είναι R( ) ( /( ))( m / c) = e + σ δ ε (4.4) Τα PML στρώµατα καθορίζονται στις εφαρµογές από τον αριθµό των κελιών N που καταλαµβάνουν, από τον συντελεστή R() και από τον τρόπο µεταβολής της αγωγι- µότητας, δηλαδή την παράµετρο. Θα δούµε στη συνέχεια, µε τη βοήθεια του σχήµατος, πώς εφαρµόζονται τα παραπάνω σε εξοµοιώσεις στον υπολογιστή Áñ éêü èá ðñýðåé íá ïñéóôåß ðëþñùò ï þñïò ôïõ ðñïâëþìáôïò, äçëáäþ ïé áãùãéìüôçôåò ôùí óôñùìüôùí. ÓõíÞèùò ç ôéìþ ôçò áãùãéìüôçôáò óå êüðïéá èýóç ôïõ ðëýãìáôïò ïñßæåôáé óáí ç ìýóç ôéìþ ôçò óôï êåëß ãýñù áð áõôþ ôç èýóç, äçáëáäþ ρ( L) + x/ σ( L) = σ ( u) u x d (4.4) ρ( L) x / Θέτοντας τη συνάρτηση σ(ρ) στην παραπάνω σχέση προκύπτουν για γραµµικές και παραβολικές µεταβολές τα εξής : σm σ( ) = ( + ) N εcl[ R( )] = xn σ ( L > ) = σ ( )[( L + ) + ( L ) + ] (4.43) (4.44) 6

61 Η εφαρµογή της FD-TD δεν παρουσιάζει κάποια ιδιαίτερη δυσκολία. Θα δούµε για παράδειγµα το επάνω δεξί µέρος του υπολογιστικού χώρου, όπως φαίνεται και στο προηγούµενο σχήµα. Στα PML µέσα οι εξισώσεις που πρέπει να διακριτοποιηθούν είναι οι (4.5) ως (4.8). Οι εξισώσεις αυτές θα µπορούσαν να χρησιµοποιηθούν και για τον κενό χώρο, αφού όπως προαναφέρθηκε αυτός αποτελεί υποπερίπτωση του PML µέσου που περιγράφουν. Τότε όµως θα υπολογίζαµε στον κενό χώρο δύο µεταβλητές µαγνητικού πεδίου αντί µιας και θα ανεβάζαµε τις απαιτήσεις του υπολογιστικού µας συστήµατος. Έτσι, στον κενό χώρο, δηλαδή για i<ki και j<kj, ισχύουν οι γνωστές εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών. Στο PML µέσο υπολογίζονται σε κάθε θέση οι δύο συνιστώσες της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης και οι δύο υποσυνιστώσες της µαγνητικής έντασης. Για τη διακριτοποίησή τους χρησιµοποιείται µια άλλη τεχνική που είναι πιο κατάλληλη για µέσα µε απώλειες από τη διακριτοποίηση του Yee. Οι τελικές εξισώσεις ορισµού των πεδιακών µεγεθών είναι x i t + x i t E i j + = E i j + σ σ ( ) / ε e (, / ) e (, / ) σ ( i) x + / + / [ H ( i + /, j + / ) + H ( i + /, j + / ) zx + / + / H ( i /, j + / ) H ( i /, j + / ) zx z z x ( ) / ε (4.45) + / σ x ( i + / ) t / µ / H ( i + /, j + / ) = e H ( i + /, j + / ) zx x i + t ( / ) / e σ ( i + / ) x x σ µ zx (4.46) [ E ( i +, j + / ) E ( i, j + / )] οι οποίες ισχύουν για την H zx σε όλα τα σηµεία του στρώµατος, ενώ για την E στα σηµεία εκτός του ορίου i = ki, καθώς στον κενό χώρο αριστερά της δεν ορίζονται οι υποσυνιστώσες της µαγνητικής πεδιακής έντασης που αποτελούν τους δύο τελευταίους όρους στην εξίσωση (4.45). Έτσι η εξίσωση αυτή αντικαθίσταται στο όριο από την x il t + x il t E il j + = E il j + σ σ ( ) / ε e (, / ) e (, / ) σ ( il) x + / + / [ H ( il + /, j + / ) + H ( il + /, j + / ) zx + / H ( il /, j + / )] z z x ( ) / ε (4.47) x Άλλωστε στον κενό χώρο ισχύει σ = σ και οι δύο συνιστώσες H zx και H z συγχωνεύονται. Οι εξισώσεις ορισµού για τις άλλες δύο πεδιακές συνιστώσες, δηλαδή την E x και την H z, µπορούν να εξαχθούν εύκολα παρατηρώντας το σύστηµα των διαφορικών εξισώσεων (4.5) ως (4.8) και τις εξισώσεις ορισµού (4.45) και (4.46). 4.4 Εφαρµογές 6

62 Στην εφαρµογή αυτή θα εξεταστεί η ικανότητα τη τεχνική PML να προσο- µοιώνει τον κενό χώρο. Στο πρόβληµα ο κενό χώρο καταλαµβάνει 5 5 κελιά. Το PML στρώµα έχει πάχο τέσσερα κελιά, δηλαδή Ν=4. Οι υπόλοιπε παράµετροι τη PML είναι = και R() = -5. Ïé äéáóôüóåéò ôïõ êåëéïý åßíáé dx =. m êáé d =. m. Ôï ñïíéêü âþìá éóïýôáé ìå dt = dx/(5c) = s. Ç äéýãåñóç ôßèåôáé óôï êýíôñï ôïõ êåíïý þñïõ êáé åßíáé Ýíáò ðáëìüò Gauss äéüñêåéáò 4 - s. Áðåéêïíßæåôáé óôï ó Þìá. Óôá õðüëïéðá ó Þìáôá öáßíåôáé ç ðñüóðôùóç ôïõ ðáëìïý óôï üñéï êáé ç óôáäéáêþ ôïõ áðïññüöçóç. Σχήµα sizet =6 6

63 Σχήµα sizet = 9 Σχήµα 3 sizet = 63

64 Σχήµα 4 sizet = 5 Σχήµα 5 sizet = 7 64

65 Σχήµα 6 sizet = ΑΝΑΦΟΡΕΣ [] Κ. S. Yee, Numerical solutio of iitial boudar value problems ivolvig Maxwell s equatios i isotropic media IEEE Trasactios o Ateas ad Propagatio, vol. 4, 3-37, Ma 966 [] K. S. Kuz ad R. J. Luebbers, The Fiite Differece Time Domai Method for Electromagetics, CRC Press, Boca Rato, FL, 993. [3] A. Taflove, Copmutatioal Electrodamics: The Fiite-Differece Time-Domai Method, Artech House, Bosto, MA, 995. [4] A. Taflove ad M. E. Brodwi, Computatio of the electromagetic fields ad iduced temperatures withi a model of the microwave irradiated huma ee, IEEE Tras. Microwave Theor Tech., MTT-3, vol., pp , Nov [5] R. M. Joseph, Time-Domai Computatioal Modelig of Noliear Optical Pheomea, PhD Thesis, Northwester Uiversit, 993. [6] J.-P. Bereger, A perfectl matched laer for the absorptio of electromagetic waves, Joural of Computatioal Phsics, vol. 4, 85-, Oct [7] J.-P. Bereger, Perfectl matched laer for the FDTD solutio of wave-structure iteractio problems, IEEE Trasactios o Ateas ad Propagatio, vol. 44, o., Ja