ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΚΕΑΣΗΣ ΣΕ ΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΟ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΕΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΙΩΑΝΝΗΣ Μ. ΛΕΟΝΤΙΑΗΣ Α.Ε.Μ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ : ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΘΕΟΩΡΟΣ. ΤΣΙΜΠΟΥΚΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00

2 ΣΥΝΟΨΗ Χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου αναλύσαµε διάφορες µικροταινιακές διατάξεις. Συγκεκριµένα τα κυκλώµατα που προσοµοιώθηκαν είναι: το χαµηλοπερατό φίλτρο (low pass fler) σε επίπεδο και καµπύλο υπόστρωµα το ζωνοπερατό φίλτρο (bad pass fler) σε επίπεδο υπόστρωµα η ορθογωνική κεραία µικροταινίας (pach aea) σε επίπεδο και καµπύλο υπόστρωµα και ο κατευθυντικός ζεύκτης µικροταινιακών γραµµών (brach le coupler) σε επίπεδο υπόστρωµα. Από την προσοµοίωση των παραπάνω κυκλωµάτων πήραµε την µεταβατική απόκρισή τους στο πεδίο του χρόνου όταν αυτά διεγείρονται από έναν παλµό Gauss. Εφαρµόζοντας το µετασχηµατισµό Fourer στα αποτελέσµατα υπολογίστηκαν οι παράµετροι σκέδασης των διατάξεων. Τα κυκλώµατα αυτά έχουν κατασκευαστεί και η συµπεριφορά τους στην περιοχή συχνοτήτων που µας ενδιαφέρει είναι γνωστή από εργαστηριακές µετρήσεις. Η σύγκριση των υπολογισµών µε τα δεδοµένα των µετρήσεων έδειξαν ότι η ακρίβεια του αλγορίθµου είναι εξαιρετική.

3 αφιερώνεται σ αυτούς που αναζητούν κάτι περισσότερο από το απολύτως πρακτικό έτσι για το καλό της ψυχής τους Η εργασία αυτή πραγµατοποιήθηκε στον Τηλεπικοινωνιακό Τοµέα του Τµήµατος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης υπό την επίβλεψη του καθηγητή κ. Θ. Τσιµπούκη στον οποίο θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες µου για τη βοήθειά του και ιδιαίτερα για την κατανόηση που έδειξε όσον αφορά τον περιορισµένο χρόνο που είχα στη διάθεσή µου. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω τον υποψήφιο διδάκτορα Θ. Κοσµάνη καθώς και τον διδάκτορα Τ. Γιούλτση για την αµέριστη βοήθειά τους τις συµβουλές τους καθώς και τη συµπαράστασή τους καθόλη τη διάρκεια εκπόνησης της εργασίας. Ιδιαίτερες ευχαριστίες οφείλω στον κ. Κ. Μερτζανίδη καθηγητή του Τµήµατος Ηλεκτρολογίας του Τεχνολογικού Εκπαιδευτικού Ιδρύµατος Καβάλας τόσο για την ενθάρρυνση και την πολύτιµη πατρική σχεδόν στήριξή του καθόλη την διάρκεια των σπουδών µου όσο και για την ουσιώδη συµβολή του στην ολοκλήρωση της πανεπιστηµιακής µου θητείας. Τέλος ευχαριστώ εκ βαθέων και τους γονείς µου για την υποµονή και την στήριξή τους (µε τον δικό τους πάντα τρόπο) όλα αυτά τα χρόνια. Θεσσαλονίκη Φεβρουάριος 00 Ιωάννης Λεοντιάδης

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή Ο Αλγόριθµος του Yee. Εισαγωγή στις Εξισώσεις Πεπερασµένων ιαφορών.. Γενικά.. Θεµελιώδεις Αρχές του Αλγορίθµου..3 Πεπερασµένες ιαφορές και Συµβολισµός..4 Εφαρµογή των Πεπερασµένων ιαφορών στις Εξισώσεις του Mawell. Αριθµητική Ευστάθεια.3 Αριθµητική ιασπορά.4 Εισαγωγή Παλµού ιέγερσης Οριακές Συνθήκες Απορρόφησης (ABSORBING B OUNDARY C ONDITIONS ABCS) 3. Εισαγωγή 3. Θεωρητική Βάση των ABCs 3.3 Οριακές Συνθήκες Απορρόφησης των Τέλεια Προσαρµοσµένων Στρωµάτων (PRFCTLY M ATCD L AYRS PML) του Bereger 3.3. Εισαγωγή 3.3. Ορισµός του PML Εφαρµογή του PML στις Εξισώσεις Πεπερασµένων ιαφορών

5 v ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Αριθµητικές Τεχνικές Προσοµοίωσης Μικροταινιακών ιατάξεων 4. Εισαγωγή 4. Μικροταινία 4.3 Πίνακας Σκέδασης 4.4 Τεχνικές Μοντελοποίησης Μικροταινιακών ιατάξεων 4.4. Εξισώσεις Πεπερασµένων ιαφορών 4.4. ιακριτοποίηση Οριακές Συνθήκες Απορρόφησης ιέγερση Μοντελοποίηση Ταινίας Μοντελοποίηση του Υποστρώµατος Υπολογισµός των s-παραµέτρων Εφαρµογές 5. ιατάξεις σε Επίπεδο Υπόστρωµα 5.. Χαµηλοπερατό Φίλτρο (LOW PASS F ILTR) 5.. Κατευθυντικός Ζεύκτης Μικροταινιών (BRANC L IN C OUPLR) 5..3 Ορθογωνική Κεραία Μικροταινίας (PATC ANTNNA) 5..4 Ζωνοπερατό Φίλτρο (BAND PASS FILTR) 5. ιατάξεις σε Καµπύλο Υπόστρωµα 5.. Χαµηλοπερατό Φίλτρο (LOW PASS F ILTR) 5.. Ορθογωνική Κεραία Μικροταινίας (PATC ANTNNA) 5.3 Συµπεράσµατα Βιβλιογραφία

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το ενδιαφέρον για τις µικροταινιακές διατάξεις προέρχεται από µια ποικιλία αφορµών. Η πιο σηµαντική απ αυτές είναι η ανάγκη για την εκµετάλλευση όλο και µεγαλύτερου φάσµατος ραδιοσυχνοτήτων καθώς και από άλλες πρακτικές εφαρµογές που συνεπάγονται τη χρήση των µικροκυµατικών συχνοτήτων. Η περιοχή των µικροκυµάτων εκτείνεται από τα έως τα 00G και περιέχει χιλιάδες τµήµατα παρόµοια µε το φάσµα συχνοτήτων από 0 έως G. Συνεπώς από την άποψη της αύξησης του διαθέσιµου φάσµατος συχνοτήτων είναι εύκολο να εκτιµηθεί η ανάγκη για τη δηµιουργία και την εκµετάλλευση µικροκυµατικών περιοχών. Στις χαµηλές συχνότητες τα δοµικά στοιχεία που συνθέτουν ένα κύκλωµα είναι οι αντιστάσεις οι πυκνωτές τα πηνία και τα τρανζίστορ. Στα κυκλώµατα αυτά το µήκος κύµατος των συχνοτήτων είναι µεγαλύτερο από τη µεγαλύτερη διάσταση του κυκλώµατος. Συνεπώς δεν υπάρχουν φαινόµενα ακτινοβολίας και η περιγραφή τους µε αναλυτικό τρόπο γίνεται χρησιµοποιώντας µεγέθη όπως: ρεύµατα βρόχων και τάσεις κόµβων. Οσο αυξάνει η συχνότητα το µήκος κύµατος των σηµάτων γίνεται συγκρίσιµο µε τις διαστάσεις των κυκλωµάτων. Αυτό συνεπάγεται την εµφάνιση καινούργιων φαινοµένων. Για παράδειγµα η αντίσταση των ακροδεκτών σύνδεσης αυξάνεται σηµαντικά εµφανίζεται το φαινόµενο της κατανεµηµένης χωρητικότητας και επαγωγής ενώ το πιο σηµαντικό φαινόµενο είναι αυτό της ακτινοβολίας σε µη-θωρακισµένα κυκλώµατα από τη δηµιουργία βρόχων ρευµάτων µε µήκος κύµατος συγκρινόµενο µε αυτό των κυκλωµάτων. Η λύση σ αυτό το πρόβληµα είναι η δηµιουργία αντίστοιχων παθητικών και ενεργών στοιχείων που να συµπεριφέρονται κατάλληλα στις συχνότητες των µικροκυµάτων. Οι αντιστάσεις οι πυκνωτές και τα πηνία είναι στοιχεία που καταναλώνουν ηλεκτρική ενέργεια αποθηκεύουν ηλεκτρική ενέργεια και αποθηκεύουν µαγνητική ενέργεια αντίστοιχα. Το γεγονός ότι αυτά τα στοιχεία έχουν τη µορφή που έχουµε συνηθίσει στην πράξη (για παράδειγµα περιελισσόµενο σύρµα για ένα πηνίο) είναι καθαρά συµπτωµατικό και εξαρτάται από τη λειτουργία που εκτελούν. Η κατασκευή των πρακτικών στοιχείων είναι ένας συµβατικός τρόπος για τη δηµιουργία διατάξεων που να παρουσιάζουν τις κατάλληλες ηλεκτρικές ιδιότητες και συνεπώς να συµπεριφέρονται µε τον επιθυµητό τρόπο. Ενα πηνίο µπορεί να συµπεριφέρεται άψογα στη συχνότητα του M ενώ στη συχνότητα των 50M να συµπεριφέρεται ως ένας τέλειος πυκνωτής. Οµως το ότι τα πρακτικά δοµικά στοιχεία των κυκλωµάτων χαµηλής συχνότητας δεν συµπεριφέρονται µε τον επιθυµητό τρόπο στις συχνότητες των µικροκυµάτων δεν σηµαίνει ότι είναι αδύνατη η κατασκευή αντίστοιχων στοιχείων κατανάλωσης και αποθήκευσης ενέργειας στις µικροκυµατικές συχνότητες. Σε αντίθεση υπάρχουν πολλές ισοδύναµες χωρητικές και επαγωγικές διατάξεις που χρησιµοποιούνται στις µικροκυµατικές συχνότητες. Μπορεί η γεωµετρική µορφή τους να διαφέρει αλλά χρησιµοποιούνται για τους ίδιους σκοπούς. Ωστόσο η πιο σηµαντική ηλεκτρική διαφορά τους είναι η περίπλοκη εξάρτηση των στοιχείων αυτών µε τη συχνότητα.

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η πιο σηµαντική προδιαγραφή των µικροκυµατικών κυκλωµάτων είναι η µεταφορά ενός σήµατος από ένα σηµείο σε ένα άλλο χωρίς απώλειες ακτινοβολίας. Αυτό απαιτεί τη µεταφορά της ηλεκτροµαγνητικής ενέργειας σε µορφή διαδιδόµενου κύµατος. Εχει κατασκευαστεί µια ποικιλία τέτοιων διατάξεων που µπορούν να οδηγούν ηλεκτροµαγνητικά κύµατα από ένα σηµείο σε ένα άλλο χωρίς απώλειες ακτινοβολίας. Η πιο απλή δοµή οδήγησης είναι η γραµµή µεταφοράς. Η επανάσταση στην κατασκευή ενεργών διατάξεων στερεάς κατάστασης όπως τα διπολικά τρανζίστορ και τα FTs επηρέασε σηµαντικά το ενδιαφέρον των ερευνητών. Με τη διάθεση µικροκυµατικών τρανζίστορ το ενδιαφέρον για την ανάπτυξη γραµµών µεταφοράς προσανατολίστηκε στη µελέτη µικροταινιακών διατάξεων. Τα κυκλώµατα αυτά µπορούν να κατασκευαστούν χρησιµοποιώντας τις γνωστές τεχνικές τυπωµένου κυκλώµατος. Είναι συµβατά µε τις διατάξεις στερεάς κατάστασης δηλαδή είναι εύκολο να συνδεθεί ένα τρανζίστορ µε µια µικροταινία αλλά είναι δύσκολο να ενσωµατωθεί στο κύκλωµα κυµατοδήγησης. Χρησιµοποιώντας κατάλληλα υλικά είναι δυνατή η σχεδίαση τρανζίστορ που να παρέχουν χαµηλή στάθµη θορύβου και ικανοποιητική ενίσχυση σε µιλιµετρικά µήκη κύµατος. Στις χαµηλότερες µικροκυµατικές συχνότητες χρησιµοποιούνται υβριδικά ολοκληρωµένα κυκλώµατα µικροκυµάτων. Στα υβριδικά κυκλώµατα γίνεται πρώτα η κατασκευή των γραµµών µεταφοράς καθώς και άλλων στοιχείων όπως διατάξεις προσαρµογής ενώ στη συνέχεια ακολουθεί η ενσωµάτωση των στοιχείων στερεάς κατάστασης όπως δίοδοι τρανζίστορ στις κατάλληλες θέσεις. Η σύγχρονη τάση θέλει την κατασκευή µονολιθικών ολοκληρωµένων µικροκυµατικών κυκλωµάτων (MMIC) τέτοιων ώστε οι γραµµές µεταφοράς και τα ενεργά στοιχεία να ενσωµατώνονται όλα σε ένα απλό τσιπ. Ηδη έχει σχεδιαστεί µια ποικιλία ενισχυτών MMIC που λειτουργούν σε συχνότητες µέχρι και 00G. Τα δοµικά στοιχεία των MMICs είναι διάφορα µικροταινιακά κυκλώµατα όπως γραµµές µεταφοράς φίλτρα και κεραίες. Οι σχεδιαστές ολοκληρωµένων µικροταινιακών κυκλωµάτων θα πρέπει να γνωρίζουν τη συµπεριφορά των διατάξεων αυτών στην περιοχή συχνοτήτων που τους ενδιαφέρει. Η µοντελοποίηση παρόµοιων διατάξεων αναλυτικά δεν είναι δυνατή λόγω της πολυπλοκότητας του αναπτυσσόµενου ηλεκτροµαγνητικού πεδίου που προκύπτει από την τρισδιάστατη µορφή τους. Συγκεκριµένα η αναλυτική µέθοδος προσδιορισµού της συµπεριφοράς των διατάξεων αυτών θεωρεί ότι το υπόστρωµα είναι αρκετά λεπτό ώστε η διάδοση στο εσωτερικό του να γίνεται στις δύο διαστάσεις. Ο περιορισµός σ αυτές τις µεθόδους είναι ότι τα επιφανειακά κύµατα που αναπτύσσονται κοντά στις ακµές των αγώγιµων ταινιών καθώς και τα φαινόµενα ακτινοβολίας δεν µπορούν να συµπεριληφθούν στο αναλυτικό µοντέλο αφού αυτό είναι κλειστό. Από τα παραπάνω είναι φανερό πως η ακρίβεια του µοντέλου αυτού γίνεται προβληµατική όταν το πάχος του υποστρώµατος είναι συγκρίσιµο ή και µεγαλύτερο από το πλάτος της αγώγιµης ταινίας. Μια βελτίωση της παραπάνω τεχνικής είναι η χρήση µεθόδων πλήρους κύµατος στο πεδίο της συχνότητας. Ωστόσο η εφαρµογή αυτών των µεθόδων είναι εξαιρετικά δύσκολη ακόµη και στην απλή περίπτωση µιας απλής µικροταινιακής γραµµής µεταφοράς. Για το λόγο αυτό χρησιµοποιούνται αριθµητικές µέθοδοι προσοµοίωσης για την περιγραφή του τρισδιάστατου ηλεκτροµαγνητικού πεδίου. Γνωρίζοντας το πεδίο που αναπτύσσεται από την κάθε διάταξη µπορούµε να προσδιορίσουµε τα χαρακτηριστικά της και συνεπώς µε την κατάλληλη διασύνδεση παρόµοιων διατάξεων µπορούµε να προχωρήσουµε στο σχεδιασµό ολοκληρωµένων µικροταινιακών κυκλωµάτων.

8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 3 Μια τέτοια αριθµητική µέθοδος είναι ο αλγόριθµος που πρότεινε ο Yee το 966. Ο αλγόριθµος αυτός χρησιµοποιεί τις δύο εξισώσεις στροφής του Mawell σε µορφή πεπερασµένων διαφορών στο χώρο και στο χρόνο. Οι συνιστώσες του πεδίου τοποθετούνται στο χώρο µε τέτοιο τρόπο ώστε κάθε συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου να περιβάλλεται από τέσσερις συνιστώσες του µαγνητικού πεδίου και αντιστρόφως. Με τον τρόπο αυτό έχουµε µια παραστατική εικόνα του πραγµατικού πεδίου. Οι συνιστώσες του πεδίου τοποθετούνται στο χρόνο χρησιµοποιώντας την τεχνική leapfrog. Η τεχνική αυτή ταιριάζει µε τις µοντέρνες αρχιτεκτονικές υπολογιστών αφού στη µνήµη αποθηκεύεται µονάχα η τρισδιάστατη κατανοµή του πεδίου µιας χρονικής στιγµής ενώ ο χειρισµός αυτών των δεδοµένων πραγµατοποιείται σε λογικό χρόνο. Για µια µεγάλη χρονική περίοδο ο αλγόριθµος αυτός χρησιµοποιήθηκε για την ποιοτική επίδειξη του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου στην περιοχή του χρόνου. Με την εισαγωγή των οριακών συνθηκών απορρόφησης για τον περιορισµό των αριθµητικών υπολογισµών µιας ανοικτής διάταξης η FDTD έγινε ένα ισχυρό εργαλείο για την ανάλυση και το σχεδιασµό µικροταινιακών διατάξεων αφού µε την εφαρµογή του µετασχηµατισµού Fourer στα αποτελέσµατα που παίρνουµε από την FDTD έχουµε την περιγραφή του κυκλώµατος στο πεδίο της συχνότητας. Η µέθοδος FDTD δίνει πολλές υποσχέσεις για τη σχεδίαση µικροταινιακών κυκλωµάτων. Είναι εξαιρετικά αποτελεσµατική η υλοποίησή της είναι άµεση και προέρχεται από τις εξισώσεις του Mawell. Με την τεχνική αυτή µπορούν να αντιµετωπιστούν προβλήµατα µε αυθαίρετες ανοµοιογένειες σε ανισότροπα µέσα και σε υλικά µε µη-γραµµικές ιδιότητες. Επιπλέον χρησιµοποιώντας ως διέγερση έναν παλµό ευρείας ζώνης στο πεδίο του χρόνου και εφαρµόζοντας το µετασχηµατισµό Fourer στα αποτελέσµατα παίρνουµε την περιγραφή του κυκλώµατος σε όλη την περιοχή συχνοτήτων που µας ενδιαφέρει.

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ Y Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται µια στοιχειώδης εισαγωγή στη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου. Αρχικά γίνεται µια σύντοµη περιγραφή της µεθόδου ενώ στη συνέχεια αναφέρονται κάποιοι εγγενείς περιορισµοί της οι οποίοι αφορούν την εκλογή του µεγέθους του βήµατος στο χώρο και στο χρόνο. Τέλος παρουσιάζεται ο τρόπος µε τον οποίο µοντελοποιούµε την πηγή τάσης που διεγείρει τη διάταξη.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟ ΤΟΥ Y.. ΓΕΝΙΚΑ Θεωρούµε µια γραµµική ισότροπη περιοχή του κενού χώρου. Οι εξισώσεις στροφής του Mawell στο σύστηµα MKSA είναι οι: r r r µ σ µ = (.α) r r r ε σ ε = (.β) Αναλύοντας τον τελεστή στροφής σε Καρτεσιανό σύστηµα ορθοκανονικών συντεταγµένων οι δύο εξισώσεις στροφής αναλύονται σε ένα σύστηµα έξι βαθµωτών εξισώσεων: σ ε = (.α) σ ε = (.β) σ ε = (.γ) σ µ = (3.α) σ µ = (3.β) σ µ = (3.γ)

10 Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ Y 5.. ΘΕΜΕΛΙΩΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Αυτό το σύστηµα των έξι διαφορικών εξισώσεων αποτελεί τη βάση της αριθµητικής µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών που πρωτοπαρουσιάστηκε από τον Yee. Το 966 ο Yee προσπάθησε να κατανοήσει τα προβλήµατα που παρουσίαζαν οι µέχρι τότε αριθµητικές µέθοδοι ανάλυσης του ηλεκτροµαγνητικού προβλήµατος και διατύπωσε ένα σύνολο συστάσεων σχετικά µε το πώς θα έπρεπε να γίνει µια τέτοια προσέγγιση. Οι θεµελιώδεις αρχές του αλγορίθµου είναι οι:. Οι εξισώσεις που θα χρησιµοποιούνται θα είναι οι δύο εξισώσεις στροφής του Mawell οι οποίες συνδυάζουν το ηλεκτρικό µε το µαγνητικό πεδίο στο χώρο και στο χρόνο. Με αυτό τον τρόπο επιτυγχάνουµε ενιαία µελέτη του ηλεκτροµαγνητικού φαινοµένου και συνεπώς τα αριθµητικά αποτελέσµατα θα είναι πιο σταθερά και πιο ακριβή για ένα ευρύτερο σύνολο διατάξεων. Επίσης ιδιαίτερα χαρακτηριστικά για κάθε πεδίο όπως οι εφαπτοµενικές ασυνέχειες του µαγνητικού πεδίου κοντά σε ακµές και γωνίες και οι ακτινικές ασυνέχειες του ηλεκτρικού πεδίου κοντά σε µεµονωµένα σηµεία και ακµές θα µπορούν να µοντελοποιηθούν ξεχωριστά για κάθε πεδίο.. Οι συνιστώσες του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου θα τοποθετούνται στον τρισδιάστατο χώρο µε τέτοιο τρόπο ώστε κάθε συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου να περιβάλλεται από τέσσερις X ê ü ì âï ò ( ) Z Y Y X συνιστώσες του µαγνητικού Z Z πεδίου και κάθε συνιστώσα του X µαγνητικού πεδίου να περιβάλλεται από τέσσερις συνιστώσες του ηλεκτρικού Z Y X Z Y πεδίου (σχήµα.). Αυτό αποτελεί µια απλή και παραστατική εικόνα του πραγµατικού πεδίου ενώ παράλληλα επαληθεύονται οι νόµοι του Ampere και του X Y Z Y X Farada. Εάν θεωρήσουµε ένα βρόχο που αποτελείται από τέσσερις συνεπίπεδες και γειτονικές συνιστώσες του Σχήµα.: Η θέση των συνιστωσών του πεδίου στο πλέγµα ηλεκτρικού πεδίου η µαγνητική του Yee. ροή αυτού του βρόχου θα είναι η συνιστώσα του µαγνητικού πεδίου που θα βρίσκεται στο κέντρο του. Η θέση η διεύθυνση και η φορά αυτής της συνιστώσας στο πλέγµα επαληθεύουν το νόµο του Farada. Συνεπώς ο αλγόριθµος που προτείνει ο Yee επαληθεύει ταυτόχρονα τη διαφορική καθώς

11 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ και την ολοκληρωτική (ή µακροσκοπική) µορφή των εξισώσεων Mawell. Μ αυτήν τη διάταξη των συνιστωσών του πεδίου διευκολύνεται ο προσδιορισµός των οριακών συνθηκών και των ασυνεχειών. Για παράδειγµα στην περίπτωση που η διάταξη που εξετάζουµε αποτελείται από δύο ή περισσότερα υλικά στο επίπεδο που ορίζεται από τα σηµεία επαφής των δύο ανόµοιων υλικών θα πρέπει να εξασφαλιστεί η συνέχεια της εφαπτοµενικής συνιστώσας του ηλεκτρικού καθώς και του µαγνητικού πεδίου. Εάν το επίπεδο αυτό είναι παράλληλο µε έναν από τους άξονες του συστήµατος συντεταγµένων του πλέγµατος η εφαρµογή των οριακών συνθηκών δεν παρουσιάζει ιδιαίτερη δυσκολία. Αρκεί να ορίσουµε στην αρχή του προβλήµατος τη διηλεκτρικότητα και τη διαπερατότητα στις συνιστώσες του πεδίου σε κάθε θέση του πλέγµατος. Η θέση των συνιστωσών του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου στο πλέγµα καθώς και η εφαρµογή των κεντρικών διαφορών στις συνιστώσες του πεδίου στην ουσία επαληθεύουν τους δύο νόµους του Gauss ε 0 ds = 0 B ds = 0. S S Συνεπώς επαληθεύεται η απουσία των ελεύθερων ηλεκτρικών και µαγνητικών φορτίων στον κενό χώρο που µοντελοποιούµε. 3. Για την τοποθέτηση των ηλεκτροµαγνητικών συνιστωσών του πεδίου στο χρόνο θα εφαρµοστεί η τεχνική leapfrog. Η τεχνική leapfrog (ó Þìá.) êåíôñüñåé ôéò óõíéóôþóåò ôïõ çëåêôñéêïý êáé ôïõ ìáãíçôéêïý ðåäßïõ óôï ñüíï. Στον τρισδιάστατο χώρο που εξετάζουµε όλοι οι υπολογισµοί του Þ Þ Σχήµα.: Αναπαράσταση του µοντέλου leapfrog για τη διάδοση ενός µονοδιάστατου κύµατος. Το άδειο κυκλάκι παριστάνει το καινούργιο σηµείο η τιµή του οποίου πρόκειται να υπολογιστεί ενώ τα γεµισµένα κυκλάκια παριστάνουν γνωστά σηµεία οι τιµές των οποίων είχαν υπολογιστεί στο παρελθόν και θα χρησιµοποιηθούν για τον υπολογισµό της τιµής του νέου σηµείου. Η συνεχής γραµµή ενώνει σηµεία που χρησιµοποιούνται για να υπολογιστεί η χωρική παράγωγος ενώ η διακεκοµένη γραµµή ενώνει σηµεία που χρησιµοποιούνται για να υπολογιστεί η χρονική παράγωγος. Παρατηρούµε πως για τον υπολογισµό του νέου σηµείου χρησιµοποιούνται πληροφορίες από δύο προηγούµενες χρονικές στιγµές. Η ακρίβεια του µοντέλου αυτού είναι δεύτερης τάξης και στο χώρο και στο χρόνο.

12 Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ Y 7 ηλεκτρικού πεδίου ολοκληρώνονται και αποθηκεύονται στη µνήµη του υπολογιστή σε µια συγκεκριµένη χρονική στιγµή χρησιµοποιώντας για δεδοµένα τις τιµές του µαγνητικού πεδίου που είχαν υπολογισθεί και αποθηκευθεί στη µνήµη την ακριβώς προηγούµενη χρονική στιγµή. Στη συνέχεια όλοι οι υπολογισµοί του µαγνητικού πεδίου ολοκληρώνονται και αποθηκεύονται στη µνήµη χρησιµοποιώντας τις τιµές του ηλεκτρικού πεδίου που µόλις έχουν υπολογιστεί. Ο κύκλος αυτός των υπολογισµών συνεχίζεται µέχρι να ολοκληρωθεί ο επιθυµητός αριθµός χρονικών βηµάτων...3 ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Για την παράσταση των διανυσµάτων του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου στο χώρο και στο χρόνο θα χρησιµοποιήσουµε το συµβολισµό που προτείνει ο Yee. Εστω f η συνιστώσα κάποιου διανύσµατος. Η τιµή της συνάστησης f στο σηµείο ( ) = ( ) του χώρου τη χρονική στιγµή = θα συµβολίζεται ως: ( ) = f f Θεωρούµε ότι τα και είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένα σε όλη την περιοχή του χώρου και σε όλο το χρονικό διάστηµα που εξετάζουµε και ότι τα και είναι ακέραιοι αριθµοί. Η έκφραση του Yee για την πρώτη χωρική παράγωγο της f ως προς τη χρονική στιγµή είναι η: f = ( ) f f O [( ) ] (4) Η σχέση αυτή προκύπτει απ την επέκταση σε σειρά Talor της συνάρτησης ( ) στο σηµείο τελευταίος όρος O ( ) και από το σηµείο στο σηµείο [ ] f από το σηµείο στη σταθερή χρονική στιγµή. Ο είναι το σφάλµα της προσέγγισης το οποίο προσεγγίζει το µηδέν όσο αυξάνει το τετράγωνο του ( ). Από την παραπάνω έκφραση φαίνεται ότι οι συνιστώσες του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου αλληλοπαρεµβάλλονται µε διαστήµατα ίσα µε. Ετσι η διαφορά δύο γειτονικών συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου που απέχουν µεταξύ τους απόσταση και απόσταση ± από µια συνιστώσα του µαγνητικού πεδίου µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την αριθµητική προσέγγιση της παραγώγου. Η έκφραση του Yee για την πρώτη παράγωγο της f ως προς το χρόνο στο σηµείο χώρου δίνεται ανάλογα από την: του f = ( ) f f O [( ) ] (5)

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8..4 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩN ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWLL Εφαρµόζοντας τις παραπάνω σχέσεις στις εξισώσεις του Mawell παίρνουµε τις αριθµητικές προσεγγίσεις αυτών. Για παράδειγµα η συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου θα δίνεται από την: σ ε = (6) Παρατηρούµε ότι η συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου εµφανίζεται και στα δύο µέλη της παραπάνω σχέσης όµως µε διαφορετικούς χρονικούς δείκτες. Θεωρούµε ότι οι συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου ανανεώνονται κάθε χρονικά βήµατα. Για να υπολογίσουµε την τιµή της συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου που εµφανίζεται στο δεύτερο µέλος της εξίσωσης λόγω της ηλεκτρικής αγωγιµότητας σ τη χρονική στιγµή χρησιµοποιούµε το ηµιάθροισµα (γραµµική παρεµβολή) της στις χρονικές στιγµές και : = (7) οπότε η παραπάνω σχέση (6) µετατρέπεται στην: ε σ ε ε σ ε σ = (8) Αυτή η έκφραση για θετικές τιµές του σ είναι αριθµητικά ευσταθής. Κατ ανάλογο τρόπο µπορούµε να µετατρέψουµε τις σχέσεις των άλλων δύο συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου σε εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών. Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία µπορούµε να γράψουµε και τις εκφράσεις των συνιστωσών του µαγνητικού πεδίου σε εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών. Για παράδειγµα η σχέση που µας δίνει τη συνιστώσα του µαγνητικού πεδίου στο σηµείο ( ) του χώρου είναι η: µ σ µ µ σ µ σ = (9)

14 Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ Y 9 Ξανακοιτώντας τις σχέσεις (8) και (9) παρατηρούµε πως η νέα τιµή µιας συνιστώσας του πεδίου εξαρτάται µόνον από την προηγούµενη τιµή της συνιστώσας στο συγκεκριµένο σηµείο του χώρου και από τις προηγούµενες τιµές των γειτονικών συνιστωσών του άλλου πεδίου. Για την υλοποίηση του παραπάνω συστήµατος αλγοριθµικά σε µια περιοχή του χώρου όπου οι ιδιότητες του υλικού µεταβάλλονται είναι επιθυµητό να αποθηκεύουµε τους συντελεστές για κάθε συνιστώσα του πεδίου σε κατάλληλες µεταβλητές. Ετσι για το ηλεκτρικό πεδίο θεωρώντας πως = = = προκύπτουν οι µεταβλητές: C ε σ ε σ = α b C ε σ ε = (0) Αντίστοιχα για το µαγνητικό πεδίο µπορούµε να ορίσουµε τις παρακάτω µεταβλητές: D µ σ µ σ = α b D µ σ µ = () Με τη βοήθεια αυτών των µεταβλητών µπορούµε να ξαναγράψουµε τις εκφράσεις των εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών στην πιο απλοποιηµένη µορφή: = α b C C () = α b D D (3)

15 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ Στην προηγούµενη ενότητα καταστρώσαµε τις εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών χωρίς να αναφέρουµαι τις τιµές που µπορούν να πάρουν οι µεταβλητές και. Η εκλογή των τιµών αυτών των µεταβλητών δεν είναι αυθαίρετη αλλά µε κάποιο τρόπο σχετίζονται µεταξύ τους. Υπάρχει ένα όριο που δεν πρέπει να ξεπεραστεί γιατί διαφορετικά θα οδηγηθούµε σε αριθµητική αστάθεια. Η αριθµητική αστάθεια είναι ένα ανεπιθύµητο φαινόµενο συνηθισµένο σε εφαρµογές επίλυσης διαφορικών εξισώσεων µε αριθµητικές µεθόδους. Το αποτέλεσµα είναι η τιµή των αποτελεσµάτων που αντιστοιχούν στον αριθµητικό υπολογισµό της διαφορικής εξίσωσης να αυξάνει ανεξέλεγκτα µε την πάροδο του χρόνου. Για λόγους απλότητας θεωρούµε πως ο χώρος που εξετάζουµε αποτελείται από ένα οµογενές υλικό χωρίς απώλειες. Για την ανάλυση της αριθµητικής ευστάθειας έχει διατυπωθεί µια θεωρία από τους Coura Fredrch Lev και vo Neuma. Σύµφωνα µ αυτήν τη µαθηµατική θεωρία διαχωρίζουµε τον αλγόριθµο των πεπερασµένων διαφορών σε δύο ξεχωριστά προβλήµατα χωρικών και χρονικών ιδιοτιµών οι οποίες εµφανίζονται λόγω της προσέγγισης του Yee για τον αριθµητικό υπολογισµό των χωρικών και των χρονικών διαφορικών. Πιο συγκεκριµένα θεωρούµε ότι στο πλέγµα της FDTD διαδίδονται ρυθµοί Fourer που αντιστοιχούν σε κύµατα που διαδίδονται στο πλέγµα µε τυχαία διεύθυνση. Στη συνέχεια υπολογίζουµε το φάσµα των ιδιοτιµών που αντιστοιχούν στο χωρικό διαφορικό τελεστή ( ). Το πλήρες φάσµα των χωρικών ιδιοτιµών συγκρίνεται µε το φάσµα των χρονικών ιδιοτιµών ( ) µε τον περιορισµό πως δεν θα πρέπει ο ρυθµός αύξησης του µέτρου κάποιας συνιστώσας του πεδίου να ξεπερνάει τη µονάδα. Με αυτή τη συνθήκη το πλήρες φάσµα των χωρικών ιδιοτιµών εµπεριέχεται ολόκληρο στο φάσµα των χρονικών ιδιοτιµών. Μ αυτόν τον περιορισµό βεβαιωνόµαστε πως όλοι οι αριθµητικοί ρυθµοί διάδοσης στο πλέγµα είναι ευσταθείς δηλαδή δεν πρόκειται να µεταβληθούν απότοµα και ανεξέλεγκτα. Αυτό συνεπάγεται την ύπαρξη ενός ανώτατου φράγµατος στο µέγεθος του το οποίο είναι συνάρτηση των και : (4) c ( ) ( ) ( ) όπου c είναι η ταχύτητα του φωτός. Η τελευταία σχέση ονοµάζεται συνθήκη Coura. Εάν = = = η παραπάνω σχέση απλοποιείται στην: (5) c 3

16 Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ Y Þ Þ Ä Ä Ä Ä Þ Þ (á ) åõ ó ôá èýò (â) á ó ôá èýò Σχήµα.3: Αναπαράσταση της συνθήκης ευστάθειας Coura. Ο υπολογισµός µιας νέας τιµής σε µια διαφορική εξίσωση µε µερικές παραγώγους απαιτεί την ύπαρξη ενός πεδίου εξάρτησης µε πληροφορίες του παρελθόντος (σκιασµένο τµήµα). Το µοντέλο των κεντρικών διαφορών έχει το δικό του πεδίο εξάρτησης που καθορίζεται από τα σηµεία που ανήκουν στην προηγούµενη χρονική στιγµή (σηµεία που ενώνονται µε συνεχείς γραµµές) την τιµή των οποίων χρησιµοποιούµε για τον υπολογισµό του νέου σηµείου (σηµεία που ενώνονται µε διακεκοµένες γραµµές). Το µοντέλο των κεντρικών διαφορών είναι αριθµητικά ευσταθές εάν το πεδίο εξάρτησης του µοντέλου κεντρικών διαφορών είναι µεγαλύτερο από αυτό της διαφορικής εξίσωσης όπως φαίνεται στο (α) και αριθµητικά ασταθές εάν είναι µικρότερο όπως φαίνεται στο (β)..3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΙΑΣΠΟΡΑ Η αριθµητική προσέγγιση των εξισώσεων του Mawell µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών συνεπάγεται πως η σχέση διασποράς του αριθµητικού κύµατος είναι διαφορετική από τη σχέση διασποράς του πραγµατικού κύµατος. Αυτό σηµαίνει πως η ταχύτητα φάσης των αριθµητικών ρυθµών του κύµατος στο πλέγµα διαφέρει από την ταχύτητα του φωτός στο κενό. Ενας τρόπος που µπορούµε να δούµε καλύτερα αυτό το φαινόµενο είναι: ο αλγόριθµος FDTD ενσωµατώνει αποτελεσµατικά τις αλληλεπιδράσεις του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος της διάταξης που εξετάζουµε µε έναν αριθµητικό «αιθέρα» του οποίου η διηλεκτρικότητα πλησιάζει αλλά δεν ταυτίζεται µ αυτήν του κενού. Αυτός ο «αιθέρας» προκαλεί τη συσσώρευση καθυστερήσεων στους ρυθµούς διάδοσης του κύµατος και σφαλµάτων φάσης που οδηγούν σε µη-πραγµατικά αποτελέσµατα όπως τη διεύρυνση των κυµατοµορφών τη ψευδή ανισοτροπία (δηλαδή τα διανύσµατα Β και Η δεν είναι πλέον συµφασικά) και την ψευδή διάθλαση. Η αριθµητική διασπορά είναι ένας εγγενής παράγοντας της µεθόδου FDTD που πρέπει να λαµβάνεται υπόψη για την καλύτερη κατανόηση της λειτουργίας του αλγορίθµου.

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο σχήµα.4 παρουσιάζεται η.00 µεταβολή της ταχύτητας φάσης των αριθµητικών 0.99 ρυθµών ενός µονοχρωµατικού κύµατος 0.98 συναρτήσει της γωνίας διάδοσης στο 0.97 δισδιάστατο πλέγµα FDTD. Óôï äéάγραµµα σχεδιάζονται τρεις διαφορετικές καµπύλες που κελιά / λ κελιά / λ 0 κελιά / λ αντιστοιχούν σε τρεις διαφορετικές αναλύσεις του πλέγµατος: µία για ένα αραιό πλέγµα στο οποίο αντιστοιχούν 5 κελιά στο µήκος κύµατος γωνία α ( ) της µονοχρωµατικής διαταραχής µία για ένα Σχήµα.4: Μεταβολή της αριθµητικής ταχύτητας φάσης συναρτήσει της γωνίας διάδοσης του κύµατος α. πυκνό πλέγµα µε 0 κελιά ανά µήκος κύµατος και µία για ένα πολύ πυκνό πλέγµα µε 0 κελιά ανά µήκος κύµατος. Για κάθε ανάλυση οι υπολογισµοί που µας δίνουν τα δεδοµένα χάραξης των καµπυλών γίνονται µε το κατάλληλο.0 χρονικό βήµα σύµφωνα µε τη συνθήκη 0.8 ευστάθειας του Coura. Παρατηρώντας το 0.6 διάγραµµα συµπεραίνουµε πως η ταχύτητα φάσης των αριθµητικών ρυθµών του κύµατος 0.4 είναι πάντα µικρότερη από την ταχύτητα του 0. α = 0 90 φωτός. Η µέγιστη τιµή και άρα η µικρότερη α = διαφορά από την ταχύτητα του φωτός µέγεθος κελιού (σε λ) αντιστοιχεί στη γωνία των 45 (πλάγια πρόσπτωση) και η ελάχιστη τιµή αντιστοιχεί στις Σχήµα.5: Μεταβολή της αριθµητικής ταχύτητας γωνίες των 0 και των 90 ανεξάρτητα από την φάσης συναρτήσει της ανάλυσης του πλέγµατος για ανάλυση του πλέγµατος. Επίσης παρατηρούµε σταθερές γωνίες πρόσπτωσης. πως η ανισοτροπία στην αριθµητική ταχύτητα φάσης που είναι εγγενής στον αλγόριθµο του Yee µειώνεται κατά ένα παράγοντα ίσο προς 4 κάθε Κανονικοποιηµένη ταχύτητα φάσης v/c Κανονικοποιηµένη ταχύτητα φάσης v/c φορά που διχοτοµείται η ανάλυση του πλέγµατος. Ετσι ενώ το µεγαλύτερο σφάλµα ταχύτητας για την ανάλυση = λ 0 είναι.3% 0 για την ανάλυση = λ 0 το αντίστοιχο σφάλµα µειώνεται σε 0 0.3%. Με άλλα λόγια όταν ένα αριθµητικό αρµονικό κύµα διανύσει απόσταση ίση µε 0λ 0 δηλαδή 00 κελιά θα παρουσιάσει ένα σφάλµα καθυστέρησης φάσης ίσο µε.. Το σφάλµα αυτό είναι αθροιστικό δηλαδή αυξάνεται γραµµικά µε την απόσταση διάδοσης του κύµατος και φανερώνει τους περιορισµούς του κλασσικού αλγορίθµου του Yee ακρίβειας δεύτερης τάξης. Το σφάλµα αυτό µπορεί να µειωθεί χρησιµοποιώντας κεντρικές διαφορές ακρίβειας τέταρτης τάξης. Στο σχήµα.5 παρουσιάζονται οι µεταβολές της αριθµητικής ταχύτητας φάσης συναρτήσει της ανάλυσης του πλέγµατος για τις σταθερές γωνίες πρόσπτωσης του κύµατος 0 (ή 90 ) και 45. Από το διάγραµµα φαίνεται πως η αριθµητική ταχύτητα φάσης για κάθε γωνία πρόσπτωσης του κύµατος

18 Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ Y 3 µειώνεται όσο αραιώνει το πλέγµα µέχρι ένα κατώφλι όπου αυτή µηδενίζεται απότοµα και το κύµα πλέον δεν διαδίδεται. Συνεπώς ο αλγόριθµος του Yee ενσωµατώνει ένα αριθµητικό χαµηλοπερατό φίλτρο που δεν επιτρέπει τη διάδοση των αριθµητικών ρυθµών του κύµατος εάν η ανάλυση του πλέγµατος είναι µικρότερη από µε 3 κελιά ανά µήκος κύµατος της διαταραχής. Συνεπώς η µοντελοποίηση παλµών πεπερασµένης διάρκειας µε τη µέθοδο FDTD συνεπάγεται την προοδευτική παραµόρφωση του παλµού όσο οι συνιστώσες υψηλότερης συχνότητας του παλµού διαδίδονται πιο αργά από τις συνιστώσες χαµηλότερης συχνότητας του παλµού. Αυτή η αριθµητική διασπορά προκαλεί τη διεύρυνση των παλµών και αφήνει ένα υπόλοιπο από συνιστώσες υψηλής συχνότητας στις ακµές του παλµού εξαιτίας της χαµηλής ταχύτητας διάδοσης των υψίσυχνων συνιστωσών. Από το σχήµα.5 είναι σαφές πως η παραµόρφωση του παλµού µπορεί να περιοριστεί µε την κατάλληλη επιλογή της ανάλυσης του πλέγµατος. Εκτός από τα σφάλµατα στην αριθµητική ταχύτητα φάσης την ανισοτροπία και την παραµόρφωση των παλµών η αριθµητική διασπορά µπορεί να οδηγήσει στην εµφάνιση ψευδούς διάθλασης στους διαδιδόµενους αριθµητικούς ρυθµούς εάν τα µεγέθη των κελιών στο πλέγµα είναι ανόµοια. Σε τέτοιου είδους πλέγµατα µεταβάλλεται η ανάλυσή τους µε αποτέλεσµα την πρόκληση της διασποράς στην ταχύτητα φάσης και άρα τη διάθλαση και την ανάκλαση των ρυθµών στα σηµεία που αντιστοιχούν σε ανόµοια µεγέθη κελιών. Το µέγεθος αυτών των φαινοµένων εξαρτάται από το πόσο απότοµα µεταβάλλεται η ανάλυση. Ο βασικός αλγόριθµος του Yee µπορεί να βελτιωθεί ώστε τα φαινόµενα αριθµητικής διασποράς να εξαλειφτούν για προκαθορισµένες διευθύνσεις διάδοσης του κύµατος παραµορφώνοντας ελαφρώς τους συντελεστές των χωρικών διαφορών. Σε µια τέτοια προσέγγιση όµως χρειάζεται να ξαναοριστούν οι σχέσεις αριθµητικής ευστάθειας. Οι νέες συνθήκες που προκύπτουν είναι κάπως πιο υποβαθµισµένες. Από τα παραπάνω φαίνεται πως το σφάλµα της αριθµητικής διασποράς µπορεί να αντιµετωπιστεί αποτελεσµατικά µε την κατάλληλη επιλογή της ανάλυσης του πλέγµατος και τη χρήση κεντρικών διαφορών ακρίβειας τέταρτης τάξης. Ωστόσο µε µια τέτοια προσέγγιση αυξάνεται η πολυπλοκότητα του προβλήµατος (θα πρέπει να οριστούν ειδικές οριακές συνθήκες στις ασυνέχειες που παρουσιάζονται από την εµφάνιση αγωγών ή διηλεκτρικών ανοµοιογενειών µέσα στο πλέγµα) µε αποτέλεσµα να είναι η λύση αυτή εφικτή µονάχα σε πολύ ειδικές περιπτώσεις. Στην πράξη χρησιµοποιείται µια ενδιάµεση συµβιβαστική λύση εφαρµόζοντας κεντρικές διαφορές τέταρτης τάξης στον κενό χώρο που περιβάλλει τις διάφορες ασυνέχειες που εµφανίζουν τα υλικά µέσα στο πλέγµα και στη συνέχεια εφαρµόζονται οι κεντρικές διαφορές ακρίβειας δεύτερης τάξης αφήνοντας ένα περιθώριο δύο ή περισσοτέρων κελιών..4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΑΛΜΟΥ ΙΕΓΕΡΣΗΣ Το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο της διάταξης που θα αναλυθεί θα πρέπει να διεγερθεί µε κάποιο τρόπο δηλαδή κατά την εκκίνηση των υπολογισµών θα πρέπει να οριστεί στο πλέγµα ένα κατάλληλο πεδίο. Ο πιο απλός τρόπος για να διεγείρεις ένα προσπίπτον κύµα στο µοντέλο πεπερασµένων διαφορών µιας µικροταινίας είναι η εφαρµογή µιας κατανοµής ενός ηλεκτρικού παλµού πεπερασµένου χρόνου και µήκους σε ένα εγκάρσιο τµήµα της διάταξης που χαρακτηρίζεται ως επίπεδο πηγής. Σε µερικές περιπτώσεις η εγκάρσια κατανοµή του επιθυµητού ρυθµού διάδοσης είναι προσδιορίσιµη αναλυτικά επιτρέποντας τον αριθµητικό παλµό που εφαρµόζεται να αναπαριστά πλήρως τον επιθυµητό

19 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ρυθµό χωρίς την παρουσία ανεπιθύµητων ρυθµών. Στις άλλες περιπτώσεις όπου η εγκάρσια κατανοµή του επιθυµητού ρυθµού δεν µπορεί να προσδιοριστεί αναλυτικά αλλά µόνο κατά προσέγγιση ο αριθµητικός παλµός περιέχει µόνον ένα υποσύνολο της πλήρους εγκάρσιας κατανοµής. Σ αυτή την περίπτωση υπάρχει η πιθανότητα να δηµιουργηθούν µαζί µε τον επιθυµητό ρυθµό και επιπλέον ανεπιθύµητα αριθµητικά κύµατα. Για την αντιµετώπιση αυτού του προβλήµατος προτείνεται η ύπαρξη µιας διάταξης κυµατοδήγησης ικανοποιητικού µήκους. Ενα παράδειγµα µιας τέτοιας πηγής σε µικροταινίες είναι η διέγερση του ηλεκτρικού πεδίου σε µια επιφάνεια που εκτείνεται από το επίπεδο γης ως τη µικροταινία και απέχει ικανοποιητική απόσταση από το επίπεδο αναφοράς της διάταξης έτσι ώστε να προλάβει το ηλεκτροµαγνητικό κύµα να αναπτυχθεί πλήρως. Το χρονικό µήκος του παλµού θα πρέπει να είναι τόσο ώστε να περιέχει στο φάσµα του όλες της επιθυµητές συνιστώσες. Οσο για το µήκος του παλµού στον χώρο θα πρέπει να είναι τέτοιο ώστε να µπορεί να διαχωριστεί πλήρως από τους ανακλώµενους παλµούς. Τέλος το µέγεθος των κελιών του πλέγµατος θα πρέπει να είναι πιο µικρό από το µήκος του παλµού στο χώρο έτσι ώστε να µπορεί να επιτευχθεί η κατάλληλη ανάλυση της χωρικής κατανοµής του πεδίου. PML επίπεδο διέγερσης επίπεδο αναφοράς PML Σχήµα.6: ιέγερση του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου στην περίπτωση της µικροταινίας. Ενα παράδειγµα τέτοιας διέγερσης είναι ο παλµός Gauss ο οποίος στο πεδίο του χρόνου εκφράζεται µε τη σχέση: f () ( 0 ) = e T (6) όπου το µήκος του παλµού στο χρόνο καθορίζεται από τη µεταβλητή T. Το αριθµητικό ισοδύναµο του παλµού Gauss παρεµβάλλεται σε µία συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου π.χ. στην ενώ όλες οι υπόλοιπες συνιστώσες του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου παραµένουν αµετάβλητες. Το επίπεδο πηγής τοποθετείται σε µια αποµακρυσµένη θέση τόσο από τη διάταξη που αναλύουµε όσο και από τις οριακές συνθήκες απορρόφησης. Μ αυτό τον τρόπο η διάταξη χωρίζεται σε δύο περιοχές. Η πρώτη περιοχή ορίζεται από τις οριακές συνθήκες απορρόφησης ως το επίπεδο διέγερσης êáé η δεύτερη áðό την πηγή έως τη διάταξη που αναλύουµε. Το κύριο πλεονέκτηµα αυτού του τύπου διέγερσης είναι η µηδενική ενεργός αντίσταση της πηγής δηλαδή τα ανακλώµενα αριθµητικά κύµατα που προέρχονται π.χ. από την ύπαρξη µιας ασυνέχειας σε κάποιο σηµείο της διάταξης δεν θα ξανα-ανακλαστούν από την πηγή.

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗΣ (ABSORBING BOUNDARY CONDITIONS ABCS) Στο κεφάλαιο αυτό αρχικά εξηγείται η αναγκαιότητα ύπαρξης των οριακών συνθηκών απορρόφησης (Absorbg Boudar Codos ABCs). Στη συνέχεια γίνεται µια σύντοµη αναφορά στον τρόπο που λειτουργούν τα ABCs. Για λόγους εποπτείας και σύγκρισης των µεθόδων ABCs που χρησιµοποιήθηκαν στο παρελθόν έχουν χαραχθεί µερικά διαγράµµατα. Τέλος παρουσιάζεται η µέθοδος των τέλεια προσαρµοσµένων επιπέδων (Perfecl Mached Laer PML) του Bereger και η εφαρµογή της στις εξισώσεις των πεπερασµένων διαφορών. 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η µέθοδος FDTD χρησιµοποιείται για τον προσδιορισµό των αλληλεπιδράσεων ενός ηλεκτροµαγνητικού κύµατος µε τη διάταξη που θέλουµε να αναλύσουµε. Ο χώρος στον οποίο πραγµατοποιούνται οι υπολογισµοί αυτοί δεν µπορεί να εκτείνεται στο άπειρο γιατί κάτι τέτοιο θα απαιτούσε την ύπαρξη απεριόριστης µνήµης για την αποθήκευση και γενικά τη διαχείρηση των δεδοµένων. Συνεπώς ο χώρος τον οποίο εξετάζουµε θα πρέπει µε κάποιο τρόπο να περιοριστεί στην περιοχή που µας ενδιαφέρει. Ο πιο απλός τρόπος για να πραγµατοποιηθεί αυτό είναι να θεωρήσουµε πως οι τιµές των συνιστωσών του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου έξω από τα όρια αυτής της περιοχής είναι µηδενικές. Αυτό θα σήµαινε πως η διάταξη που εξετάζουµε πλαισιώνεται από ηλεκτρικούς και µαγνητικούς «τοίχους» οι οποίοι όµως αλληλεπιδρούν µε το πεδίο προκαλώντας ανεπιθύµητες ανακλάσεις που υπερθέτονται µε τους διαδιδόµενους παλµούς του κυκλώµατος και συνεπώς διαταράσσουν την πληροφορία που χρειαζόµαστε για την ανάλυση της διάταξης που µας ενδιαφέρει. Για να διαχωριστούν οι παλµοί που ανακλώνται από τα τοιχώµατα του υπολογιστικού χώρου από τα σήµατα της διάταξης θα πρέπει να εφαρµοστούν κάποιες συνθήκες γνωστές ως «οριακές συνθήκες απορρόφησης» (Absorbg Boudar Codos ABCs) οι οποίες θα περιορίζουν τις ανακλάσεις και συνεπώς θα δίνουν την εντύπωση πως ο υπολογιστικός χώρος εκτείνεται στο άπειρο. Μια τέτοια διάταξη θα είναι ιδανική αν τα κύµατα που εισχωρούν στο εσωτερικό της απορροφούνται πλήρως χωρίς να προκαλούν την οποιαδήποτε ανάκλαση. 3. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΒΑΣΗ ΤΩΝ ABCs Από το 970 ως το 980 το ενδιαφέρον των ερευνητών προσανατολίστηκε στη µελέτη κάποιων τελεστών οι οποίοι θα εκµηδενίζουν τα κύµατα στα οποία εφαρµόζονται αφήνοντας ένα υπόλοιπο που αναπαριστά το σφάλµα της προσέγγισης. Για τη δηµιουργία αυτών των τελεστών χρησιµοποιούνται συνήθως τρεις µερικές παράγωγοι του πεδίου: () µια ως προς το χώρο κατά τη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος () µια ως προς το χώρο κατά την εγκάρσια διεύθυνση διάδοσης του κύµατος και (3) µια ως προς το χρόνο. Αυτός ο τελεστής εφαρµόζεται στο τοπικό πεδίο που αναπτύσσεται στα εξωτερικά

21 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 σηµεία του χώρου που εξετάζουµε µέσω των κεντρικών διαφορών. Μ αυτόν τον τρόπο γίνεται µια εκτίµηση της µερικής παραγώγου του πεδίου κατά την κατεύθυνση διάδοσης ως προς την εγκάρσια χωρική παράγωγο και τη χρονική παράγωγο χρησιµοποιώντας ως δεδοµένα γνωστές τιµές του πεδίου που βρίσκονται στο εσωτερικό του πλέγµατος. Αυτή η πληροφορία για τη µερική παράγωγο του πεδίου ως προς τη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος επιτρέπει την πλαισίωση του υπολογιστικού χώρου. Ενας τέτοιος τελεστής τρίτης τάξης είναι ο: U U p0 U U q 0 qc pc = 0 (7) 3 c 3 Η κατάλληλη επιλογή των συντελεστών p και q παράγει διάφορες οικογένειες από ABC τρίτης τάξης. Υπάρχουν αρκετές προσεγγίσεις για τους συντελεστές αυτούς οι οποίες «ρυθµίζουν» την ABC στο να απορροφά τα αριθµητικά κύµατα σε συγκεκριµένες γωνίες πρόπτωσης ή σε µια περιοχή γωνιών. Για να µπορεί να γίνει µια εκτίµηση της αποτελεσµατικότητας µιας δοθείσας ABC χρησιµοποιούµε τον συντελεστή ανάκλασης R ο οποίος προσδιορίζει το µέγεθος της ανάκλασης που δηµιουργεί ένα επίπεδο κύµα ως συνάρτηση της γωνίας πρόσπτωσης α όταν αυτό αλληλεπιδρά µε τα όρια του υπολογιστικού χώρου. Οσο πιο µικρός είναι ο συντελεστής ανάκλασης τόσο πιο αποτελεσµατική είναι η εξεταζόµενη ABC. Αυτό θα απορροφά σχεδόν εξ ολοκλήρου την ενέργεια σκέδασης από τον υπολογιστικό χώρο. Θεωρούµε ένα επίπεδο κύµα που διαδίδεται µε ταχύτητα c = ω προσπίπτει στο όριο = 0 και έχει αναλυτική µορφή: ( ω cos α s α U = e ) (8) c Το ολικό πεδίο στη θέση = 0 του υπολογιστικού χώρου θα πρέπει να ικανοποιεί τη συγκεκριµένη ABC. Θεωρώντας την ύπαρξη ενός ανακλώµενου κύµατος που εξέρχεται απ αυτό το όριο το ολικό πεδίο στο όριο θα έχει τη µορφή: ( ω cos α s α) ( ω cos α s α U = e Re ) (9) Από την παραπάνω σχέση γίνεται φανερός ο ρόλος του συντελεστή ανάκλασης R. Εφαρµόζοντας τον αντίστοιχο τελεστή που χαρακτηρίζει την ABC στο ολικό πεδίο U και λύνοντας τη σχέση που προκύπτει ως προς R στην θέση = 0 παίρνουµε την αναλυτική έκφραση του συντελεστή ανάκλασης R για τη συγκεκριµένη ABC. Στο διάγραµµα 3. παρουσιάζεται η συµπεριφορά του θεωρητικού συντελεστή ανάκλασης για δύο ABCs τρίτης τάξης ως συνάρτηση της γωνίας πρόσπτωσης α του κύµατος. Παρατηρούµε πως ο R είναι µικρότερος από 0.% στην περιοχή 0 < α < 35 για την

22 ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗΣ (ABSORBING B OUNDARY C ONDITIONS ABCS ) 7 προσέγγιση του Pade και µικρότερος από 0.0% στην περιοχή 0 < α < 45 για την προσέγγιση του Chebshev σε µεσοδιάστηµα Συντελεστής Ανάκλασης Pade 3ης τάξης Chebshev 3ης τάξης Γωνία Πρόσπτωσης Σχήµα 3.: Θεωρητικός συντελεστής ανάκλασης συναρτήσει της γωνίας πρόσπτωσης του κύµατος για συνθήκες απορρόφησης τρίτης τάξης. Ωστόσο αν και θεωρητικά φαίνεται πως αυτά τα ABCs παρουσιάζουν εντυπωσιακά αποτελέσµατα όταν αυτά εφαρµοστούν σε κάποια αριθµητική εφαρµογή ο συντελεστής ανάκλασης δεν µειώνεται εύκολα περισσότερο από %. Πιθανόν αυτή η ασυµφωνία να οφείλεται στη δηµιουργία ανακλάσεων εξαιτίας της διαφοράς της αριθµητικής ταχύτητας φάσης στο εσωτερικό του υπολογιστικού χώρου από την επιβαλλόµενη ταχύτητα στον ελεύθερο χώρο όπως συµβαίνει σε κάθε επιφάνεια που διαχωρίζει δυο υλικά µε διαφορετικά χαρακτηριστικά. 3.3 ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗΣ ΤΩΝ ΤΕΛΕΙΑ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΣΤΡΩΜΑΤΩΝ (PRFCTLY MATCD LAYRS PML) 3.3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Για να επιτύχουµε εξοµοιώσεις µε δυναµική περιοχή συγκρινόµενη µε αυτή των αντηχείων θα πρέπει ο συντελεστής ανάκλασης να µειωθεί κατά 00 φορές περισσότερο. Κάτι τέτοιο µπορεί να γίνει εφικτό µε την τεχνική PML που επινόησε ο Bereger. Η τεχνική αυτή βασίζεται στη χρήση ενός επιπέδου απορρόφησης το οποίο περιβάλλει τον υπολογιστικό χώρο. Αποτελείται από ένα υλικό σχεδιασµένο έτσι

23 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ώστε να απορροφά χωρίς καµία ανάκλαση τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα που διεισδύουν στο εσωτερικό του ανεξάρτητα από τη γωνία µε την οποία εισχωρούν σ αυτό. Μέσα στο υλικό αυτό τα εισερχόµενα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα διαδίδονται µε την ταχύτητα του φωτός και η αντίσταση του κύµατος είναι αυτή του κενού ανεξάρτητα από τη συχνότητα και τη γωνία πρόσπτωσης. Ολες οι συνιστώσες του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου διαιρούνται σε δύο υποσυνιστώσες και όλες οι εξισώσεις του πεδίου τροποποιούνται έτσι ώστε να ικανοποιούν αυτή τη διαίρεση. Ταυτόχρονα αυτή η διάσπαση εισάγει έναν επιπλέον βαθµό ελευθερίας στον προσδιορισµό των απωλειών και στην προσαρµογή των αντιστάσεων ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ PML Θεωρούµε την εφαρµογή του PML σε µια διάταξη κυµατοδήγησης σε ρυθµό T. Σύµφωνα µε τα παραπάνω η συνιστώσα του µαγνητικού πεδίου διασπάται σε δύο υποσυνιστώσες τις και. Οι τέσσερις εξισώσεις για τις συνιστώσες του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου που προκύπτουν είναι οι: ( ) ε 0 σ = (0.α) ( ) ε 0 σ = (0.β) µ 0 σ = (0.γ) µ 0 σ = (0.δ) όπου οι παράµετροι σ και σ δηλώνουν ηλεκτρική αγωγιµότητα και οι παράµετροι σ και σ δηλώνουν µαγνητικές απώλειες. Οι απώλειες αυτές εκχωρούνται στις συνιστώσες του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου για να προκαλέσουν την εκθετική εξασθένηση των διαδιδόµενων πεδίων εντός της περιοχής του PML. Επιπλέον εάν επιβληθεί στις αγωγιµότητες η ικανοποίηση των σχέσεων: σ σ = και ε0 µ 0 σ σ = () ε0 µ 0 η εξασθένηση πραγµατοποιείται ανεξάρτητα από τη συχνότητα του κύµατος και χωρίς να επηρεάζεται από την αντίστασή του. Εάν σ = σ = σ = σ = 0 οι τέσσερις παραπάνω εξισώσεις (0) µετατρέπονται στις εξισώσεις του Mawell για τον ελεύθερο κενό χώρο. Εάν σ = σ και σ = σ = 0 οι παραπάνω εξισώσεις (0) µετατρέπονται στις αντίστοιχες του Mawell για ένα χώρο µε ηλεκτρικές απώλειες. Τέλος εάν σ = σ και σ = σ οι εξισώσεις (0) µετατρέπονται σε αυτές που χαρακτηρίζουν ένα υλικό απορρόφησης του οποίου η αντίσταση είναι προσαρµοσµένη µε αυτή των επίπεδων κυµάτων που διεισδύουν στο υλικό αυτό.

24 ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗΣ (ABSORBING B OUNDARY C ONDITIONS ABCS ) 9 Το υλικό του PML µπορεί να απορροφήσει ένα επίπεδο κύµα του οποίου οι συνιστώσες ( ) διαδίδονται κατά µήκος του άξονα εάν σ = σ = 0 αλλά δεν µπορεί να απορροφήσει το επίπεδο κύµα του οποίου οι συνιστώσες ( ) διαδίδονται κατα µήκος του άξονα αφού στην πρώτη περίπτωση η διάδοση καθορίζεται από τις εξισώσεις (0.β) και (0.γ) ενώ στη δεύτερη περίπτωση από τις (0.α) και (0.δ). Η παραπάνω κατάσταση αντιστρέφεται για τις συνιστώσες του κύµατος ( ) και ( ) εάν σ = σ = 0. Αυτές οι ιδιότητες του υλικού του PML δηλαδή η απορρόφηση του κύµατος σε συγκεκριµένες κατευθύνσεις διάδοσης ρυθµίζονται από τις παραµέτρους ( σ σ 00 ) και ( 0 σ σ ) 0. Επιπλέον εάν οι αντίστοιχες αγωγιµότητες ικανοποιούν την () στις επιφάνειες που συνδέουν το υλικό του PML µε αυτό του υπολογιστικού χώρου τότε αυτά τα δύο υλικά παρουσιάζουν µηδενική ανάκλαση. * * PML (σ σ σ σ ) * * PML (σ σ σ σ ) τέλεια αγώγιµος τοίχος * PML (00σ σ ) κενός χώρος * PML (σ σ 00) η πηγή του κύµατος * PML (σ σ 00) εξερχόµενα κύµατα * PML (00σ σ ) * * PML (σ σ σ σ ) * * PML (σ σ σ σ ) Σχήµα 3.: Γενική διάταξη της τεχνικής PML

25 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ PML ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ Η γενική οργάνωση της τεχνικής PML παρουσιάζεται στο σχήµα 3.. Οι εξισώσεις του Mawell επιλύονται αριθµητικά µε την τεχνική των πεπερασµένων διαφορών στο εσωτερικό του υπολογιστικού χώρου ο οποίος διεγείρεται από µία πηγή. Ο υπολογιστικός χώρος περιβάλλεται από ένα στρώµα απορρόφησης που αποτελείται από την οµαδοποίηση υλικών PML των οποίων τα χαρακτηριστικά προσδιορίζονται από την κατάλληλη επιλογή των αγωγιµοτήτων. Τέλος το στρώµα απορρόφησης καλύπτεται από τέλεια αγώγιµους τοίχους. Στην αριστερή καθώς και στη δεξιά πλευρά του πλέγµατος το αντίστοιχο υλικό PML έχει αγωγιµότητες σ και σ προσαρµοσµένες σύµφωνα µε τις σχέσεις () και αγωγιµότητες σ = σ = 0 ώστε να επιτρέπεται η ελεύθερη διείσδυση του εξερχόµενου κύµατος σε όλο το µήκος της επιφάνειας που διαχωρίζει το υλικό PML από τον κενό χώρο. Αντίστοιχα στην επάνω καθώς και στην κάτω πλευρά του πλέγµατος το κάθε PML έχει αγωγιµότητες σ και σ προσµαρµοσµένες σύµφωνα µε τις σχέσεις () καθώς και σ = σ = 0 έτσι ώστε τα εξερχόµενα κύµατα να µπορούν να διεισδύσουν στο εσωτερικό του PML χωρίς να δηµιουργηθούν ανεπιθύµητες ανακλάσεις. Στις τέσσερις γωνίες του χώρου επικαλύπτονται τα στρώµατα PML êáé συνεπώς σ αυτές τις περιοχές εφαρµόζονται και ïé ôέσσερις αγωγιµότητες ( σ σ σ και σ ) και ορίζονται ίσες µε τις αντίστοιχες αγωγιµότητες των γειτονικών PML. Μ αυτόν τον τρόπο θεωρητικά ένα κύµα που διαπερνά την επιφάνεια που διαχωρίζει δύο στρώµατα PML διαφορετικού υλικού δεν θα πρέπει να δηµιουργεί ανακλάσεις. Επίσης το κύµα που διασχίζει τα δύο στρώµατα PML θα διατηρεί τη µορφή του αφού η ταχύτητα διάδοσης είναι αυτή του φωτός σε όλη την επιφάνεια του στρώµατος απορρόφησης. Το µέτρο του κύµατος που θα διεισδύσει στο υλικό PML θα µειώνεται σταδιακά λόγω των αγωγιµοτήτων που χαρακτηρίζουν το υλικό αυτό. Αφού το κύµα διαπεράσει το στρώµα PML θα ανακλαστεί από τον τέλεια αγώγιµο τοίχο στον οποίο τερµατίζει ο χώρος και στη συνέχεια αφού διασχύσει το PML για δεύτερη φορά θα εισέλθει ξανά στον κενό χώρο. Συνεπώς εάν το πλάτος της ζώνης απορρόφησης είναι δ ο συντελεστής ανάκλασης µπορεί να προσδιοριστεί από τη σχέση: σ ( ) ( ) c e maδ cos ϑ ε = R 0 ϑ () Από την παραπάνω εξίσωση παρατηρούµε ότι η ανάκλαση είναι συνάρτηση του γινοµένου σδ. Συνεπώς θεωρητικά για µια δεδοµένη απόσβεση το πλάτος της ζώνης απορρόφησης δ µπορεί να µειωθεί όσο επιθυµούµε. Στην πράξη όµως έχει παρατηρηθεί πως οι απότοµες µεταβολές στην αγωγιµότητα σ δηµιουργούν ανεπιθύµητες αριθµητικές ανακλάσεις. Γι αυτό το λόγο στους υπολογισµούς η ζώνη απορρόφησης θα πρέπει να καταλαµβάνει µερικά κελιά συνήθως 8 και η αγωγιµότητα θα πρέπει να αυξάνεται οµαλά από την τιµή 0 στην επιφάνεια που διαχωρίζει τον κενό χώρο από το υλικό PML µέχρι µια µέγιστη τιµή σ ma στην εξωτερική πλευρά της ζώνης. Συνήθως η σχέση που χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό των απωλειών είναι η:

26 ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗΣ (ABSORBING B OUNDARY C ONDITIONS ABCS ) ρ σ( ρ) = σma (3) δ όπου ρ είναι το βάθος διείσδυσης στο εσωτερικό του PML. Από τα παραπάνω µπρούµε να προσδιορίσουµε το θεωρητικό συντελεστή ανάκλασης από τη σχέση: σ ( ) ( ) c e maδ ε 0 R 0 = (4) Ο θεωρητικός συντελεστής ανάκλασης είναι η παράµετρος που προσδιορίζει ο χρήστης για τον 4 χαρακτηρισµό της συµπεριφοράς του PML. Συνήθως τιµές της τάξης 0 είναι ικανοποιητικές. Για την αριθµητική εφαρµογή του στρώµατος PML στο πλέγµα ôùí ðåðåñáóìένων διαφορών θεωρούµε την επάνω δεξιά γωνία του χώρου όπως αυτή εικονίζεται στο σχήµα 3.3. Στο εσωτερικό της ζώνης PML ïé åîéóώσεις που ισχύουν είναι οι τέσσερις εξισώσεις (0). Στο εσωτερικό του υπολογιστικού χώρου που περιβάλλει τη διάταξη που µελετούµε µπορεί να χρησιµοποιηθεί αυτό το σύστηµα των τεσσάρων εξισώσεων αφού ο χώρος αυτός µπορεί να µοντελοποιηθεί ως ένα διαφορετικό υλικό PML. Σ αυτή την περίπτωση όµως αυξάνονται οι απαιτήσεις του αλγορίθµου σε µνήµη αφού οι συνιστώσες του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου από τρεις γίνονται τέσσερις. PML Ε Ε κενό PML Σχήµα 3.3: Επάνω δεξιά γωνία του FDTD πλέγµατος. Η µετατροπή του συστήµατος εξισώσεων (0) σε εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών είναι άµεση. Ετσι η έκφραση πεπερασµένων διαφορών που µας δίνει την συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου θα είναι η: () σ = ε () σ ε ε () σ ε (5)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Αντίστοιχα για την συνιστώσα του µαγνητικού πεδίου η έκφραση πεπερασµένων διαφορών θα είναι η: ( ) ( ) ( ) µ σ µ µ σ µ σ = (6) όπου οι αγωγιµότητες σ και σ είναι συναρτήσεις του ( ) στις ζώνες που βρίσκονται δεξιά αριστερά καθώς και στις γωνίες του υπολογιστικού χώρου.

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΚΩΝ ΙΑΤΑΞΕΩΝ Στα προηγούµενα κεφάλαια παρουσιάστηκε µια συνοπτική περιγραφή του αλγορίθµου του Yee καθώς και των εργαλείων που τον καθιστούν λειτουργικό για την προσοµοίωση µικροκυµατικών διατάξεων. Ωστόσο δεν αναφέρθηκε τίποτα για τη µορφή αυτών των κυκλωµάτων καθώς και για τα µεγέθη που χρησιµοποιούνται για την περιγραφή τους. Στο παρόν κεφάλαιο αρχικά παρουσιάζεται µια σύντοµη περιγραφή των µικροταινιακών διατάξεων. Ακολουθεί ο ορισµός των µεγεθών που χρησιµοποιούνται για την περιγραφή της συµπεριφοράς τους. Τέλος παρουσιάζονται οι τεχνικές που χρησιµοποιούνται για τη µοντελοποίησή τους καθώς και για τον προσδιορισµό της συµπεριφοράς τους. 4. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στις χαµηλές συχνότητες τα δοµικά στοιχεία ενός κυκλώµατος είναι οι αντιστάσεις τα πηνία και οι πυκνωτές. Η εξάρτηση των χαρακτηριστικών των στοιχείων αυτών µε τη συχνότητα είναι πολύ απλή. Για το λόγο αυτό έχουν διατυπωθεί αρκετές µεθοδολογίες ανάλυσης και σύνθεσης τέτοιων κυκλωµάτων. Στην περιοχή των µικροκυµάτων τα δοµικά στοιχεία που συνθέτουν ένα κύκλωµα είναι αγώγιµες λωρίδες και µικροταινιακές ασυνέχειες (σχήµα 4.). Η ανάλυση και η σύνθεση τέτοιων κυκλωµάτων είναι πολύ περίπλοκη και µερικές φορές αδύνατη αφού τα χαρακτηριστικά αυτών των στοιχείων δεν µπορούν να µοντελοποιηθούν αναλυτικά. Για το λόγο αυτό χρησιµοποιούνται διάφορες αριθµητικές προσεγγίσεις µε τις οποίες µπορούµε να έχουµε µια περιγραφή της εξάρτησης µε τη συχνότητα των χαρακτηριστικών αυτών των στοιχείων. Γνωρίζοντας τα χαρακτηριστικά αυτά µπορούµε µε την κατάλληλη διασύνδεση µικροταινιακών ασυνεχειών και αγώγιµων ταινιών να διαµορφώσουµε διάφορα κυκλώµατα όπως φίλτρα κεραίες κ.τ.λ. w w w w w (α) (β) (γ) w w w w w (δ) (ε) (στ) Σχήµα 4.: Μικροταινιακές ασυνέχειες. (α) ανοικτός τερµατισµός. (β) διάκενο. (γ) αλλαγή πλάτους. (δ) Τ - διακλάδωση. (ε) διασταύρωση. (στ) γωνία.

29 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4. ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑ Η επίπεδη γραµµή µεταφοράς αποτελείται από αγώγιµες ταινίες που εκτείνονται σε παράλληλα επίπεδα. Η πιο συνηθισµένη µορφή επίπεδης γραµµής µεταφοράς είναι η µικροταινία η οποία αποτελείται από µία αγώγιµη ταινία πλάτους w και τοποθετείται επάνω σε ένα διηλεκτρικό υπόστρωµα πάχους ενώ η άλλη επιφάνεια του υποστρώµατος καλύπτεται εξ ολοκλήρου από αγώγιµο υλικό και ονοµάζεται επίπεδο γείωσης. Σχήµα 4.: Τοµή µικροταινίας Οι µέθοδοι που χρησιµοποιούνται για την παραγωγή µικροταινιακών διατάξεων είναι παρόµοιες µε αυτές των ολοκληρωµένων κυκλωµάτων και γι αυτό οι διατάξεις αυτές αναφέρονται και ως ολοκληρωµένα κυκλώµατα µικροκυµάτων (MICs Mcrowave Iegraed Crcus). Ολες οι παθητικές και ενεργές διατάξεις που συγκροτούν αυτά τα κυκλώµατα τοποθετούνται µέσα στο ίδιο το ολοκληρωµένο (Σχήµα 4.3). Σχήµα 4.3: Ολοκληρωµένο κύκλωµα µικροκυµάτων

30 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΚΩΝ ΙΑΤΑΞΕΩΝ 5 Το υλικό του διηλεκτρικού υποστρώµατος που χρησιµοποιείται στις µικροταινίες θα πρέπει να παρουσιάζει χαµηλές απώλειες. Επίσης εάν η διηλεκτρική σταθερά του υποστρώµατος είναι αρκετά µεγάλη τότε το µήκος κύµατος της διάδοσης θα είναι µικρότερο και συνεπώς το κύκλωµα θα είναι πιο συµπαγές. Το υλικό του υποστρώµατος θα πρέπει να παρουσιάζει καλή µηχανική αντοχή να είναι εύκολη η επεξεργασία του και τέλος να παρέχει καλή θερµική απαγωγή. Οταν στο ολοκληρωµένο κύκλωµα µικροκυµάτων εµφυτεύεται µια ενεργή διάταξη ένα µέρος της θερµότητας που δηµιουργείται απ αυτήν επάγεται µέσω του επιπέδου γείωσης. εν είναι δυνατή η χρήση µεταλλικής ψήκτρας στα κυκλώµατα µικροκυµάτων επειδή αυτές οι ογκώδεις µεταλλικές κατασκευές αλληλεπιδρούν µε το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο µε ανεπιθύµητες και συνήθως απρόβλεπτες συνέπειες. Συνεπώς στα κυκλώµατα ενισχυτών το υλικό του υποστρώµατος θα πρέπει να έχει καλή θερµική απαγωγή. Τα διηλεκτρικά υλικά που χρησιµοποιούνται στα τυπωµένα κυκλώµατα χαµηλής συχνότητας λειτουργίας είναι ακατάλληλα επειδή παρουσιάζουν υψηλές απώλειες. Η διηλεκτρική σταθερά και το πάχος του υποστρώµατος θα πρέπει να παρουσιάζουν υψηλό βαθµό οµοιοµορφίας γιατί διαφορετικά οι γραµµές µεταφοράς δεν θα συµπεριφερόνται µε τον επιθυµητό τρόπο αφού η χαρακτηριστική αντίσταση της γραµµής µεταφοράς εξαρτάται άµεσα απ αυτές τις παραµέτρους. Το οµοιόµορφο πάχος και η οµοιόµορφη διηλεκτρική σταθερά του υποστρώµατος είναι οι πιο σηµαντικές παράµετροι για τη δηµιουργία φίλτρων αφού οι διαστάσεις αυτών των διατάξεων είναι πολύ κρίσιµες. Απ τη στιγµή που ένα φίλτρο έχει κατασκευαστεί σε ολοκληρωµένη µορφή δεν είναι δυνατή η προσθήκη εξωτερικών διατάξεων ρύθµισης του φίλτρου για να το οδηγήσουµε στις προδιαγραφόµενες τιµές. 4.3 ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΚΕΑΣΗΣ Στις χαµηλές συχνότητες ένα κύκλωµα αποτελείται από αντιστάσεις πυκνωτές και πηνία συνδεδεµένα µε τέτοιο τρόπο ώστε να παρουσιάζει την επιθυµητή συµπεριφορά. Τα κυκλώµατα αυτά είναι γραµµικά και συνεπώς µπορεί να εφαρµοστεί το θεώρηµα της υπέρθεσης για τον προσδιορισµό της απόκρισης του κυκλώµατος όταν αυτό διεγείρεται από περισσότερες από µία εισόδους. Επίσης χρησιµοποιώντας τους νόµους του Krchhoff µπορούµε να υπολογίσουµε τις τάσεις στους κόµβους του κυκλώµατος καθώς και τα ρεύµατα που διαρρέουν τους βρόχους του. Στα κυκλώµατα αυτά τα διάφορα στοιχεία που το συνθέτουν µπορούν να συνδεθούν µεταξύ τους µε αγωγούς οποιουδήποτε µήκους αφού ο µόνος περιορισµός είναι η αντίσταση των αγωγών και συνεπώς η ενέργεια που χάνεται σε µορφή θερµότητας. Στην περιοχή συχνοτήτων των µικροκυµάτων χρησιµοποιούνται αντίστοιχα στοιχεία αντιστάσεων πυκνωτών και πηνίων για τη δηµιουργία του κυκλώµατος. Οµως τα στοιχεία αυτά δεν µπορούν να συνδεθούν µεταξύ τους µε απλούς αγωγούς αλλά µε γραµµές µεταφοράς και συστήµατα κυµατοδήγησης. Το µήκος των συνδέσεων συνήθως είναι συγκρίσιµο ή και αρκετές φορές µεγαλύτερο από τα µήκη κύµατος που συνθέτουν το πεδίο και συνεπώς τα φαινόµενα της διάδοσης είναι πολύ σηµαντικά. Εποµένως η ανάλυση των κυκλωµάτων στις συχνότητες των µικροκυµάτων είναι λίγο πιο σύνθετη.

31 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Αρκετές από τις τεχνικές που χρησιµοποιούνται για την ανάλυση των κυκλωµάτων που λειτουργούν σε χαµηλές συχνότητες µπορούν να εφαρµοστούν και στα κυκλώµατα µικροκυµάτων. Στην πραγµατικότητα η ανάλυση των κυκλωµάτων χαµηλής συχνότητας είναι µια ειδική περίπτωση της ανάλυσης µικροκυµατικών κυκλωµάτων. Στην περιοχή συχνοτήτων των µικροκυµάτων δεν προσφέρονται τα αµπερόµετρα και τα βολτόµετρα για την άµεση µέτρηση των τάσεων και των ρευµάτων. Για το λόγο αυτό τα ηλεκτρικά µεγέθη τάση και ρεύµα δεν παίζουν τον πρωτεύοντα ρόλο. Από την άλλη µεριά είναι χρήσιµη η περιγραφή ενός κυκλώµατος µικροκυµάτων µε αυτά τα µεγέθη για να µπορούµε να χρησιµοποιούµε τις αντίστοιχες έννοιες που χαρακτηρίζουν την ηλεκτρική συµπεριφορά των κυκλωµάτων χαµηλής συχνότητας. Ωστόσο υπάρχει µια σηµαντική διαφορά που οφείλεται κυρίως στον τρόπο µε τον οποίο ορίζονται οι τάσεις και τα ρεύµατα. Για ένα κύµα που διαδίδεται σε µια γραµµή µεταφοράς σε ρυθµό TM υπάρχει ένα κύµα τάσης και ένα κύµα ρεύµατος τα οποία σχετίζονται µε τρόπο µοναδικό µε τα εγκάρσια ηλεκτρικά και µαγνητικά πεδία αντίστοιχα. Στην περίπτωση που το κύµα διαδίδεται σε ρυθµό ΤΕ ή ΤΜ στον ίδιο κυµατοδηγό δεν υπάρχουν κύµατα τάσης ή ρεύµατος που να έχουν την ίδια φυσική έννοια όπως προηγουµένως. Αυτό θα έπρεπε να είναι αναµενόµενο αφού η τάση εάν οριστεί ως το γραµµικό ολοκλήρωµα του εγκάρσιου ηλεκτρικού πεδίου µεταξύ δύο σηµείων θα είναι µηδέν για τα κύµατα που διαδίδονται µε ρυθµό ΤΜ ενώ για τα κύµατα που διαδίδονται µε ρυθµό ΤΕ η τιµή αυτού του ολοκληρώµατος εξαρτάται από τη διαδροµή ολοκλήρωσης που ακολουθούµε. Γι αυτούς τους λόγους η εισαγωγή κυµάτων τάσης και ρεύµατος που σχετίζονται µε τους ρυθµούς κυµατοδήγησης έχει µόνον τυπική έννοια και συνεπώς αυτά τα µεγέθη µπορούν να θεωρηθούν ως δευτερεύουσας σηµασίας. Τα µεγέθη που µετριούνται µε άµεσο τρόπο δηλαδή µε τη βοήθεια ενός µικρού ακροδέκτη µέτρησης probe ο οποίος χρησιµοποιείται για τη δειγµατοληψία της σχετικής έντασης του πεδίου είναι: (α) ο λόγος στάσιµου κύµατος (β) η θέση της µικρότερης τιµής του πεδίου και (γ) η ισχύς. Τα δύο πρώτα µεγέθη χρησιµοποιούνται για τον άµεσο προσδιορισµό του συντελεστή ανάκλασης. Η µέτρηση της ισχύος χρησιµοποιείται στην περίπτωση που µας ενδιαφέρει η απόλυτη τιµή του πεδίου στη διάταξη. Ακόµη µία παράµετρος που µπορεί να µετρηθεί άµεσα είναι ο συντελεστής διάδοσης ενός κυκλώµατος ή µιας θύρας. Ο συντελεστής διάδοσης ορίζεται ως ο λόγος του µέτρου και της φάσης του διαδιδόµενου κύµατος προς το µέτρο και τη φάση του κύµατος εισόδου. Με άλλα λόγια τα µεγέθη που µπορούµε να µετρήσουµε άµεσα είναι το πλάτος και η φάση των κυµάτων που ανακλώνται από µια θύρα ως προς το µέτρο και τη φάση του κύµατος εισόδου. Τα πλάτη των ανακλώµενων κυµάτων σχετίζονται γραµµικά µε το πλάτος και τη φάση των κυµάτων διέγερσης. Ο πίνακας που περιγράφει αυτή τη γραµµική σχέση ονοµάζεται πίνακας σκέδασης. Θεωρούµε τη διακλάδωση Ν-θυρών του σχήµατος 4.4. Εάν ένα κύµα µε την αντίστοιχη ισοδύναµη τάση V προσπίπτει στη διακλάδωση στο επίπεδο αναφοράς θα δηµιουργηθεί στην γραµµή ένα ανακλώµενο κύµα = S V V όπου µε S συµβολίζουµε το συντελεστή ανάκλασης ή την s- παράµετρο για τη γραµµή ως προς το κύµα διέγερσης της γραµµής. Επίσης τα κύµατα θα διαδίδονται και θα ανακλώνται και από τις άλλες θύρες και θα έχουν τιµές ανάλογες προς την V. Αυτά τα πλάτη µπορούν να εκφραστούν ως V = SV µε = 3... N και S να είναι ο συντελεστής διάδοσης στη γραµµή από τη γραµµή. Εάν όλες οι γραµµές διεγείρονται µε κάποιο κύµα εισόδου το

32 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΚΩΝ ΙΑΤΑΞΕΩΝ 7 κύµα σκέδασης σε κάθε γραµµή θα επηρεάζεται από όλες τις εισόδους. Συνεπώς µπορούµε να γράψουµε γενικά: ή [ ] = [ S] [ V ] V S V = S V S N V όπου ο πίνακας [ ] S S... S N S3 S3... S N S S S N N... NN S όνοµάζεται πίνακας σκέδασης. V V... V (7) V - V 3 - V V 3 V V - V N V N - Σχήµα 4.4: Ν-θυρη διακλάδωση Οταν χρησιµοποιούµε τις s-παραµέτρους για την περιγραφή µιας διακλάδωσης είναι χρήσιµο να κανονικοποιούµε όλες τις ισοδύναµες τάσεις έτσι ώστε η διαδιδόµενη ισχύς να ισούται µε : V για όλα τα. Αυτό σηµαίνει ότι όλες οι ισοδύναµες χαρακτηριστικές αντιστάσεις θεωρούµε πως είναι ίσες µε τη µονάδα. Ο κύριος λόγος αυτής της κανονικοποίησης είναι ο σχηµατισµός ενός συµµετρικού πίνακα σκέδασης για όλες τις αντίστοιχες διατάξεις. Εάν δεν εφαρµοστεί αυτή η κανονικοποίηση τότε λόγω των διαφορετικών αντιστάσεων στις διάφορες γραµµές ο πίνακας σκέδασης δεν µπορεί να είναι συµµετρικός. Επίσης µε την κανονικοποίηση ( V I ) V = V V και I = I I = V V θα έχουµε ότι V = V = V I. Συνεπώς οι νέες µεταβλητές V και V είναι γραµµικοί συνδυασµοί των µεταβλητών V και I που χρησιµοποιούνται για την περιγραφή των αντιστάσεων. Για και ( )

33 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 το λόγο αυτό τα ρεύµατα δεν εισέρχονται στον πίνακα σκέδασης. Εάν είναι επιθυµητό µπορούν να υπολογιστούν από τη σχέση I = V V. Χρησιµοποιώντας την µέθοδο FDTD για την προσοµοίωση µιας διάταξης παίρνουµε ως αποτέλεσµα τις ακριβείς τιµές των συνιστωσών του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου σε κάθε σηµείο του χώρου και για όλο το χρόνο προσοµοίωσης. Με αυτές τις τιµές των συνιστωσών του πεδίου µπορούµε έµµεσα να υπολογίσουµε και το συντελεστή ανάκλασης. Είδαµε παραπάνω πως η s-παράµετρος κάποιας θύρας δίνεται από τη σχέση: [ ] r [ S][ V ] V = (8) όπου [ V ] r είναι το διάνυσµα της τάσης του ανακλώµενου κύµατος και [ V ] είναι το διάνυσµα τάσης του κύµατος διέγερσης ενώ µε [ S ] συµβολίζεται ο πίνακας σκέδασης. Για την εφαρµογή της παραπάνω σχέσης χρειάζεται να δηµιουργήσουµε ένα αρχείο µε τις µέσες τιµές της κάθετης συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου σε µια περιοχή που ορίζεται ακριβώς κάτω από την ταινία και έως το επίπεδο γείωσης στο ύψος του επιπέδου αναφοράς και για κάθε χρονικό βήµα. Οι τιµές αυτές του πεδίου είναι ανάλογες µε το µέτρο της τάσης του κύριου ρυθµού διάδοσης. Για τον υπολογισµό της s-παραµέτρου S ( ω) θα πρέπει να γνωρίζουµε τις κυµατοµορφές του σήµατος εισόδου καθώς και του ανακλώµενου κύµατος. Οµως η προσοµοίωση FDTD åîάγει για κάθε συνιστώσα του πεδίου την υπέρθεση του κύµατος εισόδου µε το ανακλώµενο κύµα. Για να είναι εφικτός ο διαχωρισµός των δύο κυµάτων θα πρέπει να εκτελέσουµε µια ακόµη προσοµοίωση σε µια διάταξη που περιέχει µόνον την µικροταινία της θύρας η οποία θα εκτείνεται στο άπειρο δηλαδή από την πηγή στο στρώµα απορρόφησης. Η πληροφορία που παίρνουµε απ αυτήν την εκτέλεση είναι το καθαρό σήµα της εισόδου το οποίο µπορεί να αφαιρεθεί από το ανακλώµενο κύµα συν το κύµα εισόδου για να αποκτήσουµε το ανακλώµενο κύµα για τη θύρα. Στις υπόλοιπες θύρες καταχωρείται µόνον το διαδιδόµενο κύµα και συνεπώς δεν χρειάζεται να εκτελεστούν επιπλέον εξοµοιώσεις. Στη συνέχεια οι s-παράµετροι µετασχηµατισµό Fourer σ αυτές τις κυµατοµορφές σύµφωνα µε τη σχέση: S ( ) FT S µπορούν να υπολογιστούν εφαρµόζοντας το { V ( ) } { V () } ω = (9) FT Επίσης θα πρέπει να προνοήσουµε για την ύπαρξη κάποιας απόστασης µεταξύ του επιπέδου αναφοράς και της διάταξης για να αποφύγουµε την παραµόρφωση των καταγραµµένων αποτελεσµάτων από παροδικά κύµατα σφάλµατος που δηµιουργούνται εν γένει από τις ασυνέχειες της διάταξης.

34 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΚΩΝ ΙΑΤΑΞΕΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΚΩΝ ΙΑΤΑΞΕΩΝ Οι διατάξεις που θα αναλύσουµε µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου είναι τα φίλτρα οι κεραίες και ο κατευθυντικός ζεύκτης µικροταινιών. Θεωρούµε ότι οι διατάξεις αποτελούνται από ένα υλικό οµοιόµορφο ισότροπο οµογενές και χωρίς απώλειες. Σ αυτή την περίπτωση οι εξισώσεις που περιγράφουν τις αλληλεπιδράσεις του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου είναι οι δύο εξισώσεις στροφής του Mawell (). Για την επίλυση αυτού του συστήµατος αλγοριθµικά θα πρέπει να περιοριστεί το πρόβληµα σε έναν τρισδιάστατο υπολογιστικό χωρό ο οποίος θα διακριτοποιηθεί σε µορφή οµοιόµορφου πλέγµατος. Ο χώρος αυτός θα πλαισιώνεται µε την εφαρµογή κάποιων οριακών συνθηκών και θα διεγείρεται από µια κατάλληλη πηγή. Τέλος θα πρέπει µε κάποιον τρόπο να οριστούν οι αγώγιµες ταινίες και οι θύρες αναφοράς. Στις παραγράφους που ακολουθούν περιγράφονται τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά του κάθε βήµατος ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ Οι εξισώσεις στροφής του Mawell µετατρέπονται σε εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών ακρίβειας δεύτερης τάξης όπως φαίνεται στις () και (3) για τις συνιστώσες και του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου αντίστοιχα. Η υλοποίηση των εξισώσεων αυτών αλγοριθµικά είναι άµεση. Επειδή χρησιµοποιπούν το µοντέλο των κεντρικών διαφορών για να είναι το σύστηµά µας ευσταθές θα πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη ευστάθειας του Coura (4) ΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ Τα βήµατα που χρησιµοποιούµε ως προς τις συντεταγµένες του χώρου καθορίζονται από τη διάταξη που αναλύουµε. Το κριτήριο για την επιλογή τους είναι η µοντελοποίηση της διάταξης µε την εφαρµογή ενός ακέραιου αριθµού κόµβων. Επίσης έχοντας υπόψη το φαινόµενο της αριθµητικής διασποράς που εµφανίζεται εν γένει στη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών τα βήµατα αυτά ρυθµίζονται κατάλληλα. Συνήθως το πάχος του υποστρώµατος µοντελοποιείται µε τρία κελιά ενώ το πλάτος των ταινιών µοντελοποιείται µε 6 κελιά. Στο σχήµα 4.5 φαίνεται η µοντελοποίηση των ορθογώνιων αντικειµένων. Οι διαστάσεις αυτών των αντικειµένων διαµορφώνονται έτσι ώστε οι ακµές τους να εφάπτονται στους πλησιέστερους κόµβους του πλέγµατος. Στο σχήµα 4.6 παρουσιάζεται η µοντελοποίηση των καµπύλων αντικειµένων. Τα αντικείµενα αυτά µοντελοποιούνται µε τη τεχνική sarcase.

35 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Σχήµα 4.5: Μοντελοποίηση ορθογώνιων αντικειµένων. Σχήµα 4.6: Μοντελοποίηση καµπύλων αντικειµένων ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗΣ Οι διατάξεις που θα αναλύσουµε τοποθετούνται παράλληλα µε το επίπεδο του υπολογιστικού χώρου (σχήµα 4.7α). Η µία επιφάνεια του υποστρώµατος της µικροταινίας καλύπτεται πλήρως µε τέλεια αγώγιµο υλικό. Συνεπώς η κάτω πλευρά του υπολογιστικού χώρου τερµατίζει σε ηλεκτρικό τοίχο. Στις υπόλοιπες 5 πλευρές του χώρου εφαρµόζεται η τεχνική PML. Συνολικά ορίζονται 7 περιοχές (σχήµα 4.8). Οι ιδιότητες της κάθε περιοχής ρυθµίζονται κατάλληλα όπως προαναφέρθηκε στο αντίστοιχο 4 κεφάλαιο. Ο θεωρητικός συντελεστής ανάκλασης για όλες τις διατάξεις ορίζεται ίσος µε ( ) R 0 = 0. To πάχος του στρώµατος PML είναι: d = 8 κελιά ενώ η αγωγιµότητα στο εσωτερικό του στρώµατος µεταβάλλεται τετραγωνικά µε την απόσταση (σχήµα 4.7β).

36 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΚΩΝ ΙΑΤΑΞΕΩΝ 3 σ ma ε 0 αγώγιµη ταινία αγωγιµότητα ε r επίπεδο γείωσης πλάτος PML σε κελιά (α) (β) Σχήµα 4.7: (α)υπολογιστικός χώρος (β)τετραγωνική µεταβολή της αγωγιµότητας µε την απόσταση Σχήµα 4.8: Πλαισίωση του υπολογιστικού χώρου µε την τεχνική PML ΙΕΓΕΡΣΗ Για τη διέγερση του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου χρησιµοποιούµε τον παλµό Gauss (6) σε µια περιοχή που ορίζεται από τα σηµεία που βρίσκονται ακριβώς κάτω από την ταινία έως το επίπεδο γείωσης. Το αριθµητικό ισοδύναµο του παλµού παρεµβάλλεται στη συνιστώσα πεδίου. του ηλεκτρικού επίπεδο διέγερσης αγώγιµη ταινία ε r επίπεδο γείωσης Σχήµα 4.9: Μοντελοποίηση της ταινίας

37 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΤΑΙΝΙΑΣ Οι ταινίες που µοντελοποιούµε θεωρούµε ότι αποτελούνται από τέλεια αγώγιµο υλικό µηδενικού πάχους. Η µοντελοποίηση συνίσταται στη µηδένιση όλων των ηλεκτρικών συνιστωσών που εφάπτονται στην ταινία. Οι διαστάσεις των ταινιών θα πρέπει να διαµορφώνονται έτσι ώστε οι ακµές τους να εφάπτονται στις αντίστοιχες συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου (σχήµα 4.9) ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΥΠΟΣΤΡΩΜΑΤΟΣ Οταν το υπόστρωµα στο οποίο εµφυτεύεται η διάταξη που µοντελοποιούµε είναι επίπεδο θεωρούµε ότι η διηλεκτρική σταθερά των κόµβων που εφάπτονται στη διαχωριστική επιφάνεια του υποστρώµατος µε το κενό είναι ίση µε το ηµιάθροισµα των διηλεκτρικών σταθερών των δύο υλικών (σχήµα 4.0). διηλεκτρική σταθερά των κόµβων που εφάπτονται στη διαχωριστική επιφάνεια: ε ε ε = Σχήµα 4.0: Μοντελοποίηση επίπεδου υποστρώµατος. Ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι περιπτώσεις όπου το υπόστρωµα δεν είναι επίπεδο αλλά καµπύλο. Για την µοντελοποίηση της καµπυλότητας χρησιµοποιούµε τη σχέση: ( ) α ( ) w = f = h 0.75e (30) όπου α = 30d και h είναι το πάχος του υποστρώµατος. Η κλίση της καµπυλότητας ρυθµίζεται από την παράµετρο w. Στην παρούσα εργασία αναλύουµε τη διάταξη του χαµηλοπερατού φίλτρου και τη διάταξη της κεραίας για τρεις διαφορετικές τιµές της παραµέτρου: w = ( 4log ) α ( 0log ) α και ( ) w = (3) w = 0log α Στο σχήµα 4. παρουσιάζεται η µορφή της κάθε καµπύλης. Για τη µοντελοποίηση του υποστρώµατος χρησιµοποιείται η τεχνική sarcase (σχήµα 4.).

38 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΚΩΝ ΙΑΤΑΞΕΩΝ w=(4log)/α w=(0log)/α ε w=(0log)/α ε Σχήµα 4.: Εγκάρσια τοµή της κοιλότητας Σχήµα 4.: Μοντελοποίηση της κοιλότητας µε την τεχνική sacase Ωστόσο θα πρέπει να δοθεί ιδιαίτερη προσοχή στον ορισµό της διηλεκτρικής σταθεράς. Στο σχήµα 4.3 παρουσιάζονται οι κατάλληλες τιµές της διηλεκτρικής σταθεράς για τις αντίστοιχες συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου. ε = 3 ε 4 4 ε ε ε ε = ε = ε ε ε ε = ε Ó Þìá 4.3: Äéáìüñöùóç ôçò äéçëåêôñéêþò óôáèåñüò ãéá êáìðýëï õðüóôñùìá ε ε ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ S-ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Για τον υπολογισµό των s-παραµέτρων εφαρµόζεται η σχέση (9) στις αντίστοιχες θύρες της διάταξης. Η θύρα ορίζεται ως ένα επίπεδο που περικλύει την περιοχή ακριβώς κάτω από την ταινία και έως το επίπεδο γείωσης στο ύψος του επιπέδου αναφοράς r. Σε κάθε χρονική στιγµή καταγράφεται σε ένα αρχείο η µέση τιµή της εγκάρσιας συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου που αντιστοιχεί στη θύρα. Η ποσότητα αυτή είναι ανάλογη µε την τάση που αναπτύσσεται στη θύρα. Η πρόταση αυτή ισχύει αφού θεωρούµε πως στις διατάξεις που µελετούµε η διάδοση γίνεται σε ρυθµό ψευδό-τεμ. Συνεπώς η τάση αντιστοιχεί µε µοναδικό τρόπο µε το ηλεκτρικό πεδίο. Στην ουσία η τιµή αυτή είναι µία αριθµητική προσέγγιση του γραµµικού ολοκληρώµατος:

39 34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 V h = d 0 h ma = 0 = m ( ) ma m r ε ταινία =h =0 ε m ma =r Σχήµα 3.0: Παράδειγµα θύρας

40 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [] Davd M. Shee Sam M. Al Mohamed D. Abouahra J Au Kog Applcao of he Three-Dmesoal Fe-Dfferece Tme-Doma Mehod o he Aalss of Plaar Mcrosrp Crcus I Tras. o Mcrowave Theor ad Techques Vol. 38 No 7 Jul 990. [] Mar A. Schamberger Seva Kosaovch Ra Mra Parameer raco ad Correco for Trasmsso Les ad Dscoues Usg he Fe-Dfferece Tme- Doma Mehod I Tras. o Mcrowave Theor ad Techques Vol. 44 No 6 Jue 996. [3] Pg Zhao A V. Rasae Applcao of a Smple ad ffce Source cao Techwue o he FDTD Aalss of Wavegude ad Mcrosrp Crcus I Tras. o Mcrowave Theor ad Techques Vol. 44 No 9 December 996. [4] Wa Lee Ko Ra Mra A Combao of FD-TD ad Pro s Mehods for Aalg Mcrowave Iegraed Crcus I Tras. o Mcrowave Theor ad Techques Vol. 39 No December 99. [5] Seffe affa Delev ollma Werer Wesbec The Fe Dfferece Mehod for S- Parameer Calculao of Arbrar Three-Dmesoal Srucures I Tras. o Mcrowave Theor ad Techques Vol. 40 N0 8 Augus 99. [6] Xaloe Zhag Jaua Fag Keeh K. Me Calculaos of he Dspersve Characerscs of Mcrosrps b he Tme-Doma Fe Dfferece Mehod I Tras. o Mcrowave Theor ad Techques Vol. 36 No Februar 988. [7] Xaloe Zhag Keeh K. Me Tme-Doma Fe Dfferece Approach o he Calculao of he Frequec-Depede Characerscs of Mcrosrp Dscoues I Tras. o Mcrowave Theor ad Techques Vol. 36 No December 988. [8] Alle Taflove Compuaoal lecrodamcs: The Fe-Dfferece Tme-Doma Mehod Arech ouse 995. [9] Rober. Coll Foudaos for Mcrowave geerg McGraw ll d edo 99. [0] Wllam. Press Saul A. Teuols Wllam T. Veerlg Bra P. Flaer Numercal Recpes C Cambrdge Uvers Press d edo 994.

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 5. ΙΑΤΑΞΕΙΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΟ ΥΠΟΣΤΡΩΜΑ 5.. ΧΑΜΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ (LOW PASS FILTR) διηλεκτρική σταθερά υποστρώµατος:..54mm θύρα.43mm 0.3mm θύρα 5.65mm (α) Σχήµα 5.: Χαµηλοπερατό φίλτρο (β) Η διάταξη του σχήµατος 5.(α) είναι ένα χαµηλοπερατό φίλτρο. Το κύκλωµα αυτό επιτρέπει τη διέλευση των σηµάτων µε συχνότητα από 0 µέχρι ένα ανώτατο όριο τη συχνότητα αποκοπής χωρίς παραµόρφωση. Το πλάτος των σηµάτων µε συχνότητα µεγαλύτερη απ αυτήν της συχνότητας αποκοπής µειώνεται δραστικά. Ôá ãåùìåôñéêά χαρακτηριστικά του φίλτρου που θα αναλύσουµε φαίνονται στο σχήµα 5.(β). Για την προσοµοίωση του κυκλώµατος χρησιµοποιούµε τις παρακάτω παραµέτρους: ιακριτοποίηση στο χώρο Τα βήµατα που χρησιµοποιούµε ως προς τις συντεταγµένες του χώρου είναι: = mm και = 0. 65mm = mm. Με αυτήν την επιλογή οι διαστάσεις του πλέγµατος (συµπεριλαµβανοµένου και του PML) είναι: Το πάχος του υποστρώµατος είναι 3 κελιά. Οι διαστάσεις της οριζόντιας λωρίδας είναι: 50 6 ενώ η απόσταση της πηγής από την άκρη της οριζόντιας λωρίδας είναι 50 κελιά. Τα επίπεδα αναφοράς για τις θύρες και απέχουν 0 κελιά από τις αντίστοιχες άκρες της οριζόντιας λωρίδας. Το πλάτος των ταινιών των θυρών και είναι 6. ιακριτοποίηση στο χρόνο Το βήµα ως προς το χρόνο είναι: = 0.44sec.

42 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ιέγερση Χρησιµοποιούµε τον παλµό Gauss της σχέσης (6). Το µήκος του παλµού στο χρόνο είναι: ενώ η χρονική καθυστέρηση είναι: 0 = 3T. T = 5psec Αποτελέσµατα Η διάρκεια της προσοµοίωσης είναι 3000 χρονικά βήµατα. Οι s-παράµετροι σχεδιάζονται στο σχήµα 5.. Η επιθυµητή λειτουργία της διάταξης ως χαµηλοπερατό φίλτρο φαίνεται από την απότοµη πτώση του συντελεστή διάδοσης S ( f ) στη συχνότητα αποκοπής των 5G ðåñßðïõ. Στο σχήµα 5.3 παρουσιάζονται µερικά στιγµιότυπα της χωρικής κατανοµής της συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου s - παράµετροι (db) S S Συχνότητα (G) (α) S db Συχνότητα (G) S db Συχνότητα (G) (β) (γ) Σχήµα 5.: (α) Οι s-παράµετροι του χαµηλοπερατού φίλτρου του σχήµατος 5.. (β) ο συντελεστής ανάκλασης. (γ) ο συντελεστής διάδοσης.

43 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ χρονικά βήµατα 400 χρονικά βήµατα 600 χρονικά βήµατα 800 χρονικά βήµατα Σχήµα 5.3: Χωρική κατανοµή της συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου στο επίπεδο που ορίζεται από τα σηµεία που βρίσκονται ακριβώς κάτω από το υπόστρωµα για και 800 χρονικά βήµατα. Η τρισδιάστατη απεικόνιση αντιστοιχεί στις θετικές τιµές της.

44 38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΙΚΟΣ ΖΕΥΚΤΗΣ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΩΝ (BRANC LIN COUPLR) διηλεκτρική σταθερά υποστρώµατος:. 9.75mm θύρα θύρα mm.43mm θύρα θύρα mm (α) Σχήµα 5.4: Κατευθυντική ζεύξη µικροταινιών (β) Η διάταξη του σχήµατος 5.4(α) είναι ένας κατευθυντικός ζεύκτης µικροταινιών. Η διάταξη αυτή είναι γνωστή και ως υβριδική διακλάδωση 90 επειδή η διαφορά φάσης στο σηµείο λειτουργίας µεταξύ των θυρών 3 και 4 είναι 90. Στο σχήµα 5.4(β) φαίνεται καθαρά η τετραπλή συµµετρία της διάταξης. Η σύζευξη των γραµµών είναι 3 db. Αυτό σηµαίνει πως η ισχύς που µεταφέρουν οι θύρες και µοιράζεται οµοιόµορφα στις θύρες 3 και 4. Ôá ãåùìåôñéêά χαρακτηριστικά του κατευθυντικού ζυγού φαίνονται στο σχήµα 5.4(β). Για την προσοµοίωση αυτού του κυκλώµατος χρησιµοποιούµε τις παρακάτω παραµέτρους: ιακριτοποίηση στο χώρο Τα βήµατα που χρησιµοποιούµε ως προς τις συντεταγµένες του χώρου είναι: = mm = mm και = 0. 65mm. Με αυτήν την επιλογή οι διαστάσεις του πλέγµατος (συµπεριλαµβανοµένου και του PML) είναι: Το πάχος του υποστρώµατος είναι 3 κελιά. Οι αποστάσεις του κεντρικού πλαισίου από κέντρο-σε-κέντρο είναι: 4 και 4 ενώ η απόσταση της πηγής από την άκρη του ζεύκτη είναι 50 κελιά. Τα επίπεδα αναφοράς για τις θύρες έως 4 απέχουν 0 κελιά από τις αντίστοιχες άκρες του ζεύκτη. Το πλάτος των ταινιών για τις θύρες έως 4 είναι 6 ενώ το πλάτος των φαρδιών ταινιών του κεντρικού πλαισίου είναι 0. ιακριτοποίηση στο χρόνο Το βήµα ως προς το χρόνο είναι: = 0.44sec. ιέγερση Χρησιµοποιούµε τον παλµό Gauss της σχέσης (6). Το µήκος του παλµού στο χρόνο είναι: ενώ η χρονική καθυστέρηση είναι: 0 = 3T. T = 5psec

45 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 39 Αποτελέσµατα Η διάρκεια της προσοµοίωσης είναι 3000 χρονικά βήµατα. Οι s-παράµετροι σχεδιάζονται στo σχήµα 5.5. Η επιθυµητή λειτουργία της διάταξης φαίνεται από την απότοµη πτώση των S ( f ) και ( f ) συχνότητα των 6.5G ðåñßðïõ. Στην ίδια συχνότητα οι S 3 ( f ) και ( f ) σηµείο διασταύρωσης οι S 3 ( f ) και S 4 ( f ) είναι περίπου 3dB οµοιόµορφα στις θύρες 3 και 4. Η απότοµη πτώση των S ( f ) και ( f ) S στη S 4 τέµνονται. Σ αυτό το που σηµαίνει ότι η ισχύς µοιράζεται S στο σηµείο λειτουργίας φανερώνει πως οι θύρες και µεταφέρουν µικρή ισχύ. Στο σχήµα 5.6 παρουσιάζονται µερικά στιγµιότυπα της χωρικής κατανοµής της συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου S 3 4 db S S S 3 S Συχνότητα (G) Σχήµα 5.5: Οι s-παράµετροι για τον κατευθυντικό διακλαδωτή µικροταινιών του σχήµατος 5.5

46 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 00 χρονικά βήµατα 400 χρονικά βήµατα 600 χρονικά βήµατα 800 χρονικά βήµατα Σχήµα 5.6: Χωρική κατανοµή της συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου στο επίπεδο που ορίζεται από τα σηµεία που βρίσκονται ακριβώς κάτω από το υπόστρωµα για και 800 χρονικά βήµατα. Η τρισδιάστατη απεικόνιση αντιστοιχεί στις θετικές τιµές της.

47 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΉ ΚΕΡΑΙΑ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΊΑΣ (PATC ANTNNA) διηλεκτρική σταθερά υποστρώµατος:. 7.9mm.46mm.45mm θύρα 6mm (α) Σχήµα 5.7: Ορθογωνική κεραία µικροταινίας (β) Η διάταξη του σχήµατος 5.7(α) είναι µια κεραία. Η µικροταινία χρησιµοποιείται για την οδήγηση του σήµατος εισόδου στην κεραία. Μόλις ο παλµός φτάσει στην αρχή του πλαισίου ένα µικρό µέρος της ενέργειάς του θα ανακλαστεί πίσω στη µικροταινία λόγω της διαφορετικής αντίστασης του πλασίου από τη µικροταινία. Στη συνέχεια ο παλµός θα διαχυθεί στην κεραία. Οταν θα φτάσει στις ακµές του πλαισίου ένα µέρος της ενέργειάς του θα εκπεµφθεί ενώ το υπόλοιπο θα ανακλαστεί στο εσωτερικό της κεραίας. Η ανάκλαση αυτή πραγµατοποιείται λόγω της ατελούς µετάβασης από την κεραία στον αέρα. Στη συνέχεια ένα µικρό µέρος της ενέργειας θα επιστρέψει πίσω στη µικροταινία ενώ το υπόλοιπο θα συνεχίσει να διαδίδεται στο εσωτερικό της κεραίας µέχρι να συναντήσει τις ακµές της κ.ο.κ. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται έως ότου εξασθενήσουν αρκετά όλες αυτές οι διαδοχικές ανακλάσεις. Ôá ãåùìåôñéêά χαρακτηριστικά της κεραίας φαίνονται στο σχήµα 5.7(β). Για την προσοµοίωση αυτού του κυκλώµατος χρησιµοποιούµε τις παρακάτω παραµέτρους: ιακριτοποίηση στο χώρο Τα βήµατα που χρησιµοποιούµε ως προς τις συντεταγµένες του χώρου είναι: = 0. 4mm και = 0. 65mm = mm. Με αυτήν την επιλογή οι διαστάσεις του πλέγµατος (συµπεριλαµβανοµένου και του PML) είναι: Το πάχος του υποστρώµατος είναι 3 κελιά. Οι διαστάσεις της ορθογωνικής λωρίδας που υλοποιεί την κεραία είναι: 3 40 ενώ η απόσταση της πηγής από την άκρη της κεραίας είναι 50 κελιά. Το επίπεδο αναφοράς της θύρας απέχει 0 κελιά από την άκρη της κεραίας. Το πλάτος της ταινίας που οδηγεί τη διέγερση στην κεραία είναι 6. ιακριτοποίηση στο χρόνο Το βήµα ως προς το χρόνο είναι: = 0.44sec. ιέγερση

48 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Χρησιµοποιούµε τον παλµό Gauss της σχέσης (6). Το µήκος του παλµού στο χρόνο είναι: ενώ η χρονική καθυστέρηση είναι: 0 = 3T. T = 5psec Αποτελέσµατα Η διάρκεια της προσοµοίωσης είναι 3000 χρονικά βήµατα. Οι s-παράµετροι σχεδιάζονται στo σχήµα 5.8. Η επιθυµητή λειτουργία της διάταξης φαίνεται από την απότοµη πτώση της S ( f ) στα 7.5G ðåñßðïõ. Αυτή είναι και η συχνότητα συντονισµού της κεραίας. Στο σχήµα 5.9 παρουσιάζεται η χωρική κατανοµή της συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου για και 800 χρονικά βήµατα S db Συχνότητα (G) Σχήµα 5.8: Ο συντελεστής ανάκλασης της ορθογωνικής κεραίας µικροταινίας του σχήµατος 5.7

49 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ χρονικά βήµατα 400 χρονικά βήµατα 600 χρονικά βήµατα 800 χρονικά βήµατα Σχήµα 5.9: Χωρική κατανοµή της συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου στο επίπεδο που ορίζεται από τα σηµεία που βρίσκονται ακριβώς κάτω από το υπόστρωµα για και 800 χρονικά βήµατα. Η τρισδιάστατη απεικόνιση αντιστοιχεί στις θετικές τιµές της.

50 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΖΩΝΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ (BAND PASS FILTR) διηλεκτρική σταθερά υποστρώµατος: 0.7mm.7mm θύρα (α) θύρα Σχήµα 5.0: Ζωνοπερατό φίλτρο.7mm (β) Η διάταξη του σχήµατος 5.0(α) είναι ένα ζωνοπερατό φίλτρο. Το κύκλωµα αυτό επιτρέπει τη διέλευση των σηµάτων εκείνων που αντιστοιχούν σε µια µικρή περιοχή συχνοτήτων γνωστή και ως ζώνη διέλευσης χωρίς παραµόρφωση. Οι υπόλοιπες συχνότητες απορρίπτονται. Ôá ãåùìåôñéêά χαρακτηριστικά του ζωνοπερατού φίλτρου φαίνονται στο σχήµα 5.0(β). Για την προσοµοίωση του κυκλώµατος χρησιµοποιούµε τις παρακάτω παραµέτρους: ιακριτοποίηση στο χώρο Τα βήµατα που χρησιµοποιούµε ως προς τις συντεταγµένες του χώρου είναι: = 0. mm = 0. mm και = 0. mm. Με αυτήν την επιλογή οι διαστάσεις του πλέγµατος (συµπεριλαµβανοµένου και του PML) είναι: Το πάχος του υποστρώµατος είναι 6 κελιά. Οι αποστάσεις µεταξύ των ταινιών είναι: 6 ενώ το µήκος της κεντρικής ταινίας είναι: 60. Τα επίπεδα αναφοράς για τις θύρες και απέχουν 0 κελιά από τις αντίστοιχες άκρες τις κεντρικής λωρίδας. Το πλάτος των ταινιών είναι 6. ιακριτοποίηση στο χρόνο Το βήµα ως προς το χρόνο είναι: = sec. ιέγερση Χρησιµοποιούµε τον παλµό Gauss της σχέσης (6). Το µήκος του παλµού στο χρόνο είναι: ενώ η χρονική καθυστέρηση είναι: 0 = 3T. T = 5psec Αποτελέσµατα Η διάρκεια της προσοµοίωσης είναι 3000 χρονικά βήµατα. Οι s-παράµετροι σχεδιάζονται στo σχήµα 5.. Η επιθυµητή λειτουργία της διάταξης φαίνεται από τις απότοµες κορυφές του συντελεστή διάδοσης στις συχνότητες των 4.5 και 8.5 G περίπου. Παρατηρούµε ότι το φίλτρο αυτό είναι στενής ζώνης

51 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 45 διέλευσης. Στο σχήµα 5. παρουσιάζονται µερικά στιγµιότυπα της χωρικής κατανοµής της συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου s-παράµετροι S S Συχνότητα (G) (α) S db S db S S Συχνότητα (G) Συχνότητα (G) (β) (γ) Σχήµα 5.: (α) Οι s-παράµετροι για το ζωνοπερατό φίλτρο του σχήµατος 5.0. (β) ο συντελεστής ανάκλασης. (γ) ο συντελεστής διάδοσης.

52 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 00 χρονικά βήµατα 400 χρονικά βήµατα 600 χρονικά βήµατα 800 χρονικά βήµατα Σχήµα 5.: Χωρική κατανοµή της συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου στο επίπεδο που ορίζεται από τα σηµεία που βρίσκονται ακριβώς κάτω από το υπόστρωµα για και 800 χρονικά βήµατα. Η τρισδιάστατη απεικόνιση αντιστοιχεί στις θετικές τιµές της.

53 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΑΤΑΞΕΙΣ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΟ ΥΠΟΣΤΡΩΜΑ 5.. ΧΑΜΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ Σ αυτή την ενότητα θα αναλύσουµε τη διάταξη του χαµηλοπερατού φίλτρου του σχήµατος 5. όταν αυτή εµφυτεύεται σε καµπύλο υπόστρωµα. Η κλίση της καµπύλης καθορίζεται από την παράµετρο w της σχέσης (30). Εφαρµόζοντας αυτή τη σχέση η ελάχιστη και η µέγιστη τιµή του υποστρώµατος είναι 3 και 5 κελιά. Συνεπώς για την εκτίµηση των αποτελεσµάτων χρειάζεται να εκτελέσουµε µια ακόµη προσοµοίωση του χαµηλοπερατού φίλτρου σε επίπεδο υπόστρωµα πάχους 5 κελιών. Οι s-παράµετροι φαίνονται στο σχήµα 5.3. Παρατηρούµε ότι µε την αύξηση του υποστρώµατος η γενική µορφή των s- παραµέτρων διατηρείται. Ωστόσο από το συντελεστή διάδοσης φαίνεται ότι η συχνότητα αποκοπής του φίλτρου µετατοπίστηκε ελαφρώς προς τα αριστερά. S (db) επίπεδο υπόστρωµα h=3 επίπεδο υπόστρωµα h= Συχνότητα (G) S (db) επίπεδο υπόστρωµα h=3 επίπεδο υπόστρωµα h= Συχνότητα (G) Σχήµα 5.3: Οι s-παράµετροι του χαµηλοπερατού φίλτρου του σχήµατος 5. για δύο διαφορετικά µεγέθη υποστρώµατος. (α) ο συντελεστής ανάκλασης. (β) ο συντελεστής διάδοσης. Για τη µοντελοποίηση της αγώγιµης ταινίας θα πρέπει οι εφαπτοµενικές συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου να είναι µηδέν. Οταν το υπόστρωµα είναι επίπεδο και η διάταξη τοποθετείται στον υπολογιστικό χώρο όπως φαίνεται στο σχήµα (4.7α) οι συνιστώσες που εφάπτονται στην ταινία είναι πάντα δύο. Στην περίπτωση του καµπύλου υποστρώµατος και οι τρεις συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου συµµετέχουν στη διαµόρφωση της ταινίας. Στο σχήµα 5.4 παρουσιάζονται οι κόµβοι του υπολογιστικού χώρου για τις συνιστώσες ταινίας. και που συµµετέχουν στη διαµόρφωση της αγώγιµης

54 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 = ( 4log ) α w = ( 0log ) α w = ( 0log ) α w Σχήµα 5.4: Οι κόµβοι του υπολογιστικού χώρου για τις συνιστώσες και του ηλεκτρικού πεδίου που συµµετέχουν στη διαµόρφωση της αγώγιµης ταινίας για τις τρεις διαφορετικές κλίσεις του υποστρώµατος.

55 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 49 Στο σχήµα 5.5 σχεδιάζονται οι s-παράµετροι για τις τρεις διαφορετικές κλίσεις του υποστρώµατος. Παρατηρούµε ότι όσο πιο απότοµη είναι η κλίση τόσο µικραίνει η συχνότητα αποκοπής ενώ η γενική µορφή των s-παραµέτρων παραµένει αναλλοίωτη. Θα περιµέναµε οι s-παράµετροι για καµπύλο υπόστρωµα να περιβάλλονται από τις αντίστοιχες καµπύλες για επίπεδο υπόστρωµα πάχους τριών και πέντε κελιών αντίστοιχα. Ωστόσο κάτι τέτοιο δεν συµβαίνει. Παρόλα αυτά η συγκεκριµένη διάταξη εξακολουθεί να λειτουργεί ως χαµηλοπερατό φίλτρο όµως µε ελαφρώς διαφορετικά χαρακτηριστικά. Στο σχήµα 5.6 παρουσιάζονται από δύο στιγµιότυπα της συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου για κάθε διάταξη. Είναι φανερή η αλλοίωση του πεδίου από την παραµόρφωση του υποστρώµατος S (db) S (db) επίπεδο υπόστρωµα h=3 επίπεδο υπόστρωµα h=5 w=(4log)/α επίπεδο υπόστρωµα h=3 επίπεδο υπόστρωµα h=5 w=(4log)/α Συχνότητα (G) Συχνότητα (G) (α) συντελεστής ανάκλασης (β) συντελεστής διάδοσης S (db) επίπεδο υπόστρωµα h=3 επίπεδο υπόστρωµα h=5 w=(0log)α S (db) επίπεδο υπόστρωµα h=3 επίπεδο υπόστρωµα h=5 w=(0log)/α Συχνότητα (G) Συχνότητα (G) (γ) συντελεστής ανάκλασης (δ) συντελεστής διάδοσης

56 50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ S (db) επίπεδο υπόστρωµα h=3 επίπεδο υπόστρωµα h=5 w=(0log)/α S (db) επίπεδο υπόστρωµα h=3 επίπεδο υπόστρωµα h=5 w=(0log)/α Συχνότητα (G) Συχνότητα (G) (ε) συντελεστής ανάκλασης (στ) συντελεστής διάδοσης S (db) S (db) w=(4log)/α w=(0log)/α w=(0log)/α Συχνότητα (G) w=(4log)/α w=(0log)/α w=(0log)/α Συχνότητα (G) (ζ) συντελεστής ανάκλασης (η) συντελεστής διάδοσης S (db) επίπεδο υπόστρωµα h=3 επίπεδο υπόστρωµα h=5 w=(4log)/α w=(0log)/α w=(0log)/α S (db) επίπεδο υπόστρωµα h=3 επίπεδο υπόστρωµα h=5 w=(4log)/α w=(0log)/α w=(0log)/α Συχνότητα (G) Συχνότητα (G) (θ) συντελεστής ανάκλασης (ι) συντελεστής διάδοσης Σχήµα 5.5: ιαγράµµατα σύγκρισης των s-παραµέτρων της διάταξης του χαµηλοπερατού φίλτρου σε επίπεδο και σε καµπύλο υπόστρωµα διαφορετικών κλίσεων.

57 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ χρονικά βήµατα 500 χρονικά βήµατα 400χρονικά βήµατα 500 χρονικά βήµατα 400 χρονικά βήµατα 500 χρονικά βήµατα Σχήµα 5.6: Χωρική κατανοµή της συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου στο επίπεδο που ορίζεται από τα σηµεία που βρίσκονται ακριβώς κάτω από το υπόστρωµα για τις τρεις διαφορετικές κλίσεις του υποστρώµατος.

58 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗ ΚΕΡΑΙΑ ΜΙΚΡΟΤΑΙΝΙΑΣ Στο σχήµα 5.7 παρουσιάζονται οι κόµβοι του υπολογιστικού χώρου για τις συνιστώσες και που συµµετέχουν στην διαµόρφωση των αγώγιµων µέρων της διάταξης για τις τρεις διαφορετικές κλίσεις του υποστρώµατος. w = ( 4log ) α = ( 0log ) α w = ( 0log ) α w Σχήµα 5.7: Οι κόµβοι του υπολογιστικού χώρου για τις συνιστώσες και διαµόρφωση της αγώγιµης ταινίας για τις τρεις διαφορετικές κλίσεις του υποστρώµατος. που συµµετέχουν στη

59 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 53 Στο σχήµα 5.8 σχεδιάζονται οι s-παράµετροι. Παρόµοια µε την διάταξη του χαµηλοπερατού φίλτρου παρατηρούµε ότι όσο πιο απότοµη είναι η κλίση τόσο µικραίνει η συχνότητα συντονισµού της κεραίας ενώ η γενική µορφή του συντελεστή ανάκλασης παραµένει αναλλοίωτη. Συνεπώς η διάταξη εξακολουθεί να λειτουργεί ως κεραία όµως µε ελαφρώς διαφορετικά χαρακτηριστικά. Στο σχήµα 5.9 παρουσιάζονται από δύο στιγµιότυπα της συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου για κάθε διάταξη. Είναι φανερή η αλλοίωση του πεδίου από την παραµόρφωση του υποστρώµατος. s - παράµετροι (db) επίπεδο υπόστρωµα h=3 επίπεδο υπόστρωµα h= Συχνότητα (G) s- παράµετροι (db) επίπεδο υπόστρωµα h=3 επίπεδο υπόστρωµα h=5 w=(4log)/α Συχνότητα (G) s - παράµετροι (db) επίπεδο υπόστρωµα h=3 επίπεδο υπόστρωµα h=5 w=(0log)/α Συχνότητα (G) s - παράµετροι (db) επίπεδο υπόστρωµα h=3 επίπεδο υπόστρωµα h=5 w=(0log)/α Συχνότητα (G)

60 54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 S (db) w=(4log)/α w=(0log)/α w=(0log)/α Συχνότητα (G) s - παράµετροι (db) επίπεδο υπόστρωµα h=3 επίπεδο υπόστρωµα h=5 w=(4log)/α w=(0log)/α w=(0log)/α Συχνότητα (db) Σχήµα 5.8: ιαγράµµατα σύγκρισης των s-παραµέτρων της διάταξης της ορθογωνικής κεραίας µικροταινίας σε επίπεδο και σε καµπύλο υπόστρωµα διαφορετικών κλίσεων.

61 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ χρονικά βήµατα 600 χρονικά βήµατα 450 χρονικά βήµατα 600 χρονικά βήµατα 450 χρονικά βήµατα 600 χρονικά βήµατα Σχήµα 5.9: Χωρική κατανοµή της συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου στο επίπεδο που ορίζεται από τα σηµεία που βρίσκονται ακριβώς κάτω από το υπόστρωµα για τις τρεις διαφορετικές κλίσεις του υποστρώµατος.