ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΖΑΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΑΠΟΣΒΕΣΤΗΡΑ

Transcript

1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ, ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ & ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΖΑΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΑΠΟΣΒΕΣΤΗΡΑ Μ. Σφακιωτάκης Χειµερινό Οκτώβριος εξάµηνο

2 Σύστηµα Μάζας-Ελατηρίου-Αποσβεστήρα (MSD) Έστω το παρακάτω στοιχειώδες σύστηµα µάζας-ελατηρίου-αποσβεστήρα (Ma-Spring-Daper yte, MSD) Γνωστές σταθερές του συστήµατος: η µάζα του οχήµατος η σταθερά του ελατηρίου k το φυσικό µήκος l 0 του ελατηρίου ο συντελεστής απόσβεσης του αποσβεστήρα Θεωρούµε ότι το ελατήριο και ο αποσβεστήρας είναι αµιγώς γραµµικά στοιχεία Επιθυµούµε τον υπολογισµό της απόκρισης για τη θέση x(t) του οχήµατος (της µάζας), που προκύπτει από την επιβαλλόµενη δύναµη f(t) ή/και τις αρχικές συνθήκες του συστήµατος. f (t) k,l 0 x(t) Μ. Σφακιωτάκης Δυναµική & Έλεγχος Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 2

3 Εξίσωση Κίνησης του Συστήµατος MSD f(t) f (t)!x(t) ( ) k x(t) l 0 k, l 0 x Θεωρώντας ότι x > l 0 και x > 0, η εξίσωση κίνησης του οχήµατος προκύπτει, από την εφαρµογή του 2 ου νόµου του Νεύτωνα ως:!!x(t) f (t) k( x(t) l ) 0!x(t) η δύναµη επαναφοράς του ελατηρίου η δύναµη αντίστασης του αποσβεστήρα Στις θέσεις ισορροπίας ισχύει:!!x!x 0 f k( x l ) 0 x f + kl 0 k Μ. Σφακιωτάκης Δυναµική & Έλεγχος Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 3

4 Εξίσωση Κίνησης του Συστήµατος MSD - f (t 0)!!x(t 0)!!x(t) f (t) k x(t) l 0 ( )!x(t) k,l 0 x(t 0)!!"#$%$& + - -!)*+,-./# '#0 1!!x(t)!x(t) x(t) '($%$& %2/1µ0 1)$#4!#+561 %2/1µ0!71+06"$. + - l 0 Μ. Σφακιωτάκης Δυναµική & Έλεγχος Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 4

5 Εξίσωση Κίνησης του Συστήµατος MSD Επίλυση µέσω Laplae!!x(t) f (t) k( x(t) l ) 0!x(t) L {!!x(t) } L{ f (t)} kl{ x(t) } + kl 0 L{ 1} L {!x(t) } L 1!x L 1 { } X() {!!x(t) } 2 X()! x(0),!!x(0) ( 2 X()!x ) 1 0 F() kx()+ kl 0 ( X() x ) 0 X() ( k) kl 0! F() X() ( k) F()+ kl 0 + ( + ) +! Μ. Σφακιωτάκης Δυναµική & Έλεγχος Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 5

6 Εξίσωση Κίνησης του Συστήµατος MSD Επίλυση µέσω Laplae X() ( k) F()+ kl 0 + ( + ) +! X() F() ( k) + kl k ( ) + ( + ) +! ( k) Όρος εξαναγκασµένης απόκρισης (εξαρτάται από την εφαρµοζόµενη είσοδο δύναµης) Όρος εξαρτώµενος από το φυσικό µήκος του ελατηρίου Όρος εξαρτώµενος από την αρχική θέση/ταχύτητα του οχήµατος X() F() ( k) + kl 0 + ( + ) +! ( ) k X() F() ( k) ( +! ) + kl 0 ( ) k Μ. Σφακιωτάκης Δυναµική & Έλεγχος Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 6

7 Αριθµητικές Τιµές Σταθερών Παραµέτρων Έστω οι ακόλουθες τιµές για τις σταθερές του συστήµατος: (προσοχή στις µονάδες!) 2 kg k 3 N/ 300 N/ l N /e 250 Ne/ X() F() ( k) ( +! ) + kl 0 ( ) k F() ( ) ( ! ) ( ) F() ( ) ( ! ) + 18 ( ) Μ. Σφακιωτάκης Δυναµική & Έλεγχος Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 7

8 Εύρεση της Απόκρισης του Συστήµατος Παράδειγµα #1 X() F() ( ) ( ! ) + 18 ( ) Σαν πρώτο παράδειγµα, θεωρούµε την περίπτωση που το ελατήριο εµφανίζει αρχική συµπίεση, µε µηδενική αρχική ταχύτητα, χωρίς την εφαρµογή εξωτερικής δύναµης, ήτοι: ! 0 /e 0 /e f (t) 0 F() 0 k,l 0 4 X() F() ( ) ( ! ) + 18 ( ) ( ) ( )( ) ανάλυση σε απλά κλάσµατα (π.χ. µέσω της εντολής reidue του atlab) Μ. Σφακιωτάκης Δυναµική & Έλεγχος Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 8

9 Εύρεση της Απόκρισης του Συστήµατος Παράδειγµα #1 Η απόκριση θέσης x(t) του οχήµατος στο χρόνο υπολογίζεται λαµβάνοντας τον AML της X(), αξιοποιώντας τη γραµµική ιδιότητα και τους πίνακες µε τα ζεύγη του µετασχηµατισµού Laplae. X() k,l 0 4 x(t) L 1 { X() } L L L e t e 1.21t ( t 0) ταχέως αποσβεννύµενος όρος, µε πολύ µικρή συνεισφορά (λόγω πολύ µικρού συντελεστή) ο όρος αυτός αποσβένεται σε περίπου 6 e, και είναι αυτός που κυρίως διαµορφώνει τη δυναµική του συστήµατος X() ( k) kl 0 + ( + ) +! Μ. Σφακιωτάκης Δυναµική & Έλεγχος Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 9

10 Εύρεση της Απόκρισης του Συστήµατος Παράδειγµα #1 k,l 0 x(t) e t e 1.21t 4 ταχέως αποσβεννύµενος όρος, µε πολύ µικρή συνεισφορά (λόγω πολύ µικρού συντελεστή) ο όρος αυτός αποσβένεται σε περίπου 6 e, και είναι αυτός που κυρίως διαµορφώνει τη δυναµική του συστήµατος t 0:2e-3:6; x *exp( *t) *exp(-1.21*t); figure; plot(t,x); xlabel('t [e]'); ylabel('x(t) []'); title('poition repone'); Μ. Σφακιωτάκης Δυναµική & Έλεγχος Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 10

11 Εύρεση της Απόκρισης του Συστήµατος Παράδειγµα #1 x(t) e t e 1.21t poition repone 0.06 k,l 0 x(t) [] το σύστηµα τελικά αποκαθίσταται σε απόσταση ίση µε το φυσικό µήκος του ελατηρίου επιβεβαιώνεται ότι η αρχική θέση του συστήµατος είναι στα t [e] Μ. Σφακιωτάκης Δυναµική & Έλεγχος Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 11

12 Εύρεση της Απόκρισης του Συστήµατος Παράδειγµα #2 X() ( ) F() Σαν δεύτερο παράδειγµα, θεωρούµε την περίπτωση όπου: ( ) + 2! ! 20 /e 0.2 /e f (t) 8!!0.2 f (t) 8 N F() 8 k,l 0 6 X() ( ) ( ) X() ( ) ( )( ) Μ. Σφακιωτάκης Δυναµική & Έλεγχος Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 12

13 Εύρεση της Απόκρισης του Συστήµατος Παράδειγµα #2 Η απόκριση θέσης x(t) του οχήµατος στο χρόνο υπολογίζεται λαµβάνοντας τον AML της X(), αξιοποιώντας τη γραµµική ιδιότητα και τους πίνακες µε τα ζεύγη του µετασχηµατισµού Laplae. f (t) 8!!0.2 X() k,l 0 6 x(t) L 1 { X() } L L L e t e 1.21t ( t 0) η τελική τιµή στην οποία ισορροπεί η θέση του οχήµατος εµφανίζονται οι ίδιοι εκθετικά αποσβεννύµενοι όροι µε το προηγούµενο παράδειγµα, µε διαφοροποίηση των (πολλαπλασιαστικών) συντελεστών τους X() ( k) F()+ kl 0 + ( + ) +! Μ. Σφακιωτάκης Δυναµική & Έλεγχος Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 13

14 Εύρεση της Απόκρισης του Συστήµατος Παράδειγµα #2 x(t) e t e 1.21t poition repone f (t) 8!!0.2 x(t) [] k,l 0 στην τελική θέση ισορροπίας η δύναµη επαναφοράς του ελατηρίου είναι ίση και αντίθετη της εφαρµοζόµενης δύναµης x(t) [] t [e] t [e] Μ. Σφακιωτάκης Δυναµική & Έλεγχος Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 14

15 Εύρεση της Απόκρισης του Συστήµατος Παράδειγµα #3 X() ( ) F() ( ) + 2! Στο τρίτο παράδειγµα, µελετάται η απόκριση του συστήµατος σε ηµιτονοειδή διέγερση συχνότητας 6 rad/e. f (t) ! 0 /e f (t) 8o(6t) N F() k,l 0 10 X() ( ) ( ) X() ( 2 +36)+ ( )( 2 +36) ( )( 2 +36) ( ) ( )( 2 +36) Μ. Σφακιωτάκης Δυναµική & Έλεγχος Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 15

16 Εύρεση της Απόκρισης του Συστήµατος Παράδειγµα #3 X() ( ) ( )( 2 +36) j j j j + 6j ( )( + 6j) + ( j) ( 6j) j f (t) k,l 0 10 Μ. Σφακιωτάκης Δυναµική & Έλεγχος Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 16

17 Εύρεση της Απόκρισης του Συστήµατος Παράδειγµα #3 X() 0.06 x(t) L { X() } e t e 1.21t o(6t) in(6t) 36 οι (αναµενόµενοι) εκθετικά αποσβεννύµενοι όροι συντηρούµενη ταλάντωση, συχνότητας 6 rad/e (ίδια µε την είσοδο) x(t) [] k,l 0 f (t) t [e] Μ. Σφακιωτάκης Δυναµική & Έλεγχος Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 17

18 Συνάρτηση Μεταφοράς του Συστήµατος MSD Για την εξαγωγή της συνάρτησης µεταφοράς του συστήµατος, πρέπει να υπολογιστεί ο λόγος Χ()/F(), για µηδενικές αρχικές συνθήκες, από τη δυναµική εξίσωση στο πεδίο της µιγαδικής συχνότητας: Αυτό δεν είναι άµεσα εφικτό, εξαιτίας της παρουσίας του όρου kl 0 / ο οποίος καθιστά το σύστηµα µη-γραµµικό. Για το λόγο αυτό, µπορούµε εναλλακτικά να θεωρήσουµε τη µεταβλητή z(t), η οποία εκφράζει τη µεταβολή µήκους του ελατηρίου: παρατηρώντας ότι ( ) F()+ kl 0 X() k!z(t)!x(t),!!z(t)!!x(t) + ( + ) +! z(t) x(t) l 0 Η δυναµική εξίσωση του συστήµατος, θεωρώντας σαν έξοδο τη z(t) προκύπτει τότε ως:!!z(t) f (t) kz(t)!z(t) ( 2 Z() z 0!z ) 0 F() kz() ( Z() z ) 0 Λαµβάνοντας µηδενικές αρχικές συνθήκες, η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος προκύπτει ως: 2 Z() F() kz() Z() G() Z() F() k Μ. Σφακιωτάκης Δυναµική & Έλεγχος Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 18

19 X() F() ( k) + kl k ( ) + ( + ) +! ( k) G() Z() F() k F() G() Z() X() kl 0 + ( + ) +! G() Μ. Σφακιωτάκης Δυναµική & Έλεγχος Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 19

20 Ανάλυση της Απόκρισης του Συστήµατος MSD Η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος, µπορεί να τεθεί στην τυποποιηµένη µορφή µελέτης των συστηµάτων 2 ης τάξης: k G() Z() Εποµένως, F() k 1 k k ω 2 n k ω n k ζ 2 1 k 2ζω n Η τιµή της παραµέτρου επηρρεάζει (µόνο) την απόσβεση του συστήµατος Αύξηση της µάζας οδηγεί ταυτόχρονα σε µείωση του συντελεστή απόσβεσης και της φυσικής ιδιοσυχνότητας του συστήµατος Αύξηση της σταθεράς k του ελατηρίου µειώνει το συντελεστή απόσβεσης και αυξάνει την φυσική ιδιοσυχνότητα του συστήµατος Η απόκριση του συστήµατος θα εµφανίζει αποσβενύµενες ταλαντώσεις όταν ζ < k < 1 < 2 k Μ. Σφακιωτάκης Δυναµική & Έλεγχος Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 20

21 Διερεύνηση της Επίδρασης του Ελατηρίου Με βάση την ανάλυση είναι εποµένως εφικτός ο υπολογισµός αναλυτικών σχέσεων για την επίδραση των παραµέτρων του συστήµατος σε χαρακτηριστικά όπως ο χρόνος αποκατάστασης t, το ποσοστό υπερύψωσης, και ο χρόνος κορυφής t p k G() 1 k k 2 kg 20 Ne/ k N/ ω n k ζ 2 1 k t! 4 ζω n 2 t p π ω d 1 2 π ω n 1 ζ 2 k π 1 2 4k peak tie t p [e] kg, 20Ne/ k [N/] daping oeffiient ζ [-] 2kg, 20Ne/ k [N/] Μ. Σφακιωτάκης Δυναµική & Έλεγχος Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 21

22 Διερεύνηση της Επίδρασης του Ελατηρίου Η βηµατική απόκριση του συστήµατος για διαφορετικές τιµές της σταθεράς k του ελατηρίου kg, 20N/ k 100N/ k 200N/ k 300N/ k 400N/ k 500N/ k G() 1 k k z (t) [] Η σταθερά του ελατηρίου καθορίζει, εκτός από τους πόλους του συστήµατος (δηλ. τα χαρακτηριστικά της µεταβατικής απόκρισης) και το στατικό κέρδος! t [e] Μ. Σφακιωτάκης Δυναµική & Έλεγχος Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 22

23 Έλεγχος Κλειστού Βρόχου του Συστήµατος: Μόνιµο Σφάλµα Στη συνέχεια, επιχειρείται η σχεδίαση ενός συστήµατος κλειστού βρόχου για την παρακολούθηση της επιθυµητής µεταβολής της θέσης του οχήµατος z d (t). Z d () E() ελεγκτής K F() MSD G() Z() T() Z() Z d () KG() 1+ KG() K k + K K k + K k + K k + K Η G() είναι τύπου-0, οπότε το σφάλµα µόνιµης κατάστασης του συστήµατος κλειστού βρόχου σε βηµατική είσοδο αναφοράς για την επιθυµητή µετατόπιση z d (t) z d, θα είναι: e z d 1+ K 1 k z d k k + K Μ. Σφακιωτάκης Δυναµική & Έλεγχος Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 23

24 Έλεγχος Κλειστού Βρόχου του Συστήµατος: Μεταβατική Απόκριση Η ευστάθεια και τα χαρακτηριστικά της µεταβατικής απόκρισης συναρτήσει του κέρδους Κ µελετώνται µέσω του γεωµετρικού τόπου ριζών: Iaginary Axi (eond 1 ) 2 kg 20 Ne/ k 300 N/ Root Lou Real Axi (eond 1 ) Z d () E()!"!#$%&' K F() MSD G() Η αύξηση του κέρδους Κ (για τη µείωση του σφάλµατος µόνιµης κατάστασης), οδηγεί σε υποβάθµιση της µεταβατικής απόκρισης Z() Μ. Σφακιωτάκης Δυναµική & Έλεγχος Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 24