Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους
|
|
- Κυβηλη Ζυγομαλάς
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο καταστάσεων. Το σύστημα σε αυτή τη μορφή είναι ελέγξιμο; Προκύπτει από αυτή τη μορφή ότι είναι ευσταθές; Β) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική ελέγξιμη μορφή στο χώρο καταστάσεων και επιβεβαιώστε ότι είναι ελέγξιμο. Το σύστημα σε αυτή τη μορφή είναι παρατηρήσιμο; Προκύπτει από αυτή τη μορφή ότι είναι ευσταθές; Γ) Γράψτε το πλήρες σύστημα κλειστού βρόχου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο καταστάσεων. Για ποιες τιμές του το σύστημα σε αυτή τη μορφή είναι ελέγξιμο και για ποιες ευσταθές; Για, είσοδο βηματική απόκριση και αρχικές συνθήκες, και βρείτε την εξέλιξή του στο χρόνο. Δ) Γράψτε το πλήρες σύστημα κλειστού βρόχου σε κανονική ελέγξιμη μορφή στο χώρο καταστάσεων. Για ποιες τιμές του το σύστημα σε αυτή τη μορφή είναι παρατηρήσιμο και για ποιες ευσταθές; Για, είσοδο βηματική απόκριση και αρχικές συνθήκες, και βρείτε την εξέλιξή του στο χρόνο. Ε) Συγκρίνατε τις δύο χρονικές εξελίξεις.
2 Απάντηση Ερώτημα Α: Για τη συνάρτηση μεταφοράς ευθέως κλάδου ισχύει Με αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και με μηδενικές αρχικές συνθήκες στο την διαφορική εξίσωση του ΓΧΑ συστήματος ευθέως κλάδου, τελικά λαμβάνουμε Για να γράψουμε αυτό το ΓΧΑ σύστημα σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή, μεταφέρουμε όλους τους όρους στο αριστερό μέρος, κάνουμε το συντελεστή του όρου της μέγιστης τάξης παραγώγισης μονάδα και ομαδοποιούμε ανά τελεστή, όποτε: Ορίζουμε τις μεταβλητές καταστάσεως με τη γνωστή αναδρομή: Αντικαθιστώντας τις συναρτήσεις στις οποίες δρουν οι διαφορικοί τελεστές στην λαμβάνουμε μέσω των Ή αν θέσουμε, οι σχέσεις γράφονται
3 Και σε μητρική μορφή όπου, και Για να ελέγξουμε εάν το σύστημα αυτό είναι ευσταθές λύνουμε το πρόβλημα των ιδιοτιμών της Δηλαδή Όπως αναμέναμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της μήτρας του συστήματος ταυτίζεται με τον παρανομαστή της συνάρτησης μεταφοράς ευθέως κλάδου και άρα οι ιδιοτιμές της ταυτίζονται με τους πόλους της. Αυτό διαισθητικά μάλλον αναμενόταν αφού οι ιδιοτιμές της και οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς μεταφέρουν την ουσιαστική, φυσικού περιεχομένου, πληροφορία του συστήματος ευθέως κάδου. Ακολούθως, προκειμένου να διαπιστώσουμε αν το σύστημα είναι ευσταθές, είτε εφαρμόζουμε κριτήριο Routh στο χαρακτηριστικό πολυώνυμο είτε βρίσκουμε τις ρίζες του. Εφαρμόζοντας κριτήριο Routh έχουμε 1 2 0
4 0 Όποτε και διαπιστώνουμε ότι το σύστημα ευθέως κλάδου είναι ευσταθές αφού όλα τα στοιχεία του πίνακα Routh είναι θετικοί αριθμοί. Για να διαπιστώσουμε εάν το διάνυσμα κατάστασης του συστήματος εκπεφρασμένο στη μορφή είναι ελέγξιμο γράφουμε τον πίνακα και Συνεπώς το διάνυσμα κατάστασης του συστήματος είναι ελέγξιμο. Ερώτημα Β: Προφανώς ισχύει πάλι η διαφορική εξίσωση από την οποία, αφού καταστήσουμε το συντελεστή του όρου της μέγιστης τάξης παραγώγισης μονάδα, προκύπτουν οι τελεστές Ορίζουμε την πρώτη μεταβλητή κατάστασης πεπλεγμένα μέσω της σχέσεως, και τις επόμενες μεταβλητές κατάστασης αναδρομικά μέσω των σχέσεων Μετασχηματίζοντας κατά Laplace τόσο την διαφορική εξίσωση όσο και τον τύπο ορισμού της λαμβάνουμε στο πεδίο των την σχέση. Εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace στην ανωτέρω σχέση λαμβάνουμε
5 Αντικαθιστώντας τις ανωτέρω μεταβλητές κατάστασης στην εξίσωση ορισμού (1.7 ) της προκύπτει Θέτοντας εκ νέου, οι σχέσεις γράφονται Και σε μητρική μορφή όπου, και Εάν υπολογίσουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της μήτρας τώρα που είμαστε σε ελέγξιμη μορφή θα προκύψει το ίδιο πολυώνυμο όπως από φυσική διαίσθηση αναμενόταν. Για την επιβεβαίωση του γεγονότος ότι το διάνυσμα κατάστασης είναι ελέγξιμο γράφουμε τη μήτρα και υπολογίζουμε την Άρα το διάνυσμα κατάστασης είναι ελέγξιμο
6 Για τον έλεγχο της παρατηρησιμότητας του συστήματος σε αυτή τη μορφή γράφουμε τον πίνακα και υπολογίζουμε την Άρα το σύστημα είναι και παρατηρήσιμο Για να ελέγξουμε εάν το σύστημα αυτό είναι ευσταθές λύνουμε το πρόβλημα των ιδιοτιμών της και απλά διαπιστώνουμε ότι προκύπτει η ίδια χαρακτηριστική εξίσωση. Ερώτημα Γ: Η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου είναι κατά τα γνωστά η Τότε πάλι Και με εφαρμογή του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace προκύπτει η σχέση Για να γράψουμε το σύστημα που περιγράφεται από αυτή την εξίσωση σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή, μεταφέρουμε όλους τους όρους στο αριστερό μέρος, και ομαδοποιούμε ανά τελεστή, όποτε: Ορίζουμε τις μεταβλητές καταστάσεως με τη γνωστή αναδρομή:
7 Αντικαθιστώντας τις συναρτήσεις στις οποίες δρουν οι διαφορικοί τελεστές στην λαμβάνουμε μέσω των Αν θέσουμε, οι σχέσεις γράφονται Και σε μητρική μορφή όπου, και Για να επιβεβαιώσουμε ότι το διάνυσμα κατάστασης σε αυτή τη μορφή είναι ελέγξιμο γράφουμε τη μήτρα ελεγξιμότητας και γεγονός που σημαίνει ότι το διάνυσμα κατάστασης είναι ελέγξιμο. Για να ελέγξουμε εάν το σύστημα αυτό είναι ευσταθές λύνουμε το πρόβλημα των ιδιοτιμών της
8 δηλαδή. Όπως αναμέναμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της μήτρας του συστήματος ταυτίζεται με τον παρανομαστή της συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου και άρα οι ιδιοτιμές της ταυτίζονται με τους πόλους της. Αυτό διαισθητικά μάλλον αναμενόταν αφού οι ιδιοτιμές της και οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς μεταφέρουν την ουσιαστική, φυσικού περιεχομένου, πληροφορία του συστήματος. Εφαρμόζουμε κριτήριο Routh στο χαρακτηριστικό πολυώνυμο για να βρούμε τις τιμές του, για τις οποίες το σύστημα είναι ευσταθές Για την ευστάθεια του συστήματος απαιτούμε όλες οι ποσότητες στην πρώτη στήλη του σχετικού πίνακα να είναι θετικές, αφού το στοιχείο είναι θετικό. Άρα θα πρέπει Ενώ προφανώς ισχύει Άρα θα πρέπει να ισχύει Άρα το σύστημα είναι ευσταθές. Για να αντιμετωπίσουμε την ειδική περίπτωση που ζητείται, με, είσοδο βηματική απόκριση και αρχικές συνθήκες, και, εργαζόμεθα ως εξής: Κατ αρχήν γράφουμε τον πίνακα και βρίσκουμε τις ιδιοτιμές ως και τα ιδιοδιανύσματά του.
9 i) Με χαρακτηριστικό πολυώνυμο και ιδιοτιμές, και. Τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι οπότε η μήτρα που διαγωνοποιεί τον είναι η Προφανώς ισχύει ii) Τώρα κατά τα γνωστά ορίζουμε. Οπότε με την χρήση των ανωτέρω, η εξίσωση γίνεται: Το ανωτέρω σύστημα διαφορικών εξισώσεων αποτελείται από τρεις αποσυμπλεγμένες εξισώσεις που η κάθε μία έχει λύση της μορφής όπου τα προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες στο κατά τα γνωστά ως εξής: Εάν θέσουμε
10 τότε οι λύσεις γράφονται σε μητρική μορφή Πολλαπλασιάζοντας από αριστερά με τον πίνακα του ορισμού προκύπτει: και τα δύο μέλη της ανωτέρω εξισώσεως και λόγω Επειδή απαιτείται να συνδέουμε τo με το, προς το σκοπό αυτό θέτουμε στην ανωτέρω εξίσωση οπότε λαμβάνουμε : Επειδή, δε, λαμβάνουμε Κατά συνέπειαν η λύση του συστήματος διαφορικών εξισώσεων γράφεται και ως εξής: Τονίζεται ότι στην ανωτέρω εξίσωση οι δύο τελευταίοι προσθετέοι συνιστούν την τυπική (formal) ειδική λύση όπου βεβαίως iii) Απομένει τώρα ο προσδιορισμός των αρχικών συνθηκών από τις αρχικές συνθήκες της εξόδου. Αλλά ισχύει
11 Ερώτημα Δ: Προφανώς ισχύει πάλι η διαφορική εξίσωση στην οποία έχουμε καταστήσει το συντελεστή του όρου της μέγιστης τάξης παραγώγισης μονάδα. Χρησιμοποιούμε τους τελεστές Ορίζουμε την πρώτη μεταβλητή κατάστασης πεπλεγμένα μέσω της σχέσεως, και τις επόμενες μεταβλητές κατάστασης αναδρομικά μέσω των σχέσεων Μετασχηματίζοντας κατά Laplace τόσο την διαφορική εξίσωση όσο και τον τύπο ορισμού της λαμβάνουμε στο πεδίο των την σχέση. Εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace στην ανωτέρω σχέση λαμβάνουμε Αντικαθιστώντας τις ανωτέρω μεταβλητές κατάστασης στην εξίσωση ορισμού της προκύπτει
12 Θέτοντας εκ νέου, οι παραπάνω σχέσεις γράφονται Και σε μητρική μορφή όπου, και Tο χαρακτηριστικό πολυώνυμο της μήτρας είναι το ίδιο με αυτό του πίνακα της παρατηρήσιμης μορφής όπως από φυσική διαίσθηση αναμενόταν. Για, για την επιβεβαίωση του γεγονότος ότι το διάνυσμα κατάστασης είναι ελέγξιμο γράφουμε τη μήτρα και υπολογίζουμε την Άρα το διάνυσμα κατάστασης είναι ελέγξιμο Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της προκύπτει ίδιο με αυτό της παρατηρήσιμης μορφής κλειστού βρόχου, άρα και οι ιδιοτιμές είναι ίδιες και τα περί ευστάθειας συμπεράσματα ταυτόσημα. Προκειμένου να εντοπίσουμε για τις αρχικές συνθήκες των συνιστωσών του από τις αρχικές συνθήκες της εξόδου εργαζόμαστε ως εξής:
13 Ισχύει Παραγωγίζοντας την σχέση προκύπτει Παραγωγίζοντας τώρα την λαμβάνουμε Υπενθυμίζουμε ότι η συνάρτηση εισόδου είναι μία γνωστή συνάρτηση τόσο αυτή όσο και οι παράγωγοί της. Κατά συνέπεια, και γνωρίζοντας τις αρχικές συνθήκες, και, οι εξισώσεις αποτελούν ένα σύστημα ως προς τα. Και σε μητρική μορφή
14 Σε μορφή πινάκων η ανωτέρω διαδικασία τυπικά γράφεται ως εξής: Παραγωγίζοντας την σχέση και χρησιμοποιώντας το σύστημα εξισώσεων λαμβάνουμε Παραγωγίζοντας την σχέση και χρησιμοποιώντας το σύστημα εξισώσεων λαμβάνουμε ή θέτοντας όπου Άρα τελικά λαμβάνουμε το σύστημα
15 Παράδειγμα 2 Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου με όπου Α) Να ελεγχθεί για ποιες τιμές του το σύστημα είναι ελέγξιμο, για ποιες παρατηρήσιμο και για ποιες ελέγξιμο και παρατηρήσιμο. Είναι το σύστημα ασυμπτωτικά ευσταθές; Β) Εφαρμόζουμε ανάδραση στις καταστάσεις στο πεδίο του χρόνου της μορφής όπου η είσοδος στο σύστημα κλειστού βρόχου. Ορίζοντας, να γραφούν οι νέες εξισώσεις καταστάσεων του συστήματος κλειστού βρόχου και να γραφεί η χαρακτηριστική του εξίσωση (ή ιδιοεξίσωση, eigen-equation). Να βρεθεί μια ικανή σχέση που πρέπει να ικανοποιούν τα ώστε το σύστημα να είναι ασυμπτωτικά ευσταθές. Γ) Για και, να βρεθεί η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου στο πεδίο των,, και να διαπιστωθεί η σχέση της και της ιδιο-εξίσωσης του συστήματος στο πεδίο του χρόνου. Δ) Για και να βρεθεί αν το σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές και να υπολογιστεί η εξέλιξη στο χρόνο του συστήματος κλειστού βρόχου στο χώρο καταστάσεων για αρχικές συνθήκες,, και είσοδο βηματική συνάρτηση. Ε) Εφαρμόζουμε την ίδια ανάδραση στο αρχικό σύστημα όπως και στο ερώτημα Β) δηλαδή ανάδραση της μορφής όπου η είσοδος στο σύστημα κλειστού βρόχου. Να προσδιοριστούν τα και, ώστε οι πόλοι του αντισταθμισμένου συστήματος να είναι οι.,, Απάντηση Α) Η παρατηρησιμότητα ελέγχεται μέσω του παρακάτω πίνακα ο οποίος, αν το σύστημα είναι πλήρως παρατηρήσιμο, πρέπει να έχει γραμμικά ανεξάρτητες στήλες.
16 Για να έχει λοιπόν ο γραμμικά ανεξάρτητες στήλες θα πρέπει. Η ελεγξιμότητα του συστήματος προσδιορίζεται μέσω του παρακάτω πίνακα είναι πλήρως ελέγξιμο, πρέπει να έχει γραμμικά ανεξάρτητες γραμμές. ο οποίος, αν το σύστημα Για να έχει λοιπόν ο γραμμικά ανεξάρτητες γραμμές θα πρέπει. Η ευστάθεια του συστήματος προσδιορίζεται από τις ιδιοτιμές του πίνακα. Συνεπώς το σύστημα έχει χαρακτηριστική εξίσωση Το σύστημα έχει ιδιοτιμή το, άρα είναι ασταθές. Β) Από την ανάδραση προκύπτει Συνεπώς το αρχικό σύστημα γίνεται ή ισοδυνάμως
17 Η χαρακτηριστική εξίσωση του νέου συστήματος προκύπτει από την παρακάτω εξίσωση ιδιοτιμών Για να προσδιορίσουμε τις συνθήκες ευστάθειας του συστήματος κλειστού βρόχου γράφουμε τον πίνακα Routh 1 Όπου οι δίνεται από 0 0 Για να είναι ασυμπτωτικά ευσταθές το σύστημα πρέπει να συναληθεύουν οι ανισότητες Προσθέτοντας κατά μέλη τις και λαμβάνουμε Και λόγω της τελικά προκύπτει Προσθέτοντας κατά μέλη τις και λαμβάνουμε
18 Και Γ) Για και το σύστημα γίνεται Όπου και Για να παράξουμε τώρα τη συνάρτηση μεταφοράς από τις εξισώσεις κατάστασης εφαρμόζουμε μετασχηματισμό Laplace στις διαφορικές εξισώσεις των καταστάσεων παίρνοντας Στο προκείμενο Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace και στην εξίσωση της εξόδου έχουμε Αντικαθιστώντας τώρα τα (2.3) ανωτέρω προκύπτει το πολυώνυμο στην εξίσωση ιδιοτιμών του συστήματος κλειστού βρόχου Επομένως οι ιδιοτιμές του συστήματος ΔΕ των καταστάσεων συμπίπτουν με τους πόλους της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος εισόδου εξόδου.
19 Δ) Οι τιμές και ικανοποιούν τις ανισώσεις και άρα το σύστημα είναι ευσταθές. Επίσης οι εξισώσεις καταστάσεων για τις συγκεκριμένες τιμές των γίνονται: Οι ιδιοτιμές του συστήματος αυτού δίνονται από τις ρίζες της χαρακτηριστικής του εξίσωσης (2.9) και είναι οι Το σύστημα εξισώσεων αυτό λύνεται κατά τα γνωστά. Επειδή οι είναι διακριτές ο διαγωνοποιείται με τον πίνακα ιδιοδιανυσμάτων του στη μορφή. Οπότε και η λύση του συστήματος γράφεται Όπου Η λύση αυτή του συστήματος Δ.Ε. είναι ακριβώς της μορφής Τονίζεται ότι ο πίνακας μπορεί να υπολογιστεί και με αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace του πίνακα ο οποίος έχει ήδη υπολογιστεί. Η μπορεί κατά τα γνωστά, να υπολογιστεί και μέσω των ιδιοδιανυσμάτων της μήτρας. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα ο πίνακας ιδιοδιανυσμάτων για τις ιδιοτιμές είναι του συστήματος
20 Για να βρούμε τις αρχικές συνθήκες της Δ.Ε. των καταστάσεων γνωρίζοντας τις αρχικές συνθήκες της εξόδου πρέπει να λύσουμε το παρακάτω σύστημα εξισώσεων Το οποίο σε μητρική μορφή γράφεται Όπου ο πίνακας παρατηρησιμότητας. Επομένως αν το σύστημα είναι παρατηρήσιμο η παραπάνω εξίσωση λύνεται αντιστρέφοντας τον. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα η γράφεται και αν η είσοδος είναι η βηματική συνάρτηση τότε η παραπάνω εξίσωση έχει λύση. Συνεπώς η γράφεται Ε) Επειδή έχουμε θεμελιώσει ότι οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς ενός συστήματος ταυτίζονται με τις ιδιοτιμές αυτού, προκύπτει άμεσα ότι το πολυώνυμο ιδιοτιμών του αντισταθμισμένου συστήματος είναι το :
21 Αλλά, ταυτόχρονα, εξ ορισμού το πολυώνυμο αυτό ισούται με την ορίζουσα του πίνακα όπου Όποτε Συνεπώς για να ισχύουν οι απαιτήσεις του ερωτήματος πρέπει να ισχύει η ταυτότητα Αλλά τότε ο συντελεστής του πρέπει να ισούται με το αντίθετο του αθροίσματος των ριζών του πολυωνύμου, δηλαδή πρέπει να ισχύει Ομοίως το αντίθετο του γινομένου των ριζών (αντίθετο διότι το πολυώνυμο είναι περιττού βαθμού) θα ισούται με το σταθερό όρο, όποτε λαμβάνουμε Ή αντικαθιστώντας το με προκύπτει Παραγωγίζοντας την ταυτότητα (2.13) μία φορά ως προς που θα προκύψει λαμβάνουμε και επικεντρωνόμενοι μόνο στο σταθερό όρο Θέτοντας στην τελευταία σχέση λαμβάνουμε
22 Συνδυάζοντας τις σχέσεις, και προκύπτουν οι κάτωθι τριάδες λύσεων για τα και Η μέθοδος αυτή επιτρέπει υπολογισμό των παραμέτρων του αντισταθμισμένου συστήματος ώστε αυτό να είναι ευσταθές και να έχει επιθυμητούς πόλους. Η διαδικασία αυτή λέγεται τοποθέτησις πόλων (pole placement). Παράδειγμα 3 Δίνεται το σύστημα συνεχούς χρόνου: Όπου,,, αντίστοιχο διάνυσμα εξόδου: και με είσοδο τη βηματική συνάρτηση α) Να εξεταστεί για ποιες τιμές της παραμέτρου α:το σύστημα είναι ελέγξιμο,το σύστημα είναι παρατηρήσιμο από την έξοδο I. Το σύστημα είναι παρατηρήσιμο από την έξοδο II. Το σύστημα είναι παρατηρήσιμο. β) Για την αντιστάθμιση του συστήματος εφαρμόζεται ανάδραση εξόδου, δηλαδή εφαρμόζεται ο ακόλουθος νόμος ελέγχου :
23 όπου είναι η είσοδος του αντισταθμισμένου συστήματος (είσοδος αναφοράς) και πραγματικοί αριθμοί (κέρδη). Να γραφούν οι εξισώσεις κατάστασης του αντισταθμισμένου συστήματος. γ) Να ευρεθεί η μήτρα συναρτήσεων μεταφοράς του αντισταθμισμένου συστήματος. δ) Κάνοντας χρήση του Θεωρήματος Routh, να ευρεθούν οι συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούν τα κέρδη και ώστε το αντισταθμισμένο σύστημα να είναι ασυμπτωτικά ευσταθές. ε) Εφαρμόζοντας τα αποτελέσματα του ερωτήματος (δ), να εξετάσετε τα ακόλουθα: I. Είναι το μη αντισταθμισμένο σύστημα ασυμπτωτικά ευσταθές ή όχι; II. Αν η παράμετρος α έχει την τιμή και αν επιλεγεί, να ευρεθεί για ποιες τιμές του εξασφαλίζεται η ασυμπτωτική ευστάθεια του αντισταθμισμένου συστήματος. Λύση α) I. Για το σύστημα με και προκύπτει ότι:,, Οπότε τα Το διάνυσμα κατάστασης είναι ελέγξιμο δεδομένου ότι το σύστημα είναι ελέγξιμο.. Άρα για όλα II. Για την έξοδο διαλέγω την πρώτη γραμμή του πίνακα έστω όπως προκύπτει άμεσα από την εξίσωση. Άρα Επιπλέον ισχύει, α
24 Οπότε, Για να είναι το σύστημα παρατηρήσιμο από την έξοδο, αφού ο πίνακας είναι 3x3, πρέπει και αρκεί η. III. Ομοίως για την έξοδο διαλέγω τη δεύτερη γραμμή του πίνακα έστω όπως προκύπτει άμεσα από την εξίσωση. Άρα Επιπλέον ισχύει:, α Οπότε, α Για να είναι το σύστημα παρατηρήσιμο αναφορικά με την έξοδο, αφού ο πίνακας είναι 3x3, πρέπει και αρκεί η Άρα για όλα τα το σύστημα, είναι παρατηρήσιμο αναφορικά με έξοδο. IV. Το σύστημα είναι παρατηρήσιμο από το ζεύγος των δύο εξόδων για όλες τις τιμές του α, διότι ο πίνακας έχει πάντα τρεις στήλες γραμμικώς ανεξάρτητες. Δηλαδή ακόμα και αν μας δοθεί ένα ή ένα γεγονός που καθιστά την μη παρατηρήσιμη, εντούτοις το συνολικό σύστημα είναι παρατηρήσιμο. Για να το κατανοήσουμε αυτό φυσικά, πέρα από το γεγονός ο είναι αντιστρέψιμος, αφού ο έχει τρεις στήλες γραμμικώς ανεξάρτητες, σκεπτόμεθα ως εξής: Κάθε χρονική στιγμή, μας δίνεται το διάνυσμα διαστάσεων 6x1, το οποίο αφορά και τις δύο εξόδους. Από το διάνυσμα αυτό, πρέπει με μοναδικό τρόπο να προσδιορίσουμε το διάνυσμα αρχικών τιμών. Αλλά τρία στοιχεία του, αυτά που σχετίζονται με την έξοδο, μονοσήμαντα προσφέρουν το άρα και του διανύσματος. Άρα το σύστημα είναι συνολικά παρατηρήσιμο για όλα τα. β) Για είσοδο εφαρμόζεται ο ακόλουθος νόμος ελέγχου :
25 Οπότε οι εξισώσεις κατάστασης είναι: Ο πίνακας είναι 3x3, διότι (3x1) x (1x2) x (2x3) 3x3, οπότε οι νέες εξισώσεις κατάστασης γίνονται : Όπου γ) Στην εξίσωση εφαρμόζoντας Laplace έχουμε :
26 Επιπλέον εφαρμόζοντας Laplace στην έχουμε ότι: δ) Για να είναι το σύστημα ευσταθές πρέπει η πρώτη στήλη του πίνακα Routh να μην αλλάζει πρόσημο. Άρα έχουμε : Για να είναι το σύστημα ευσταθές πρέπει:
27 Προσθέτω τις (3.7β) και (3.7γ) Άρα πρέπει να συναληθεύουν οι εξής ανισώσεις: Λόγω της (1) αρκεί Άρα πρέπει να συναληθεύουν και οι τρεις παραπάνω ανισώσεις, οι οποίες είναι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για να είναι το σύστημα ευσταθές. ε) I. Η ευστάθεια του μη αντισταθμισμένου συστήματος προκύπτει όταν. Από τις παραπάνω ικανές και αναγκαίες συνθήκες, και συγκεκριμένα από τη πρώτη, παρατηρείται ότι 0>2. ΆΤΟΠΟ. Επομένως το μη αντισταθμισμένο σύστημα δεν είναι ευσταθές II. Σύμφωνα με την εκφώνηση, για α και αν επιλεγεί, έχουμε για τις παραπάνω εξισώσεις ότι : Άρα για το σύστημα είναι ευσταθές.
που σε κάθε χρονική στιγμή περιλαμβάνει τις τιμές των μεταβλητών κατάστασης
1. Έννοια παρατηρησιμότητας. Ας θεωρήσουμε ένα ΓΧΑ σύστημα τάξης, κατ αρχήν μιας εξόδου () και μιας εισόδου (). Έχουμε ήδη θεμελιώσει ότι ένα οποιοδήποτε ΓΧΑ σύστημα μπορεί να περιγραφεί από τις εξισώσεις
Διαβάστε περισσότεραΔίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις:,, πίνακας,
Παράδειγμα 3.2(Επίλυση συστήματος Jordan) Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις: Όπου,, πίνακας, Να λυθεί το σύστημα με είσοδο τη συνάρτηση Επίλυση
Διαβάστε περισσότεραΙσοδυναµία τοπολογιών βρόχων.
Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Κατά κανόνα, συµφέρει να ανάγουµε τις «πολύπλοκες» τοπολογίες βρόχων σε έναν απλό κλειστό βρόχο, µε µία συνάρτηση µεταφοράς στον κατ ευθείαν κλάδο και µία συνάρτηση µεταφοράς
Διαβάστε περισσότεραΖητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : =
. Δίνεται το ΓΧΑ σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς ++2 Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Λύση : Α) +3 +2 ++2 2 + + 2+2 Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : 2 + 2 H είναι φραγμένη καθώς.
Διαβάστε περισσότερα3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.
3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΤυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης
Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Έστω το γενικό σύστηµα 2 ας τάξεως µε σταθερό αριθµητή (1) Είθισται αυτό να γράφεται σε συγκεκριµένη µορφή, την εξής: θέτουµε ±, επιλέγοντας το πρόσηµο ούτως ώστε το
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου
Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου 203 4 ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος ελέγχου κλειστού βρόχου. α. Να προσδιοριστεί
Διαβάστε περισσότερα= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις
1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015)
Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου 204 5 (Ιούνιος 205) ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος. α. Να προσδιοριστούν οι τιμές
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ & ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Αν Καθ: Δ ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Επικ Καθ: Σ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ Συστήματα
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015
Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 20 ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες). Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς / του συστήματος που περιγράφεται από το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα. (2,0
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016
ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα:
1 Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: Όπου Κ R α) Να βρεθεί η περιγραφή στο χώρο κατάστασης και η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο.
Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα σύστημα είναι ευσταθές, τότε η απόκριση είναι άθροισμα μίας μεταβατικής και μίας μόνιμης. Δηλαδή, αν το σύστημα είναι ευσταθές όπου και Είθισται, σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης
ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...
Διαβάστε περισσότεραΔιαγωνοποίηση μητρών. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας
Διαγωνοποίηση μητρών Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Όμοιες μήτρες Ορισμός: Οι τετραγωνικές μήτρες Α=[α ij ] nxn & B=[b ij ] nxn όμοιες (Α~Β): αν υπάρχει ομαλή μήτρα Ρ τ.ώ. Β = Ρ -1 Α Ρ A~B Β~ Α Ρ ομαλή μήτρα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός
ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου v 3 (t) - i 2 (t)
Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου 2015 ΘΕΜΑ 1 Ο (6,0 μονάδες) Δίνεται το κύκλωμα του σχήματος, όπου v 1 (t) είναι η είσοδος και v 3 (t) η έξοδος. Να θεωρήσετε μηδενικές αρχικές συνθήκες. v 1
Διαβάστε περισσότεραΖητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)
Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015
Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 205 ΘΕΜΑ Ο (2,0 μονάδες) Ο ηλεκτρικός θερμοσίφωνας χρησιμοποιείται για τη θέρμανση νερού σε μια προκαθορισμένη επιθυμητή θερμοκρασία (θερμοκρασία
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος
6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου
Διαβάστε περισσότεραΕυστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια
ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί Laplace
Μετασχηματισμοί Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις
Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.
Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1
Ψηφιακός Έλεγχος 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης Ψηφιακός Έλεγχος Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Έστω γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα διακριτού χρόνου: ( + ) = + x k Ax k Bu k Εφαρμόζουμε γραμμικό
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014)
Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 201314 (Ιούνιος 2014) ΘΕΜΑ 1 Ο (3,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό λειτουργικό διάγραμμα που περιγράφει ένα αναγνωριστικό αυτοκινούμενο
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου (Ιούνιος 2014)
Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικς περιόδου χειμερινού εξαμνου 201314 (Ιούνιος 2014) ΘΕΜΑ 1 Ο (2,0 μονάδες) Να σχεδιαστεί το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα του για τον ηλεκτρικό θερμοσίφωνα του σχματος. Είσοδος
Διαβάστε περισσότεραΕυστάθεια συστημάτων
1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια συστημάτων Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό να έχουμε ευσταθή
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Από τις Καταστατικές Εξισώσεις στη Συνάρτηση Μεταφοράς bx x y bx I X b I Y Καταστατικές
Διαβάστε περισσότεραOΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΣΥΣΤΗMAΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΣΥΣΤΗMAΤΩΝ Εισαγωγή - Έννοιες Ένα ασταθές αντικείμενο προκαλεί γενικά ανεπιθύμητες παρενέργειες ή και καταστροφές Γενικά ένα ευσταθές σύστημα έχει μία οριοθετημένη τιμή στην απόκρισή
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης
Α.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ T.E. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθ. Εφαρμογών: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ Συστήματα
Διαβάστε περισσότεραΠαραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί
Παράρτημα ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 3 ο : Αντίστροφος μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 4 ο : Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων Παράρτημα 5 ο : Τυποποιημένα σήματα
Διαβάστε περισσότερα- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΘέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού
Διαβάστε περισσότερα7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει
8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y
Διαβάστε περισσότεραΑκαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ 1: ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το τρέχον έγγραφο αποτελεί υπόδειγµα
Διαβάστε περισσότερα12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:
Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η
Διαβάστε περισσότερα( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 )
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 0 Θέμα Δίδονται οι πίνακες K= 5 4, L=, M=. 9 7 A) (8 μονάδες) Για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτόματου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ψηφιακά Σ.Α.Ε: Περιγραφή στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , Β= 1 y, όπου y 0. , όπου y 0.
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 8:-: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα (Α) ( 5 μονάδες) Δίδονται οι πίνακες Α=,
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότερα(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4)
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα Συνάρτηση συστήματος Ένα σύστημα L απεικονίζει κάθε σήμα εισόδου x σε ένα σήμα εξόδου y, δηλ., συνεχής
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των
Διαβάστε περισσότερα10 2a 1 0 x. 1) Να εξεταστεί η ελεγξιμότητα και η παρατηρησιμότητα του συστήματος για τις διάφορες
Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Σ. Ε. Ρ. ΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο Κ-Ω ΕΞΑΜΗΝΟ: 5 ο Ονοματεπώνυμο ΚΑΘΗΓΗΤEΣ: Τ. Γ. Κουσιουρής Γ. Παπαβασιλόπουλος ΠΕΡΙΟΔΟΣ:
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια
Διαβάστε περισσότερα1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτόματου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Περιγραφή και Ανάλυση Συστημάτων Ελέγχου στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ
Διαβάστε περισσότερα2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις
. Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
Κεφάλαιο 6 Ορισμοί Έστω Α ένας πίνακας με πραγματικά στοιχεία Ο πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός λ καλείται ιδιοτιμή του πίνακα Α εάν υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα v με πραγματικά ή μιγαδικά στοιχεία τέτοιο
Διαβάστε περισσότερα2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.
Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 19/6/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 9/6/08 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Έστω A= k και w = 3 0. Να βρεθεί η τιμή του k για την οποία
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 3: Συστήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εισαγωγή στα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Ταξινόμηση Συστημάτων ΔΧ
Διαβάστε περισσότεραA N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας. Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID
Κεφάλαιο 6 Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας u Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID Τόπος Ριζών Για τον τόπο των ριζών δεν χρειάζεται καµία ιδιαίτερη
Διαβάστε περισσότεραΣεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου
Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Μάθηµα 5 Εξισώσεις εσωτερικής κατάστασης Ελεγξιµότητα και Παρατηρησιµότητα Καλλιγερόπουλος 5 Εξισώσεις εσωτερικής κατάστασης Η εξωτερική συµπεριφορά ενός συστήµατος ορίζεται
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α Σ 5. Σ. Σ β Σ 6. Λ.
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI. Μετασχηματισμοί Legendre. διπλανό σχήμα ότι η αντίστροφη συνάρτηση dg. λέγεται μετασχηματισμός Legendre της f (x)
Τμήμα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 7/5/000 Μηχανική ΙI Μετασχηματισμοί Legendre Έστω μια πραγματική συνάρτηση f (x) Ορίζουμε την παράγωγο συνάρτηση df (x) της f (x) : ( x) (η γραφική της παράσταση δίνεται
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Β Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραμε Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2
Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ & ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Αν Καθ: Δ ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθ Εφαρμ: Σ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ Συστήματα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος
9/6/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 5 Δίνεται ο πίνακας A 5. Αν διαγωνοποιείται να τον διαγωνοποιήσετε και στη συνέχεια να k υπολογίσετε το A όπου k θετικός
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,
Διαβάστε περισσότερα6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE
6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει
Διαβάστε περισσότεραΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN
Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDN Εάν ένας πίνακας δεν διαγωνοποιείται, τότε ο στόχος μας είναι υπολογίσουμε μέσω ενός μετασχηματισμού ομοιότητας, έναν απλούστερο πίνακα, «σχεδόν διαγώνιο» όπως ο παρακάτω πίνακας
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει
Διαβάστε περισσότεραV. Διαφορικός Λογισμός. math-gr
V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform)
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο
Διαβάστε περισσότερανα είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.
Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΣτα θέματα πολλαπλής επιλογής η λανθασμένη απάντηση βαθμολογείται αρνητικά όσο και η ορθή. Επιτρέπεται η χρήση του βιβλίου των Dorf & Bishop
Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Σ. Ε. Ρ. ΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο ΕΞΑΜΗΝΟ: 5 ο ΚΑΘΗΓΗΤEΣ: Τ. Γ. Κουσιουρής Γ. Παπαβασιλόπουλος Αριθμός Μητρώου Ονοματεπώνυμο
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων
Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση
Διαβάστε περισσότεραΓια να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :
Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και
Α ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις, όταν: () με R και (). Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Το πεδίο ορισμού της είναι A R. Επομένως A A R Α Θα εξετάσουμε αν για κάθε R ισχύει.
Διαβάστε περισσότερα2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
Διαβάστε περισσότερα2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ, 9 Πότε μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ; Απάντηση : Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτόματου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ευστάθεια Συστημάτων Ελέγχου Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία
Διαβάστε περισσότερα. Οι ιδιοτιμές του 3 3 canonical-πίνακα είναι οι ρίζες της. , β) η δεύτερη είσοδος επηρεάζει μόνο το μεσαίο 3 3 πίνακα και
ο ΘΕΜΑ [6. βαθμοί] 5 u x x + u Ax + Bu Έστω συνεχές σύστημα 4 5 3 u3 y [ ] x. [ β] Ποιες είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α; 5 Με το ακόλουθο partinioning του πίνακα A οι ιδιοτιμές του είναι 4 5 eig(a) eig(
Διαβάστε περισσότερα35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης
4 5 35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Περίληψη: Στο ένθετο αυτό περιλαμβάνονται 35 βασικές προτάσεις, μικρά λήμματα χρήσιμα για τις εξετάσεις. Μας βοηθούν να «ξεκλειδώνουμε»
Διαβάστε περισσότεραΜονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση
4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,
Διαβάστε περισσότεραD = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].
4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος
Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος. Πως ορίζεται η έννοια. Το όριο. To f() f() ; f() εφόσον υπάρχει είναι μονοσήμαντα ορισμένο; εξαρτιέται από τα άκρα α, β των ( α, ) και (, β ) ;. Πως ορίζονται τα πλευρικά
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace 1. Επίλυση Γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS Εισαγωγή Η μελέτη ενός ΣΑΕ μπορεί να γίνει με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης που το περιγράφει και είναι τόσο πιο δύσκολο, όσο μεγαλυτέρου βαθμού
Διαβάστε περισσότερα