ΟΡΥΚΤΟΛΟΓΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ - ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ

Transcript

1 ΟΡΥΚΤΟΛΟΓΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ - ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑ Συμμετρία και Κρυσταλλικά Συστήματα Ηλίας Χατζηθεοδωρίδης, Επίκουρος Καθηγητής

2 ΑΔΕΙΑ ΧΡΗΣΗΣ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

3 3 Συμμετρία και τύποι συμμετρίας

4 ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΚΡΥΣΤΑΛΛΩΝ 4 Όπως είπε ο Haüy, υπάρχει μια εσωτερική δομή στους κρυστάλλους Σήμερα την δομή αυτή την καταλαβαίνουμε από την περιοδική επανάληψη στον χώρο μονάδων υλικού (π.χ. άτομα) που τις ονομάζουμε κυψελίδες Η επανάληψη των κυψελίδων στον χώρο καταλήγει στο εξωτερικό σχήμα των κρυστάλλων που βλέπουμε Οι επαναλαμβανόμενες μονάδες μπορεί να είναι: Εικόνα 1 Μόρια, όπως π.χ. το μόριο του νερού H2O στον πάγο Ανιόντα, όπως (CO3) 2-, (SiO4) 4-, (PO4) 3- Κατιόντα ή απλά άτομα, όπως Ca 2+, Mg 2+, Fe 2+, Fe 3+ Εικόνα 2

5 ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ; 5 Η συστηματική αναπαραγωγή όμοιων χαρακτηριστικών στη μία, στις δύο ή στις τρεις διαστάσεις λέγεται πως έχει συμμετρία. Παράδειγμα Συμμετρία στις δύο διαστάσεις με περιοδική τοποθέτηση όμοιων αντικειμένων (σφαιρών) σε ίσες αποστάσεις μεταξύ τους.

6 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΑΝΑΛΟΓΟ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ 6 Στην άλγεβρα έχουμε 1=1 ισότητα ή ταυτότητα 1+2 = 2+1 αντιμετάθεση όρων Επίσης με τις πράξεις της άλγεβρας μπορούμε να παράγουμε οποιονδήποτε αριθμό Με την πρόσθεση με σύμβολο το + 1+1=2, ή 1+1+1=3, ή 1+2=3 Με τον πολλαπλασιασμό με σύμβολο το 1 0=0, ή 1 1=1, ή ακόμη 2 2=4 κτλ. Υπάρχει επίσης και η πράξη της ισότητας που συμβολίζεται με το ίσον = Κάτι ανάλογο περιμένουμε και στην κρυσταλλογραφία αλλά με άλλες πράξεις που έχουν γεωμετρική έννοια, κυρίως στον χώρο

7 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ 7 Εικόνα 3 M.C. Escher ( ) Εικόνα 4

8 ΕΚΦΡΑΣΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ 8 Εικόνα 5 M.C. Escher

9 ΕΜΒΑΘΥΝΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ 9 Εικόνα 7 M.C. Escher Εικόνα 8 Εικόνα 6

10 ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ Εικόνα 9 M.C. Escher Εικόνα 10 Εικόνα 11 Εικόνα 12 10

11 Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΧΑΟΥΣ 11 Εικόνα 13 Εικόνα 14 Εικόνα 15 Εικόνα 16 Εικόνα 17 Εικόνα 18

12 ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΜΕΣΑ ΣΤΟ ΧΑΟΣ 12 Εικόνα 19 Εικόνα 20 Εικόνα 21 Εικόνα 22

13 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ ΚΡΥΣΤΑΛΛΩΝ 13 Από το εξωτερικό τους σχήμα Από την εσωτερική τους συμμετρία Εξωτερικό σχήμα κρυστάλλων 7 Συστήματα Κρυστάλλωσης με βάση το σύστημα συντεταγμένων 32 μοναδιαίοι συνδυασμοί: Σημειο-ομάδες (point groups) ή Κρυσταλλικές τάξεις με βάση τα στοιχεία συμμετρίας (άξονες, σημεία, επίπεδα) και τους συνδυασμούς αυτών (πράξεις) με μοναδιαίο αποτέλεσμα.

14 ΤΑ ΕΠΤΑ (7) ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΩΣΗΣ 14 Με βάση το σύστημα συντεταγμένων Τρικλινές σύστημα Μονοκλινές σύστημα Ορθορομβικό σύστημα Τετραγωνικό σύστημα Εξαγωνικό σύστημα Τριγωνικό σύστημα } Ισομερές κυβικό σύστημα Κατά την αμερικάνικη ταξινόμηση τα δύο συστήματα κατατάσσονται σαν υποσυστήματα του εξαγωνικού 7 κρυσταλλικά συστήματα 32 point groups

15 ΤΡΙΚΛΙΝΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ 15 a b c α β γ 90 +c β -a α -b 1 = Καμμία συμμετρία 1-= Α 1 - +a γ +b -c

16 ΜΟΝΟΚΛΙΝΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ 16 a b c +c α = γ = 90 β 90 β c 0 -a α -b b 0 a 0 2 = 1Α 2 m=m 2/m = I, 1A 2, m +a -c γ +b

17 ΟΡΘΟΡΟΜΒΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 17 a b c α = β= γ = 90 +c c 0 β=90 -b -a b 0 α=90 a = 3A 2 mm2 = 1A 2, 2m 2/m 2/m 2/m = I, 3A 2, 3m +a -c γ=90 +b

18 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 18 a b c α = β= γ = 90 +c β=90 -a α=90 4 = 1A4 4- = 1A-4 4/m = I, 1A4, m 422 = 1A4, 4A2 4mm = 1A4, 4m 4-2m = 1A-4, 2A2, 2m 4/m 2/m 2/m = I, 1A4, 4A2, 5m -b +a -c γ=90 +b

19 ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ (ΡΟΜΒΟΕΔΡΙΚΟ) ΣΥΣΤΗΜΑ 19 a 1 = a 2 = a 3 = c γ 1 =γ 2 =γ 3 =120 β = α = 90 +c +a 3 β=90 a 3 c 0 +b α=90 3 = 1A3 3- = 1A-3 (i+1a3) 32 = 1A3, 3A2 3m = 1A3, 3m 3-2/m = 1A-3 (=i+1a3), 3A2, 3m +a 1 a 1 γ=120 -c a 2 +a 2

20 ΕΞΑΓΩΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 20 a 1 = (a 2 b)=a 3 c 0 γ 1 =γ 2 =γ 3 =120 β = α = 90 6 = 1A6 6- = 1A-6 (=1A3 + m) 6/m = I, 1A6, m 622 = 1A6, 6A2 6mm = 1A6, 6m 6-m2 = 1A-6 (=1A3+m), 3A2, 3m 6/m 2/m 2/m = I, 1A6, 6A2, 7m +a 3 +a 1 β=90 a 3 a 1 +c c 0 +b γ=120 α=90 b a 2 +a 2 -c

21 ΚΥΒΙΚΟ (ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΟ) ΣΥΣΤΗΜΑ 21 a = b = c α = β= γ = 90 +c β=90 -a α=90 -b 6/m2/m2/m = i, 1A 6, 6A 2, 7m 23 = _ 3A 2, 4A 3 _ 2/m3 = 3A 2, 3m, 4A 3 _ 432 = 3A 4 _, 4A 3, 6A 2 4 3m = 3A 4, 4A 3, 6m _ 4/m32/m = 3A 4, 4A 3, 6A 2, 9m +a -c γ=90 +b

22 22 Στοιχεία συμμετρίας και πραξεις συμμετρίας

23 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ 23 Βασικοί τύποι στοιχείων συμμετρίας Συμμετρία σε σχέση με ένα σημείο Συμμετρία σε σχέση με ευθεία γραμμή χ 90 χ Συμμετρία σε σχέση με ένα επίπεδο

24 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΕ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΣΗΜΕΙΟ 24 Ένα σημείο είναι ένα κέντρο συμμετρίας όταν όλα τα σημεία που βρίσκονται σε ίσες αποστάσεις από αυτό, αλλά σε αντίθετες κατευθύνσεις, είναι ισοδύναμα. Το κέντρο συμμετρίας συμβολίζεται με το λατινικό γράμμα i. i

25 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΕ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΕΠΙΠΕΔΟ 25 Εάν από ένα σημείο φέρουμε κάθετο σε ένα επίπεδο και σε ίση απόσταση από την άλλη μεριά του επιπέδου συναντήσουμε ισότιμο σημείο, τότε λέμε πως το επίπεδο αυτό είναι ένα επίπεδο συμμετρίας. Το επίπεδο συμμετρίας συμβολιζεται με το λατινικό γράμμα m. Επίσης, το επίπεδο συμμετρίας λέγεται και κατοπτρικό επίπεδο.

26 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΕ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΕΥΘΕΙΑ 26 Η ευθεία λέγεται και άξονας συμμετρίας και συμβολίζεται με τον αντίστοιχο αριθμό ή σύμβολο όπως αυτό φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. χ 90 χ Οι τέσσερεις τύποι αξόνων συμμετρίας Διπλός (2) Τριπλός (3) Τετραπλός (4) Εξαπλός (6) Άξονας συμμετρίας 360, δεν υφίσταται, αλλά απλά σημαίνει ανυπαρξία συμμετρίας.

27 ΑΞΟΝΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ 27 (συμμετρία με βάση την ευθεία) Η γεωμετρική κίνηση που απαιτείται για να φέρει ένα σημείο ώστε να ταυτιστεί με άλλο σημείο ίδιου είδους, ονομάζεται πράξη συμμετρίας Πράξεις συμμετρίας πρώτου είδους ονομάζονται αυτές που δεν αλλάζουν τον σχετικό προσανατολισμό του αντικειμένου. Αυτοί οι άξονες λέγονται και κανονικοί. Πράξεις συμμετρίας δεύτερου είδους ονομάζονται αυτές που αλλάζουν τον σχετικό προσανατολισμό του αντικειμένου. Αυτοί οι άξονες λέγονται και μη-κανονικοί. i 4 m Αυτοί οι άξονες ταυτίζονται με πράξεις όπως το σημείο ή το επίπεδο

28 ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΑΞΟΝΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ας ης ης

29 ΜΗ - ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΑΞΟΝΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ 29 Είναι όλοι οι κανονικοί (1, 2, 3, 4, 6) αλλά με μία επιπλέον αναστροφή του αντικειμένου κατά σημείο που ανήκει στον άξονα. 1 Συμβολίζονται με 1, 2, 3, 4 και 6. _ 1 _ 2 _ 2 ισότιμο με ισότιμο με i m Σημείο συμμετρίας Επίπεδο συμμετρίας

30 ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΑΞΟΝΑΣ 5 ης, ΚΑΙ ΑΠΟ 7 ης ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΦΥΣΗ 30 Υπάρχει όμως 5 ης σε τεχνητούς κρυστάλλους! Κράμα Al-Pd-Re σχηματίζει κρυστάλλους με άξονα 5 ης τάξης Εικόνα 23

31 ΠΛΑΚΙΔΙΑ ΤΟΥ ROGER PENROSE Πλήρης κάλυψη επιφάνειας με ένα μη-περιοδικό τρόπο (1984) 2 5 Εικόνα 24 1

32 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ (ΠΡΑΞΕΙΣ) ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ 32 _ Τα βασικά στοιχεία συμμετρίας είναι δέκα: 6, 4, 3, 2, 1, 6, 4, 3, 2 = m, 1 = i Συνδυασμοί των παραπάνω δίνουν τα κρυσταλλικά συστήματα που παρατηρούνται στα κρυσταλλικά υλικά. Όλοι οι κρύσταλλοι έχουν μερικά από τα παραπάνω 10 βασικά στοιχεία συμμετρίας, αλλά απεριόριστο αριθμό του στοιχείου συμμετρίας 1. Η εξωτερική συμμετρία κάθε κρυστάλλου πρέπει να αντιστοιχεί σε: Έναν από τους πέντε κανονικούς άξονες (1, 2, 3, 4 και 6) Έναν από τους πέντε μη-κανονικούς άξονες (1, 2, 3, 4 και 6) Έναν από τους συνδυασμούς των παραπάνω, αυτούς που δεν οδηγούν σε απεριόριστο αριθμό επαναλήψεων αλλά σε 32 μοναδιαίους συνδυασμούς, τις 32 κρυσταλλικές τάξεις.

33 33 ΟΙ 32 ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΕΣ ΤΑΞΕΙΣ (Σημειο-ομάδες)

34 ΟΙ 32 ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΕΣ ΤΑΞΕΙΣ (ΣΗΜΕΙΟ ΟΜΑΔΕΣ) 34 Οι 32 κρυσταλλικοί συνδυασμοί σημείου Οι συνδυασμοί στοιχείων συμμετρίας που περνάνε από ένα σημείο λέγονται «point groups» (σημειο-ομάδες) Point = σημείο, τουλάχιστον ένα σημείο μένει ακίνητο Groups = ομάδα, με την μαθηματική έννοια (Θεωρία Ομάδων) Μόνο 32 τέτοιοι συνδυασμοί είναι δυνατοί

35 ΟΙ 32 ΣΗΜΕΙΟ ΟΜΑΔΕΣ (ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΕΣ ΤΑΞΕΙΣ ) 35

36 ΑΛΛΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΟΝΟΜΑΤΟΛΟΓΙΕΣ 36 Κρυσταλλικό Σύστημα Κρυσταλλική Κλάση Πράξεις συμμετρίας Κρυσταλλικό Σύστημα Κρυσταλλική Κλάση Πράξεις συμμετρίας Τρικλινές Εξαγωνικό Μονοκλινές Ορθορομβικό Τετραγωνικό Κυβικό (Ισομετρικό)

37 ΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΣΧΗΜΑΤΙΚΑ (1) 37 Από το Ορθορομβικό: 222 ή 3Α 2 (τρεις άξονες δευτέρας τάξεις) 2 2 2

38 ΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΣΧΗΜΑΤΙΚΑ (2) 38 Από το Ορθορομβικό: 2/m2/m2/m ή i, 3Α 2, 3m (τρεις άξονες δευτέρας τάξεις, κάθετοι ο καθένας σε ένα επίπεδο) m 2 m 2 m 2

39 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ (5 ΑΠΟ ΤΑ 32) 39

40 ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ 40

41 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΜΕ ΞΥΛΙΝΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΩΝ 41

42 ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΩΝ 42 Πλέγματα Bravais Βασικά πλέγματα που ο συνδυασμός τους συνθέτει πολυπλοκότερες κατασκευές. Χωρο-ομάδες (space groups) με βάση άλλα στοιχεία συμμετρίας, όπως ολίσθηση σε άξονα ή σε επίπεδο, μεταφορά ή περιστροφή σε άξονα (και συνδυασμούς)

43 ΠΛΕΓΜΑΤΑ BRAVAIS 43 Μοναδιαίες, βασικές κυψελίδες (primitive cells), με τα άτομά τους (μαύρες σφαίρες), αντιγράφονται και μετατοπίζονται στον τρισδιάστατο χώρο (κατά το κίτρινο διάνυσμα). Έτσι σχηματίζεται ο κρύσταλλος.

44 ΠΛΕΓΜΑ BRAVAIS: ΜΙΑ ΑΠΛΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 44 Στην παρακάτω περίπτωση κάθε κυψελίδα από μόνη της έχει οκτώ άτομα (ένα στην κάθε μία από τις 8 κορυφές). Ωστόσο, στο κρύσταλλο κάθε κυψελίδα περιέχει 8 1/8 = 1 άτομο, γιατί τα άλλα άτομα τα παρέχουν οι γειτονικές κυψελίδες. Εδώ, δεν έχουμε δύο άτομα μαζί αλλά μόνο ένα

45 ΠΛΕΓΜΑΤΑ BRAVAIS: ΜΟΝΑΔΙΑΙΕΣ ΚΥΨΕΛΙΔΕΣ ΤΟΥ ΚΥΒΙΚΟΥ 45 Τρία από τα 14 πλέγματα: τα πλέγματα του κυβικού. P: απλό πλέγμα, με άτομα μόνο στις κορυφές F: εδροκεντρωμένο πλέγμα, με άτομα και στο κέντρο κάθε έδρας επιπλέον των κορυφών Ι: χωροκεντρωμένο πλέγμα, με άτομα στο μέσο του κύβου, επιπλέον των κορυφών

46 ΤΑ ΥΠΟΛΟΙΠΑ 11 ΠΛΕΓΜΑΤΑ BRAVAIS 46

47 HRTEM ΚΟΡΔΙΕΡΙΤΗ 47

48 ΧΩΡΟ ΟΜΑΔΕΣ (SPACE GROUPS) 48 Συνδυάζοντας τις 32 σημειο-ομάδες (point groups) με τα 14 πλέγματα Bravais δημιουργούμε 230 μοναδιαίους γεωμετρικούς συνδυασμούς που τους ονομάζουμε χωρο-ομάδες (space groups). Ο παραπάνω συνδυασμός περιλαμβάνει κινήσεις (ολισθήσεις) πάνω σε: ευθείες γραμμές: ολίσθηση ανά συγκεκριμένη απόσταση σε επίπεδα: δημιουργία ειδώλου με καθρέπτη και ολίσθηση αυτού σε άξονες περιστροφής: περιστροφή και ολίσθηση

49 230 ΧΩΡΟ ΟΜΑΔΕΣ 49 Για κάθε μία από τις 32 κρυσταλλικές τάξεις (crystal class) αντιστοιχεί ένα σύνολο διακριτών χωρο-ομάδων (space group), στο σύνολό τους 230.

50 50 ΝΟΜΟΙ ΤΗΣ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ Οι νόμοι της κρυσταλλογραφίας έχουν σαν αποτέλεσμα να μπορούμε να εκφράζουμε τις μακροσκοπικές σχέσεις μεταξύ των εδρών ενός κρυστάλλου.

51 1 ος ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ (Νόμος του Haüy) c Οι κρυσταλλικές έδρες τέμνουν τους κρυσταλλογραφικούς άξονες σε ακέραιες μονάδες μήκους +1 s +1 p b +2 +a

52 2 ος ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ (Νόμος του Bravais) 52 A Συχνότερη εμφάνιση (και κατ επέκταση μεγαλύτερο εμβαδόν) έχουν οι κρυσταλλικές έδρες που είναι παράλληλες σε κρυσταλλικά επίπεδα με μεγάλη πυκνότητα σε άτομα Α A C A B C B A Α

53 ΝΟΜΟΣ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΓΩΝΙΩΝ 53 Οι σχετικές γωνίες μεταξύ όμοιων ζευγαριών εδρών σε ένα κρύσταλλο είναι πάντα σταθερές και ίσες με αυτές ενός τέλειου, ιδεατού κρυστάλλου (Nicolaus Steno, 1669). Εάν από το κέντρο ενός οποιοδήποτε κρυστάλλου φέρουμε κάθετες ευθείες προς τις έδρες του, η γωνίες που σχηματίζουν αυτές οι ευθείες είναι και οι ζητούμενες. Αυτές οι γωνίες πρέπει να είναι σταθερές για ίδιους κρυστάλλους και μεταξύ ομοειδών ζευγαριών εδρών. Τέλος, αυτές οι γωνίες μετρώνται με τα γωνιόμετρα (όργανα που βασίζονται στην ανάκλαση μιας δέσμης φωτός στην επιφάνεια των εδρών).

54 ΧΡΗΣΗ ΓΩΝΙΟΜΕΤΡΟΥ 54 Περιστρέφουμε τον κρύσταλλο κατά τον άξονά του (ή το οπτικό σύστημα του γωνιομέτρου) και μετράμε την γωνία μεταξύ δύο θέσεων με μέγιστη ανάκλαση Φωτός Για μεγάλους κρυστάλλους, καθώς και για τα μοντέλλα του εργαστηρίου, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα απλό γωνιόμετρο όπως αυτό στα αριστερά.

55 55 ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΙ ΣΤΗ ΦΥΣΗ. ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΡΥΣΤΑΛΛΩΝ.

56 ΓΙΑΤΙ ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΙ 56 Τα άτομα έχουν την ιδιότητα εάν βρεθούν κοντά να αναζητούν θέσεις στις οποίες η ενέργεια του συστήματος μειώνεται για τις δεδομένες συνθήκες. Σε αυτές τις θέσεις σταθεροποιούνται σχετικά και η κινητικότητά τους μειώνεται. Οι θέσεις αυτές είναι γεωμετρικά κατανεμημένες έτσι ώστε εάν ξεκινώντας από ένα άτομο και προς κάποια διεύθυνση βρούμε μετά από συγκεκριμένη απόσταση ένα άλλο άτομο, τοτε επεκτείνοντας την ευθεία αυτή προς την ίδια διεύθυνση και σταματώντας στην ίδια απόσταση θα δούμε και πάλι άλλο ένα ίδιο άτομο. Στις τρείς διαστάσεις, η περιοδικότητα αυτή των ατόμων σχηματίζει τον κρύσταλλο. Ο κρύσταλλος τελικά είναι ενα φυσικό σώμα, που έχει ύλη/άτομα που είναι περιοδικά ταξινομημένα στο χώρο. Αυτή η περιοδική ταξινόμηση δίνει πολλές ιδιότητες στο υλικό σώμα που τελικά σχηματίζεται (φυσικές, χημικές, μηχανικές κτλ).

57 ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΙ ΣΤΗ ΦΥΣΗ 57 Τα κρυσταλλικά υλικά έχουν την ίδια χημική σύσταση σε όλη την μάζα τους. Οστόσο, οι γεωμετρικές μορφές που παρουσιάζονται στην φύση διαφέρουν ανάλογα με τον βαθμό κρυστάλλωσής τους: Ανεδρικοί κρύσταλλοι Υποεδρικοί κρύσταλλοι Ολοεδρικοί κρύσταλλοι Αν-, υπο-, ολο- σημαίνουν αντίστοιχα: χωρίς, μερικώς και πλήρως εμφανιζόμενες έδρες (επίπεδες κρυσταλλικές επιφάνειες)

58 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΚΡΥΣΤΑΛΛΩΝ 58 Σε τέλεια ανεπτυγμένους κρυστάλλους, που πλησιάζουν τις ιδεατές γεωμετρικές κατασκευές τους, όμοιες έδρες ή όμοια στοιχεία συμμετρίας πρέπει να βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το κέντρο του κρυστάλλου. Αυτό δεν συμβαίνει γιατί συνήθως η ροή χημικού υλικού είναι από μία κατεύθυνση και οι έδρες που βρίσκονται προς αυτή την κατεύθυνση δέχονται περισσότερο υλικό για να αναπτυχθούν. Ο όγκος του κρυστάλλου μεγαλώνει γρηγορότερα από αυτή την πλευρά και οι αντίστοιχες έδρες αναπτύσσονται πιο γρήγορα. Γεωμετρικά αυτό σημαίνει ότι η απόσταση αυτής της έδρας από το κέντρο του κρυστάλλου μεγαλώνει ενώ το εμβαδό της μικραίνει. Παράλληλα, το εμβαδόν των γειτονικών της εδρών μεγαλώνει. Αυτό συμβαίνει γιατί όλοι οι κρύσταλλοι είναι κλειστά γεωμετρικά σχήματα και μία έδρα περιβάλλεται από άλλες έδρες που σχηματίζουν γωνίες μικρότερες των 180 και οι οποίες περιορίζουν γεωμετρικά την ανάπτυξη της περιεχόμενης έδρας ώστε αυτή να μειώνεται σε εμβαδόν.

59 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΥ 59 Ομοιόμορφη τροφοδοσία υλικού Ανομοιόμορφη τροφοδοσία υλικού u u u max Η τροφοδοσία υλικού είναι η ίδια από όλες τις Η τροφοδοσία υλικού είναι μεγαλύτερη από την κατευθύνσεις, έτσι, όλες οι όμοιες έδρες είναι: κατεύθυνση του μεγάλου κόκκινου βέλους, έτσι: ίσες μεταξύ τους, και η αντίστοιχη έδρα απομακρύνεται γρηγορότερα σε ίσες αποστάσεις από το κέντρο από το κέντρο του κρυστάλλου του κρυστάλλου η ίδια έδρα μειώνεται σε εμβαδό οι γειτονικές της έδρες μεγαλώνουν σε εμβαδό Ωστόσο, σε όλες τις περιπτώσεις, οι σχετικές γωνίες των εδρών παραμένουν σταθερές.

60 ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ 60 Στην παρούσα διάλεξη τα περισσότερα σχήματα έχουν σχεδιαστεί από τον συγγραφέα. Οι φωτογραφίες είναι από το internet και κάποια ασπρόμαυρα σχέδια ή πίνακες από το βιβλίο του C. Klein, Mineral Science, 22 nd Edition, Wiley. Εικόνα 1. Υλικό με μη προσδιορισμένη προέλευση. Σε περίπτωση που είστε ο κάτοχος του κύριου δικαιώματος επικοινωνήστε μαζί μας. Εικόνα 2. Σιδηροπυρίτης (πενταγωνικό δωδεκάεδρο). Εικόνα 3. M.C. Escher. Self-Portrait Lithograph. Εικόνα 4. Stars. Artist: M.C. Escher. Completion Date: Style: Surrealism. Εικόνα 5. Drawing Hands Lithograph. Εικόνα 6. Procession in Crypt Woodcut. Εικόνα 7. Sky and Water I Woodcut. Εικόνα 8. Development II Woodcut in brown, grey-green and black, printed from 3 blocks. Εικόνα 9. Metamorphosis II 1940 woodcut in black, green and brown, printed from 20 blocks on 3 combined sheets.

61 ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ 61 Εικόνα 10. Fish and Frogs Wood engraving. Εικόνα 11. Encounter Lithograph. Εικόνα 12. Tetrahedral Planetoide Woodcut in green and black, printed from 2 blocks. Εικόνα 13. Fractal Art. Copyright Doug Harrington. All rights reserved. Εικόνα 14. Law of Attraction. Εικόνα 15. Υλικό με μη προσδιορισμένη προέλευση. Σε περίπτωση που είστε ο κάτοχος του κύριου δικαιώματος επικοινωνήστε μαζί μας. Εικόνα 16. Dimmity. Copyright Doug Harrington. All rights reserved. Εικόνα 17. "Ode" aos Fractais. Εικόνα 18. Fractals in human artifacts. Εικόνα 19. Fractal Art. Copyright Doug Harrington. All rights reserved. Εικόνα 20. Fractal Art. Copyright Doug Harrington. All rights reserved.

62 ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ 62 Εικόνα 21. Υλικό με μη προσδιορισμένη προέλευση. Σε περίπτωση που είστε ο κάτοχος του κύριου δικαιώματος επικοινωνήστε μαζί μας. Εικόνα 22. Υλικό με μη προσδιορισμένη προέλευση. Σε περίπτωση που είστε ο κάτοχος του κύριου δικαιώματος επικοινωνήστε μαζί μας. Εικόνα 23. A Ho-Mg-Zn icosahedral quasicrystal formed as a dodecahedron, the dual of the icosahedron. Εικόνα 24. Diffreaction Pattern.

63 ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.