2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8

Transcript

1 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 5 και Ρ(Β) = Ρ(Α ). Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να εξετάσετε αν είναι ασυµβίβαστα και τα Α, Β 5 i είξτε ότι Ρ(Α Β)= και ότι Ρ(Α Β ) =. 8 8 Αφού Α και Β ασυµβίβαστα, θα ισχύει Άρα τα Α και Β δεν είναι ασυµβίβαστα ii ) Β Α = Ρ (Β Α ) = 0 Ρ(Β) Ρ(Α Β) = 0 Ρ(Α Β) = Ρ(Β) Ρ(Α Β) = Ρ(Α ) 5 Ρ(Α Β ) = Ρ(A) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) = = 5 8 Ρ(Α Β ) = Ρ(Α ) Ρ(Α Β) = = Ρ(Α ) Ρ(Β) + Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) = 1 Ρ(Α) = 8 0 = = 8

2 1. Έστω η συνάρτηση f(x) = 4x 5x + x lnκ + 0, x R, κ > 0. Aν ο ρυθµός µεταβολής της f, όταν x =1, είναι ίσος µε 4, να δείξετε ότι κ = e. i Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης. Αν Χ, Ψ ενδεχόµενα του Ω µε Χ Ψ και οι πιθανότητες Ρ(Χ), Ρ(Ψ) είναι οι θέσεις των τοπικών ακρότατων της f, να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(Χ), Ρ(Ψ), Ρ( Χ Ψ ), Ρ( Χ Ψ ), Ρ( Ψ Χ ) όπου Χ αντίθετο του Χ. f (x) =1x 10x + lnκ f (1) = lnk = 4 i lnκ = κ = e. f(x) = 4x 5x + x + 0 f (x) =1x 10x + f (x) = 0 x = 1 ή x = 1 Πρόσηµο της f και µονοτονία της f x 1/ 1/ + f f Από τον πίνακα βλέπουµε ότι η f παρουσιάζει τοπικό µέγιστο, για x = 1 και τοπικό ελάχιστο, για x = 1. Επειδή Χ Ψ, θα είναι Ρ(Χ) Ρ(Ψ), Χ Ψ = Χ, Χ Ψ = Ψ Άρα Ρ(Χ) = 1, Ρ(Ψ) = 1, Ρ(Χ Ψ ) = 1, Ρ(Χ Ψ ) = 1 και Ρ( Ψ Χ ) = Ρ(Ψ) Ρ(Ψ Χ ) = 1 1 = 1 6

3 1. Στο διπλανό πίνακα να βρείτε τις τιµές των κ και λ, αν γνωρίζετε ότι είναι ακέραιες 100 µε x = και CV = % i Να βρείτε την διάµεσο της κατανοµής ii Επιλέγουµε µία τιµή στην τύχη, ποια είναι η πιθανότητα αυτή να είναι µικρότερη ή ίση του ; iν) Αν οι τιµές αυξηθούν µε βάση τη σχέση y i = x i + 1, να βρείτε την νέα µέση τιµή και τη νέα τυπική απόκλιση, και να προσδιορίσετε την µεταβολή του CV. x = CV = 100 % + κ+ + λ = κ + λ = 16 (1) S 1 = x S 1 = S = 1 S = 1 x i ν i 1 5 κ 0 15 λ 0 Σύνολο 70 5(1 ) + 0( κ ) + 15 ( ) + 0 ( λ ) 70 = 1 κ + λ 1κ 18λ + 40 = 0 () Λύνοντας το σύστηµα των (1), () βρίσκουµε λ = 4 και κ = i η η 5 παρατ + 6 παρατ. δ= = + = ii = 70 7 iν) y = x+ 1= 7, S y = S x =, CV y = 7 = 00 % 7 Η µεταβολή του CV είναι 100 % 00 % 7 = 100 % 1

4 4 14. Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω = { 1, 0, 1,,, 4, 5 }, για τον οποίο ισχύει Ρ( 1) = Ρ(0) = Ρ(1) = Ρ() = Ρ() = Ρ(4) = Ρ(5). Ορίζουµε τα ενδεχόµενα του Ω : Α = { 1,, x x } Β = {, x + 1, x + x, x + 1} όπου x πραγµατικός αριθµός Να βρεθούν οι πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχοµένων του Ω i Να βρεθεί η µοναδική τιµή του x, για την οποία ισχύει Α Β = { 1, } ii Για x = 1, να αποδείξετε ότι Ρ( Α ) = 5, Ρ(Β) = 7, Ρ(Α Β) = και στη συνέχεια να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(Α Β) και Ρ ( Α Β ) Έστω Τότε Ρ( 1) = Ρ(0) = Ρ(1) = Ρ() = Ρ() = Ρ(4) = Ρ(5) = κ Ρ( 1) = Ρ(0) = Ρ(1) = Ρ() = κ και Ρ() = Ρ(4) = Ρ(5) = κ Όµως Ρ( 1) + Ρ(0) + Ρ(1) + Ρ() + Ρ() + Ρ(4) + Ρ(5) = 1 κ + κ + κ + κ + κ + κ + κ = 1 κ = Άρα Ρ( 1) = Ρ(0) = Ρ(1) = Ρ() = i και Ρ() = Ρ(4) = Ρ(5) = 1 Θέλουµε το 1 Α Β, δηλαδή 1 Α και 1 Β 1 Α x x = 1 x x = 0 x = ή x = 1 Όταν x =, τότε Β = {, + 1,. + 1,. + 1} Β = {,, 7, } Όπως βλέπουµε, για x =, το 1 Β Όταν x = 1, τότε Β = {, 1 + 1,. ( 1) + ( 1),. ( 1) + 1} Β = {, 0, 1, } Όπως βλέπουµε, για x = 1, το 1 Β Εποµένως Α = {1,, 1} και Β = {, 0, 1, } µε Α Β = { 1, } Συνεπώς η ζητούµενη τιµή είναι η x = 1

5 5 ii Ρ(Α) = Ρ(1) + Ρ() + Ρ( 1) = = 5 Ρ(Β) = Ρ() + Ρ(0) + Ρ( 1) + Ρ() = = 7 Ρ( Α Β ) = Ρ() + Ρ( 1) = 1 + = Ρ(Α Β) = Ρ(Α) Ρ( Α Β ) = 5 = Ρ ( Α Β ) = Ρ(Α) + Ρ(Β ) Ρ( Α Β ) = Ρ(Α) + 1 Ρ(Β) Ρ(Α Β) = = 7

6 6 15. Έστω Ω = {1,,, 4,, 10} δειγµατικός χώρος µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα 1 και η συνάρτηση f(x) = x x + x +λ, λ Ω. Έστω ακόµα τα ενδεχόµενα : Χ = {λ Ω / η µέγιστη τιµή της f στο [0, 5] να είναι µεγαλύτερη ή ίση του 68 } Ψ = {λ Ω / η ελάχιστη τιµή της f στο [0, 5] να είναι µικρότερη ή ίση του 4} Να µελετήσετε την f, ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα, στο [0, 5] i Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Χ) και Ρ(Ψ) ii Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ( Χ Ψ ), Ρ(Χ Ψ), Ρ(Χ Ψ ) f (x) = x 4x+ f (x) = 0 x 4x + = 0 x = 1 ή x = Πρόσηµο της f και µονοτονία της f x f f Βλέπουµε ότι η f παρουσιάζει : Τοπικό ελάχιστο το f(0) = λ Τοπικό µέγιστο το f(1) = 4 + λ i Μέγιστη τιµή της f είναι η f(5) = 0 + λ και ελάχιστη η f(0) = f() = λ Τοπικό ελάχιστο το f() = λ Για τον προσδιορισµό του ενδεχόµενου Χ, έχουµε Όµως λ Ω, οπότε λ = 4, 5,...,10 Άρα Χ = { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Τοπικό µέγιστο το f(5) = 0 + λ λ λ 48 λ 4 ή λ 4 Για τον προσδιορισµό του ενδεχόµενου Ψ, έχουµε λ 4 λ

7 7 Όµως λ Ω, οπότε λ = 1, Άρα Ψ = {1, } Εποµένως Ρ(Χ) = ii Ν( Χ) Ν( Ω ) = 7 10 X Ψ =, άρα Ρ(X Ψ) = 0 Ν και Ρ(Ψ) = ( Ψ ) Ν( Ω ) = 10 Χ Ψ = { 1,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, άρα Ρ(Χ Ψ) = και Ν( Χ Ψ) Ν( Ω) = 9 10 Ρ(Χ Ψ ) = Ρ(Χ) Ρ(Χ Ψ) = = 7 10

8 8 16. Στις εξετάσεις στατιστικής πήραν µέρος 40 φοιτητές. Οι 1 από αυτούς πήραν βαθµό κάτω από 4 και οι τέσσερις βαθµό κάτω του. Το 40% των φοιτητών πήρε βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο του 4 αλλά µικρότερο του 6. Η γωνία του κυκλικού διαγράµµατος που αντιστοιχεί στους φοιτητές που πήραν βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο του 8 είναι 6 ο. Η κλίµακα βαθµολογίας είναι από 0 έως και 10, µε βάση το 5 Να φτιάξετε πίνακα συχνοτήτων της βαθµολογίας i Να βρείτε πόσοι φοιτητές πέρασαν το µάθηµα ii Να βρείτε την µέση τιµή, την τυπική απόκλιση και το συντελεστή µεταβολής iν) Επιλέγουµε ένα φοιτητή στην τύχη. Ποια είναι η πιθανότητα αυτός να µην πέρασε το µάθηµα ; ν) Αν οι φοιτητές που είχαν βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο 7 παίρνουν βραβείο, και επιλέξουµε ένα φοιτητή στη τύχη, ποια είναι η πιθανότητα αυτός να πήρε βραβείο; Από τα δεδοµένα στην κλάση [0, ) βρίσκονται 4 φοιτητές ενώ στην κλάση [, 4) βρίσκονται 8 φοιτητές Το 40% δηλαδή =16 φοιτητές βρίσκονται στην κλάση [4, 6) 100 Αν ν i είναι οι φοιτητές µε βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο του 8, τότε νi 6 = 60 ν i = 4 40 Τέλος στην κλάση [6, 8) βρίσκονται = 8 φοιτητές Ο πίνακας συχνοτήτων συµπληρωµένος και µε τις στήλες ν i x i και ν i x i Κλάσεις [, ) Κεντρ τιµή x Συχντ νi ν i x i ν i x i [0, ) [, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 10) Σύνολο i Λόγω ισοκατανοµής των παρατηρήσεων το µάθηµα το πέρασαν = 0 φοιτητές

9 9 ii κ 1 x = νixi = 00 5 ν i= 1 40 = κ ix κ ν i 1 i= 1 S = ix ν i = ν i= 1 ν S = 4,8, = 4,8 CV = S x =,19 5 iν) = 1 40 ν) = ,44 = 44%

10 Έστω η συνάρτηση f (x) = x x P(A B) + x ( ) 1 Ρ Α Β + + Να βρείτε την f (1) i Αν η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο Μ(1, f(1)) σχηµατίζει µε τον x x γωνία 45 ο 1, δείξτε ότι Ρ(Β) = 1 f (x) = x xp(a B) + Ρ( Α Β ) + 1 f (1) = 1 P(A B) + Ρ( Α Β ) + = 1 P(A B) + P(A B) + = 5 P(A B) P(A B) + i f (1) = εφ45 ο 5 P(A B) P(A B) + =1 5 [P(A) +Ρ( Β) Ρ( Α Β )] + P(A) Ρ( Α B) =1 5 P(A) Ρ( Β ) + Ρ( Α Β ) + P(A) Ρ( Α B) =1 Ρ(Β) = Ρ(Β) = 1

11 18. Έχουµε 0 σφαίρες σ ένα δοχείο αριθµηµένες από το 1 έως το 0. Επιλέγουµε µία σφαίρα στην τύχη. Έστω τα ενδεχόµενα Α : ο αριθµός της σφαίρας είναι άρτιος Β : ο αριθµός της σφαίρας είναι πολλαπλάσιο του 5. Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ( Α Β ), Ρ(Α Β ), Ρ[(Β Α ) (Α Β )] i Aν οι τιµές Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ( Α Β ), Ρ(Α Β ), Ρ( A B ) είναι οι παρατηρήσεις ενός δείγµατος µιας κατανοµής περίπου κανονικής, οι οποίες έχουν τιµές µεγαλύτερες από τη x + S, όπου x η µέση τιµή και S η τυπική απόκλιση, να βρείτε το µέγεθος του δείγµατος. Α = {, 4, 6,, 8, 0} µε Ν(Α) =15 Β = {5, 10, 15, 0, 5, 0} µε Ν(Β) = 6 A B={10, 0, 0} µε Ν( A B ) = Ρ(Α) = N(A) N( Ω) = 15 0 = 1 Ρ(Β) = N( Β ) = N( Ω) 6 0 = 1 5 Ρ( A B ) = N(A Β ) = N( Ω) 0 = 1 10 Ρ( Α Β ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( A B ) = = 6 10 Ρ(Α Β ) = Ρ(Α) + Ρ(Β ) Ρ( A B ) i = Ρ(Α) +1 Ρ(Β) Ρ(Α) + Ρ( A B ) = = 9 10 Ρ[(Β Α ) (Α Β )] = = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( A B ) = = = 1 Σε µια κανονική κατανοµή, τιµή µεγαλύτερη από την x + S έχει το,5% του δείγµατος. To πλήθος των δοσµένων παρατηρήσεων είναι 5, οπότε αν ν είναι το µέγεθος του δείγµατος τότε,5 ν = 5 ν =

12 1 19. Έστω Ω ={1,,,., ν} ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης και η ν x+νx συνάρτηση f(x) = 1+ x+ x 1 Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f i Αν lim f (x) = 6, δείξτε ότι Ω = {1,, } x 0 λ λ 1 ii Αν Ρ (1) =, Ρ() =, Ρ() = 5λ+ 1 λ+ 1 λ+ Ρ(1), Ρ() και Ρ(). Πρέπει 1 + x + x 0 και 1+ x+ x 1 0, να βρείτε τις πιθανότητες Επειδή η διακρίνουσα του τριώνυµου 1 + x + x είναι = < 0, θα είναι 1 + x + x > 0 για κάθε x R 1+ x+ x 1 0 Οπότε i lim f (x) = lim x 0 x 0 1+ x+ x 1 x + x x + x 0 x(x + 1) 0 x 1 και x 0 Α f = (, 1) ( 1, 0) (0, + ) ν x+νx 1+ x+ x 1 = 0 0 = lim ( ν x+ν x )( 1+ x+ x + 1) x 0 ( 1+ x+ x 1)( 1+ x+ x + 1) ν x(1+ x)( 1+ x+ x + 1) = lim x 0 1+ x+ x 1 ν = lim x 0 x(1+ x) x(1 x)( 1 x x 1) Άρα ν = 6 ν =, οπότε Ω = {1,, } ii Ρ(1) + Ρ() + Ρ() = 1 = λ λ λ+ 1 λ+ 1 λ+ = 1 (λ 1)(λ + 4λ + 1) = 0 lim ( 1 x x 1) x 0 ν = ν λ = 1 ή λ = ή λ = +

13 1 1 Αν λ = τότε Ρ() = < 0 που είναι αδύνατο Αν λ = + τότε Ρ() = + < 0 επίσης αδύνατο 1+ Άρα λ = 1, οπότε Ρ(1) = 1 6, Ρ() = 1 και Ρ() = 1

14 14 0. Έστω Ω = {, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16} ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα, τα οποία είναι τιµές µιας µεταβλητής Χ. Να βρείτε τη µέση τιµή, τη διάµεσο και το εύρος της κατανοµής i Αν S είναι η τυπική απόκλιση, δείξτε ότι S = x + ii Θεωρούµε τα ενδεχόµενα Α = {α Ω/ α = πολλαπλάσιο του 4} (x 6x+ 8)(x ) Β = {β Ω/ β είναι ρίζα της εξίσωσης = 0} x Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ( Α Β ), Ρ(Α Β), Ρ(Α Β) x = = = 9 δ = 4 η 5 η παρατ+ παρατ = = 9 R = 16 =14 i S ( 9) + (4 9) + (6 9) (14 9) + (16 9) = 8 x+ = 9+ = 1 = S ii Είναι A = { 4, 8, 1, 16} = 1 (x 6x+ 8)(x ) x Οπότε Β = {4} Ρ(Α) = = 0 Ν( Α) Ν( Ω ) = 1, Ρ(Β) = Ν ( Β ) Ν( Ω ) = 1 8 (x 6x + 8)(x ) = 0 και x x = 4 ή x = Επειδή Α Β = Β θα είναι Ρ(Α Β) = 1 8 και Α Β = Α, άρα Ρ( Α Β ) = 1 και Ρ(Α Β) = Ρ(Α) Ρ(Α Β) = 8