ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 20 ΜΑΪΟΥ 2013 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. x x x 4

Transcript

1

2 ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 0 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 8 Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 4 Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 87 Α4. α) Λ, β) Σ, γ) Λ, δ) Λ, ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β. P( ω ) lm lm ( + )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) lm lm lm. 4 ( ) ( )( ) Ο ρυθµός µεταβολής της f ως προς όταν, ισούται µε f (). Η f είναι παραγωγίσιµη για κάθε > 0 µε f ( ) ln ln + ln +. Για έχουµε: f () ln +. ω ' είναι P(ω ) P(Α'). Όµως Pω ( ) οπότε ( ') P. P( ') P( ) P( ) Β. Είναι Α' {ω, ω }. Επείδη { }

3 Πράγµατι, {ω } Α άρα P(ω ) P(). Όµως Pω ( ), άρα 4 P( ). 4 Β. P( ) P( ) P( ) Όµως P( ) P( ω ) + P( ω4) και επειδή Pω ( ) 4 προκύπτει + P( ω4) P( ω4) Είναι P( Ω ), άρα P( ω ) + P( ω) + P( ω) + P( ω4 ) και επειδή Pω ( ), Pω ( 4) 0 προκύπτει 4 5 Pω ( ). 4 ΘΕΜΑ Γ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P P + P P P + P P P( ) + P( ) P( ) () Όµως { ωω, 4}, άρα P( ) P( ω ) + P( ω4). 4 7 Β { ω, ω}, άρα P( Β ) P( ω ) + P( ω) +. 4 Α Β { ω }, άρα P( ) Pω ( ). 4 Από την () βρίσκουµε ότι: 7 P ( ) ( ) P( ) + P( ) P( ) [ ] P( ) P( ) P( ) P( ) P ( ) P( ) + P( ) P( ) P( ) P( ) + P( ) P( ) P( ) 7 4 P( ) P( ). 4 Γ. Αν c το πλάτος της κάθε κλάσης, τότε η τέταρτη κλάση θα είναι (50 + c, c). Αφού η κεντρική τιµή της είναι 85, προκύπτει ότι 50 + c c 7c 7c c 0. f Γ. Αφού η διάµεσος είναι δ 75 f + f + 50%.

4 Επίσης, 74 55f + 65 f + 75 f + 85 f Επίσης ισχύουν f + f + f + f 4 καθώς και f 4 f άρα, f f + f + 0,5 55f + 65f + 75f + 85f4 74 f + f + f + f4 f4 f Από τη λύση του συστήµατος προκύπτει f 0, f 0, f 0, f 4 0,4. Έτσι προκύτει ο παρακάτω πίνακας: Κλάσεις ι f ι [50, 60) 55 0, [60, 70) 65 0, [70, 80) 75 0, [80, 90) 85 0,4 Σύνολο 80 Γ. Οι παρατηρήσεις που είναι µικρότερες του 80 έχουν διαφορετική βαρύτητα, άρα f+ f + f 550,+ 650, + 750, 5, , 0, 0, 0, 6 0, 6 6 f+ f+ f + + Γ4. Αφού η κατανοµή είναι κανονική και το,5 % των παρατηρήσεων είναι τουλάχιστον 74, θα είναι + s 74. Επίσης για το 6% των παρατηρήσεων που είναι το πολύ 68 θα είναι θα είναι s 68, όπου, s η µέση τιµή και τυπική απόκλιση, αντίστοιχα, των κ παρατηρήσεων. Άρα θα είναι + s 74, s 68. Από τη λύση του συστήµατος προκύπτει δ και 70. s Ο συντελεστής µεταβολής των κ παρατηρήσεων είναι CV < Άρα το δείγµα των παρατηρήσεων αυτών είναι οµοιογενές. ΘΕΜΑ. f ( ) ln +, > 0 Η εφαπτόµενη της f στο στο σηµείο (, f()) είναι: (ε): y λ+ β όπου λ f (). Επειδή η (ε) διέρχεται από το (, f()) αλλά f () + β β f () ln+ κ κ η (ε) γίνεται y + κ. Τα σηµεία Α, Β στα οποία η (ε) τέµνει τους άξονες και yy είναι Α(-κ, 0) και Β(0, κ-) αντίστοιχα.

5 Το τρίγωνο ΟΑΒ έτσι έχει εµβαδόν: ( κ ) κ κ E ίνεται Ε<, άρα ( κ ) < κ < 4 < κ < < κ < Όµως κ ακέραιος µε κ>, άρα κ.. α) Επειδή κ η (ε) γίνεται y + Επίσης από γνωστή εφαρµογή του σχολικού βιβλίου είναι: y ( + ) ( 0 + ) ( 6 λ) ( 50 λ) β) Είναι λ λ 0 50 ι. 60 5λ λ λ. Είναι f () ln +, > 0. Έτσι έχουµε τον επόµενο πίνακα µεταβολών f () f() 0 /e Προκύπτει ( ) e mn f : f e > 0 e e Στο διάστηµα, e και η f είναι γνησίως αύξουσα, άρα < α < β < γ < e f ( e) < f( α) < f( β) < f ( γ ) < f( e). e Επειδή f ( e) 0 προκύπτει: f ( e) 0 f( e) f( α) f( β) f ( γ ) f( e) Έτσι ( e) R f ( e) f e+ 0 e+. Από τη δοσµένη σχέση a a β γ 7 e προκύπτει a β γ 7 β γ e α lnα + β ln β + γ lnγ 7 β γ < < < < <. ln( a ) ln f ( α ) + f ( β) + f ( γ ) 7 f ( α ) + f ( β) + f ( γ ).

6 ( ) f ( α) + f ( β) + f ( γ ) + f ( e) + f e Έτσι: 5 + e+ 5+ e α) Για το ενδεχόµενο Α έχουµε: f ( t) > 0 + ln t > 0 ln t > ln t > ln t >. e e t, t, t..., t. Άρα { } N( ) 0 άρα 0 N( ) 0 P( ). N( Ω) 0 β) Για το ενδεχόµενο Β έχουµε: f ( t) > f ( t ) + t ln t + > + ln t + ( t )ln t > 0. Άρα { t < 0 και ln t< 0 }ή { t > 0 και ln t> 0 } Η δεύτερη περίπτωση δεν µπορείν να ισχύει διότι t Ω, άρα t<. Β t, t, t..., t. Άρα 0< t <, άρα { } 9 Έτσι { t, t, t..., t } Α Β και άρα 9 Ν( Α Β) 9 P( ). Ν( Ω) 0

7 ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. σχολ. βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 48 σχολ. βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 96 σχολ. βιβλίου. Α4. α) Λ, β) Σ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Σ. ΘΕΜΑ Β. Αφού η διάµεσος αντιστοιχεί στο 50% των παρατηρήσεων, από το ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων θα είναι δ 5. Β. Αφού η διάµεσος αντιστοιχεί στο 50% και είναι δ 5 θα είναι α α 6 α α α + α α α α 8 Άρα ο πίνακας συχνοτήτων της κατανοµής των χρόνων θα είναι χρόνος (λεπτά) v f % N F % [5-5) [5-5) [5-5) [5-45) Σύνολο Είναι 4 Σ v v λεπτά. Επίσης S 4 Σ v ( ) v( ) + v ( ) + v( ) + v4( 4 ) v v ( ) + ( ) + ( ) + ( )

8 Άρα η τυπική απόκλιση είναι S s 84 9,7 λεπτά. Β4. Από 5 έως 45 έχουµε το 0% των παρατηρήσεων και έστω % το ποσοστό των παρατηρήσεων από 7 έως 45. Τότε θα είναι: % ΘΕΜΑ Γ Γ. Αν Γ και Ι είναι τα ενδεχόµενα ένας µαθητής να µαθαίνει αντίστοιχα Γαλλικά, Ισπανικά, τότε είναι: P( Γ Ι ) ( ) ( )( ) ( )( ) lm lm lm + ( + )( + + ) ( + )( + + ) ( ) ( ) lm. lm ( + + ) ( + + ) Άρα το ενδεχόµενο ο µαθητής να µαθαίνει τουλάχιστον µια από τις γλώσσες είναι βέβαιο. ν Γ. Είναι P( Γ ) ν +, ν+ P( I) ν +, ν + P( Γ Ι ) ν +, P( Γ Ι ). Όµως P( Γ Ι ) P( Γ ) + P( I) P( Γ Ι ), άρα: ν ν + ν + + ν + ν + ν + ν ν ν 0 ν 0 ν + ν + ν + ή ν. Επειδή ν προκύπτει ν. Γ. Το ενδεχόµενο ο µαθητής να µαθαίνει µόνο µία από τις δύο γλώσσες είναι το: ( Γ Ι) ( Ι Γ ). Είναι P(( Γ Ι) ( Ι Γ )) P( Γ ) + P( Ι) P( Γ Ι ) Γ4. 4 P( Γ Ι ). Όµως 0 5 Ν( Γ Ι) P( Γ Ι ). Ν ( Ω ) Ν( Γ Ι) Έτσι Ν( Ω ) 80. Ν( Ω) 5 Ν( Ω) 5

9 ΘΕΜΑ. H f είναι παραγωγίσιµη στο (0, + ) ως αποτέλεσµα πράξεων παραγωγίσιµων συναρτήσεων, µε + ln ln ln ln ln f () ln ln + (ln ) Επειδή είναι f () < 0 για κάθε (0, e) (e, + ), f (e) 0, προκύπτει ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, + ). + ln. Το εµβαδόν του ορθογωνίου ΟΛΜΚ είναι: E() f () + ln. Η συνάρτηση E() είναι παραγωγίσιµη στο (0, + ) µε: ln E () ( + ln ) ln (ln ). ln E () 0 0 ln 0. E () E() mn ln + E(). Για την τιµή, έχουµε f(), εποµένως (ΟΛ) (ΟΚ), οπότε το ορθογώνιο είναι τετράγωνο.. Επειδή η ευθεία ε: y λ + β είναι παράλληλη στην εφαπτόµενη της C f στο σηµείο Σ(, f()), θα είναι: λ f (). Έτσι έχουµε: y + β, µε β 0. Επειδή η µέση τιµή των παρατηρήσεων είναι 0 και y ( ) + β προκύπτει ότι: y 0 + β και S y S Για να είναι το δείγµα των παρατηρήσεων y µε,, 0 οµοιογενές θα πρέπει: S y 0, y.

10 S y 0, y 0 + β 0 + β β 0 ( 0 + β 0 ή 0 + β 0) β 0 ή β 0. Άρα: β (, 0] [0, + ). 4. () Α Α Β άρα P( ) P( ) και επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα είναι f( P( )) f( P( )) () () Α Β Α Β άρα P( ) P( ) και επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα είναι f( P( )) f( P( )) () Προσθέτοντας τις σχέσεις () και () κατά µέλη έχουµε: f ( P( )) + f ( P( )) f ( P( )).

11 ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου. ύο ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω λέγονται ασυµβίβαστα όταν. Α. Θεωρία, σελ. 65 σχολικού βιβλίου. Η σχετική συχνότητα f µιας τιµής ενός v δείγµατος, προκύπτει από το λόγο f, όπου v είναι η συχνότητα της τιµής προς v το µέγεθος v του δείγµατος. Έτσι, αν πολλαπλασιαστεί επί 00 εκφράζει την ποσοστιαία εµφάνιση της τιµής, σε σχέση µε το µέγεθος του δείγµατος ν. Α4. α) Λ, β) Λ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Σ. ΘΕΜΑ Β Β. Έστω ( ), ( K ), ( M ) τα πλήθη αντίστοιχα των άσπρων ( ), κόκκινων ( K ) και ( M ) µαύρων ( M ) σφαιρών. Επειδή P( M ), θα είναι: ( Ω ) 4 ( M ). 4 ( Ω) 4 Αφού 64 < ( Ω ) < 7 έπεται 64< 4 ( M ) < 7 6 < ( M ) < 8. Αφού ( M ) είναι φυσικός αριθµός, προκύπτει ( M ) 7. Άρα ( Ω ) Β. Είναι Α Κ Μ Ω, άρα P( Α Κ Μ ) P( Ω ) (), µε M, K, M K, δηλαδή τα Α, Κ, Μ, είναι ανά δύο ασυµβίβαστα. Έτσι η () γράφεται P( ) + P( K) + P( M ). 7 Προκύπτει έτσι + 4λ 5λ + 4λ 5λ + 0 λ ήλ Για λ προκύπτει P( ) 4, οπότε η τιµή λ απορρίπτεται διότι 0 P( ). Για λ προκύπτει P( ), P( Κ ), P( Μ ). Άρα η τιµή λ είναι η ζητούµενη.

12 Β. Ν( Μ) P( Μ ) Ν( Μ ) Ν( Ω ) Ν( Ω) Ν( Α) Επίσης, P( ) Ν( Α ) Ν( Ω ) Ν( Ω) ' ( K) P ( K) ( K) ( Ω ) ( Ω) Β4. Έστω Α το ενδεχόµενο να επιλεγεί άσπρη σφαίρα και Μ το ενδεχόµενο να επιλεγεί µαύρη σφαίρα. Ζητείται η πιθανότητα του ενδεχοµένου M. Επειδή τα Α, Μ είναι ασυµβίβαστα, είναι: P( M ) P( ) + P( M ) ΘΕΜΑ Γ Γ. Είναι: 7 y ye f ,+ 0, , Επειδή είναι 4, και y y Ε έπεται y 4, +,4 + 0 y +,8 4, 5, 0 y Άρα: y y Ε 0 Γ. Είναι: ος τρόπος: Επειδή y + y Ε 60 και Ε // είναι y y Ε. Έτσι προκύπτει y y Ε 0. f% 0 E 0 Γ 0 Z H (χιλιάδες ευρώ)

13 Γ. Είναι: [ - ) f % Σύνολο 00 Γ4. Σύµφωνα µε τον πίνακα του ερωτήµατος Γ, το ποσοστό των πωλητών που θα λάβουν το επιπλέον εφάπαξ ποσό είναι 40%. Γ5. Είναι ν 80, διότι το εµβαδόν που περικλείεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο µε το πλήθος ν των µετρήσεων. Έτσι ο αριθµός των πωλητών που δικαιούνται το εφάπαξ ποσό, που αναφέρεται στο ερώτηµα Γ4, είναι: 80 40%. ΘΕΜΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R ως σύνθεση παραγωγίσιµων συναρτήσεων, µε ' ' f '( ) e e e e f '( ) 0 e + 0 (αφού e 0 R) ή Προκύπτει έτσι ο επόµενος πίνακας µεταβολών: f f - / /

14 Εποµένως η f είναι: γνησίως αύξουσα στο διάστηµα,, γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα, 5, γνησίως αύξουσα στο διάστηµα, Η f σύµφωνα µε το παρουσιάζει: τ. µέγιστο στη θέση τ. ελάχιστο στη θέση. 5 Είναι άρα P( ) P( ), οπότε Ακόµα, επειδή. P( ) και P ( ). 5 Οπότε: P( ) P( ). P( ) P( ) P( ) 0. P( ) P( ) + P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) α) ( + ) ( ) e f( ) h( ) e e ( + ) ( ) 5 ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) 0 5 ( + ) 0 ( 5 + 6) 0 0,,.

15 β) Είναι: ν ν ν Έτσι προκύπτει ο παρακάτω πίνακας κατανοµής συχνοτήτων: v v 0 v 0 v 5 0 v 7 v Άρα

16 ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου. ύο ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω λέγονται ασυµβίβαστα όταν. Α. Θεωρία, σελ. 65 σχολικού βιβλίου. Η σχετική συχνότητα f µιας τιµής ενός v δείγµατος, προκύπτει από το λόγο f, όπου v είναι η συχνότητα της τιµής προς v το µέγεθος v του δείγµατος. Έτσι, αν πολλαπλασιαστεί επί 00 εκφράζει την ποσοστιαία εµφάνιση της τιµής, σε σχέση µε το µέγεθος του δείγµατος ν. Α4. α) Λ, β) Λ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Σ. ΘΕΜΑ Β Β. Έστω ( ), ( K ), ( M ) τα πλήθη αντίστοιχα των άσπρων ( ), κόκκινων ( K ) και ( M ) µαύρων ( M ) σφαιρών. Επειδή P( M ), θα είναι: ( Ω ) 4 ( M ). 4 ( Ω) 4 Αφού 64 < ( Ω ) < 7 έπεται 64< 4 ( M ) < 7 6 < ( M ) < 8. Αφού ( M ) είναι φυσικός αριθµός, προκύπτει ( M ) 7. Άρα ( Ω ) Β. Είναι Α Κ Μ Ω, άρα P( Α Κ Μ ) P( Ω ) (), µε M, K, M K, δηλαδή τα Α, Κ, Μ, είναι ανά δύο ασυµβίβαστα. Έτσι η () γράφεται P( ) + P( K) + P( M ). 7 Προκύπτει έτσι + 4λ 5λ + 4λ 5λ + 0 λ ήλ Για λ προκύπτει P( ) 4, οπότε η τιµή λ απορρίπτεται διότι 0 P( ). Για λ προκύπτει P( ), P( Κ ), P( Μ ). Άρα η τιµή λ είναι η ζητούµενη.

17 Β. Ν( Μ) P( Μ ) Ν( Μ ) Ν( Ω ) Ν( Ω) Ν( Α) Επίσης, P( ) Ν( Α ) Ν( Ω ) Ν( Ω) ' ( K) P ( K) ( K) ( Ω ) ( Ω) Β4. Έστω Α το ενδεχόµενο να επιλεγεί άσπρη σφαίρα και Μ το ενδεχόµενο να επιλεγεί µαύρη σφαίρα. Ζητείται η πιθανότητα του ενδεχοµένου M. Επειδή τα Α, Μ είναι ασυµβίβαστα, είναι: P( M ) P( ) + P( M ) ΘΕΜΑ Γ Γ. Είναι: 7 y ye f ,+ 0, , Επειδή είναι 4, και y y Ε έπεται y 4, +,4 + 0 y +,8 4, 5, 0 y Άρα: y y Ε 0 Γ. Είναι: ος τρόπος: Επειδή y + y Ε 60 και Ε // είναι y y Ε. Έτσι προκύπτει y y Ε 0. f% 0 E 0 Γ 0 Z H (χιλιάδες ευρώ)

18 Γ. Είναι: [ - ) f % Σύνολο 00 Γ4. Σύµφωνα µε τον πίνακα του ερωτήµατος Γ, το ποσοστό των πωλητών που θα λάβουν το επιπλέον εφάπαξ ποσό είναι 40%. Γ5. Είναι ν 80, διότι το εµβαδόν που περικλείεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο µε το πλήθος ν των µετρήσεων. Έτσι ο αριθµός των πωλητών που δικαιούνται το εφάπαξ ποσό, που αναφέρεται στο ερώτηµα Γ4, είναι: 80 40%. ΘΕΜΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R ως σύνθεση παραγωγίσιµων συναρτήσεων, µε ' ' f '( ) e e e e f '( ) 0 e + 0 (αφού e 0 R) ή Προκύπτει έτσι ο επόµενος πίνακας µεταβολών: f f - / /

19 Εποµένως η f είναι: γνησίως αύξουσα στο διάστηµα,, γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα, 5, γνησίως αύξουσα στο διάστηµα, Η f σύµφωνα µε το παρουσιάζει: τ. µέγιστο στη θέση τ. ελάχιστο στη θέση. 5 Είναι άρα P( ) P( ), οπότε Ακόµα, επειδή. P( ) και P ( ). 5 Οπότε: P( ) P( ). P( ) P( ) P( ) 0. P( ) P( ) + P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) α) ( + ) ( ) e f( ) h( ) e e ( + ) ( ) 5 ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) 0 5 ( + ) 0 ( 5 + 6) 0 0,,.

20 β) Είναι: ν ν ν Έτσι προκύπτει ο παρακάτω πίνακας κατανοµής συχνοτήτων: v v 0 v 0 v 5 0 v 7 v Άρα

21 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 009 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρία σελίδα 50 σχολ. βιβλίο. Β. Θεωρία, σελίδα 65 σχολ. βιβλίο. Γ. α Λ, β Σ, γ Λ, δ Σ, ε Σ ΘΕΜΑ ο α) Είναι 4 v + v + v + v v v / ν 4 v 6 + v v ( + v) 59 + v 5 + 4v 59 + v v + v 7. β) Είναι 4 v ( ) v( ) S v 6( 4) + 7( 4) + (5 4) , v ( ) + v ( ) + v4 ( 4 ) v + 4(8 4) γ) Είναι CV S S 4,9 4, 4 55% > 0%, 40 0 άρα το δείγµα δεν είναι οµοιογενές.

22 ΘΕΜΑ ο α) Είναι Α f R. Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R ως πολυωνυµική. Είναι: Έτσι: f () + α, f () 6. f () + f () + 5 (6 ) + + α α α 9. β) Είναι για ±: f ( ) + 9 ( 4 + ) ( )( ) 9 ( )( + ) ( )( + ) +. f ( ) 9 6 Οπότε: lm lm. + γ) Έστω Α( o, f ( o )) το σηµείο επαφής. Επειδή η εφαπτοµένη στο Α είναι παράλληλη στην ευθεία y λ εφ f ( o ) + 9 o o o o o + 0 o ( ) 0 o o. Άρα το σηµείο επαφής είναι το Α(, f ()). Όµως f () οπότε το σηµείο επαφής είναι Α(, -5). Η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι: y f ( ) + β, δηλ. y + β. Όµως Α ανήκει στην εφαπτοµένη 5 + β β. Άρα η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι: y +.

23 ΘΕΜΑ 4ο Α. α. Είναι f ( ). Με > 0 είναι: f ( ) 0 f ( ) > 0 0 < < f ( ) < 0 >. Έτσι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (0,] και γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [, + ). β. Η f παρουσιάζει µέγιστη τιµή: f () ln + λ 6λ +. Β. α. Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [, + ) είναι: < < 4 < 5 < 8 f ( ) > f () > f (4) > f (5) > f (8). Έτσι προκύπτει ότι το εύρος είναι: R f () f (8) (ln + λ 6λ + ) (ln λ 6λ + ) ln ln 8 + ln +. 4 Επίσης, η διάµεσος προκύπτει ότι είναι: f (4) ln 4 + λ 6λ + ln 4 + λ 6λ. β. Είναι Α λ Ω + ln + ln 4 + λ 6λ < 4 { λ < 0} λ Ω λ. Επειδή λ 6λ + 5 < 0 λ (,5 ), µε λ Ω είναι Α {,, 4} Ν( Α). Έτσι P ( ). Ν( Ω) 00

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 008 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρία: (Η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f ( ) c ). Σελ. 8 σχολ. βιβλίο. Β. Θεωρία: Σελ. 96 σχολ. βιβλίο. Γ. α - Λ β - Λ γ - Σ δ - Σ ε - Σ. ΘΕΜΑ ο e f ( ) e α. Είναι e e f ( ) Έτσι lm lm + + ( ) e ( )( e ) β. Είναι f ( ) ( ) e e e e ( ) e ( + ) e e e Έτσι: e f ( ) e. e γ. Επειδή e > 0, για κάθε R, προκύπτουν: ) f () 0 ) f () > 0 > 0 < ) f () < 0 < 0 > ηλαδή έχουµε τον επόµενο πίνακα µεταβολών:.

25 - + f + - f e Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ] και γνησίως φθίνουσα στο [, + ), ενώ f ( ) 0. Άρα η f έχει µέγιστο για, f (). e ΘΕΜΑ ο α β. Κατά µέσο όρο µια µπαταρία τύπου Α στοιχίζει ευρώ / χίλιες ώρες, ενώ 40 5 µια µπαταρία τύπου Β στοιχίζει ευρώ / χίλιες ώρες Επειδή < συµφέρει να αγορασθεί µπαταρία τύπου Β. [ ] 5 [( ) + (4) ( 4) ] 5 40 ( ) οπότε 8 γ. S ( 0 ) + ( 6 ) + ( 4 ) + ( ) + ( 8 ) S [( 6 4) + ( 4) + ( 9 4) + ( 0 4) + ( 4) ] S 5 [() ( 5) + ( 4) + ] 5 0 ( ) 5 5 οπότε

26 S δ. S CV. Α S CV. 4 Είναι CV > CV διότι > > > 4, που ισχύει 4 4 επειδή, και, > 4 6, > 4. Άρα το δείγµα Α παρουσιάζει µεγαλύτερη οµοιογένεια ως προς την διάρκεια ζωής σε σχέση µε το δείγµα Β. ΘΕΜΑ 4ο Έστω Α το ενδεχόµενο οι κάτοικοι της πόλης να διαβάζουν την εφηµερίδα α και Β το ενδεχόµενο να διαβάζουν την εφηµερίδα β. Τότε από τα δεδοµένα προκύπτει ότι: P ( ) 0, 5, P ( ) 0,. α. Ζητείται η P( ). Όµως P ( ) P( ) + P( ) P( ) P ( ) + P( ) P( ) P ( ) + P( ) [ P( ) P( )] P ( ) + P( )] 7 [ P( ) P( )] P ( ) 0, 0, β. Επειδή P( ) P( ) P ( ). 0 Επίσης από P ( ) 0, έχουµε: P( ) P( ) 0, 0,5 P( ) 0, P ( ) 0,. 5 Όµως P( ) P( ) P( ). 5 γ. Είναι f ( ) + P( ). Η f είναι ένα τριώνυµο µε διακρίνουσα P( ). 7 Επειδή P ( ) έπεται P ( ) και P ( ) < Αφού < 0, είναι f ( ) > 0 για κάθε R, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο και εποµένως δεν έχει ακρότατα.

27 ΘΕΜΑ ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 007 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία (Απάντηση στο σχολ. βιβλίο σελ. 5) Β. α. Θεωρία (Απάντηση στο σχολ. βιβλίο σελ. ) β. Θεωρία (Απάντηση στο σχολ. βιβλίο σελ. 87) Γ. α Σ, β Σ, γ Λ Γ. f () ν ν, f () /, > 0 f (), > 0 f 4 () ηµ, ΘΕΜΑ ο α. Η f είναι ορισµένη και παραγωγίσιµη σε όλο το µε: f () (e + ) e + e e + f () διότι f () e + e f () f () e e + f () e β. lm lm 0 0 f () e + e lm lm lm ( ) 0 e e lm. (Επειδή η συνάρτηση 0 0 {} ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων.) e g() είναι συνεχής στο ΘΕΜΑ ο α. Αφού Ω {, 0,,,, 4, 5}, είναι Ρ(Ω) Ρ( ) + Ρ(0) + Ρ() + Ρ() + Ρ() + Ρ(4) + Ρ(5). Έστω Ρ( ) Ρ(0) Ρ() Ρ() Ρ() Ρ(4) Ρ(5) κ. Τότε Ρ( ) Ρ(0) Ρ() Ρ() κ, ενώ Ρ() Ρ(4) Ρ(5) κ/.

28 Έτσι είναι κ + κ + κ + κ + (κ/) + (κ/) + (κ/) κ 4κ + 8κ + κ κ κ. Άρα Ρ( ) Ρ(0) Ρ() Ρ() / ενώ Ρ() Ρ(4) Ρ(5) /. β. Αφού Α Β Α {, } {,, } Άρα {,, }. Οπότε 0 ή. Για το ενδεχόµενο Β γράφεται: Β {,, 8, } Τότε όµως Α Β {} {, } Άρα η τιµή απορρίπτεται. Για το ενδεχόµενο Β γράφεται: Β {, 0,, } Τότε Α Β {, } και η τιµή είναι η ζητούµενη τιµή. γ. Για είναι Α {,, } και Β {, 0,, }. Τότε Ρ(Α) Ρ() + Ρ() + Ρ( ) Ρ(Β) Ρ() + Ρ(0) + Ρ( ) + Ρ() Ρ(Α Β) Ρ( ) + Ρ() +. Ρ(Α Β) Ρ(Α) Ρ(Α Β) 5. Ρ(Α Β ) Ρ(Α) + Ρ(Β ) Ρ(Α Β ) Ρ(Α) + Ρ(Β) [Ρ(Α) Ρ(Α Β)] 7 7 Ρ(Β) + Ρ(Α Β) + ΘΕΜΑ 4ο α t + t t t + t t

29 β. S S [( 5) + (8 5) + ( t 5) ( 5) ] t 5 [(6 5) + (4 5) + ( t 5) ( 5) ] t Έτσι S ( + ) 6 S. 5 5 γ. S 6 S S 6 S ( ) ( ) ( CV ) ( CV ) ( CV ) ( CV ) ( CV ) 9 ( CV ) CV CV

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέµα ο Α. Θεωρία. Σχολικό βιβλίο σελίδα 0. Β α. Θεωρία. Σχολικό βιβλίο σελίδα 4. Β β. Θεωρία. Σχολικό βιβλίο σελίδα 6. Γ. α - Σ β - Σ γ - Λ δ - Λ Θέµα ο α. a a a + a + a 50 β. a 9 a t5 + t6 + γ. δ v v N Σύνολο δ. Έστω Α το ενδεχόµενο ένας µαθητής να έχει διαβάσει τουλάχιστον βιβλία. Τότε 8 4 P ( ). 50 5

31 Θέµα ο α. Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος. Τότε Ν(Ω) + ( + 4). Αν Α το ενδεχόµενο να επιλεγεί αγόρι τότε Ν(Α). Άρα η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι είναι N( ) P ( ), R N( Ω) + ( + 4) (Σύµφωνα µε διευκρίνιση που δόθηκε κατά τη διάρκεια των εξετάσεων). Επειδή όµως ο εκφράζει τον αριθµό των αγοριών είναι 0. Οπότε είναι και 0 + ( + 4) άρα 0 + ( + 4). β. ( ) P ( ή 8) 9 + ( + 4) 9 Αν 8 τότε Ν(Ω) 8 + (8 + 4) 5 > 00. Άρα η τιµή 8 απορρίπτεται. Αν τότε Ν(Ω) + ( + 4) 8 < 00. Άρα η τιµή είναι δεκτή. Αν Κ είναι το ενδεχόµενο να επιλεγεί κορίτσι, τότε Ν(Κ) ( + 4) N( K) 6 8 6, οπότε P( K) N( Ω) 8 9 γ. Θεωρούµε τη συνάρτηση f ( ), 0. + ( + 4) Η f είναι παραγωγίσιµη στο πεδίο ορισµού της ως ρητή µε: 6 f ( ), 0. [ + ( + 4) ] Από τον επόµενο πίνακα µεταβολών f f προκύπτει ότι η f έχει για 4 µέγιστη τιµή f ( 4 ). 7 Οι τιµές της Ρ(Α) είναι ένα υποσύνολο από διακριτές τιµές του συνόλου τιµών της f.

32 Συγκεκριµένα η Ρ(Α) παίρνει τιµές από το σύνολο Β {f(), f(), f(),f(4),f(5),... }, όπου Β f(). Επειδή f ( ) f (4) για κάθε [ 0, + ) το σύνολο f() έχει µέγιστη τιµή f ( 4) που είναι µία από τις τιµές του συνόλου Β. 7 Οπότε η µέγιστη τιµή που παίρνει η Ρ(Α) είναι µε αντίστοιχο αριθµό 7 αγοριών 4. Θέµα 4ο α. Η συνάρτηση f ( ) + k , 0 είναι παραγωγίσιµη για > 0 µε f ( ) 4 + k + Επειδή η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο Α(, f()) είναι παράλληλη στον προκύπτει f ) k + 0 k (. Για k είναι f ( ) οπότε f() 4 και το σηµείο Α(, f()) είναι το Α(,4). Αφού τώρα η εφαπτοµένη της C f στο Α είναι οριζόντια, η εξίσωσή της είναι y 4. β. f ( ) 4 (-) f ( 4 ), άρα s - () Αφού η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 4 και τυπική απόκλιση s έχουµε την ακόλουθη κατανοµή: Τιµές της X Ποσοστό ,5%,5%,50% 4% 4%,50%,5% 0,5% Αφού παρατηρήσεις είναι µικρότερες ή ίσες του 8 είναι 0, 5 ν ν Στο διάστηµα (0, 6) όπως προκύπτει από το προηγούµενο διάγραµµα βρίσκονται 8,5% του συνόλου ν 000 των παρατηρήσεων, δηλαδή 8, παρατηρήσεις. () Ο συντελεστής µεταβολής του δείγµατος είναι s cv 0,4 > 0,0 4 7

33 Άρα το δείγµα δεν είναι οµοιογενές. Αν προστεθεί ο α > 0 σε κάθε µία από τις προηγούµενες παρατηρήσεις, ο νέος συντελεστής µεταβλητής είναι 4 + α 4 + α Θέλουµε 0, 0, 4 + 0, α 0, α 0, 6 α 6. Έτσι η µικρότερη τιµή που µπορεί να πάρει η παράµετρος α είναι α 6..

34 ΘΕΜΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. ος κανόνας λογισµού των πιθανοτήτων: Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει: P( ) P() + P() P( ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ Για δύο ενδεχόµενα Α και Β έχουµε Ν(Α Β) + Ν(Α) + Ν(Β) Ν(Α Β), () αφού στο άθροισµα Ν(Α) + Ν(Β) το πλήθος των στοιχείων υπολογίζεται δυο φορές. Αν διαιρέσουµε τα µέλη της () µε Ν(Ω) έχουµε: Ν( Α Β) Ν( Α) Ν( Β) Ν( Α Β) + Ν( Ω) Ν( Ω) Ν( Ω) Ν( Ω) και εποµένως P( ) P() + P() P( ). Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως προσθετικός νόµος (addtve law). Β. α. Ποσοτικές λέγονται οι µεταβλητές των οποίων οι τιµές είναι αριθµοί. β. ιακριτή ονοµάζεται η ποσοτική µεταβλητή η οποία παίρνει µόνο µεµονωµένες τιµές. Συνεχής ονοµάζεται η ποσοτική µεταβλητή η οποία µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή από ένα διάστηµα πραγµατικών αριθµών (α, β). Γ. α Σ β Λ γ Λ δ Λ ΘΕΜΑ α. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 005 Κλάσεις βαθ/γίας [ ) Κέντρο κλάσης Συχνότητα v Σχετική συχνότητα f Αθροιστική συχνότητα N Αθρ.σχετ. συχνότητα F [4, 8) 6 5 0, 5 0, [8, ) 0 0 0, 5 0, [, 6) 4 5 0,5 40 0,8 [6, 0) 8 0 0, 50 Σύνολο β.,

35 γ. Βαθµό το πολύ µέχρι και 0 έχουν µαθητές. ΘΕΜΑ 5 ( 5) α. Είναι κ lm lm lm ( )( 5) β. Αφού κ, το σύνολο X,, Επειδή >, η τιµή αποκλείεται να ισούται µε κάποια από τις τιµές 4 4 P ( ), P (). Έτσι {P( ),P()},. 4 Ισχύει άρα P ( ) P () και επειδή P ( ) P () είναι P ( ) < P (). Άρα P( ), P(). 4 γ. () P ( ) P () + P () P ( ). 7 5 Άρα P() +, οπότε P() () Η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί µόνο το ενδεχόµενο Α είναι: 5 P( ) P() P( ). 8 8 ΘΕΜΑ 4 α. ος τρόπος λύσης: Η συνάρτηση f() είναι παραγωγίσιµη στο (0, + ), µε f (). Η εφαπτοµένη της καµπύλης της f στο σηµείο Λ(, ) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ f () -. Εποµένως η εξίσωσή της είναι y - + β. Επειδή όµως το σηµείο Λ(, ) ανήκει στην εφαπτοµένη, είναι - + β β. Άρα η ζητούµενη εξίσωση της εφαπτοµένης είναι y - +. ος τρόπος λύσης: Η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Λ (, ) είναι : y f() f () ( ). Όµως f() και f ( ). Εποµένως y ( ) y + + y +. 4.

36 β. y M(,y) ε ' O y' ε Έστω Μ(, y) τυχαίο σηµείο της γραφικής παράστασης της f() και ε, ε οι ευθείες που διέρχονται από το Μ και είναι παράλληλες αντίστοιχα προς τους άξονες και y y. Η περίµετρος του σχηµατιζόµενου ορθογωνίου παραλληλογράµου ΟΑΜΒ είναι Π + y ( + y) () Λόγω της σχέσης y, η () γράφεται : Θεωρούµε τη συνάρτηση Π +. + Π() µε (0, + ). Η Π() είναι παραγωγίσιµη στο (0, + ) µε Από την εξίσωση Π () 0 έχουµε: ( )( + ) Π (). ( )( + ) 0 Η τιµή - απορρίπτεται γιατί (0, + ). + ή.

37 Σχηµατίζουµε τον πίνακα µεταβολών: Π' () Π () ελαχ. + Π() 4 Οπότε για την τιµή, η Π() παρουσιάζει ελάχιστο. Άρα το ζητούµενο σηµείο είναι το Μ(, ). γ. Είναι : y + και.

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 004 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. Είναι: Α f R και f(+h) - f() c - c 0. f ( + h) f ( ) Οπότε για h 0 είναι 0. h f ( + h) f ( ) Άρα lm 0 h 0 h Συνεπώς (c) 0 Β. Μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο σηµείο 0 του πεδίου ορισµού της αν και µόνον αν lm f ( ) f ( 0 ) 0 Γ. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό. α. 4 β. γ. ΘΕΜΑ ο Α. Πρέπει () 0 καί () δηλ Άρα [ 0, ) (, + ). f. Για [ 0, ) (, + ) έχουµε: f 4 + ( )( ) ( ) ( + ) ( )( + ) ( )( ) ( + ) ( ) ( + ) lm[ + ] Οπότε lm f ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) 4

39 ΘΕΜΑ ο Α. ν f % N F % [5, 5) [5, 5) [5, 5) [5, 45) Β. Γ ν ν , Km Είναι ν + ν χιλιάδες οχήµατα. ΘΕΜΑ 4ο Α. Η συνάρτηση f είναι ορισµένη και παραγωγίσιµη σ όλο το R ως πολυωνυµική µε f '( ) Έτσι έχουµε f '( ) ή Εποµένως

40 ( ) P και ) ( P Β. Για τις τιµές των ( ) ) ( P, ) ( P P και βρίσκουµε:. 6 ) ( ) ( ) ( ) ( + + P P P P. 6 6 ) ( ) ( ) ( P P P. ( ) [ ] ) ( ' P P v. Τα ενδεχόµενα Α-Β, Β-Α είναι ασυµβίβαστα σύµφωνα µε την εφαρµογή σελ. 5 σχολ. βιβλίου. ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) + + ) ( ) ( P P P P P P P 6 ) ( ) ( ) ( P P P.

41 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρία: Παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f(), σελ. 8 σχολικού βιβλίου. Β. Ορισµός: σελ. σχολικού βιβλίου. Γ. Ορισµός: σελ. 87 σχολικού βιβλίου.. α-λ β-λ γ-σ δ-σ ε-λ. ΘΕΜΑ ο Θεωρούµε τα ενδεχόµενα: Γ: ο καθηγητής είναι γυναίκα Φ: ο καθηγητής είναι φιλόλογος Επειδή το 55% των καθηγητών του λυκείου είναι γυναίκες, έχουµε ότι: P(Γ)0,55. Επειδή το 40% των καθηγητών του λυκείου είναι φιλόλογοι, έχουµε ότι: P(Φ)0,40. Επειδή το 0% των καθηγητών του λυκείου είναι γυναίκες φιλόλογοι, έχουµε ότι: P(Φ Γ)P(Γ Φ)0,0. Εποµένως: α. P(Γ Φ)P(Γ)+P(Φ)-P(Γ Φ)0,55+0,40-0,00,65. β. P(Γ Φ )P(Γ)-P(Γ Φ)0,55-0,00,5. γ. Το ενδεχόµενο ο καθηγητής να είναι άνδρας και φιλόλογος είναι το Γ Φ, άρα: P(Γ Φ)P(Φ)-P(Γ Φ)0,40-0,00,0. δ. Το ενδεχόµενο ο καθηγητής να είναι άνδρας ή φιλόλογος είναι το Γ Φ, άρα: P(Γ Φ) P(Γ )+P(Φ)-P(Γ Φ) -P(Γ)+P(Φ)-P(Φ)+P(Γ Φ) -P(Γ) +P(Γ Φ) -0,55+0,00,75. ΘΕΜΑ ο Α. Πρέπει - 0 (-)(+) 0 {- 0 και + 0} { και - } Άρα το πεδίο ορισµού της f είναι το R-{-,} και η σωστή απάντηση είναι η γ. Β. Η συνάρτηση f ως ρητή είναι παραγωγίσιµη στο R-{-,} µε ( ) ( ) f () ( ) ( ) + < 0 για κάθε R-{-,}. ( ) ( ) Γ. Είναι:

42 ( + ) lm [( + ) f ( )] lm ( ) lm lm + ( )( ) +. Αν ω είναι η γωνία που σχηµατίζει η εφαπτόµενη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (0,f(0)) µε τον άξονα, τότε θα έχουµε εφω f (0) 0 + Όµως f (0) και επειδή 0 ω < 80 ο, προκύπτει ω 5 ο. (0 ) ΘΕΜΑ 4ο α. Η µέση τιµή είναι: Οµάδα Α: X Οµάδα Β: X ιατάσσουµε τις παρατηρήσεις κατ αύξουσα σειρά και έχουµε: Οµάδα Α:,, 4, 5, 8, 9. Εποµένως η διάµεσος είναι: δ Α 4, Οµάδα Β: 4, 5, 6, 7,, 4. Εποµένως η διάµεσος είναι: δ Β 6,5 β. Προκειµένου να συγκρίνουµε τις οµάδες ως προς την οµοιογένεια θα πρέπει να βρούµε τις τυπικές αποκλίσεις S και S. Έχουµε: S 6. [(-5) + (8-5) + (9-5) + (5-5) + (-5) + (4-5) ] 6. [(-4) (-) + (-) ] 6 ( ) οπότε: S. S 6 [(7-8) + (4-8) + (6-8) + (4-8) + (-8) + (5-8) ] 6. [(-) (-) + (-4) (-) ] 6. [ ] 8 6 οπότε 8 6 Εποµένως, 4 4 S.

43 S CV CV 0, CV 4 S 4 0,. 8 9 Άρα CV > CV Β που σηµαίνει ότι είναι περισσότερο οµοιογενής η Οµάδα Β. γ. Αν y µε,,,4,5,6 είναι οι παρατηρήσεις της οµάδας Α µετά την αύξηση καθεµιάς κατά 0%, τότε έχουµε 0 0 y + +, Αν ω µε,,,4,5,6 είναι οι παρατηρήσεις της οµάδας Β µετά την αύξηση καθεµιάς κατά 5 ευρώ, τότε έχουµε ω + 5. Σύµφωνα τώρα µε την εφαρµογή, σελίδα 99 του σχολικού βιβλίου έχουµε y,, 5 6 ευρώ και ω ευρώ Β δ. Έχουµε Sy, S,. 4 Sω S. Εποµένως οι συντελεστές µεταβολής των νέων οµάδων είναι αντίστοιχα: Sy, S CV CV 0,0 y, 4 S 4 CV ω 0,08. ω 507 Συνεπώς CV Α > CV Β, που σηµαίνει ότι η οµάδα Β είναι περισσότερο οµοιογενής από την οµάδα Α.

44 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο α) Ονοµάζουµε απόλυτη συχνότητα, το φυσικό αριθµό ν, ο οποίος δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή της εξεταζόµενης µεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων ν. β) Ονοµάζουµε σχετική συχνότητα τον αριθµό f που προκύπτει αν διαιρέσουµε την απόλυτη συχνότητα ν που αντιστοιχεί στην τιµή µε το µέγεθος ν του δείγµατος. ν Ισχύει δηλαδή ότι: f µε,,, κ. ν γ) ) Επειδή είναι 0 ν ν για κάθε,,, κ προκύπτει ότι ν 0. ν Άρα 0 f για κάθε,,, κ. ) Έχουµε ν ν ν κ ν + ν ν κ ν f + f + + f κ ν ν ν ν ν Β.. Κανόνες λογισµού των Πιθανοτήτων Θεώρηµα. Σελ. 50 σχολ. βιβλίου. Β. α. Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα. Ορίζουµε ως πιθανότητα του ενδεχοµένου Α Ω τον αριθµό Πλήθος Ευνοϊκών Περιπτώσεων Ν(Α) P() Πλήθος υνατών Περιπτώσεων Ν(Ω) Β..β. () P(Ω). () P( ) 0 ΘΕΜΑ ο (α) Πρέπει + 0, οπότε - Άρα f R -{-} (β) lm f ( ) lm ' ()'( + ) ( + )' (γ) f '( ) + ( + )

45 ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) (δ) Αναζητούµε R { } ώστε f '( ) Όµως: o f '( ) ( + ) οπότε: ( + ) o ( + ) o ( o + ) 0 ( o + ) 0 + )( + + ) 0 ( + ) 0 ( 0 ή ) ( o o o o Έτσι τα σηµεία επαφής είναι τα Α(0,f(0)) (0,0) καί (-,f(-)) (-,4). Οι αντίστοιχες εξισώσεις εφαπτοµένων είναι : Στο σηµείο Α(0,0) y f ( 0) f '(0)( 0) y 0 άρα Στο σηµείο Β(-,4) άρα Σηµείωση: o y y f ( ) f '( )( + ) y 4 ( + ) y y + 8 Ως απάντηση στην εύρεση των εξισώσεων των εφαπτοµένων (ερώτηση δ) θα µπορούσε να δοθεί και η ακόλουθη: Έστω y α+β η εξίσωση της εφαπτοµένης της καµπύλης της f στο Α(0,0). Τότε: α f ' (0) και β άρα β 0 Οπότε y Έστω y α'+β' η εξίσωση της εφαπτοµένης της καµπύλης της f στο (,4). Τότε: α' f ' (-) και 4 (-)+β άρα β 8 Οπότε y +8 o o

46 ΘΕΜΑ ο α) ν ν ν 0. Είναι 0 0. Για τη διάµεσο θέτοντας τα δεδοµένα σε αύξουσα σειρά έχουµε: t 5 + t Είναι: δ,5. Έχουµε δύο επικρατούσες τιµές, 4. β) Το εύρος R Η διακύµανση s είναι: s [( 8 ) + ( 9 ) + ( 0 ) + ( ) + ( 4 ) + ( 5 ) + ( 6 ) + ( 8 ) ] [ ] 9 Άρα s s s και CV Περίπου %. γ). Έστω y,,,, 0 οι τιµές που προκύπτουν µετά την έκπτωση κατά 0% ή ισοδύναµα µε πολλαπλασιασµό κατά 0,9. Η νέα µέση τιµή είναι y 0,9, ενώ η νέα τυπική απόκλιση είναι s y 0,9 s Έτσι ο νέος συντελεστής µεταβολής που προκύπτει είναι 0,9 s s CV CV 0,9 Εποµένως δεν θα µεταβληθεί ο συντελεστής µεταβολής.

47 ΘΕΜΑ 4ο α) Από την υπόθεση έχουµε: P()+P() P( ) δηλ. P()+P() - P( ) P( ) P( ) P( ) β) Είναι: f '() ( P( ) ) ( P( ) ) R Ακόµη: f '()0 ( ) ( ) P( ) P( ) 0 P( ) P( ) ή P( ) + P( ) P( ) P( ) ή αδύνατο P( ) + P( ) P() + P() P() + P() Επίσης: f ' ()>0 ( P( ) ) ( P( ) ) > 0 ( P( ) - + P( ) )( P( ) + P( ) ) > 0 ( P( ) - P( ) )[ ( P( ) + P( ) )] > 0 ( P( ) - P( ) )[ ( P() + P() )] > 0 () Όµως: P( ) P( ) και επειδή: P( ) P( ) είναι: P( ) < P( ) Έτσι: P( ) - P( ) < 0 Οπότε: () < P()+P() P() + P() < P() + P() ντίστοιχα προκύπτει ότι: f ' ()<0 > P() + P() Άρα η f παρουσιάζει ma για γ) Αφού P( )0 () και P( ) P()+P() () f P() P() P( ) P() P( ) Έτσι: ( ) [ ] [ ] Άρα: f (),() [ P() P() P() ] [ P() ] -P () - P () P() P( ) P() P( ) ( P() ) [ ] [ ] (),() f(p()) f(p()). [ P() P() P() ] P () -P () - P ()

48 Ζήτηµα ο Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α.... Επειδή τα ενδεχόµενα Α Β και Α Β είναι ασυµβίβαστα και (Α Β) U (Α Β) Έχουµε: P() P(Α Β) + P(Α Β) Άρα: P(Α Β) P(Α) P(Α Β) α. P(') P() β. Α τότε: P(Β) P(Α).. α. Αφού Άρα: β. Επειδή: Άρα: Α' Β P(') P() P() P() P() + P() α. Λάθος P() P(') P() P() P() P() P(Ω) β. Σωστό Β.. Αφού: οπότε: Eποµένως: Άρα: Α Α Β Α P(Α Β) P() /4 P(U) P() + P() P(Α Β) /4 + 5/ - /4 5/ β. Σωστό Β.. P( ) P() P(Α Β) / - /5 /5 P(( - )') P( ) [P() P(Α Β)] P() + P(Α Β) - /4 + /5 /4 + /5 9/0 P(( Β)') P( Β) - /5 4/5 Άρα: α. β. 5 γ.

49 Ζήτηµα ο Α. Η συνάρτηση f είναι ορισµένη και παραγωγίσιµη φορές στο R µε: Άρα: f () (συν + ηµ ) ηµ + συν. f '' () ( ηµ + συν ) συν ηµ f () + f '' () συν + ηµ συν ηµ 0.. Έστω ψ α + β η εξίσωση της εφαπτοµένης της C f στο σηµείο Α (0,). Τότε θα είναι: f (0) α και β. Όµως f () ηµ + συν, οπότε: f (0) ηµ 0 + συν 0 Άρα η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι: y + Γ. Είναι: π π π f ηµ + συν. π π π f συν + ηµ. Εποµένως: π π λ f f λ ( ) λ Άρα: λ 4

50 Ζήτηµα ο. Επειδή η σχετική συχνότητα f είναι διπλάσια της f F 0, Έχουµε: Ακόµα: f f 0, 0,4 F f + f 0,5 0, + f f 0, Από την σχέση f + f + f + f 4 Έχουµε: Άρα: Άρα: 0, + 0, + 0,4 + f 4 f 4 0,9 0, f 0,, f 0,, f 0,4 και f 4 0, F f + f + f 0,9 και F 4 Β. Είναι: v f v v f v Επειδή το µέγεθος του δείγµατος είναι ν 80, οι αντίστοιχες συχνότητες ν µε,,, 4 είναι: ν 80 0, 6 ν 80 0, 4 ν 80 0,4 ν , 8 Κατασκευάζουµε τον παρακάτω πίνακα: [ ) ν f F ν , 0, , 0, ,4 0, , v 80 Άρα: 4 v ( ) v Γ. α. Αν Α είναι το ενδεχόµενο "βάρος µικρότερο από 65 κιλά" τότε η πιθανότητα P() είναι: P() β. Αν Β είναι το ενδεχόµενο "βάρος µεγαλύτερο ή ίσο των 55 κιλών και µικρότερο των 75 κιλών" τότε η πιθανότητα P() είναι: P()

51 Ζήτηµα 4ο Α. Αφού το 50% των µαθητών χρειάζεται περισσότερο από λεπτά, προκύπτει ότι:. Επειδή το 6% χρειάζεται λιγότερο από 0 λεπτά, προκύπτει ότι από 0 έως λεπτά χρειάζεται το (50 6)% 4% (68/)% των µαθητών. Άρα: s 0 s 0 s Β. Είναι: CV s 6 περίπου 6,6%. Επειδή 6,6% > 0%, προκύπτει ότι το δείγµα είναι ανοµοιογενές. Γ. Έχουµε: + s 4 + s 6 Το ποσοστό των µαθητών που κάνουν χρόνο διαδροµής από 4 έως 6 λεπτά θα είναι: Άρα το ζητούµενο πλήθος είναι: %,5%, , Αφού η καθυστέρηση για κάθε µαθητή είναι 5 λεπτά έχουµε σύµφωνα µε την εφαρµογή σελίδα 99 του σχολ. βιβλίου ότι: Η νέα µέση τιµή είναι: ψ Η νέα τυπική απόκλιση είναι: S ψ S οπότε: ψ CV s περίπου,7%. ψ 7 Άρα η µεταβολή είναι περίπου 5%.

52 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α. α) Επειδή οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, θα ισχύει ότι: f( + h) - f() f ( lm h 0 h και g( + h) - g() g ( lm h 0 h Τότε: F ( + h) F () f( + h) + g( + h) f() g() f( + h) f() + g( + h) g() και F( + lm h 0 h h) - F() f( + lm h 0 h) - f() + g( + h h) - g() f( + lm h 0 h) - f() h g( + + lm h 0 h) - g() h f () + g () β) [cf()] cf (), c R. [f()g()] f ()g() + f()g (). f() g() f ()g( - f()g () µε g() 0 g () Β. α) ( + ) ( ) ( + συν) ηµ. (ηµ) () ηµ + (ηµ) ηµ + συν. ( 4 ) 8. Εποµένως θα έχουµε: α 5 β γ 7 δ. β) Για 0 έχουµε: (e ) - e () f () Εποµένως σωστό είναι το. e - e

53 Ζήτηµα ο Α. Από τον πίνακα έχουµε ότι: v 0, N 5, v 0,, 4, 9 και v 0 Όµως: Ν v + v v v 5. Επειδή είναι: v 50 v + v + v v 50 v 5. Εποµένως: v 0 v 5 v 5 f 0,, f 0,5 και f 0, v 50 v 50 v 50 Ακόµα: v N 0 και v Ν 50. Επιπλέον: v 5 50, v 5 45 και v Τέλος, έχουµε: v 5 00, v 5 5 και Εποµένως ο πίνακας γίνεται: v Τιµές µεταβλητής Συχνότητα v Σχετική f Σχετική συχνότητα f (%) Αθροιστική συχνότητα N v v 0 0, , , ΣΥΝΟΛΟ v

54 Β. Έχουµε ότι: v 05, v 50 και ότι η εικοστή και η εικοστή πρώτη παρατήρηση είναι. Άρα: δ Γ. s k v v k v v Ζήτηµα ο /50(45-(.05/50)) /50(45-0,5) 4,5/50 0,49. Ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος είναι οι 0 µαθητές του λυκείου, οπότε Ν(Ω) 0. Έστω τα ενδεχόµενα: Α: «Ο µαθητής συµµετέχει στο διαγωνισµό της Ελληνικής Μαθηµατικής Εταιρείας» και Β: «Ο µαθητής συµµετέχει στο διαγωνισµό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών». Τότε: Α Β: «Ο µαθητής συµµετέχει και στους δύο διαγωνισµούς». Τότε: Ρ(Α) 4/0 0, και Ρ(Α ) Ρ(Α) 0, Ρ(Α ) 0,8 και Ρ(Β) 0/0 /6 και Ρ(Β ) Ρ(Β) (/6) Ρ(Β ) 5/6 και Ρ(Α Β) /0 0,. Το ενδεχόµενο να συµµετέχει σ έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισµούς είναι Α Β, οπότε: Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) (4/0) + (0/0) (/0) /0 Ρ(Α) 4/5. Το ενδεχόµενο να συµµετέχει σ έναν µόνο από τους δύο διαγωνισµούς είναι: (Α Β ) (Α Β) άρα: Ρ[(Α Β ) (Α Β)] Ρ(Α Β ) + Ρ(Α Β) Ρ(Α) Ρ(Α Β) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) (4/0) + (0/0) (/0) 0/0 Ρ(Β) /6.

55 Τέλος, το ενδεχόµενο να µην συµµετέχει σε κανέναν από τους δύο διαγωνισµούς είναι (Α Β), άρα Ρ[(Α Β) ] Ρ(Α Β) (4/5) /5. Ζήτηµα 4ο Α. Από τον πίνακα φαίνεται ότι τουλάχιστον 5 χρόνια υπηρεσίας έχουν άτοµα. Β. α) Το συγκεκριµένο ερώτηµα, µε τον τρόπο που διατυπώνεται, επιδέχεται περισσότερες από µία απαντήσεις. Α λύση: Αν ακολουθήσουµε το σκεπτικό του σχολικού βιβλίου και υποθέσουµε (αν και δε µας δίνεται) ότι η κατανοµή είναι οµοιόµορφη, τότε στα επόµενα,5 χρόνια θα συνταξιοδοτηθούν όσοι έχουν πάνω από,5 χρόνια υπηρεσίας, Τα,5 χρόνια υπηρεσίας είναι το µέσο της κλάσης [0, 5), άρα θα έχουµε σχετική συχνότητα το µισό του 8, δηλαδή 9 (λόγω της οµοιόµορφης κατανοµής), εποµένως εκπαιδευτικοί. Β λύση: Αφού η κατανοµή δε µας δίνεται ότι είναι οµοιόµορφη, δεν µπορούµε να δώσουµε ακριβή αριθµό, αλλά διάστηµα για τα έτη υπηρεσίας. Τα επόµενα,5 χρόνια θα συνταξιοδοτηθούν όσοι έχουν πάνω από,5 χρόνια υπηρεσίας. Τα,5 χρόνια υπηρεσίας βρίσκονται µέσα στην κλάση [0, 5), άρα µπορούµε να πούµε ότι θα συνταξιοδοτηθούν το λιγότερο εκπαιδευτικοί και το περισσότερο εκπαιδευτικοί. Γ λύση: Με τη βοήθεια του πολυγώνου των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων θα έχουµε ότι η τεταγµένη (α) του σηµείου (,5, α) του πολυγώνου είναι το πλήθος των εκπαιδευτικών µε υπηρεσία µέχρι,5 χρόνια, άρα 00 α είναι το πλήθος των ζητούµενων εκπαιδευτικών. Χρόνια υπηρεσίας [ - ) Σχετική συχνότητα f (%) Σχετική αθροιστική συχνότητα F (%)

56 Έχουµε ότι Α (0, 5) και Β(5, 70). Έστω y α + β η εξίσωση της ευθείας ΑΒ. Τότε: 5 0α + β 70 5α + β 5 0α + β 8 5α 5 0α + β α,6 β -0 α,6 Εποµένως η εξίσωση της ΑΒ είναι: y,6 0 Όπου για,5 έχουµε: α,6,5 0 α 6 Συνεπώς θα πάρουν σύνταξη: εκπαιδευτικοί. β) Μέσα στα επόµενα πέντε χρόνια θα συνταξιοδοτηθούν οι εκπαιδευτικοί που έχουν 0 5 χρόνια προϋπηρεσίας, δηλαδή θα πρέπει να γίνουν νέες προσλήψεις.

57 Γενικό Λύκειο Νεστορίου Σχολικό έτος 0-04 Βοηθητικό Υλικό της Γ Λυκείου