Στην πράξη βρίσκουμε το Ν Α [το P (A)] όχι με παρατηρήσεις, αλλά με τη χρήση της λογικής (π.χ. ζάρι) ή της Φυσικής (π.χ. όγκος)

Transcript

1

2 Αν σε σύστημα που διατηρείται σε σταθερές συνθήκες κάνουμε Ν παρατηρήσεις και από αυτές στις Ν Α παρατηρήθηκε το γεγονός Α, τότε λέμε ότι η πιθανότητα να συμβεί αυτό το γεγονός δίνεται από τη σχέση: P N ( A) = lim A N N -Όγκος V απομονωμένος. -Όγκος V A (με νοητά όρια) Εξετάζουμε τη θέση του σε διαφορετικές χρονικές στιγμές Ν φορές και έστω Ν Α φορές το βρίσκουμε στο V A. Στην πράξη βρίσκουμε το Ν Α [το P (A)] όχι με παρατηρήσεις, αλλά με τη χρήση της λογικής (π.χ. ζάρι) ή της Φυσικής (π.χ. όγκος)

3 Εκτός από τις ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ποσότητες (π.χ. σωματίδια) στη Φυσική υπάρχουν και άλλες ποσότητες, οι τιμές των οποίων είναι ΣΥΝΕΧΕΙΣ (π.χ. ταχύτητα) Για τις ποσότητες αυτές χρησιμοποιούμε την έννοια ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Έστω τυχαίο σημείο στο χώρο, το Α(x,y,z) (όταν χρησιμοποιούμε τον όρο «χώρος», δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι μιλάμε για ταχύτητες) και έστω ΔV i μικρός όγκος γύρω από το σημείο αυτό. Τότε πυκνότητα πιθανότητας f είναι η ακόλουθη ποσότητα: f ( x, y, z) = lim V 0 i P ( V i) V i = lim 0 V i N NV i P (ΔV i ) η πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο στον όγκο ΔV i.

4 Τη σχέση για την πυκνότητα πιθανότητας μπορούμε να τη γράψουμε λίγο διαφορετικά P( dv ) d f ( x, y, z) = dv dv Από εδώ εύκολα προκύπτει: f ( x, y, z) dv = P( dv) dp Αν τώρα ολοκληρώσουμε ως προς τον όγκο για όλο τον διαθέσιμο «χώρο» στον οποίο μπορεί να βρίσκεται το σωματίδιο, είναι προφανές ότι η πιθανότητα θα είναι ίση με τη ΜΟΝΑΔΑ Από εδώ προκύπτει η πολύ σημαντική σχέση για την πυκνότητα πιθανότητας P V O f ( x, y, z) dv = 1 Στην πραγματικότητα το ολοκλήρωμα είναι τριπλό, διότι dv=dxdydz

5 Μετράμε το ΙΔΙΟ μέγεθος Ν φορές και βρίσκουμε τις τιμές x 1,x, x N. Τότε, η μέση τιμή του x είναι: 1 N xi N i = 1 < x = Ενώ η μέση τιμή του x είναι: 1 N x i N i = 1 < x =

6 Σε πολλές περιπτώσεις (συνήθως όταν έχουμε να κάνουμε με ΤΕΡΑΣΤΙΟ αριθμό μορίων) ο αριθμός των τιμών που παρατηρούμε είναι σχετικά μικρός. Τότε κάθε τιμή εμφανίζεται πολλές φορές. Έστω λοιπόν ότι κάναμε Ν μετρήσεις. Οι δυνατές τιμές έστω ότι είναι Ν 0 (Ν 0 < Ν). Έστω λοιπόν ότι κάθε τιμή x j εμφανίζεται Ν j φόρές. Τότε για την μέση τιμή θα έχουμε: 1 1 N N N < x = x = N x = x N N N N 0 0 j i j j j i= 1 j= 1 j= 1 Αν υποθέσουμε ότι Ν, τότε ο λόγος N j / N θα είναι η πιθανότητα να βρούμε την τιμή x j. Δηλαδή: N < x = P x 0 j= 1 j j

7 i x i N 1 1 < x = x = N x = x Βλέπουμε ότι εδώ έχουμε 8 μετρήσεις (Ν), αλλά 4 τιμές (Ν 0 ). Τώρα λοιπόν φτιάχνουμε τον πίνακα: x j N j Ας υπολογίσουμε τη μέση τιμή με τους τρόπους < x = 1 ( ) = i j j j i= 1 j= 1 j= 1 N N N N < x = P x 0 j= 1 j j < x = =

8 Ας υποθέσουμε ότι έ- χουμε μια συνάρτηση φ(t) και θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή της στην περιοχή t 1 t t. < φ > t Για να το κάνουμε αυτό πρέπει να βρούμε το ύψος ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, το εμβαδόν του οποίου είναι ίσο με το εμβαδόν μεταξύ της φ(t) και του άξονα t. ΕΠΟΜΕΝΩΣ < = t t 1 - t t 1 t 1 ( t) dt

9 N < x = P x 0 j= 1 j j Χρησιμοποιούμε τον τύπο που αποδείξαμε πριν Παίρνουμε υπόψη μας ότι τώρα έχουμε συνεχείς ποσότητες Αυτό σημαίνει: 1. N 0 < = P j= 1 Αντικαθιστούμε το άθροισμα με ολοκλήρωμα. Αντικαθιστούμε το P με dp Αν θυμηθούμε τον ορισμό της πυκνότητας πιθανότητας, που μας έδωσε (για τη μεταβλητή t): dp=f(t)dt ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ t < = t t 1 ( t) f ( t) dt j j

10 Ας υποθέσουμε ότι έχουμε συναρτήσεις φ 1 (t) και φ (t), που στην περιοχή t 1 t t, έχουν την ίδια μέση τιμή < φ >. σ 1 Είναι προφανές πως οι συναρτήσεις είναι ΕΝΤΕΛΩΣ διαφορετικές Για να εκτιμήσουμε τη διαφορά τους χρησιμοποιούμε την έννοια ΔΙΑΣΠΟΡΑ που εκφράζεται με την τυπική απόκλιση =< ( x- < x ) x x x x =< - < + < = =< x - < x + < x =< x - < x Η διασπορά χαρακτηρίζει το πόσο «παίζει» το μέγεθος γύρω από τη μέση τιμή σ 1 < σ σ Για τα σχήματά μας κανονική

11 1. Σωματίδιο κινείται πάνω στον θετικό ημιάξονα των x και ξέρουμε ότι η πιθανότητα να βρίσκεται αυτό το σωματίδιο στο διάστημα από x έως x+dx είναι ανάλογη του e -λx. Υπολογίστε το <x > και το <x >. Σύμφωνα με τα δεδομένα της άσκησης θα πρέπει να ισχύει dp e -λx dx Για αντικαταστήσουμε το σύμβολο της αναλογίας με το σύμβολο της ισότητας θα πρέπει να βάλουμε και κάποια σταθερά: dp =Αe -λx dx Είναι από εδώ σαφές πως η συνάρτηση f(x)=αe -λx είναι ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

12 Βεβαίως τη σταθερά Α ΔΕΝ ΤΗΝ ΞΕΡΟΥΜΕ και πρέπει να την υπολογίσουμε Χρησιμοποιούμε τη συνθήκη κανονικοποίησης: - x f ( x) dx = A e dx = A e -x A - = = A = Δηλαδή η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας θα έχει τη μορφή: f(x)=λe -λx Η άσκηση συνεχίζεται

13 1. Σωματίδιο κινείται πάνω στον θετικό ημιάξονα των x και ξέρουμε ότι η πιθανότητα να βρίσκεται αυτό το σωματίδιο στο διάστημα από x έως x+dx είναι ανάλογη του e -λ x. Υπολογίστε το <x > και το <x >. Τώρα πλέον μπορούμε να προχωρήσουμε στον υπολογισμό των μέσων τιμών -x < x = xf ( x) dx = xe dx 0 0 =0 -x -x xe e dx 0 0 = e x = - = 0 -x x x e dx 0 < = =... = Συνέχεια Θεωρίας

14 ε α Έστω σύστημα σωματιδίων με ολική ενέργεια ε 0. Όταν λέμε «ολική» ενέργεια εννοούμε ΚΑΙ κινητική (που χαρακτηρίζεται από τις ταχύτητες των σωματιδίων) ΚΑΙ δυναμική λόγω εξωτερικού πεδίου (που χαρακτηρίζεται από τις θέσεις των σωματιδίων). Από τα Ν σωματίδια ξεχωρίζουμε 1 Αναζητούμε την πιθανότητα αυτό το σωματίδιο να έχει ενέργεια που βρίσκεται στην περιοχή μεταξύ: ε α και ε α +dε α

15 Σύμφωνα με όσα ξέρουμε, για να βρούμε τη ζητούμενη πιθανότητα πρέπει να βρούμε τα εξής: α) Το σύνολο των μικροκαταστάσεων Γ 0 (ε 0 ) με τις οποίες Ν σωματίδια υλοποιούν την ολική ενέργεια ε 0. β) Το σύνολο των μικροκαταστάσεων Γ(ε 0 - ε α ) με τις οποίες Ν-1 σωματίδια υλοποιούν την ολική ενέργεια ε 0 - ε α. γ) Το σύνολο των μικροκαταστάσεων dγ με τις οποίες 1 (το επιλεγμένο) σωματίδιο υλοποιεί την ενέργεια από ε α έως ε α +dε α. P d = Ae dγ - β ε

16 dp = Ae dγ - β ε Η κατανομή Gibbs μας δίνει την πιθανότητα 1 σωματίδιο να έχει ενέργεια μεταξύ ε α και ε α +dε α Το ποσοστό των σωματιδίων που έχουν ενέργεια μεταξύ ε α και ε α +dε α 1. Το β είναι ανεξάρτητο του ε α. Χαρακτηριστικό του συστήματος. Όσο αυξάνεται το ε 0 τόσο αυξάνεται το Γ(ε 0 ) β 0

17 Χωρίζουμε την ολική ενέργεια σε δυναμική και κινητική. ε α = ε αp + ε αk Όπου ε αp η δυναμική ενέργεια και ε αk η κινητική. Ύστερα από κάποιες πράξεις και μετασχηματισμούς η κατανομή Gibbs αποκτά τη μορφή: P ε - β - β 1 x y z d == A e pdxdydz A dυ dυ dυ e ε k (1) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Στην πραγματικότητα το διαφορικό dp δεν είναι απλό, αλλά 6 ου βαθμού (όπως και στο δεύτερο μέλος της σχέσης). Δηλαδή το σωστό θα ήταν να γράφουμε d 6 P.

18 Υποθέτουμε ότι εξωτερικό πεδίο δεν υπάρχει Επομένως ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ δυναμική ενέργεια ε αp =0. Δηλαδή το dp δεν εξαρτάται από τη θέση (x,y,z). (1) Ολοκληρώνουμε ως προς τις θέσεις για όλο τον προσιτό όγκο και βρίσκουμε P d A A Vdυ dυ dυ e = Сdυ dυ dυ e ε - β k - β k = 1 x y z x y z ε

19 Έστω επιφάνεια στο χώρο, η οποία ορίζεται από τη συνάρτηση z=f(x,y). Έστω D η προβολή της στο επίπεδο xy. Χωρίζουμε τη D σε μικρά ορθογώνια παραλληλόγραμμα εμβαδού Δσ. Ο όγκος του σχηματιζόμενου ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου θα είναι: ΔV=Δσh=Δσf(x,y) Επομένως, για να υπολογίσουμε τον όγκο του σχήματος που περικλείεται μεταξύ της f(x,y) και του D, αρκεί να προσθέσουμε όλους τους ΔV, απαιτώντας το Δσ να τείνει στο μηδέν.

20 n V = limv = lim h Δσ = lim f ( x, y ) Δσ n i i i i i n n n i= 1 i= 1 Αυτό το όριο ονομάζεται ΔΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ με πεδίο ορισμού το D και συμβολίζεται στη γενική περίπτωση ως εξής: n V = D f ( x, y) dσ Για να προχωρήσουμε πρέπει να ορίσουμε το dσ, που είναι το στοιχειώδες επίπεδο

21 dσ Προσαυξάνουμε το x κατά dx και το y κατά dy. Όπως φαίνεται και στο σχήμα, θα ισχύει: dσ = dxdy dσ Από το σχήμα έχουμε: dσ =(ΑΒΓΔ) (ΑΒ)(ΑΔ) (AB)=dρ, (ΑΔ)=ρdφ ΕΠΟΜΕΝΩΣ dσ = ρdρdφ ρdρdφ=dxdy

22 Ο τρόπος υπολογισμού του διπλού ολοκληρώματος εξαρτάται από το πεδίο ορισμού D. Εξετάζουμε την απλούστερη περίπτωση, όταν το πεδίο ορισμού είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Τότε a x b, c y d Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να γράψουμε: D c d f ( x, y) dxdy = dy f ( x, y) dx Και τώρα υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα το y σταθερό. a b b a f ( x, y ) dx θεωρώντας Αυτό που βρήκαμε είναι συνάρτηση ΜΟΝΟ του y και μπορούμε να το ολοκληρώσουμε ως προς y με όρια c και d.

23 Στην περίπτωση που εξετάζουμε, δηλαδή όταν το πεδίο ορισμού είναι ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, δεν έχει σημασία η σειρά ολοκλήρωσης. Δηλαδή μπορούμε πρώτα να ολοκληρώσουμε ως προς x και μετά ως προς y, ή μπορούμε να ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς y και μετά ως προς x. d b b d dy f ( x, y) dx = dx f ( x, y) dy c a a c Το διπλό ολοκλήρωμα απλοποιείται ακόμη περισσότερα, αν στη συνάρτηση f(x,y) μπορούμε να χωρίσουμε τις μεταβλητές x, y. Δηλαδή, αν f(x,y)=φ(x)u(y), τότε θα ισχύει: f ( x, y) dxdy = u( y) dy Φ( x) dx c a D Στην περίπτωση αυτό το διπλό ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε γινόμενο ολοκληρωμάτων d b

24 Έστω στερεό σώμα όγκου V, η πυκνότητα του οποίου ρ(x,y,z) είναι μεταβλητή και εξαρτάται από το σημείο του χώρου που εξετάζουμε. Τότε αν κόψουμε το σώμα σε μικρά κομμάτια όγκου ΔV i, η N ποσότητα m = ( x, y, z ) V i= 1 i i i i Θα τείνει στη μάζα του σώματος, όταν το ΔV i τείνει στο μηδέν. Ονομάζουμε ΤΡΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ το όριο lim f ( x, y,z ) ΔV f ( x, y,z) dv ΔV i 0 Ν i i i i i= 1 V Όπου V o όγκος του σώματος. ΌΤΙ ΕΙΠΑΜΕ ΓΙΑ ΤΑ ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΙΣΧΥΟΥΝ ΚΑΙ ΣΤΑ ΤΡΙΠΛΑ

25 dv Από το σχήμα (που το σχε- διάσαμε όπως και στην περίπτωση του επιπέδου για το dσ) βρίσκουμε ότι: dv=dxdydz

26 Από το σχήμα βρίσκουμε ότι: dv=(aβγδεζηθ)=(αδ)(αβ)(αε) (ΑΔ)=(Α Δ )=ρdφ (ΑΒ)=(Α Β )=dρ (ΑΕ)=dz Επομένως: dv=ρdρdφdz

27 Από το σχήμα βρίσκουμε ότι: dv=(aβγδεζηθ)=(αδ)(γδ)(αε) Επομένως: Θα ισχύει: (ΑΔ)=rdθ (ΓΔ)=(ΡΔ)dφ (ΡΔ)=rsinθ (ΑΕ)=dr dv=r sinθdrdθdφ dxdydz=ρdρdzdφ=r sinθdrdθdφ SOS SOS

28 ds=(aβγδ)(αδ)(γδ)= =r sinθdθdφ ds dω = = sinθdθdφ r π π ΟΛΟΣ Ο ΧΩΡΟΣ dω = sinθdθdφ = dφ sinθdθ = 4π φ θ 0 0

29 Σφαίρα : ΣΦΑΙΡΑ dv = r sinθdθdφdr r φ θ = R 3 3 π π R 4 r dr dφ sinθdθ = π = πr

30 ΟΛΑ ΟΣΑ ΕΙΠΑΜΕ ΠΙΟ ΠΑΝΩ (Στοιχειώδης όγκος, επιφάνεια κ.τ.λ.) ΙΣΧΥΟΥΝ ΓΙΑ ΕΝΑΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Μπορούμε λοιπόν να φτιάξουμε έναν τρισδιάστατο χώρο π.χ. ταχυτήτων, όπως αυτός που φαίνεται στο σχήμα και να επαναλάβουμε όσα είπαμε προηγουμένως, αντικαθιστώντας τα x, y, z και r με τα υ x, υ y, υ z και υ αντίστοιχα. z φ θ υ d d d = sind dd x y z d d d = dd d x y z z όπου = x + y

31 Είχαμε καταλήξει στη σχέση d P = Сdυ dυ dυ e x y z ε - β k Αυτή η σχέση μας δίνει την πιθανότητα το σωματίδιο να έχει ταχύτητα, οι συνιστώσες της οποίας είναι μεταξύ υ x και υ x +dυ x, υ y και υ y +dυ y, υ z και υ z +d υ z. Παίρνουμε υπόψη μας, ότι για την κινητική ενέργεια ισχύει: ε αk =mυ / Αναζητούμε την πιθανότητα το σωματίδιο να έχει ΜΕΤΡΟ ταχύτητας μεταξύ υ και υ+dυ. Αυτό μπορούμε να το καταφέρουμε σχετικά εύκολα, αν αντί για το Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων χρησιμοποιήσουμε το σφαιρικό. Τίποτε δεν θα αλλάξει όσον αφορά την κινητική ενέργεια ε αk.

32 Αλλαγές θα έχουμε στο γινόμενο dυ x dυ y d υ z. Χρησιμοποιούμε αυτά που μάθαμε στο μαθηματικό ένθετο και κατ αναλογία με τις συντεταγμένες γράφουμε: d P = Сdυ dυ dυ e x y z - βmυ / = Сυ sinθdθdφdυe - βmυ / Οι γωνίες θ και φ εκφράζουν διευθύνσεις, που δεν μας ενδιαφέρουν. Επομένως μπορούμε να ολοκληρώσουμε ως προς τις γωνίες π π - βmυ / - βmυ / d P = Сυ dυe dφ sin θdθ = 4 πсυ dυe 0 0 Έχουμε ακόμη άγνωστο το С.

33 Μπορούμε να εφαρμόσουμε τη συνθήκη κανονικοποίησης, που ισχύει στις πιθανότητες. Για να το κάνουμε αυτό πρέπει να βρούμε όλες τις δυνατές τιμές του μέτρου της ταχύτητας υ. Στη συνέχεια, αν ολοκληρώσουμε για όλες αυτές τις τιμές, το αποτέλεσμα θα είναι 1. Μαθηματικά, από τον ορισμό ισχύει: 0 υ <. Όμως η φυσική έχει σαν όριο την ειδική θεωρία της σχετικότητας! Θα εξετάσουμε το πρόβλημα αυτό αργότερα. Προς το παρόν θα χρησιμοποιήσουμε τη «βολική» συνθήκη κανονικοποίησης ΟΛΕΣ - = βmυ / = 0 dp( υ) 4πС υ dυe 1

34 -x I = 0 e dx - -x I = 0 e dx - -y I = 0 e dy - ( )( ) = -x -y = -( x + y ) I e dx e dy e dxdy Περνώ στις πολικές συντεταγμένες: x +y =ρ, dxdy=ρdρdθ, 0 ρ <, 0 θ π π = -ρ π = -ρ I dθ e ρdρ e 0 d( ρ ) = π = =, -x I0 I0 π I = e dx = I0 / = π / 0

35 0 Κ x e -λ x dx = Γ λ Κ + 1 Κ + 1 Όπου Γ(x) η Γάμα συνάρτηση, για την οποία ισχύει: Α) Για κάθε p>0 Γ(p+1)=pΓ(p) Β) Για κάθε n ακέραιο Γ(n+1)=n! Γ) Γ(1/)= π Λόγω συμμετρικότητας της συνάρτησης θα έχουμε: - 0 ( ) Κ -λ x Κ -λ x x e dx = x e dx - Κ +1 -λ x x e dx = 0

36 Ας εφαρμόσουμε τους τύπους αυτούς στη συνθήκη κανονικοποίησης 0 υ e - βmυ / dυ = π 4( βm/ ) 3/ π βm 4πC = 1 C = 3/ 4( βm/ ) π 0 - βmυ / πс υ e dυ 0 4 = 1 Κ -λ x x e 3/ dx = Κ + 1 Γ Κ + 1 λ 3/ βm dp( υ ) = 4π υ dυe π - βmυ / Η σχέση αυτή δίνει την πιθανότητα για ένα σωματίδιο να έχει ταχύτητες μεταξύ υ και υ+dυ, είτε, διαφορετικά το ποσο- στό των σωματιδίων με ταχύτητες μεταξύ υ και υ+dυ. SOS SOS Για το ποσοστό μπορούμε να γράψουμε: dn dp( υ) = N

37 Υπολογίζουμε τη μέση κινητική ενέργεια του ενός σωματιδίου 3/ - βmυ / = 4π υ e dυ 0 mυ βm mυ π = 3 1 β Δηλαδή το β συνδέεται μονοσήμαντα με τη μέση κινητική ενέργεια του ενός μορίου. Χρησιμοποιούμε το διαφορετικό συμβολισμό: 1 β = kt Ονομάζουμε το Τ συμβατικά «ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ» Το k είναι ο συντελεστής μετατροπής των μονάδων και ονομάζεται σταθερά του Boltzmann. k= J/K

38 m d P = f ( υ) dυ = 4π -mυ / kt υ e dυ πkt N u 3/

39 Η συνάρτηση f(υ) είναι ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 3/ m f ( υ) = 4π υ e πkt -mυ / kt Είναι θετική Για υ0 τείνει στο μηδέν Για υ τείνει στο μηδέν Επομένως έχει τουλάχιστον ένα μέγιστο Η γραφική της παράσταση Το εμβαδόν μεταξύ της καμπύλης και του οριζόντιου άξονα ισούται με τη μονάδα (ΣΥΝΘΗΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ)

40 Χαρακτηριστικό μέγεθος είναι η ΠΙΘΑΝΟΤΕΡΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ Η ταχύτητα για την οποία η συνάρτηση έχει μέγιστο. df(υ) / dυ=0 < υ υ Π = kt m Από τον τύπο, αλλά και λογικά προκύπτει, ότι η αύξηση της θερμοκρασίας οδηγεί στη μετατόπιση του μεγίστου προς τα μεγάλα υ και τη μείωση του ύψους του (B1 Εργ. Φ) Άλλες χαρακτηριστικές ταχύτητες < υ > = 8kT πm < u = 3kT m