ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών. «Μηχανική Συνεχούς Μέσου» (ΕΜ257) Εαρινό Εξάμηνο , Διδάσκων: Ι.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών. «Μηχανική Συνεχούς Μέσου» (ΕΜ257) Εαρινό Εξάμηνο , Διδάσκων: Ι."

Βάλιος Νικολαΐδης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών «Μηχανική Συνεχούς Μέσου» (ΕΜ57) Εαρινό Εξάμηνο Διδάσκων: Ι Τσαγράκης ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 μια βάση του Ευκλείδειου χώρου E Δείξτε ότι τα διανύσματα v 1 = e 1+ e + e v = e 1+ e + e v = e 1 + e + e δεν αποτελούν βάση του E Άσκηση 1: Έστω { e e e } Άσκηση : Χρησιμοποιήστε συμβολισμό με δείκτες για να υπολογίσετε: α) Τις συνιστώσες του v w συναρτήσει των συνιστωσών των διανυσμάτων v και w ως προς μια ορθοκανονική βάση { e } β) Τις συνιστώσες του γινομένου Tu συναρτήσει των συνιστωσών του τανυστή ης τάξης T και του διανύσματος u ως προς μια ορθοκανονική βάση { e } γ) Τις συνιστώσες του γινομένου TSP συναρτήσει των συνιστωσών των τριών τανυστών ης τάξης T S και e P ως προς μια ορθοκανονική βάση { } δlr δls δl Άσκηση : Χρησιμοποιώντας ως δεδομένο ότι εlmnεrs = δmr δms δm να δείξετε με τη σειρά τα εξής: δ δ δ nr ns n α) εlmεrs = δlrδms δlsδmr β) εlsεrs = δlr γ) εrsε rs = 6 Άσκηση 4: Έστω τα διανύσματα u v w και a Χρησιμοποιήστε συμβολισμό με δείκτες για να δείξετε τα εξής: α) ( u v) w= ( u w) v ( v w) u β) ( u v) ( w a) = ( u w)( v a) ( u a)( v w) γ) ( u v ) ( v w ) ( w u ) = ( u v w ) ( u v) ( w a) + ( v w) ( u a) + ( w u) ( v a) = u v w a δ) ( ) Άσκηση 5: Έστω τα διανυσματικά πεδία u και v και τα βαθμωτά πεδία ϕ και ψ Χρησιμοποιήστε συμβολισμό με δείκτες για να δείξετε τα εξής: α) dv(curl u ) = 0 β) curl(grad ϕ ) = o γ) dv( ϕu) = (grad ϕ) u + ϕdvu δ) curl( ϕu) = (grad ϕ) u + ϕcurlu ε) dv( u v) = (curl u) v u curlv στ) curl( u v) = (grad u) v (grad v) u + udvv vdvu ζ) dv[grad( ϕψ)] = ϕ ψ + ψ ϕ + (grad ϕ) (grad ψ) Άσκηση 6: Δείξτε ότι το ίχνος και η ορίζουσα ενός τανυστή T ης τάξης μένουν αναλλοίωτες κατά την αλλαγή βάσης = e e e B = b b b είναι ορθοκανονικές βάσεις του E E B όπου { } E 1 και { 1 } E 1 και B = { b1 b b} του Ευκλείδειου χώρου E και έστω Q ο τανυστής αλλαγής βάσης E B Δείξτε ότι αν de Q = + 1 τότε η ποσότητα u v w μένει αναλλοίωτη κατά την αλλαγή βάσης Εξετάστε αν ισχύει το ίδιο όταν de Q = 1 Άσκηση 7: Έστω δύο ορθοκανονικές βάσεις = { e e e } 1

2 Άσκηση 8: Έστω ένα διανυσματικό πεδίο u : E E και ένα τανυστικό πεδίο ης τάξης T : E Ln και έστω = e e e B = b b b του Ευκλείδειου χώρου E με Q να είναι ο δύο ορθοκανονικές βάσεις { } E 1 και { 1 } τανυστής αλλαγής βάσης E B α) Δείξτε ότι οι αποκλίσεις dv u και dvt μένουν αναλλοίωτες κατά την αλλαγή βάσης E B β) Δείξτε ότι η ποσότητα curlu μένει αναλλοίωτη κατά την αλλαγή βάσης E B όταν Q Orh + de T λ1 = λ + ITλ IITλ + IIIT όπου IT IIT III T είναι οι βασικές αναλλοίωτες του τανυστή ης τάξης T οι οποίες ορίζονται ως: I r( ) T = T 1 II ([ r( ) ] r( T = T T ) ) και IIIT = det Άσκηση 9: Χρησιμοποιώντας συμβολισμό με δείκτες να δειχθεί ότι: ( ) Άσκηση 10: Έστω ότι ένας συμμετρικός τανυστής ης τάξης T που έχει δυο ίσες ιδιοτιμές δηλ λ 1 λ = λ Τότε η χαρακτηριστική του εξίσωση γίνεται: de ( T λ1 ) = ( λ λ1)( λ λ) = 0 Να δειχθεί ότι ο T ικανοποιεί την εξίσωση: T ( λ1+ λ) T + λλ 1 1= O Άσκηση 11: Έστω τανυστής ης τάξης T με μητρώο συνιστωσών [ ] e βάση { } α) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του T β) Να βρεθεί ένα ορθοκανονικό σύστημα ιδιοδιανυσμάτων του T 1/ γ) Να βρεθεί ο T και να γραφτούν οι συνιστώσες του ως προς τη βάση { } Άσκηση 1: Έστω τανυστής ης τάξης F με μητρώο συνιστωσών [ ] ορθοκανονική βάση { e } τις συνιστώσες τους ως προς τη βάση { } 7 0 T = 7 4 ως προς μια ορθοκανονική F = 0 0 ως προς μια Υπολογίστε τους τανυστές R U και V της πολικής παραγοντοποίησης και γράψτε e Ποιες οι συνιστώσες του δεξιού τανυστή Cauchy-Green C ; y1 = e + x1 1 Άσκηση 1: Έστω η κίνηση ενός συνεχούς μέσου: y = xcos xsn Να υπολογιστούν: y = xsn+ xcos α) Η ταχύτητα σε υλική και χωρική περιγραφή β) Η επιτάχυνση σε υλική και χωρική περιγραφή γ) Η κλίση της παραμόρφωσης και ο δεξιός Cauchy-Green τανυστής Επίσης εξετάστε εάν η κίνηση είναι ισόχωρη Άσκηση 14: Δίνεται το χωρικό πεδίο ταχύτητας: ( ) = κ + κ + λ + α) Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης = y f ( x ) e v y y e y e ( y y ) e με κ λ σταθερές β) Να γραφτεί η ταχύτητα σε υλική περιγραφή γ) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση σε υλική και χωρική περιγραφή δ) Να διαπιστωθεί ότι κάθε υλικό σημείο του συνεχούς μέσου κινείται σε (κυκλική) κυλινδρική επιφάνεια με σταθερό μέτρο ταχύτητας ε) Να βρεθεί η υλική παράγωγος των μεγεθών: ) ψ = y + y y και ) w = ( y y ) e + y y e y e

3 y = y 1+ y v y e e + e Άσκηση 15: Το χωρικό πεδίο ταχύτητας ενός συνεχούς μέσου δίνεται ως: ( ) 1 Να υπολογιστούν: α) Η επιτάχυνση σε χωρική και υλική περιγραφή β) Εξετάστε αν η κίνηση είναι αστρόβιλη και ισόχωρη Αν δεν είναι ισόχωρη βρείτε τα ζεύγη ( ) οποία έχουμε διαστολή όγκου x για τα Άσκηση 16 (Θέμα ΜΣΜ Ιουν007): Έστω το χωρικό πεδίο ταχύτητας: v( y ) = yϕ( y1 y) e1 y1ϕ( y1 y) e Βρείτε τη μορφή της συνάρτησης ϕ( y1 y ) έτσι ώστε η κίνηση να είναι αστρόβιλη και το συνεχές μέσο ασυμπίεστο Άσκηση 17 (Θέμα ΜΣΜ Ιαν006): α) Να βρεθεί το μητρώο Re 1 συνιστωσών ως προς ΟΚ βάση { e } του τανυστή στροφής R περί Re ~ ~ του άξονα e κατά γωνία π /4 π / 4 β) Να βρεθεί (χωρίς υπολογισμούς) μια μόνο ιδιοτιμή και ένα π / 4 αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα του R Άσκηση 18 (Θέμα ΜΣΜ Ιαν006): Η παραμόρφωση f :Δ Δ έχει συνιστώσες (ως προς ΟΚ βάση) τις: f1( x)= x1+ x f( x)= x1 x f( x) = ϕ( x ) όπου ϕ : και ϕ C 1 ( ) α) Ποιο είναι το πρόσημο της παραγώγου ϕ ( x) ; β) Αν η f διατηρεί τον όγκο (ισόχωρη) και ϕ (0) = 0 βρείτε την ϕ( x) x γ) Αν η f 1/ είναι ισόχωρη βρείτε το μητρώο συνιστωσών του τανυστή έκτασης U = ( F T F) Άσκηση 19 (Θέμα ΜΣΜ Ιαν006): Σώμα υφίσταται χρονικά ανεξάρτητη παραμόρφωση ενώ ισχύουν τα ισοζύγια ορμής και στροφορμής Στην παραμορφωμένη περιοχή το πεδίο του τανυστή των τάσεων του Cauchy δίνεται ως T( y) = d y+ cy d y Δ όπου d = σταθ E c = σταθ α) Να βρεθεί η τιμή της c β) Να βρεθεί το πεδίο δύναμης σώματος στην Δ Άσκηση 0: Έστω οι ποσότητες Bjaj Bja AjBjkBlk εjk AjmBklvmul AjB j Ποιες από αυτές αντιπροσωπεύουν βαθμωτά μεγέθη ποιες τις συνιστώσες διανυσμάτων και ποιες τις συνιστώσες τανυστών; Γράψτε τα αντίστοιχα βαθμωτά διανυσματικά και τανυστικά μεγέθη χωρίς συνιστώσες Άσκηση 1 (Θέμα ΜΣΜ Σεπτ006): ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΣ τανυστής A έχει μητρώο συνιστωσών / b σε κάποια ΟΚ βάση Να βρεθούν όλες οι δυνατές τιμές των b c και να δοθεί γεωμετρική 0 c 1/ ερμηνεία του τανυστή (με λόγια) Άσκηση (Θέμα ΜΣΜ Σεπτ006): Κίνηση σώματος δίνεται σαν f ( x ) = Rx ( ) x R όπου R () είναι χρονικά εξαρτώμενος τανυστής στροφής T α) Δείξτε ότι ο τανυστής W() = R () R () είναι λοξός β) Γράψτε τα πεδία χωρικής ταχύτητας και χωρικής επιτάχυνσης γι αυτή την κίνηση χωρίς να χρησιμοποιήσετε συνιστώσες γ) Επειδή ο W () είναι λοξός έχει αξονικό διάνυσμα w () Βρείτε εκφράσεις για τα πεδία χωρικής ταχύτητας και χωρικής επιτάχυνσης που περιέχουν μόνο το y Δ το w () και παραγώγους του w () e e 1

4 Άσκηση (Θέμα ΜΣΜ Σεπτ006): Σώμα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας με πεδίο τανυστή τάσεων Cauchy T( y ) = ( y e ) e e όπου e είναι σταθερό διάνυσμα Να βρεθεί το πεδίο δύναμης σώματος Άσκηση 4 (Παλιό θέμα ΜΘΥ): Για τα πεδία u : E E και S : E Sym us C (E) αποδείξτε τις ταυτότητες: α) ( Su) = S sym u + u ( S ) T β) [( uu ) ] ( u) u u ( u ) = 0 Άσκηση 5 (Παλιό θέμα ΜΘΥ): Αν Δ E είναι ανοικτή περιοχή και f :Δ E είναι η απεικόνιση που σε ΟΚ βάση έχει συνιστώσες: f1( x)= x 1 f( x) = x + g( x 1) f( x) = x+ h( x1 x ) όπου g : h : g C 1 1 ( ) h C ( ) αποδείξτε ότι η f είναι παραμόρφωση δηλαδή ότι f C 1 ( Δ) de f > 0 εν Δ και ότι η f είναι ολικά αντιστρέψιμη Άσκηση 6: Συνεχές μέσο υφίσταται την παραμόρφωση f :Δ Δ με συνιστώσες (ως προς ΟΚ βάση { e } ) τις: f1( x) = x1+ κ ( x x + x 1) f( x) = x + κ ( x1 x + x ) f( x) = x+ κ ( x x1 + x ) όπου κ = σταθ α) Να υπολογιστεί το μητρώο συνιστωσών του δεξιού Cauchy-Green τανυστή C ως προς τη βάση { e } β) Να υπολογιστούν οι εκτάσεις κατά τις διευθύνσεις των διανυσμάτων της ΟΚ βάσης { e } και οι γωνίες διάτμησης γ ( e ej) j στο υλικό σημείο (110) γ) Να βρεθεί η έκταση στο σημείο (110) κατά τη διεύθυνση του διανύσματος e1+ e + e δ) Σε ποια υλικά σημεία δύο διευθύνσεις αρχικά παράλληλες προς του άξονες x1 x αντίστοιχα διατηρούν την καθετότητα τους; Άσκηση 7: Δίνεται το υλικό πεδίο ταχύτητας: v ( x ) = κxe 1 κx 1e+ κ x e όπου κ = σταθ α) Αποδείξτε ότι όλα τα υλικά σημεία που σε χρόνο = 0 βρίσκονται μέσα στη μοναδιαία σφαίρα xx 1 θα βρεθούν σε χρόνο = 1 μέσα σε ένα ελλειψοειδές εκ περιστροφής περί τον άξονα Ox β) Για ποια τιμή του κ ο όγκος του ελλειψοειδούς είναι διπλάσιος από τον όγκο της σφαίρας; Άσκηση 8: Δίνεται το χωρικό πεδίο ταχύτητας: ( ) = 1 1 y v y y e ye+ e Να υπολογιστεί το μέτρο 1 + ταχύτητας του υλικού σημείου x = e 1+ e + e τη χρονική στιγμή = ln Απάντηση: v = Άσκηση 9: Το πεδίο ταχύτητας ενός ρευστού προέρχεται από το δυναμικό Είναι το ρευστό ασυμπίεστο; ϕ = ln r με 1 r = y + y + y Άσκηση 0: Για ένα συνεχές μέσο οι συνιστώσες του τανυστή τάσης Cauchy είναι: T11 = κ y T1 = κ y T1 = κ y1 T = κ y1 T = κ y και T = κ y Να υπολογιστεί το διάνυσμα της συνολικής επιφανειακής δύναμης που ασκείται στο ημικύκλιο y + y = y1 0 που βρίσκεται στο επίπεδο y = Άσκηση 1: Υπολογίστε τη σταθερά α έτσι ώστε το χωρικό πεδίο ταχύτητας v ( y ) = ( ye yy ) e + ( y e + α y y) e να αντιστοιχεί σε ένα ασυμπίεστο συνεχές μέσο Άσκηση : Το χωρικό πεδίο ταχύτητας μιας κίνησης δίνεται ως v ( y ) = ( y y1+ y) e 1+ ( y1y y1 ) e και το χωρικό πεδίο θερμοκρασίας ως θ ( y ) = 4y y 1 σε αυθαίρετες μονάδες Υπολογίστε το ρυθμό μεταβολής θ της θερμοκρασίας στο σημείο ( y1 y ) = (1) τη χρονική στιγμή = 4

5 Άσκηση : Δίνονται οι συνιστώσες του τανυστή τάσης Cauchy: T 11 = 1 T 1 = 1 T 1 = T = α T = 1 και T = 0 Να προσδιοριστεί η τιμή του α και το μοναδιαίο διάνυσμα n (με n 1 > 0 ) κάθετο σε κάποιο επίπεδο Ε 1 που περνά από την αρχή των αξόνων Ο αν γνωρίζουμε ότι η ολκή ως προς το επίπεδο Ε 1 είναι μηδέν δηλαδή ( n ) = o 5

Σχετικά έγγραφα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών «Μαθηματική Θεωρία Υλικών ΙΙ» (ΕΜ5) Εαρινό Εξάμηνο 007-08, Διδάσκων: Ι Τσαγράκης Ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΥΛΙΚΩΝ Ι») μια