u u u u u u u u u u u x x x x

Transcript

1 Βασικοί συµβολισµοί και σχέσεις ϕ ϕ ui & ϕ=, ϕ, i=, ui, j= t x x u1 u1 u1 x1 x2 x u 3 1, 1 ui, j ui, j u1, 1 ui, j ui, j u u u u u u u u u u u i i, j= = i, j 2, 2 i, j = i, j 2, 2 i, j = x j x1 x2 x 3 ui, j ui, j u3, 3 ui, j ui, j u3, 3 u3 u3 u3 u i, i u u u u x x x x i = = + +, ua, a i i j x x x ua = x αν i= j δij =, δ ij =, δ11= δ22= δ33= 1 0 αν i j αν ijk εijk = 1 αν ijk διαφορετικα & a 1 2 3, δ ii =?

2 ιαφορικός τελεστής = ei = e + e + e x x x x Έστω βαθµωτή συνάρτηση F= F( x1, x2, x3), τότε: i F F F F r F= ei = e + e + e = gradf x x x x i r Έστω διάνυσµα A= e1a1 + e1a2 + e3a3 = ejaj, τότε: (διάνυσµα) r Aj Aj A1 A2 A3 A e ( e A ) δ r = = = = + + = diva (βαθµωτό µέγεθος) x x x x x x i j j ij i i j e1 e2 e3 r Aj A r j xa= / x1 / x2 / x3 = ei xejaj = ei xej = ekεijk = curla xi xi xi A A A (διάνυσµα)

3 Χρήσιµες ταυτότητες: ε ε εijkεipq = δjpδkq δjqδkp = δ δ δ + δ δ δ + δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ ijk pqr ip jq kr ir jp kq iq jr kp ip jr kq ir jq kp iq jp kr Αποδείξτε την πρώτη σχέση γράφοντας όλες τις περιπτώσεις. Φτιάξτε ένα πρόγραµµα για να ελέγξτε την 2 η σχέση ή αποδείξτε την µε απλή λογική. ( ) ( ) ( ) ε ε = δ δ δ δ δ + δ δ δ δ δ + δ δ δ δ δ ijk pqr ip jq kr jr kq ir jp kq jq kp iq jr kp jp kr ε ε = δ δ δ δ ijk ipq jp kq jq kp ( ) ( ) ( ) ε ε = δ ε ε + δ ε ε + δ ε ε ijk pqr ip ijk iqr ir ijk ipq iq ijk irp.

4 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηµατικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού. Τα αίτια που δηµιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάµεων που την διατηρούν είναι αντικείµενο της δυναµικής. Θα εξετάσουµε σε αυτό το κεφάλαιο τις σχέσεις µεταξύ των θέσεων που παίρνουν οι στοιχειώδεις όγκοι του ρευστού και του χρόνου. Οι στοιχειώδεις αυτοί όγκοι είναι πολύ πιο µικροί από τις χαρακτηριστικές διαστάσεις του ρευστού (αλλά πολύ µεγαλύτεροι από τις µέσες διαστάσεις των µορίων. Για τον λόγο αυτό οι στοιχειώδεις όγκοι ονοµάζονται σωµατίδια ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΡΕΥΣΤΟΥ Περιγραφή Lagrange: Παρακολουθούµε την κίνηση ενός σωµατιδίου και καταγράφουµε όλες τις αλλαγές που λαµβάνουν χώρα απάνω στο στοιχειώδη αυτό όγκο.ονοµάζουµε το σωµατίδιο ξ r σύµφωνα µε την θέση που κατείχε τη στιγµή t = t 0 (Σωµατιδιακή ή υλική περιγραφή) Περιγραφή Euler: Καταλαµβάνουµε µία θέση στον χώρο (z r σηµείο) και παρατηρούµε όλα τα σωµατίδια που περνάν από αυτό. (Χωρική περιγραφή)

5 Θεωρούµε αντίστοιχα δύο τρόπους παραγώγισης µίας ποσότητας Φ που εκφράζει µία ιδιότητα του ρευστού α) Την ολική παράγωγο ως προς τον χρόνο t : DΦ d Φ ή Dt dt όπου το ξ r παραµένει σταθερό αλλά το z r και το t µεταβάλλονται. β) Την µερική παράγωγο ως προς τον χρόνο t : Φ t όπου το z r παραµένει σταθερό αλλά τοξ r και το t µεταβάλλονται. Η ολική παράγωγος µας δίνει το ρυθµό της αλλαγής όπως αυτή καταγράφεται από έναν παρατηρητή κινείται µε ένα σωµατίδιο. Η µερική παράγωγος µας δίνει το ρυθµό της αλλαγής όπως αυτή καταγράφεται σε ένα σταθερό σηµείο.

6 Για να βρούµε την σχέση µεταξύ της ολικής και της µερικής παραγώγου, εξετάζουµε την ιδιότητα Φ ενός σωµατιδίου r ξτο οποίο βρίσκεται κατά τη χρονική στιγµή t στη θέση z r και r r στη χρονική στιγµή t+dt στη θέση z+ dz και ακολουθούµε την εξής διαδικασία. Κρατάµε τους πρώτους όρους από το παρακάτω ανάπτυγµα Taylor: r r r Φ Φ Φ ( z+ dz, t+ dt) =Φ ( z, t) + dzi+ dt z t Παίρνουµε υπόψη µας ότι dzi = Udt i, και εποµένως r r r Φ Φ DΦ Φ Φ Φ r Φ ( z+ dz, t+ dt) Φ ( z, t) = Ui + dt = + Ui = + U Φ zi t Dt t zi t H µεταβλητή Φ συµβολίζει ένα βαθµωτό (θερµοκρασία, πυκνότητα, συγκέντρωση ) ή ένα διανυσµατικό µέγεθος (π.χ. ταχύτητα, δύναµη ). i

7 Παραδείγµατα. 1) Έστω Φ= U r. Τότε η επιτάχυνση a r ενός σωµατιδίου r ξ µπορεί να εκφραστεί µέσω της ολικής παραγώγου της ταχύτητας: r r r DU U r r a= = + ( U ) U Dt t Παρατηρούµε ότι η επιτάχυνση αποτελείται από δύο όρους: Την τοπική επιτάχυνση r U t r r U U Την µεταθετική επιτάχυνση ( ) DU U U i i i ή ai = = + Uj Dt t xj

8 2) (Για το σπίτι) Έστω ένα ρευστό στο οποίο η θερµοκρασία διατηρεί µία γραµµική κατανοµή: T( x) = T + a x. α)βρείτε το ρυθµό µεταβολής της θερµοκρασίας ενός σώµατος που κινείται µε ταχύτητα x 0 r U= a yi+ a xj β) Τι θα συµβεί αν η θερµοκρασία του ρευστού µεταβάλλεται και ως προς το χρόνο µε τη σχέση T 0 a T( x, t) = 1+ x 1+ bt T0 y Σηµείωση: οι µονάδες των σταθερών α, β, α x, α y είναι κατάλληλες για τη σωστή διαστατική περιγραφή του προβλήµατος

9 Θεώρηµα της απόκλισης (divergence theorem) Αν ένα ρευστό ρέει µέσα σε κάποια περιοχή, και θέλουµε να προσδιορίσουµε πόσο ρευστό βγαίνει από ένα συγκεκριµένο κοµµάτι της περιοχής αυτής, χρειάζεται να αθροίσουµε το σύνολο των πηγών και να αφαιρέσουµε το σύνολο των καταβόθρων ρευστού µέσα στο εν λόγω κοµµάτι. Η ροή του ρευστού περιγράφεται από ένα διανυσµατικό πεδίο και η απόκλιση του σε οποιοδήποτε σηµείο περιγράφει στην πραγµατικότητα την τοπική ένταση της δηµιουργίας ή κατανάλωσης. Έτσι το θεώρηµα της απόκλισης είναι στην ουσία ένας νόµος διατήρησης: Το σύνολο της παραγωγής και κατανάλωσης µιας ποσότητας, δηλαδή το χωρικό ολοκλήρωµα της απόκλισης της, ισούται µε την καθαρή ροή της ποσότητας µέσω της επιφάνειας που περικλύει τον όγκο. V FdV = s ˆ FndS Περιοχή όγκου V περιβαλλόµενη από την κλειστή επιφάνεια S = V µε µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα n

10 Παραδείγµατα 3) Έστω ότι θέλουµε να υπολογίσουµε το επιφανειακό ολοκλήρωµα Όπου S είναι η επιφάνεια µοναδιαίας σφαίρας που ορίζεται ως και F το διάνυσµα Ο απευθείας υπολογισµός του ολοκληρώµατος είναι σχετικά πολύπλοκος, απλοποιείται όµως αν χρησιµοποιήσουµε το θεώρηµα της απόκλισης, ως εξής:

11 Όπου W είναι ο όγκος της µοναδιαίας σφαίρας δηλαδή το εσωτερικό του χώρου που ορίζεται από την επιφάνεια της και εποµένως από. Όµως και τελικά, Αφού ο όγκος σφαίρας µε µοναδιαία ακτίνα είναι 4π/3.

12 4) Να βρεθεί η συνολική δύναµη που ασκείται από ένα ακίνητο ρευστό πυκνότητας ρ σε σώµα όγκου V, το οποίο είναι βυθισµένο σε αυτό. To θεώρηµα απόκλισης γράφεται ( i AdS = i i i i A dv ds = µοναδιαίο κάθετο (προς τα έξω) διάνυσµα της επιφάνειας στοιχείο επιφάνειας ) Αν πάρουµε όλα τα A i = διανυσµατική µορφή p, µία ίδια συνάρτηση, τότε µπορούµε να γράψουµε το θεώρηµα σε pds i = i pdv όµως, εξ ορισµού του ds i, η δύναµη της υδροστατικής πίεσης πάνω σε κάθε στοιχείο επιφάνειας ενός σώµατος βυθισµένο σε ένα υγρό πυκνότητας ρµπορεί να γραφτεί άρα άµεσα η ολική δύναµη είναι ( ρgz) ds i Fz = ρgv

13 Θεώρηµα µεταφοράς (Reynolds) Ορίζουµε το µέγεθος F(t) µε το ολοκλήρωµα της µορφής: (1) Όπου η συνάρτηση F(t) µπορεί να είναι ένα βαθµωτό µέγεθος, (πυκνότητα, θερµοκρασία), διανυσµατικό µέγεθος (ταχύτητα) ή τανυστικό µέγεθος. Λόγω της ροής ο όγκος που εξετάζουµε αλλάζει σχήµα συναρτήσει του χρόνου: V=V(t). Σε πολλά προβλήµατα της Μηχανικής Ρευστών απαιτείται να υπολογιστεί η ολική παράγωγος του F(t) Επειδή τα όρια του ολοκληρώµατος εξαρτώνται από τον χρόνο, δεν µπορούµε να παραγωγίσουµε την συνάρτηση Φ, έτσι γράφουµε αναλυτικά τη µεταβολή µε το χρόνο ως DF 1 = lim Φ ( x, t+ dt) dv Φ( x, t) dv Dt t 0 t (3) V( t) + V V( t) (2)

14 ή ισοδύναµα DF Dt 1 = lim ( Φ ( x, t+ dt) Φ ( x, t) ) dv+ Φ ( x, t+ dt) dv t 0 t V( t) V (4) Αναπτύσσοντας κατά Taylor την ποσότητα Φ Φ ( x, t+ t) =Φ ( x, t) + t+... t (5) και εισάγοντας στην προηγούµενη σχέση (5), έχουµε DF 1 Φ Φ = lim tdv+ Φ ( x, t) + t dv Dt t 0 t t t V( t) V ή διαφορετικά DF Φ 1 Φ = dv+ lim Φ ( x, t) + t dv Dt t t 0 t t V( t) (6) (7) V Παρατηρούµε ότι ο όγκος V, είναι ο όγκος που σαρώνεται από την κίνηση της επιφάνειας του αρχικού όγκου (βλέπε σχήµα) και εποµένως η στοιχειώδης

15 V ds U µεταβολή του όγκου λόγω της κίνησης είναι r V= U nˆ t ds (8) U n Και εποµένως ο τελευταίος όρος της (7) γίνεται S S 1 Φ Φ r Φ ( x, t) + t dv= Φ ( x, t) + t U nˆ ds t t t V S r r Φ( x, t) U nˆ ds= Φ( x, t) U dv και στο όριο t 0, ( ) S V (9) (10) Τελικά λοιπόν DF D DΦ r = Φ dv= +Φ U dv Dt Dt Dt V( t) V( t) ή DF Dt Φ r r = + U Φ+Φ U dv t V( t)

16 Εξίσωση της συνέχειας (continuity)

17

18

19 Εφαρµογή (στο σπίτι): Να αποδειχτεί ότι για οποιαδήποτε ποσότητα φ, ισχύει: ( ρϕ) + ( ρujϕ), j= ρ( & ϕ+ ujϕ, j)

20 Παράδειγµα 5. Για τα ακόλουθα πεδία ταχύτητας και πυκνότητας: V 1 =x 1 /(1+t), V 2 =0, V 3 =0, ρ=ρ 0 /(1+t) (α) ελέγξτε αν ικανοποιείται η εξίσωση της συνέχειας (β) Υπολογίστε ην ολική µάζα και το ρυθµό αύξησης της µάζας σ έναν κυλινδρικό όγκο µε διατοµή Α, που έχει βάσεις τα επίπεδα x 1 =1 και x 1 = 3. (γ) Υπολογίστε την καθαρή εισροή µάζας στον όγκο του ερωτήµατος (β).

21 (1) (2) (3)

22 (2) (4) (5) (4) (6)

23 Παίρνοντας υπόψη µας την (2) και την εξίσωση της συνέχειας (1) (7) Και τελικά η (4) γίνεται Οι δύο πρώτοι όροι της (8) είναι συναρτήσεις του πεδίου ταχύτητας Η ακριβής γνώση του τρίτου όρου δεν είναι απαραίτητη (8)

24

25

26 Παράδειγµα 6.