1. Διδιάστατοι πίνακες συνάφειας χωρίς τη χρήση γενικευμένων γραμμικών μοντέλων

Transcript

1 Διδιάστατοι ίνακες συνάφειας χωρίς τη χρήση γενικευμένων γραμμικών μοντέλων Έστω Χ, Υ δύο κατηγορικές μεταβλητές αόκρισης με Ι και στάθμες αντίστοιχα Οι αοκρίσεις (Χ,Υ ενός τυχαία ειλεγμένου ατόμου αό έναν ληθυσμό θεωρούνται ως τυχαίες μεταβλητές ου ακολουθούν κάοια κατανομή Συμβολίζουμε με την ιθανότητα ((, (, P(,,,,, I,, P,, Είσης συμβολίζουμε με P(, P( τις εριθώριες κατανομές των Χ,Υ Είναι ροφανές ότι,,,, I και,,,, Μορούμε να αραστήσουμε τη διδιάστατη κατανομή των (Χ,Υ χρησιμοοιώντας έναν ίνακα με Ι γραμμές και στήλες: Total Ι Ι Ι Ι Ι Total I Έστω τώρα ότι έχουμε Ν τυχαία ειλεγμένα άτομα (Ν είναι είτε σταθερά είτε τμ αό τον ληθυσμό και Ν το λήθος των ατόμων (αό τα Ν τα οοία ταξινομούνται στο κελί (, (κάθε άτομο ταξινομείται στην θέση (, του ίνακα συνάφειας με ιθανότητα Ο Ι ίνακας ο οοίος εριέχει τις αρατηρούμενες συχνότητες Ν καλείται ίνακας συνάφειας (contngency table ή crossclassfcaton table Όμοια με αραάνω συμβολίζουμε με, τα αθροίσματα των γραμμών και των στηλών αντίστοιχα, δηλαδή,,,,, I και,,,, Total Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ι Ν Ι Ν Ι Ν Ι Ι Total I

2 Σκοός μας είναι η μελέτη διαφόρων χαρακτηριστικών της διδιάστατης κατανομής με βάση τις αρατηρούμενες συχνότητες Ν Η δειγματική διδιάστατη κατανομή θα συμβολίζεται με p, και θα ισχύει ότι p / Προειλεγμένα αθροίσματα γραμμών Σε αρκετές εριτώσεις ινάκων συνάφειας, η μία μεταβλητή (χ η Χ μορεί να θεωρηθεί ως ερμηνευτική και η άλλη (χ η Υ ως μεταβλητή αόκρισης Συγκεκριμένα, ειλέγουμε τα άτομα αό τον ληθυσμό για ροκαθορισμένα αθροίσματα γραμμών,,, I (χ ειλέγουμε άτομα με Χ, άτομα με Χ, κοκ Σε αυτές τις εριτώσεις δεν έχει νόημα η διδιάστατη κατανομή ου εριγράψαμε αραάνω Εδώ, η ιθανότητα να ταξινομηθεί ένα άτομο στην (, θέση του ίνακα συνάφειας είναι P( P(, P( Σε αυτές τις εριτώσεις μας ενδιαφέρει να μελετήσουμε ως η κατανομή της Υ αλλάζει όταν αλλάζει τιμές η Χ Τέλος, η δειγματική κατανομή σε αυτή την ερίτωση θα συμβολίζεται με p, και ι- σχύει ότι p / Ανεξαρτησία Οι μεταβλητές Χ,Υ είναι ανεξάρτητες όταν P (, P( P( ή ισοδύναμα όταν P ( P( για κάθε,,,i,,,, 3 Δείκτες συνάφειας Όταν οι μεταβλητές Χ,Υ είναι δίτιμες (δύο στάθμες τότε οι ίνακες συνάφειας είναι διαστάσεως Στους ίνακες αυτούς μορούμε να ορίσουμε τις εξής δείκτες συνάφειας: - Relatve rs: / / / - Odds rato ή cross product rato: θ / / (τιμές τους κοντά στο υοδηλώνουν ανεξαρτησία - log odds rato: logθ (τιμές του κοντά στο υοδηλώνουν ανεξαρτησία Το odds rato και το log odds rato μορούν να χρησιμοοιηθούν και σε ίνακες Ι, χ +, + θ, + +, 4 Μοντέλα κατανομής συχνοτήτων κελιών Έστω ότι Ν,Ν,,Ν I άτομα ταξινομούνται στα I το λήθος κελιά ενός ίνακα συνάφειας Θεωρούμε ότι τα είναι τυχαίες μεταβλητές με μέση τιμή E( (αναμενόμενες συχνότητες

3 α Ένα αό τα αλούστερα μοντέλα ου μορούμε να θεωρήσουμε είναι οι να είναι ανεξάρτητες τμ ροερχόμενες αό μία κατανομή Posson Σε αυτή την ερίτωση η αό κοινού σ των συχνοτήτων των κελιών θα είναι f ( n; P( n,,,, I,,,, I n e n! Εδώ, όλα τα αθροίσματα,, είναι τυχαίες μεταβλητές και μάλιστα ακολουθούν κατανομή Posson με μέσες τιμές,, αντίστοιχα β Μία άλλη ερίτωση ου ροκύτει αό την αραάνω είναι να θεωρήσουμε (ράγμα αρκετά σύνηθες ότι το συνολικό λήθος του δείγματος δεν είναι τυχαίο αλλά ροκαθορισμένο Σε αυτή την ερίτωση, αοδεικνύεται εύκολα ότι η αό κοινού συνάρτηση ιθανότητας των συχνοτήτων των κελιών θα είναι η ολυωνυμική: f ( n; P( n,,,, I,,,, n I e n n! n n e! n,! n!, n όου και εομένως /, γ Μία άλλη ερίτωση ροκύτει όταν τα αθροίσματα των γραμμών δεν είναι τυχαία αλλά ροκαθορισμένα Σε αυτή την ερίτωση, η αό κοινού συνάρτηση ιθανότητας των συχνοτήτων στην -γραμμή (,,, θα είναι η ολυωνυμική: f ( n ; P( n,,,, n n n e e n! n! n! n! n όου / και εομένως Εομένως η αό κοινού σ όλων των Ν θα ροκύτει (υοθέτοντας ανεξαρτησία μεταξύ των γραμμών αό ένα γινόμενο ολυωνυμικών: n! n f ( n ; I n! - Στις prospectve μελέτες τα αθροίσματα των γραμμών είναι συνήθως ροκαθορισμένα και θεωρούμε τις Ι το λήθος -διάστατες μεταβλητές κάθε γραμμής (,,, ως ανεξάρτητες ολυωνυμικές - Στις retrospectve μελέτες τα αθροίσματα των στηλών είναι συνήθως ροκαθορισμένα και θεωρούμε τις το λήθος I-διάστατες μεταβλητές κάθε στήλης (,,, I ως ανεξάρτητες ολυωνυμικές - Στις cross-sectonal μελέτες τo συνολικό μέγεθος του δείγματος είναι ροκαθορισμένο και θεωρούμε την I -διάστατη μεταβλητή (,,, I ως ολυωνυμική 5 Εκτιμήτριες μέγιστης ιθανοφάνειας Ας εξετάσουμε τις εκτιμήτριες μέγιστης ιθανοφάνειας (MLE s των στην ερίτωση ου έχουμε ολυωνυμική κατανομή Η log-lelhood συνάρτηση είναι της μορφής ( :

4 n! l( log L( log log! c +, (, (,, log +, c + log c + log +,, (, (, log(, (, (, και θέτοντας h l( h h h, : (, (, h (για ( h, (, ροκύτει ότι ˆ ˆ / και εομένως, h h ˆ ˆ ˆ ˆ (, : (, (,, : (, (, Άρα ˆ / και ˆh h / p Αν τώρα υοθέσουμε ότι οι Χ,Υ είναι ανεξάρτητες τότε όως είδαμε αραάνω και σε αυτή την ερίτωση οι MLE s όμοια είναι: και εομένως ˆ ˆ ˆ p p / p p 6 Έλεγχος καλής ροσαρμογής Έστω ότι ειθυμούμε να ελέγξουμε την υόθεση H :,,, I,,, (τα είναι ίσα με κάοιες ροκαθορισμένες τιμές με Αν ισχύει η Η τότε οι αναμενόμενες συχνότητες στα κελιά είναι O Pearson (9 ρότεινε την εξής στατιστική συνάρτηση (Χ του Pearson (, για την οοία αέδειξε ότι ασυμτωτικά ακολουθεί χι-τετράγωνο κατανομή με I βαθμούς ελευθερίας Μεγάλες τιμές του Χ υοδηλώνουν μεγάλες αοκλίσεις των αρατηρούμενων αό τα α- ναμενόμενα και εομένως αορρίτουμε σε εσ α την Η όταν > χ I ; a (, Σε ορισμένες εριτώσεις οι τιμές δεν είναι λήρως καθορισμένες αλλά εξαρτώνται αό ένα μικρότερο σύνολο αό t άγνωστες αραμέτρους οι οοίες εκτιμώνται αό τα δεδομένα Σε αυτή την ερίτωση η στατιστική συνάρτηση Χ υολογίζεται με βάση τα εκτιμώμενα ( ˆ ˆ Ο RA Fsher (9 αέδειξε (αρά τον αντίθετο ισχυρισμό και τις σφοδρές αντιρρήσεις του Pearson ότι χρησιμοοιώντας εκτιμώμενα αντί τα ακριβή, οι βαθμοί ελευθερίας της χι-τετράγωνο κατανομής του Χ μειώνονται κατά t ( λήθος αό εκτιμώμενες αραμέτρους ου χρησιμοοιήθηκαν για την εκτίμηση των, και εομένως θα αορρίτουμε την Η όταν, ( ˆ > χ I t; a ˆ

5 7 Έλεγχος ανεξαρτησίας Στους διδιάστατους ίνακες συνάφειας με ροκαθορισμένο μέγεθος δείγματος (ολυωνυμικό μοντέλο ο έλεγχος της υόθεσης της ανεξαρτησίας γράφεται ως εξής: H : για κάθε, Για τον έλεγχο της αραάνω υόθεσης μορούμε να χρησιμοοιήσουμε είτε το Χ του Pearson ου εριγράψαμε σε ροηγούμενη αράγραφο, είτε το λόγο των ιθανοφανειών α Έλεγχος μέσω του Χ του Pearson Σε αυτή την ερίτωση έχουμε τον έλεγχο της υόθεσης H : όου Εομένως τα δεν είναι γνωστά αλλά όως είδαμε αραάνω εκτιμώνται αό τα ˆ p p Σύμφωνα και με σχόλια αραάνω αραγράφου, αορρίτουμε την Η όταν ( ˆ > χ ˆ, ( I ( ; a όου ˆ ˆ p p / Οι βε της Χ είναι (Ι ( διότι για την εκτίμηση των (ή ισοδύναμα των χρησιμοοιήσαμε τις Ι εκτιμήτριες p,,,, I και τις I εκτιμήτριες p,,,, (σημειώνεται ότι p I p, p p Συνεώς βε I (I ( (I ( β Έλεγχος μέσω του γενικευμένου λόγου ιθανοφανειών Είναι γνωστό (Wls (935, 938 ότι κάτω αό κατάλληλες συνθήκες ομαλότητας της ιθανοφάνειας L( η στατιστική συνάρτηση sup L( Θ log sup l( sup l( χ d( Θ d( Θ sup L( Θ n Θ Θ (d(θ διάσταση του χώρου Θ Αν λοιόν θέλουμε να ελέγξουμε την υόθεση της ανεξαρτησίας H : στο ολυωνυμικό μοντέλο των ινάκων συνάφειας, αρκεί να υολογίσουμε τη συνάρτηση (lelhood-rato ch-square statstc sup H H l( sup l( sup H H H και συνεώς αορρίτουμε την Η όταν G, log sup H, log log log log,,, ˆ : log > χ ( I (, ˆ διότι βε d(θ d(θ (I (I + (I ( όου Θ και Θ εδώ είναι οι αραμετρικοί χώροι υό την Η και Η Η αντίστοιχα Σημειώνεται ότι το Χ και το G είναι ίσα ασυμτωτικά Το Χ συνήθως συγκλίνει ιο γρήγορα στην χι-τετράγωνο κατανομή αό ότι το G H χι-τετράγωνο ροσέγγιση της κατανομής του G δεν είναι καλή όταν / I < 5 Αντίθετα, το Χ ροσεγγίζεται καλύτερα αό την χ ακόμη και για / I με την ροϋόθεση ο ίνακας να μην εριέχει ολύ μικρές ή σχετικά μεγάλες αναμενόμενες συχνότητες

6 Πίνακες συνάφειας χρησιμοοιώντας γενικευμένα γραμμικά μοντέλα Παραάνω είδαμε ως μορούμε να μελετήσουμε διδιάστατους ίνακες συνάφειας χωρίς να χρειαστεί να καταφύγουμε σε αοτελέσματα της θεωρίας των γενικευμένων γραμμικών μοντέλων (GLM Εάν όμως ειθυμούμε να μελετήσουμε ίνακες συνάφειας με ερισσότερες αό δύο διαστάσεις τότε o υολογισμός των MLE s δεν είναι άντα τόσο αλός και θα ρέει αναγκαστικά να βασιστούμε στη γενική θεωρία των γενικευμένων γραμμικών μοντέλων Ειλέον η θεωρία των GLM ροσφέρει ένα θεωρητικό λαίσιο για την ενιαία μελέτη των ινάκων συνάφειας όλων των διαστάσεων Aς δούμε ως μορεί να ενταχθεί η μελέτη των ινάκων συνάφειας στα GLM ξεκινώντας αό την αλούστερη ερίτωση των διδιάστατων ινάκων συνάφειας Μελέτη διδιάστατων ινάκων χρησιμοοιώντας γενικευμένα γραμμικά μοντέλα Όως είδαμε στην ροηγούμενη αράγραφο, στους διδιάστατους ίνακες μορούμε να θεωρήσουμε τα εξής μοντέλα: Μοντέλο Posson Ισχύει ότι E( και η υόθεση της ανεξαρτησίας (γραμμών και στηλών μεταφράζεται ως εξής: E ( Πολυωνυμικό μοντέλο Ισχύει ότι E( n και η υόθεση της ανεξαρτησίας μεταφράζεται ως εξής: E ( n 3 Μοντέλο γινομένου ολυωνυμικών Ισχύει ότι E( n n / και η υόθεση της ο- μοιογένειας (ίδια κατανομή των (,,, σε κάθε γραμμή μεταφράζεται ως εξής: E ( n Παραμετροοίηση του μοντέλου Παρατηρούμε ότι οι συνήθεις υοθέσεις (ανεξαρτησία, ίδια κατανομή στις γραμμές κτλ μορούν να εκφραστούν ως ολλαλασιαστικά μοντέλα στα οοία οι αναμενόμενες συχνότητες είναι ίσες με γινόμενα εριθωρίων ιθανοτήτων και ροκαθορισμένων αθροισμάτων συχνοτήτων Συνεώς, κάτω αό αυτές τις υοθέσεις ο λογάριθμος των αναμενόμενων συχνοτήτων μορεί να γραφεί στη (ροσθετική τώρα μορφή η log log E( x T β για κατάλληλες αραμέτρους β Μία αρκετά βολική αραμετροοίηση του μοντέλου είναι η ακόλουθη όου µ η η η η η η η η + η I I η η, η I η, η I η, και εομένως η log + µ + λ + λ λ Το μοντέλο αυτό εριγράφει εακριβώς οοιοδήοτε σύνολο αό αναμενόμενες συχνότητες (λήρες ή κορεσμένο μοντέλο, saturated odel Οι αράμετροι λ θεωρούνται ως αοκλίσεις αό το γενικό μέσο μ, και είναι εύκολο να δούμε ότι αθροίζουν στο Εομένως υάρχουν Ι ανεξάρτητες αράμετροι γραμμών και ανεξάρτητες αράμετροι στηλών Αντίστοιχα, οι αλληλειδράσεις λ ικανοοιούν λ λ Εομένως (Ι ( αό αυτές τις αραμέτρους είναι γραμμικά ανεξάρτητες

7 Έλεγχοι ανεξαρτησίας Η αραάνω αραμετροοίηση είναι αρκετά βολική στην ερίτωση ου θέλουμε να κάνουμε έλεγχο της ανεξαρτησίας των Χ, Υ Για αράδειγμα, στο ολυωνυμικό μοντέλο η υόθεση της ανεξαρτησίας μορεί να εκφραστεί ως εξής: διότι αν η n + log + log η µ + λ + λ log E( logn + log + log log τότε είναι εύκολο να δούμε ότι λ log log h log log h, µ logn + log h + log h I h h I h h Εομένως, το μοντέλο ανεξαρτησίας των Χ, Υ είναι ειδική ερίτωση του αραάνω λήρους μοντέλου θεωρώντας ότι λ (οι αράμετροι λ αντικατοτρίζουν αόκλιση αό την ανεξαρτησία Το λήρες μοντέλο έχει +(Ι +( +(I ( I ανεξάρτητες αραμέτρους, ενώ το μοντέλο ανεξαρτησίας έχει +(Ι +( Ι+ ανεξάρτητες αραμέτρους Ο έλεγχος ανεξαρτησίας γίνεται εξετάζοντας αν το μοντέλο η µ + λ + λ είναι αοδεκτό 3 Μοντέλο κατανομής συχνοτήτων κελιών Ας θεωρήσουμε τώρα το αλούστερο μοντέλο για την κατανομή των συχνοτήτων των κελιών ου είναι το μοντέλο Posson (οι συχνότητες είναι ανεξάρτητες τμ ου ακολουθούν την κατανομή Posson με μέση τιμή Η αό κοινού συνάρτηση ιθανότητας των συχνοτήτων Ν των κελιών είναι της μορφής f ( n; I n e n! όου οι μέσες τιμές εξαρτώνται αό κάοιες αραμέτρους β μέσω μιας σχέσης της μορφής ln ln E( ανάλογα με το μοντέλο Παρατηρούμε ότι η αραάνω κατανομή f ( n; ανήκει στην εκθετική οικογένεια κατανομών και μάλιστα τα εξαρτώνται αό ένα μικρότερο σύνολο αραμέτρων (χ κάοιες αό τις µ με λογαριθμική συνάρτηση σύνδεσης (δηλαδή η σχέση των με τα µ είναι «λογαριθμογραμμική», loglnear Εομένως έχουμε το κλασσικό γενικευμένο γραμμικό μοντέλο και οι εκτιμήτριες μέγιστης ιθανοφάνειας μορούν να βρεθούν χρησιμοοιώντας τις γνωστές εαναλητικές μεθόδους (Fsher s scorng ethod Ο Brch (963 αέδειξε ότι οι εκτιμήτριες μέγιστης ιθανοφάνειας στα loglnear μοντέλα είναι ίδιες είτε ρόκειται για μοντέλο Posson είτε για ολυωνυμικό μοντέλο είτε για μοντέλο ου είναι γινόμενο ολυωνυμικών Η μόνη συνθήκη για να ισχύει αυτό είναι να εριέχονται στο μοντέλο οι αράμετροι οι οοίοι αντιστοιχούν σε ροκαθορισμένα αθροίσματα Για αράδειγμα, αν σε διδιάστατο ίνακα συνάφειας τα n είναι ροκαθορισμένα, τότε μορούμε για την εκτίμηση των αραμέτρων να χρησιμοοιήσουμε το μοντέλο Posson αρκεί να συμεριλάβουμε και την αράμετρο ου αντιστοιχεί στο άθροισμα n, δηλαδή το λ, ώστε οι εκτιμημένες αναμενόμενες τιμές ικανοοιούν ότι ˆ n για κάθε Εομένως θα θεωρούμε άντα το μοντέλο Posson εξασφαλίζοντας όμως ότι ικανοοιείται η αραάνω συνθήκη x T β 4 Έλεγχος καλής ροσαρμογής Για διδιάστατους ίνακες συνάφειας, η στατιστική συνάρτηση ου ροκύτει αό το γενικευμένο λόγο ιθανοφανειών (lelhood rato statstc ή Devance και το χι-τετράγωνο του Pearson αντίστοιχα είναι

8 G log, ( ˆ ˆ ˆ, Όταν το μοντέλο είναι σωστό, οι αραάνω στατιστικές συναρτήσεις ακολουθούν ασυμτωτικά χιτετράγωνο κατανομή Οι βε είναι ίσοι με το λήθος των αραμέτρων στο λήρες μοντέλο μείον το λήθος των (ανεξάρτητων αραμέτρων στο μοντέλο ου εξετάζουμε Άρα αορρίτουμε το εκάστοτε μοντέλο σε εσ α αν > ή G χ df ; a >, χ df ; a Τα δε και οι έλεγχοι για τις αραμέτρους του μοντέλου γίνονται σύμφωνα με τη γενική θεωρία GLM Μελέτη τριδιάστατων ινάκων χρησιμοοιώντας γενικευμένα γραμμικά μοντέλα Σε ίνακες συνάφειας με τρεις διαστάσεις (Χ, Υ, κατηγορικές μεταβλητές με Ι,, K στάθμες αντίστοιχα μορούμε και άλι να θεωρήσουμε τα μοντέλα: Posson: Οι συχνότητες Ν σε κάθε κελί είναι ανεξάρτητες και ακολουθούν κατανομή Posson με μέση τιμή Πολυωνυμικό: Η αό κοινού κατανομή των συχνοτήτων Ν ακολουθεί ολυωνυμική κατανομή με αραμέτρους n και (το γενικό άθροισμα είναι ροκαθορισμένο, n 3 Γινόμενο Πολυωνυμικών: Αν κάοια αό τα αθροίσματα (χ των γραμμών σε κάθε στρώμα ή των στρωμάτων είναι ροκαθορισμένα τότε η αό κοινού κατανομή των συχνοτήτων Ν είναι ένα γινόμενο κατάλληλων ολυωνυμικών κατανομών Τα αραάνω μοντέλα γενικεύονται και σε ερισσότερες διαστάσεις Παραμετροοίηση του μοντέλου Και σε ίνακες συνάφειας με ερισσότερες αό δύο διαστάσεις οι συνήθεις υοθέσεις (χ ανεξαρτησία μεταξύ Χ,Υ,Ζ μορούν να εκφραστούν ως ολλαλασιαστικά μοντέλα στα οοία οι αναμενόμενες συχνότητες είναι ίσες με γινόμενα εριθωρίων ιθανοτήτων και ροκαθορισμένων αθροισμάτων συχνοτήτων Συνεώς, και στις τρεις διαστάσεις υό τις συνήθεις υοθέσεις ο λογάριθμος των αναμενόμενων συχνοτήτων γράφεται στη μορφή η log log E( για κατάλληλες αραμέτρους β Η ανάλογη με τη διδιάστατη ερίτωση αραμετροοίηση εδώ είναι λ µ η η η η η η η η η η + η η η η + η η η η + η x T β λ η η η η η + η + η + η και αντικαθιστώντας ροκύτει το λήρες μοντέλο (saturated odel η + log µ + λ + λ + λ + λ + λ + λ λ Τα αθροίσματα των αραμέτρων ως ρος οοιοδήοτε δείκτη είναι ίσο με : λ λ λ λ λ λ Το λήρες μοντέλο ροφανώς έχει IΚ ανεξάρτητες αραμέτρους (ίσες με το λήθος κελιών του ίνακα Στο εξής θα θεωρήσουμε ιεραρχικά (herarchcal μοντέλα Στα μοντέλα αυτά όταν υάρχει η αλληλείδραση μεταξύ κάοιων μεταβλητών τότε στο μοντέλο θα υάρχουν και οι μικρότερες αλλη-

9 λειδράσεις καθώς και οι κύριες ειδράσεις μεταξύ των συγκεκριμένων μεταβλητών Για αράδειγμα, αν στο μοντέλο υάρχει η λ τότε θα υάρχουν και οι λ ενώ χ αν υάρχει η λ τότε θα υάρχουν όλες οι ανά δύο αλληλειδράσεις των Χ,Υ,Ζ καθώς και οι κύριες ειδράσεις τους, δηλαδή θα έχουμε το λήρες μοντέλο Μερικά αό τα ιεραρχικά μοντέλα ου μορούν να θεωρηθούν σε έναν τριδιάστατο ίνακα συνάφειας δίνονται στον αρακάτω ίνακα: Loglnear Model Συμβολισμός, log µ + λ + λ + λ (Χ, Υ, Ζ log µ + λ + λ + λ + λ (ΧΥ, Ζ log log log µ + λ + λ + λ + λ + λ µ + λ + λ + λ + λ + λ + λ µ + λ + λ + λ + λ + λ + λ + λ (ΧΥ,ΥΖ (ΧΥ, ΥΖ, ΧΖ (ΧΥΖ Παρατήρηση Το στατιστικό ακέτο SPSS χρησιμοοιεί μια διαφορετική αραμετροοίηση η οοία δεν βασίζεται στον εριορισμό ότι τα αθροίσματα των αραμέτρων ως ρος οοιοδήοτε δείκτη είναι ίσο με (su-to-zero constrants Συγκεκριμένα, στο SPSS η αραμετροοίηση γίνεται έτσι ώστε να ικανοοιούνται οι εριορισμοί (χρησιμοοιούμε β αντί λ β I β β K β I β β K (corner-pont constrants Παρόλα αυτά, η σύνδεση των τύων ανεξαρτησίας και των όρων αλληλείδρασης ου εριέχονται στο μοντέλο αραμένει η ίδια με αραάνω Για αράδειγμα σε έναν 3 3 ίνακα συνάφειας ο ίνακας σχεδιασμού με τις αραμετροοιήσεις log µ + λ + λ και log α + + αντίστοιχα είναι (χρησιμοοιούμε μόνο τις ανεξάρτητες αραμέτρους β β log log log log log log log log log µ λ λ, λ λ log log log log log log log log log α β β β β Τύοι ανεξαρτησίας σε τριδιάστατους ίνακες συνάφειας Έστω οι ιθανότητες των IK κελιών με,, (ολυωνυμικό μοντέλο, οι Χ,Υ,Ζ είναι μεταβλητές αόκρισης α Οι Χ,Υ,Ζ είναι αμοιβαία ανεξάρτητες (utually ndependent όταν για κάθε,, ή ισοδύναμα όταν log µ + λ + λ + λ β Η μεταβλητή Υ είναι αό κοινού ανεξάρτητη (ontly ndependent αό τις Χ, όταν για κάθε,, ή ισοδύναμα όταν log µ + λ + λ + λ + λ (ανάλογες σχέσεις ισχύουν και όταν η Χ είναι ανεξάρτητη αό τις Υ,Ζ ή η Ζ είναι ανεξάρτητη αό τις Χ,Υ

10 γ Οι Χ, Υ είναι δεσμευμένα ανεξάρτητες (condtonally ndependent δεδομένης της Ζ όταν / για κάθε,, ή ισοδύναμα όταν log µ + λ + λ + λ + λ + λ (ανάλογες σχέσεις ισχύουν και όταν οι Χ, Ζ είναι δεσμευμένα ανεξάρτητες αό την Υ ή οι Υ, Ζ είναι δεσμευμένα ανεξάρτητες αό την Χ Είναι εύκολο να διαιστώσουμε ότι η αμοιβαία ανεξαρτησία αοδεικνύει αό κοινού ανεξαρτησία χ της Υ αό τις Χ,Ζ η οοία με τη σειρά της αοδεικνύει δεσμευμένη ανεξαρτησία των Χ,Υ δεδομένης της Ζ 3 Μοντέλο κατανομής συχνοτήτων κελιών Ας θεωρήσουμε αρχικά και εδώ το μοντέλο Posson (οι συχνότητες σε κάθε κελί είναι ανεξάρτητες τμ ου ακολουθούν την κατανομή Posson με μέση τιμή Η αό κοινού σ των συχνοτήτων Ν των κελιών σε τριδιάστατους ίνακες συνάφειας είναι της μορφής f ( n; I K n e n! όου οι μέσες τιμές εξαρτώνται αό κάοιες αό τις αραμέτρους µ ανάλογα με το μοντέλο (χ log µ + λ + λ + λ κάτω αό την υόθεση της αμοιβαίας ανεξαρτησίας Αν και σε ορισμένες εριτώσεις (χ υοθέσεις αμοιβαίας ανεξαρτησίας, αό κοινού ανεξαρτησίας, δεσμευμένης ανεξαρτησίας μορούμε να βρούμε κλειστές εκφράσεις για τις εκτιμήτριες ML όσων αό τις αραάνω αραμέτρους εριέχονται στο μοντέλο μεγιστοοιώντας την συνάρτηση ιθανοφάνειας, είναι γενικά ροτιμότερο (και αυτό γίνεται και αό τα ερισσότερα στατιστικά ακέτα να χρησιμοοιήσουμε τη θεωρία των γενικευμένων γραμμικών μοντέλων Παρατηρούμε ότι η αραάνω κατανομή f ( n; ανήκει στην εκθετική οικογένεια κατανομών και μάλιστα τα, εξαρτώνται αό ένα μικρότερο σύνολο αραμέτρων (χ κάοιες αό τις µ, με λογαριθμική συνάρτηση σύνδεσης (loglnear odel Εομένως και εδώ έχουμε το κλασσικό γενικευμένο γραμμικό μοντέλο και οι εκτιμήτριες μέγιστης ιθανοφάνειας μορούν να βρεθούν χρησιμοοιώντας τις γνωστές εαναλητικές μεθόδους Για αράδειγμα, υοθέτοντας αμοιβαία ανεξαρτησία των Χ,Υ,Ζ λαμβάνουμε το μοντέλο log µ + λ + λ + λ το οοίο εριέχει +(Ι +( +(K ανεξάρτητες αραμέτρους: β µ,,, ( I K Τα αοτελέσματα του Brch (963 ροφανώς ισχύουν και σε ερισσότερες αό δύο διαστάσεις Εομένως, οι εκτιμήτριες μέγιστης ιθανοφάνειας στα loglnear μοντέλα είναι ίδιες είτε ρόκειται για οοιοδήοτε μοντέλο (Posson, ολυωνυμικό, γινόμενο ολυωνυμικών αρκεί στο μοντέλο να εριέχονται οι αράμετροι οι οοίοι αντιστοιχούν στα ροκαθορισμένα αθροίσματα Πχ αν σε τριδιάστατο ίνακα συνάφειας τα n είναι ροκαθορισμένα, τότε μορούμε για την εκτίμηση των αραμέτρων να χρησιμοοιήσουμε το μοντέλο Posson αρκεί να συμεριλάβουμε και την αρά- μετρο ου αντιστοιχεί στο άθροισμα n, δηλαδή το λ ικανοοιούν ότι ˆ n για κάθε και, ώστε οι εκτιμημένες αναμενόμενες τιμές 4 Έλεγχος καλής ροσαρμογής Για τριδιάστατους ίνακες συνάφειας, η στατιστική συνάρτηση ου ροκύτει αό το γενικευμένο λόγο ιθανοφανειών (lelhood rato statstc ή Devance και το χι-τετράγωνο του Pearson αντίστοιχα είναι

11 G log,,, ˆ Όταν το μοντέλο είναι σωστό, οι αραάνω στατιστικές συναρτήσεις ακολουθούν ασυμτωτικά χιτετράγωνο κατανομή Οι βε της κατανομής αυτής είναι ίσοι με το λήθος των αραμέτρων στο λήρες μοντέλο μείον το λήθος των (ανεξάρτητων αραμέτρων στο μοντέλο ου εξετάζουμε:,, ( ˆ ˆ Μοντέλο βε Μοντέλο βε (,, IK I K+ (, (I (K (, (K (I (, K(I ( (, ( (IK (, I( (K (, (I (K (,, (I ( (K ( (οι αραάνω βε ισχύουν είτε έχουμε Posson είτε ολυωνυμικό μοντέλο Άρα αορρίτουμε το εκάστοτε μοντέλο σε εσ α αν > ή G χ df ; a > χ df ; a Τα δε και οι έλεγχοι για τις αραμέτρους του μοντέλου γίνονται και εδώ σύμφωνα με τη γενική θεωρία GLM 5 Σύγκριση μοντέλων Έστω δύο αραμετρικά μοντέλα Μ και M τέτοια ώστε το Μ εριέχεται στο Μ Αν ειθυμούμε να ελέγξουμε την υόθεση της μορφής: Η : «το Μ είναι σωστό» έναντι του μεγαλύτερου μοντέλου Η : «το Μ είναι σωστό», τότε σύμφωνα με το κριτήριο του γλ αορρίτουμε σε εσ α την Η όταν G > χ ( M M G ( M G ( M v v ; a Στους διδιάστατους και τριδιάστατους ίνακες συνάφειας έχουμε τα ακόλουθα μοντέλα:

12 Μοντέλα σε διδιάστατους ίνακες συνάφειας α Χ,Υ :μεταβλητές αόκρισης (το γενικό άθροισμα n είναι ροκαθορισμένο Ερμηνεία Μοντέλο βε, ανεξάρτητες n (, I I + Πλήρες μοντέλο n ( β Χ :μεταβλητή αόκρισης, Υ ερμηνευτική μεταβλητή (τα αθροίσματα n είναι ροκαθορισμένα Στα μοντέλα ρέει (αό την συνθήκη του Brch να εριλαμβάνεται ο όρος µ + λ Ερμηνεία Μοντέλο βε Η Χ έχει ίδια κατανομή σε όλες τις στάθμες της Υ n (, I I + Πλήρες μοντέλο n ( Μοντέλα σε τριδιάστατους ίνακες συνάφειας α Χ,Υ,Ζ :μεταβλητές αόκρισης, (το γενικό άθροισμα n είναι ροκαθορισμένο Ερμηνεία Μοντέλο βε,, αμοιβαία ανεξάρτητες n (,, IK I K+ ανεξάρτητη αό τις, n (, (K (I, ανεξάρτητες δεδομένης της n (, (I (K (ανεξάρτητες σε όλες τις στάθμες της Υ v Ανά δύο εξαρτημένες (η σχέση μεταξύ n (,, (I ( (K δύο μεταβλητών είναι η ίδια σε όλα τα είεδα της τρίτης μεταβλητής v Πλήρες μοντέλο n ( β Χ,Υ :μεταβλητές αόκρισης, Ζ: ερμηνευτική μεταβλητή (τα αθροίσματα n είναι ροκαθορισμένα Στα μοντέλα ρέει (συνθήκη Brch να εριλαμβάνεται ο όρος µ + λ (αό την συνθήκη του Brch Ερμηνεία Μοντέλο βε Οι Χ,Υ έχουν ίδια κατανομή σε όλες τις n (, (K (I στάθμες της Οι, ανεξάρτητες σε κάθε στάθμη της n (, K(I ( ερμηνευτικής μεταβλητής Πλήρες μοντέλο n ( γ Χ :μεταβλητή αόκρισης, Υ, Ζ: ερμηνευτικές μεταβλητές (τα αθροίσματα n είναι ροκαθορισμένα Στα μοντέλα ρέει (συνθήκη Brch να εριλαμβάνεται ο όρος µ + λ + λ + λ Ερμηνεία Μοντέλο βε Η Χ έχει ίδια κατανομή σε όλες τις στάθμες της Υ (για δεδομένη στάθμη της Ζ n (, K(I ( Η Χ έχει ίδια κατανομή σε όλες τις στάθμες των Υ,Ζ n (, (I (K Πλήρες μοντέλο n ( Στο SPSS τα αραάνω μοντέλα μορούν να εξετασθούν χρησιμοοιώντας τη διαδικασία Analyze / loglnear / General (αφού ρώτα θέσουμε τις αρατηρούμενες συχνότητες των κελιών ως βάρη: Data/ Weght cases Πχ το μοντέλο (, καθορίζεται αό την ειλογή Analyze/loglnear/General /odel:,, (an effects, *, * (nteractons