ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ Φαξ: cms@cms.org.cy, ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Να λύσετε και τις 1 ασκήσεις του Μέρους Α. 1. Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα (x 4 ημ3x + 5)dx. (x 4 ημ3x + 5)dx = x συν3x + 5x + c. Να υολογίσετε το όριο lim x x+ημx e x 1. x+ημx lim x e x 1 (= ), μη ειτρετή ράξη. x+ημx Εφαρμόζουμε κανόνα De L Hospil: lim x e x 1 = lim 1+συνx =. x e x 3. Να βρείτε τα τοικά ακρότατα και τα σημεία καμής της συνάρτησης y = 4x 3 1x, αν υάρχουν. y = 4x 3 1x, x R. dx = 1x 4x = 1x(x ). dx = x = ή x = d y dx = 4x 4 = 4(x 1). Για x = d y dx = 4 <. Άρα η συνάρτηση αρουσιάζει τοικό μέγιστο mx (,) 1

2 Για x = d y dx = 4 >. Άρα η συνάρτηση αρουσιάζει τοικό ελάχιστο min (, 16) d y dx = x = 1 Άρα Σ. Κ. (1, 8) x 1 + d y dx + y ΣΚ 4. Δίνεται η έλλειψη x + y β = 1, με α > β >. Αν η εστιακή αόσταση ΕΕ = 8 μονάδες και η εκκεντρότητα της είναι 4, να βρείτε τις τιμές του α και του β και να γράψετε την εξίσωση της έλλειψης. 5 Εστιακή αόσταση ΕΕ = 8 γ = 8 γ = 4 Εκκεντρότητα ε = 4 γ = 4 α = 5 5 α 5 Είσης, β = α γ = 5 16 = 9 β = 3. Η εξίσωση της έλλειψης είναι: x 5 + y 9 = 1 5. Δίνεται ο ίνακας A = ( 3 1 ). Να βρείτε τις ραγματικές τιμές των κ και λ, για τις οοίες ισχύει A κa + λi = (), όου I και () είναι ο μοναδιαίος και ο μηδενικός ίνακας αντίστοιχα. Είναι, Α κα + λι = () ( 3 1 ) ( 3 1 3κ κ ) + ( κ ) + (λ λ ) = ( ) ( κ κ ) + ( 6 κ ) + (λ λ ) = ( ) κ + λ 3 κ ( 6 κ + λ ) = ( ), κ + λ = α όου { 3 κ = 6 κ = + λ = { κ = 3 λ =

3 6. Δίνονται τα ψηφία,1,,3,4,5. Να βρείτε: (α) Πόσους τετραψήφιους αριθμούς μορούμε να σχηματίσουμε με τα ψηφία αυτά αν δεν ειτρέεται εανάληψη ψηφίων. (β) Πόσοι αό τους ιο άνω αριθμούς είναι άρτιοι. (α) Χρησιμοοιώντας την αρχή της ααρίθμησης, έχουμε: Χ Ε Δ Μ Άρα, το λήθος των τετραψήφιων ου μορούμε να κατασκευάσουμε με τα ιο άνω ψηφία, αν δεν ειτρέεται η εανάληψη ψηφίων, είναι: = 3 αριθμοί (β) Αριθμοί ου λήγουν σε : Αριθμοί ου λήγουν σε ή 4 : Χ Ε Δ Μ Χ Ε Δ Μ = 6 αριθμοί = 96 αριθμοί Αθροίζοντας τα ιο άνω, οι άρτιοι αριθμοί ου μορούμε να σχηματίσουμε είναι : = 156 αριθμοί 7. Δίνεται η υερβολή xy = και το σημείο της Α(1,). (α) Να δείξετε ότι η εξίσωση της κάθετης της υερβολής στο σημείο A είναι x y + 3 =. (β) Η κάθετη της υερβολής στο σημείο Α τέμνει ξανά την υερβολή στο σημείο Β. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο την ΑΒ. (α) Παραγωγίζοντας, έχουμε : x y = y + x dx = dx = y x, λ εφα = dx Α = λ καθα = 1 3

4 Άρα, η εξίσωση της κάθετης της υερβολής στο σημείο της Α είναι η : y = 1 (x 1) y 4 = x 1 x y + 3 = (β) Σημείο Β : x y + 3 = x = y 3 x y = } (y 3) y = y 3y = y 1, = ( 3)± 5 4 = 3±5 4 = { y 1 = = y = = 1 { y B = 1 y A = x B = 4 Β ( 4, 1 ) Ο ζητούμενος κύκλος έχει διάμετρο την ΑΒ. Θεωρούμε το σημείο Μ το μέσο της. Μ ( 1 4, 1 ) Μ ( 3, 3 4 ) Η ακτίνα R του ζητούμενου κύκλου είναι η : R = ΑΜ = (1 + 3 ) + ( 3 4 ) = = = μονάδες Εομένως, η εξίσωση του κύκλου είναι η : (x + 3 ) + (y 3 4 ) = x + y + 6x 3y 1 = 8. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω. (α) Να γράψετε ότε τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα. (β) Να αοδείξετε ότι P(A B) = P(A B ) = P(A) P(A B). (α) Δύο ενδεχόμενα Α και Β του ιδίου δειγματικού χώρου Ω είναι ασυμβίβαστα όταν η ραγματοοίηση του ενός συνεάγεται την μη ραγματοοίηση του άλλου και η μη ραγματοοίηση του ενός δεν συνεάγεται κατ ανάγκην την ραγματοοίηση του άλλου. 4

5 Ισοδύναμα, δύο ενδεχόμενα Α και Β του ιδίου δειγματικού χώρου Ω είναι ασυμβίβαστα αν Α Β =. (β) Τα ενδεχόμενα Α Β και Α Β είναι ασυμβίβαστα. Ισχύει : (Α Β) (Α Β ) = Α P[(A B) (A B )] = P(A) P(A B) + P(A B ) = P(A) P(A B ) = P(A) P(A B) 9. Να υολογίσετε: (α) Το εμβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τις καμύλες y = ημx, y = συνx, με x 4, και τον άξονα Oy. (β) Τον όγκο του στερεού ου αράγεται αό την λήρη εριστροφή του ιο άνω χωρίου γύρω αό τον άξονα Ox. (α) Σημείο Α : ημx = συνx εφx = 1 x = 4. Άρα Α ( 4, ) Ε χωρίου = 4(συνx ημx)dx = [ημx + συνx] 4 = (ημ + συν ) (ημ + συν) 4 4 = + 1 = ( 1) τ. μ. (β) V x = 4(συν x ημ x)dx = 4 συνxdx = [ ημx ] 4 = ημ = κ. μ. 5

6 1. Συνάρτηση f: R R, με συνεχή δεύτερη αράγωγο στο R, αρουσιάζει τοικό ακρότατο στο x = και η καμύλη της ερνά αό το σημείο A(,1). Αν ισχύει (f (x) + xf (x))dx = 3, να υολογίσετε το f(). Η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη στο R και αρουσιάζει τοικό ακρότατο για x =. Συνεώς, f () =. Ειλέον, η γραφική αράσταση της f ερνά αό το σημείο Α(, 1). Εομένως, f() = 1. (f (x) + xf (x))dx = 3 f (x)dx f (x)dx f (x)dx + [x f (x)] f (x)dx f() 1 = 3 f() = 4 = 3 + xd(f (x)) = 3 + f () f () = 3 [f(x)] = 3 f() f() = 3 ΜΕΡΟΣ B Να λύσετε και τις 5 ασκήσεις του Μέρους Β'. 1. Δίνεται η συνάρτηση y = x x +x. Αφού βρείτε το εδίο ορισμού, τα σημεία τομής με τους άξονες των συντεταγμένων, τα τοικά ακρότατα και τις ασύμτωτες της συνάρτησης, να την αραστήσετε γραφικά. y = x x + x x + x = (x + )(x 1) = x = ή x = 1 Πεδίο ορισμού: A = R {,1} Αν x = y = 1 Αν y = x = } τα σημεία τομής είναι (,1) και (,) dx = 1 (x + x ) (x )(x + 1) (x + x ) = = x + 4x (x + x ) dx = x + 4x = x = ή x = 4 6

7 x dx + + y min mx Άρα για x = y min = 1 min(,1) για x = 4 y mx = 1 9 mx (4, 1 9 ) lim y = y = οριζόντια ασύμτωτη. x ± 1 lim y = = + x 1 1 lim y = = x } 4 lim y = = x + 4 lim y = = + x + } x = 1 κατακόρυφη ασύμτωτη. x = κατακόρυφη ασύμτωτη. 7

8 . Δίνεται η καμύλη y = e x και σημείο της Α(κ, λ), κ. (α) Να βρείτε την εξίσωση της εφατομένης της καμύλης στο σημείο Α. (β) Αν η εφατομένη στο σημείο Α τέμνει τους θετικούς ημιάξονες Ox και Oy σε σημεία Β και Γ αντίστοιχα, να δείξετε ότι το εμβαδόν Ε(κ) του τριγώνου ΟΒΓ (Ο η αρχή των αξόνων) είναι Ε(κ) = 1 e κ (κ + 1). (γ) Να βρείτε την τιμή του κ έτσι ώστε το εμβαδόν Ε(κ) του τριγώνου ΟΒΓ να είναι μέγιστο. (α) y = e x dx = e x λ εφ = dx x=k = e κ Εξίσωση της εφατομένης είναι: y λ = e κ (x κ) (1) Εειδή το σημείο Α(κ, λ) ανήκει στην γραφική αράσταση της συνάρτησης y τότε, λ = e κ () Αό τις (1) και () έχουμε ότι, y + e k x = e κ (1 + κ) είναι η εξίσωση εφατομένης. (β) Τα σημεία τομής της εφατομένης με τους άξονες είναι: Αν y = e κ x = e κ (1 + κ) x = 1 + κ B(1 + κ, ) Αν x = y = e κ (1 + κ) Γ(, e κ (1 + κ)) (OB) (OΓ) E(κ) = = e κ (1 + κ)(1 + κ) (γ) E (κ) = 1 [ e κ (1 + κ) + (1 + κ)e κ ] = 1 e κ (1 + κ)(1 κ) = 1 e κ (1 + κ) E (κ) = κ = 1, κ = 1 (αορρίτεται) 8

9 κ 1 + E (κ) + E(κ) mx Άρα για κ = 1 το εμβαδόν του τριγώνου ΟΒΓ είναι μέγιστο. 3. Έξι αντρεμένα ζευγάρια βρίσκονται σε μια αίθουσα. Ειλέγουμε τυχαία τέσσερα άτομα αό αυτά. Να βρείτε: (α) Την ιθανότητα να ειλεγούν αντρεμένα ζευγάρια μόνο. (β) Την ιθανότητα να μην ειλεγεί κανένα αντρεμένο ζευγάρι. (γ) Την ιθανότητα να ειλεγεί ένα μόνο αντρεμένο ζευγάρι. Δυνατές εριτώσεις Ν(Ω) = ( 1 4 ) = 495. (α) Ευνοϊκές εριτώσεις : Ν(Α) = ( 6 Ν(Α) ) = 15. Άρα P(A) = = 15 = 1. Ν(Ω) (β) Πρώτος τρόος Πρέει να ειλέξουμε 4 άτομα μη αντρεμένα μεταξύ τους. Αυτό ειτυγχάνεται, αν ειλέξουμε 4 αό τα 6 ζευγάρια και στη συνέχεια αό κάθε ζευγάρι ένα αό τα δυο άτομα. Άρα οι ευνοϊκές εριτώσεις είναι: Ν(Β) = ( 6 4 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) = 4. Εομένως, P(Β) = Ν(Β) Ν(Ω) = = Δεύτερος τρόος Το ρώτο άτομο ειλέγεται κατά 1 τρόους, το δεύτερο κατά 1 τρόους ( εξαιρούνται το άτομο ου ειλέγηκε και ο/η σύζυγός του), το τρίτο άτομο κατά 8 τρόους (εξαιρούνται τα δυο άτομα ου ειλέγηκαν και οι σύζυγοί τους) και όμοια το τέταρτο άτομο κατά 6 τρόους. Όμως δεν μας ενδιαφέρει η σειρά, συνεώς οι ευνοϊκές εριτώσεις είναι: Εομένως, P(Β) = Ν(Β) Ν(Ω) = = Ν(Β) = ! = 4. 9

10 (γ) Πρώτος τρόος Πρέει να ειλέξουμε 1 ζευγάρι αό τα 6. Στη συνέχεια αό τα υόλοια 5 ζευγάρια να ειλέξουμε ζευγάρια και κατόιν 1 άτομο αό κάθε ζευγάρι. Άρα οι ευνοϊκές εριτώσεις είναι: Ν(Γ) = ( 6 1 ) (5 ) ( 1 ) ( 1 ) = 4. Εομένως, P(Γ) = Ν(Γ) Ν(Ω) = = Δεύτερος τρόος P(Γ) = 1 P(Γ ) = 1 P(A B) = 1 P(A) P(B) = = (A B = ). 4. Δίνεται η αραβολή y = 4x με εστία Ε και τυχαίο σημείο της A(, ),. Φέρουμε ευθεία κάθετη στην ΑΕ στο σημείο Ε, η οοία τέμνει τη διευθετούσα της αραβολής στο σημείο B. (α) Να δείξετε ότι η BA είναι η εφατομένη της αραβολής στο σημείο A. (β) Να βρείτε την εξίσωση της καμύλης στην οοία ανήκει ο γεωμετρικός τόος της κορυφής Γ του ορθογωνίου αραλληλογράμμου ΑΕΒΓ, καθώς το Α κινείται άνω στην αραβολή. (α) λ ΑΕ = 1, ±1 AB BE λ BE = 1 1

11 Εξίσωση της ΒΕ: y = 1 (x 1) Αν x = 1 y B = 1 Άρα λ AB = λ εφ = 1 = 1 1 d dx = = 1 d B ( 1, 1 ) Εειδή λ ΑΒ = λ εφ και Α κοινό σημείο έχουμε ότι η ευθεία ΑΒ ταυτίζεται με την εφατομένη στο σημείο Α. (β) Το σημείο Μ είναι το μέσο της ΓΕ και ΑΕ. x M = 1 = x Γ + 1 x Γ + 1 = + 1 x Γ = y M = + 1 = y Γ 3 1 = y Γ y Γ = 3 1 Άρα Γ (, 3 1 ) x = = x + y = 3 1 } y = (3 1) } [3(x + ) 1] y = y (x + ) = (3x + 5) x + Αν = ±1 τότε Α(1, ±), B( 1,) και η κορυφή Γ( 1, ±). Οι συντεταγμένες του σημείου Γ εαληθεύουν την εξίσωση του γεωμετρικού τόου. 5. Δίνονται δύο συνεχείς συναρτήσεις f: R R και g: R R, τέτοιες ώστε f(x) + f( x) = g(x), x R. (α) Με τη βοήθεια της αντικατάστασης x = u ή με οοιοδήοτε άλλο τρόο, να δείξετε ότι f(x)dx = g(x)dx. (β) Να βρείτε την τιμή του ολοκληρώματος 4 I = εφ x dx x 4 11

12 (α) 1 ος τρόος: x = u dx = du και για x = u =, ενώ για x = u =. α α Άρα f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx = f( u)du + f(x)dx = f( x)dx + f(x)dx = (f( x) + f(x))dx = g(x)dx. ος τρόος: Αφού η f συνεχής στο R, είναι ολοκληρώσιμη στο [ α, α]. Έστω F μια αράγουσα της f. α α α f(x)dx = [F(x)] και = F() F( ) g(x)dx = (f(x) + f( x))dx = [F(x)] [F( x)] = F() F() F( ) + F() = F() F( ). (β) Θεωρώ τη συνάρτηση f(x) = εφ x, x [, ]. Τότε, 1+3 x 4 4 f( x) = εφ ( x) 1+3 x = εφ x 1+3 x 3x. Για κάθε x [ 4, 4 ], g(x) = f(x) + f( x) = εφ x 1+3 x + εφ x 1+3 x 3x = (1 + 3 x ) εφ x 1+3 x = εφ x. Λόγω του ερωτήματος (α), έχουμε: I = 4 εφ x x dx = 4(τεμ x 1) dx = 4 εφ x dx =[εφx x] 4 =