Δ Ι Π Λ Α Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α

Transcript

1 Α. Διλά ολοκληρώματα Θεωρούμε τη συνάρτηση z f, ου είναι ορισμένη και συνεχής σε ένα κλειστό και φραγμένο χωρίο Τ του ειέδου O. Υοθέτουμε ότι εμβαδόν του χωρίου Τ είναι ίσο με Α. ΔΑ i Διαμερίζουμε το χωρίο Τ με οριζόντιες i και κατακόρυφες γραμμές σε ορθογώ- ( i, i ) νιες υοεριοχές i, i,,..., n και έστω ΔΑi ΔΔ, i,,..., n το εμβαδόν του ορθογωνίου i. Έστω είσης τυχαίο σημείο i, i του ορθογω- νίου i. n Σχηματίζουμε το άθροισμα S f, ΔA () n i i i i Αν η f είναι συνεχής μορούμε να έχουμε ορθογώνιες υοεριοχές i τέτοιες ώστε τα Δ και Δ να τείνουν στο μηδέν. Τότε το όριο του αθροίσματος () ονομάζεται διλό ολοκλήρωμα της f στη εριοχή Τ και συμβολίζεται με f, da ή f, dd Δηλαδή είναι f, da lim f, ΔΑi n ΔA i Γεωμετρική ερμηνεία του διλού ολοκληρώματος. Όταν είναι f, για κάθε, τότε το διλό ολοκλή- f, dd εκφράζει τον ρωμα όγκο του στερεού ου ερικλείεται αό την ειφάνεια S με εξίσωση z f,, το χωρίο Τ και την κυ- λινδρική ειφάνεια ου έχει οδηγό καμύλη το σύνορο του χωρίου Τ και γενέτειρα τον άξονα z z. i i z z O z f (, ) O i (, ) i zi f ( i, i) Δ Α i

2 Ιδιότητες του διλού ολοκληρώματος. cf, dd c f, dd, c. f, g, dd f, dd g, dd f, dd αν f,.. f, dd για κάθε g, dd αν f, g, 5. f, dd f, dd f, dd, για κάθε, όου, είναι δύο μη αλληλοκαλυτόμενες εριοχές με σύνορα ευθ. τμήματα ή ομαλές καμύλες, στις οοίες αναλύεται η εριοχή Τ. Υολογισμός του διλού ολοκληρώματος Για τον υολογισμό του διλού ολοκληρώματος κάνουμε χρήση των θεωρημάτων ου ακολουθούν, ου είναι γνωστά ως θεωρήματα του Fubini. Θεώρημα. Αν η συνάρτηση f, είναι συνεχής σε μια ορθογώνια εριοχή : α β και γ δ τότε: δ β β δ f, dd f, dd f, dd. γ α α γ Θεώρημα. Έστω ότι η συνάρτηση f, είναι συνεχής σε μια εριοχή Τ όου: i) Τ, : α β και φ g α,β τότε:, (σχ. ) με φ, g συνεχείς στο β g f, dd f, dd α φ

3 g() Τ φ() δ γ h() t() Τ Ο α (σχ. ) β Ο (σχ. ) ii) Τ, : γ δ και h σ γ,δ τότε:, (σχ. ) με h, σ συνεχείς στο δ σ f, dd f, dd γ h Σημείωση Όταν η συνάρτηση f, είναι συνεχής στην ορθογώνια εριοχή : α,β γ,δ και είναι f, f f,, τότε ισχύει β f, dd f d f d α γ δ Μετασχηματισμός του διλού ολοκληρώματος Θεωρούμε το διλό ολοκλήρωμα f, dd και το μετασχηματισμό hu,υ και gu,υ Αν ισχύουν: i) Ο μετασχηματισμός αυτός αεικονίζει αμφιμονοσήμαντα την κλειστή εριοχή Τ του ειέδου Ο, σε μια κλειστή εριοχή του ειέδου Οuυ. ii) Οι συναρτήσεις hu,υ και g u, υ είναι συνεχείς με συνεχείς μερικές αραγώγους στη εριοχή.

4 iii) Η Ιακωβιανή ορίζουσα, u,υ είναι διάφορη του μηδενός. Τότε το διλό ολοκλήρωμα της f, άνω στη εριοχή Τ και το διλό ολοκλήρωμα της f hu,υ, gu,υ άνω στη εριοχή συνδέονται με τη σχέση:, f, dd f h u, υ, gu,υ dudυ u,υ Σημείωση.,. Είναι dd u,υ dudυ. Στη ερίτωση μετασχηματισμού σε ολικές συντεταγμένες r cosθ και rsinθ είναι, d d dr d r dr d r, Εφαρμογές των διλών ολοκληρωμάτων. Υολογισμός εμβαδού ειέδου χωρίου. Το εμβαδόν Ε ειέδου χωρίου Τ δίνεται αό τον τύο ή Ε dd, (καρτεσιανές συντεταγμένες) Ε r drd, (ολικές συντεταγμένες). Υολογισμός όγκων. Έστω f, συνεχής συνάρτηση στο, κλειστό τόο Τ του ειέδου Ο με f,,. Θεωρούμε κυλινδρική ειφάνεια με οδηγό το σύνορο του τόου Τ και γενέτειρα αράλληλη ρος τον άξονα z z. z O Το στερεό ου ερικλείεται αό την κυλινδρική ειφάνεια τον τόο Τ και την ειz f (, ) S

5 φάνεια S με εξίσωση z f, έχει όγκο V ου δίνεται αό τον τύο: V f, dd, (καρτεσιανές συντεταγμένες) ή Σημείωση. V f r,, r, rdr d, (ολικές συντεταγμένες) Αν το στερεό ερικλείεται αό κυλινδρική ειφάνεια με οδηγό το σύνορο του τόου Τ και γενέτειρα αράλληλη ρος τον άξονα z z και τις ειφάνειες S και S με εξισώσεις z f, και z f, τοιες ώστε τέ-, f, f,,, τότε ο όγκος του V δίνεται αό τον τύο V f, f, dd z O S S. Όγκος στερεού αό εριστροφή. Έστω χωρίο Τ του ειέδου Ο. i) Όταν το χωρίο Τ εριστραφεί ερί τον άξονα αράγεται στερεό ου έχει όγκο V dd ii) Όταν το χωρίο Τ εριστραφεί ερί τον άξονα αράγεται στερεό ου έχει όγκο V dd. Εμβαδόν ειφάνειας. Θεωρούμε μια ειφάνεια ου ορίζεται αό την εξίσωση z f, 5, όου f συνεχής με συνεχείς αραγώγους ρώτης τάξης. Θεωρούμε είσης μια εριοχή S της ειφάνειας αυτής ου ερικλείεται αό μια κλειστή καμύλη c. Έστω Τ

6 η ορθή ροβολή της εριοχής S στο είεδο Ο. Το εμβαδόν Ε της εριοχής S της z z f, δίνεται ειφάνειας με εξίσωση αό τον τύο. z z E dd Αν η ροβολή γίνεται στο είεδο Ο και η f,z τότε ειφάνεια έχει εξίσωση E ddz z και αν η ροβολή γίνεται στο είεδο Οz και η εξίσωση της ειφάνειας είναι f,z τότε z E ddz S c O 5. Μάζα, Ροή, Αδράνεια. Υοθέτουμε ότι ένα χωρίο Τ είναι μία είεδη υλική λάκα, της οοίας η υκνότητα της μάζας σε κάθε σημείο, δίνεται αό τη συνεχή συνάρτηση δ,. Τότε η ολική μάζα Μ της υλικής λάκας δίνεται αό τον τύο. Μ δ, dd Η ροή μάζας, (ή στατική ροή ή ρώτη ροή), της υλικής λάκας Τ ως ρος τους άξονες και δίνεται αντίστοιχα αό τους τύους. Μ δ, dd και Μ δ, dd Οι συντεταγμένες, του κέντρου μάζας της υλικής λάκας δίνονται αό τους τύους 6

7 Μ M δ, dd δ, dd και Μ M δ, dd δ, dd Η ροή αδράνειας (ή δεύτερη ροή) ως ρος τους άξονες και δίνε-ται αντίστοιχα αό τους τύους I δ, dd και I δ, dd και η ολική ροή αδράνειας ως ρος την αρχή των αξόνων, δίνεται αό τον τύο o I δ, dd Προφανώς ισχύει: Io I I Ασκήσεις Περίτωση : Α ευθείας υολογισμοί, όταν είναι δεδομένα τα όρια ολοκλήρωσης.. Υολογίστε το διλό ολοκλήρωμα dd d d dd. αίρνουμε ρώτα το εσωτερικό ολοκλήρωμα, θεωρώντας το ως σταθερά 8 d d d 6 το υολογίζουμε έμεινε ολοκλήρωμα ως ρος, το οοίο υολογίζουμε 7

8 . Υολογίστε το διλό ολοκλήρωμα dd d d dd. εσωτερικό ολοκλήρωμα, το εδώ είναι σταθερά 6 d d d 6 το υολογίζουμε έμεινε ολοκλήρωμα ως ρος Παρατήρηση: Στα δύο ροηγούμενα ολοκληρώματα είχαμε τα ίδια άκρα και την ίδια αράσταση, αλώς αλλάξαμε τη σειρά. Παρατηρούμε ότι βρήκαμε το ίδιο αοτέλεσμα. Διαιστώσαμε λοιόν την ισχύ της ιδιότητας. β δ α γ δ β f, dd f, dd γ α Είσης μορεί να γραφτεί και ως εξής: β δ β δ δ β f, dd d f, d d f, d α γ α γ γ α 9 dd.. Υολογίστε το 8

9 9 9 dd d d 9 το εδώ είναι σταθερά d d n 9 n n n6 n n5 n n6 n n5 n n Υολογίστε το dd. d d d d 5 d 5 5 το εδώ είναι σταθερά 5. Υολογίστε το dd. d d d το εδώ είναι σταθερά d d Να υολογίστε το διλό ολοκλήρωμα e dd. 9

10 Είναι e e dd d d e e e d d d e n n e n 7. Να υολογίστε το διλό ολοκλήρωμα Είναι dd. dd α d d d arcsin d, Είναι : arcsin c α arcsin arcsin d arc sin arcsin d d 8. Να υολογίστε το διλό ολοκλήρωμα n e dd.

11 Η ολοκλήρωση γίνεται ρώτα ως ρος e dd e d d n n n n e d e d e n e e n 9. Να υολογίστε το διλό ολοκλήρωμα I sin dd. Ι sin dd sin d d sin d sin d sin d cos cos cos. Υολογίστε το e dd. Το εσωτερικό ολοκλήρωμα e d είναι αδύνατο να υολογιστεί. Εομένως ρέει να αντιστρέψουμε τη σειρά ολοκλήρωσης. Ο τόος ολοκλήρωσης ερικλείεται αό τις ευθείες με εξισώσεις,,, Προφανώς το μεταβάλλεται αό το έως O

12 , και το αό έως. Θα ολοκληρώσουμε ρώτα ως ρος αό έως e dd e dd e d 6 e d e d e e. Να υολογιστεί το διλό ολοκλήρωμα σε ολικές συντεταγμένες. Είναι α, () και α, (). Τα σημεία (,) ου εαληθεύουν τους εριορισμούς () και () αοτελούν την εριοχή Τ του διλανού σχήματος. Θέτουμε r cos και rsin. Είναι και α α e d d μεταβαίνοντας α Τ α α ρ α ρ α, r, r οότε: α α α α r e d d re dr d α r α α e d e d e e α

13 Περίτωση : Όταν δίνεται ο τόος ολοκλήρωσης, και όχι α ευθείας τα άκρα στα ολοκληρώματα. Παραδείγματα. Να υολογιστεί το διλό ολοκλήρωμα dd όου Τ ο τόος του ειέδου ου ερικλείεται αό τις ευθείες,,,. Ο τόος Τ είναι ορθογώνιο, όως φαίνεται στο σχήμα. Συνεώς έχουμε dd d d d d d 5 8. Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα εται αό τις,,,. Το γραμμοσκιασμένο σχήμα είναι ο τόος Τ Είναι: και Συνεώς έχουμε: dd d dd στον τόο ου ερικλεί - 6 O Ο

14 7 8 5 d 5 d Παρατήρηση: Πρώτα γράφουμε τα σταθερά άκρα και κατόιν τα μεταβλητά. Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα στην εριοχή ου ορί- ζεται ανάμεσα στους κύκλους I dd,. Με μετασχηματισμούς αλουστεύουμε τον τόο ολοκλήρωσης: Μέθοδος Βήμα ο Θέτουμε rcos, rsin Τα σύνορα του τόου είναι οι δυο κύκλοι, χωριστά κάθε σύνορο με τους μετασχηματισμούς.. Συνδυάζουμε Βήμα ο Το ρώτο σύνορο μαζί με τους μετασχηματισμούς rcos, rsin δίνει: r cos r sin ή r cos sin ή r Συνεώς r Βήμα ο r cos Το δεύτερο σύνορο Συνεώς r, μαζί με τους μετασχηματισμούς δίνει: r sin ή r cos sin ή r Εομένως τα νέα άκρα του ολοκληρώματος με dr είναι τα και, και τα νέα ά- κρα του ολοκληρώματος με d είναι και, αφού δίνεται λήρης στροφή. Βήμα ο Βρίσκουμε την ορίζουσα (Ιακωβιανή)

15 , r r, r r r cos r sin r sin sin r cos sin r Γενικά ο τύος είναι, dd r cos r sin dr d r, () ( ) r r r drd d d d Οι δύο τόοι είναι: θ O O r Παρατήρηση Οι μετασχηματισμοί είναι ααραίτητοι για την αλούστευση ολοκληρωμάτων, όταν ο τόος ερικλείεται αό καμύλες γραμμές. 5

16 . Υολογίστε το, dd όου ο τόος ερικλείεται αό τις καμύλες,,. Θέτουμε u, υ οότε u, υ και αό την ταυτότητα βρίσκουμε u υ u υ, άρα υ Τ O Ο u, u υ Βρίσκουμε την Ιακωβιανή ; u, υ u υ υ u u υ Αδιέξοδο. Αλλάζουμε ορεία (εφαρμόζουμε τον τύο:), u, υ u, υ u u u υ, υ υ Τώρα το ολοκλήρωμα γίνεται Βέβαια μορούμε να λύσουμε τις εξισώσεις u, υ ως ρος,, και να συνεχίσουμε αλλά είναι ροτιμότερος ο τρόος ου εφαρμόζουμε. 6

17 dudυ u υ dd u υ dudυ () u dυ dυ υ 5. Να υολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου Τ ου ερικλείεται αό τις καμύλες,,,. Το ζητούμενο εμβαδόν Είναι E dd Μετασχηματίζουμε τον τοο Τ σε ορθογώνιο. Εειδή οι αραστάσεις και είναι σταθερές, συμφέρει να θέτουμε u και υ. Εομένως το u μεταβάλλεται αό έως και το υ μεταβάλλεται αό έως. Έτσι ροκύτει το ορθογώνιο Τ. Η Ιακωβιανή είναι u,υ,,υ u, υ u u υ, υ υ Συνεώς είναι: dd dudυ u dυ υ υ uυ υ dυ n υ n n n O υ Ο Τ u 7

18 6. Με διλή ολοκλήρωση να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ου ερικλείεται αό τις ευθείες,,. Βρίσκουμε τα σημεία τομής των και. Λύνουμε το σύστημα Ζητείται το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. Συνεώς, (i) οότε: E dd d d B(,) O A(, ) 7. Να βρείτε το εμβαδόν της εριοχής ου φράσσεται αό τις γραμμές και 5. Λύνοντας το σύστημα των, και,. Είναι Συνεώς το εμβαδόν είναι 5 5 και βρίσκουμε κοινά σημεία τα και 5 5 dd d 5 d 6 O 5 (,) 5 8

19 8. Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα ρίζεται αό τις καμύλες με εξισώσεις. dd όου Τ το χωρίο ου ο-, 9,, Θέτω υ, u Προφανώς υ 9, u Η Ιακωβιανή είναι O 9 υ 9 Ο Τ u, u, υ u u, υ υ u, υ Παίρνουμε την αόλυτη τιμή Βρίσκουμε το J χρησιμοοιώντας ταυτότητες: υ υ u u u Άρα υ u υ u υ u J υ u. Το ολοκλήρωμα γίνεται 9 9 υ u u υ υ u dυdu dυdu υ du 8 9 du du υ 8 9 9

20 9. Να υολογίσετε το διλό ολοκλήρωμα χωρίο ου ερικλείεται αό τις ευθείες,,. Προφανώς υάρχουν δύο αλοί τρόοι. Α) Το μεταβάλλεται αό το έως, και το αό έως.άρα dd όου Τ το (,) O d d d 5 d d Β) Το μεταβάλλεται αό έως, και το αό έως. Εομένως d d d 7 d d. Να υολογίσετε το,, dd όου Τ το χωρίο ου εριορίζεται αό τις.

21 Αό το σχήμα αρατηρούμε ότι δεν μορούμε α ευθείας να θέσουμε σταθερά άκρα σε ένα αό τα δύο ολοκληρώματα και μεταβλητά στο άλλο. Άρα, ή θα το κόψουμε σε δύο χωρία με μια κατακόρυφη,.χ. αό το Α, και θα εργαστούμε δύο φορές, ή θα κάνουμε αλλαγή μεταβλητής. Έχουμε λοιόν δύο τρόους. Ας αρχίσουμε με αλλαγή μεταβλητής. Α τρόος Θέτουμε u υ Τώρα ααλείφουμε τα, ανάμεσα σε αυτές τις δύο εξισώσεις και σε κάθε μία αό τις τρεις δοθείσες. Για να γίνει ταχύτερα αυτή η διαδικασία, λύνουμε ρώτα το σύστημα των αρακάτω μετασχηματισμών ως ρος, : Προσθέτουμε u υ ή Αφαιρούμε u υ ή u υ u υ Παίρνουμε τώρα χωριστά κάθε μία αό τις δοθείσες και αντικαθιστούμε τα,. Η γίνεται u Η γίνεται υ υ Η γίνεται u υ u υ u υ u υ u υ ή υ u Έτσι το σχήμα σε άξονες u, υ γίνεται Το 8 βρέθηκε αντικαθιστώντας στην υ u, όου υ Βρίσκουμε και την Ιακωβιανή. Είναι: Α(,) Β( 6, ) Ο υ u 86 υ O Γ(9, 7) u

22 u υ u υ Άρα J Εομένως το διλό ολοκλήρωμα γίνεται: u u u υ u υ u υ I dυdu dυ du u u υ u υ dυ du u υ du (ράξεις) u u u u 6 du 75 Β τρόος Με μια κατακόρυφη αό το Α το κόβουμε σε δύο χωρία και υολογίζουμε το άθροισμα δύο διλών ολοκληρωμάτων. Το ρώτο είναι αό το Β 6, έως την κατακόρυφη Α, I dd d d d d d 9 8 6

23 Το άλλο ολοκλήρωμα είναι αό το Α, έως το Γ9, I dd d d 9 8 6d d d 9 8 Αθροίζοντας τώρα έχουμε: I I 75 I. Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα ορίζεται ως εξής: όου Τ ο τόος ου I dd, / 9. θ Ο O r Λόγω της αράστασης r., θέτουμε r cos, rsin,,

24 Βρίσκουμε και την Ιακωβιανή r, r cos rsin r cos sin r r, sin r cos Συνεώς: r I r rdr d d d. Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα ερικλείεται αό τις ευθείες,,. Σχεδιάζουμε το χωρίο Το μεταβάλλεται αό έως και το μεταβάλλεται αό έως, ή το μεταβάλλεται αό έως και το αό έως. Συνεώς υάρχουν δύο τρόοι για να υολογίσουμε το ολοκλήρωμα: Ο Α τρόος sin d d cos d cos cos d sin sin I sin dd όου Τ το χωρίο ου Β τρόος I sin d d cos d cos d cosd sin sin 6 Α(, )

25 . Να υολογίσετε το διλό ολοκλήρωμα ορίζεται αό τις σχέσεις Σχεδιάζουμε το χωρίο Τ. Το μεταβάλλεται αό έως,. και το αό έως ή το μετα- βάλλεται αό έως και το αό έως. Συνεώς μορούμε να ροχωρήσουμε με δύο διαφορετικούς, αλλά ισοδύνα- μους τρόους: e dd, όου Τ το χωρίο ου Ο ή Α τρόος e dd e d d e d e e d e d e e e Β τρόος e dd e d d e d e d e e d e e e d (Παραγοντική ολοκλήρωση) e e e e e e e e e (ίδιο αοτέλεσμα, αλλά ερισσότερες ράξεις) 5

26 5. Να υολογίσετε το διλό ολοκλήρωμα 6 e dd εξωτερικό σύνορο τις γραμμές και, (Υόδειξη: Το ολοκλήρωμα e d δεν υάρχει). Η γραμμοσκιασμένη εριοχή είναι ο τόος Τ. Λαμβάνοντας υόψη την υόδειξη η ολοκλήρωση γίνεται ρώτα ως ρος. Είναι οότε: και. e e e e dd dd d d d Είναι e d e e d e e e d e d e d e e e e e 6. Να υολογίσετε το διλό ολοκλήρωμα εξωτερικό σύνορο τις γραμμές και. Η γραμμοσκιασμένη εριοχή είναι ο τόος Τ. Η ολοκλήρωση γίνεται ρώτα ως ρος οότε: και. Άρα dd dd, στον τόο Τ ου έχει Ο dd, στον τόο Τ ου έχει Ο (,) (,)

27 d d 5 d Να υολογίσετε το διλό ολοκλήρωμα ου ερικλείεται αό την αραβολή,. Η γραμμοσκιασμένη εριοχή είναι ο τόος Τ. Η ολοκλήρωση γίνεται ρώτα ως ρος, οότε: Είναι και. 6 dd 6 dd 6 dd, όου Τ η εριοχή και την ευθεία με d d 5 d 7 5 d O (,) 7

28 8. Να υολογίσετε το ολοκλήρωμα e dd, όου Τ η εριοχή ου ορίζεται αό τις ανισώσεις και. Η ολοκλήρωση γίνεται ρώτα ως ρος. Είναι e dd e dd, (Αδιέξοδο). Η ολοκλήρωση γίνεται ρώτα ως ρος οότε: και. Είναι: e dd e dd e d d e d (, ), O (,) (,) (, ) e d e d e e 9. Να υολογίσετε το διλό ολοκλήρωμα ου ερικλείεται αό τις ευθείες, και. Η γραμμοσκιασμένη εριοχή είναι ο τοος Τ. Η ολοκλήρωση γίνεται ρώτα ωςρος. Είναι: και οότε: dd, όου Τ η εριοχή (,) O 8

29 dd dd d d 7 d. Να υολογίσετε το διλό ολοκλήρωμα ερικλείεται αό τη γραμμή με εξίσωση Είναι 6 Άρα ο τόος Τ είναι ο κυκλικός δίσκος του διλανού σχήματος. Μετασχηματίζουμε σε ολικές συντεταγμένες. Θέτουμε: r cos και rsin () Αό () και () έχουμε: 7 6, (). r cos r sin 6r cos r 6r cos r 6cos Είναι r 6cos και., Είσης είναι dd drd rdrd, οότε: r, 6cos 6cos r dd, όου Τ ου r 6cosθ 6cos dd rdrd drd r d O θ r 6 9

30 6 cosd 6sin 6 sin sin 6 Ροή αδράνειας. Υλική λάκα έχει σχήμα ορθογωνίου τριγώνου ABΓ και υκνότητα ανάλογη της αόστασης κάθε σημείου αό την λευρά γ. Αν οι κάθετες λευρές του τριγώνου είναι β και γ να υολογιστεί η ροή αδράνειας ως ρος την λευρά γ. Τοοθετούμε την υλική τριγωνική λάκα στο είεδο, όως φαίνεται στο αρακάτω σχήμα. Η υκνότητα είναι δ, κ και η ζητούμενη ροή αδράνειας είναι: Γ I δ, dd I κ dd, () Η λευρά ΒΓ του τριγώνου έχει εξί- σωση:, Η ολοκλήρωση γίνεται ρώτα ως ρος και είναι: οότε: I κ κ κ dd d d 5 κ κ d 8 κ κ 5 I A κ 5 O B

31 . Να υολογίσετε τη ροή αδράνειας ομογενούς λάκας σχήματος ισολεύρου τριγώνου λευράς α ως ρος τη μία λευρά του. Τοοθετούμε την ομογενή τριγωνική λάκα στο είεδο, όως φαίνεται στο αρακάτω σχήμα. α A α α Τ B α Ο Γ α Είναι: α A,, α Β,, α Γ, Οι εξισώσεις των λευρών είναι: ή α α ΑΒ:, α α ΑΓ :, α α ΑΒ:, α α ΑΓ :, Η ολοκλήρωση γίνεται ρώτα ως ρος και είναι: α α α Η λάκα είναι ομογενής με σταθερή υκνότητα δ, αδράνειας ως ρος τον άξονα είναι: κ οότε η ροή

32 I α α α α δ, dd κ dd κ d d α α α α α α α α κ d κ d α α κ α d κ α d α α α α α κ κ 6 6 I κ α. Υλική λάκα έχει σχήμα τετραγώνου ΑΒΓΔ λευράς α και υκνότητα τετραλάσια της αόστασης κάθε σημείου αό τη διαγώνιο του ΑΓ. Να υ- ολογίσετε τη ροή αδράνειας ως ρος τη διαγώνιο ΑΓ. Προσαρμόζουμε την τετράγωνη λάκα στο είεδο, όως φαίνεται στο σχήμα της εόμενης σελίδας. Β Α Ο Γ Δ Η υκνότητα είναι δ,. Η ροή αδράνειας ως ρος τον άξονα εί-

33 ναι: I δ, dd dd dd dd dd dd dd dd dd dd d d d d d d d d d d

34 I 5 Εμβαδόν με διλό ολοκλήρωμα. Να υολογίσετε το εμβαδόν της εριοχής Τ ου ορίζεται αό τις καμύλες και 5. Η εριοχή Τ είναι η γραμμοσκιασμένη εριοχή του διλανού σχήματος. Η ολοκλήρωση γίνεται ρώτα ως ρος, οότε: 5 και Το ζητούμενο εμβαδόν δίνεται αό τον τύο Ο 5 (,) 5 (,) 5 E dd dd d 5 d n 5 n 5 n 8 n Όγκος στερεού με διλό ολοκλήρωμα. Να υολογίσετε τον όγκο του στερεού ου ερικλείεται αό τις ειφάνειες z 8 () και z (). Οι ειφάνειες ου αριστάνουν οι εξισώσεις () και () είναι δύο αραβολοειδή. Με ααλοιφή του z βρίσκουμε την τομή των δύο αραβολοειδών. Είναι:

35 8 Τα δύο αραβολοειδή είναι συμμετρικά ως ρος το είεδο με εξίσωση z, και η τομή τους είναι κύκλος με εξίσωση (). Η εξίσωση () είναι και εξίσωση της ορθής ροβολής Τ των δύο αραβολοειδών στο είεδο Ο. Λόγω της συμμετρίας ο ζητούμενος όγκος V δίνεται αό τον τύο V f, f, dd, () και f, z f, z Μετασχηματίζουμε σε ολικές συντεταγμένες θέτοντας r cos, rsin Είναι r,, dd drd r drd r, οότε η () γίνεται: V r rdrd r r drd d r r dr r r V 6. z z 8 O z 8 z 5