ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

2 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε: y i 6 + y + y y Άρα, η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (, ) y + y Ο A (, ) y y Οι ευθείες + y και y τέμνονται στο σημείο Α(, ) i ii y 8 7y 8 7y 8 7y 7 8 y 5 y y y 5 5 Με ρόσθεση κατά μέλη ροκύτει και αό την εξίσωση + y 5 ροκύτει y 5 Άρα, η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (, ) y y y 6, () y + + y 8 + y 8 8, Με ρόσθεση των (), () κατά μέλη έχουμε 8 6

3 Γραμμικά συστήματα 5 Με αφαίρεση των (), () κατά μέλη έχουμε 6y y 5 Άρα, η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος, i Κάνοντας ααλοιφή αρονομαστών και εκτελώντας τις ράξεις στις εξισώσεις του συστήματος ροκύτει το ισοδύναμο σύστημα: 7+ y 5 + y 5 y 8 8 y 7 Με ρόθεση έχουμε: Για η εξίσωση 7 + y 5 γίνεται: 7 + y 5 y + 5 y 6, οότε y Άρα, η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (, ) ii Κάνοντας ααλοιφή αρονομαστών και εκτελώντας τις ράξεις στις εξισώσεις του συστήματος ροκύτει το ισοδύναμο σύστημα: 8+ y 6, () + y 9, Αντικαθιστούμε στην () όου 9 y και έχουμε: 89 ( y) + y 6 7 6y+ y 6 y 6 y Η () για y γίνεται Άρα, η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (5, ) y i Το σύστημα y γράφεται y y 6 Άρα, το σύστημα είναι αδύνατο y + y y ii Το σύστημα γράφεται y+ y+ y Άρα, το σύστημα έχει άειρο λήθος λύσεων της μορφής κ, κ +, κ R

4 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις 5 i Έχουμε: D ( 5), 5 D 7 ( 5) 7 5 9, 5 7 D y 7 8 D Τότε 9 Dy και y D D Άρα, το σύστημα έχει μοναδική λύση το ζεύγος (, ) y 8 ii Το σύστημα γράφεται + y Είναι: 8 D 9 +, D, 8 D y 8 D Τότε D Dy και y D Άρα, το σύστημα έχει μοναδική λύση το ζεύγος (, ) 6 i Είναι D 5 +, άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση 6 7 ii Είναι D 6 + Το σύστημα γράφεται: y y 6y 8 y και εομένως έχει άειρο λήθος λύσεων iii Είναι D 9+ 9 Το σύστημα γράφεται: 9 + y + y 9 y + y και είναι αδύνατο

5 Γραμμικά συστήματα 7 i Είναι D + ( ) ( + ) Tο σύστημα γράφεται διαδοχικά ισοδύναμα: ( ) + y + ( + ) y Άρα, το σύστημα έχει άειρο λήθος λύσεων της μορφής: (( + ) ( κ+ ), κ), κ R) + ii Είναι D ( + ) ( ) Tο σύστημα γράφεται: + + y 7 + ( ) y Άρα, το σύστημα είναι αδύνατο ( ) + y ( ) + ( ) ( + ) y ( + ) ( ) ( ) + y ( ) + y ( + ) + y 7 + ( + )( ) ( + ) + y 7 ( + ) + y ( + ) + y + 8 i Λύνουμε μια εξίσωση ως ρος έναν άγνωστο χ την ρώτη Αό την ρώτη εξίσωση έχουμε ω y, () Οι άλλες δύο εξισώσεις του συστήματος γίνονται: 5y ( y ) 5y 6+ y+ y 9 + y 9, ( 5) 5+ y y 5+ y 6+ y+ Οι (5), (6) σχηματίζουν το σύστημα: + 5y 5y ( 6) + y 9, 5y, 5

6 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις αό τη λύση του οοίου, κατά τα γνωστά, βρίσκουμε και y Με αντικατάσταση των τιμών και y στην () βρίσκουμε ω 5 Άρα, η λύση του συστήματος είναι η τριάδα (, y, ω) (,, 5) ii Αό τη δεύτερη εξίσωση έχουμε y ω +, () Οι άλλες δύο εξισώσεις του συστήματος γίνονται: 5 ( y ω+ ) y+ 5y 5ω + y+ y 6 7y ( 5) ω ω, ( y ω+ ) y+ ω 9y ω+ 6 y+ ω 7y ω, ( 6) 7y ω Οι (5), (6) σχηματίζουν το σύστημα, ου είναι αδύνατο 7y ω Άρα, το αρχικό σύστημα είναι αδύνατο + y ω 6 iii Μετά την ααλοιφή αρονομαστών το σύστημα γράφεται + y+ ω 5+ y ω 6 Αό την ρώτη εξίσωση έχουμε y ω + 6, () Οι άλλες δύο εξισώσεις του συστήματος γίνονται: + ( ω + 6)+ ω + 8ω + + ω + ( 5) ω ω, 5+ ( ω + 6) ω 6 5+ ω 6+ 8 ω 6 Οι (5), (6) αοτελούν το σύστημα: + ( 6) ω ω, ω, ω ου έχει άειρες λύσεις της μορφής κ +, με ω κ, κ R Αό την () έχουμε y κ (κ + ) + 6 6κ + Άρα, το αρχικό σύστημα έχει άειρες λύσεις της μορφής: (, y, ω) (κ +, 6κ +, κ), κ R Β ΟΜΑΔΑΣ i Έστω y α + β η εξίσωση της ευθείας (ε ) Εειδή η ευθεία διέρχεται αό τα σημεία (, ) και (, ) έχουμε: + β α β β α + β α + α 6

7 Γραμμικά συστήματα Άρα (ε ): y + Αν, τώρα, η y γ + δ είναι η εξίσωση της (ε ), τότε εειδή διέρχεται αό τα σημεία (, ) και (, ) έχουμε: γ + δ δ γ + δ γ Άρα (ε ): y y + ii Οι εξισώσεις των ευθειών (ε ) και (ε ) ορίζουν το σύστημα, y του οοίου η λύση, όως φαίνεται και αό το σχήμα, είναι το ζεύγος (, ) Έστω ο αριθμός των δίκλινων και y ο αριθμός των τρίκλινων δωματίων, τότε αό τα δεδομένα έχουμε: + y 6 + y 68, η λύση του οοίου είναι το ζεύγος (, y) (, 6) Άρα, υάρχουν δίκλινα και 6 τρίκλινα δωμάτια Αν τον αγώνα αρακολούθησαν αιδιά και y ενήλικες, τότε αό τα δεδομένα έχουμε: + y, 5, + y 55 η λύση του οοίου είναι το ζεύγος (, y) (5, 7) Εομένως, τον αγώνα αρακολούθησαν 5 αιδιά και 7 ενήλικες Έχουμε ότι: για Τ, είναι R,, οότε: και για Τ 8, είναι R,5, οότε:, α + β α + β,, (),5 8α + β 8α + β,5, () Αό τις εξισώσεις (), () ροκύτει το σύστημα Άρα R T+ 6 α+ β, α 6 8α+ β 5, β 7

8 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις 5 Έστω ότι ααιτούνται ml αό το ρώτο διάλυμα και y ml αό το δεύτερο διάλυμα, τότε + y, () Η οσότητα του υδροχλωρικού οξέος σε κάθε διάλυμα είναι 5 στο δεύτερο Εομένως 5 8 y 68, + Οι εξισώσεις () και () ορίζουν το σύστημα: + y y y y , του οοίου η λύση είναι το ζεύγος (, y) (, 6) Εομένως, ρέει να αναμείξει ml αό το ρώτο με 6 ml αό το δεύτερο στο ρώτο και 8 y 6 i Λύνουμε ως ρος y τις εξισώσεις των ευθειών: + y y + y + Άρα λ α + y α y + α y + Άρα λ ii Εειδή λ λ, οι ευθείες ή είναι αράλληλες ή ταυτίζονται Εομένως, δεν υάρχουν τιμές του α για τις οοίες τέμνονται iii Για να είναι αράλληλες, αρκεί α α 6 α 7 i α+ y α Βρίσκουμε τις ορίζουσες: + αy α D ( + )( ) α α α α α D ( )( + + ) α α α α α α D y α α α( α) Αν D, δηλαδή, αν α και α, το σύστημα έχει μοναδική λύση, οότε οι ευθείες τέμνονται και το σημείο τομής έχει συντεταγμένες: D ( α ) ( α + + ) α + α+ Dy και D α+ α α + D ( ) α( α) α α+ α α ( ) + 8

9 Γραμμικά συστήματα ii Εομένως, αν α ±, οι ευθείες τέμνονται στο σημείο A α + α + α, α + α + + y Αν α, το σύστημα γίνεται, το οοίο έχει άειρο λήθος λύσεων, ου + y σημαίνει ότι οι ευθείες ταυτίζονται + y Αν α, το σύστημα γίνεται y και είναι αδύνατο ου y y σημαίνει ότι οι ευθείες είναι αράλληλες α y α + αy α Εειδή D α +, για κάθε α R, το σύστημα έχει μοναδική λύση, α εομένως οι ευθείες έχουν μοναδικό κοινό σημείο για κάθε α R 8 i Βρίσκουμε τις ορίζουσες: D λ λ + ( ) + ( ) λ λ ( λ )+ 8 λ λ + 9 λ 9 ( ) λ+ λ D D y λ + + ( λ ) ( ) λ ( λ + 5 ) λ ( λ ) λ+ λ ( λ+ ) Αν D, δηλαδή αν λ και λ, τότε το σύστημα έχει μια λύση, την: ( ) λ + 5 ( λ+ ) ( λ ) D λ + 5 D λ+ λ Dy λ + και y D λ+ λ Αν λ, τότε το σύστημα γίνεται: y y, ου είναι αδύνατο y y Αν λ, τότε το σύστημα γίνεται: y + y, ου είναι αδύνατο + y + y ( ) ( λ + ) ( λ+ ) ( λ ) 9

10 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις ii Βρίσκουμε τις ορίζουσες: µ 5 D + ( )( + ) µ µ 5 µ 5 µ 9 ( µ + )( µ ) µ 5 5 D + 5 ( µ + ) 5 5µ + 5 5µ 5 5 ( µ ) 5 µ D y µ 5 5 ( µ ) 5 5µ 5 5µ 5 5( µ ) 5 Αν D, δηλαδή, αν μ ±, το σύστημα έχει μοναδική λύση, την: D D 5( µ ) 5 µ + µ µ ( ) ( + ) Dy και y D 5( µ ) 5 µ + µ µ ( ) ( + ) Αν μ, τότε το σύστημα γίνεται: + 5y 5 ου έχει άειρο λήθος λύσεων της μορφής (, y) (5 5κ, κ), κ r + 5y 5, Αν μ, τότε το σύστημα γίνεται: 5+ 5y 5 y, ου είναι αδύνατο y 5 y 5 9 Αν R, R και R οι ακτίνες των κύκλων με κέντρα Ο, Ο και Ο αντίστοιχα, ου εφάτονται εξωτερικά, τότε έχουμε τις εξισώσεις: R + R 6, () R + R 7, R + R 5, Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (), (), () ου ονομάζεται «κυκλικό» Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις και έχουμε: (R + R + R ) 8 R + R + R 9, () Αν τώρα αό τα μέλη της () αφαιρέσουμε τα μέλη των (), () και (), βρίσκουμε ότι: R + R + R R R 9 6 R R + R + R R R 9 7 R R + R + R R R 9 5 R Εομένως, οι ακτίνες των κύκλων είναι cm, cm και cm

11 Γραμμικά συστήματα Αό τη Γεωμετρία γνωρίζουμε ότι τα εφατόμενα τμήματα αό σημείο ρος κύκλο είναι ίσα Εομένως ΑΖ ΑΕ, ΒΔ ΒΖ y και ΓΔ ΓΕ z Έτσι έχουμε το σύστημα: + y γ, () y+ z α, z+ β, Με ρόσθεση των εξισώσεων κατά μέλη έχουμε: α+ β+ γ ( + y + z) α + β + γ + y+ z, α+ β+ γ α+ β+ γ Αό () και () έχουμε γ + z z α+ β+ γ β+ γ α Αό () και () έχουμε + α Αό () και () έχουμε y + β α+ β+ γ y β+ γ α Παρατήρηση: Αν θέσουμε α + β + γ τ, τότε: β + γ α τ α α τ α και ομοίως y τ β, z τ γ Έστω, y, z οι οσότητες σε lt αό κάθε διάλυμα αντίστοιχα ου θα χρησιμοοιήσει ο Χημικός Τότε αό τα δεδομένα ροκύτει το σύστημα των εξισώσεων: + y+ z 5 + y+ z 5, () 5 + y+ z 5 5+ y+ z 66, z z, Αό () και () έχουμε y + z 5, οότε y 5 z και η () γίνεται: 5 z+ ( 5 z) + z 66 z+ 5 z+ z 66 z z,, oότε z, lt Εομένως,88lt και y 7,68 lt Στην η ερίτωση, εειδή η γραφική αράσταση του τριωνύμου f () α + β + γ τέμνει τον άξονα y y στο σημείο, θα ισχύει f (), οότε θα έχουμε γ, εομένως το τριώνυμο θα είναι της μορφής f () α + β +

12 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Εειδή το τριώνυμο f () έχει κορυφή το σημείο Κ(, ) και K β f β, α α, θα ισχύει: β β α β α β f f α α Εομένως είναι f () + Στη η ερίτωση, εειδή η γραφική αράσταση του τριωνύμου g() α + β + γ τέμνει τον άξονα στο σημείο g( ), θα έχουμε: α β + γ, () Εειδή, ειλέον, η γραφική αράσταση του τριωνύμου g() έχει κορυφή το σημείο Κ(, ), θα ισχύει: β β α β α α β g g α+ β+ γ α Εομένως, λόγω της (), οι () και () γράφονται: α+ γ γ α γ α+ γ α α α Άρα, είναι και α, β και γ, οότε έχουμε g() + + Στην η ερίτωση, εειδή η γραφική αράσταση του τριωνύμου h() α + β + γ τέμνει τον άξονα στα σημεία και και τον άξονα y y στο σημείο, θα ισχύει: h h h α+ β+ γ α+ β 6α+ β+ γ 6α+ β γ γ α+ β β α β α+ β α α α 5, γ γ γ Εομένως, είναι h(),5 +

13 Μη Γραμμικά συστήματα Μη Γραμμικά συστήματα Α ΟΜΑΔΑΣ Λύνοντας τη δεύτερη εξίσωση ως ρος y ροκύτει y, (), οότε αντικαθιστώντας στην ρώτη, αίρνουμε: + ( ) + ( ) + + +, Η () έχει ρίζες και, οότε λόγω της () είναι: y + και y Εομένως, το σύστημα έχει δύο λύσεις, τα ζεύγη (, ) και (, ) i Αντικαθιστώντας την τιμή του y αό την ρώτη εξίσωση στη δεύτερη ροκύτει η εξίσωση: 9 + (), Η εξίσωση () έχει διλή ρίζα, την, οότε αό την ρώτη εξίσωση του συστήμα- τος αίρνουμε y Εομένως, το σύστημα έχει μοναδική λύση, το ζεύγος, Για να ερμηνεύσουμε γεωμετρικά τη λύση του συστήματος χαράσσουμε σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων την αραβολή y και την ευθεία y Στο σχήμα αρατηρούμε ότι οι δύο γραμμές έχουν ένα μόνο κοινό σημείο Μ, το οοίο έχει συντεταγμένες, y y M Ο y y

14 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις ii Το σύστημα γράφεται: y + y 9, (), Η (), λόγω της (), γίνεται + y 9 y A y και έχει ρίζες τις και, οότε εειδή y έχουμε: B Ο y και y Άρα, το σύστημα έχει δύο λύσεις, τα ζεύγη, και, Για να ερμηνεύσουμε γεωμετρικά τις λύσεις του συστήματος χαράσσουμε σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων τον κύκλο + y 9 με κέντρο το σημείο Ο(, ) και ακτίνα καθώς είσης και την ευθεία y Στο σχήμα αρατηρούμε ότι οι δύο γραμ- μές τέμνονται σε δύο σημεία, τα Α, iii Αό τη δεύτερη εξίσωση ροκύτει, y και y Η ρώτη εξίσωση γίνεται: , () Αν θέσουμε ω, (), η () γίνεται ω 5ω, () Αυτή έχει ρίζες ω και ω, οότε λόγω της () έχουμε ή Αό αυτές αίρνουμε τέσσερις και Β, ρίζες, και,, οότε για το y αίρνουμε τις τιμές y, y και y y, A 5 Β y Ο y y y B A 5 + y 5

15 Μη Γραμμικά συστήματα Άρα, το σύστημα έχει τέσσερις λύσεις, τα ζεύγη (, ), (, ), (, ) και (, ) Για να ερμηνεύσουμε γεωμετρικά τις λύσεις του συστήματος χαράσσουμε σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων τον κύκλο + y 5 το Ο(, ) και ακτίνα 5, καθώς είσης και την υερβολή y Στο σχήμα αρατηρούμε ότι οι δύο γραμμές τέμνονται σε τέσσερα σημεία, τα (, ), (, ), (, ) και (, ) Αό την v v + αt, οότε α v v Αντικαθιστούμε στην ρώτη και έχουμε: t v v v v t ( ) vt + vτ vt S vt+ αt v t+ t vt + t Άρα S v+ v t Β ΟΜΑΔΑΣ Η δεύτερη εξίσωση λόγω της ρώτης γράφεται y + + y 5 ή, ισοδύναμα, y + y 5, η οοία έχει ρίζες και 5 Για y έχουμε y + y 5 6, οότε ή Για y 5 έχουμε, οότε Β y 5 A Άρα, το σύστημα έχει τρεις λύσεις τις (, ), (, ), (, 5) Ο Σχεδιάζουμε σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων την αραβολή y 5 και τον κύ- κλο + y 5 και αρατηρούμε ότι έχουν τρία κοινά σημεία y Γ Αό την ρώτη εξίσωση έχουμε y( y 5) y ή y 5, οότε το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με τα συστήματα: y y 5, () και, y + y + Για να λύσουμε το () θέτουμε στη δεύτερη εξίσωση y, οότε έχουμε + Οι ρίζες αυτής είναι και, έτσι το σύστημα () έχει δύο λύσεις, τα ζεύγη (, ) και (, ) Η ρώτη εξίσωση του συστήματος () γράφεται y 5, () και αν θέσουμε 5

16 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις στη δεύτερη αίρνουμε: Οι ρίζες αυτές είναι και, οότε λόγω της () είναι y 5 και y 5 Έτσι, το σύστημα () έχει δύο λύσεις, τα ζεύγη (, ) και (, ) Εομένως το αρχικό σύστημα έχει τέσσερις λύσεις, τα ζεύγη (, ), (, ), (, ) και (, ) Έστω, y είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου, τότε είναι: y, () και ( + )(y ), () Η () γράφεται y + y 6 και λόγω της () γίνεται: y 6 y 6 y, και αντικαθιστώντας στην () ροκύτει η εξίσωση: , η οοία έχει ρίζες και 5 Εειδή οι διαστάσεις είναι θετικοί αριθμοί θα έχουμε cm, οότε, λόγω της (), θα είναι y cm Για να βρούμε τα σημεία, στα οοία η ευθεία y + κ τέμνει την αραβολή y λύνουμε το σύστημα () y + κ, y Οι τετμημένες των σημείων τομής είναι ρίζες της εξίσωσης: + κ + + κ, () Οι δύο γραμμές θα τέμνονται σε δύο σημεία, αν το σύστημα () έχει δύο λύσεις, ου σημαίνει ότι η εξίσωση () θα ρέει να έχει δύο λύσεις Αυτό συμβαίνει, μόνο αν είναι Δ κ > κ > κ < 5 Αντικαθιστώντας το y + μ στην ρώτη εξίσωση ροκύτει: () + µ µ,, η οοία είναι δεύτερου βαθμού, με διακρίνουσα Δ + 8μ ( + μ) Διακρίνουμε τις εριτώσεις: 6

17 Μη Γραμμικά συστήματα y y y,5 y + μ, μ >,5 Ο y + μ, μ <,5 y Δ >, δηλαδή μ > Η () έχει δύο ρίζες, ου σημαίνει ότι το σύστημα έχει δύο λύ- σεις, οότε η αραβολή και η ευθεία τέμνονται σε δύο σημεία Δ, δηλαδή μ Η () έχει διλή ρίζα, ου σημαίνει ότι το σύστημα έχει μία λύση, οότε η αραβολή και ευθεία εφάτονται σε ένα σημείο Δ <, δηλαδή μ < Η () δεν έχει ραγματικές ρίζες, ου σημαίνει ότι το σύστημα δεν έχει λύσεις, οότε η αραβολή και ευθεία δεν έχουν κανένα κοινό σημείο Γραφικά τα εξαγόμενα, εξηγούνται με τη βοήθεια του ροηγούμενου σχήματος Ερωτήσεις κατανόησης Ι (Σ ) Β, (Σ ) Α, (Σ ) Γ, (Σ ) Α ΙΙ Α, Ψ, Α, Ψ 7

18

19 Κεφάλαιο ο: Ιδιότητες συναρτήσεων Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες Συνάρτησης Α ΟΜΑΔΑΣ Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ) Η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, ], γνησίως φθίνουσα στο [, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ) Η h είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ], γνησίως αύξουσα στο [, ], γνησίως φθίνουσα στο [, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ) Η f αρουσιάζει ολικό ελάχιστο για, το f () Η g δεν αρουσιάζει ούτε ολικό μέγιστο ούτε ολικό ελάχιστο Η h αρουσιάζει ολικό ελάχιστο για και για το h( ) h() i Το εδίο ορισμού της f είναι το R Αρκεί να δείξουμε τα f () f (), για κάθε R , ου ισχύει ii Το εδίο ορισμού της g είναι το R Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε R ισχύει g() g() ( ), ου ισχύει i Η f έχει εδίο ορισμού το R και για κάθε R ισχύει: R και f ( ) ( )+ 5 5 f ii Η f έχει εδίο ορισμού το R και για κάθε R ισχύει: R και f f +, άρα η f είναι άρτια + +, άρα η f είναι άρτια iii Η f έχει εδίο ορισμού το R και για κάθε R ισχύει: R και f( ) +, οότε δεν είναι ούτε άρτια, ούτε εριττή, αφού f ( ) f () iv Η f έχει εδίο ορισμού το R και για κάθε R ισχύει: R και f ( ) ( ) ( ) 5 ( 5 ) f ( ), άρα η f είναι εριττή v Η f 5 έχει εδίο ορισμού το (, ) (, + ) ου δεν έχει κέντρο συμμετρίας το Άρα, η f 5 δεν είναι ούτε άρτια, ούτε εριττή 9

20 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις vi Η f 6 έχει εδίο ορισμού το R και για κάθε R ισχύει: f ( ) f ( ) + + +, άρα η f είναι εριττή { } 5 i Η f έχει εδίο ορισμού το R * R και για κάθε R * ισχύει: R και f( ) f Άρα η f είναι άρτια ii Η f έχει εδίο ορισμού το [, + ) ου δεν έχει κέντρο συμμετρίας το Ο Άρα, δεν είναι ούτε άρτια, ούτε εριττή iii Η f έχει εδίο ορισμού το R και για κάθε R ισχύει: R και f ( ) + + f () Άρα η f είναι εριττή iv Η f έχει εδίο ορισμού το R * και είναι εριττή, διότι ισχύει: + R και f + άρα f f ( ) Τέλος, αν εργαστούμε όως στην I, θα αοδείξουμε ότι:, v Η f 5 έχει εδίο ορισμού το R και είναι άρτια, διότι f f για κάθε R vi Η f 6 έχει εδίο ορισμού το [, ] και είναι άρτια, διότι: f ( ) ( ) f, για κάθε, 6 [ ] 6 i Η C f έχει κέντρο συμμετρίας το Ο(, ) Άρα, η f είναι εριττή ii Η C g έχει άξονα συμμετρίας τον y y Άρα, η g είναι άρτια iii Η C h δεν έχει ούτε άξονα συμμετρίας τον y y, ούτε κέντρο συμμετρίας το Ο(, ) Άρα, η h δεν είναι ούτε άρτια ούτε εριττή 7 Ομοίως: i Η f είναι άρτια διότι έχει άξονα συμμετρίας τον y y ii Η g είναι εριττή διότι έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο(, ) iii Η h δεν είναι ούτε άρτια, ούτε εριττή

21 Κατακόρυφη Οριζόντια μετατόιση καμύλης 8 α Παίρνουμε τις συμμετρικές των C, C και C ως ρος τον άξονα y y y y y g() y y f() y h() Ο Ο Ο β Παίρνουμε τις συμμετρικές των C, C και C ως ρος την αρχή των αξόνων y y y y f() y g() y h() Ο Ο Ο Κατακόρυφη Οριζόντια μετατόιση καμύλης Α ΟΜΑΔΑΣ Όως γνωρίζουμε, η γραφική αράσταση της φ(), αοτελείται αό τις διχοτόμους των γωνιών Oy και Oy H γρα- y C f φική αράσταση της f () + ροκύ- C φ τει αό μια κατακόρυφη μετατόιση της y, κατά μονάδες ρος τα άνω, ενώ C g η γραφική αράσταση της f () ροκύτει αό μια κατακόρυφη μετατόι- Ο ση της y, κατά μονάδες ρος τα κάτω (σχήμα)

22 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Χαράζουμε ρώτα τη γραφική αράσταση της συνάρτησης φ() Η γραφική αράσταση της h() + ροκύτει αό μια οριζόντια μετατόιση της y, κατά μονάδες ρος τα αριστερά, ενώ η γραφική αράσταση της q() ροκύτει αό μια οριζόντια μετατόιση της y, κατά μονάδες ρος τα δεξιά (σχήμα) y C h C φ C q Ο Χαράζουμε ρώτα τη γραφική αράσταση της συνάρτησης φ() και στη συνέχεια χαράσσουμε την y +, ου, όως είδαμε στην ροηγούμενη άσκηση, ροκύτει αό μια οριζόντια μετατόιση της y κατά μονάδες ρος τα αριστερά Στη συνέχεια χαράσσουμε την y + +, ου ροκύτει αό μια κατακόρυφη μετατόιση της γραφικής αράστασης y + κατά μονάδα ρος τα άνω Εομένως, η γραφική αράσταση της F() + +, ροκύτει αό δύο διαδοχικές μετατοίσεις της y, μιας οριζόντιας κατά μονάδες ρος τα αριστερά και μιας κατακόρυφης κατά μονάδας ρος τα άνω (σχήμα) y C F C φ C Q Ο Ομοίως, η γραφική αράσταση της G(), ροκύτει αό δύο διαδοχικές μετατοίσεις της y, μιας οριζόντιας κατά μονάδες ρος τα δεξιά και μιας κατακόρυφης κατά μονάδα ρος τα κάτω (σχήμα)

23 Κατακόρυφη Οριζόντια μετατόιση καμύλης i Εειδή: f () ( ) + 5 ( + ) + 5 ( ) +, εομένως, η γραφική αράσταση της f ροκύτει αό δύο διαδοχικές μετατοίσεις της γραφικής αράστασης της g(), μιας οριζόντια κατά μονάδα ρος τα δεξιά και μιας κατακόρυφης κατά μονάδες ρος τα άνω ii Εειδή: f () ( ) 9 ( + ) ( ), εομένως, η γραφική αράσταση της f ροκύτει αό δύο διαδοχικές μετατοίσεις της γραφικής αράστασης g(), μιας οριζόντια κατά μονάδες ρος τα δεξιά και μιας κατακόρυφης κατά μονάδα ρος τα κάτω 5 i y C f Ο A C φ C g ii y C h C φ C q Ο 5

24 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις iii y y C F C φ C φ Ο Ο C G σχήμα δ 6 i f () ( ) + ( ) ii f () ( ) ( ) iii f () ( + ) + ( + ) iv f () ( + ) ( + ) Ερωτήσεις κατανόησης Ι Α, Α, Ψ, Ψ, 5 Α, 6 Α, 7 Ψ, 8 Α, 9 Α, Ψ ΙΙ Γ

25 Κεφάλαιο ο: Τριγωνομετρία Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας Α ΟΜΑΔΑΣ Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΑΒ έχουμε ηµ, οότε 6ηµ 6 6 Στο ορθογώνιο τρίγωνο, τώρα, ΔΑΓ έχουμε εφω, οότε ω 5 Εομένως, εειδή ημω y, έχουμε ηµ5, οότε: y y ηµ Εειδή Β + Γ 9 θα είναι Α 9, οότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και είναι Άρα ( AB) ηµ ημ AB Είσης, είναι ημ6 AΓ Άρα ( AΓ) 6 ηµ i Γνωρίζουμε ότι S α ρ, 6 ω, άρα ω 6 rad ii 6 ω, άρα ω rad iii 6 ω, άρα ω rad Αό τον τύο α µ έχουμε: 8 i Για μ, είναι α α α Άρα rad 6 ii Για μ, είναι α α α 8 Άρα rad iii Για μ 6, είναι α 6 α 7 α 7 Άρα 6 7 rad 8 iv Για μ 85, είναι α 85 α α 8 5 Αό τον τύο α µ έχουμε: 8 i µ µ 8, άρα rad 8 8 Άρα 85 rad 5

26 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις 5 ii 6 µ µ 5, άρα 5 rad iii µ µ 56, άρα 9 rad 56 8 iv µ 8 8 µ, άρα rad 8 6 i Είναι , οότε ημ8 ημ(5 6 + ) ημ, συν8 συν (5 6 + ) συν, ακόμη εφ8 εφ, σφ8 σφ ii Είναι , οότε ημ9 ημ( ) ημ6, συν9 συν6, εφ9 εφ6, σφ9 σφ6 iii Είναι , οότε ημ98 ημ( ) ημ8, συν98 συν8, εφ98 εφ8, ενώ δεν ορίζεται η συνεφατομένη των 98 iv Είναι 6 6 +, οότε ημ6 ημ, συν6 συν, εφ6 εφ, ενώ δεν ορίζεται η συνεφατομένη των 6 Β ΟΜΑΔΑΣ h Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΠΝ έχουμε εφω ( Π ) Τότε Π h Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΛΝ έχουμε εφ7 Τότε Λ ( Λ ) Εειδή (ΠΛ) (ΠΔ) + (ΔΛ), λόγω των () και (), έχουμε: h εϕω, () h, εϕ7 h h + h εϕ h εϕω εϕω εϕ εϕω εϕ h εϕ7 + εϕω εϕω εϕ7 h εϕω εϕ7 εϕ7 + εϕω, 6

27 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας εϕ εϕ7 i Αν ω, τότε, λόγω της (), είναι h 78 εϕ7 + εϕ εϕ5 εϕ7 Αν ω 5, τότε έχουμε h 7 εϕ7 + εϕ5 εϕ6 εϕ7 Αν ω 6, τότε έχουμε h 6 εϕ7 + εϕ6 ii Αν τώρα h, τότε λόγω της (), είναι: εϕω εϕ7 εϕω εϕ7 εϕ7 + εϕω εϕω εϕ εϕ εϕ7 εϕ7 εϕω εϕ7 εϕω( εϕ7 ) εϕ7 εϕω εϕ7, 57 και αό τους τριγωνομετρικούς ίνακες βρίσκουμε ω 58 i Είναι AΓ B 9 ως εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο και εειδή ΓAB 5 θα είναι (ΑΓ) (ΒΓ) Έχουμε όμως: ηµ5 A Γ ( AB) AΓ, οότε ( AΓ) ηµ 5 και εειδή (ΑΓ) (ΒΓ), θα είναι ( BΓ) ii Είναι A B 9 ως εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο και στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΑΒ, οότε έχουμε: ημ (, 5 B ) B AB Εειδή τα ορθογώνια τρίγωνα ΔΑΒ και ΔΑΕ είναι ίσα διότι έχουν ΑΔ ΑΔ (κοινή) και Δ Α Β Δ Α Ε,5, τότε θα έχουν ΔΒ ΔΕ Έτσι (ΕΒ) (ΒΔ) ημ,5 iii Αό την ισότητα των τριγώνων ΔΑΒ και ΔΑΕ ροκύτει (ΑΕ) (ΑΒ) Άρα (ΕΓ) (ΑΕ) (ΑΓ) iv Αό το υθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΓΕΒ (σχήμα) έχουμε: Άρα EB (ΕΒ) (ΓΒ) + (ΓΕ) + ( ) 7

28 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις v Έχουμε ημ EB, B 5 ( EB ) vi Μορούμε να υολογίσουμε το ημίτονο των γωνιών, 5, 5, κτλ, αρκεί να διχοτομήσουμε τη γωνία BA κτλ Αό το τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε ημ 6 AΓ 6 AΓ ( A ) Αό τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΒΓ έχουμε BA Εομένως: B B εϕ εϕ B 6 εϕ 6 AB 6 Άρα B μονάδες μήκους Αό το τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε ημ 6 Άρα ( BΓ) 6 μονάδες μήκους BΓ BΓ Έχουμε (ΓΔ) (ΒΓ) (ΒΔ) 6 Άρα (ΓΔ) (ΔΑ) μονάδες μήκους Εομένως, ερίμετρος μονάδες μήκους Γ AB 6 τετραγωνικές μονάδες Εμβαδόν Γ μονάδες μήκους Όως είναι ο γνωστό, ο λετοδείκτης εκτελεί μια λήρη εριστροφή σε χρόνο ώρας ή 6 δευτερολέτων Διαγράφει δηλαδή γωνία rad σε 6 sec Εομένως σε sec διαγράφει γωνία rad 6 Αν το μήκος του λετοδείκτη είναι ίσο με ρ, τότε σύμφωνα με τον τύο S α ρ, το άκρο του λετοδείκτη σε sec θα διαγράψει τόξο μήκους ρ 6 6 Για να είναι το μήκος αυτό ίσο με mm αρκεί ρ mm ρ mm 57 mm 6 8

29 Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες Α ΟΜΑΔΑΣ Αν στην ισότητα ημ + συν αντικαταστήσουμε το ημ με 5 βρίσκουμε: συν + συν συν συν 5 5 Διότι για < < ισχύει συν < ηµ Εομένως εϕ συν συν και σϕ ηµ Αν στην ισότητα ημ + συν αντικαταστήσουμε το συν με βρίσκουμε: ηµ ηµ ηµ Εομένως εϕ ηµ 9 και σϕ 5 5 Διότι για ισχύει ημ < < < σϕ εϕ ηµ Είναι εϕ ηµ συν, () συν Εειδή ημ + συν, λόγω της (), έχουμε: συν + συν συν + συν συν συν συν Διότι για < < ισχύει συν > Αό την () αίρνουμε ηµ εϕ σϕ

30 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις 5 συν 5 5 Είναι σϕ συν ηµ, () 5 ηµ 5 5 Εειδή ημ + συν, λόγω της (), έχουμε: 5 ηµ + ηµ ηµ ηµ 5ηµ ηµ ηµ 5 ηµ 5 5 ηµ Αό την (), τώρα, αίρνουμε συν 5 συν 5 Είναι σϕ συν ηµ ηµ Εειδή ημ + συν, λόγω της (), έχουμε: + ηµ + ηµ ηµ ηµ 5ηµ ηµ ηµ Διότι για < < ισχύει ημ < Αό την () τώρα αίρνουμε συν Εομένως η αριθμητική τιμή της αράστασης ηµ συν ισούται με: + συν ( 5) ( 5+ 5)( 5 5) Εειδή ημ + συν, αν υοθέσουμε ότι: i ημ και συν, τότε θα ισχύει +, δηλαδή, ου είναι άτοο ii ημ και συν, τότε θα ισχύει +, δηλαδή, ου είναι άτοο iii ημ 5 και συν 5, τότε Άρα, υάρχει τέτοια τιμή του, ου είναι αληθής 7 Αρκεί να δείξουμε ότι η αόσταση του Μ(, y) αό την αρχή Ο(, ) είναι ίση με Πράγματι OM y 9 συν θ+ ηµ θ 9 συνθ ηµθ 9συν θ 9ηµθ

31 Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες 8 Έχουμε 9 + y 9(συνθ) + (ημθ) 9 συν θ + 9ημ θ 6συν θ + 6ημ θ 6(συν θ + ημ θ) Έχουμε + y + z r ημ θσυν φ + r ημ θημ φ + r συν θ r ημ θ(συν φ + ημ φ) + r συν θ r ημ θ + r συν θ r (ημ θ + συν θ) r i Αν + συνα και ημα, έχουμε: ηµα συνα ηµ α ( + συνα) ( συνα) + συνα ηµα ηµ α συν α, ου ισχύει Αλλιώς αν + συνα και συνα, έχουμε: ηµα ηµα συνα ηµα συνα + συνα ( + συνα) ( συνα) συν α ηµα συνα ηµ α ii συν α ημ α (συν α) (ημ α) (συν α + ημ α) (συν α ημ α) συν α ημ α συν α ( συν α) συν α Είναι: i ii ηµθ συνθ ηµ θ συνθ συνθ ηµθ ηµθ + συνθ ( + συνθ) ( + ) ηµθ συνθ ηµθ + συνθ ηµθ + συνθ συν συν συν( + ηµ )+ συν ηµ + ηµ + ηµ ηµ ηµ ( + ) ηµ θ+ + + συνθ+ συν θ ηµθ + συνθ συνα ηµα συν συν ηµ συν συν i εϕα εϕβ + εϕα + εϕα + σϕβ εϕβ εϕβ ε εϕβ + σϕα εϕα εϕβ + ϕα εϕβ εϕβ + εϕα εϕα ηµ α ηµ α ηµασυν α ηµ α συν α ii εϕ α ηµα ηµ α συν α συν α συν α ηµ α ηµα ηµα ηµ α εϕα ηµ α συν α συνα

32 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις i συν ηµ συν ηµ συν ηµ εϕ σϕ ηµ συν συν ηµ ηµ συν συν ηµ συν ηµ συν ηµ ( συν+ ηµ ) συν ηµ συν ηµ συν+ ηµ ii συν + συν συν συν + συν συν συν ηµ ηµ ηµ εϕ ηµ συν συν iii ηµ συν ηµ συν εϕ+ σϕ ηµ συν ηµ + συν ηµ + συν + συν ηµ ηµ συν iv ηµ συν ηµ συν ηµ συν ηµ συν συν ηµ ηµ συν ηµ συν Β ΟΜΑΔΑΣ i Εειδή ημ + συν α έχουμε διαδοχικά: ii (ημ + συν) α ημ + συν + ημ συν α α + ημ συν α ημ συν ηµ + συν α α + ηµ συν ηµ συν α α () ηµ συν ηµ + συν iii εϕ+ σϕ + συν ηµ ηµ συν ηµ συν () α α iv Σύμφωνα με την ταυτότητα α + β (α + β) αβ(α + β), έχουμε: ημ + συν (ημ + συν) ημ συν (ημ + συν) α α α α α α α α α α i ημ + συν (ημ ) + (συν ) (ημ + συν ) ημ συν ημ συν

33 Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες ii Σύμφωνα με την ταυτότητα α + β (α + β) αβ(α + β), έχουμε: 6 6 ηµ συν ηµ συν + ηµ + συν ηµ συν ηµ + συν + ηµ συν 6 6 iii ηµ + συν ( ηµ + συν ) ( ηµ συν ) ( ηµ συν ) 6ηµ συν + 6ηµ συν Είναι: + ηµ ηµ ( + ηµ ) + ηµ ( ηµ ) + ηµ ( + ) ηµ + ηµ συν συν αφού + ημ και συν > (Διότι << ) Ομοίως είναι: ηµ + ηµ ( ηµ ) ( ηµ ) ( ( + ) ( ) ηµ ) ηµ ηµ ηµ ηµ +, συν ( ηµ ) συν ηµ συν Εομένως + ηµ ηµ ηµ + ηµ + ηµ ηµ ηµ εϕ συν συν συν + συν + συν + συν συν ( + συν + συν) ( + συν συν) + συν + συν ( ) + συν + συν+ + συν συν ( + συν) ( συν) Διότι < είναι ημ συν + + ηµ ηµ ηµ + + συν συν συν συν ( ) + ηµ ηµ ηµ συν συν συν ηµ συν ηµ συν ηµ ηµ ( )

34 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο Α ΟΜΑΔΑΣ i Αν διαιρέσουμε τον με τον 6 βρίσκουμε ηλίκο και υόλοιο Εομένως 6 +, οότε: ημ ημ ημ(8 6 ) ημ6, συν συν συν(8 6 ) συν6, εϕ και σϕ ii Ομοίως έχουμε , οότε: ημ( 85) ημ85 ημ ημ(6 ) ημ( ) ημ( ), συν( 85) συν85 συν συν(6 ) συν( ) συν, εφ ( 85 ) και σφ ( 85 ) i Είναι Αν τώρα διαιρέσουμε το 87 με το βρίσκουμε ηλίκο 5 και υόλοιο 7 Εομένως έχουμε: , 6 οότε: ηµ ηµ 5 ηµ ηµ ηµ , 6 συν 87 7 συν συν συν , 6 87 εϕ 6 και σϕ 87 6

35 Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο ii Είναι 8 Αν τώρα διαιρέσουμε το με το 8 βρίσκουμε ηλίκο και υόλοιο 5 Εομένως έχουμε , οότε: ηµ 5 ηµ ηµ ηµ +, συν 5 συν συν συν +, εϕ και σϕ Εειδή Α + Β + Γ 8 είναι Α 8 (Β + Γ) και Α 9 Β+ Γ Έτσι έχουμε: i ημα ημ(8 (Β + Γ)) ημ(β + Γ) ii συνα συν(8 (Β + Γ)) συν(β + Γ) Άρα συνα + συν(β + Γ) iii ηµ Α ηµ 9 Β+ Γ συν Β + Γ iv συν Α συν 9 Β+ Γ ηµ Β + Γ Εειδή συν( α) συνα, συν(8 + α) συνα, ημ( α) ημα και ημ(9 + α) ημ(9 ( α)) συν( α) συνα, έχουμε: συν( α) συν( 8 + α) συνα συνα ηµ ( α) ηµ ( 9 + α) ( ηµα) συνα 5 Είναι: εφ( ) εφ, συν( + ) συν, σϕα συν 9 + συν συν συν ( ) ηµ ( ) ηµ, ημ( + ) ημ(6 + + ) ημ( + ) ημ, συν( ) συν και σϕ σϕ 5 σϕ εϕ + 5

36 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Τότε 9 εϕ( ) συν( + ) συν + ηµ ( + ) συν( ) σϕ ( εϕ ) συν ηµ ηµ συν εϕ 6 Εειδή ημ( ) ημ, συν( ) συν, συν( ) συν( ) συν και ηµ συν, τότε: ημ ( ) + συν( ) συν( ) + ημ ημ συν συν + συν ημ + συν Β ΟΜΑΔΑΣ Εειδή: ημ95 ημ(6 + 5 ) ημ5 ημ(8 5 ) ημ5, συν συν(8 6 ) συν6, συν95 συν(6 + 5 ) συν5 συν(8 5 ) συν5, συν( ) συν, εφ( ) εφ εφ(8 6 ) εφ6 και εφ95 εφ(6 + 5 ) εφ5 εφ(8 5 ) εφ5 Η τιμή της αράστασης ισούται με Εειδή: ημ(5 + ω) ημ( + + ω) ημ( + ω) ημω, συν(7 ω) συν(6 + ω) συν( ω) συνω, 5 ηµ ω ηµ ω ηµ ω συνω +, 7 συν + ω συν ω συν ω συν ω + + ηµω, 6

37 Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο σφ(5 + ω) σφ( + + ω) σφ( + ω) σφω, ημ(7 ω) ημ(6 + ω) ημ( ω) ημω, 5 συν ω συν ω συν ω ηµω +, 7 σϕ + ω σϕ ω εϕ ω εϕ ω + + εϕω Τότε η αράσταση γίνεται: ( ηµω) ( συνω) συνω ηµω σϕω ηµω ηµω εϕω ηµω συν ω συν ω ηµω ηµω Σύμφωνα με την ταυτότητα α + β (α + β) αβ, έχουμε: εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ 6 (διότι εφω σφω ) + 5 εϕ εϕ εϕ σϕ 6 5 εϕ σϕ 5, Είναι: εϕ( + ) εϕ εϕ εϕ < < < < < < < < εϕ+ σϕ( + ) εϕ+ σϕ εϕ + εϕ + εϕ εϕ εϕ < < < εϕ < εϕ +, εϕ + ου ισχύει, γιατί αοκλείεται να είναι εφ, αφού, λόγω υοθέσεως, ορίζεται η σφ Ερωτήσεις κατανόησης Ι A Ψ Ψ Ψ 5 Ψ 6 Α 7 Ψ 8 Α 9 Α ΙΙ Η, Β, Δ, Ε, 5 Ζ, 6 Γ, 7 Α, 8 Θ ΙΙΙ A Β Α 7

38 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Α ΟΜΑΔΑΣ Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις i Για να σχεδιάσουμε τη γραφική αράσταση μιας συνάρτησης χρειαζόμαστε έναν ίνακα τιμών της Με τη βοήθεια του ίνακα: ημ,5ημ,5,5 ημ ημ σχεδιάζουμε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων, όως y y ημ φαίνεται στο διλανό σχήμα Ο y,5ημ y y ημ y ημ ii Με τη βοήθεια του ίνακα: συν,5συν,5,5,5 συν συν 8

39 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις σχεδιάζουμε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων, όως φαίνεται στο διλανό σχήμα y y συν Ο y,5συν y y συν Η γραφική αράσταση της g() + ημ ροκύτει αό μια κατακόρυφη μετατόιση της γραφικής αράστασης της y y συν f () ημ κατά μονάδα ρος τα άνω, ενώ της f () + ημ κατά μονάδα ρος τα κάτω Ο y + ημ y Η συνάρτηση f () ημ είναι εριοδική με ερίοδο Με τη βοήθεια του ίνακα: 6 ημ σχεδιάζουμε τη γραφική αράσταση της g, όως φαίνεται στο διλανό σχήμα y y ημ Ο y y ημ 9

40 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Ομοίως η συνάρτηση g() συν είναι εριοδική με ερίοδο Με τη βοήθεια του ίνακα: 6 συν σχεδιάζουμε τη γραφική αράσταση της, όως φαίνεται στο διλανό σχήμα y y συν y συν Ο y 5 Εειδή η μέγιστη τιμή της φ() ημ είναι, και η ελάχιστη τιμή της η μέγιστη τιμή της f () ημ είναι και η ελάχιστη τιμή Η συνάρτηση f () ημ είναι εριοδική με ερίοδο Με τη βοήθεια του διλανού ίνακα σχεδιάζουμε τη γραφική αράσταση της f, όως φαίνεται στο σχήμα ου ακολουθεί: ημ y y ημ y ημ Ο y y ημ 6 Ομοίως η μέγιστη τιμή της f () συν είναι, και η ελάχιστη τιμή της

41 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις Αν εργαστούμε όως στο αράδειγμα του σχολικού βιβλίου βρίσκουμε ότι η συνάρτηση g() συν, άρα και η f () συν, είναι εριοδική με ερίοδο Με τη βοήθεια του διλανού ίνακα σχεδιάζουμε τη γραφική αρά- σταση της f () συν όως φαίνεται στο σχήμα ου ακολουθεί: συν y y συν y συν Ο 5 7 y y συν 7 Η γραφική αράσταση της g() + εφ ροκύτει αό μια κατακόρυφη μετατόιση της γραφικής αράστασης της f () εφ κατά μονάδα ρος τα κάνω, ενώ της h() + εφ κατά μια μονάδα ρος τα κάτω y y + εφ y εφ Ο y + εφ y 8 Κάθε τιμή της συνάρτησης f () εφ εαναλαμβάνεται, όταν το αυξηθεί κατά, ου σημαίνει ότι η τιμή αυτή εαναλαμβάνεται, όταν το αυξηθεί κατά

42 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Εομένως η συνάρτηση f () εφ είναι εριοδική με ερίοδο Έχοντας υόψη το στοιχείο αυτό και με τη βοήθεια ενός ίνακα τιμών σχεδιάζουμε τη γραφική αράσταση της f () εφ εφ y y εφ Ο y εφ y 9 Εειδή η συνάρτηση f () σφ είναι εριοδική με ερίοδο, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα y λάτους, χ το (, ) Αν εργαστούμε, όως και για τη f () εφ, συμεραίνουμε ότι η f () σφ, y εφ είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ), έχει κατακόρυφες ασύμτωτες τις ευθείες και Ο Η γραφική της αράσταση στο (, ) φαίνεται στο διλανό σχήμα y

43 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις Β ΟΜΑΔΑΣ i Οι καμύλες του σχήματος είναι γραφικές αραστάσεις συναρτήσεων της μορφής f () α ημω, αφού έχει ερίοδο Τ και μέγιστο ίσο με Είναι φανερό ότι η ρώτη είναι η y ημ Η ερίοδος της δεύτερης ισούται με Έτσι, οότε ω ω Το λάτος της δεύτερης ισούται με Άρα η εξίσωσή της είναι η y ηµ Η ερίοδος της τρίτης ισούται με Έτσι, οότε ω ω Το λάτος α της τρίτης ισούται με Άρα η εξίσωσή της είναι η y ημ ii Αν εργαστούμε όως ροηγουμένως βρίσκουμε ότι: Η εξίσωση της ρώτης είναι η y ημ Η εξίσωση της δεύτερης είναι η y ημ Η εξίσωση της τρίτης είναι η y,5 ημ και Η εξίσωση της τέταρτης είναι η y,5ημ, ενώ η χα- i Η υψηλότερη λημμυρίδα ισούται με m και αρατηρείται όταν ηµ t 6 μηλότερη άμωτη ισούται με m και αρατηρείται όταν ηµ t Άρα, η ζητούμενη υψομετρική διαφορά ισούται με ( ) 6 m 6 ii Η συνάρτηση είναι της μορφής f () ημωt Άρα είναι εριοδική με ερίοδο: Με τη βοήθεια του ίνακα: t 6 9 συν σχεδιάζουμε τη γραφική της αράσταση ου δίνεται στο διλανό σχήμα ώρες ω 6 y (σε μέτρα) Ο (σε ώρες) 6 9 y

44 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις i Το μέγιστο ύψος ισούται με + m m, ενώ το ελάχιστο ύψος ισούται με m m Εομένως, η ζητούμενη διαφορά ισούται με m m ii Η ερίοδος της συνάρτησης ισούται με iii Έχοντας υόψη τα αραάνω και με τη βοήθεια ενός ίνακα τιμών σχεδιάζουμε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης t + συνt 6 y Ο y + συνt y i Το λάτος της κίνησης του ιστονιού ισούται με, m ii, Ο 5 t Η συνάρτηση είναι εριοδική με ερίοδο sec Η γραφική της αράσταση δίνεται στο αραάνω σχήμα Η είλυση της εξίσωσης (t),5 στο διάστημα [, ] μας δίνει τις λύσεις: 5 8, 7 8, 5 8, 8, 8 και 9 8

45 5 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις 5 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις Α ΟΜΑΔΑΣ i κ, κ Z κ κ ii ηµ ηµ ηµ + + ή, κ Z ή, κ Z κ + κ + iii κ + κ, Z Διαφορετικά οι λύσεις δίνονται και αό τον τύο λ + λ, Z, αφού τα τόξα της μορφής λ +, λ Z έχουν τελική λευρά στα σημεία Β, Β του τριγωνομετρικού κύκλου, όου συν iv συν συν συν κ ± κ, Z i ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ κ κ 6 6 ή, κ Z ή, κ Z + 7 κ κ ii ηµ κ κ, Z, αφού τα τόξα της μορφής κ, κ Z έχουν τελική λευρά στο σημείο Β του τριγωνομετρικού κύκλου όου ημ iii συν συν συν συν συν συν συν κ ± κ, Z iv συν κ+, κ Z i εϕ εϕ εϕ κ, κ Z 5

46 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις ii εϕ εϕ εϕ κ + κ 6 6, Z iii σϕ σϕ σϕ κ + κ, Z iv σϕ σϕ σϕ κ + κ 6 6, Z i εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ κ κ 6 6 6, Z ii σϕ σϕ σϕ σϕ σϕ κ κ, Z 5 i ( ηµ ) ( ηµ ) ηµ ή ηµ Έχουμε: ηµ ηµ κ +, κ Z ηµ ηµ ηµ ηµ κ + κ + ή, κ Z ή, κ Z κ + κ + ii ηµ + ( συν) ηµ + ή συν Έχουμε: κ ηµ + ηµ ηµ ηµ, κ Z 5 κ + συν συν κ, κ Z 6 i + εϕ ( εϕ) εϕ ή εφ Έχουμε: εϕ εϕ εϕ κ κ, Z εϕ εϕ εϕ κ κ +, Z 6

47 5 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις ii (συν + )(εφ ) σφ συν συν συν κ ± ή εφ ή σφ συν ή εφ εϕ ή κ + ή εφ εϕ ή κ ή εφ ή σφ ή σφ σϕ ή κ + κ, Z Όμως, οι λύσεις κ +, κ Z αορρίτονται γιατί δεν ορίζονται η εφ για κ + κ, Z 7 i Εειδή, 95 ηµ 7 ηµ ο, έχουμε: 5 ηµ, 95 ηµ ηµ 5 κ + 5 ή κ + 5 κ +, κ Z ή κ + 5 5, κ Z ii Εειδή, 89 συν6 συν, έχουμε: 5 συν συν συν συν συν, συν συν κ ± κ 5 5, Z iii Εειδή 8, 66 εϕ88 εϕ, έχουμε: 5 εϕ 8, 66 εϕ εϕ κ +, κ Z i ηµ ηµ ηµ ηµ 6 + κ + κ 9 ή, κ Z ή, 6 + κ + κ 9 κ Z 7

48 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις ii συν + συν συν συν κ κ 5 ±, Z κ +, κ Z κ + 5, κ Z 5 iii εϕ εϕ εϕ εϕ κ +, κ Z κ+ 7, κ Z 7 6 κ + 7, κ Z 9 i ηµ κ 5 + κ κ κ +, z, Z 6 ii συν συν συν συν κ + ή, κ Z κ 6 κ+ ή, κ Z 6 κ κ ή, κ Z κ 6 iii εϕ 5 εϕ 5 εϕ 5 κ κ +, Z + κ 6 κ, κ Z, κ Z 6 i Αν θέσουμε ημω t, t, η εξίσωση γράφεται: t + t t ± t ή t 8

49 5 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις Εομένως: Για t έχουμε ηµω ηµω ηµ ω κ κ, Z Για t έχουμε ηµω ηµω ηµ 6 ω κ + 6 ή, κ Z ω κ 5 6 Άρα οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται αό τους τύους: ω κ ή ω κ + 6 ii Αν θέσουμε συν t, t, η εξίσωση γράφεται: ή ω κ κ 6, Z 5 t + t t ± t ή t Για t έχουμε συν αδύνατη, αφού συν Για t έχουμε συν συν συν κ ± κ, Z Άρα οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται αό τους τύους: κ + ή κ, κ Z iii Αν θέσουμε εφt ω, η εξίσωση γράφεται: ± ω + ω ω ω ω ω ή ω 6 Εομένως: Για ω, έχουμε εϕt εϕt εϕ t κ + κ, Z Για ω, έχουμε: εϕ εϕ εϕ t t εϕt εϕ t κ κ 6 6 6, Z i Είναι ηµ + 5συν συν + 5συν συν συν συν ή συν 9

50 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Αλλά: συν συν συν κ + κ, Z συν συν συν συν συν συν συν λ ± λ, Z Εομένως οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται αό τους τύους: κ ±, κ Z ή λ ±, λ Z ii Η εφ και η σφ έχουν νόημα εφόσον συν και ημ, () Με αυτούς τους εριορισμούς, έχουμε: εϕ σϕ σϕ σϕ σϕ κ +, κ Z κ, κ Z εϕ Αό τις λύσεις αυτές καμία δεν ικανοοιεί τον εριορισμοί ημ Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη i Η συνάρτηση f ηµ αρουσιάζει μέγιστο όταν ημ και ελάχι- στο όταν ημ Αλλά: ηµ ηµ ηµ κ κ +, Z κ +, κ Z, αφού ηµ ηµ ηµ κ κ, Z κ, κ Z, αφού Εομένως, η f αρουσιάζει [, ) μέγιστο για, το f () και ελάχιστο για, το f () 5

51 5 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις ii Η συνάρτηση f 7συν αρουσιάζει μέγιστο όταν συν και ελάχιστο όταν συν Αλλά: συν συν συν κ κ, Z κ +, κ Z, αφού συν συν συν κ κ +, Z κ +, κ Z, αφού Εομένως, η g αρουσιάζει [, ) μέγιστο για, το g 7 και ελάχιστο για, το g 7 i Εειδή S αρκεί να βρούμε το t {,,, } για το οοίο ισχύει: Έχουμε: ημ t ηµ t 5 5ηµ t ηµ t ηµ t ηµ t κ ή, κ Z t κ t κ + ή, κ Z t ή t 5, αφού t t κ + 5 Άρα, οι ζητούμενοι μήνες είναι ο Ιανουάριος και Μάιος ii Το S αίρνει τη μεγαλύτερη τιμή του όταν ηµ t άρει τη μεγαλύτερη τιμή του δηλαδή όταν ηµ t 6 6 5

52 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Εειδή ηµ t ηµ t t κ +, κ Z t κ+, κ Z t, αφού t Άρα, τον μήνα Μάρτιο έχουμε το μεγαλύτερο αριθμό ωλήσεων Β ΟΜΑΔΑΣ i Είναι: ηµ συν ηµ συν + ηµ συν + + ηµ συν ηµ συν ηµ ηµ κ +, κ Z ή κ +, κ Z κ, κ Z ή 5 κ +, κ Z (αδύνατη) κ, κ Z 8 ii Η εφ και σϕ + έχουν νόημα εφόσον συν και ηµ + Με αυτούς τους εριορισμούς έχουμε: εϕ σϕ + εϕ σϕ εϕ εϕ κ +, 6 ου ικανοοιούν τους εριορισμούς εϕ εϕ κ +, 6 6 κ κ Z + κ 5, Z, κ Z 5

53 5 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις i Η εφ έχει νόημα εφόσον συν Με αυτόν τον εριορισμό έχουμε: εϕ ηµ + ηµ + εϕ ( εϕ ηµ εϕ) ( ηµ ) εϕ ( ηµ ) ( ηµ ) ( ηµ ) ( εϕ ) εϕ ή ημ (αδύνατη, γιατί συν ) εϕ εϕ κ + κ, Z Οι λύσεις αυτές είναι δεκτές, αφού ροφανώς ικανοοιούν τον εριορισμό συν ii Η εξίσωση ορίζεται, εφόσον Με αυτόν τον εριορισμό έχουμε: Αλλά: εϕ + εϕ εϕ εϕ εϕ συν ± εϕ εϕ ή εφ εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ κ κ, Z εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ ο 7 λ + λ 5 5, Z Εομένως οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται αό τους τύους: κ κ, Z ή λ + λ 5, Z, αφού ροφανώς ικανοοιούν τον εριορισμό συν Είναι εϕ εϕ εϕ κ + κ, Z Άρα έχουμε: (, ) << < κ + <, κ Z < κ+ < 6, κ Z < κ< 5, κ Z < κ < κ Εομένως η λύση της εξίσωσης είναι η + 5, κ Z 5

54 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Έχουμε: + + συν ηµ + συν ηµ συν ηµ συν ηµ ηµ + συν ( + συν) + + συν συν + συν συν ηµ + συν ηµ + συν ( συν + ) συν ή συν ηµ συν ή ηµ συν ή 5 Για συν και ηµ + έχουμε: εϕ σϕ + εϕ εϕ εϕ εϕ + 6 κ +, κ Z κ +, κ Z 6 6 6κ +, κ Z, () Εομένως έχουμε: 6κ + <, κ Z 6κ +, κ Z 6κ, κ Z κ κ 6 6, Z κ ή κ ή κ ή κ Άρα, οι λύσεις της εξίσωσης στο [, ) είναι οι αριθμοί: y 7,, και 9 Ο / A Γ y 5

55 6 Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών 6 Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών Α ΟΜΑΔΑΣ i συν συν ηµ ηµ συν συν + ii συν7 συν5 + ημ7 ημ5 συν(7 5 ) συν συν6 iii ημ ημ7 συν συν7 [συν συν7 ημ ημ7 ] συν( + 7 ) συν8 iv συν 7 συν 7 ηµ ηµ 7 + συν συν i συν συν( ) ημ ημ( ) συν( + ( ) συν ii συν + συν ηµ ηµ συν συ ν i συν + συν συν συν ηµ ηµ συν συν ηµ ηµ συν συν συν συν ii συν συν συν συν ηµ ηµ συν συν ηµ ηµ συν συν ηµ ηµ συν ηµ ηµ συν i ηµ συν συν ηµ ηµ ηµ ii ημ7 συν + συν7 ημ ημ(7 + ) ημ9 55

56 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις iii iv 7 εϕ εϕ 7 εϕ εϕ εϕ εϕ 7 + εϕ65 + εϕ5 εϕ 65 5 εϕ8 εϕ65 εϕ5 ( + ) 5 i ημ συν + συν ημ ημ( + ) ημ ii ηµ + συν συν ηµ ηµ ηµ iii iv εϕ εϕ εϕ( ) εϕ( ) εϕ + εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ σϕ i ηµ + ηµ ηµ συν συν ηµ ηµ συ ν συν ηµ ηµ συν ηµ ηµ ii (ημα + συνα) (ημβ + συνβ) ημα ημβ + ημα συνβ + συνα ημβ + συνα συνβ (ημα συνβ + συνα ημβ) + (συνα συνβ + ημα ημβ) ημ(α + β) + συν(α β) 7 ημ5 ημ(6 + 5 ) ημ6 συν5 + συν6 ημ5 ( + ) + συν5 συν(6 + 5 ) συν6 συν5 ημ6 ημ5 ( ) Οότε εϕ5 + και σϕ

57 6 Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών ημ95 ημ(5 + 5 ) ημ5 συν5 + συν5 ημ5 ( ) συν95 συν(5 + 5 ) συν5 συν5 ημ5 ημ5 + Οότε εϕ95 + και σϕ ηµα ηµβ ηµα συνβ+ συνα ηµβ ηµ α+ β 8 i εϕα+ εϕβ + συνα συνβ συνα συνβ συνα συνβ ii σϕα σϕβ συνα συνβ ηµα συνβ+ συνα ηµβ ηµ α+ β + + ηµα ηµβ ηµα ηµβ ηµ α ηµβ 9 Εειδή ηµα 5 και συνβ 5, αό τη σχέση ημ + συν βρίσκουμε ότι: συνα και ημβ 5 Έτσι έχουμε: 5 i ημ(α + β) ημα συνβ + συνα ημβ ii συν(α + β) συνα συνβ ημα ημβ i Σύμφωνα με τους τύους () και () αρκεί να υολογίσουμε το συνα και το ημβ Έχουμε λοιόν: συν α ημ α 9 6, οότε συνα 5 5 5, αφού < α < ημ β συν β 5, οότε ημβ 69 69, αφού < β < Εομένως: ημ(α + β) ημα συνβ + συνα ημβ , 57

58 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις συν(α + β) συνα συνβ ημα ημβ , 5 65 οότε εφ(α + β) 56 και σφ(α + β) 56 ii Εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόο i ηµ συν + ηµ συν συν ηµ ηµ ηµ συν ηµ ηµ συν ηµ 5 ηµ συν εϕ εϕ εϕ 6 κ +, κ Z 6 ii Η εξίσωση ορίζεται για κάθε R, με συν, και συν + Με αυτούς τους εριορισμούς έχουμε: εϕ εϕ εϕ + + εϕ εϕ εϕ εϕ ε ϕ εϕ εϕ εϕ ± Έτσι έχουμε: εϕ εϕ εϕ κ + κ, Z, εϕ εϕ εϕ κ κ, Z Όλες οι λύσεις είναι δεκτές, αφού ικανοοιούν τους εριορισμούς iii Η εξίσωση ορίζεται για κάθε R με συν( α) Με τον εριορισμό αυτό και την ροϋόθεση ότι ορίζεται η εφ, δηλαδή συν έχουμε: εϕ εϕα εϕ + εϕ( α) εϕ + + 6εϕ + εϕ εϕα εϕ 5εϕ 5 εϕ εϕ εϕ κ +, κ Z Όλες οι λύσεις, είναι δεκτές αφού είναι εύκολο να αοδειχθεί ότι ικανοοιούν τους εριορισμούς 58

59 6 Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών Β ΟΜΑΔΑΣ ηµ α β ηµα συνβ συνα ηµβ ηµα συνβ συνα ηµβ Είναι εϕα εϕβ συνα συνβ συνα συνβ συνα συνβ συνα συνβ Ώστε Ομοίως ηµ α β εϕα εϕβ συνα συνβ ηµ β γ εϕβ εϕγ και συνβ συνγ ηµ γ α εϕγ εϕα συνγ συνα Προσθέτοντας κατά μέλη τις αραάνω ισότητες βρίσκουμε: ηµ ( α β) ηµ ( β γ) ηµ ( γ α) + + εφβ + εφβ εφγ εφα συνα συνβ συνβ συνγ συνγ συνα A τρόος () Έχουμε συν α+ β συνα συνβ ηµα ηµβ συνα συνβ ηµα ηµβ, Εομένως: ημ(α + β) (ημ(α + β) + β) ημ (α + β) συνβ + συν(α + β) ημβ ημ(α + β) συνβ, (αφού συν(α + β) ) (ημα συνβ + συνα ημβ) συνβ ημα συνβ συνβ + συνα συνβ συνβ () B τρόος (ημα συνβ συνβ + ημα ημβ ημβ) ημα(συν β + ημ β) ημα Έχουμε συν( α+ β) α+ β κ +, κ Z β κ + α, κ Z Εομένως ημ(α + β) ημ(α + κ + α) ημ ( α) ημα ηµ ( α) ηµ ( + α) ηµ συνα συν ηµα ηµ συνα συν ηµα ηµ συνα συν ηµα ηµ συν εϕα ηµ συν, αφού εφα εϕ εϕ εϕ κ + κ, Z και εειδή τότε ή 5 59

60 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Εειδή α+ β θα είναι β α, οότε εϕβ εϕ εϕ εϕα εϕα α εϕ + εϕα + εϕα Εομένως ( + εϕα ) ( + εϕβ )( + εϕα ) + + εϕα + εϕα εϕα + εϕα 5 i Αν με φ συμβολίσουμε τη γωνία ΑΒΔ, έχουμε: εϕϕ ( Α ) ( ΑΓ ) AB ( ΑB) εϕb, δηλαδή εϕϕ εϕ B, () εϕβ εϕ εϕ εϕϕ () Β Β εϕ Εομένως εϕω εϕ( Β ϕ) Β + εϕβ εϕϕ εϕβ + εϕ + εϕβ Β ii Αν Β 6, τότε αό την αραάνω ισότητα βρίσκουμε ότι: () εϕ6 εϕω + εϕ 6 + Εομένως, η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Β 6 Έχουμε διαδοχικά: ηµ Α+ ηµ Β Γ συν Β Γ ηµ ( Β+ Γ)+ ηµ Β Γ εϕβ συν Β Γ, οότε ω ηµ Β συνβ ηµ Β συνγ ηµ Β συνβ συνγ+ ηµ Β ηµ Γ συνβ συνβ συνγ συνβ συνγ+ ηµ Β ηµ Γ συνβ συνγ ηµ Β ηµ Γ συν( Β+ Γ) 7 i Εειδή Α + Β + Γ, έχουμε διαδοχικά: Β+ Γ Α Α + Β Γ σφ(α + Β) σφ( Γ) σϕ Α σϕ Β σϕγ σϕβ+ σϕα σφα σφβ σφβ σφγ σφα σφγ σφα σφβ + σφβ σφγ + σφα σφα 6

61 6 Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών ii Εειδή Α + (Β + Γ), είναι συνα συν(β + Γ), οότε: συνα συν Β Γ + ηµ Β ηµ Γ ηµ Β ηµ Γ ηµ Β ηµ Γ συνβ συνγ σϕβ σϕ Γ ηµ Β ηµ Γ Ομοίως συνβ σϕγ σϕα και ηµ Γ ηµ Α συνγ σϕα σϕβ, ηµ Α ηµ Β οότε με ρόσθεση κατά μέλη, λόγω της i, βρίσκουμε το ζητούμενο 8 Η εξίσωση είναι ορισμένη για κάθε [, ], με συν και συν + Με τους εριορισμούς αυτούς και με την ροϋόθεση ότι ορίζεται η εφ, η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: εϕ + εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ + εϕ + εϕ + εϕ + εϕ εϕ εϕ ( ) εϕ + εϕ+ εϕ + εϕ εϕ εϕ + εϕ εϕ + εϕ εϕ ου είναι δεκτές, αφού ικανοοιούν τους εριορισμούς ή εϕ (αφού Δ 6) 6 ή (αφού ), Αν δεν ορίζεται η εφ, δηλαδή αν, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη 9 Αρκεί να δείξουμε ότι + y z Εειδή εφ < και εφy < και εφz <, θα είναι: εφ < εφ, εφy < εφ και εφz < εφ και εειδή η συνάρτηση εφ, τότε <, y, z <, οότε: <+y< και < z < 6

62 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Εομένως, η + y z γράφεται διαδοχικά: εϕ+ εϕy + y z ( + y) z εϕ εϕ εϕ εϕ εϕy + εϕ , ου ισχύει Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α Α ΟΜΑΔΑΣ i ηµ συν ηµ ηµ ii ηµ συν συν 6 iii συν 5 συν( 5 ) συν7 iv εϕ75 εϕ 75 εϕ5 εϕ εϕ 75 ( ) i ημα συνα ημ( α) ημα ii συν α συν α συν α ηµ α iii εϕα εϕ 6 ( α) εϕ α εϕ α i ημ α + συνα ημ α + ( ημ α) ημ α συν α ηµ α ηµασυνα ηµα ii εϕα ηµ α συν α συνα iii σϕα εϕα συνα ηµα συν α ηµ α συνα σϕα ηµα συνα ηµασυνα ηµ α ηµα συνα ηµ α+ συν α iv εϕα + σϕα + συνα ηµα ηµα συνα ηµ α ηµ α 6

63 7 Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α i Σύμφωνα με τους τύους () και () αρκεί να υολογίσουμε το ημα Έχουμε, λοιόν, ηµ α συν α Άρα ημα 5, αφού <±< Εομένως: ηµ α ηµα συνα 5 5, συνα συν α , 5 ηµ α οότε εφα συνα 7 και σφα εϕα ii Εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόο Βρίσκουμε: 7 ημα 5, συνα 7, εφα 5 7, σφα 7 εϕα+ εϕβ 5 Εειδή εϕ( α+ β), αρκεί να υολογίσουμε την εφβ Έχουμε, λοιόν, εϕα εϕ β + εϕβ εϕβ εϕ β, οότε εφ(α + β) i ημ α συνα + συν α ημα ημα συνα(ημ α + συν α) ημα συνα ημα ii ημα εφα + συν α ημα συνα ηµα συνα + συν α (ημ α + συν α) iii ηµ α ηµα συνα ηµα συνα ηµα συνα συν α συν α συνα εϕ + + α iv συν α+ ηµ α ( ηµ α)+ ηµα συνα + συνα+ ηµ α + συν α + ηµα συνα εϕα ηµ α+ ηµα συνα ηµα ηµα + συνα συν α+ ηµα συνα συνα συνα + ηµα 7 i συν ημ ημ ημ ημ + ημ ημ (ημ + ) ημ ή ημ Έτσι, έχουμε: ημ ημ ημ κ ή κ +, κ Z, Τελικά λ, λ Z 6

64 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις ημ ηµ ηµ ηµ ηµ 6 6 κ 7 ή κ +, κ Z 6 6 ii ημ συν + ημ ημ συν συν + ημ συν (ημ ) + (ημ ) (ημ ) (συν + ) ημ ή συν Έτσι, έχουμε: ημ ημ ημ κ +, κ Z, συν συν συν συν συν κ ± κ, Z 8 Στο αράδειγμα της σελίδας 9 βρήκαμε ότι: ηµ συν +,, εϕ και σϕ Σύμφωνα με τους τύους () και (5) έχουμε: ηµ συν , οότε ηµ 6 + συν + συν , οότε συν Συνεώς εϕ και σϕ Σύμφωνα με τους τύους () και (5) έχουμε: 5 i ηµ α συνα 8, οότε ηµ α, αφού 6 5 συν α συνα , οότε συν α 9, αφού 6 α < < α < < 6

65 7 Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α Εομένως εϕ α 9 και σϕ α ii ηµ α συνα 5, οότε ηµ α, αφού α < < À 5 5 συν α συνα , οότε συν α, αφού α < < À 5 5 Εομένως εϕ α και σϕ α i συν + συν συν + + συν συν + συν Έτσι, έχουμε: συν( συν+ ) συν ή συν συν κ ± κ, Z Τελικά λ +, λ Z συν συν συν συν κ ± κ, Z ii συν ηµ συν ( συν) συν συν συν κ ± κ, Z iii συν ημ συν ( συν) συν συν Τελικά λ +, λ Z συν συν συν(συν ) συν ή συν, (αδύνατη) συν κ ±, κ Z iv συν συν συν + συν συν συν συν ± συν ή συν συν συν κ +, κ Z Η εξίσωση συν είναι αδύνατη, διότι συν 65

66 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Β ΟΜΑΔΑΣ Είναι ημα ημα συνα Άρα, έχουμε: (συνα ημα) συν α + ημ α ημα συνα ημα συνα ημα Εειδή α έχουμε ημα και συνα Εομένως συνα ημα >, οότε αό τη σχέση () ροκύτει ότι: συνα ημα ηµ α ηµ α+ συν α ηµ α ηµα + συνα ηµα + συνα ηµα συνα ( + ) ηµ α συν α ηµ α συν α συν α εϕ α Εειδή +, είναι συν ηµ Άρα: ηµ συν ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ συν ηµ συν ηµ i ii εϕα + εϕ α + εϕα + εϕα εϕα εϕ α εϕ α εϕα εϕα εϕ α εϕα + σϕα εϕ α + εϕ α εϕ α εϕα + εϕα εϕα συνα+ συνα ( ηµ α)+ ( ηµ α) + συνα+ συνα + ( συν α )+ ηµ α 8ηµ α ηµ α 8ηµ α ηµα συνα 8συν α ηµ α 8συν α ηµα συνα 8ηµ α συν α ηµ α ηµα 8συν α ηµ α συν α συν α εϕ α 66

67 7 Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α 5 εφ(5 α) εϕ5 εϕα εϕα + εϕ5 εϕα + εϕα + ηµα συνα ηµα συνα συνα ηµα συνα + ηµα ( συνα ηµα) συνα+ ηµα συν α ηµ α συνα + ηµα συν α+ ηµ α+ ηµα συνα συνα + ηµ α συνα ηµ α συν α συνα ( ηµ α) ( + )( ) συνα ( ηµ α) ηµ α ηµ α ηµ α ηµ α ηµ α συνα συνα συνα συνα εϕ α συνα Αό τον τύο εφ(5 α), για α αίρνουμε: + ηµ α εϕ5 ο συν6 + ηµ ( + ) ( ) 6 i Η εξίσωση ορίζεται για κάθε R, με συν Με τον εριορισμό αυτόν έχουμε: ηµ ηµ συν εϕ συν συν συν συν ηµ ηµ συν συν ηµ συν συν( ηµ + ηµ ) συν ή ηµ + ηµ Έτσι, έχουμε: συν ή ηµ ± συν κ ±, κ Z Τελικά λ +, λ Z ημ ηµ ηµ κ κ, Z ημ ηµ ηµ κ + 5 ή κ +, κ Z Όλες οι ρίζες ου βρήκαμε είναι δεκτές, αφού ικανοοιούν τους εριορισμούς 67

68 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις ii Η εξίσωση ορίζεται για κάθε r, με συν και συν Με αυτούς τους εριορισμούς έχουμε: εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ + εϕ εϕ εϕ εϕ ή εφ Έτσι, έχουμε: εφ εϕ εϕ κ +, κ Z εφ εϕ εϕ κ, κ Z Όλες οι ρίζες ου βρήκαμε είναι δεκτές, αφού ικανοοιούν τους εριορισμούς 7 συνα συν α (συνα) (συν α ) (συν α συν α + ) 8συν α 8συν α + 8 i Είναι συν συν συν και συν συν + συν 8 8 6, 6 8 οότε με ρόσθεση κατά μέλη βρίσκουμε ότι: συν συν

69 7 Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α ii ηµ ηµ ηµ συν ηµ συν ηµ συν ηµ συν ηµ iii 8ημ α συν α (ημα συνα) (ημα) ημ α συνα 9 Σύμφωνα με τον τύο (6) έχουμε: εϕ α β+ γ α συν β γ β γ συν α α+ β+ γ + β + γ β+ γ β γ α + α+ β+γ Ομοίως, έχουμε εϕ y α+ γ β α+ β+ γ και εϕ z α+ β γ α+ β+ γ y z β γ α α γ β α β γ α β γ Εομένως εϕ + εϕ + εϕ + α+ β+ γ + + α+ β+ γ + + α+ β+ γ + + α + β+ γ 69

70 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Γ ΟΜΑΔΑΣ) Εειδή εϕβ Α και εϕγ Α, Β Γ έχουμε: A Α Α Β και Γ εϕ Β εϕ Γ B Δ Γ Α Α Α εϕγ+ Α εϕβ εϕβ+ εϕγ Άρα ΒΓ ΒΔ + ΔΓ + Α εϕβ εϕγ εϕβ εϕγ εϕβ εϕ Γ, εϕβ+ εϕγ οότε BΓ Α () εϕβ εϕ Γ, Αλλά ΒΓ ΑΔ Εομένως, η σχέση () γράφεται: εϕβ+ εϕγ εϕβ+ εϕγ Α Α εϕβ+ εϕγ εϕβ εϕ Γ εϕβ εϕγ εϕβ εϕγ Εειδή εφβ σϕβ και εφγ σϕγ, η i γράφεται: + σϕγ+ σϕβ σϕβ σϕγ σϕβ σϕγ εϕ B εϕ Γ Εειδή ηµ B και ηµ Γ, έχουμε διαδοχικά: + εϕ B + εϕ Γ εϕ Β εϕβ ηµ Β εϕβ εϕ Β εϕβ εϕ Β ε + ( + ϕ Γ) εϕβ( εϕ Γ εϕγ ηµ Γ εϕγ εϕ Γ εϕγ εϕ Γ( + εϕ Β) + ) εϕγ( + εϕ Β) + εϕ Γ εϕβ( + εϕ Γ) εϕγ( + εϕ Β) εϕβ+ εϕβ εϕ Γ εϕγ+ εϕ Β εϕγ ( εϕβ εϕγ)+ ( εϕβ εϕ Γ εϕ Β εϕγ) ( εϕβ εϕγ) εϕβ εϕγ( εϕβ εϕγ) ( εϕβ εϕγ) ( εϕβ εϕγ) εϕβ εϕγ ή εφβ εφγ Β Γ [γιατί < Β, Γ < 8 ] ή εφβ σφγ εφ(9 Γ) Β Γ ή Β 9 Γ [γιατί < Β, Γ < 8 ] Β Γ ή Α 9 Δηλαδή, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ή ισοσκελές 7

71 Γενικές Ασκήσεις (Γ Ομάδας) Αρκεί να δείξουμε ότι η αόσταση του Μ(, y) αό το Κ(,) ισούται με, δηλαδή ότι: ( ) + ( y ) + ( ) ή y Πράγματι, εειδή + συνt, y + ημt, έχουμε: + ( y ) ( συνt) + ( ηµ t) συν t+ t ( ηµ συν t+ ηµ t) i Η εξίσωση ορίζεται, εφόσον συν και ημ Με αυτούς τους εριορισμούς έχουμε: + ηµ συν + ( + ηµ ) + συν συν( + ηµ ) συν + ηµ + ηµ + ηµ + συν συν+ ηµ συν + ηµ συν ηµ συν + ηµ συν ηµ συν ( + ηµ ) συν( + ηµ ) ( + ηµ ) ( συν) συν [γιατί, λόγω εριορισμού, ισχύει ημ ] συν συν συν κ ± κ, Z Οι λύσεις αυτές είναι δεκτές αφού ικανοοιούν τους εριορισμούς ii Η εξίσωση ορίζεται εφόσον ημ και ημ Με αυτούς τους εριορισμούς έχουμε: συν σϕ συν συν σϕ ηµ συν ηµ ηµ ηµ συν ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ + ηµ ± ηµ [αφού, λόγω εριορισμού, είναι ημ ] κ + κ + ηµ ηµ 6 ή, κ Z ή 6 κ + κ + 6 Οι λύσεις αυτές είναι δεκτές, αφού ικανοοιούν τους εριορισμούς 6 5 6, κ Z 7

72 Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις 5 i Εειδή < <, ισχύει εφ > Εομένως, έχουμε: εφ + σφ εφ + εφ + εφ εϕ εφ εφ + (εφ ), ου ισχύει ii Εειδή α < β <, ισχύει συνα >, συνβ > και εφα < εφβ, () ηµα+ ηµβ Αρκεί να αοδείξουμε εϕα < συνα + συνβ και ηµα+ ηµβ < εϕβ συνα + συνβ ηµα+ ηµβ ηµα ηµα+ ηµβ εϕα < < συνα + συνβ συνα συνα + συνβ ( + ) ηµα συνα+ συνβ < συνα ηµα ηµβ ηµα συνα+ ηµα συνβ < ηµα συνα + συνα ηµβ ηµα συνβ συνα ηµβ ηµα συνβ< συνα ηµβ < συνα συνβ συνα συνβ εϕα < εϕβ, ου ισχύει ηµα+ ηµβ ηµα+ ηµβ ηµβ < εϕβ < εϕα< εϕβ, ου ισχύει συνα + συνβ συνα + συνβ συνβ 6 Έχουμε: συν συν συν συν κ + κ ή, κ Z ή κ κ + κ ή, κ Z κ +, κ Z Διακρίνουμε, τώρα, τις εξής εριτώσεις: 7

73 Γενικές Ασκήσεις (Γ Ομάδας) Αν κ, κ Z, τότε έχουμε: (, 5) < < 5 < κ < 5 < κ < 5 5 < κ <, αδύνατο αφού κ Z Άρα, δεν υάρχουν λύσεις της μορφής κ, κ Z στο διάστημα (, 5) Αν κ +, τότε έχουμε: (, 5) < κ + < 5 < κ + < 5 κ < κ < < κ < < κ < Z κ Άρα, η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση της μορφής κ + στο διάστημα (, 5), την ( ) + Αυτή είναι και η μοναδική λύση της εξίσωσης στο διάστημα (, 5) 7 Στο κατακόρυφο είεδο του τροχού ορίζουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, y όως φαίνεται στο σχήμα, του οοίου οι άξονες έχουν μονάδες με μήκος m Αν Μ είναι η θέση του βαγονιού Α, t sec μετά την έναρξη της εριστροφής του τροχού και y M η τεταγμένη του, τότε ροφανώς το ζητούμενο ύφος ισούται με: Μ Ο m Μ t m Β A h + y M, () Εειδή ο εριστρεφόμενος τροχός εκτελεί μια λήρη εριστροφή σε 8 sec, η ακτίνα ΟΑ σε 8 sec διαγράφει γωνία rad Εομένως, σε sec διαγράφει γωνία rad rad, οότε σε t sec θα διαγράψει γωνία t rad 8 Εειδή ρ (ΟΜ) m, σύμφωνα με τον τύο y M ρ ημω, θα ισχύει y M ημ t, οότε, λόγω της (), έχουμε h + ημ t K 7