είναι γραµµικώς ανεξάρτητοι, αποτελούν βάση του υποχώρου των πινάκων Β άρα η διάστασή του είναι 2. και 2

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "είναι γραµµικώς ανεξάρτητοι, αποτελούν βάση του υποχώρου των πινάκων Β άρα η διάστασή του είναι 2. και 2"

Μακάριος Μαλαξός
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Ιουλίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του µαθήµατος, ενώ αό τα Θέµατα,, 4 και 5 µορείτε να ειλέξετε το ολύ τρία Προσοχή: Αν ροσαθήσετε να ειλύσετε και τα τέσσερα Θέµατα,, 4 και 5 ρέει να µας υοδείξετε οια τρία αό αυτά θέλετε να βαθµολογήσουµε Θέµα (4 µονάδες) α) ( 5 µονάδες) Aν A να βρεθούν όλοι οι ίνακες Β µε ραγµατικούς συντελεστές για τους - - οοίους ισχύει ΑΒ οθέντος ότι το σύνολο των ινάκων Β αοτελεί υόχωρο του διανυσµατικού χώρου όλων των ραγµατικών ινάκων, δώστε µία βάση του και την διάστασή του y Εστω B z w Η σχέση ΑΒ y ισοδυναµεί µε z w, δηλαδή µε το σύστηµα z ου έχει γενική λύση y+ w a, z a, y b, w b όου a, b, αυθαίρετοι ραγµατικοί αριθµοί a b Άρα η γενική µορφή του ίνακα Β είναι B a + b a b Αµεσα ροκύτει ότι οι ίνακες, είναι γραµµικώς ανεξάρτητοι, αοτελούν βάση του υοχώρου των ινάκων Β άρα η διάστασή του είναι β) ( 5 µονάδες) ώστε όλες τις τιµές του b για τις οοίες το σύστηµα b y έχει b z λύσεις και για τις τιµές αυτές δώστε το σύνολο των λύσεων του συστήµατος R R αν b, R/( b b b R R ) R R αό όου έχουµε την R/( b ) b b µοναδική λύση ( yz,, ) (,,) στην ερίτωση b Αν b, τότε η κλιµακωτη µορφή είναι όου a, b, αυθαίρετοι ραγµατικοί αριθµοί και άρα το σύστηµα έχει αειρες λύσεις (, yz, ) ( a bab,, ) 5 γ) ( 5 µονάδες) Να βρεθούν οι ιδιοτιµές και αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα για τον ίνακα A Ο Α διαγωνοοιείται; Ο Α είναι αντιστρέψιµος; 5 λ det( A λi) (5 λ)( λ) + λ 7λ + ( λ )( λ 4) άρα οι ιδιοτιµές του λ Α είναι λ, λ 4 µε αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα και Ο Α είναι διαγωνιοοιήσιµος εειδή οι ιδιοτιµές του είναι ραγµατικές και διακριτές και είναι αντιστρέψιµος αφού οι ιδιοτιµές του είναι µη µηδενικές ΜΗ ΤΕΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΓΙΑ ΣΧΟΛΙΑ- ΙΟΡΘΩΣΕΙΣ vassilis@mathupatrasgr

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Ιουλίου 6 δ) ( 5 µονάδες) Να βρεθούν όλες οι τιµές του για τις οοίες η σειρά ( ) συγκλίνει Χρησιµοοιώντας το κριτήριο του λόγου έχουµε ότι: η σειρά συγκλίνει εάν + ( ) ( ) ( ) / + ( + ) ( + ) <, δηλαδή < < ου ισοδυναµεί µε < < δηλ < <4 ( ) και αοκλίνει εάν > δηλ για τις τιµές του εκτός του διαστήµατος [,4] Για έχουµε την σειρά η οοία συγκλίνει (εναλλάσσουσα µε γενικό όρο κατ αόλυτη τιµή ακολουθία φθίνουσα µηδενική) Για 4 έχουµε την σειρά η οοία αοκλίνει (αρµονική σειρά), ε) ( 5 µονάδες) ίνεται η συνάρτηση f ( ) + ορισµένη στους ραγµατικούς αριθµούς Να εξετάσετε την µονοτονία της και να βρείτε την µέγιστη και ελάχιστη τιµή της συνάρτησης όταν το ανήκει στο κλειστό διάστηµα [,4] Παραγωγίζοντας την f έχουµε f ( ) + 4 ( 4+ ) ( )( ), και ο ίνακας ροσήµων της f, η µονοτονία της f και οι τιµές της στα ακρα του διαστήµατος και στα κρίσιµα σηµεία δίδονται αό τον ίνακα: - 4 ροσ f' + f -/ -/ - Αρα όταν το ανήκει στο κλειστό διάστηµα [,4] η µέγιστη τιµή της συνάρτησης είναι (για ή ) και η ελάχιστη τιµή -/ (για ή 4) στ) ( 5 µονάδες) Βρείτε το ανάτυγµα Taylor µέχρι όρους τάξης της συνάρτησης e και υολογίστε µέσω αυτού το όριο lim f ( ) e, στο ειτε µε αραγωγίσεις είτε µε αντικατάσταση στην δυναµοσειρά της εκθετικής συνάρτησης έχουµε ( ) ( ) e + + O( ) οότε f ( ) e + O ( ) + O ( )!! e + O( ) και το όριο lim lim lim + O( ) ζ) ( 5 µονάδες) Υολογίστε το ολοκλήρωµα l d d µε αντικατάσταση u l, du, l d udu u / + C (l ) /+ C ΜΗ ΤΕΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΓΙΑ ΣΧΟΛΙΑ- ΙΟΡΘΩΣΕΙΣ vassilis@mathupatrasgr

3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Ιουλίου 6 η) ( 5 µονάδες) Να υολογιστεί τα άθροισµα (Υόδειξη: Κάντε ρώτα τη διάσαση του ( + )( + ) γενικού όρου σε αλά κλάσµατα, βρείτε το µερικό άθροισµα των ρώτων k όρων και άρτε το όριο k ) Η διάσαση σε αλά κλάσµατα του γενικού όρου είναι µε άθροισµα lim οότε η σειρά είναι τηλεσκοική ( + )( + ) + + Θέµα ( µονάδες) Θεωρούµε την γραµµική αεικόνιση f :, f(, y, z) ( y+ z, y z, y+ z) (α) ( µον) Να βρεθεί: (i) ο ίνακά της ως ρος την κανονική βάση του, (ii) η ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του ίνακα αυτού, και (iii) βάση και διάσταση του υρήνα της f, Kerf, και της εικόνας της f, Imf (β) (8 µον) Είναι η f αντιστρέψιµη; Είναι η f εί; εχεται η f ως ιδιοτιµή το και αν ναι δώστε µία βάση του αντίστοιχου ιδιοχώρου ( Υόδειξη: οι ααντήσεις στο β) µορούν να βασιστούν στις ααντήσεις του α)) (α) (i) Ο ίνακάς της ως ρος την κανονική βάση στο είναι A (ii) Η ανηγµενη κλιµακωτή µορφή βρίσκεται µε ράξεις στις γραµµές ως εξής: (iii) Εειδή τα διανύσµατα (, yz, ) στον υρήνα είναι αυτά ου λύνουν το σύστηµα y, z λόγω του (ii), (, yz, ) (,,) και συνεώς η βάση του υρήνα της Ker f είναι το κενό σύνολο εοµένως dim Ker f Είσης αό την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή έχουµε ότι µια βάση της εικόνας της f είναι {(,, ), (-,, -), (, -, ) } και dim Im f (ροφανώς Im f και µία βάση είναι η συνήθης βάση του ) β) Η f είναι αντιστρέψιµη αφού Ker f {} Είναι εί καθώς Im f ; εν δέχεται ως ιδιοτιµή το αφού ο υρήνας Ker f είναι ο µηδενικός υόχωρος Θέµα ( µονάδες) (α) (8 µον) Να υολογισθούν τα όρια: (i) lim l( + ) (β) (8 µον) Να εξεταστούν ως ρος τη σύγκλιση οι σειρές: (i) (ii) lim si cos + (ii) (γ) (4 µον) Υοθέτουµε ότι η ακολουθία a συγκλίνει και ικανοοιεί την αναδροµική σχέση a + a + Να βρεθεί το όριό της! ΜΗ ΤΕΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΓΙΑ ΣΧΟΛΙΑ- ΙΟΡΘΩΣΕΙΣ vassilis@mathupatrasgr

4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Ιουλίου 6 (α) (i) l( + ) /( + ) /( + ) lim lim lim lim l( ) l( ) l( ) /( ) /( + ) + /( + ) si si + cos cos + cos si (α) (ii) lim lim lim cos si cos (β) (i) (Χρησιµοοιώντας το κριτήριο της ρίζας έχουµε ( a ) / lim lim <, άρα η σειρά συγκλίνει + 4 (β) (ii)χρησιµοοιώντας το κριτήριο του λόγου έχουµε a lim lim lim <, άρα η σειρά συγκλίνει + + /( + )! a /! + (γ) Αό την υόθεση έχουµε ότι lim a άρα και το όριο της υακολουθίας lim a + Λογω της αναδροµικής εξίσωσης έχουµε lim a+ lim a + συνεώς lim a+ lim a + δηλ άρα + Θέµα 4 ( µονάδες) (α) ( µον) Να δώσετε το εδίο ορισµού, να υολογίσετε την αράγωγο της συνάρτησης f ( ) l(l ) εκεί όου υάρχει και να υολογίσετε το όριο lim[ l(l )] (β) (8 µονάδες) Αν + y 4 όου, y θετικοί ραγµατικοί αριθµοί να βρεθεί η µέγιστη τιµή της οσότητας Ε y (α) Το εδίο ορισµού ροσδιορίζεται αό τους εριορισµούς > και l>, άρα > Η f αραγωγίζεται αντού στο εδίο ορισµού της και df l(l ) + l(l ) +, για > d l l Για το όριο έχουµε ότι lim l, οότε θέτοντας y l, έχουµε lim l(l ) lim l( y) Αρα lim l(l ) ( ) (β) Αντικαθιστούµε το y συναρτήσει του οότε Ε y (4 ) και θεωρούµε την οσότητα Ε ορισµένη για θετικό και µικρότερο του καθώς και το y λαµβανει θετικές τιµές (αρα 4- >) Εχουµε de / d (4 ) (4 ) (4 ) και αό τον ίνακα ροσήµων της αραγώγου 4/ de/d + E 4 / συµεραίνουµε την µονοτονία και βρίσκουµε την µέγιστη τιµή του Ε ου είναι 4 / για 4/ και (συνεώς) y 4/ y Θέµα 5 ( µονάδες) (α) (6 µον) Να υολογισθούν τα ορισµένα ολοκληρώµατα si( ) d για τις τιµές,,, (β) (4 µον) Να δοθεί το ανάτυγµα σε σειρά Fourier της εριοδικής µε ερίοδο συνάρτησης f ου ορίζεται στο διάστηµα ως f ( ) ΜΗ ΤΕΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΓΙΑ ΣΧΟΛΙΑ- ΙΟΡΘΩΣΕΙΣ vassilis@mathupatrasgr 4

5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Ιουλίου 6 (α) cos( ) cos( ) cos( ) si( ) d d + d cos( ) cos( ) d + cos( ) si( ) C + +, για,,, si( ) d (εειδή η συνάρτηση ηµίτονο είναι εριττή) si( ) d cos( ) si( ) cos( ) si( ) cos( ) si( ) cos( ) ( ) (β) Εειδή η συνάρτηση f είναι εριττή το ανάτυγµά της σε σειρά Fourier δίνεται αό την σειρά ηµιτόνων ( ) b si( ) όου b si( ) d ου βάσει του υολογισµού στο (α ) ισούται ρος Ετσι το ανάτυγµα της σε σειρά Fourier της f δίνεται αό την σειρά Για την σύγκλιση της σειράς έχουµε ότι και + ( ) si( ) για { κ, κ ακέραιος} + ( ) si( ) + ( ) si( ) f ( ) για -{ κ, κ ακέραιος} ΚΑΛΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ! ΜΗ ΤΕΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΓΙΑ ΣΧΟΛΙΑ- ΙΟΡΘΩΣΕΙΣ vassilis@mathupatrasgr 5

Σχετικά έγγραφα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του