xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy

Transcript

1 ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα : cos sin dd Ολοκληρώνουμε ρώτα ως ρος θεωρώντας το σαν σταθερά (αρατηρούμε ότι το «εσωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, δηλαδή ρώτα εμφανίζεται το d) και μετά ως ρος (το «εξωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, το d εμφανίζεται δεύτερο στην σειρά ολοκλήρωσης). Έτσι γιατί cos cos sin d d sin d sin (cos ) d sin cos d cos 6 u cos sin cos sin cos d u du + c + c (θέτουμε u cos du sin d) ΘΕΩΡΙΑ (α) Εάν το χωρίο είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά αό τις ευθείες α και β και αό άνω και κάτω αό τις καμύλες g ( ) & g ( ) τότε το διλό ολοκλήρωμα: β g ( ) f ( d, ) f( d, ) d a g ( ) η ολοκλήρωση γίνεται ρώτα ως ρος d dd β) Εάν το χωρίο είναι φραγμένο άνω και κάτω αό τις ευθείες d και c και αριστερά και δεξιά αό τις καμύλες h( ) & h( ) τότε 76

2 το διλό ολοκλήρωμα: da dd d h ( ) ' f (, ) d f (, ) d d ' c h ( ) το διλό ολοκλήρωμα: η ολοκλήρωση γίνεται ρώτα ως ρος Παρατήρηση (ερμηνεία του διλού ολοκληρώματος) Αν f (, ) τότε το f (, ) dd αριστάνει τον ΟΓΚΟ ου βρίσκεται κάτω αό το γράφημα της f (, ) και άνω (μέσα ) αό το χωρίο Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα,,, 4 da όου είναι το χωρίο ου ερικλείεται αό τις Εργαζόμενοι όως στο (α) αραάνω θα έχουμε: 4 4 d d d d 4 ( ) 4 ( ) d d d Εφαρμογή 77

3 Να υολογιστεί το διλό ολοκλήρωμα αό τις,,, Το χωρίο ολοκλήρωσης φαίνεται αρακάτω e d, όου είναι το χωρίο ου ερικλείεται Εχουμε λοιόν (ολοκληρώντας ρώτα ως ρος ) e d e dd e d ( e e ) d ( e e ) d Αλλά κάνοντας αραγοντική ολοκλήρωση e d e e + c και είσης 9 9 κάνουμε αραγοντική ολοκλήρωση). u u e d ( ue e ) + c ( e e ) + c (θέτουμε Τελικά u du d και κατόιν 5 e da ( e e ) d e e + e e... e + e Παρατήρηση (ΕΜΒΑΔΟΝ χωρίου με την βοήθεια ΔΙΠΛΟΥ ολοκληρώματος) Εάν η συνάρτηση ου ολοκληρώνουμε στο διλό ολοκλήρωμα είναι ίση με, δηλαδή f(, ), τότε το διλό ολοκλήρωμα: f ( d, ) ΕΜΒΑΔΟΝ του χωρίου (όως είδαμε αραάνω το διλό ολοκλήρωμα μη-αρνητικής συνάρτησης αριστάνει, γενικότερα, ΟΓΚΟ). Εφαρμογή 78

4 Υολογιστεί το εμβαδόν του (είεδου) χωρίου ου ερικλείεται αό τις καμύλες 9, 9. Το χωρίο ολοκλήρωσης φαίνεται αρακάτω Οι καμύλες τέμνονται στα σημεία (,) και (9,9). Το εμβαδόν του χωρίου δίνεται αό το διλό ολοκλήρωμα: 9 9 f(, ) d d d ( ) d ( ) d ( )

5 ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Πολλές φορές, ένα διλό ολοκλήρωμα υολογίζεται ευκολότερα αν αντί για καρτεσιανές συντεταγμένες (, ) χρησιμοοιήσουμε ολικές συντεταγμένες (, r θ ) όου : rcosθ + r rsinθ Παρατήρηση Η μέθοδος χρησιμοοιείται ιδιαίτερα όταν το χωρίο ολοκλήρωσης είναι ένας κυκλικός δίσκος (ή μέρος αυτού). Ισχύει f (, ) dd f ( r cos θ, r sin θ) r dr dθ ' όου είναι το χωρίο στο οοίο μετασχηματίζεται το χωρίο με την αλλαγή των μεταβλητών. Προσοχή ολλαλασιάζουμε με r. Γενικότερα ισχύει το αρακάτω θεώρημα για διλά ολοκληρώματα και αλλαγές μεταβλητών. Θεώρημα (αλλαγή μεταβλητών σε διλό ολοκλήρωμα) Αν, είναι δυό μεταβλητές οι οοίες είναι συναρτήσεις των μεταβλητών u,v τέτοιες ώστε τότε: ( u, v):, ( u, v): (, ) f (, ) dd F( u, v) du dv ( uv, ) (, ) όου Fuv (, ) f( uv (, ), uv (, )), J είναι η Ιακωβιανή του μετασχηματισμού και ( uv, ) είναι το χωρίο στο οοίο μετασχηματίζεται το χωρίο με την αλλαγή των μεταβλητών. Παρατήρηση 8

6 Εάν rcos θ, rsinθ τότε J θεώρημα έχουμε (, ) r θ cosθ r sinθ r οότε αό το (, r θ ) sinθ rcosθ r θ f (, ) dd f ( r cos θ, r sin θ) r dr dθ ' Εφαρμογή Να υολογιστεί το ( + + dόου είναι το χωρίο ου ορίζεται : (κυκλικός δίσκος). ) Χρησιμοοιώντας ολικές συντεταγμένες θα έχουμε: rcos θ, r Θέτουμε rsin θ, θ οότε ( ) ( cos sin ) dd r θ + r θ + rdrdθ Παρατήρηση r r 4 4 ( r + ) rdrdθ dθ ( r + r) dr + 4 Υολογίστε άμεσα το ολοκλήρωμα ( + + ) dd ( + + ) dd ()? 4 Εφαρμογή Να υολογιστεί το dd όου είναι το χωρίο στο ο τεταρτημόριο ου ερικλείεται αό την ευθεία (κάτω) και τον κύκλο : ( ) +. 8

7 ' Το χωρίο μετασχηματίζεται στο { } όου Άρα Χρησιμοοιώντας ολικές συντεταγμένες θα έχουμε: rcosθ Θέτουμε rsinθ και το γεγονός ότι ο κύκλος ( ) + σε ολικές συντεταγμένες γράφεται : ( r θ ) ( r θ) cos + sin r cos θ rcosθ + + r sin θ r r θ r cos cosθ : r, θ, r cos θ, θ 4 (γιατί;) και cosθ ( ) cosθ cosθ θ dd rsinθ rdrdθ sinθ rdrdθ sinθ r d sin θ cos θdθ u cos θ sinθcos θdθ u du + c c (θέτω u cosθ du sin d 4 4 cos θ dd 8 8i i i θ θ ) Παρατήρηση (χωρίς τη χρήση ολικών συντεταγμένων). Έχουμε: D ( ) dd d d...? (υολογίστε το να δείτε αν βρίσκουμε το ίδιο αοτέλεσμα). Εφαρμογή Σχεδιάστε την εριοχή ολοκλήρωσης και χρησιμοοιήστε κατάλληλο μετασχηματισμό για να υολογίσετε το διλό ολοκλήρωμα dd 8

8 Το χωρίο ολοκλήρωσης D είναι D (, ) :,. { } Η συνάρτηση, εριγράφει το τόξο ημικυκλίου του κύκλου με κέντρο το (,) και ακτίνα ρ στο άνω ημι-είεδο του συστήματος συντεταγμένων. αν το [ ] Ισχύει: Άρα + ( ) +. D {(, ) : ( ) +, } (- ) / D / / - Στην ερίτωση αυτή εισάγουμε τον μετασχηματισμό με εξισώσεις: ρcosθ, ρsin θ, ρ θ Τα σημεία του χωρίου D ικανοοιούν τις σχέσεις ρ και θ αφού ( ) + ρ και ρsin θ sin θ θ. Άρα το χωρίο D μετασχηματίζεται στο {( ρ, θ : ρ, θ } D : D. Η Ιακωβιανή του μετασχηματισμού είναι J ρ εειδή Άρα ρ ρ cos θ sin θ J ρ>, ρsin θ ρcosθ θ θ 8

9 Ι dd ( + ρcosθ) ρdρdθ ( + ρcosθ) ρdρ dθ D D + cosθ dθ θ + sin θ. ρ ρ + cosθ dθ ΑΛΛΑΓΗ ΤΗΣ ΣΕΙΡΑΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Πολλές φορές, ένα διλό ολοκλήρωμα είναι δύσκολο να υολογιστεί με τη σειρά ολοκλήρωσης στην οοία δίνεται. Πρέει να αλλάξουμε λοιόν τη σειρά ολοκλήρωσης. Προσοχή: αλλαγή της σειράς ολοκλήρωσης δεν σημαίνει αλά αντιμετάθεση των ολοκληρωμάτων. Αλλάζουν και τα όρια ολοκλήρωσης. Εφαρμογή Δίνεται το e f (, ) dd (α) Να σχεδιαστεί το χωρίο ολοκλήρωσης (β) Να αλλάξετε τη σειρά ολοκλήρωσης (α) Εδώ & e. Το χωρίο φαίνεται στο σχήμα. (β) Αν τώρα το γίνει η ανεξάρτητη μεταβλητή : Άρα e και e ln και, ln ενώ e 84

10 e e f (, ) dd f (, ) dd ln (ρώτα ως ρος ) (ρώτα ως ρος ) Εφαρμογή Να υολογιστεί το e dd Το e d δεν μορεί να υολογιστεί άμεσα, γι αυτό αλλάζουμε τη σειρά ολοκλήρωσης. ( ) e dd e dd e d u u ( e d e du e e ) (θέσαμε u, du d ) Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα: sin d d sin Το ολοκλήρωμα d είναι δύσκολο να υολογιστεί. Αλλάζοντας την σειρά ολοκλήρωσης, το ολοκλήρωμα ου μας δίνεται γίνεται: 85

11 sin sin sin d d ( d) d ( ) d sin cos ( )d sin d d ( - sin) 4 o ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ Εάν είναι ένα στερεό ου ερικλείεται αό τις ειφάνειες z g (, ) και z g (, ) και η ροβολή του στο Ο-είεδο τότε: Το τριλό ολοκλήρωμα g (, ) f ( zd,, ) f( zdzd,, ) g (, ) ολοκλήρωση ως ρος z ρώτα d dddz d dd Εφαρμογή Να υολογιστεί το τριλό ολοκλήρωμα zdzdd Ποιό το χωρίο ολοκλήρωσης σ αυτή την ερίτωση; Έχουμε (ρέει να ολοκληρώσουμε ρώτα ως ρος z, κατόιν ως ρος και τελικά ως ρος, γιατί αυτή είναι η σειρά με την οοία δίνονται οι ολοκληρώσεις στο ολοκλήρωμα ου θέλουμε να υολογίσουμε). 86

12 z ( ) zdzdd zdz d d d d d d 4 5 ( ) ( ) (4 6 )... ( ) d d + + d Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα: d όου το στερεό ου ερικλείεται αό την η τρίεδρη γωνία των αξόνων (δηλαδή, ) και αό τον κύλινδρο + 4 και το είεδο z 4 Εδώ z g και z 4 g Άρα dv dzdd z dd 4 4 (4 dd ) 4 d ( ) 4 4 (4 ) d... 87

13 ΤΡΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ- ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Πολλές φορές, ένα τριλό ολοκλήρωμα υολογίζεται ευκολότερα αν αντί για καρτεσιανές συντεταγμένες (, z, ) χρησιμοοιήσουμε κυλινδρικές συντεταγμένες (, r θ, z) όου : rcosθ z z rsinθ + r Έτσι f ( zdddz,, ) f( rcos θ, rsin θ, zrdrd ) θdz όου είναι το χωρίο στο οοίο μετασχηματίζεται το χωρίο με την αλλαγή των μεταβλητών. Προσοχή ολλαλασιάζουμε με το r το drdθ dz Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα: ( + + ) z d όου το στερεό ου ερικλείεται αό + 4, z, z 6 Θα χρησιμοοιήσουμε κυλινδρικές συντεταγμένες rcosθ r rsinθ θ z z z 6 Άρα ( + + z) d ( + + z) dz d g 6 z 6 ( ) z d ( ) 6 d r 8r ( 6r 8) rdr dθ dθ 88

14 6dθ 6* Εφαρμογή Να υολογιστεί το τριλό ολοκλήρωμα d όου το χωρίο του ου φράσεται αό την ειφάνεια z 9,, (αραβολοειδές) και το Ο -είεδο Παρατήρηση Το αραάνω ρόβλημα μορεί να αρουσιαζόταν και στην αρακάτω εναλλακτική μορφή Έστω ότι δίνεται το τριλό ολοκλήρωμα 9 9 dzdd 9 (Ι) Σχεδιάστε την εριοχή ολοκλήρωσης (ΙΙ) Υολογίστε το ολοκλήρωμα (Ι) Παρατηρώντας το ολοκλήρωμα, βλέουμε ότι η εριοχή ολοκλήρωσης ερικλείεται ανάμεσα στις ειφάνειες: (άνω) το αραβολοειδές (κάτω) το Ο-είεδο z 9 Βρίσκεται δε μέσα στον κύλινδρο + 9 (δηλαδή η ροβολή του χωρίου, στο -είεδο είναι ο κύκλος + 9) Το χωρίο (εριοχή) φαίνεται στο διλανό σχήμα. (ΙΙ) Εειδή το χωρίο είναι κύκλος, για τον υολογισμό του ολοκληρώματος θα χρησιμοοιήσουμε καλύτερα κυλινδρικές συντεταγμένες. Άρα rcosθ sin,,, 9 9 z z r θ r θ z r dddz rdrdθdz 89

15 9 9 9 r 9 r dzdd r cos θdz rdr dθ zr cos θ dr d θ r r 4 r ( 9 r ) dr cos θdθ cos θ dθ cos d θ θ 4 4 ( cosθ) dθ Εφαρμογή Να βρεθεί το τριλό ολοκλήρωμα: άνω ημισφαίριο της σφαιρας z d d dz, όου είναι η εριοχή ου ορίζεται αό το D + + z a και το είεδο z. : Η εξίσωση του άνω ημισφαιρίου, της σφαίρας z z a + + z a, είναι: με μετασχηματισμό σε κυλινδρικές συντεταγμένες: Άρα είναι: rcosθ rsinθ z z + r z zdddz zdz rdr dθ rdr dθ a a r a a r a ( ) rdr dθ a r 4 ar r a a a a dθ a dθ 9

16 ΤΡΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ- ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Μερικές φορές, ένα τριλό ολοκλήρωμα υολογίζεται ευκολότερα αν αντί για καρτεσιανές συντεταγμένες (, z, ) χρησιμοοιήσουμε σφαιρικές συντεταγμένες (, r θ, φ) όου : rsinφcosθ r rsinφ sinθ θ z rcosφ φ Έτσι f ( zdddz,, ) fr ( sinφ cos θ, rsinφsin θ, rcos φ) rsinφdrdφdθ όου είναι το χωρίο στο οοίο μετασχηματίζεται το χωρίο με την αλλαγή των μεταβλητών. Προσοχή ολλαλασιάζουμε με το r sinφ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα: z z dzdd + + Το χωρίο ολοκλήρωσης είναι το άνω ημισφαίριο σφαίρας κέντρου (,,) και ακτίνας (γιατί;). Θα χρησιμοοιήσουμε σφαιρικές συντεταγμένες rsinφcosθ r rsinφ sinθ θ και z rcosφ φ Άρα z z d z r 9

17 5 r cos φ r r sinφdr dφ dθ r dr dθ cos φsinφdφ 6 r 64 cos φ cos φd( cosφ) dφ Παρατήρηση (ΟΓΚΟΣ στερεού με την βοήθεια ΤΡΙΠΛΟΥ ολοκληρώματος) Εάν η συνάρτηση ου ολοκληρώνουμε στο τριλό ολοκλήρωμα είναι ίση με, δηλαδή f(,, z ), τότε το τριλό ολοκλήρωμα: d ΟΓΚΟΣ του στερεού (το τριλό ολοκλήρωμα μη-αρνητικής συνάρτησης αριστάνει γενικότερα «υερ-ογκο»). Εφαρμογή Να υολογίσετε τον όγκο του στερεού ου ερικλείεται αό τις είεδες ειφάνειες,, z και + + z. Το στερεό (τετράεδρο) ου ορίζεται αό τις αραάνω ειφάνειες φαίνεται αρακάτω Η ροβολή του άνω στο Ο είεδο φαίνεται στο αρακάτω σχήμα (χωρίο ) 9

18 Ο ζητούμενος όγκος είναι ίσος με ( )... V d dzd ( d ) ( dd ) ( ) d d 6 Εφαρμογή Να υολογίσετε τον όγκο του στερεού ου ερικλείεται αό τις ειφάνειες,, +z6, z και z +. Το στερεό ου ορίζεται αό τις αραάνω ειφάνειες φαίνεται αρακάτω (άνω αό το «σκούρο» χωρίο) η δε ροβολή του άνω στο Ο είεδο είναι το χωρίο με «σκούρο» χρώμα. Ο ζητούμενος όγκος είναι ίσος με V 6-6 d dz d (6-)d (6-)dd (6-)( - )d (6-)( ) Εφαρμογή Να υολογίσετε τον όγκο του στερεού ου ερικλείεται αό τις ειφάνειες + +z, + +z 6, z + 9

19 Το στερεό ερικλείεται αό τις σφαίρες z + φαίνεται στο αρακάτω σχήμα ++z, ++z6 και τον κώνο Ο ζητούμενος όγκος είναι ίσος με V d Χρησιμοοιώντας σφαιρικές συντεταγμένες έχουμε rsinφcosθ r 4 rsinφsinθ θ και z rcosφ φ (γιατί;) z r r ( ) V d rsinφdr dφ dθ dθ sinφdφ r dr cosφ 4 ( ) Εφαρμογή 4 Να υολογίσετε τον όγκο του στερεού ου ερικλείεται ανάμεσα στους κυλίνδρους +, + 4 και τις ειφάνειες z και z +. Ο ζητούμενος όγκος ισούται με το τριλό ολοκλήρωμα dddz, όου: V {(,,z): 4, z } + +. V 94

20 Εισάγουμε κυλινδρικές συντεταγμένες: r cos θ, r sin θ, z z με Ιακωβιανή J r Εομένως: και V {(r, θ,z): r, θ, z rcosθ+ } r cosθ+ dddz rdzdrdθ (r cosθ + V r cosθ + r dθ )rdrdθ 7 cosθ + dθ 6 Παρατήρηση Εναλλακτικά V + dddz dzdd ( + )dd, D D όου D {(,): 4} + και με τη βοήθεια ολικών συντεταγμένων D {(r, θ): r, θ } με Ιακωβιανή J r. Εφαρμογή 5 z Να βρεθεί ο όγκος του ελλειψοειδούς + +. a b c Το ελλειψοειδές φαίνεται στο αρακάτω σχήμα 95

21 Ο όγκος του στερεού δίνεται αό V όου Εομένως z ( z,, ): + +. a b c V c a b c a b dzdd dzdd c dd a b D όου το (, ): +. (εσωτερικό έλλειψης) φαίνεται αρακάτω a b (,) Θέτοντας aξ, και bη με Ιακωβιανή την ab, ( ξ, η) αίρνουμε V abc " ξ η dξdη 96

22 όου τώρα {(ξ, η): ξ + η } και αλλαγή σε ολικές συντεταγμένες (ρ, θ) θα δώσει V abc ρ ρ dθdρ abc ( ρ ) d( ρ ) ( ρ ) abc 4 abc. 97