, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ", x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία"

Σάτυριον Αλεξιάδης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 f ( t ) ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [, + ) R µε: f ( ) = + ( + ), > t Α ) να δείξετε ότι: α) f ( ) = ln +, > β) f ( ) = Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία e f ( )d σ αυτή ) να δείξετε ότι: e e f (t) Α ) Η συνάρτηση + είναι συνεχής ως ράξη συνεχών συναρτήσεων για > t f (t) f (t) Η f είναι αραγωγίσιµη όταν > διότι η ( + ) είναι αρχική της + t t η οοία είναι συνεχής ως ράξη συνεχών συναρτήσεων για > f(t) f() α) Είναι f() = + ( + ) = t + f () = + f() f () () f() f() f () () f() = = ( ln ) = f() = ln + c (θέτω = και βρίσκω c = ), άρα f ( ) = ln + για > β) Η f είναι συνεχής στο [, + ), άρα ( ) ln f ( ) = lim f ( ) = lim( ln ) + lim = lim + = lim = lim = Β) Η µονοτονία και τα ακρότατα της f Είναι f () = ln+ και f () = = e Πρόσηµο της f : f () = ln+ < ln< < e και f () > ln> > e, άρα η f έχει ολικό ελάχιστο το e στο e e + f () -- + f () e ο ε Γ) Η f () = ln+ f () = >, άρα η f είναι κυρτή στο [, + ) Έστω ότι υάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία τα A(, f ( )), B(,f( )) Γ (,f( )) f( ) f( ) f ( ) f( ) Έχουµε λ = λ = () AB BΓ

2 Η f ικανοοιεί τις ρουοθέσεις του ΘΜΤ στα διαστήµατα [,] και [,], υάρχουν εοµένως ξ (, ) και ξ (, ) τέτοια ώστε: f ( ) f( ) f ( ) f( ) f( ξ ) = και f( ξ ) = () Οι () και () δίνουν f( ξ ) = f( ξ )() Η f ικανοοιεί τις ρουοθέσεις του ΘRolle στο [ ξ, ξ ], άρα υάρχει ξ ( ξ, ξ ) ώστε f ( ξ ) = άτοο αφού ισχύει ) Η αοδεικτέα γράφεται: e f () = >, > f()d e e e (e ) f()d e(e ) e e e d f ( )d e d (4) Βρίσκουµε το εδίο τιµών της f στο [,e] στο οοίο η f είναι : [,e] e f() f() f(e) f() e (5) Αό την (5) ροκύτει η (4) και η αοδεικτέα ίνεται η συνάρτηση = f ( ) t + α) Να µελετήσετε την f ως ρος την κυρτότητα β) Να αοδείξετε ότι < f ( ) < για < + γ) Να αοδείξετε ότι f ( εϕ ) =, για (, ) και να βρεθεί η f ( ) δ) Να υολογίσετε το εµβαδόν του ειέδου χωρίου ου ορίζεται αό την C f και τις ευθείες µε εξισώσεις y =, =, = α) Το εδίο ορισµού της f είναι το R, διότι η συνάρτηση g( t ) = είναι συνεχής t + στο R µε το R Ισχύει f () = f () = >, άρα η f στο R t + + Ακόµη είναι f () = > στο (,) άρα η f κυρτή στο (,] και + f () = < στο (, + ) άρα η f κοίλη στο [, + ) + Εειδή είναι και f () = = η f αρουσιάζει καµή στο β) Εφαρµόζουµε το ΘΜΤ γιά την f στο διάστηµα [,] αφού < στο οοίο ληροί f () f() f() τις ρουοθέσεις Υάρχει ξ (,) ώστε f( ξ ) = f( ξ ) = Εειδή f () = > στο (,), η f θα είναι γνήσια αύξουσα στο (,] +

3 Άρα ξ (,) < ξ < f () < f ( ξ ) < f () + < f() < (ολλαλασιάζουµε µε < ) < f() < + εφ γ) Η αοδεικτέα γράφεται: f( εφ ) = f( εφ ) = = t + εφ Θεωρούµε τη συνάρτηση g( ) =,, t + Είναι g() = ( εφ ) = g( ) = c, για = c = άρα f ( εφ ) = εφ + δ) Στο α) ερώτηµα βρέθηκε ότι f στο R Άρα αν > f() > f() = Το εµβαδό δίνεται αό τον τύο f () d= f() + ( ) d= f() ln( + ) d= + ln4 = f() ln( + ) = f() ln= ln= 4 4 ιότι αό την ισότητα f ( εφ ) = για 4 = αίρνουµε f() = 4 ίνεται η συνάρτηση F() = 4 (t+ ) Α) να βρείτε το εδίο ορισµού και την αράγωγο της F Β) i) να δείξετε ότι F( ηµ ) = για κάθε, ii) να υολογίσετε το εµβαδό Ε του χωρίου ου ερικλείεται αό την f(t) =, τον και τις ευθείες = και = 4 (t + ) Γ) να υολογίσετε το ολοκλήρωµα I = d 4 C όου: f Α) Η συνάρτηση f(t) = έχει εδίο ορισµού το A = (,) στο οοίο f 4 (t + ) είναι και συνεχής Για το εδίο ορισµού της F έχουµε τα εξής: εειδή το (,), η F θα ορίζεται για εκείνα τα για τα οοία θα ισχύει (,) < < < < δηλαδή A = (,) F Είναι F () = ( ) = = 4 ( + ) 4 4

4 Β) i) βρίσκουµε την [ F( ) ] [ ] ηµ συν = ( ηµ ) = = ηµ συν στο, ηµ F( ηµ ) = () F( ηµ ) = + c () Εξάλλου είναι F() = f(t) ηµ f (t) = c Άρα + µε, Θέτοντας όου = βρίσκουµε c =, οότε τελικά αό την () έχουµε: F( ηµ ) = ii) Είναι ροφανώς f (t) = > για t (,) άρα και για t (, ) 4 (t + ) Το εµβαδό είναι Συγκρίνοντας µε την E = 4 (t+ ) το άνω όριο ολοκλήρωσης ρέει να F() = 4 (t+ ) είναι = = / ου αντιστοιχεί στο ηµ ηλαδή: ηµ E = = = F( ηµ ) = = 4 (t+ ) 4 (t+ ) Άλλος υολογισµός του εµβαδού Θέτουµε όου t+ = ηµφ = συνφ dφ Όρια ολοκλήρωσης t = φ = και t = φ = Έτσι έχουµε Γ) Θέτουµε στο E = = 4 (t+ ) συνφ dφ = dφ = συνφ όου t+ = = d 4 (t+ ) Όρια ολοκλήρωσης t = = και t = = Έτσι έχουµε: = d = 4 (t+ ) 4 Το I = d αν θέσουµε όου = ηµφ d = συνφ dφ µε όρια 4 ολοκλήρωσης = φ = και = φ = ln( t ) 4 ίνεται η συνάρτηση F() = t + Α) να βρείτε το εδίο ορισµού και την αράγωγο της F Β) να µελετήσετε ως ρος την µονοτονία και τα ακρότατα την F F( ) Γ) να δείξετε ότι lim = 5 5

5 ) να δείξετε ότι η C εφάτεται στον άξονα σε σηµεία F Ε) να δείξετε ότι η εικόνα του µιγαδικού z = F() i βρίσκεται στο 4 ο τεταρτηµόριο ln( t ) Α) Η συνάρτηση f(t) = έχει εδίο ορισµού το A = (, + ) στο οοίο είναι f t + και συνεχής Για το εδίο ορισµού της F έχουµε τα εξής: εειδή το (, + ), η F θα ορίζεται για εκείνα τα για τα οοία θα ισχύει (, + ) > < η > δηλαδή A = (, ) (, + ) F ln( t ) ln( 4 ) ln( 4 ) F() = = ( ) = t + ( ) + ( ) + Β) Οι ρίζες της F () = είναι 5, 5 η ρίζα αορρίτεται F () F() ο ε ο ε F() F () ln( 4) Γ) lim = lim = lim = ( ) + ) Η C εφάτεται στον άξονα σε σηµεία τα A( 5,) και B( 5, ) διότι F F ( 5 ) = και F ( 5 ) = Ε) Η εικόνα του µιγαδικού z = F() i βρίσκεται στο 4 ο τεταρτηµόριο, διότι το ( 5, + ) > 5 F() > F( 5) = λόγω της µονοτονίας 5 ίνεται η συνάρτηση f () = λ + ln+, >, λ > α) Να µελετηθεί η f ως ρος τη µονοτονία και τα ακρότατα και να βρεθεί το εδίο τιµών της β) Έστω Μ το σηµείο της C f ου αντιστοιχεί στο µέγιστο της f Να βρείτε για τις διάφορες τιµές του λ >, την καµύλη στην οοία κινείται το Μ γ) Να βρείτε τη µικρότερη τιµή του λ >, ώστε να ισχύει: ln λ δ) Για τις διάφορες τιµές του λ > να λυθεί η εξίσωση f () = α) Είναι f() = λ +, f() = λ + = = και f ( ) lnλ λ λ = Γιά < λ < λ + > f () > οµοίως > f () < λ λ / λ + f () + -- f () ln λ ο µ

6 ln Είναι lim f ( ) = και lim ( λ + ln + ) = lim λ = + ln = lim λ lim lim λ lim ( λ) ( ) ( λ )( ) + + = + = + + = + + = Άρα το εδίο τιµών της f είναι το (, lnλ ] β) Η καµύλη στην οοία κινείται το M, lnλ λ Είναι = και y= lnλ µε λ ααλοιφή του λ βρίσκουµε y= ln γ) ln λ ln + λ f ( ) Πρέει να βρούµε την τιµή του λ > ώστε η f να έχει µέγιστο το Πράγµατι για f ma() = lnλ = lnλ = ln λ = δ) Για τις διάφορες τιµές του λ > να λυθεί η εξίσωση f () = i Αν το ln λ lnλ > > ln λ > λ < το εδίο τιµών της f εριέχει δύο φορές το, δηλαδή υάρχει µοναδικό (,/ λ ) τέτοιο ώστε f ( ) = και µοναδικό (/ λ, + ) τέτοιο ώστε f ( ) = ii Αν το ln λ lnλ = = ln λ = λ = το εδίο τιµών της f εριέχει µόνο µία φορά το, δηλαδή υάρχει µοναδικό (,/ λ ) ώστε f ( ) = o o iii Αν το ln λ lnλ < < ln λ < λ > το εδίο τιµών της f εριέχει µόνο αρνητικές τιµές, δηλαδή δεν υάρχει κανένα (, + ) τέτοιο ώστε f () = Α) Έστω w C τέτοιος ώστε aw + β w + γ =, όου a, β, γ R µε a β Να δείξετε ότι i) aw + β w + γ = και ii) w R Β) Αν ο µιγαδικός z εαληθεύει τη σχέση z z + 5zz + 7 =, τότε: α) Να δείξετε ότι i) z z = zz = ii) z = β) να βρείτε τον µιγαδικό z Α) i) Ισχύει aw + β w + γ = () aw + βw + γ = aw + β w + γ = () ii) ()-(): ( aw + β w + γ = ) - ( aw + β w + γ = ): a(w w) + β(w w) = (a β )(w w) = w = w w R Β) i) Αν θέσουµε στο Α) ερώτηµα στην σχέση aw + β w + γ = όου w = z z, w = zz, a =, β = 5 και γ = 7 είναι ακόµη και w = w, άρα z z = zz Θέτουµε στη σχέση z z + 5zz + 7 = όου z z = zz αίρνουµε: z z + 5zz + 7 = 7z z 7 z + = z = άρα z z = zz = 4 ii) z z = z z = z z = z z = z = z = a β β) Είναι z = z = z z = z =, θέτουµε όου z z z = z = z = z = i z =± i z z = στην σχέση z

7 7 Έστω η αραγωγίσιµη συνάρτηση f στο R µε f ( R ) = R για την οοία ισχύουν: f ( ) i έχει όριο στο + και ii f ( ) + e = για κάθε R Να δείξετε ότι: Α) lim f ( ) = + (µε ααγωγή σε άτοο) + Β) η f είναι γνησίως αύξουσα στο R Γ) η f αντιστρέφεται και να βρεθεί η f ) η f έχει η αράγωγο και είναι κοίλη στο R Ε) το εµβαδό του χωρίου ου ορίζεται αό την C f, τον άξονα των και τις ευθείες µε εξισώσεις = και = e + είναι E =,5τ µ Α) Θα αοκλείσουµε τις εριτώσεις lim f ( ) = και lim f ( ) = l R + + f() Αν lim f ( ) = lim [ f ( ) + e ] = όµως lim = + άρα άτοο f() l Αν lim f ( ) = l lim [ f ( ) + e ] = l + e R όµως lim = + άρα άτοο + + f() f() Β) Είναι f () + e = f () + f () e = f () = > f() + e άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R Γ) η f αντιστρέφεται εειδή είναι - Ορίζεται η f :R R µε τύο: f () = e + + f() f() f() ) Είναι f () = ( + e ) = ( + e ) f () e = f() ( + e ) η f έχει η αράγωγο και είναι κοίλη στο R Ε) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, άρα και στο [,e+ ] Το εµβαδό του χωρίου ορίζεται αό τη σχέση: e f() < e+ e+ διότι: E = f ( ) d = f() d f () = f () = και f () = + e f (+ e) = Άρα [,e+ ] e+ f() f() f(e+ ) f() Εειδή δεν γνωρίζουµε τον τύο της f κάνουµε χρήση της f Θέτουµε Τα όρια ολοκλήρωσης βρέθηκαν ροηγουµένως Άρα: e+ u u E = f() d = u (f (u)) du = u (e +) du = u (e +u) du = f () = u = f (u) d= f (u) du u (e +u) du= e+ (e +u) du = u u u = u(e +u) e+ e u u + = 8 Έστω η f αραγωγίσιµη συνάρτηση στο [, + ) µε f ( ) > για κάθε Αν το εµβαδό του χωρίου ου ερικλείεται αό τη γραφική αράσταση της f, τους άξονες ', yy και την ευθεία = u είναι E( u ) = e u f ( u ) για κάθε u τότε: f ( ) α) να δείξετε ότι: f ( ) + f ( ) = e για κάθε β) lim = γ) να βρείτε τον τύο της συνάρτησης f δ) να λυθεί η εξίσωση f () = ηµ

8 u α) Το εµβαδό δίνεται αό τον τύο: E(u) = f ()d, αφού f ( ) > για κάθε u u u u u E(u) = f()d e f(u) f()d = = ( e f(u) ) f(u) = e f (u), f ( ) + f ( ) = e για κάθε άρα β) Γιά = ισχύει f () f () f () f() + = = και f()d = e f() f() = f() f() f() άρα f () = Οότε lim = lim = f ( ) = γ) Ο τύος της συνάρτησης f : f() + f () = e e f() + e f () = e (e ) f() + e f () = ( e ) ( e f() ) = ( e ) e f() = e + c Για = βρίσκουµε c = Άρα f() = (e + e ) δ) f () = ηµ e e = ηµ Προφανής ρίζα είναι η ότι είναι µοναδική Θεωρούµε τη συνάρτηση g( ) = e e ηµ, Είναι συν =, η οοία θα δείξουµε g () = e + e g () = (e + e ) + ( συν ) g() = (e e + ) + ( συν ) g() = (e ) + ( συν ) > g > > > δηλαδή = g( ) = g( ) g( ) = και g( ) g( ) g( )

Σχετικά έγγραφα

[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2.

[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2. 99 ΘΕΜΑΤΑ. α) ίνεται η συνάρτηση f ορισµένη και δύο φορές αραγωγίσιµη στο διάστηµα µε τιµές στο (, + ). Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g µε g() = lnf(),, έχει την ιδιότητα «g (), για κάθε» αν και µόνο αν ισχύει