7.1. Το ορισµένο ολοκλήρωµα

Transcript

1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα 7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα Για το αόριστο ολοκλήρωµα βρήκαµε ότι: Αν η συνάρτηση F ( είναι µια αρχική συνάρτηση της f (, τότε το αόριστο ολοκλήρωµα της f ( ως ρος είναι I ( +, όου σταθερά Στη σχέση I ( +, θέτοντας έχουµε I ( ) ) +, ενώ θέτοντας έχουµε I ( ) ) + Αφαιρώντας τις δύο αυτές εξισώσεις, ααλείφουµε το, και έχουµε I( ) ) ) ) Συµβολίζουµε τη διαφορά I( ) ) µε Έτσι έχουµε [ ] ) ) Αυτό είναι το θεµελιώδες θεώρηµα του ολοκληρωτικού λογισµού (7) Ονοµάζουµε το το ορισµένο ολοκλήρωµα της συνάρτησης f( ως ρος µεταξύ των ορίων και Η διαδικασία υολογισµού του ορισµένου ολοκληρώµατος δίνεται αό την εξίσωση ορισµού (7): Αφού βρεθεί µια αράγουσα συνάρτηση F ( της f (, το ζητούµενο ορισµένο ολοκλήρωµα είναι ίσο µε τη διαφορά των τιµών της στα σηµεία και, δηλαδή ( ) ) Αυτό συµβολίζεται µε F [ F ] ονοµάζεται το κάτω όριο της ολοκλήρωσης και η ( ή το άνω όριο F ( Η τιµή Κάοια αραδείγµατα θα ειδείξουν τη διαδικασία υολογισµού των ορισµένων ολοκληρωµάτων: Παράδειγµα Παράδειγµα Παράδειγµα Παράδειγµα 4 Παράδειγµα 5 [ ] ( ) [ ln ] ln ln ln ( > ) e e [ os ] [( ) ()] [ e ] e [ e ] +

2 4 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 7 Γεωµετρική ερµηνεία του ορισµένου ολοκληρώµατος Έστω η συνάρτηση f (, την οοία για ευκολία αίρνουµε συνεχή και θετική σε όλες τις τιµές του ου θα θεωρήσουµε Είσης έστω ότι η συνάρτηση δίνει το εµβαδόν (στις κατάλληλες µονάδες) της ειφάνειας µεταξύ του άξονα των, της καµύλης f (, και των ευθειών ου είναι κάθετες στον άξονα των στα σηµεία και (βλ σχήµα) Αν ροσθέσουµε στο εµβαδόν τη λετή λωρίδα µεταξύ και + δ, το εµβαδόν θα αυξηθεί κατά δ F δ ερίου, γιατί η λωρίδα έχει εύρος δ και ύψος ερίου f ( σε όλο της το εύρος Η ροσέγγιση γίνεται τόσο ιο ακριβής όσο ιο στενή είναι η λωρίδα δ F df Εοµένως, και στο όριο δ, είναι δ Η F ( είναι εοµένως µια αράγουσα συνάρτηση της f (, και µορούµε να γράψουµε F ( I( +, όου I ( (7) Αό τον ορισµό της F (, ροφανώς είναι F ( ) και εοµένως ) I( ) +, ή I( ) Έτσι βρίσκουµε ότι I ( ), ή, τελικά, ότι F ( (7) (Θα µορούσαµε ίσως ιο σωστά να γράψουµε για να τονίσουµε τη διαφορά ανάµεσα στη µεταβλητή της ολοκλήρωσης και του άνω ορίου της ολοκλήρωσης) Καταλήγουµε έτσι στο συµέρασµα ότι: F ( dt Το εµβαδόν της ειφάνειας ου βρίσκεται µεταξύ του άξονα των, της καµύλης f (, και των ευθειών ου είναι κάθετες στον άξονα των στα σηµεία και, δίνεται αό το ορισµένο ολοκλήρωµα της f( ανάµεσα στα σηµεία και, δηλαδή F ( dt Είναι σαφές ότι η ολοκλήρωση είναι µια διαδικασία άθροισης Για το λόγο αυτό, το σύµβολο είναι ένα ειµηκυµένο S, αό τη λατινική λέξη summ άθροισµα Τα ακόλουθα αραδείγµατα θα αοσαφηνίσουν όσα αναφέραµε Παράδειγµα 6 Να βρεθεί το εµβαδόν ανάµεσα στην αραβολή στον άξονα των στα σηµεία και y (, τον άξονα των, και των καθέτων Αό τη σχέση ου βρέθηκε, το ζητούµενο εµβαδόν είναι: S y( ( ) 7

3 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 5 Παράδειγµα 7 Να βρεθεί το εµβαδόν ανάµεσα στην καµύλη και τον άξονα των, µεταξύ των σηµείων: (α) και (β) και (γ) και Εειδή os, τα ζητούµενα εµβαδά είναι: (α) [ os ] [( ) ()] (β) [ os ] [() ( )] (γ) [ os ] [() ()] Βλέουµε ότι, για αυξανόµενο, το εµβαδόν df ( είναι θετικό για θετικές τιµές της συνάρτησης f ( και αρνητικό για αρνητικές τιµές Έτσι, για αράδειγµα, στο σύνολό του το εµβαδόν είναι ίσο µε µηδέν Παράδειγµα 8 Η δύναµη ου ασκείται άνω σε µια σηµειακή µάζα δίνεται, συναρτήσει της θέσης, αό τη σχέση F ( k Να βρεθεί το έργο ου αράγει η δύναµη όταν µετατοίζει τη µάζα αό τη θέση στη θέση X Έστω ότι συµβολίζουµε µε W ( το έργο ου αράγει η δύναµη όταν µετατοίζει το σηµείο εφαρµογής της αό κάοιο σηµείο αναφοράς (το οοίο θα µορούσε για αράδειγµα να είναι το αλλά και οοιοδήοτε άλλο σηµείο) έως το σηµείο Κατά τη µετατόιση της µάζας αό τη θέση στη θέση + δ, η δύναµη αράγει έργο ου δίνεται ροσεγγιστικά αό τη σχέση δ W F ( δ, αό όου ροκύτει ότι δw F ( Η σχέση δεν είναι ακριβής, γιατί για µη µηδενική µετατόιση δ η δύναµη δ είναι µόνο ροσεγγιστικά ίση µε F ( σε όλο το µήκος της µετατόισης δ Το σφάλµα γίνεται ολοένα και µικρότερο καθώς δ, οότε και έχουµε την ακριβή σχέση dw F ( Αυτή η σχέση, αν ολοκληρωθεί ως ρος, δίνει W ( F ( G( + όου G ( είναι µια αράγουσα της ( Για δύο τιµές του F, τις και, έχουµε W ( ) G( ) + και W ( ) G( ) + ή W ( ) W ( ) G( ) G( ) F ( Άρα το έργο ου αράγει η δύναµη όταν µετατοίσει το σηµείο εφαρµογής της αό το σηµείο Α( ) στο σηµείο Β( ), το οοίο συµβολίζουµε µε, δίνεται αό τη σχέση WA B W A B W ( ) W ( ) F ( Είναι εοµένως ίσο µε το εµβαδόν κάτω αό την καµύλη της δύναµης F (, ανάµεσα στα σηµεία και, ή µε το ορισµένο ολοκλήρωµα της F (, ως ρος, ανάµεσα στα σηµεία και Για τη συγκεκριµένη ερίτωση του Παραδείγµατος, είναι F ( k, και X X X A B Εοµένως, W k [ k ] kx

4 6 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 7 Ιδιότητες του ορισµένου ολοκληρώµατος Αό τις ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώµατος και τον ορισµό του ορισµένου ολοκληρώµατος, ροκύτουν οι εξής ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώµατος Προφανώς, dt f ( z) dz (74) d ) ) (75) (76) και [ + g( ] f ( + g( (77) k k k σταθερό (78) Αό τον ορισµό ή ) ), έεται ότι ( ) ) ) ) ) f ( (79) Είσης, + ) ) + ) ) ) ) ή ( ) ( ) + f ( (7) Αν df f (, και εειδή dt ), έεται ότι d dt για σταθερό (7) 74 Μέση τιµή συνάρτησης Η µέση τιµή της συνάρτησης ορίζεται ως Παράδειγµα 9 Να βρεθεί η µέση τιµή της συνάρτησης Αό τον ορισµό, [ os ] f ( ως ρος τη µεταβλητή στο διάστηµα (, ) f (7), ως ρος, στο διάστηµα [, ]

5 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 7 Στο διάστηµα [, ], η µέση τιµή της ίδιας συνάρτησης είναι ίση µε µηδέν Παράδειγµα Να βρεθεί η µέση τιµή της συνάρτησης, ως ρος, στο διάστηµα [, ] Είναι 4 Εειδή + os, έεται ότι + os και εοµένως και os Οι µέσες τιµές ου βρέθηκαν είναι για µια λήρη ερίοδο των συναρτήσεων και os Το ίδιο αοτέλεσµα ροκύτει και για κάθε ακέραιο ολλαλάσιο της εριόδου 75 Πίνακας στοιχειωδών ορισµένων ολοκληρωµάτων ( > ) + / / os 4 / / / / n 5 n 4 6 ( n )( n ) os 5 ( n ) n ( n εριττό) / / n 6 n 5 ( n )( n ) os 4 6 ( n ) n ( n άρτιο) os 4 n n! 7 e ( >, n > ) n+ 8 e ( > ) Προβλήµατα Αό το rtn +, δείξτε ότι ( > ) + + είξτε ότι ln / / είξτε ότι os και / / os 4 Βιβλιογραφία M R Spiegel, Ανώτερα Μαθηµατικά Εκδόσεις ΕΣΠΙ, Αθήνα, 98 Κεφ 5