Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις
|
|
- Λάχεσις Παυλόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Πανειστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 17-18, Διδάσκων: Α.Τόγκας 3ο φύλλο ροβλημάτων Ονοματεώνυμο - ΑΜ:
2 ΜΔΕ 3ο φύλλο ροβλημάτων Α. Τόγκας Πρόβλημα 1. συναρτήσεις: Να βρεθεί η σειρά Fourier για κάθε μια αό τις ακόλουθες y 1 i) f(x) = 1, x < 1,, 1 < x <, Σχήμα 1: Η συνάρτηση κουτί. y x ii) f(x) = 1 x, x < 1,, 1 < x <, Σχήμα : Η συνάρτηση καέλο. x Πρόβλημα. Να βρεθούν οι σειρές Fourier των ακόλουθων συναρτήσεων 1 1 Χρησιμοοιήστε τριγωνομετρικές ταυτότητες. i) f(x) = cos x sin x, ii) f(x) = cos x sin x, iii) f(x) = cos x sin x. Πρόβλημα 3. Θεωρούμε την συνάρτηση f(x) = 1, ορισμένη στο [, 1]. α) Να βρεθεί η σειρά Fourier ημιτόνων της f(x) = 1 στο [, 1] και να γραφούν αναλυτικά οι ρώτοι τρεις μη τετριμμένοι όροι της σειράς. Περιττή εέκταση β) Να βρεθεί η σειρά Fourier συνημιτόνων της f(x) = 1 στο [, 1]. 3 3 Άρτια εέκταση, αν και η σειρά Fourier συνημιτόνων της f(x) είναι ροφανής. Πρόβλημα 4. Έστω ότι η y = f(x) είναι δυο φορές συνεχώς αραγωγίσιμη συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα [, ] τέτοια ώστε f() =, και f() =. Έστω ότι b k είναι ο k-οστός συντελεστής της σειράς Fourier ημιτόνων (εριττή εέκταση) της f, και B k ο αντίστοιχος συντελεστής της δεύτερης αραγώγου f της f, δηλαδή b k = f(x) sin (n x) d x, B k = f (x) sin (n x) d x. Να αοδειχθεί ότι B k = n b k. 4 4 Ολοκλήρωση κατά αράγοντες. Πρόβλημα 5. Έστω ότι η y = f(x) ορίζεται σε ένα διάστημα I με μέσο το σημείο x =, και είναι n φορές συνεχώς αραγωγίσιμη στο I. α) Αν η y = f(x) είναι άρτια, τότε η n-τάξης αράγωγος f (n) (x) της f(x) είναι άρτια; εριττή; τίοτα αό τα δύο; μορεί να είναι και τα δύο; β) Αν η y = f(x) είναι εριττή, τότε η n-τάξης αράγωγος f (n) (x) της f(x) είναι άρτια; εριττή; τίοτα αό τα δύο; μορεί να είναι και τα δύο; Εξετάστε την κάθε ερίτωση για n άρτιο και n εριττό θετικό ακέραιο.
3 ΜΔΕ 3ο φύλλο ροβλημάτων Α. Τόγκας Πρόβλημα 6. Θεωρούμε τη ΜΔΕ της θερμότητας με αώλειες v t + v = v x x. (6.1) α) Έστω v(x, t) οοιαδήοτε μη-σταθερή, κλασική λύση της ΜΔΕ (6.1) ου ικανοοιεί τις εριοδικές συνοριακές συνθήκες Να αοδειχθεί ότι η συνάρτηση v(, t) = v(, t), v x (, t) = v x (, t). (6.) N(t) = ( v(x, t)) d x, είναι μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση του t στο διάστημα [, + ). Αοδείξτε ότι N (t) < για κάθε t στο διάστημα [, ). β) Χρησιμοοιώντας το αοτέλεσμα του α) μέρους αοδείξτε ότι το ΠΑΣΤ v t + v = v x x + F (x, t). v(x, ) = f(x), v(, t) = v(, t), v x (, t) = v x (, t). Θεωρήστε δυο λύσεις v 1, v του ΠΑΣΤ, βρείτε οιο ΠΑΣΤ ικανοοιεί η w = v 1 v, και αοδείξτε ότι v 1 = v. έχει μοναδική λύση. γ) Να αοδειχθεί ότι η γενική λύση της ΜΔΕ (6.1) δίνεται αό την σχέση v(x, t) = e t u(x, t), όου η u(x, t) ικανοοιεί την εξίσωση της θερμότητας u t = u x x. δ) Χρησιμοοιώντας το γ) μέρος του ροβλήματος να βρεθεί η λύση στη μορφή μιας σειράς Fourier του ΠΑΣΤ ου ααρτίζεται αό την ΜΔΕ (6.1), τις συνοριακές συνθήκες (6.), και την αρχική συνθήκη v(x, ) = 1, x,, < x. ε) Ποιά είναι η θερμοκρασία ισορροίας v(x, t) καθώς t ; Μετατρέψτε το ΠΑΣΤ για την v(x, t), σε ένα ΠΑΣΤ για την u(x, t) η οοία ικανοοιεί την ΜΔΕ της θερμότητας. Λύστε το αντίστοιχο ΠΑΣΤ για την u(x, t) και ειστρέψτε μέσω του μετασχηματισμού v(x, t) = e t u(x, t) στην v(x, t). Για τους συντελεστές της σειράς Fourier χρησιμοοιήστε τα αοτελέσματα του Προβλήματος 1.i. Θεωρούμε το ακόλουθο ΠΑΣΤ για την εξίσωση της θερμότη- Πρόβλημα 7. τας u t = u x x, < x < 1, t >, u(, t) = u(1, t) =, u(x, ) = α) Να γραφεί η λύση του ΠΑΣΤ στην μορφή μιας σειράς Fourier. x, x 1, 1 x, β) Χρησιμοοιώντας κατάλληλη τιμή για την μεταβλητή x στο ανάτυγμα σε σειρά Fourier της u(x, ) ου ροκύτει στο α) μέρος να αοδειχτεί ότι 8 = k θετικός ακέραιος. ( k 1) 1 < x 1.
4 ΜΔΕ 3ο φύλλο ροβλημάτων Α. Τόγκας Πρόβλημα 8. Έστω ότι η u(x, t) είναι μια κλασική λύση της εξίσωσης της θερμότητας u t = u x x στο διάστημα < x < 1, και στα άκρα x =, x = 1 ικανοοιεί τις συνοριακές συνθήκες τύου Neumann u x (, t) =, u x (1, t) =, t < +. Η θερμική ενέργεια T της u στο χρόνο t ορίζεται ως εξής: 1 T (t) = u(x, t) d x. Να δειχθεί ότι με τις αραάνω υοθέσεις η T (t) είναι σταθερή συνάρτηση στο διάστημα [, + ). Πρόβλημα 9. α) Έστω ότι η u(x, t) είναι μια κλασική λύση της κυματικής εξίσωσης u t t = u x x, και έστω E και P οι υκνότητες ενέργειας και ορμής αντίστοιχα E = 1 { (u t ) + (u x ) }, P = u t u x. i) Να αοδειχθεί ότι αν η u(x, t) ικανοοιεί την κυματική εξίσωση, τότε ισχύει ότι E t P x =. ii) Να αοδειχθεί ότι αν η u(x, t) ικανοοιεί την κυματική εξίσωση, τότε και οι συναρτήσεις E(x, t), P (x, t) ικανοοιούν την κυματική εξίσωση. β) Θεωρούμε το ακόλουθο ΠΑΣΤ u t t = u x x, < x <, t >, u(x, ) = sin 3 x, u t (x, ) =, με συνορικές συνθήκες τύου Dirichlet στα άκρα u(, t) = u(, t) =. Με την μέθοδο χωρισμού των μεταβλητών να βρεθεί η λύση του αραάνω ΠΑΣΤ στη μορφή μιας σειράς Fourier. 5 5 Χρησιμοοιήστε την τριγωνομετρική ταυτότητα sin 3 x = 3 4 sin x 1 sin 3 x, 4 για να βρείτε ότι η λύση του ΠΑΣΤ δίνεται σε κλειστή μορφή. Τροοοιήστε την αρχική συνάρτηση f(x) = x (x ) στο Mathematica notebook reflection_waves.nb, στην f(x) = sin 3 x του αρόντος ροβλήματος και βρείτε γραφικά την λύση του αντίστοιχου ΠΑΣΤ. Να εισαγάγετε μια νέα εντολή Animate[Plot[...]] ου να αεικονίζει γραφικά την λύση ου βρήκατε για το Πρόβλημα 7, και να συγκρίνετε τα αοτελέσματά σας με αυτά ου δίνει η μέθοδος εέκτασης των αρχικών δοσμένων. Πρόβλημα 1. Θεωρούμε το ακόλουθο ρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών (ΠΑΣΤ) για την κυματική εξίσωση u x x u t t =, < x < 1, t >, u(, t) =, u(1, t) =, t, u(x, ) = x, x 1, 1 x, 1 u t (x, ) =, x 1. α) Να γραφεί η λύση του ΠΑΣΤ στην μορφή μιας σειράς Fourier. β) Ποιά είναι η τιμή u( 1 /, 1); (i) 1 /, (ii) 1 /, (iii), (iv) 1.
5 ΜΔΕ Ενδεικτικές λύσεις άλλων ροβλημάτων Α. Τόγκας Πρόβλημα Α. Για κάθε μια αό τις ακόλουθες αρχικές τιμές θερμοκρασίας i) να βρεθεί η λύση στην μορφή μια σειράς Fourier της εξίσωσης της θερμότητας με εριοδικές συνοριακές συνθήκες u t = u x x < x <, t >, u(, t) = u(, t), u x (, t) = u x (, t), t. ii) Να βρεθεί η θερμοκρασία ισορροίας καθώς t. α) u(x, ) = cos x, β) u(x, ) = sin x + sin x, x. Αάντηση: i) Αναζητούμε λύσεις χωριζομένων μεταβλητών της μορφής u(x, t) = e λ t v(x). Εισάγοντας στην εξίσωση της θερμότητας, η τελευταία ανάγεται στην ακόλουθη ΣΔΕ v (x) = λ v(x), (Α.1) κι αό την ειβολή των συνοριακών συνθηκών έχουμε ότι θα ρέει v( ) = v(), v ( ) = v (). (Α.) Οι σχέσεις (Α.1), (Α.), ααρτίζουν τo ρόβλημα ιδιοτιμών, μέσω του οοίου θα βρούμε τις αντίστοιχες ιδιολύσεις της ΜΔΕ και κατ εέκταση θα κατασκευάσουμε την λύση του ροβλήματος στην μορφή μιας σειράς Fourier. λ =. Τότε η λύση της (Α.1) είναι η v(x) = A x + B. Ειβάλλοντας την ρώτη συνοριακή συνθήκη αίρνουμε ότι Α ( ) + B = A + B A =, ενώ η δεύτερη συνοριακή συνθήκη (με A = ) ικανοοιείται αυτόματα. Οότε έχουμε την ιδιοτιμή λ =, με αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση v (x) = 1, κι ιδιολύση u (x, t) = 1, (η σταθερή αραλείεται αφού θα την εισάγουμε στο τέλος αίρνοντας έναν άειρο γραμμικό συνδυασμό των ιδιολύσεων). λ = ω >, (ω > ). Τότε η λύση της (Α.1) είναι η v(x) = A e ω x + B e ω x. Ειβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες αίρνουμε τις ακόλουθες σχέσεις για τις αραμέτρους A, B, (A B) sinh(ω ) =, (A + B) sinh(ω ) =. Αφού ω, τότε sinh(ω ), και συνεώς A B = A + B = και συνακόλουθα A = B =, οότε δεν υάρχει μη τετριμμένη λύση σε αυτήν την ερίτωση, κι άρα δεν υάρχει ιδιοτιμή κι αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση κι ιδιολύση.
6 ΜΔΕ Ενδεικτικές λύσεις άλλων ροβλημάτων Α. Τόγκας λ = ω <, (ω > ). Τότε η λύση της (Α.1) είναι η v(x) = A cos ω x + B sin ω x, Ειβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες αίρνουμε τις ακόλουθες σχέσεις για τις αραμέτρους A, B, A sin ω =, B sin ω =. Αν sin ω, τότε θα ρέει A = B =, δηλαδή η τετριμμένη λύση. Οότε θα ρέει sin ω = δηλαδή ω = k, k = 1,, 3 Δηλαδή έχουμε ιδιοτιμές λ k = k, κι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις v k (x) = A k cos k x + B k sin k x, k = 1,, 3, κι ιδιολύσεις u k (x, t) = A k e k t cos k x + B k e k t sin k x, k = 1,, 3, Λαμβάνοντας υόψη και την ιδιοτιμή λ =, αριστάνουμε την λύση στην μορφή μιας άειρης σειράς u(x, t) = A + k=1 ( A k e k t cos k x + B k e k t sin k x ), όου οι σταθερές A k, B k, θα ροσδιορισθούν αό την αρχική συνθήκη. α) Αν u(x, ) = cos x, τότε θα ρέει B k = (k 1), A =, A 1 = 1, A k = για k > 1, και η λύση του ΠΑΣΤ είναι η u(x, t) = e t cos x. β) Αν u(x, ) = sin x + sin x = 1 1 cos x + sin x, τότε θα ρέει A = 1, A 1 =, A = 1, A k = για k >, B 1 =, B k = για k > 1, και η λύση του ΠΑΣΤ σε αυτή την ερίτωση είναι η Σχήμα 3: Η λύση για τα αρχικά δοσμένα α) u(x, t) = 1 + e t sin x 1 e 4 t cos x. ii) Σε κάθε ερίτωση η θερμοκρασία ισορροίας καθώς t, είναι A αφού lim u(x, t) = A t. Οότε για τα αρχικά δοσμένα του α) μέρους του ροβλήματος η θερμοκρασία ισορροίας είναι, ενώ για τα αρχικά δοσμένα του β) μέρους είναι 1. Σχήμα 4: Η λύση για τα αρχικά δοσμένα β)
7 ΜΔΕ Ενδεικτικές λύσεις άλλων ροβλημάτων Α. Τόγκας Πρόβλημα Β. Θεωρούμε το ακόλουθο ρόβλημα αρχικών συνοριακών τιμών (ΠΑΣΤ) για την εξίσωση της θερμότητας με ομογενείς συνοριακές συνθήκες τύου Neumann (μονωμένα άκρα) u t = u x x < x <, t >, u x (, t) = u x (, t) =, t, και αρχική κατανομή θερμοκρασίας u(x, ) = 1, x,, < x. α) Να βρεθεί η λύση του ΠΑΣΤ στην μορφή μιας σειράς Fourier. β) Να βρεθεί η θερμοκρασία ισορροίας καθώς t. Αάντηση: α) Αναζητούμε λύσεις χωριζομένων μεταβλητών της μορφής u(x, t) = e λ t v(x). Εισάγοντας στην εξίσωση της θερμότητας, η τελευταία ανάγεται στην ακόλουθη ΣΔΕ v (x) = λ v(x), (Β.1) κι αό την ειβολή των συνοριακών συνθηκών έχουμε ότι θα ρέει v ( ) =, v () =. (Β.) Οι σχέσεις (Β.1), (Β.), ααρτίζουν τo ρόβλημα ιδιοτιμών, μέσω του οοίου θα βρούμε τις αντίστοιχες ιδιολύσεις της ΜΔΕ και κατ εέκταση θα κατασκευάσουμε την λύση του ροβλήματος στην μορφή μιας σειράς Fourier. λ =. Τότε η λύση της (Β.1) είναι η v(x) = A x + B. Ειβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες αίρνουμε ότι A =. Οότε έχουμε την ιδιοτιμή λ =, με αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση v (x) = 1, κι ιδιολύση u (x, t) = 1. λ = ω >, (ω > ). Τότε η λύση της (Α.1) είναι η v(x) = A e ω x + B e ω x. Ειβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες αίρνουμε τις ακόλουθες σχέσεις για τις αραμέτρους A, B, A ω e ω B ω e ω =, A ω e ω B ω e ω =, ή ισοδύναμα (αφού ω ) A e ω B e ω =, A e ω B e ω =, το οοίο είναι ένα ομογενές γραμμικό σύστημα ως ρος τις αραμέτρους A, B. Για να υάρχουν μη-μηδενικές λύσεις αρκεί και ρέει η ορίζουσα Δ
8 ΜΔΕ Ενδεικτικές λύσεις άλλων ροβλημάτων Α. Τόγκας να είναι μηδέν. Όμως η ορίζουσα είναι Δ = e ω e ω, και είναι μηδέν αν και μόνο αν ω =. Άτοο, γιατί υοθέσαμε ότι ω >, συνεώς δεν υάρχουν ιδιοτιμές σε αυτήν την ερίτωση και κατ εέκταση δεν υάρχουν ιδιοσυναρτήσεις κι ιδιολύσεις. λ = ω <, (ω > ). Τότε η λύση της (Β.1) είναι η v(x) = A cos ω x + B sin ω x. Ειβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες αίρνουμε τις ακόλουθες σχέσεις για τις αραμέτρους A, B, A ω sin( ω) + B ω cos( ω ) =, A ω sin(ω) + B ω cos(ω ) =, ή ισοδύναμα A sin(ω) + B cos(ω ) =, A sin(ω) + B cos(ω ) =. Το αραάνω ομογενές γραμμικό σύστημα ως ρος τις αραμέτρους A, B, έχει λύσεις μη-μηδενικές αν και μόνο αν η ορίζουσα Δ είναι μηδέν. Υολογίζουμε την ορίζουσα και βρίσκουμε ότι Οότε Δ = sin(ω ) cos(ω ) = sin( ω ). Δ = ω = k ω = k, k = 1,, 3, Δηλαδή έχουμε τις ιδιοτιμές λ k = k, k = 1,, 3, Διακρίνουμε τις εξής 4 εριτώσεις : k = n, άρτιος. Τότε ω = n και η συνοριακή συνθήκη (οοιαδήοτε αό τις δυο αφού είναι γραμμικώς εξαρτημένες) δίνει B =. Συνεώς έχουμε ιδιοτιμές και αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις - ιδιολύσεις λ n = n, v n (x) = cos n x, u n (x, t) = e n t cos n x, n = 1,, 3, k = n 1, εριττός. Τότε ω = n 1 και η συνοριακή συνθήκη (οοιαδήοτε αό τις δυο αφού είναι γραμμικώς εξαρτημένες) δίνει A =. Συνεώς έχουμε ιδιοτιμές και αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις - ιδιολύσεις λ n = ( n 1 ), vn (x) = sin ( n 1 ) x, u n(x, t) = e (n 1/) t sin ( n 1 ) x, n = 1,, 3, Λαμβάνοντας υόψη και την ιδιοτιμή λ =, γράφουμε την λύση σαν ένα άειρο άθροισμα γραμμικών συνδυασμών των ιδιολύσεων κι έχουμε u(x, t) = A + n=1 [ A n e n t cos n x + B n e (n 1/) t sin ( n 1 ) x ], όου οι συντελεστές A n, B n θα ροσδιορισθούν αό την αρχική συνθήκη. Παρατηρούμε ότι η αρχική συνθήκη u(x, ) = f(x) είναι άρτια συνάρτηση,
9 ΜΔΕ Ενδεικτικές λύσεις άλλων ροβλημάτων Α. Τόγκας συνεώς οι συντελεστές B n των ημιτόνων (εριττές συναρτήσεις) θα ρέει να είναι μηδέν, B n =. Για τους συντελεστές A n έχουμε A = f(x) d x = / d x = 1. A n = f(x) cos n x d x = / cos n x d x = n sin n ( ) =, n = m ( 1)m ( m 1) n = m 1, m = 1,, 3, Οότε η λύση του ΠΑΣΤ στην μορφή μιας σειράς Fourier είναι u(x, t) = 1 + A n e n t cos n x. n=1 β) Παρατηρούμε ότι u(x, t) 1 καθώς t, οότε η θερμοκρασία ισορροίας είναι 1. Σχήμα 5: Γραφική αράσταση της λύσης. Πρόβλημα Γ. Θεωρούμε το ακόλουθο ΠΑΣΤ για την κυματική εξίσωση u t t u x x =, < x <, t >, u(x, ) = sin x, u t (x, ) =, x, u x (, t) =, u x (, t) =, t. α) Να γραφεί η λύση του ΠΑΣΤ στην μορφή μιας σειράς Fourier. β) Να δειχθεί ότι η h(t) = u( /4, t) είναι εριοδική συνάρτηση και να βρεθεί η ερίοδος. γ) Ποιά είναι η τιμή u( /4, / ) ; (i), (ii) 1 /, (iii) 1 /, (iv). δ) Έχει η u ασυνέχειες; Αν ναι, κατά μήκος οιών καμυλών διαδίδονται; x Αάντηση: α) Αναζητούμε λύσεις της κυματικής εξίσωσης ου είναι χωριζομένων μεταβλητών, δηλαδή της μορφής u(x, t) = X(x) T (t). Εισάγουμε στην κυματική εξίσωση u x x = u t t και αίρνουμε X (x) T (t) = X(x) T (t). Αφού X(x) και T (t), διαιρώντας την αραάνω εξίσωση με τον όρο X(x) T (t), έχουμε X(x) X(x) = T (t) T (t),
10 ΜΔΕ Ενδεικτικές λύσεις άλλων ροβλημάτων Α. Τόγκας όου το αριστερό μέλος είναι συνάρτηση μόνο του x, ενώ το δεξί μέρος συνάρτηση μόνο του t. Για να μορεί να συμβεί αυτό θα ρέει και οι δυό όροι να είναι ίσοι με μια σταθερή οσότητα ου την ονομάζουμε λ R. Οότε η ΜΔΕ ανάγεται στην είλυση των ΣΔΕ X (x) = λ X(x), T (t) = λ T (t). Αό την άλλη, οι συνοριακές συνθήκες u x (, t) =, u x (, t) =, δίνουν ότι θα ρέει X () =, X () =, αντίστοιχα. Οότε έχουμε το ρόβλημα ιδιοτιμών X (x) = λ X(x), X () = X () =. λ =. Σε αυτή την ερίτωση έχουμε ότι X(x) = A x + B, κι οι συνοριακές συνθήκες ικανοοιούνται όταν A =. Οότε έχουμε την ιδιοτιμή λ =, με ιδιοσυνάρτηση X (x) = 1. Αό την άλλη, η ΣΔΕ για την συνάρτηση T (t) δίνει ότι T (t) = Γ t + Δ, οότε συνολικά έχουμε τις ιδιολύσεις {1, t}. λ = ω >, (ω > ). Σε αυτή την ερίτωση έχουμε ότι X(x) = A e ω x + B e ω x, κι ειβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες αίρνουμε ότι θα ρέει A ω B ω =, A ω e ω B ω ω =, ή ισοδύναμα A = B, A sinh(ω ) =. Αφού ω, τότε sinh(ω ), συνεώς αίρνουμε μόνο την τετριμμένη λύση A = B =, και δεν υάρχουν ιδιοτιμές σε αυτήν την ερίτωση. λ = ω <, (ω > ). Σε αυτή την ερίτωση έχουμε ότι X(x) = A cos ω x + B sin ω x, κι ειβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες αίρνουμε ότι θα ρέει B =, A ω sin ω =, ή ισοδύναμα B =, sin ω =. Οότε έχουμε τις ιδιοτιμές λ = k, k = 1,, 3, με αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις X k (x) = cos k x. Αό την άλλη η ΣΔΕ για την συνάρτηση T (t) για τις τιμές της λ ου βρήκαμε δίνει ότι θα ρέει T (t) = Γ cos k t + Δ sin k t,
11 ΜΔΕ Ενδεικτικές λύσεις άλλων ροβλημάτων Α. Τόγκας οότε έχουμε τις ιδιολύσεις {cos k x cos k t, cos k x sin k t}. Λαμβάνοντας υόψη και τις ιδιολύσεις της ιδιοτιμής λ =, γράφουμε την λύση σαν ένα άειρo άθροισμα γραμμικών συνδυασμών των ιδιολύσεων κι έχουμε u(x, t) = A + B t + (A k cos k x cos k t + B k cos k x sin k t), k=1 (Γ.1) όου οι συντελεστές A k, Β κ θα ροσδιορισθούν αό τις αρχικές συνθήκες u(x, ) = sin x, και u t (x, ) =. Για την ρώτη αρχική συνθήκη έχουμε u(x, ) = A + A k cos k x = sin x, k=1 ενώ αραγωγίζοντας την σχέση (Γ.1) ως ρος t έχουμε για την δεύτερη αρχική συνθήκη Συνεώς B k =, και A k = 1 u t (x, ) = B + k B k cos k x =. k=1 A = 1 sin x cos k x d x = = sin x d x = =,, k εριττός, 4 (1 k ), Συνεώς η λύση στη μορφή μιας σειράς Fourier είναι β) Για x = 4 έχουμε u(x, t) = + h(t) = u( 4, t ) = + k άρτιος. n=1 4 (1 4 n ) cos( n x) cos( n t). (Γ.) Σχήμα 6: Γραφική αράσταση της λύσης. n=1 4 (1 4 n ) cos ( n 4 ) cos( n t) = + 4 n=1 (1 4 n ) cos n ( ) cos( n t). Παρατηρούμε ότι οι όροι με n εριττό θετικό ακέραιο δεν συνεισφέρουν στην h(t), αφού τότε cos( ) =, οότε η συνάρτηση h(t) αίρνει την μορφή n h(t) = + m=1 4 ( 1) m (1 16 m ) cos(4 m t), και αφού h(t + ) = h(t), η h(t) είναι εριοδική συνάρτηση με ερίοδο. γ) Ο τύος του d Alembert για την άειρη χορδή ( < x < ) είναι u(x, t) = 1 ( f(x t) + f(x + t)) + 1 x+t x t g(s) d s, (Γ.3)
12 ΜΔΕ Ενδεικτικές λύσεις άλλων ροβλημάτων Α. Τόγκας όου u(x, ) = f(x), u t (x, ) = g(x). Για το ρόβλημά μας γνωρίζουμε τις αρχικές τιμές f(x) = sin x και g(x) = μόνο για το διάστημα x. Θα ρέει λοιόν να εεκτείνουμε τα αρχικά δοσμένα κατάλληλα σε όλο το άξονα των x, έτσι ώστε η λύση ου δίνεται αό τον τύο του d Alembert να ικανοοιεί αυτόματα τις συνοριακές συνθήκες στα άκρα x =, x =. Εειδή η λύση ου δίνεται αό την σχέση (Γ.) είναι άρτια συνάρτηση κάνοντας άρτια -εριοδική εέκταση των συναρτήσεων f(x), g(x), αρατηρούμε ότι οι συνοριακές συνθήκες στην (Γ.3) ικανοοιούνται. Πράγματι, εεκτείνουμε τα αρχικά δοσμένα έτσι ου f( x) = f(x), g( x) = g(x),, f( + x) = f(x), g( + x) = g(x). Παραγωγίζοντας την (Γ.3) ως ρος x, αίρνουμε u x (x, t) = 1 ( f (x t) + f (x + t)) + 1 ( g(x + t) g(x t)). Στα άκρο x = έχουμε u x (, t) = 1 ( f ( t) + f (t)) + 1 ( g(t) g( t)) =, αφού g( t) = g(t) και αν f( t) = f(t), τότε f ( t) = f (t). Στο άκρο x = έχουμε u x (, t) = 1 ( f ( t) + f ( + t)) + 1 ( g( + t) g( t)) =, αφού ισχύει ότι g( + t) = g( + t) = g( + t) = g( t), και ομοίως f( + t) = f( t) και αραγωγίζοντας ως ρος t, ισχύει ότι f ( + t) = f ( t). Εφαρμόζοντας λοιόν τον τύο του d Alembert αίρνουμε u( 4, ) = 1 [ f( 4 ) +f( 3 4 )] = 1 [ f( 4 ) +f( 3 4 )] = 1 ( sin 3 +sin 4 4 ) = 1. u δ) Η (x, t), αρουσιάζει ασυνέχειες στα άκρα x = και x =, οι οοίες x διαδίδονται κατά μήκος των χαρακτηριστικών καμυλών. Πράγματι, αραγωγίζοντας την αρχική συνθήκη u(x, ) = sin x ως ρος x έχουμε ότι u x (x, ) = cos x, οότε για το άκρο x =, έχουμε ότι lim u x(x, ) = cos = 1, x ενώ αό την συνοριακή συνθήκη u x (, t) = για κάθε t, άρα για t =, έχουμε u x (, ) =. Ομοίως, για το άκρο x =, έχουμε lim u x x(x, ) = cos = 1, ενώ αό την συνοριακή συνθήκη u x (, t) = για κάθε t, άρα για t =, έχουμε u x (, ) =. Σχήμα 7: Γραφική αράσταση της u x (x, t).
ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας
Πρόβλημα 15. Για κάθε μια αό τις ακόλουθες αρχικές τιμές θερμοκρασίας i) να βρεθεί η λύση στην μορφή μια σειράς Fourier της εξίσωσης της θερμότητας με εριοδικές συνοριακές συνθήκες u t = u x x < x
Διαβάστε περισσότεραΜερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 14-15, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: Πρόβλημα 1. Για κάθε μια από τις
Διαβάστε περισσότεραΔιαφοριϰές Εξισώσεις (ΜΕΜ 271) Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 2019
Διαφοριϰές Εξισώσεις ΜΕΜ 71 Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 19 Εστω η μη γραμμιϰή διαφοριϰή εξίσωση ρώτης τάξης Α 1. Δείξτε ότι η διαφοριϰή εξίσωση δεν είναι αϰριβής. Λύση. Η αντίστοιχη διαφοριϰή μορφή είναι
Διαβάστε περισσότερακι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει
Πρόβλημα 22. Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα συνοριακών τιμών για τη εξίσωση του Laplace u + u = 0, 1 < < 1, 1 < < 1, u(, 1) = f(), u(, 1) = 0, u( 1, ) = 0, u(1, ) = 0. α) Σωστό ή λάθος; Αν f( ) = f() είναι
Διαβάστε περισσότεραf(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f.
ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεωρία (σειρές Fourier) Εάν μιά συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το και υάρχει αριθμός λ> τέτοιος ώστε να ισχύει: f(x)f(x+λ), x Τότε η συνάρτηση καλείται εριοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για
Διαβάστε περισσότεραείναι γραµµικώς ανεξάρτητοι, αποτελούν βάση του υποχώρου των πινάκων Β άρα η διάστασή του είναι 2. και 2
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Ιουλίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του µαθήµατος, ενώ αό τα Θέµατα,, 4 και 5 µορείτε να ειλέξετε
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του
Διαβάστε περισσότεραΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,
ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Η ροσέγγιση συναρτήσεων µέσω ολυωνύµων, την οοία µελετήσαµε στην ροηγούµενη Ενότητα, αρά την αοτελεσµατικότητα και την, σχετική, αλότητά της, αοδεικνύεται ανεαρκής για την εριγραφή/ροσέγγιση
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις μερικών ασκήσεων του τέταρτου φυλλαδίου.
Λύσεις μερικών ασκήσεων του τέταρτου φυλλαδίου.. Βρείτε τον μετασχηματισμό Fourier της συνάρτησης x, αν x xχ [,] (x) =, αν x < ή < x Λύση. Εειδή η συνάρτηση είναι τμηματικά συνεχής και μηδενίζεται έξω
Διαβάστε περισσότεραΠανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών
Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σουδών Ημερομηνία: 18 Μαΐου 216 Ααντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α1. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο
Διαβάστε περισσότεραΑπόδειξη Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι f (x) 0.
Αόδειξη Αοδεικνύουμε το θεώρημα στην ερίτωση ου είναι f () 0. Έστω, με. Θα δείξουμε ότι f( ) f( ). 1 1 1 Πράγματι, στο διάστημα [, ] η f ικανοοιεί τις ροϋοθέσεις του Θ.Μ.Τ. δηλαδή 1 είναι συνεχής στο 1,.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5- ΛΥΣΕΙΣ Οι ασκήσεις της Εργασίας αυτής βασίζονται στην ύλη των Ενοτήτων 9 του συγγράµατος «Λογισµός Μιας Μεταβλητής»
Διαβάστε περισσότεραΜία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις
Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)
Διαβάστε περισσότεραSeirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA
Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA 1 Eisagwg Οι σειρές Fourier είναι ένα ιδιαίτερα χρήσιμο εργαλείο του Λογισμού ου βρίσκει ολλές εφαρμογές σε διάφορα εδία της ειστήμης, χ στις
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΣΜΟΙΩΣΗΣ 1, 23/03/2018 ΘΕΜΑ Α
Λύσεις των θεμάτων ροσομοίωσης //8 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΣΜΟΙΩΣΗΣ //8 ΘΕΜΑ Α Α. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστο διάστημα a β όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του a β και ειλέον:
Διαβάστε περισσότερα1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις
11 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ποια συνάρτηση ονομάζουμε εριοδική; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A
Διαβάστε περισσότεραΤριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις
6 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T τέτοιος ώστε για κάθε x A να
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1(ΑΝΑΛΥΣΗ)
ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ (ΑΝΑΛΥΣΗ) Ι. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους. Η συνάρτηση = sin. Η συνάρτηση sin : -, [,], = sin είναι, αφού (sin ) = cos >, για κάθε -,. Άρα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014)
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (6/11/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του
Διαβάστε περισσότερα(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) (Ενδεικτικές Ααντήσεις)
Διαβάστε περισσότερα( y) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 135
ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 07 Α. α. Ψ β. Δίνεται αντιαράδειγμα στο σχολικό βιβλίο σελίδα 99, αράγραφος: «Παράγωγος και συνέχεια». Α.
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 2 η (2/12/2014)
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/1/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του Λυκείου
Διαβάστε περισσότεραPhysics by Chris Simopoulos
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και
Διαβάστε περισσότεραF = y n cos xˆx + sin xŷ. W OABO = F d r. ds + sin(x)dy ds. dy ds = 1 π. ) n 1 cos(s) + sin(s)ds. dy ds = 0. ds = 1 &
Μηχανική Ι Εργασία #4 Μουζλάνοβ Γεώργιος Αριθμός Μητρώου:478 3 Οκτωβρίου 6 Άσκηση Αό τα δεδομένα της άσκησης έχουμε τα εξής: F = y n cos ˆ + sin ŷ Το έργο στην κλειστή διαδρομή O A B O είναι το κλειστό
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία Θεώρημα σελ. 145 σχολικού βιβλίου. Α2. Θεωρία Ορισμός σελ. 15 σχολικού βιβλίου
Σελίδα αό ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φροντιστήρια Ρούλα Μακρή
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -
Διαβάστε περισσότεραΕξετάσεις 9 Ιουνίου Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Εξετάσεις 9 Ιουνίου 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου (Θετικών Σουδών και Σουδών Οικονομίας-Πληροφορικής) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 777 59 ΑΡΤΑΚΗΣ - Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ:
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x
ΠΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 00-00 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. (0 µον.) Να υολογισθούν τα όρια:
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι - ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΩΝ : Χρήστος Βοζίκης
ΤΜΗΜΑ Β ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΚΑ. ΕΤΟΣ 5-6 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 6 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι - ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΚΑΤΟΙΚΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ
ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΚΑΤΟΙΚΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ A. Έστω f μια συνάρτηση αραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του o, στο οοίο όμως η f είναι συνεχής.
Διαβάστε περισσότερα(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)
ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό
Διαβάστε περισσότεραΔίνονται οι συναρτήσεις: f ( x)
http://eler.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (5 μον.) (Για το ερώτημα (α) συμβουλευθείτε τα εδάφια. και. και για το (β) το εδάφιο. του συγγράμματος
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Χρησιμοοιώντας τα στοιχεία του αρακάτω ίνακα, να γίνει η γραφική αράσταση της μάζας (Μ), του όγκου (V) και της αραγωγής γλυκόζης (G) σαν συνάρτηση της ηλικίας (α). Για οιες αό αυτές
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις...
Διαβάστε περισσότεραιαφορικές Εξισώσεις µε Μερικές Παραγώγους, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Τελική Εξέταση Περιόδου Ιουνίου.
ιαφορικές Εξισώσεις µε Μερικές Παραγώγους, Ααντήσεις-Παρατηρήσεις στην Τελική Εξέταση Περιόδου Ιουνίου. Ανδρέας Ζούας 8 Σετεµβρίου Οι λύσεις αλώς ροτείνονται και σαφώς οοιαδήοτε σωστή λύση είναι αοδεκτή!
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Πρόλογος Κεφάλαιο 1 Βασικές έννοιες Κεφάλαιο 2 Ταξινόμηση των διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης... 20
Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Κεφάλαιο Βασικές έννοιες... Διαφορικές εξισώσεις... Συμβολισμοί... Λύσεις... Προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών... Κεφάλαιο Ταξινόμηση τν διαφορικών εξισώσεν ρώτης τάξης...
Διαβάστε περισσότεραΕκφωνήσεις των θεμάτων των εξετάσεων Επεξεργασμένες ενδεικτικές απαντήσεις Ενδεικτική κατανομή μονάδων ανά ερώτημα
. Εκφωνήσεις των θεμάτων των εξετάσεων Εεξεργασμένες ενδεικτικές ααντήσεις Ενδεικτική κατανομή μονάδων ανά ερώτημα Εεξεργασία: Δημήτριος Σαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συντονιστής βαθμολογητών
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση (8 µον) Χρησιµοοιώντας την αντικατάσταση acosθ, ή ataθ, για µια κατάλληλη
Διαβάστε περισσότεραΤριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων
1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις Αόστολος Γιαννόουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκαιδευτικό υλικό, όως εικόνες,
Διαβάστε περισσότερα[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2.
99 ΘΕΜΑΤΑ. α) ίνεται η συνάρτηση f ορισµένη και δύο φορές αραγωγίσιµη στο διάστηµα µε τιµές στο (, + ). Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g µε g() = lnf(),, έχει την ιδιότητα «g (), για κάθε» αν και µόνο αν ισχύει
Διαβάστε περισσότεραΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12)
ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-) ΛΥΣΕΙΣ 5 ΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ, - Eνότητες: 8,9,,,, αό το βιβλίο «ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ» Γ. άσιου. Παράδοση της εργασίας µεχρι τις 9 /4/
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις Αόστολος Γιαννόουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκαιδευτικό υλικό, όως εικόνες, ου υόκειται
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε: y i 6 + y + y y Άρα, η λύση του συστήματος
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει ραγματικό μέρος φανταστικό μέρος u( x, y) xcos y και v( x, y) xsi y Αό την θεωρία γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΠανελλαδικές Εξετάσεις 2017
Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού 9/6/7 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α. Έστω, Δ, με
Διαβάστε περισσότεραΤετραγωνική κυματομορφή συχνότητας 1 Hz
Τετραγωνική κυματομορφή συχνότητας 1 Hz Η κυματομορφή, στην γενική της μορφή θα είναι : V 0 2 3 ωt -V Η κυματομορφή είναι εριττή Η κυματομορφή, όως φαίνεται εύκολα αό το σχήμα, έχει μέση τιμή μηδενική,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7. Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier.
7 Σειρές Fourier Κεφάλαιο 7 Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier Mια συνάρτηση : R καλείται εριοδική µε ερίοδο >, αν ισχύει ( x) = ( x+ ) για κάθε x R και ο είναι ο µικρότερος αριθµός για τον οοίο ισχύει αυτή
Διαβάστε περισσότεραX(s + j 2π T k)esit ds, C 1 = a + j(0,2π/t) ( ln(z) + j2πk. z i 1 dz, C = e at+j(0,2π). j2π C T
Πανειστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ24: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Φθινόωρο 25 Λύσεις Εαναλητικών Εξετάσεων Θέμα 1 (α) Αό το μετασχηματισμό Laplace δ(t t ) e st, ροκύτει y[i ]δ(t i T) y[i ]e si T = Y (e st ), με
Διαβάστε περισσότεραTριγωνομετρικές εξισώσεις
Tριγωνομετρικές εξισώσεις Εχουμε μάθει να λύνουμε εξισώσεις ρώτου βαθμού και δευτέρου βαθμού ου είναι ισότητες ου εριέχουν έναν άγνωστο και ροσαθούμε να βρούμε για οιά (ή οιές) τιμές αυτού του αγνώστου
Διαβάστε περισσότερα[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin
[] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ. Τμήμα Α (α) Για τη συνάρτηση f () : Παρατηρούμε ότι si u= y x και v x u = ycos x, u = si x, v =, v =. x y x y = οότε Οι ανωτέρω ρώτες μερικές
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων
Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Ιωάννης Χαρ. Κατσαβουνίδης Τμήμα Μηχ. Η/Υ, Τηλε. Δικτύων Πανειστήμιο Θεσσαλίας ΦΘινοωρινό Εξάμηνο 00/ Άσκηση Να βρείτε αν τα αρακάτω συστήματα είναι γραμμικά,
Διαβάστε περισσότεραΕργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14 " ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ "
Άσκηση Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Παράδοση 6//9 Αν υοθέσουμε ως στο τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων yz ο άξονας των z συμίτει με τη διεύθυνση της κατακόρυφου, να γράψετε αναλυτικά (με την
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ
ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Ποια συνάρτηση ονομάζεται αρχική ή αράγουσα της f στο ; Μονάδες 4 Α. Να διατυώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες (1+1+1+1)4 Α3. Να διατυώσετε και να
Διαβάστε περισσότερα1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 1 η δεκάδα θεµάτων εανάληψης 1. ίνεται το ολυώνυµο Ρ(x) = x 3 x 2 4x + 4 Να αοδείξετε ότι ο αριθµός ρ = 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου i Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης του ολυωνύµου Ρ(x) µε το ολυώνυµο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΘΕΜΑ Β. Β1.. Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R (διότι. x άρα. x 1 0 για κάθε x R)
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σελ. σχολ. βιβλ. 6 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 4 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 46-47 Α4. Λ, Σ, Λ, Σ, Σ ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΣειρές συναρτήσεων. Τα μαθηματικά συγκρίνουν τα πιο διαφορετικά φαινόμενα και ανακαλύπτουν τις μυστικές αναλογίες, που τα ενώνουν.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σειρές συναρτήσεων Καθώς το εερασμένο ερικλείει μία άειρη σειρά Και στο αεριόριστο εμφανίζονται όρια Έτσι και η ψυχή της αεραντοσύνης φωλιάζει στις μικρές λετομέρειες Και μέσα στα ιο στενά όρια,
Διαβάστε περισσότεραΓια τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.
Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά
Διαβάστε περισσότερα, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία
f ( t ) ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [, + ) R µε: f ( ) = + ( + ), > t Α ) να δείξετε ότι: α) f ( ) = ln +, > β) f ( ) = Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f Γ) να δείξετε ότι η C f είναι
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΡΙΟΔΟΤΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2017
Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΡΙΟΔΟΤΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ Α Έστω, єδ με
Διαβάστε περισσότεραΕλευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου
Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9
Διαβάστε περισσότερα( f ) ( T) ( g) ( H)
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αόδειξη (iii), σελ.44 σχολικού βιβλίου Α. Ορισµός,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ (1) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, ΜΑΡΤΙΟΥ 18 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ
Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ. A1. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω f μια
Διαβάστε περισσότεραΜερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας
Διαβάστε περισσότερα3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής. Σημειώσεις ΙI: Η Εξίσωση Schrödinger για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό.
Πανειστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙI: Η Εξίσωση Schöinge για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό.. Ακτινική εξίσωση Η εξίσωση Schöinge για ένα σωμάτιο το
Διαβάστε περισσότεραΈντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυο Yοβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμληρώνει την ενότητα «Υοβολή Εργασίας» και αοστέλλει το έντυο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος συμληρώνει
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 MAΪΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Γκύζη -Αθήνα Τηλ :.6.5.777 ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 MAΪΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα 6-6
Διαβάστε περισσότεραΕλευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Ελευθέριος Πρωτοαάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ ίνεται η συνάρτηση f µε f() = 5 4 +α, όου α R και το είναι ρίζα της εξίσωσης f() =. α) Να βρείτε το α R. β) Να λύσετε
Διαβάστε περισσότεραΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ
ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 8464 84767 www.iraklitos.gr ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αοστολής στους Φοιτητές: 7 Αριλίου 9 Ημερομηνία αράδοσης της Εργασίας: 9 Μαΐου 9 Πριν αό την λύση
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού x 0 x 0. , 0,, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, και
ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ. 6 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 11 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 6-7 Α. α. Λάθος Θέμα Β β. Σωστό γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Σωστό Μαθηματικά Προσανατολισμού 18-5-16 Β1. Η f είναι αραγωγίσιμη
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
http://eepgr/pli/pli/studetshtm ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ), - ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤ Τα κάτωθι ροβλήµατα ροέρχονται αό την ύλη και των συγγραµµάτων της
Διαβάστε περισσότεραAΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 2018
AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 8 ΘΕΜΑ Α: Α. Αόδειξη σελ.44 (σχολικό) Α. Ορισμός σελ. 5 (σχολικό) Α3. Η αράγωγος της f μορεί να είναι η Τ και η αράγωγος της g η H. Α4.
Διαβάστε περισσότερα1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις
1. Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 1 η Μορφ Ασκσεων: Μας ζητούν να λύσουμε μια εξίσωση της μορφς: = α, α 0 = α, α 0 εφx = α, α 0 σφx = α, α 0 1. Να λυθούν οι εξ ισώσεις: i. ημ x =, ii. ημ x= 0, iii.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ
ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ
ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 6 17 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ Θέμα Α Α1 Παραομή στο σχολικό βιβλίο σελίδα 135.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΤΣΙΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότερα3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις
3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις Περιοδικές συναρτήσεις Ορισμός Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ>0 τέτοιος ώστε για κάθε Α να ισχύει: ( T)A και
Διαβάστε περισσότεραΆγγελος Λιβαθινός, Μαθηματικός. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ. Α1. Θεωρία ( Σχολικό Βιβλίο, Σελίδα 98. Μέτρο Μιγαδικού αριθμού- ιδιότητα)
ΘΕΜΑ 1 ο ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΕΩΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ Α1 Θεωρία ( Σχολικό Βιβλίο, Σελίδα
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου
Θέμα Εαναλητικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Α. Αν α>0 με α, τότε για οοιουσδήοτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log ( θ θ ) = log θ + log θ (7 μονάδες) α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας
Διαβάστε περισσότεραΕΥΤΕΡΑ, 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ ΕΥΤΕΡΑ, ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.) Λύση: f ( ) ( ) ( ) ( )! f α) Ο τύος της σειράς µε κέντρο
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοοίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 207-208 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Εικ. Καθηγητής v.kouras@fme.aegea.gr
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ολοκληρώνοντας το 1 ο κεφάλαιο στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α) Να αοδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f() = ln, [,] αντιστρέφεται και να ορίσετε την f. β) ln d + d =. Β) Δίνεται η συνάρτηση α) h() h(), για κάθε [, + ). = d. Να αοδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν
Διαβάστε περισσότεραΔ Ι Π Λ Α Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α
Α. Διλά ολοκληρώματα Θεωρούμε τη συνάρτηση z f, ου είναι ορισμένη και συνεχής σε ένα κλειστό και φραγμένο χωρίο Τ του ειέδου O. Υοθέτουμε ότι εμβαδόν του χωρίου Τ είναι ίσο με Α. ΔΑ i Διαμερίζουμε το χωρίο
Διαβάστε περισσότεραxsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy
ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα : cos sin dd Ολοκληρώνουμε ρώτα ως ρος θεωρώντας το σαν σταθερά (αρατηρούμε ότι το «εσωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, δηλαδή ρώτα εμφανίζεται το
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων
7 Μαΐου 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ααντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων ΘΕΜΑ Α Α. Αόδειξη σχολικού βιβλίου σελ.33 Α. Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ.6 Α3. Ορισμός σχολικού βιβλίου
Διαβάστε περισσότερα1.Να βρείτε την συνάρτηση f(x) για την οποία ισχύει ότι f 2 (x).f (χ)=χ 2 +1,χ 0 και περνάει από την αρχή των αξόνων.
1.Να βρείτε την συνάρτηση f(x) για την οοία ισχύει ότι f 2 (x).f (χ)χ 2 +1,χ 0 και ερνάει αό την αρχή των αξόνων. f x f x x + 1 (1) x 0 H f(x) ερνάει αό το (0, 0) f(0) 0 (2) (1) x Άρα οι συναρτήσεις διαφέρουν
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 17 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Ααντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α1. Αόδειξη σχολικού βιβλίου σελ 135 Α. α. Ψευδής
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,
Διαβάστε περισσότερα