Συμβολή δυο κυμάτων στην επιφάνεια υ- γρού. Μελέτη με την τεχνική των περιστρεφόμενων

Transcript

1 ο Γενικό Λύκειο Πεύκης Συμβολ δυο κυμάτων στην επιφάνεια υ- γρού. Μελέτη με την τεχνικ των περιστρεφόμενων διανυσμάτων Ας θεωρσουμε στην επιφάνεια υγρού δυο σημειακές πηγές Π και Π που απέχουν μεταξύ τους απόσταση d και που ταλαντώνονται με την ίδια κυκλικ συχνότητα ω, το ίδιο πλάτος A και την ίδια φάση (σύγχρονες). Έστω ότι οι πηγές ταλαντώνονται με ε- ξίσωση κίνησης y = Ahm wt Σ ένα σημείο P που οι αποστάσεις από τις πηγές Π και Π είναι αντίστοιχα r και r,οι δυο συνιστώσες κινσεις είναι r y() ö t = Ahmp ç - () ø και y() t = Ahmp ç - () ø όπου A και A τα πλάτη. Αν και οι δυο πηγές έχουν το ίδιο πλάτος A, τα πλάτη στο P είναι διαφορετικά γιατί το πλάτος μειώνε- ται όσο απομακρυνόμαστε από μια πηγ. Σύμφωνα με την αρχ της επαλληλίας των κινσεων, η απομάκρυνση του σημείου P από τη θέση ισορροπίας του σε μια οποιαδποτε χρονικ στιγμ t είναι y = y + y Οι απομακρύνσεις y () t και y ( t ) του σημείου P από τη θέση ι- σορροπίας μπορούν να περιγραφούν με περιστρεφόμενα διανύσματα με μκη A και A που σχηματίζουν με τον άξονα αναφοράς x γωνίες ίσες με τις φάσεις æ p t ç - και p ç - αντίστοιχα (σχμα ). Στα σχματα οι φάσεις γράφονται με τη μορφ ø ø p p wt - kr και wt - kr όπου w = και k =. Η ποσότητα T p k = ονομάζεται κυματικός αριθμός. Η συνισταμένη ταλάντωση του σημείου P περιγράφεται από το διανυσματικό άθροισμα των δυο περιστρεφόμενων διανυσμάτων. r r Σε σημείο P του μέσου με r > r έχουμε > æ r t ö p p - < - T και η διαφορά φάσεως των δυο συνιστωσών ταλαντώσεων çè ø ø είναι Σχμα Τα περιστρεφόμενα διανύσματα των συνιστωσών ταλαντώσεων και της συνισταμένης ταλάντωσης για ένα σημείο P που r > r.

2 ο Γενικό Λύκειο Πεύκης p d p p çt è ø èçt ø ( r r ) = = - Το πλάτος A της συνισταμένης ταλάντωσης του P εξαρτάται από τη διαφορά φάσης δ των δυο συνιστωσών ταλαντώσεων και δίνεται από τη σχέση A = A + A + AAsn d Αν τα πλάτη θεωρηθούν ίσα A = A = A τότε είναι = + sn A A A d A A ( d) = +sn (3) d Επειδ είναι + sn d = sn έχομε A = d 4A sn d A = Asn r - r A = Asn p Από την εξίσωση (3) προκύπτει ότι το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο A = A, εκεί όπου sn d = + d = np (4) p ( r - r ) = np r - r = n (5) με n = 0,,, Επίσης από την εξίσωση (3) προκύπτει A = 0 εκεί όπου sn d = - d = (n + ) p (6) p ( r - r ) = (n + ) p r - r = (n + ) (7) με n = 0,,, Tα σημεία στα οποία έχουμε ενισχυτικ συμβολ ( A = A) και τα σημεία στα οποία έχουμε απόσβεση ( A = 0 ) βρίσκονται πάνω σε υπερβολές με εστίες τα σημεία Π και Π (σχμα 3).

3 ο Γενικό Λύκειο Πεύκης Σχμα 3 Οι υπερβολές ενισχυτικς συμβολς (συνεχείς) και α- πόσβεσης (διακεκομμένες) δυο κυμάτων στην επιφάνεια υγρού. Οι συνεχείς λευκοί κύκλοι παριστάνουν τα όρη ενώ οι διακεκομμένοι τις κοιλάδες των κυμάτων που παράγονται από τις πηγές σε μια χρονικ στιγμ. Το αποτέλεσμα της συμβολς σ ένα σημείο P είναι ταλάντωση r που για r > r και t ³ περιγράφεται από την εξίσωση με πλάτος και φάση y é A p ç ê ë ø = hm - + r - r A = Asn p p ç - + J ø όπου ϑ η αρχικ φάση της συνισταμένης ταλάντωσης. r Αντίστοιχα αν r > r, η εξίσωση ταλάντωσης του P για t ³ είναι: y é A p ç ê ë ø = hm - + ù J úû ù J úû 3

4 ο Γενικό Λύκειο Πεύκης Η αρχικ φάση ϑ της συνισταμένης ταλάντωσης του σημείου P Οποιαδποτε διαφορά φάσης δ μεταξύ των δυο ταλαντώσεων, είναι d = kp + όπου φ είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του δ με το π και επομένως 0 < p. Για r > r και 0 < p [ αυτό συμβαίνει όταν ( ) kp d < k + p ], τα περιστρεφόμενα διανύσματα φαίνονται στο σχμα 4. Αν τα πλάτη θεωρηθούν ίσα A = A = A τότε το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος οπότε η αρχικ φάση ϑ της συνισταμέ- νης ταλάντωσης είναι J = Σχμα 4 Τα περιστρεφόμενα διανύσματα των συνιστωσών ταλαντώσεων και της συνισταμένης ταλάντωσης για ένα σημείο P που r > r και 0 < p κατά τη χρονικ στιγμ και λίγο μετά. t = r / 4

5 ο Γενικό Λύκειο Πεύκης Για r > r και p < < p [ αυτό συμβαίνει όταν ( ) k- p < d < kp], τα περιστρεφόμενα διανύσματα φαίνονται στο σχμα 5. Αν τα πλάτη θεωρηθούν ίσα A = A = A τότε η αρχικ φάση ϑ της συνισταμένης ταλάντωσης είναι J = + p Η γωνία J δίνεται τριγωνομετρικά από την εξίσωση A hm e J = A + A sn Για A = A = A είναι hm sn hm e J = = = e +sn sn Από την παραπάνω έχουμε J = kp+ Επειδ 0 J < p έχουμε Αν 0 < p τότε ενώ αν p < < p τότε J = J = J = p+ J = p+. Σχμα 5 Τα περιστρεφόμενα διανύσματα των συνιστωσών ταλαντώσεων και της συνισταμένης ταλάντωσης για ένα σημείο P που r > r και p < < p κατά τη χρονικ στιγμ t = r και λίγο μετά. / Παρατηρσεις Η εξίσωση κίνησης ενός σημείου P με r > r στο οποίο έχουμε r ενισχυτικ συμβολ ( A = A) για t ³ είναι r ö y = Ahmp ç - ø μια και J = 0. Δηλαδ η φάση της ταλάντωσης του P είναι εκείνη της ταλάντωσης y () t από το κύμα που φτάνει δεύτερο. Αντίστοιχα αν r > r, η εξίσωση ταλάντωσης του P στο οποίο r έχουμε ενισχυτικ συμβολ για t ³ είναι: y = Ahmp ç - ø 5

6 ο Γενικό Λύκειο Πεύκης με φάση τη φάση της ταλάντωσης y () t λόγω του κύματος που φτάνει δεύτερο. 6