Εγκλεισμός Αποκλεισμός

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εγκλεισμός Αποκλεισμός"

Transcript

1 Εγκλεισμός Αποκλεισμός

2 Αρχή Εγκλεισμού Αποκλεισμού (Ι) Όταν δύο εργασίες μπορούν να γίνουν ταυτόχρονα, ΔΕN μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον κανόνα αθροίσματος για να απαριθμούμε τους τρόπους εκτέλεσης μιας από τις 2 εργασίες Πόσες συμβολοσειρές bit με μήκος 8 είτε αρχίζουν από είτε τελειώνουν σε 00; Ενδιαφέρομαι για 8 bit συμβολοσειρές που αρχίζουν με : 2 7 που τελειώνουν σε 00: 2 6 που αρχίζουν με και τελειώνουν σε 00: 2 5 ΠΡΟΣΕΧΩ ΝΑ ΜΗ ΔΙΠΛΟΜΕΤΡΑΩ Αυτές τις έχω μετρήσει 2 φορές από μία σε καθεμία από τις προηγούμενες κατηγορίες πρέπει να απομακρύνω τη μία φορά Συνολικά, οι ζητούμενες συμβολοσειρές είναι: = =60

3 Αρχή Εγκλεισμού Αποκλεισμού (ΙΙ) Μια τάξη έχει 25 φοιτητές που παρακολουθούν Διακριτά Μαθηματικά 3 φοιτητές που παρακολουθούν Ιστορία της Τέχνης 8 φοιτητές που παρακολουθούν και τα δύο μαθήματα Πόσοι φοιτητές υπάρχουν στην τάξη αυτή αν κάθε φοιτητής παρακολουθεί ένα από τα 2 ή και τα 2 μαθήματα; Α: σύνολο φοιτητών που παρακολουθούν Διακριτά Μαθηματικά Β: σύνολο φοιτητών που παρακολουθούν Ιστορία της Τέχνης Α Β: σύνολο φοιτητών που παρακολουθούν και τα δύο μαθήματα Το πλήθος των φοιτητών στην τάξη είναι Α Β = Α + Β Α Β =25+3 8=30 A B = A + B A B =25+3 8=30 A A B B A =25 A B =8 B =3

4 Αρχή Εγκλεισμού Αποκλεισμού (ΙII) Υπάρχουν 807 πρωτοετείς σε ένα τμήμα. Από αυτούς: 453 παρακολουθούν Διακριτά Μαθηματικά 567 παρακολουθούν Ιστορία της Τέχνης 299 παρακολουθούν και τα δύο μαθήματα Πόσοι πρωτοετείς δεν παρακολουθούν Διακριτά Μαθηματικά ή Ιστορία της Τέχνης; A: σύνολο πρωτοετών που παρακολουθούν Διακριτά Μαθηματικά A = 453 B : σύνολο πρωτοετών που παρακολουθούν Ιστορία της Τέχνης B = 567 Πλήθος φοιτητών που παρακολουθούν και τα δύο μαθήματα: A B = 299 Πλήθος φοιτητών που παρακολουθούν ένα από τα δύο μαθήματα: A B = A + B A B = = 72 Το πλήθος των πρωτοετών που δεν παρακολουθούν κανένα από τα δύο μαθήματα είναι: = 086

5 Αρχή Εγκλεισμού Αποκλεισμού (VIII) Έχουμε έναν αποδοτικό τρόπο για να μετράμε το πλήθος των στοιχείων της ένωσης 2 συνόλων, Α και Β, μέσω: του πλήθους των στοιχείων στα σύνολα αυτά. Α, Β του πλήθους των στοιχείων της τομής τους, Α Β Α Β = Α + Β - Α Β

6 Αρχή Εγκλεισμού Αποκλεισμού (IX) Τι γίνεται αν έχουμε 3 σύνολα, Α, Β και C; Πώς μπορούμε να μετράμε το πλήθος των στοιχείων της ένωσης 3 συνόλων; A C B 0 A C B A C B A + B + C A + B + C A B A C B C A + B + C A B A C B C + A B C

7 Αρχή Εγκλεισμού Αποκλεισμού (X) 232 φοιτητές παρακολουθούν Αγγλικά (σύνολο Α), 879 Ισπανικά (σύνολο Β), και 4 Γαλλικά (σύνολο C) 03 φοιτητές παρακολουθούν Αγγλικά και Ισπανικά (Α Β), 23 φοιτητές παρακολουθούν Αγγλικά και Γαλλικά (Α C) και 4 φοιτητές παρακολουθούν Ισπανικά και Γαλλικά (B C) Αν 2092 φοιτητές παρακολουθούν τουλάχιστον μία από τις γλώσσες Αγγλικά, Ισπανικά και Γαλλικά (Α Β C), πόσοι φοιτητές παρακολουθούν και τις 3 γλώσσες; Α Β C = Α + Β + C Α Β Α C B C + Α B C 2092= Α B C Α B C =7

8 Γενικεύοντας... ) ( ,...,, n n n k j i k j i n j i j i n i i n n A A A A A A A A ό ύ έ ί ό Έ + + Α = Α Α Α Τ Α Α Α + < < < τε νολα σ να πεπερασμ ναι ε τα τι στω

9 Ασκήσεις () Πόσα στοιχεία υπάρχουν στο σύνολο Α Α2, αν υπάρχουν 2 στοιχεία στοσύνολοα, 8 στοιχεία στο σύνολο Α2 και Α Α2= ; Α Α2 = Α + Α2 Α Α2 = = 30 Πόσα στοιχεία υπάρχουν στο σύνολο Α Α2, αν υπάρχουν 2 στοιχεία στοσύνολοα, 8 στοιχεία στο σύνολο Α2 και Α Α2 =; Α Α2 = Α + Α2 Α Α2 = 2+8 = 29

10 Ασκήσεις (2) Πόσα στοιχεία υπάρχουν στο σύνολο Α Α2, αν υπάρχουν 2 στοιχεία στοσύνολοα, 8 στοιχεία στο σύνολο Α2 και Α Α2 =6; Α Α2 = Α + Α2 Α Α2 = = 24 Πόσα στοιχεία υπάρχουν στο σύνολο Α Α2, αν υπάρχουν 2 στοιχεία στοσύνολοα, 8 στοιχεία στο σύνολο Α2 και Α Α2; Α Α2 = Α + Α2 Α Α2 = = 8

11 Ασκήσεις (3) Σε ένα Τμήμα, 345 φοιτητές παρακολουθούν άλγεβρα, 22 διακριτά μαθηματικά και 88 φοιτητές παρακολουθούν και τα δύο μαθήματα. Πόσοι φοιτητές παρακολουθούν κάποιο από τα δύο μαθήματα; Α: φοιτητές που παρακολουθούν άλγεβρα Β: φοιτητές που παρακολουθούν διακριτά μαθηματικά Α Β = Α + Β Α Β = =369

12 Ασκήσεις (4) Έρευνα έδειξε ότι στην Ελλάδα 96% των σπιτιών διαθέτει τουλάχιστον συσκευή τηλεόρασης, 98% των σπιτιών διαθέτουν τηλεφωνική σύνδεση και 95% των σπιτιών διαθέτουν τηλεφωνική σύνδεση και τουλάχιστον συσκευή τηλεόρασης. Ποιο ποσοστό σπιτιών δεν διαθέτουν ούτε τηλεόραση ούτε τηλεφωνική σύνδεση; Α: σπίτια με τηλεόραση, Α =0,96 Β: σπίτια με τηλεφωνική σύνδεση, Β =0,98 Α Β: σπίτια με τηλεόραση και τηλεφωνική σύνδεση, Α Β =0,95 Α Β: σπίτια με τηλεόραση ή και τηλεφωνική σύνδεση, Α Β = Α + Β Α Β = 0,96 + 0,98 0,95 = 0,99 Ζητάμε σπίτια χωρίς τηλεόραση και χωρίς τηλεφωνική σύνδεση δηλ. το Α Β Α Β = 0,99=0,0 Το ζητούμενο ποσοστό είναι %

13 Ασκήσεις (5) Σύμφωνα με έρευνα αγοράς για προσωπικούς υπολογιστές, κάτοχοι σκοπεύουν να αγοράσουν εκτυπωτή και κάποιο πακέτο λογισμικού. Αν κάτοχοι PC σκοπεύουν να αγοράσουν εκτυπωτή ή πακέτο λογισμικού, πόσοι σκοπεύουν να αγοράσουν και εκτυπωτή και λογισμικό; Α: άτομα που σκοπεύουν να αγοράσουν εκτυπωτή Β: άτομα που σκοπεύουν να αγοράσουν λογισμικό Α Β = Α + Β Α Β = Α Β Α Β =

14 Ασκήσεις (6) Βρείτε τον πληθάριθμο του συνόλου A A2 A3 αν υπάρχουν 00 στοιχεία σε κάθε σύνολο και τα σύνολα είναι ανά δύο ξένα μεταξύ τους Αφού τα σύνολα είναι ανά ζεύγη ξένα μεταξύ τους συνολικά δεν έχουν κοινά στοιχεία Α Α2 Α3 = Α + Α2 + Α3 Α Α2 Α Α3 Α2 Α3 + Α Α2 Α3 = =300 Βρείτε τον πληθάριθμο του συνόλου A A2 A3 αν υπάρχουν 00 στοιχεία σε κάθε σύνολο και υπάρχουν 50 κοινά στοιχεία σε κάθε ζεύγος συνόλων και κανένα στοιχείο δεν ανήκει και στα 3 σύνολα Α Α2 Α3 = Α + Α2 + Α3 Α Α2 Α Α3 Α2 Α3 + Α Α2 Α3 = =50

15 Ασκήσεις (7) Βρείτε τον πληθάριθμο του συνόλου A A2 A3 αν υπάρχουν 00 στοιχεία σε κάθε σύνολο και υπάρχουν 50 κοινά στοιχεία σε κάθε ζεύγος συνόλων και 25 στοιχεία ανήκουν και στα 3 σύνολα Α Α2 Α3 = Α + Α2 + Α3 Α Α2 Α Α3 Α2 Α3 + Α Α2 Α3 = =75 Βρείτε τον πληθάριθμο του συνόλου A A2 A3 αν υπάρχουν 00 στοιχεία σε κάθε σύνολο και τα σύνολα είναι ίσα Α Α2 Α3 = Α + Α2 + Α3 Α Α2 Α Α3 Α2 Α3 + Α Α2 Α3 = =00

16 Ασκήσεις (8) Βρείτε τον πληθάριθμο του συνόλου A A2 A3 αν υπάρχουν 00 στοιχεία στο A, 000 στο A2 και στο A3 αν A A2 και A2 A3 Α Α2 Α3 = Α + Α2 + Α3 Α Α2 Α Α3 Α2 Α3 + Α Α2 Α3 = = 0000 Βρείτε τον πληθάριθμο του συνόλου A A2 A3 αν υπάρχουν 00 στοιχεία στο A, 000 στο A2 και 0,000 στο A3 αντασύνολαείναιανάδύοξένα μεταξύ τους Α Α2 Α3 = Α + Α2 + Α3 Α Α2 Α Α3 Α2 Α3 + Α Α2 Α3 = = 00

17 Ασκήσεις (9) Βρείτε τον πληθάριθμο του συνόλου A A2 A3 αν υπάρχουν 00 στοιχεία στο A, 000 στο A2 και 0,000 στο A3 και υπάρχουν 2 στοιχεία κοινά σε κάθε ζεύγος συνόλων και κανένα στοιχείο δεν ανήκει και στα 3 σύνολα Α Α2 Α3 = Α + Α2 + Α3 Α Α2 Α Α3 Α2 Α3 + Α Α2 Α3 = = 00 6 = 094

18 Ασκήσεις (0) Υπάρχουν 2504 φοιτητές σε ένα Τμήμα. Από αυτούς, 876 παρακολουθούν Java, 999 Linux και 345 γλώσσα προγραμματισμού C. Επιπλέον, 876 παρακολουθούν Java και Linux, 23 Linux και C και 290 Java και C. Αν 89 από τους φοιτητές αυτούς παρακολουθούν και τα 3 μαθήματα, πόσοι από τους 2504 φοιτητές δεν παρακολουθούν κανένα από τα 3 μαθήματα; Α: φοιτητές που παρακολουθούν Java Β: φοιτητές που παρακολουθούν Linux C: φοιτητές που παρακολουθούν C Α Β C = Α + Β + C Α Β Α C B C + Α B C = = 202 Το ζητούμενο πλήθος είναι =492

19 Ασκήσεις () Έρευνα σε 270 φοιτητές έδειξε ότι σε 64 αρέσει το λάχανο, σε 94 το μπρόκολο, σε 58 το κουνουπίδι, σε 26 και το λάχανο και το μπρόκολο, σε 28 και το λάχανο και το κουνουπίδι, σε 22 και το μπρόκολο και το κουνουπίδι και σε 4 αρέσουν και τα 3 λαχανικά. Σε πόσους από τους 270 φοιτητές δεν αρέσει κανένα από τα 3 λαχανικά; Α: φοιτητές που προτιμούν λάχανο Β: φοιτητές που προτιμούν μπρόκολο C: φοιτητές που προτιμούν κουνουπίδι Α Β C = Α + Β + C Α Β Α C B C + Α B C = =54 Το ζητούμενο πλήθος είναι =6

20 Ασκήσεις (2) Πόσοι φοιτητές παρακολουθούν κάποιο από τα μαθήματα άλγεβρα, διακριτά μαθηματικά, δομές δεδομένων ή αλγόριθμους αν σε κάθε μάθημα έχουν αντίστοιχα γραφτεί 507, 292, 32 και 344 φοιτητές, 4 σε άλγεβρα και δομές δεδομένων, 23 σε άλγεβρα και αλγόριθμους, 2 σε διακριτά και δομές δεδομένων, 43 σε διακριτά και αλγόριθμους και κανένας φοιτητής δεν μπορεί να δηλώσει ταυτόχρονα άλγεβρα και διακριτά μαθηματικά ή δομές δεδομένων και αλγόριθμους; Α: φοιτητές που παρακολουθούν άλγεβρα Β: φοιτητές που παρακολουθούν διακριτά μαθηματικά C: φοιτητές που παρακολουθούν δομές δεδομένων D: φοιτητές που παρακολουθούν αλγόριθμους Α Β C D = Α + Β + C + D Α Β Α C Α D B C B D C D + Α B C + Α B D + B C D + A C D A B C D = = 974

21 Ασκήσεις (3) Πόσες δυαδικές συμβολοσειρές μήκους 8 δεν περιέχουν 6 συνεχόμενα 0; Α: Οι δυαδικές συμβολοσειρές μήκους 8 είναι 2 8 Β: Οι δυαδικές συμβολοσειρές μήκους 8 που περιέχουν ακριβώς 6 συνεχόμενα 0 είναι , , , , C: Οι δυαδικές συμβολοσειρές μήκους 8 που περιέχουν ακριβώς 7 συνεχόμενα 0 είναι , D: Οι δυαδικές συμβολοσειρές μήκους 8 που περιέχουν ακριβώς 8 συνεχόμενα 0 είναι Το ζητούμενο πλήθος είναι: Α Β C D = =248

22 Ασκήσεις (4) Πόσες μεταθέσεις των 26 γραμμάτων του λατινικού αλφαβήτου δεν περιέχουν καμία από τις λέξεις fish, rat ή bird; Α: Οι μεταθέσεις 26 γραμμάτων του λατινικού αλφαβήτου είναι 26! Β: Οι μεταθέσεις 26 γραμμάτων του λατινικού αλφαβήτου που περιέχουν τη λέξη fish είναι (26 4+)!=23! C: Οι μεταθέσεις 26 γραμμάτων του λατινικού αλφαβήτου που περιέχουν τη λέξη rat είναι (26 3+)!=24! D: Οι μεταθέσεις 26 γραμμάτων του λατινικού αλφαβήτου που περιέχουν τη λέξη bird είναι (26 4+)!=23! B C: Οι μεταθέσεις 26 γραμμάτων του λατινικού αλφαβήτου που περιέχουν τις λέξεις fish και rat είναι (26 7+2)!=2! B D: Οι μεταθέσεις 26 γραμμάτων του λατινικού αλφαβήτου που περιέχουν τις λέξεις fish και bird είναι 0 (αφού το i είναι διαθέσιμο μόνο φορά) C D: Οι μεταθέσεις 26 γραμμάτων του λατινικού αλφαβήτου που περιέχουν τις λέξεις rat και bird είναι 0 (αφού το r είναι διαθέσιμο μόνο φορά) B C D: Οι μεταθέσεις 26 γραμμάτων του λατινικού αλφαβήτου που περιέχουν τις λέξεις fish, rat και bird είναι 0 (αφού τα i και r είναι διαθέσιμα μόνο από φορά) Το ζητούμενο πλήθος είναι Α B C D =26! 24! 2*23!+2!

23 Ασκήσεις (5) Πόσες μεταθέσεις των 0 ψηφίων έχουν μία από τις παρακάτω μορφές: ξεκινάνε με τα ψηφία 987 περιέχουν τα ψηφία 45 στην 5 η και 6 η θέση καταλήγουν με τα ψηφία 23; Α: μεταθέσεις που ξεκινάνε με 987 Α =7! Β: μεταθέσεις που περιέχουν τα ψηφία 45 στις θέσεις 5 και 6, αντίστοιχα Β =8! C: μεταθέσεις που καταλήγουν σε 23 C =7! Α Β: μεταθέσεις που ξεκινάνε με 987 και έχουν τα ψηφία 45 στις θέσεις 5 και 6 Α Β =5! Α C: μεταθέσεις που ξεκινάνε με 987 και καταλήγουν σε 23 Α C =4! B C: μεταθέσεις που καταλήγουν σε 23 και έχουν τα ψηφία 45 στις θέσεις 5 και 6 B C =5! Α Β C: μεταθέσεις που ξεκινάνε με 987, καταλήγουν σε 23 και έχουν τα ψηφία 45 στις θέσεις 5 και 6 Α Β C =2!=2 Το ζητούμενο πλήθος είναι: Α Β C = Α + Β + C Α Β Α C B C + Α Β C =7!+8!+7! 5! 4! 5!+2 = 8!+2*7! 2*5! 4! +2 = 5038

24 Ασκήσεις (6) Πόσα στοιχεία υπάρχουν στην ένωση 4 συνόλων αν κάθε σύνολο έχει 00 στοιχεία, υπάρχουν 50 στοιχεία κοινά σε κάθε ζεύγος συνόλων, υπάρχουν 25 στοιχεία κοινά σε κάθε τριάδα συνόλων και 5 στοιχεία ανήκουν και στα 4 σύνολα; Α Β C D = Α + Β + C + D Α Β Α C Α D B C B D C D + Α B C + Α B D + B C D + A C D A B C D = =95

25 Ασκήσεις (7) Πόσα στοιχεία υπάρχουν στην ένωση 4 συνόλων αν τα σύνολα έχουν 50, 60, 70 και 80 στοιχεία, αντίστοιχα, υπάρχουν 5 στοιχεία κοινά σε κάθε ζεύγος συνόλων, υπάρχει στοιχείο κοινό σε κάθε τριάδα συνόλων και κανένα στοιχείο δεν ανήκει και στα 4 σύνολα; Α Β C D = Α + Β + C + D Α Β Α C Α D B C B D C D + Α B C + Α B D + B C D + A C D A B C D = =234

Διακριτά Μαθηματικά. Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός- Αποκλεισμός

Διακριτά Μαθηματικά. Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός- Αποκλεισμός Διακριτά Μαθηματικά Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός- Αποκλεισμός Αρχή Εγκλεισμού-Αποκλεισμού (Ι) Όταν δύο εργασίες μπορούν να γίνουν ταυτόχρονα, ΔΕ μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον κανόνα αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός Αποκλεισμός

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός Αποκλεισμός Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός Αποκλεισμός Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση. Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση. Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση - μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών

Διαβάστε περισσότερα

Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία

Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Συνδυαστική ανάλυση - μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση: μέτρηση αντικειμένων με ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Gutenberg

Gutenberg Διακριτά Μαθηματικά * Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Φροντιστήριο: Α. Κόλλια (akollia@ceid.upatras.gr) * Οι διαφάνειες (πλην αυτών για τις σχέσεις αναδρομής) έχουν παραχθεί από τη Δρ. Ε. Παπαϊωάννου,

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 3: Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 3: Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Διατάξεις Μεταθέσεις Συνδυασμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

8. Τεχνικές απαϱίϑµησης

8. Τεχνικές απαϱίϑµησης 8. Τεχνικές απαϱίϑµησης Rosen Κεϕ. 8 Ιωάννης Εµίϱης Τµήµα Πληϱοϕοϱικής & Τηλεπικοινωνιών Εγκλεισµός-Αποκλεισµός Εϕαϱµογές του Εγκλεισµού-Αποκλεισµού ιαταϱάξεις Εισαγωγή Πολλά πϱοϐλήµατα απαϱίϑµησης δεν

Διαβάστε περισσότερα

N(F I G) = = N N(F ) N(I ) N(G)+N(FI ) + N(FG)+N(IG) N(FIG) = = = 200

N(F I G) = = N N(F ) N(I ) N(G)+N(FI ) + N(FG)+N(IG) N(FIG) = = = 200 Διακριτά Μαθηματικά Ι Φροντιστήριο Αρχή Εγκλεισμού-Αποκλεισμού 1 / 9 Σε ένα σχολείο υπάρχουν 1000 μαθητές. Απ αυτούς οι 400 μιλάνε Γαλλικά, οι 300 Ιταλικά και 200 μιλάνε Γερμανικά. Εάν υπάρχουν 200 μαθητές,που

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και Συνδυασμοί

Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Μεταθέσεις (permutations) Μετάθεση διακεκριμένων στοιχείων ενός συνόλου = Ανακάτεμα κάποιων ή όλων των στοιχείων του συνόλου S={1,2,3} Μεταθέσεις των στοιχείων του S 3,1,2 1,3,2

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: μεταθέσεις και συνδυασμοί

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: μεταθέσεις και συνδυασμοί Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: μεταθέσεις και συνδυασμοί Μεταθέσεις (permutations) Μετάθεση διακεκριμένων στοιχείων ενός συνόλου = Ανακάτεμα κάποιων ή όλων των στοιχείων του συνόλου S={1,2,3} Μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις Προσοχή: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές, μπορεί να υπάρχουν και άλλες που επίσης να είναι σωστές. Θέμα 1: [16 μονάδες]

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διατάξεις και Συνδυασμοί όταν υπάρχουν πολλαπλά αντίγραφα των αντικειμένων Μέχρι τώρα Μετράγαμε τρόπους να διαλέξουμε (συνδυασμούς)

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Εύη Παπαϊωάννου. papaioan@ceid.upatras.gr papaioan@upatras.gr

Διακριτά Μαθηματικά. Εύη Παπαϊωάννου. papaioan@ceid.upatras.gr papaioan@upatras.gr Διακριτά Μαθηματικά Εύη Παπαϊωάννου papaioan@ceid.upatras.gr papaioan@upatras.gr https://www.ceid.upatras.gr/webpages/faculty/papaioan/dchmnt/2014-2015/dm/index.html Πότε και πού; Παρασκευή, 15.00 18.00,

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διατάξεις και Συνδυασμοί με απλά ή πολλαπλά αντίγραφα στοιχείων Διατάξεις Διάλεξε και βάλε σε σειρά 1 αντίγραφο κάθε στοιχείου n*n-1*n-2*

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

t = (iv) A B (viii) (B Γ) A

t = (iv) A B (viii) (B Γ) A Διακριτά Μαθηματικά Review για τα Διακριτά Μαθηματικά 1. Να κατασκευάσετε το δένδρο ανάλυσης και τον πίνακα αλήθειας για τις παρακάτω προτάσεις: (i) (ϕ = ψ) ( ( ψ) ϕ ) (ii) (p q) = ( (p q) ) (iii) ( a

Διαβάστε περισσότερα

Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί

Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διατάξεις και Συνδυασμοί όταν υπάρχουν πολλαπλά αντίγραφα των αντικειμένων Μέχρι τώρα Μετράγαμε τρόπους να διαλέξουμε (συνδυασμούς) ή να διαλέξουμε και να βάλουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 8 & 9 11/10/07 Τμήμα θεωρίας: Α.Μ. 8, 9 Κάθε Πέμπτη, 11πμ-2μμ, ΑΜΦ23. Διδάσκων: Ντίνος Φερεντίνος Γραφείο 118 email: kpf3@cornell.edu Μάθημα: Θεωρία + προαιρετικό

Διαβάστε περισσότερα

a n + 6a n a n 2 + 8a n 3 = 0, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 8

a n + 6a n a n 2 + 8a n 3 = 0, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 8 Διακριτά Μαθηματικά Σχέσεις Αναδρομής Ι 1 / 17 a n + 6a n 1 + 12a n 2 + 8a n 3 = 0, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 8 2 / 17 a n + 6a n 1 + 12a n 2 + 8a n 3 = 0, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 8 1ος τρόπος: Εχουμε τη

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά 1ο Φροντιστήριο 07/10/2016 1

Διακριτά Μαθηματικά 1ο Φροντιστήριο 07/10/2016 1 Διακριτά Μαθηματικά 1ο Φροντιστήριο 07/10/2016 1 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Διατάξεις r αντικειμένων επιλεγμένων από n αντικείμενα χωρίς επανατοποθέτηση: P(n, r) = n! (n r)! Αντιμεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 19/4/2018 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 Συνδυαστική 2 Πείραμα/ Συνδυαστική Πείραμα: Οποιαδήποτε διαδικασία που μπορεί να οδηγήσει σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙ 1 / 15 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

Μεταβατικές διατάξεις Νέου Προγράμματος Σπουδών (ΝΠΣ) για τους φοιτητές εισαγωγής 2013 και πριν Υποχρεωτικά Μαθήματα

Μεταβατικές διατάξεις Νέου Προγράμματος Σπουδών (ΝΠΣ) για τους φοιτητές εισαγωγής 2013 και πριν Υποχρεωτικά Μαθήματα Μεταβατικές διατάξεις Νέου Προγράμματος Σπουδών (ΝΠΣ) για τους φοιτητές εισαγωγής 2013 και πριν Υποχρεωτικά Μαθήματα Οι φοιτητές παλαιότερων ετών (έτος εισαγωγής από 2013 και πριν) οι οποίο χρωστούν υποχρεωτικά

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Απαρίθμηση: Μεταθέσεις και Συνδυασμοί

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Απαρίθμηση: Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Απαρίθμηση: Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών Σκοποί

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Τετάρτη 5-12/11/2014. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 ου και 4 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η/Υ Α ΕΞΑΜΗΝΟ

Τετάρτη 5-12/11/2014. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 ου και 4 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η/Υ Α ΕΞΑΜΗΝΟ Τετάρτη 5-12/11/2014 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 ου και 4 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η/Υ Α ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΣ: ΤΡΟΧΙΔΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 1. Παράσταση και οργάνωση δεδομένων

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Ασκήσεις στη Στοιχειώδη Συνδυαστική 1 / 12 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 17/04/2018 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 Συνδυαστική 2 Πείραμα Πείραμα: Οποιαδήποτε διαδικασία που μπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθμό παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Κ. Δεμέστιχας Εργαστήριο Πληροφορικής Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Επικοινωνία μέσω e-mail: cdemest@aua.gr, cdemest@cn.ntua.gr 1 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 2 Τεχνολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Η ΓΛΩΣΣΑ PASCAL

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Η ΓΛΩΣΣΑ PASCAL 8.1. Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Η ΓΛΩΣΣΑ PACAL Πως προέκυψε η γλώσσα προγραμματισμού Pascal και ποια είναι τα γενικά της χαρακτηριστικά; Σχεδιάστηκε από τον Ελβετό επιστήμονα της Πληροφορικής Nicklaus Wirth to

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 2 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

(ΕΞΆΜΗΝΟ εγγραφής Εαρινό)

(ΕΞΆΜΗΝΟ εγγραφής Εαρινό) ΚΩΔΙΚΟΣ Κατηγορία Υ/ΕΥ ΣΥΝΟΛΟ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΑΞΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΟΡΤΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ (ECTS) (ΕΞΆΜΗΝΟ εγγραφής 05-06 Εαρινό) Για τη λήψη του πτυχίου τους απαιτείται να επιτύχουν σε 36 υποχρεωτικά

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ. ακαδ. έτους

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ. ακαδ. έτους ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ακαδ. έτους 2014-2015 Α Εξάμηνο 1. Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 6 - Εισαγωγή στον Προγραμματισμό 4 6 2E 3. Μαθηματικός Λογισμός 4 5-4. Γραμμική Άλγεβρα 4 5 2Ε 5. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 7: Θεωρία πληροφορίας Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 7: Θεωρία πληροφορίας Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα # 7: Θεωρία πληροφορίας Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική. Σύνθετο Πείραμα. Πείραμα Συνδυαστική. Το υλικό των. ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά, Άνοιξη Τρίτη, 17/04/2018

Συνδυαστική. Σύνθετο Πείραμα. Πείραμα Συνδυαστική. Το υλικό των. ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά, Άνοιξη Τρίτη, 17/04/2018 HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 17/04/2018 Συνδυαστική Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 2 Πείραμα Σύνθετο Πείραμα Πείραμα:Οποιαδήποτε διαδικασίαπου μπορεί να οδηγήσει σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή

Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή Στοιχειώδης συνδυαστική Συνδυασμοί και διατάξεις με επανάληψη Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων;

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική. Που το πάμε. Πείραμα Συνδυαστική. Το υλικό των. ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά, Άνοιξη Πέμπτη, 27/4/2017

Συνδυαστική. Που το πάμε. Πείραμα Συνδυαστική. Το υλικό των. ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά, Άνοιξη Πέμπτη, 27/4/2017 HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 27/4/2017 Συνδυαστική Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 2 Πείραμα Πείραμα:Οποιαδήποτε διαδικασίαπου μπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθμό παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 3ο Διατάξεις και μεταθέσεις 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ-ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ- ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ 2.1 Διατάξεις και μεταθέσεις 2.2 Κυκλικές διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Μια φυσική διαδικασία η οποία έχει συγκεκριμένο αριθμό παρατηρήσιμων αποτελεσμάτων.

Μια φυσική διαδικασία η οποία έχει συγκεκριμένο αριθμό παρατηρήσιμων αποτελεσμάτων. MYY204 Διακριτά Μαθηματικά Μθ άii ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ -- Μεταθέσεις και ιατάξεις -- Συνδυασμοί -- Σφαιρίδια σε Κουτιά Reading: ROSEN : Κεφάλαιο 6 EPP : Κεφάλαιο 6 9 η -10 η Εβδομάδα Άνοιξη 2015 Τμήμα Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ

Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ Συνδυαστική Απαρίθµηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 1: Εισαγωγή

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 1: Εισαγωγή Διακριτά Μαθηματικά Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών Σκοποί ενότητας Βιβλιογραφία Αντικείμενο μαθήματος Χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 Διακριτά Μαθηματικά Ι Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙΙ 1 / 16 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΓΙΑ ΕΙΣΑΧΘΕΝΤΕΣ που θα πάρουν πτυχίο με το παλαιό πρόγραμμα

ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΓΙΑ ΕΙΣΑΧΘΕΝΤΕΣ που θα πάρουν πτυχίο με το παλαιό πρόγραμμα ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΓΙΑ ΕΙΣΑΧΘΕΝΤΕΣ 2009 2013 που θα πάρουν πτυχίο με το παλαιό πρόγραμμα Απαιτήσεις προγράμματος 2009-13 240 μονάδες πιστοποίησης Εάν δεν έχετε περάσει το υποχρεωτικό μάθημα... Γενικά

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G Λύσεις Θεμάτων Θεμελίων των Μαθηματικών 1. Εστω A, B, C τυχόντα σύνολα. Να δειχθεί ότι A (B C) (A B) (A C). Απόδειξη. Εστω x τυχαίο στοιχείο του A (B C). Εξ ορισμού, το x ανήκει σε ακριβώς ένα από τα A,

Διαβάστε περισσότερα

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 77. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ Κλασικός ορισμός πιθανότητας Αν ένα στοιχείο του συνόλου του δειγματικού χώρου επιλέγεται στην τύχη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών 1 Αριθμητικό Σύστημα Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθμού με διακεκριμένα σύμβολα Ένας αριθμός αναπαρίσταται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 (ανακοινώθηκε στις 20 Μαρτίου 2017, προθεσμία παράδοσης: 24 Απριλίου 2017, 12 τα μεσάνυχτα).

Άσκηση 1 (ανακοινώθηκε στις 20 Μαρτίου 2017, προθεσμία παράδοσης: 24 Απριλίου 2017, 12 τα μεσάνυχτα). Κ08 Δομές Δεδομένων και Τεχνικές Προγραμματισμού Διδάσκων: Μανόλης Κουμπαράκης Εαρινό Εξάμηνο 2016-2017. Άσκηση 1 (ανακοινώθηκε στις 20 Μαρτίου 2017, προθεσμία παράδοσης: 24 Απριλίου 2017, 12 τα μεσάνυχτα).

Διαβάστε περισσότερα

κ.λπ. Ισχύει πως x = 100. Οι διαφορετικές λύσεις αυτής της εξίσωσης χωρίς κανένα περιορισμό είναι

κ.λπ. Ισχύει πως x = 100. Οι διαφορετικές λύσεις αυτής της εξίσωσης χωρίς κανένα περιορισμό είναι Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Διακριτά Μαθηματικά 3 η γραπτή εργασία, Σχέδιο Λύσεων Επιμέλεια: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου ΘΕΜΑ (Συνδυαστική,.6 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων Θέμα 1: [14 μονάδες] 1. [5] Έστω Y(x): «Το αντικείμενο x είναι ηλεκτρονικός υπολογιστής», Φ(y):

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2012-2013 Α Εξάμηνο 1. Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 6 - Εισαγωγή στον Προγραμματισμό 4 6 2E 3. Μαθηματικός Λογισμός 4 5-4. Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

(ΕΞΆΜΗΝΟ εγγραφής 05-06 Εαρινό)

(ΕΞΆΜΗΝΟ εγγραφής 05-06 Εαρινό) (ΕΞΆΜΗΝΟ εγγραφής 05-06 Εαρινό) Για τη λήψη του πτυχίου τους απαιτείται να επιτύχουν σε 36 υποχρεωτικά και σε 4 μαθήματα επιλογής. Από τα προηγούμενα εξάμηνα οφείλουν να έχουν επιτύχει στα κάτωθι μαθήματα:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΙΣΧΥΟΥΝ ΑΠΟ ΤΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ Α ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΛΑΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ. Κατηγορ ία ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΟΣ Υ/ΕΥ

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΙΣΧΥΟΥΝ ΑΠΟ ΤΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ Α ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΛΑΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ. Κατηγορ ία ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΟΣ Υ/ΕΥ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΙΣΧΥΟΥΝ ΑΠΟ ΤΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2007-2008 ΠΑΛΑΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ Α ΕΞΑΜΗΝΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΩΔΙ ΚΟΣ Κατηγορ ία Υ/ΕΥ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: Μεταγλωττιστές

ΜΑΘΗΜΑ: Μεταγλωττιστές Comment [h1]: Παράδειγμ α: https://ocp.teiath.gr/modules/ exercise/exercise_result.php?course=pey101&eurid=16 9 ΜΑΘΗΜΑ: Μεταγλωττιστές ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Άγγελος Μιχάλας ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 1

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Συνδυαστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Ακαδημαϊκό Έτος 2010-2011 Επιμέλεια Ξενοφών Βασιλάκος Περιεχόμενα Φροντιστηρίου 1. Κωδικοποίηση και Δυαδική Αναπαράσταση 2. Κωδικοποίηση ASCII Κωδικοποίηση Unicode Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤOΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤOΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤOΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ Στόχοι του μαθήματος Μετά το τέλος του μαθήματος οι μαθητές πρέπει να είναι σε θέση: Να περιγράφουν τι είναι πρόγραμμα Να εξηγούν την αναγκαιότητα για τη δημιουργία γλωσσών

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση Μη Αριθμητικών Δεδομένων

Αναπαράσταση Μη Αριθμητικών Δεδομένων Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2014-15 Αναπαράσταση Μη Αριθμητικών Δεδομένων (κείμενο, ήχος και εικόνα στον υπολογιστή) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/

Διαβάστε περισσότερα

! Δεδομένα: ανεξάρτητα από τύπο και προέλευση, στον υπολογιστή υπάρχουν σε μία μορφή: 0 και 1

! Δεδομένα: ανεξάρτητα από τύπο και προέλευση, στον υπολογιστή υπάρχουν σε μία μορφή: 0 και 1 Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 5-6 Αναπαράσταση Μη Αριθμητικών Δεδομένων (κείμενο, ήχος και εικόνα στον υπολογιστή) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/

Διαβάστε περισσότερα

4.2.1 Α εξάμηνο Β εξάμηνο Γ εξάμηνο 4.2. ΣΥΝΟΠΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΝΑ ΕΞΑΜΗΝΟ

4.2.1 Α εξάμηνο Β εξάμηνο Γ εξάμηνο 4.2. ΣΥΝΟΠΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΝΑ ΕΞΑΜΗΝΟ 4.2. ΣΥΝΟΠΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΝΑ ΕΞΑΜΗΝΟ 4.2.1 Α εξάμηνο Α εξάμηνο K10 Μαθηματική Ανάλυση Ι 2 2 5 K11 Φυσική Ι 2 2 5 K12 Προγραμματισμός Ι 2 2 5 K13 Γραμμική Άλγεβρα και Εφαρμογές 2 2 5 K16 Ηλεκτρικά

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΙΣΧΥΟΥΝ ΑΠΟ ΤΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2007-2008 Α ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΛΑΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ. Κατηγορ ία ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΟΣ Υ/ΕΥ

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΙΣΧΥΟΥΝ ΑΠΟ ΤΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2007-2008 Α ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΛΑΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ. Κατηγορ ία ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΟΣ Υ/ΕΥ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΙΣΧΥΟΥΝ ΑΠΟ ΤΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2007-2008 ΠΑΛΑΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ Α ΕΞΑΜΗΝΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΩΔΙ ΚΟΣ Κατηγορ ία Υ/ΕΥ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Έστω αλφάβητο Σ και γλώσσες Λ, Λ 2, Λ επί του αλφάβητου αυτού. Να διερευνήσετε κατά πόσο ισχύει κάθε μια από τις πιο κάτω σχέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα δομικής επαγωγής Ορισμός δομικής επαγωγής Συμβολοσειρές Γλώσσες Δυαδικά δένδρα Μαθηματικά Πληροφορικής 3ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλ

Παράδειγμα δομικής επαγωγής Ορισμός δομικής επαγωγής Συμβολοσειρές Γλώσσες Δυαδικά δένδρα Μαθηματικά Πληροφορικής 3ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλ Μαθηματικά Πληροφορικής 3ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Δομική επαγωγή Η ιδέα της μαθηματικής επαγωγής μπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δομές εκτός από το σύνολο N

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Έστω αλφάβητο Σ και γλώσσες Α, Β επί του αλφάβητου αυτού. Για κάθε μια από τις πιο κάτω περιπτώσεις να διερευνήσετε κατά πόσο Γ Δ, ή, Δ Γ, ή και τα δύο. Σε περίπτωση, που

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα 0: Στοιχεία για το µάθηµα- Εισαγωγικές έννοιες ιδάσκων: Βασίλειος Ισµυρλής Τηλ:6979948174, e-mail: vasismir@gmail.com http://vasilis-ismyrlis.webnode.gr/

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Βαθμολόγιο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Βαθμολόγιο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Βαθμολόγιο Ακ. Έτος : 2015-2016 Μάθημα : ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Κωδικός Μαθήματος : 13Θ040 Εξάμηνο Μαθήματος : 2o Τμήμα Μαθήματος : Β Εξεταστική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΕΞΑΜΗΝΑ

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΕΞΑΜΗΝΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΕΞΑΜΗΝΑ Θ = ΘΕΩΡΙΑ Ε = ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Σ = ΣΥΝΟΛΟ ΔΜ = ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ECTS = ΠΙΣΤΩΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ 1 ο ΕΞΑΜΗΝΟ Α ΕΤΟΣ 1ΚΠ01 Μαθηματική Ανάλυση Ι 4 1 5 5 5 1ΚΠ02 Γραμμική Άλγεβρα 4 5

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΥΠΟ ΕΓΓΡΑΦΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ (Α-Ι) (Πρόγραμμα στις Διεθνείς, Ευρωπαϊκές και Οικονομικές Σπουδές και Πρόγραμμα στα Οικονομικά)

ΕΝΤΥΠΟ ΕΓΓΡΑΦΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ (Α-Ι) (Πρόγραμμα στις Διεθνείς, Ευρωπαϊκές και Οικονομικές Σπουδές και Πρόγραμμα στα Οικονομικά) ΕΝΤΥΠΟ ΕΓΓΡΑΦΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ (Α-Ι) (Πρόγραμμα στις Διεθνείς, Ευρωπαϊκές και Οικονομικές Σπουδές και Πρόγραμμα στα Οικονομικά) ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 217/18 132 ΟΙΚ 111.1 Αρχές Μικροοικονομικής Θεωρίας 7 1159 ΟΙΚ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα σπουδών 2014 Μετάβαση στο νέο πρόγραμμα σπουδών γιά φοιτητές που εισήχθησαν προ του 2013 Κατεύθυνση: Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Πρόγραμμα σπουδών 2014 Μετάβαση στο νέο πρόγραμμα σπουδών γιά φοιτητές που εισήχθησαν προ του 2013 Κατεύθυνση: Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Πρόγραμμα σπουδών 2014 Μετάβαση στο νέο πρόγραμμα σπουδών γιά φοιτητές που εισήχθησαν προ του 2013 Κατεύθυνση: Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Γενικές διατάξεις Οι φοιτητές που ακολουθούν τον οδηγό σπουδών του

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Θεωρία συνόλων Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ισχύει μόνο για φοιτητές που εισήχθησαν στο Τμήμα από το ακαδ. έτος και πριν

Ισχύει μόνο για φοιτητές που εισήχθησαν στο Τμήμα από το ακαδ. έτος και πριν Ισχύει μόνο για φοιτητές που εισήχθησαν στο Τμήμα από το ακαδ. έτος 2003-04 και πριν Βασικός Κύκλος ΕΞΑΜΗΝΟ 1 Λογισμός Ι 11 4 Φυσική Ι 13 5 Γραμμική Αλγεβρα 15 4 Προγραμματισμός 17 4+2 Τεχνικό Σχέδιο 19

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ: ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ TMHMA ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ

ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ: ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ TMHMA ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ Εξάμηνο 1 ο 1/5 Φυσική Εργ. 9Α, 8-10 Φυσική Εργ. 9Α, 10-12 Φυσική Εργ. 9Α, 12-14 Ηλεκτρονική Φυσική Εργ. 9Α, 14-16 Προγραμματισμός Ι ΑΠΟΣΤΟΛΟΠΟΥΛΟΣ Εργ. 15, 10-12 Προγραμματισμός Ι ΑΠΟΣΤΟΛΟΠΟΥΛΟΣ Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΗ ΠΑΛΑΙΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ( )

ΔΟΜΗ ΠΑΛΑΙΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ( ) ΔΟΜΗ ΠΑΛΑΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΔΩΝ (00-007) Τ.Ε.Ι. ΛΑΜΙΑΣ / ΣΤΕΦ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΟΛ/ΣΤΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 0-03 ΠΡΟΣΟΧΗ! Αφορά σπουδαστές που εισήχθηκαν μέχρι και το 007-08 Εαρινό. ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 8: Υπολογισιμότητα & Γλώσσες

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 8: Υπολογισιμότητα & Γλώσσες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Υπολογισιμότητα & Γλώσσες Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Καρλόβασι, 27/10/2016 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ Ημερομηνίες Δηλώσεων Μαθημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2016

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2016 ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2016 6 η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Άσκηση 6.1 [1 μονάδα] Πόσοι 3ψήφιοι αριθμοί σχηματίζονται από τα ψηφία 2,3,5,6,7 και 9, τέτοιοι που να διαιρούνται με το 5 και

Διαβάστε περισσότερα

(ΕΞΆΜΗΝΟ εγγραφής Εαρινό)

(ΕΞΆΜΗΝΟ εγγραφής Εαρινό) ΑΝΑΝΕΩΣΗ ΔΗΛΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 (ΕΞΆΜΗΝΟ εγγραφής 05-06 Εαρινό) Για τη λήψη του πτυχίου τους απαιτείται να επιτύχουν σε 36 υποχρεωτικά και σε 4 μαθήματα επιλογής. Από τα

Διαβάστε περισσότερα