Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: μεταθέσεις και συνδυασμοί
|
|
- φώλος Γεννάδιος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: μεταθέσεις και συνδυασμοί
2 Μεταθέσεις (permutations) Μετάθεση διακεκριμένων στοιχείων ενός συνόλου = Ανακάτεμα κάποιων ή όλων των στοιχείων του συνόλου S={1,2,3} Μεταθέσεις των στοιχείων του S 3,1,2 1,3,2 K={a,b,c,d,e,f} Μεταθέσεις των στοιχείων του K c,a,e a,d,f,b,e
3 Υπολογισμός μεταθέσεων Πλήθος μεταθέσεων r στοιχείων ενός συνόλου με n στοιχεία: P(n,r)=n*(n-1)*(n-2)* *(n-r+1) Απόδειξη Το 1 ο στοιχείο της μετάθεσης μπορεί να επιλεχθεί με n τρόπους αφού στο σύνολο υπάρχουν n στοιχεία Το 2 ο στοιχείο της μετάθεσης μπορεί να επιλεχθεί με n-1 τρόπους αφού στο σύνολο υπάρχουν πλέον n-1 στοιχεία (έχουμε ήδη επιλέξει κάποιο από τα n για την 1 η θέση) Το r-στο στοιχείο της μετάθεσης μπορεί να επιλεχθεί με n-(r-1) τρόπους αφού στο σύνολο υπάρχουν πλέον n-(r-1) στοιχεία (έχουμε ήδη επιλέξει r-1 από τα n για τις r-1 προηγούμενες θέσεις) με χρήση του κανόνα του γινομένου, ο συνολικός αριθμός των μεταθέσεων είναι πράγματι P(n,r)=n*(n-1)*(n-2)* *(n-r+1) = n!/(n-r)! Παρατηρήστε ότι P(n,n)=n!
4 Παράδειγμα (Ι) Με πόσους τρόπους μπορούμε να βάλουμε σε σειρά 3 φοιτητές από ένα σύνολο 5 φοιτητών; Για την 1 η θέση 5 επιλογές Για τη 2 η θέση 4 επιλογές Για την 3 η θέση 3 επιλογές Συνολικά: 5*4*3=60 επιλογές
5 Παράδειγμα (ΙΙ) Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε και τους 5 φοιτητές σε σειρά; Για την 1 η θέση 5 επιλογές Για τη 2 η θέση 4 επιλογές Για την 3 η θέση 3 επιλογές Για τη 4 η θέση 2 επιλογές Για την 5 η θέση 1 επιλογή Συνολικά: 5*4*3*2*1=5!=120 επιλογές
6 Παράδειγμα (ΙII) Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε πρώτο, δεύτερο και τρίτο νικητή από σύνολο 100 (διαφορετικών) ατόμων που συμμετέχουν σε έναν διαγωνισμό; 1 η επιλογή = νικητής 1 2 η επιλογή = νικητής 2 3 η επιλογή = νικητής 3 έχει σημασία η σειρά με την οποία επιλέγονται τα 3 άτομα Μας ζητείται να απαριθμήσουμε το πλήθος των μεταθέσεων 3 στοιχείων από 100 P(100,3)=100*99*98=
7 Παράδειγμα (IV) Σε έναν αγώνα δρόμου συμμετέχουν 8 δρομείς. Ο νικητής παίρνει χρυσό μετάλλιο, ο δεύτερος παίρνει αργυρό μετάλλιο και ο τρίτος χάλκινο μετάλλιο. Πόσοι διαφορετικοί τρόπου απονομής των μεταλλίων υπάρχουν, αν μπορούν να εμφανιστούν όλα τα δυνατά αποτελέσματα και δεν υπάρχουν ισοπαλίες; Από τους 8 δρομείς τελικά 3 θα πάρουν μετάλλιο μας ζητείται να διαλέξουμε και να βάλουμε σε σειρά (δηλ., να διατάξουμε) 3 από τα 8 στοιχεία του συνόλου των δρομέων P(8,3)=8*7*6=336
8 Παράδειγμα (V) Ένας επισκέπτης επιθυμεί να επισκεφθεί τις 8 περιοχές ενός αρχαιολογικού χώρου. Πρέπει να ξεκινήσει από μία συγκεκριμένη περιοχή, αλλά μπορεί να επισκεφθεί τις υπόλοιπες 7 περιοχές με όποια σειρά θέλει. Πόσες διαφορετικές διαδρομές μπορεί να χρησιμοποιήσει ο επισκέπτης κατά την περιήγηση στον αρχαιολογικό χώρο; Επειδή η πρώτη περιοχή είναι καθορισμένη, οι υπόλοιπες 7 μπορούν να διαταχθούν με αυθαίρετο τρόπο μας ζητείται να ανακατέψουμε (δηλ., να διατάξουμε) τα 7 στοιχεία του συνόλου των περιοχών P(7,7)=7!=7*6*5*4*3*2*1=5.040 διαδρομές
9 Παράδειγμα (VI) Πόσες μεταθέσεις των γραμμάτων ABCDEFGH περιέχουν τη συμβολοσειρά ABC; Επειδή τα γράμματα A, B και C θέλουμε να εμφανίζονται όλα μαζί με συγκεκριμένη σειρά, υποθέτουμε ότι η συμβολοσειρά ABC είναι ολόκληρη 1 νέος χαρακτήρας μας ζητείται να ανακατέψουμε (δηλ., να διατάξουμε) τα 6 στοιχεία του συνόλου των χαρακτήρων P(6,6)=6!=6*5*4*3*2*1=720 μεταθέσεις των γραμμάτων ABCDEFGH στις οποίες τα ABC εμφανίζονται ομαδοποιημένα
10 Συνδυασμοί (combinations) Συνδυασμός r στοιχείων ενός συνόλου = αδιάτακτη (δηλ., χωρίς να μετράει η σειρά) επιλογή r στοιχείων του συνόλου αυτού S={1,2,3} Συνδυασμός κάποιων στοιχείων του S 3,1 (1,3 είναι το ίδιο) 1,2 1 K={a,b,c,d,e,f} Συνδυασμός κάποιων στοιχείων του Κ c,a,e (=a,e,c=c,e,a= ) a,d,f,b,e
11 Υπολογισμός συνδυασμών (Ι) Πλήθος συνδυασμών r στοιχείων ενός συνόλου με n στοιχεία (0 r n): n C( n, r) = = r n! r!( n r)! Συνδυασμοί 2 στοιχείων από το σύνολο {a,b,c,d} είναι: C(4,2)=6 {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}
12 Υπολογισμός συνδυασμών (ΙΙ) Πλήθος συνδυασμών r στοιχείων ενός συνόλου με n στοιχεία (0 r n): n n! C( n, r) = = r r!( n r)! Απόδειξη Οι μεταθέσεις r στοιχείων του συνόλου με n στοιχεία, P(n,r) λαμβάνονται από τους συνδυασμούς των στοιχείων αυτών C(n,r) τη μετάθεση των στοιχείων των συνδυασμών αυτών P(r,r) C( n, r) = P( n, r) P( r, r) = ( n n! r)! r! = n! r!( n r)!
13 Συνδυασμοί και Μεταθέσεις Συνδυασμοί: λίγοι δε μετράει η σειρά Μεταθέσεις: πολλές μετράει η σειρά Image source:
14 Συνδυασμοί: χρήσιμη ιδιότητα (Ι) n,r μη αρνητικοί ακέραιοι με r n C(n,r)=C(n,n-r) Απόδειξη (με άλγεβρα, δηλ., με πράξεις) C( n, r) = n! r!( n r)! C( n, n r) = ( n r)! n! = n! [ n ( n r) ]! ( n r)! r!
15 Συνδυασμοί: χρήσιμη ιδιότητα (ΙΙ) n,r μη αρνητικοί ακέραιοι με r n C(n,r)=C(n,n-r) Απόδειξη (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Έχω διαθέσιμα r καπέλα για να τα δώσω σε n άτομα C(n,r): πλήθος τρόπων να επιλέξω τα r άτομα από τα n στα οποία θα δώσω καπέλα Μα αυτό είναι ίδιο με το να επιλέξω σε ποια n-r άτομα από τα n δε θα δώσω καπέλο: C(n,n-r)
16 Παραδείγματα (1) Με πόσους τρόπους διαλέξω 5 χαρτιά από μια τράπουλα των 52 φύλλων; C(52,5)=52!/5!*47!= Με πόσους τρόπους διαλέξω 47 χαρτιά από μια τράπουλα των 52 φύλλων; C(52,47)=52!/5!*47!= =C(52,5) ΓΙΑΤΙ;
17 Παραδείγματα (2) Πόσοι τρόποι υπάρχουν για επιλογή 5 παικτών από 10-μελή ομάδα τέννις για να πάνε σε άλλο πανεπιστήμιο για αγώνες; Δε με νοιάζει ποιοι 5 θα είναι C(10,5)=10!/5!*5!=252
18 Παραδείγματα (3) Για αποστολή στον Άρη έχουν εκπαιδευτεί 30 άτομα σαν αστροναύτες. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για την επιλογή 6-μελούς πληρώματος; Δε με νοιάζει ποιοι 6 θα είναι C(30,6)=30!/6!*24!=
19 Παραδείγματα (4) Πόσες συμβολοσειρές bit με μήκος n περιέχουν ακριβώς r άσσους; Δε με νοιάζει σε ποιες θέσεις θα είναι τα r bits C(n,r)=n!/r!*(n-r)!
20 Παραδείγματα (5) Πόσοι τρόποι υπάρχουν για επιλογή ομάδας διακριτών μαθηματικών, αν η επιτροπή αποτελείται από 3 κορίτσια και 4 αγόρια, και υπάρχουν 9 κορίτσια και 11 αγόρια που επιθυμούν να συμμετάσχουν; Δε με νοιάζει ποια θα είναι τα άτομα αρκεί να είναι 3 κορίτσια και 4 αγόρια 3 κορίτσια από 9 επιλέγω με C(9,3)=9!/3!*6! 4 αγόρια από 11 επιλέγω με C(11,4)=11!/4!*7! Επομένως, συνολικά υπάρχουν C(9,3)*C(11,4)= τρόποι
21 Παραδείγματα (6) Να καταγραφούν όλες οι μεταθέσεις των {a,b,c} abc, acb, bca, bac, cab, cba
22 Παραδείγματα (7) Πόσες διαφορετικές μεταθέσεις των στοιχείων του συνόλου {a, b, c, d, e, f, g} υπάρχουν; 7*6*5*4*3*2*1=7!
23 Παραδείγματα (8) Πόσες μεταθέσεις του {a,b,c,d,e,f,g} τελειώνουν με a; Κρατάω σταθερό το τελευταίο σύμβολο (a) και μεταθέτω τα υπόλοιπα 6 Αυτό γίνεται με 6!=6*5*4*3*2*1=720 τρόπους
24 Παραδείγματα (9) Να βρεθεί η τιμή των ποσοτήτων P(6,3)=6*5*4=120 P(6,5)=6*5*4*3*2=720 P(8,1)=8 P(8,5)=8*7*6*5*4=6720 P(8,8)=8!=8*7*6*5*4*3*2*1=40320 P(10,9)=10*9*8*7*6*5*4*3*2=
25 Παραδείγματα (10) Να βρεθεί το πλήθος των μεταθέσεων 5 στοιχείων από σύνολο με 9 στοιχεία Με πόσους τρόπους μπορώ να επιλέξω 5 στοιχεία από 9; 9!/5!*4!=6*7*8*9/4*3*2*1= 126 Με πόσους τρόπους μπορώ να «ανακατέψω» 5 στοιχεία; 5!=5*4*3*2*1=120 Άρα, συνολικά 126*120=15120 μεταθέσεις
26 Παραδείγματα (11) Με πόσες διαφορετικές σειρές μπορούν να τερματίσουν 5 δρομείς όταν δεν επιτρέπονται ισοπαλίες; 5*4*3*2*1=5!
27 Παραδείγματα (12) Πόσες δυνατότητες υπάρχουν για την 1 η, 2 η και 3 η θέση σε αγώνες ιπποδρόμου με 12 άλογα αν είναι δυνατές όλες οι σειρές τερματισμού; 12*11*10=1320
28 Παραδείγματα (13) Υπάρχουν 6 υποψήφιοι βουλευτές σε έναν νομό. Με πόσες διαφορετικές σειρές μπορούν να τυπωθούν τα ονόματά τους σε ένα ψηφοδέλτιο; 6*5*4*3*2*1=6!
29 Παραδείγματα (14) Πόσες δυαδικές συμβολοσειρές με μήκος 10 περιέχουν τέσσερα 1 C(10,4)=10!/4!6!=7*8*9*10/4*3*2*1=210 το πολύ τέσσερα 1 C(10,4)+C(10,3)+C(10,2)+C(10,1)+C(10,0)= =386 τουλάχιστον τέσσερα 1 C(10,4)+C(10,5)+C(10,6)+C(10,7)+C(10,8)+C(10,9)+C(10,10)= =848 ίσο πλήθος 0 και 1 C(10,5)=252
30 Παραδείγματα (15) Μια ομάδα περιέχει n άνδρες και n γυναίκες. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για τοποθέτηση αυτών των ανθρώπων σε γραμμή αν εναλλάσσονται άνδρες και γυναίκες; n επιλογές n-1 επιλογές Για τους άνδρες συνολικά n! επιλογές Για τις γυναίκες συνολικά n! Επιλογές Και για τους δύο συνολικά n!*n!=(n!) 2 επιλογές Και άλλες τόσες αν η σειρά ξεκινάει με γυναίκες Άρα συνολικά 2*(n!) 2 επιλογές
31 Παραδείγματα (16) Με πόσους τρόπους μπορεί να επιλεχθεί σύνολο 5 γραμμάτων από το λατινικό αλφάβητο; C(26,5)=26!/5!*21!=26*25*24*23*22/5*4*3*2*1=65780
32 Παραδείγματα (17) Πόσα υποσύνολα με παραπάνω από 2 στοιχεία έχει σύνολο με 100 στοιχεία; Σύνολο με 100 στοιχεία έχει υποσύνολα Μέσα σε αυτά περιέχονται: 1 υποσύνολο με 0 στοιχεία (το κενό) 100 υποσύνολα με 1 στοιχείο C(100,2)=100!/2!*98!=100*99/2=4950 υποσύνολα με 2 στοιχεία Άρα το ζητούμενο πλήθος υποσυνόλων είναι: =
33 Παραδείγματα (18) Ένα νόμισμα πετάγεται 10 φορές στις οποίες το αποτέλεσμα είναι κορώνα ή γράμματα. Πόσα δυνατά αποτελέσματα: υπάρχουν συνολικά; 2 10 περιέχουν ακριβώς δύο κορώνες; C(10,2)=10!/2!*8!=10*9/1*2=45 περιέχουν το πολύ τρεις κορώνες; C(10,0)+C(10,1)+C(10,2)+C(10,3)= =176 περιέχουν το ίδιο πλήθος από κορώνες και γράμματα; C(10,5)=252
34 Παραδείγματα (19) Πόσες μεταθέσεις των γραμμάτων ABCDEFG περιέχουν: τη συμβολοσειρά BCD; 5!=5*4*3*2*1=120 τη συμβολοσειρά CFGA; 4!=4*3*2*1=24 τις συμβολοσειρές BA και GF; 5!=120 τις συμβολοσειρές ABC και DE; 4!=24 τις συμβολοσειρές ABC και DEF; 3!=3*2*1=6 τις συμβολοσειρές CBE και BED; Καμία (δε γίνεται τα ίδια γράμματα να επαναλαμβάνονται δύο φορές στη μετάθεση)
35 Παραδείγματα (20) Πόσοι τρόποι υπάρχουν για 8 άνδρες και 5 γυναίκες να στέκονται σε σειρά έτσι ώστε να μην υπάρχουν 2 γυναίκες σε διαδοχικές θέσεις; Τοποθετώ πρώτα τους άνδρες με 8! Τρόπους Έτσι δημιουργούνται 9 πιθανές θέσεις από τις οποίες διαλέγω 5 με C(9,5) τρόπους Και σε αυτές τοποθετώ με 5! δυνατούς τρόπους τις γυναίκες Επομένως, συνολικά: 8!*C(9,5)*5!=8*7*6*5*9! = τρόποι
36 Παραδείγματα (21) Πωλούνται 100 λαχνοί για κλήρωση με απαρίθμηση 1,2,3,,100 σε 100 διαφορετικούς ανθρώπους. Υπάρχουν 4 τυχεροί αριθμοί μαζί με το μεγάλο λαχνό (ένα ταξίδι στην Κούβα). Πόσοι τρόποι κλήρωσης υπάρχουν αν: (a) δεν υπάρχουν περιορισμοί Διαλέγω 4 από τους λαχνούς με C(100,4) τρόπους και τους μοιράζω σε 4 άτομα με 4! τρόπους: C(100,4) *4!=100*99*98*97= (b) όποιος έχει τον αριθμό 47 κερδίζει το μεγάλο λαχνό Ουσιαστικά ρωτάμε πόσες τετράδες με τα στοιχεία 1 έως 100 μπορώ να φτιάξω ώστε το πρώτο στοιχείο να είναι το 47: 99*98*97=941094
37 Παραδείγματα (22) Πωλούνται 100 λαχνοί για κλήρωση με απαρίθμηση 1,2,3,,100 σε 100 διαφορετικούς ανθρώπους. Υπάρχουν 4 τυχεροί αριθμοί μαζί με το μεγάλο λαχνό (ένα ταξίδι στην Κούβα). Πόσοι τρόποι κλήρωσης υπάρχουν αν: (c) όποιος έχει τον αριθμό 47 κερδίζει έναν από τους τυχερούς λαχνούς Από όλες τις τετράδες λαχνών που μπορώ να φτιάξω αφαιρώ όσες δεν περιέχουν το 47: 100*99*98*97-99*98*97*96=99*98*97*(100-96)=99*98*97*4= (d) όποιος έχει τον αριθμό 47 δεν κερδίζει τίποτα Μετράω όλες τις τετράδες με διαφορετικούς αριθμούς που προκύπτουν από 99 νούμερα: 99*98*97*96=
38 Παραδείγματα (23) Πωλούνται 100 λαχνοί για κλήρωση με απαρίθμηση 1,2,3,,100 σε 100 διαφορετικούς ανθρώπους. Υπάρχουν 4 τυχεροί αριθμοί μαζί με το μεγάλο λαχνό (ένα ταξίδι στην Κούβα). Πόσοι τρόποι κλήρωσης υπάρχουν αν: όποιος έχει τον αριθμό 47 δεν κερδίζει τίποτα (e) όποιοι έχουν τους αριθμούς 19 και 47 κερδίζουν και οι δύο από έναν λαχνό Διαλέγω 2 από τις 4 θέσεις για τους αριθμούς 19 και 17, μετράω όλες τις πιθανές μεταθέσεις των δύο αριθμών στις θέσεις αυτές και συμπληρώνω τις υπόλοιπες δύο θέσεις με όλες τις διατάξεις 2 στοιχείων από τα υπόλοιπα 98 νούμερα C(4,2)*2!*98*97=12*98*97= (f) όποιοι έχουν τους αριθμούς 19, 47 και 73 κερδίζουν και οι τρεις από έναν λαχνό Διαλέγω 3 από τις 4 θέσεις για τους αριθμούς 19,47 και 73, μετράω όλες τις πιθανές μεταθέσεις των τριών αριθμών στις θέσεις αυτές και συμπληρώνω τη θέση που μένει με ένα από τα 97 νούμερα C(4,3)*3!*97=24*97=2328
39 Παραδείγματα (24) Πωλούνται 100 λαχνοί για κλήρωση με απαρίθμηση 1,2,3,,100 σε 100 διαφορετικούς ανθρώπους. Υπάρχουν 4 τυχεροί αριθμοί μαζί με το μεγάλο λαχνό (ένα ταξίδι στην Κούβα). Πόσοι τρόποι κλήρωσης υπάρχουν αν: (g) όποιοι έχουν τους αριθμούς 19, 47, 73 και 97 κερδίζουν όλοι από έναν λαχνό Όσοι τρόποι υπάρχουν να ανακατέψω αυτούς τους 4 αριθμούς: 4!=4*3*2*1=24 (h) κανένας από αυτούς που έχουν τους αριθμούς 19, 47, 73 και 97 δεν κερδίζει τίποτα Οι τετράδες που δεν περιέχουν αυτούς τους 4 αριθμούς: 96*95*94*93=
40 Παραδείγματα (25) Πωλούνται 100 λαχνοί για κλήρωση με απαρίθμηση 1,2,3,,100 σε 100 διαφορετικούς ανθρώπους. Υπάρχουν 4 τυχεροί αριθμοί μαζί με το μεγάλο λαχνό (ένα ταξίδι στην Κούβα). Πόσοι τρόποι κλήρωσης υπάρχουν αν: (i) αυτός που κερδίζει τον πρώτο λαχνό είναι ένας από αυτούς που έχουν τους αριθμούς 19, 47, 73 και 97 Έχω 4 επιλογές για το πρώτο στοιχείο της τετράδας και στις υπόλοιπες 3 θέσεις διατάσσω τα υπόλοιπα νούμερα: 4*99*98*97= (j) όποιοι έχουν τους αριθμούς 19 και 47 κερδίζουν και οι δύο από έναν λαχνό αλλά αυτοί που έχουν τους αριθμούς 73 και 97 δεν κερδίζουν τίποτα Διαλέγω δύο από τις τέσσερις θέσεις για τους αριθμούς 19 και 47 με κάθε σειρά και γεμίζω τις υπόλοιπες θέσεις με τα υπόλοιπα 96 στοιχεία: C(4,2)*2!*96*95=109440
41 Παραδείγματα (26) Ένας σύλλογος έχει 25 μέλη Πόσοι τρόποι υπάρχουν για την επιλογή 4 μελών του συλλόγου για την εκτελεστική επιτροπή; C(25,4)=25!/4!*21!=25*24*23*22/4*3*2*1=25*23*22=12650 Πόσοι τρόποι υπάρχουν για την επιλογή προέδρου, αντιπροέδρου, γραμματέα και ταμία του συλλόγου; Τώρα μας ενδιαφέρει η σειρά: 25*24*23*22=303600
42 Παραδείγματα (27) Το λατινικό αλφάβητο περιέχει 21 σύμφωνα και 5 φωνήεντα. Πόσες συμβολοσειρές 6 γραμμάτων του λατινικού αλφαβήτου θα περιέχουν: (a) μόνο ένα φωνήεν Διαλέγω 1 από τις 6 θέσεις για το φωνήεν, υπάρχουν 5 φωνήεντα και οι υπόλοιπες 5 θέσεις μπορούν να έχουν οποιοδήποτε από τα υπόλοιπα 21 σύμφωνα: 6*5*21 5 = (b) μόνο δύο φωνήεντα Διαλέγω 2 από τις 6 θέσεις για τα 2 φωνήεντα, υπάρχουν 5 2 τοποθετήσεις για τα φωνήεντα αυτά και οι υπόλοιπες 4 θέσεις μπορούν να έχουν οποιοδήποτε από τα υπόλοιπα 21 σύμφωνα: C(6,2)*5 2 *21 4 = =15*5 2 *21 4 = (c) τουλάχιστον ένα φωνήεν Από τις συνολικά 26 6 δυνατές λέξεις αφαιρώ τις 21 6 που δεν περιέχουν κανένα φωνήεν: (d) τουλάχιστον δύο φωνήεντα *5*21 5 = =
43 Παραδείγματα (28) Έστω ότι ένας τομέας σχολής έχει 10 άνδρες και 15 γυναίκες. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για σχηματισμό επιτροπής με 6 μέλη αν θα πρέπει να έχει το ίδιο πλήθος ανδρών και γυναικών; C(10,3)*C(15,3)=54600
44 Παραδείγματα (29) Πόσες δυαδικές συμβολοσειρές περιέχουν ακριβώς οκτώ 0 και δέκα 1 αν κάθε 0 θα πρέπει να ακολουθείται από 1; Φτιάχνω 8 ζευγάρια 01 Η τελική λέξη θα έχει 10 θέσεις: 8 που θα περιέχουν 01 και 2 που θα περιέχουν 1 Τοποθετώ τους δύο 1 στις 10 διαθέσιμες θέσεις με C(10,2)=45 πιθανούς τρόπους
45 Παραδείγματα (30) Πόσες δυαδικές συμβολοσειρές με μήκος δέκα περιέχουν τουλάχιστον τρία 1 και τουλάχιστον τρία 0; Πόσες συμβολοσειρές περιέχουν 3 «0»: C(10,3) 4 «0»: C(10,4) 5 «0»: C(10,5) 6 «0»: C(10,6) 7 «0»: C(10,7) Μας ενδιαφέρει το άθροισμά τους που είναι 912
46 Παραδείγματα (31) Πόσοι τρόποι υπάρχουν για την επιλογή 12 χωρών στα Ηνωμένα Έθνη για ένα συμβούλιο αν τα 3 μέλη επιλέγονται από μια ομάδα 45 κρατών, τα 4 μέλη επιλέγονται από μια ομάδα 57 κρατών και τα άλλα μέλη επιλέγονται από τις υπόλοιπες 69 χώρες; C(45,3)*C(57,4)*C(69,5)
47 Παραδείγματα (32) Πόσες πινακίδες κυκλοφορίας με 3 γράμματα που ακολουθούνται από 3 ψηφία δεν περιέχουν γράμμα ή ψηφίο δύο φορές; 26*25*24*10*9*8=
48 Παραδείγματα (33) Πόσοι τρόποι υπάρχουν να τελειώσει ένας αγώνας ιπποδρομίας με τρία άλογα αν είναι δυνατές οι ισοπαλίες; (είναι δυνατή η ισοπαλία με δύο ή τρία άλογα) Στην πρώτη θέση μπορεί να είναι 3 άλογα: 1 τρόπος 2 άλογα: C(3,2)=3 τρόποι Αυτό που περισσεύει είναι στη δεύτερη θέση 1 άλογο: C(3,1)=3 τρόποι Τα δύο άλογα που μένουν μπορεί να είναι» Και τα δύο στη δεύτερη θέση: 1 τρόπος» Ένα στη δεύτερη και ένα στην τρίτη θέση: 2 τρόποι Άρα συνολικά: 1+3+3*(1+2)=1+3+9=13 τρόποι
49 Παραδείγματα (34) Σε αγώνα δρόμου 100 μέτρων υπάρχουν 6 δρομείς. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να απονεμηθούν τρία μετάλλια αν είναι δυνατές και ισοπαλίες; (ο δρομέας ή οι δρομείς που τερματίζουν με το μικρότερο χρόνο παίρνουν χρυσά μετάλλια, ο δρομέας ή οι δρομείς που τερματίζουν με έναν δρομέα πριν από αυτούς παίρνουν αργυρά μετάλλια και ο δρομέας ή οι δρομείς που τερματίζουν με δύο δρομείς πριν από αυτούς παίρνουν χάλκινα μετάλλια)
50 G S B
Μεταθέσεις και Συνδυασμοί
Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Μεταθέσεις (permutations) Μετάθεση διακεκριμένων στοιχείων ενός συνόλου = Ανακάτεμα κάποιων ή όλων των στοιχείων του συνόλου S={1,2,3} Μεταθέσεις των στοιχείων του S 3,1,2 1,3,2
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Απαρίθμηση: Μεταθέσεις και Συνδυασμοί
Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Απαρίθμηση: Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών Σκοποί
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διατάξεις και Συνδυασμοί με απλά ή πολλαπλά αντίγραφα στοιχείων Διατάξεις Διάλεξε και βάλε σε σειρά 1 αντίγραφο κάθε στοιχείου n*n-1*n-2*
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διατάξεις και Συνδυασμοί όταν υπάρχουν πολλαπλά αντίγραφα των αντικειμένων Μέχρι τώρα Μετράγαμε τρόπους να διαλέξουμε (συνδυασμούς)
Διαβάστε περισσότεραΓενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί
Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διατάξεις και Συνδυασμοί όταν υπάρχουν πολλαπλά αντίγραφα των αντικειμένων Μέχρι τώρα Μετράγαμε τρόπους να διαλέξουμε (συνδυασμούς) ή να διαλέξουμε και να βάλουμε
Διαβάστε περισσότεραP( n, k) P(5,5) 5! 5! 10 q! q!... q! = 3! 2! = 0! 3! 2! = 3! 2!
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Φροντιστήριο στη Συνδυαστική (#8) Άσκηση 1 Με πόσους τρόπους µπορούµε να δηµιουργήσουµε συµβολοσειρές που αποτελούνται από τρεις παύλες και δύο τελείες; Άσκηση 1, 1 η προσέγγιση
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:
Διαβάστε περισσότεραP(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1
Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙ 1 / 15 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων
Διαβάστε περισσότεραΑπαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία
Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Συνδυαστική ανάλυση - μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση: μέτρηση αντικειμένων με ορισμένες
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί
Διαβάστε περισσότεραGutenberg
Διακριτά Μαθηματικά * Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Φροντιστήριο: Α. Κόλλια (akollia@ceid.upatras.gr) * Οι διαφάνειες (πλην αυτών για τις σχέσεις αναδρομής) έχουν παραχθεί από τη Δρ. Ε. Παπαϊωάννου,
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός- Αποκλεισμός
Διακριτά Μαθηματικά Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός- Αποκλεισμός Αρχή Εγκλεισμού-Αποκλεισμού (Ι) Όταν δύο εργασίες μπορούν να γίνουν ταυτόχρονα, ΔΕ μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον κανόνα αθροίσματος
Διαβάστε περισσότεραΔιατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή
Στοιχειώδης συνδυαστική Συνδυασμοί και διατάξεις με επανάληψη Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων;
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση. Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση - μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί
Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 22/4/2016
Φροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 22/4/206 Ο κανόνας του Pascal + = +,0 ή ισοδύναμα, = +,0 + Απόδειξη + =!!! +!!! = =!!! + =!!!! =!!!! = =!!!! = +!!! =!! = Το τρίγωνο του Pascal = + Για
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Εξεταστέα ύλη. Ιανουάριος και Σεπτέμβριος 2016
Διακριτά Μαθηματικά Εξεταστέα ύλη Ιανουάριος και Σεπτέμβριος 2016 Διακριτά Μαθηματικά Λογική, Αποδείξεις, Σύνολα, Συναρτήσεις Λογική δήλωση σημασία κανόνες λογικής: διαχωρίζουν τα επιχειρήματα σε έγκυρα
Διαβάστε περισσότεραP(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1
Διακριτά Μαθηματικά Ι Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙΙ 1 / 16 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 3ο Διατάξεις και μεταθέσεις 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ-ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ- ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ 2.1 Διατάξεις και μεταθέσεις 2.2 Κυκλικές διατάξεις
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)
Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 28/4/2017
Φροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 28/4/207 Ο κανόνας του Pascal + = +, 0 ή ισοδύναμα, = +, 0 + Απόδειξη + =!!( )! +! ( )!( )! = = ( )! ( )!( )! + = ( )!!!( )!! ( )!( )! = = ( )!!!( )! (
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική
Διακριτά Μαθηματικά Γεώργιος Χρ. Μακρής http://users.sch.gr/gmakris 7 Αυγούστου 2012 Η είναι ένα κομμάτι των Μαθηματικών που επικεντρώνεται στη "μέτρηση" του πλήθους των αντικειμένων ενός συνόλου. Η ασχολείται
Διαβάστε περισσότεραΕγκλεισμός Αποκλεισμός
Εγκλεισμός Αποκλεισμός Αρχή Εγκλεισμού Αποκλεισμού (Ι) Όταν δύο εργασίες μπορούν να γίνουν ταυτόχρονα, ΔΕN μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον κανόνα αθροίσματος για να απαριθμούμε τους τρόπους εκτέλεσης μιας
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Το κύριο αντικείμενο της Συνδυαστικής Οι τεχνικές υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων πεπερασμένων συνόλων ή υποσυνό-
Διαβάστε περισσότεραt = (iv) A B (viii) (B Γ) A
Διακριτά Μαθηματικά Review για τα Διακριτά Μαθηματικά 1. Να κατασκευάσετε το δένδρο ανάλυσης και τον πίνακα αλήθειας για τις παρακάτω προτάσεις: (i) (ϕ = ψ) ( ( ψ) ϕ ) (ii) (p q) = ( (p q) ) (iii) ( a
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός Αποκλεισμός
Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός Αποκλεισμός Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραn ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4
Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 17/04/2018 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 Συνδυαστική 2 Πείραμα Πείραμα: Οποιαδήποτε διαδικασία που μπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθμό παρατηρήσιμων
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 3.2 : Απαρίθμηση Συνδυαστική (ΙΙ). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 3: Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα
Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών
Διαβάστε περισσότερα#(A B) = (#A)(#B). = 2 6 = 1/3,
Κεφάλαιο 4 Πιθανότητες και συνδυαστική Οπως είδαμε σε κάποια παραδείγματα των προηγουμένων κεφαλαίων, συχνά συναντάμε καταστάσεις όπου όλες οι δυνατές εκφάνσεις ενός τυχαίου πειράματος έχουν την ίδια πιθανότητα.
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα
Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα Ένα συνδυαστικό λογικό κύκλωμα συντίθεται από λογικές πύλες, δέχεται εισόδους και παράγει μία ή περισσότερες εξόδους. Στα συνδυαστικά λογικά κυκλώματα οι έξοδοι σε κάθε χρονική
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2016
ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2016 6 η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Άσκηση 6.1 [1 μονάδα] Πόσοι 3ψήφιοι αριθμοί σχηματίζονται από τα ψηφία 2,3,5,6,7 και 9, τέτοιοι που να διαιρούνται με το 5 και
Διαβάστε περισσότερα(n + r 1)! (n 1)! (n 1)!
Στοιχειώδης συνδυαστική Διανομή αντικειμένων σε υποδοχές Διανομή Αντικειμένων σε Υποδοχές Με πόσους τρόπους μπορούμε να διανείμουμε r αντικείμενα (διακεκριμένα ή όχι) σε n υποδοχές. Διακρίνουμε περιπτώσεις:
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #7 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 24/4/2018
Φροντιστήριο #7 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 24/4/2018 Ο κανόνας του Pascal ( n + 1 k ) = (n k ) + ( n ), 0 k n k 1 ή ισοδύναμα, ( n k ) = (n 1 k ) + (n 1 ), 0 k n + 1 k 1 Απόδειξη ( n k ) + ( n k
Διαβάστε περισσότεραΓνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.
Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Διατάξεις Μεταθέσεις Συνδυασμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 2 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική. Σύνθετο Πείραμα. Πείραμα Συνδυαστική. Το υλικό των. ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά, Άνοιξη Τρίτη, 17/04/2018
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 17/04/2018 Συνδυαστική Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 2 Πείραμα Σύνθετο Πείραμα Πείραμα:Οποιαδήποτε διαδικασίαπου μπορεί να οδηγήσει σε ένα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική
Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική 2 ο Εξάμηνο Ασκήσεις Πράξης 1 Θεωρία Συνόλων - Δειγματικός Χώρος Άσκηση 1: Να βρεθούν και να γραφούν με συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων οι δειγματοχώροι των τυχαίων πειραμάτων:
Διαβάστε περισσότεραm + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G
Λύσεις Θεμάτων Θεμελίων των Μαθηματικών 1. Εστω A, B, C τυχόντα σύνολα. Να δειχθεί ότι A (B C) (A B) (A C). Απόδειξη. Εστω x τυχαίο στοιχείο του A (B C). Εξ ορισμού, το x ανήκει σε ακριβώς ένα από τα A,
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (2η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 54 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότερα!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.
..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$
Διαβάστε περισσότερακαι η εκλογή του ενός αποκλείει την ταυτόχρονη εκλογή του άλλου, ΤΟΤΕ
7/10/010 ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΝ ένα αντιείμενο A1 μπορεί να επιλεγεί με k1 αι ένα αντιείμενο A μπορεί να επιλεγεί με k αι η ελογή του ενός απολείει την ταυτόχρονη ελογή του άλλου, ΤΟΤΕ ένα οποιοδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων
Διαβάστε περισσότεραP(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1
Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Ασκήσεις στη Στοιχειώδη Συνδυαστική 1 / 12 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm
Διαβάστε περισσότεραΑριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί
Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι
Διαβάστε περισσότεραN(F I G) = = N N(F ) N(I ) N(G)+N(FI ) + N(FG)+N(IG) N(FIG) = = = 200
Διακριτά Μαθηματικά Ι Φροντιστήριο Αρχή Εγκλεισμού-Αποκλεισμού 1 / 9 Σε ένα σχολείο υπάρχουν 1000 μαθητές. Απ αυτούς οι 400 μιλάνε Γαλλικά, οι 300 Ιταλικά και 200 μιλάνε Γερμανικά. Εάν υπάρχουν 200 μαθητές,που
Διαβάστε περισσότερα(1) 98! 25! = 4 100! 23! = 4
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 Συνδυαστική Ανάλυση και Εισαγωγή στις ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Επιµέλεια
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Ανάλυση. Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα:
Συνδυαστική Ανάλυση Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα: P( A) N( A) N ( ) Ν(Α): πλήθος ευνοϊκών αποτελεσμάτων του Α Ν(Ω): πλήθος συνολικών αποτελεσμάτων του Ω Χρειαζόμαστε
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων Θέμα 1: [14 μονάδες] 1. [5] Έστω Y(x): «Το αντικείμενο x είναι ηλεκτρονικός υπολογιστής», Φ(y):
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 19/04/2016 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 Συνδυαστική 2 Πείραµα Πείραµα: Οποιαδήποτε διαδικασία που µπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθµό παρατηρήσιµων
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 19/4/2018 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 Συνδυαστική 2 Πείραμα/ Συνδυαστική Πείραμα: Οποιαδήποτε διαδικασία που μπορεί να οδηγήσει σε ένα
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΟδηγός Ασκήσεων Υποδικτύωσης
Οδηγός Ασκήσεων Υποδικτύωσης Για να επιλύσουμε ασκήσεις υποδικτύωσης θα πρέπει: Να γνωρίζουμε μετατροπή από δυαδικό στο δεκαδικό και το ανάποδο (το βιβλίο και το βοήθημα περιγράφουν κάποιους εύκολους τρόπους).
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:
1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά 1ο Φροντιστήριο 07/10/2016 1
Διακριτά Μαθηματικά 1ο Φροντιστήριο 07/10/2016 1 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Διατάξεις r αντικειμένων επιλεγμένων από n αντικείμενα χωρίς επανατοποθέτηση: P(n, r) = n! (n r)! Αντιμεταθέσεις
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Ανάλυση. Ρίζου Ζωή
Συνδυαστική Ανάλυση Ρίζου Ζωή email: zrizou@ee.duth.gr Διαφορές διατάξεων-συνδυασμών Αν ενδιαφερόμαστε για τη σειρά με την οποία εμφανίζονται τα επιλεγμένα αντικείμενα μιλάμε για ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ Αν δεν ενδιαφερόμαστε
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ενότητα 3: Πιθανότητες. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 3: Πιθανότητες Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραa n + 6a n a n 2 + 8a n 3 = 0, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 8
Διακριτά Μαθηματικά Σχέσεις Αναδρομής Ι 1 / 17 a n + 6a n 1 + 12a n 2 + 8a n 3 = 0, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 8 2 / 17 a n + 6a n 1 + 12a n 2 + 8a n 3 = 0, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 8 1ος τρόπος: Εχουμε τη
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυασμοί C(n, k): #επιλογών k από n διακεκριμένα αντικείμενα (διαθέσιμα σε ένα «αντίγραφο»).
Συνδυασμοί Συνδυασμοί C(n, k): #επιλογών k από n διακεκριμένα αντικείμενα (διαθέσιμα σε ένα «αντίγραφο»). ιαφορετικές 6άδες Lotto (από 1-49): #υποσυνόλων με k στοιχεία από σύνολο n στοιχείων: #τρόπων στελέχωσης
Διαβάστε περισσότεραP (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ).
Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη 31 Οκτωβρίου 2014 Πιθανότητες και Στατιστική Διάλεξη 7 Ασκήσεις ΙΙ Δεσμευμένη πιθανότητα, Συνδυαστικά επιχειρήματα Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές
Διακριτά Μαθηματικά Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών Σκοποί ενότητας Παρουσίαση βασικών εννοιών από: Απαρίθμηση
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ. Ισότητα συνόλων Έστω C = A i= B i και D = i= A B i. Θα αποδείξουμε ότι τα C, D ταυτίζονται,
Διαβάστε περισσότεραΒρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com
Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα
Διαβάστε περισσότερακ.λπ. Ισχύει πως x = 100. Οι διαφορετικές λύσεις αυτής της εξίσωσης χωρίς κανένα περιορισμό είναι
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Διακριτά Μαθηματικά 3 η γραπτή εργασία, Σχέδιο Λύσεων Επιμέλεια: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου ΘΕΜΑ (Συνδυαστική,.6 μονάδες)
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 6ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 501-600 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του φυλλαδίου ασκήσεων επανάληψης. P (B) P (A B) = 3/4.
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 207-8. Λύσεις του φυλλαδίου ασκήσεων επανάληψης.. Αν P (A) / και P (A B) /4, βρείτε την ελάχιστη δυνατή και την μέγιστη δυνατή τιμή της P (B). Το B καλύπτει οπωσδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η ΑΡΧΗ ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ
50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΑΡΧΗ ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ Εισαγωγή. Η αρχή του εγκλεισμού αποκλεισμού είναι ένα ισχυρό μέσο απαρίθμησης με το οποίο υπολογίζεται ο αριθμός των στοιχείων της ένωσης και της τομής των συμπληρωμάτων
Διαβάστε περισσότεραΓράψτε ένα πρόγραμμα που θα προσομοιώνει τη ρίψη ενός νομίσματος και θα εμφανίζει στην οθόνη Κορώνα» ή «Γράμματα».
Εισαγωγικές Δραστηριότητες Δραστηριότητα 1 (Υ) Υπολογίστε την τιμή των παρακάτω αριθμητικών εκφράσεων. Στη συνέχεια επαληθεύστε τα αποτελέσματα που βρήκατε στην κονσόλα της Python. A. 2 + 3 ** 3 * 2 B.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 0 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο - Συνδυαστική Ανάλυση Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Θεωρία. Η ϐασική αρχή της απαρίθµησης
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αρίθμησης. Συστήματα Αρίθμησης 1. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version
Συστήματα Αρίθμησης Στην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Στο σύστημα αυτό χρησιμοποιούμε δέκα διαφορετικά σύμβολα τα :,, 2, 3, 4, 5, 6,7 8, 9. Για τον αριθμό 32 θα χρειαστούμε
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ (Δείγμα θεμάτων)
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ (Δείγμα θεμάτων) Μέρος Ι (μέγιστος αριθμός μονάδων=40) Δώστε την κατάλληλη απάντηση (ΣΩΣΤΗ ή ΛΑΘΟΣ ) στις παρακάτω προτάσεις. Κάθε σωστή επιλογή παίρνει 5 μονάδες. Για κάθε λανθασμένη επιλογή
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών
Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών 1 Αριθμητικό Σύστημα Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθμού με διακεκριμένα σύμβολα Ένας αριθμός αναπαρίσταται διαφορετικά
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 8ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 701-800 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση
Διαβάστε περισσότερα2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.
1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες
Διαβάστε περισσότεραΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
κεφ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Σε ένα συρτάρι υπάρχουν δύο κάρτες, μία άσπρη και μία κόκκινη Παίρνουμε στην τύχη μία κάρτα από το συρτάρι, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-2 ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΙΣ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΡΓΑΣΙΙΩΝ & ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Συνδυαστικής
Ασκήσεις Συνδυαστικής Με πόσους τρόπους μπορούν τα 24 γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου να αντιμετατεθούν σχηματίζοντας μια λέξη η οποία δεν θα περιέχει την λέξη φως; Στο ένα δίκτυο υπολογιστών οι διευθύνσεις
Διαβάστε περισσότεραΗ μεθοδολογία θα δοθεί μέσω ενός παραδείγματος, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι είναι το μοναδικό στυλ ασκήσεων με MAC.
Η μεθοδολογία θα δοθεί μέσω ενός παραδείγματος, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι είναι το μοναδικό στυλ ασκήσεων με MAC. α) τη μοναδική ταυτότητα του οργανισμού (OUI) στον οποίο ανήκει β) Αν η διεύθυνση είναι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4. Λογική Σχεδίαση
Κεφάλαιο 4 Λογική Σχεδίαση 4.1 Εισαγωγή Λογικές συναρτήσεις ονομάζουμε εκείνες για τις οποίες μπορούμε να αποφασίσουμε αν είναι αληθείς ή όχι. Χειριζόμαστε τις λογικές προτάσεις στην συγγραφή λογισμικού
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 5: Μεταθέσεις & Συνδυασμοί
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Μεταθέσεις & Συνδυασμοί Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Διαβάστε περισσότερα1.7 Διατάξεις 1. Στην ελληνική βιβλιογραφία επικρατεί ο συμβολισμός. Permutations
.7 Διατάξεις Είναι το σύνολο των συμπλεγμάτων που μπορεί να προκύψουν όταν επιλέγονται υποσύνολα που περιέχουν διακεκριμένα στοιχεία από ένα υπερσύνολο διακεκριμένων στοιχείων. Εδώ δεν ενδιαφέρουν οι θέσεις
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις
1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γλωσσών. (συνέχεια) (συνέχεια) Πέμπτη 27 Οκτωβρίου 2016 Θεόδωρος Τζουραμάνης Επίκουρος Καθηγητής
https://www.icsd.aegean.gr/t.tzouramanis/courses/dm1 ttzouram@aegean.gr Πέμπτη 7 Οκτωβρίου 016 Δ Κατά τον Καθηγητή Avram Noam Chomsky οι γραμματικές ταξινομούνται σύμφωνα με τα είδη παραγωγών που επιτρέπονται,
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 5ο Σχηματισμοί όπου επιτρέπεται η επανάληψη στοιχείων 2 Παράδειγμα 2.4.1 Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε
Διαβάστε περισσότερα