A Model Independent Search for Particles of Unknown Masses Based on Event Topology. Γ.Αναγνώστου, I. Physikalishes Institut RWTH Aachen

Transcript

1 A Model Independent Search for Particles of Unknown Masses Based on Event Topology Γ.Αναγνώστου, I. Physikalishes Institut RWTH Aachen µ - ~ µl µ L X 0 1 p X 0 2 µ + µ - ~ µ X 0 1 L µ L X 0 2 µ + Γ.Αναγνώστου Πύλος 11/6/2010 Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

2 Μοdel Independent Searches Στην αναζήτηση καινούργιας φυσικής στο LHC πολλά µοντέλα (π.χ υπερσυµµετρία) προβλέπουν τελικέςκαταστάσειςµε M ET. H µέθοδοςγια νέαφυσικήεξαρτάται (πολύ) από το µοντέλο (model dependence) p l + t W + ν b p Η ανακατασκευή της µάζας των σωµατιδίων γίνεται (αδύνατο;) δύσκολο πρόβληµα. b W - t l - ν Ερώτηση Mπορούµεναβρούµετηνµάζατου top quark και W boson στο LHC απόγεγονότα top-pairs υποθέτονταςότι οι m top and m W είναιάγνωστες; Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

3 Μοdel Independent Searches Εάν µπορεί να γίνει σε top pairs είναι δυνατό και σε πολλά µοντέλα BSM µε 2 invisible particles µ - ~ µl µ L X 0 1 π.χ υπερσυµµετρικά µοντέλα, βαριά Quarks,W X 0 2 µ + Οι τοπολογίες αυτές περιέχουν τουλάχιστον δύο neutralinos (όπως τα 2 neutrinos στα top-pairs) p µ - ~ µ X 0 1 L µ L X 0 2 G.Anagnostou CMS AN 2009/176 Searching for Particles of Unknown masses in Events with Missing Energy H.C.Cheng J.F.Gunion, Z.Han, G.Maradella, B.Erlath hep-ph µ + Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

4 Επιλυσιµότητα (Solvability) Πως θα µπορούσαµε να ψάξουµε για σωµατίδια άγνωστης µάζας βασισµένοι µόνο στην τοπολογία; Υπάρχει κάποιο µετρήσιµο µέγεθος το οποίο να µεγιστοποίειται/ελαχιστοποιείται στις αληθινές µάζες των σωµατιδίων; Επιλυσιµότητα= % ποσοστό γεγονότων µε λύση σε επιλύσιµες τοπολογίες). - Η Επιλυσιµότητα είναι συνάρτηση µετρήσιµων κινηµατικών µεγέθων. -Οιεξισώσειςτηςτοπολογίαςείναιφυσικήπηγήπληροφορίας. - Ειναι ανεξάρτητη του µοντέλου και της αλληλεπίδρασης. - Βασίζεται σε εξισώσεις της ειδικής θεωρίας (και µόνο σε αυτές) Εχει η επιλυσιµότητα πληροφορία για τις µάζες? Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

5 Επιλυσιµότητα (Solvability) Επιλύσιµεςτοπολογίες (υποθέτονταςτιςµάζες): - W boson leptonic 3 εξισώσεις, 3 άγνωστοι (ορµή νετρίνου) - top pairs dileptonic 6 εξισώσεις, 6 άγνωστοι (ορµές νετρίνων) - Πολλές τοπολογίες υπερσυµµετρίας και 4της γενιάς (π.χ ορµές νετραλίνο) - Απλούστερο επιλύσιµο σύστηµα για εφαρµογή της µεθόδου W boson W boson : MET x =pν x MET y =pν y, Επίλυσηόταν >0 ή M 2 W =(E l +E ν ) 2 -(p l +p ν ) 2 M W >M T πολυώνυµο 2 ου βαθµού Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

6 Σχέσηεπιλυσιµότητας, M T σεµιαδιάσταση Toy MC Γ particle =0, no detector effects d/dm ΤαγεγονόταέχουνλύσηγιαΜ> M T. Αρα S(M) είναιτοολοκλήρωµατης M T : S(M)= f(m T ) dm T Αντιστροφή: ιαφορίζονταςτην ds/dm = M T Edge detection Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

7 Σχέσηεπιλυσιµότητας, M T σεµιαδιάσταση Toy MC Γ particle =0, no detector effects d/dm ΤαγεγονόταέχουνλύσηγιαΜ> M T. Αρα S(M) είναιτοολοκλήρωµατης M T : S(M)= f(m T ) dm T Αντιστροφή: ιαφορίζονταςτην ds/dm = M T Edge detection Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

8 Σχέσηεπιλυσιµότητας, M T σεµιαδιάσταση Toy MC Γ particle =0, no detector effects d/dm ΤαγεγονόταέχουνλύσηγιαΜ> M T. Αρα S(M) είναιτοολοκλήρωµατης M T : S(M)= f(m T ) dm T Αντιστροφή: ιαφορίζονταςτην ds/dm = M T Edge detection Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

9 Σχέσηεπιλυσιµότητας, M T σεµιαδιάσταση Toy MC Γ particle =0, no detector effects d/dm ΤαγεγονόταέχουνλύσηγιαΜ> M T. Αρα S(M) είναιτοολοκλήρωµατης M T : S(M)= f(m T ) dm T Αντιστροφή: ιαφορίζονταςτην ds/dm = M T Edge detection Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

10 ΕπίδρασηΓ σωµατιδίου & Ανιχνευτή Αρα η επιλυσιµότητα έχει θεωρητικά σηµαντική πληροφορία για την µάζα. Απότοµεςαλλαγέςστηνεπιλυσιµότητα ύπαρξηκαινούργιουσυντονισµού. ΠωςεπηρεάζουνταπαραπάνωτοΓ σωµατιδίου καιοανιχνευτής? Γ particle =0, no detector effects Γ particle 0, no detector effects Γ particle 0, detector effects Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

11 Επιλυσιµότητα = step function Ηεπιλυσιµοτηταείναιτο % τωνγεγονοτωνµελύσηγια test µάζα m: Η επιλυσιµότητα ειναι αθροισµα από step functions υψηλης συχνοτητας χωρικές συνιστώσες. H εφαρµογή διαφορικού τελεστη θα χρειαζόταν µεγάλη στατιστική ώστε να είναι οµάλη η επιλυσιµότητα. Οανιχνευτήςκαιτο Γ σωµατιδίου µετακινείτηναρχήτηςλυσηςμ Τ Μ Τ αλλοιώνοντας την S(m) Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

12 ΕπίδρασητουΓ σωµατιδίου στηνεπιλυσιµότητα Η επιλυσιµότητα είναι 100% για την σωστή µάζα και τιµές κινηµατικών µεγεθών. Eαν δοκιµάσουµε για Μ+δΜ είναι πιθανό να µην υπάρχει λύση. Πρέπει να λάβουµε υπόψιν οτι ενα σωµατίδιο µαζαςμγεννιέταιµεµιαµάζαμ (ΒW). (x)) h(p ν µάζες όπου δεν υπάρχει λύση Μάζες όπου υπάρχει P ν (x) Για ακριβή εκτιµηση της S(M) πρεπει να παρουµε την µέση επιλυσιµοτητα µε βάση την PDF (Breit-Wigner) τηςµάζας Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

13 Smearing Το ίδιο ισχύει και για τα κινηµατικά µεγέθη (oρµή λεπτονίου, ΜΕΤx,y) Πρεπειναπάρουµετηνµέσητιµητης S(m) µεβάσητην PDF του κινηµατικού µεγέθους detector resolution Aυτή είναι η καλύτερη δυνατή γνώση της επιλυσιµότητας µε βάση τις αβεβαιότητεςλόγωανιχνευτήκαιγ particle. Πρακτικά κάθε γεγονός γίνεται smeared σύµφωνα µε το resolution του ανιχνευτή πολλές φορές oµαλή επιλυσιµότητα Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

14 Εφαρµογή στα top pairs Mπορούµεναβρούµετηνµάζατου top quark και W boson στο LHC απόγεγονότα top-pairs υποθέτονταςότι οι m top and m W είναιάγνωστες? Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

15 l + εξισώσειςγεγονότων top pairs ν t W + b p p b W - t l - ν Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

16 Αναλυτική λύση γεγονότων top pairs Το παραπάνω σύστηµα εξισώσεων έχει αναλυτική λύση η οποία έχει δηµοσιευτεί στοn hep-ph/ Analytical solution of ttbar dilepton equations (Lars Sonnenshein) Το σύστηµα µετασχηµατίζεται σε πολυώνυµο τέταρτου βαθµού και µπορεί να έχει 0,2,4 λύσεις. από hep-ph/ τυπικό πολυώνυµο µε N=4 λύσεις Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

17 Επιλυσιµότητα των εξισώσεων Ηεγκάρσιαελλειπούσαενέργεια M ETx, M ETy, καιοιτετραορµέςτων bquarks και λεπτονίων χρησιµοποιούνται για να παράγουν την αναλυτική λύση η οποία αποτελείταιαπό 0,2 ή 4 λύσεις: τις 6 άγνωστεςσυνιστώτεςτηςορµήςτων 2 νετρίνων. Η επιλυσιµότητα ορίζεται ώς το ποσοστό των γεγονότων µε µη µηδενικό αριθµό λύσεων σε τουλάχιστον ένα συνδοιασµό b-quarks και λεπτονίου. ηλαδή κάθε συνδοιασµός b-quark λεπτονίου ελέγχεται για επίλυση και εαν ένας έχει λύση τότε το γεγονός είναι επιλύσιµο. H επιλυσιµότητα είναι συνάρτηση των µεταβλητών εισόδου όπως οι τετραορµέςτωνλεπτονίωνκαι bjets καιη εγκάρσια M ETx, M ETy οιοποίες µπορούν να µετρηθούν σε ένα τυπικό ανιχνευτή υψηλών ενεργειών. Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

18 Ψάχνοντας για σωµατίδια σε µία διάσταση µάζας Γιασταθερό m top = 180 GeV ηεπιλυσιµότητασεσχέσηµε m W µεγιστοποιείται κοντά στην αληθινή τιµή της. Γιασταθερή m top σταθερήσεµεγαλύτερητιµή (200 GeV) ηεπιλυσιµότητα µεγιστοποιείται σε µεγαλύτερη τιµή. Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

19 ψάχνoντας σε 2 διαστάσεις Στις 2 διαστάσειςηεπιλυσιµότηταστοεπίπεδο m W, m top δενέχειµέγιστοόπως στην µονοδιάστατη περίπτωση. Η κατανοµή της επιλυσιµότητας µπορεί να γίνει κατανοητή σαν τοµές της µονοδιάστατης κατανοµής: καθως η µία µάζα αυξάνεται η επιλυσιµότητα µεγιστοποιείται για µεγαλύτερες τιµές της άλλης µάζας. Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

20 Προβολείς στους άξονες της µάζας Τόσο η δισδιάστατη επιλυσιµότητα όσο και οι προβολείς της παρουσιάζουν απότοµη άνοδο κοντά στις προσοµοιωµένες τιµές. Ενας αλγόριθµος edge detection µπορεί να εφαρµοστεί στην 2-D επιλυσιµότητα. Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

21 Αλγόριθµοι edge detection Αλγόριθµοι ανίχνευσης ακµών (edge detection) σε µία ή δύο διαστάσεις είναι γνωστές από τη επεξεργασία σήµατων (π.χεπεξεργασίαεικόνας). Edge Σε µια διάσταση, οι ακµές µπορούν να ανιχνευτούν µε την πρώτη παράγωγο η οποία και µεγιστοποιείται στην ακµή. Μια διαφορέτική επιλογή είναι να χρησιµοποιηθεί η δεύτερηπαράγωγοςηοποίακαιέχειλύσεις (zero crossing) στιςακµές. Gradient Laplacian Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

22 Η Laplacian σε 2 διαστάσεις Για παράδειγµα η gradient σε 1-D ορίζεται ως: Και η δεύτερη παράγωγος σαν η διαφορά της διαφοράς: Ορίζοντας τον kernel (+1,-2,+1) από τους συντελεστές της συνάρτησης. Σε 2-διαστάσεις η laplacian οριζόντιο 1D kernel µε ένα): ορίζεται (προσθέτοντας ένα Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

23 Θόρυβος Smoothing operator H ανίχνευση ακµών επηρεάζεται από το θόρυβο καθώς και οι δύο έχουν υψηλής συχνότητας χωρικές συνιστώσες. 1/9 1/9 1/9 Εποµένως η εφαρµογή του edge detector στην επεξεργασία σήµατος γίνεται αφού εφαρµοστεί ένας smoothing operator. 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 Στην περιπτωση µας ο θόρυβος πηγάζει από τις στατιστικές διακυµάνσεις της επιλυσιµότητας για κάθε m W, m top bin. smoothing operator Το smoothing κάνει τους edge detection algorithms πιο εύρωστους στην παρουσία θορύβου αλλά µε κόστος την παραµόρφωση του σχήµατος και κατά συνέπεια τηςακρίβειας. Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

24 Laplacianσε 2 D Αφού εφαρµοστεί ο smothing operator και η laplacian σε δείγµα 100Κ σε toppairs µεβήµα 1 GeV στο m W και m top άξονεςηµέγιστη Laplacian παρατηρείται κοντάστιςαληθινές (generated) τιµές m W =84 GeV and the m top =182 GeV Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

25 Προβολή της Laplacian στους άξονες µάζας Προβολήτης 2-δισδιάστατηςκατανοµής (µέγιστη Laplacian ανα bin µάζας) στουςάξονες m W και m top. Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

26 Τέταρτη γενιά - αποτελέσµατα Η µέθοδος εφαρµόστηκε στα δείγµατα βαρέων quark για δοκιµή σε ένα σενάριο beyond SM. Τααποτελέσµατακαιαποταδύοδείγµαταήταν ±1 GeV κοντάστις generated τιµές. Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

27 Ιδιότητες της Laplacian σαν εκτιµήτρια µάζας Για να ελεγχθεί η πόλωση και το σφάλµα της µέγιστης Laplacian σαν εκτιµήτρια, έναδειγµααπό 1M top pairs διαιρέθηκεσε 100 X10Κυποδείγµατα. Οι µάζες εκτιµήθηκαν µε την παραπάνω µέθοδο σε 3 σηµεία ανά GeV σύνολο (3 x 300) 2 σηµείαστοεπίπεδοµαζών. Για m W η µέση τιµή ήταν 83.5 GeV για generated 83 GeV σφάλµα 0.7 GeV. Για m top ηµέσητιµήήταν GeV για generated 181 GeV και σφάλµα 0.5 GeV. Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

28 Εφαρµογή σε top pairs + detector effects Εφαρµογήσεγεγονότα MC top (pythia). M W (GeV) Kάθε event smeared 100K φορές Smearing συµφωναµετο resolution του ανιχνευτή Στόχος η αναπαραγωγή παρόµοιων κορυφών µε CMS data. Mtop (GeV) Monte Carlo Pythia top pairs smeared Laplacian of Solvability Mπορούµεναβρούµετηνµάζατου top quark και W boson στο LHC απόγεγονότα top-pairs υποθέτονταςότι οι m top and m W είναιάγνωστες? Απάντηση: NAI Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

29 Εφαρµογή στην υπερσυµµετρία pp X 0 2X 0 2 µ - ~ µl ~ µ L p X 0 2 µ + µ - ~ µ X 0 1 L µ L X 0 2 µ + Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

30 t Αναλογία µε γεγονότα top pairs W + ν b µ + ~ x 0 2 l χ 0 1 Οι τοπολογίες αυτές περιέχουν τουλάχιστον δύο neutralinos (όπως τα 2 neutrinos στα top-pairs) ιαφορά: οι άγνωστες µάζες είναι 3 οπότε η µέθοδος πρεπει να γενικευτεί σε 3D l l Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

31 εξισώσεις top pairs µε m ν 0 Tοσύστηµα επιλύθηκεγια τηνπερίπτωση massive neutrino m ν 0. Νέοι συντελεστέςτουπολυωνύµουτηςλύσηςοιοποίοιείναισυναρτήσειςτου m ν δοκιµάστηκανµεεπιτυχίασεγεγονότα top pairs µε m ν 0 (αναπαράγουν τις σωστές συνιστώσες ορµής) +m 2 ν +m 2 ν Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

32 Επιλυσιµότητα στο m w, m t επίπεδογια m ν =50 GeV m W (GeV) (GeV) m top Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

33 Ο τελεστής Laplacian σε 3 διαστάσεις (k-1) slice i Laplacian σε 3 διαστάσεις j k slice (k+1) Σε 3-διαστάσειςοτελεστής laplacian ορίζεται µετηνάθροισηενός 1D (+1,-2,+1) kernel στην i διάστασηµεέναν kernel στην j διάστασηκαιέναν kernel στην k διάσταση. Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

34 Η επιλυσιµότητα σε 3D m µl_ Μετά την εφαρµογή smoothing & Laplacian εύρεσητουσηµείουστον 3D χώροτων µαζών όπου µεγιστοποιείται η Laplacian Στη συνέχεια εύρεση του επιπέδου 2D το οποίο περιέχει το σηµείο µεγιστης επιλυσι- µότητας. m x1 m x2 Max{L} =( M x2 =181, m µl =81, m x1 =50 GeV) (generated values 181, 81, 50 GeV) Εύρεση του m x1, m x2 επιπέδουπουπεριέχει το Max{L}και plot την Laplacianσεαυτότο επίπεδο. Τότεκάνετοίδιοµετα (m x2, m µl ) & (m x1, m µl ) επίπεδα που περιέχουν το max{l}. Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

35 Laplacian στο (m x2,m x1 )επίπεδο mx 0 1 (GeV) mx 0 2 (GeV) Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

36 Laplacian στο (m smuon,m x2 )επίπεδο Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

37 Laplacian στο (m smuon,m x1 )επίπεδο Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

38 Εφαρµογήσταπρώτα CMS data W boson Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

39 Εφαρµογήσε 37.9 pb -1 Εφαρµογήσε skim µιονίου~37.9 pb -1 1 αποµονωµένοµιόνιοµε P T >20 ~65K candidates Ldt=37.9 pb -1 Κάθεγεγονός smeared 100 times H ορµήτουµιονίουκαιημετx,y εισαγάγονται στις εξισώσεις λύσης Ελεγχός για επιλυσιµότητα. Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

40 Solvability/Laplacian CMS data Ldt=37.9 pb -1 Positive Laplacian Proof of principle: We can use solvability to search particles in a model independent way in final states with MET. We can observe peaks. Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

41 Model independent Search είναι εφικτό Η επιλυσιµότητα περιέχει σηµαντική πληροφορία µάζας model independent particle searches - µόνη υπόθεση η τοπολογία. Πρώτη εφαρµογή σε CMS data ενθαρυντική: µπορούµε να έχουµε mass peak σε τελικές καταστάσεις µε ΜΕΤ. Επόµενος στόχος τα dileptonic top pairs Ναδειχτείότιµπορούµενα ανακαλύψουµε τα top και µεαυτήτηµέθοδο. Μετά το commissioning µε τα top 3D scans για υπερσυµµετρία (και οτιδήποτε µε την ίδια τοπολογία). Η µέθοδος θα δώσει την absolute mass scale πιθανής καινούργιας φυσικής Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

42 Back up Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

43 Εφαρµογή της µεθόδου παρουσία υποβάθρου υπόβαθρο σήµα Γεγονότα σήµατος (top-pairs) και υποβάθρου (Z+jets, W+jets, Vqq) προσοµοιώθηκαν µε Madgraph σεενέργεια 10 TeV (για lumi 250 pb -1 ). Ο τελικός αριθµός είναι (µετά από απλή επιλογή) 646, 320 και 257 για toppairs, Vqq, and Z+jets αντίστοιχα σε σύνολο 1223 γεγονότων. Τοσχήµατηςεπιλυσιµότηταςδενέχει sharp edge γιατο Z+jets σεαντίθεσηµε το σήµα. Το ίδιο ισχύει για τα υπόλοιπα υπόβαθρα. Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

44 Παραγωγή neutralinos ισχυρή δύναµη Παράδειγµα pp q L q L X 0 2 X0 2 xsection pp q L q L ~30 pb BR(q L q X 0 2 )~0.3 BR(X 0 2 µ L µ ~ 0.1 ΒR(µ L µχ 0 1 ) =1 BR(q L q L 4µΧ 0 1 Χ0 1 ~ 30 fb ~3000 γεγονόταµε 100 fb -1 Μεγάλη ενεργός διατοµή αλλά µεγάλη αλυσίδα διάσπασης µε µικρά BRs Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

45 Παραγωγή neutralinos direct (Electroweak) Τα πρώτα 2 διαγράµµατα ίσως έχουν µεγάλες ενεργές διατοµές σε ενδιαφέρουσες περιοχές του φασικού χώρου. Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

46 Άµεση (direct) παραγωγή chargino-neutralino xsection pp X + 1 X0 2 ~10 pb X + 1 X0 1 X + 2X 0 3 Solvable? BR(X 0 2 µ L µ) ~ 0.03 X + 1X 0 3 ΒR(µ L µχ 0 1 ) =1 ΒR(X + 1 W Χ0 1 ) ~1 X + 2X 0 4 X + 2X 0 1 X + 2X 0 2 ~3000 γεγονόταµε 10 fb -1 Επιλύσιµο (?) αλλά πρέπει να αποδειχτεί. Ασύµµετρη διάσπαση, ωραία πειραµατική υπογραφή Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

47 Άµεση (Direct) παραγωγή neutralinos 14 Tev pp X 0 i X0 J Μικρές ενεργές διατοµές BR(X 0 2 µ L µ ~ ΒR(µ L µχ 0 1 ) =1 Επιλύσιµες µικρές xsections Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

48 Αµεση (direct) παραγωγή charginos Μη BR(X + 2 Χ+ 1Ζ/h) ~ ΒR(X + 1 W Χ0 1 ) =1 X + 1X + 2 Επιλύσιµες X + 2X + 2 Μόνοοιδιασπάσειςτου X + 2επιλύσιµες (περισσότερα mass constraints) Αλλάµικρέςενεργέςδιατοµές. Οιδιασπάσειςτου X + 1 µηεπιλύσιµες Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

49 Επίλυσηπολυωνύµου 4 ης τάξης Pν(Χ) Τέλειο γεγονός (x)) ν (x)) ν 3000 h(p h(p p ν (x) p (x) ν Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

50 Επίλυσηπολυωνύµου Σαρώνονταςτηνµάζατου top (x)) h(p ν (x)) h(p ν µάζες όπου δεν υπάρχει λύση P ν (x) Μάζες όπου υπάρχει P ν (x) Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

51 Επίλυσηπολυωνύµου ΣαρώνονταςτηνΜΕΤx (x)) h(p ν (x)) h(p ν P ν (x) P ν (x) Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ

52 Επίλυση πολυωνύµου Σαρώνοντας την px από bjet (x)) h(p ν (x)) h(p ν P ν (x) P ν (x) Γ.Αναγνώστου ΕΜΠ