Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Παρουσίαση Νο. 3. Δισδιάστατα σήματα και συστήματα #2

Transcript

1 Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος Παρουσίαση Νο. 3 Δισδιάστατα σήματα και συστήματα #2

2 Πληροφορία πλάτους-φάσης (1/4) Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου είναι μιγαδική ποσότητα και έτσι μπορεί να γραφεί σε πολική μορφή Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να γραφτεί και ο 2D-DFT ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 2

3 Πληροφορία πλάτους-φάσης (2/4) Έστω η εικόνα x με F{x}=M x e jφx. Δημιουργούμε τις εικόνες x p,x m ώστε x p =F -1 {ce jφx }, x m =F -1 {Μ x e jf }, όπου c, f σταθερές Εικόνα x Eικόνα x p με c=1 Eικόνα x m με f=0,4π ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 3

4 Πληροφορία πλάτους-φάσης (3/4) Έστω οι εικόνες x,y με F{x}=M x e jφx, F{y}=M y e jφy. Δημιουργούμε τις εικόνες z, w ώστε z=f -1 {M y e jφx }, w=f -1 {Μ x e jφy } Εικόνα x Εικόνα y Εικόνα z Εικόνα w ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 4

5 Πληροφορία πλάτους-φάσης (4/4) Συμπέρασμα: Η πληροφορία φέρεται κυρίως από την φάση Φ x () Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε εάν κάνουμε πειράματα με διαταραχή σε φάση και πλάτος. ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 5

6 Το πρόβλημα της ανάκτησης πλάτους (1/4) O στόχος είναι η ανακατασκευή ενός σήματος x(n 1,n 2 ) μόνο από την φάση Φ x του μετασχηματισμού Fourier Το σήμα x'(n 1,n 2 ) που προκύπτει ισούται με αx(n 1,n 2 ) Περιορισμοί: Το x(n 1,n 2 ) πραγματικό και πεπερασμένο Ο μετασχηματισμός Fourier δεν παραγοντοποιείται σε γινόμενο πολυωνύμων των e jω1 και e jω2 Συνήθως, στις εικόνες ισχύουν οι παραπάνω περιορισμοί ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 6

7 Το πρόβλημα της ανάκτησης πλάτους (2/4) Δύο λύσεις για το πρόβλημα:» Μέσω γραμμικού συστήματος» Μέσω επαναληπτικής μεθόδου Γραμμικό σύστημα Αν Ν 2 άγνωστοι τότε δειγματοληπτούμε σε Ν 2 σημεία (ω 1,ω 2 ), π.χ. με τον τρόπο που γίνεται στον 2D-DFT Το σύστημα που προκύπτει είναι της μορφής Ax=0 οπότε η λύση είναι της μορφής αx(n 1,n 2 ) ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 7

8 Το πρόβλημα της ανάκτησης πλάτους (3/4) Η μέθοδος γραμμικού συστήματος είναι κατάλληλη για μικρές μόνον εικόνες, αφού για παράδειγμα αν έχουμε εικόνα 10Mpixel τότε απαιτούνται 10M εξισώσεις!!! Επαναληπτική μέθοδος: Θέτει περιορισμούς» Στον χωρικό πεδίο: πραγματικές τιμές και τα εκτός εικόνας εικονοστοιχεία μηδέν» Στο συχνοτικό πεδίο: ο μετασχηματισμός Fourier δεν πρέπει να παραγοντοποιείται Κριτήριο σταματήματος: Η φάση του αποτελέσματος πρέπει να είναι ίση (ή ~ = ) με αυτή της αρχικής εικόνας ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 8

9 Το πρόβλημα της ανάκτησης πλάτους (4/4) Επαναληπτική διαδικασία ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 9

10 Projection-Slice Theorem (1/5) Χρησιμοποιείται στην υπολογιστική τομογραφία Απεικόνιση του εσωτερικού στερεών σωμάτων (της τομής f(x,y) ) με μη επεμβατικό τρόπο Μπορεί επίσης να βοηθήσει στη διαισθητική ερμηνεία των εικόνων στο πεδίο συχνοτήτων ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 10

11 Projection-Slice Theorem (2/5) Θυμίζουμε ότι για τη συνεχή φυσική σκηνή f(x,y) το ζεύγος Fourier είναι Πρέπει η συνάρτηση f(x,y) να είναι απόλυτα ολοκληρώσιμη ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 11

12 Projection-Slice Theorem (3/5) Κατασκευή της 1-D συνάρτησης p θ (t) Κάθε τιμή της p θ (t) δίνεται από το άθροισμα των τιμών της τομής κατά μήκος των γραμμών που φαίνονται στο σχήμα ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 12

13 Projection-Slice Theorem (4/5) Μετασχηματισμός Radon (προβολή της f(x,y) υπό γωνία θ ) Αλλαγή συντεταγμένων από το σύστημα t,u στο x,y Σε μία πραγματική εφαρμογή, η συνάρτηση f(x,y) εξαρτάται από το υλικό της τομής αφού κάθε υλικό παρουσιάζει διαφορετικές ιδιότητες (π.χ., απορρόφηση σε κάποια ακτινοβολία) ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 13

14 Projection-Slice Theorem (5/5) Το Θεώρημα: ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 14

15 Ανακατασκευή από προβολές 1/2 (το παράδειγμα της αξονικής τομογραφίας) N s : αριθμός εκπεμπομένων φωτονίων ανά χρονική μονάδα N r : αριθμός λαμβανομένων φωτονίων ανά χρονική μονάδα Σύμφωνα με το νόμο Lambert - Beer : N r N e s a( d) Όπου η α(d) είναι η σταθερά εκθετικής απόσβεσης κατά μήκος της διαδρομής d και δίνεται ως Αν πάρουμε φυσικό λογάριθμο και στις δύο πλευρές του Νόμου Lambert-Beer βρίσκουμε την απορροφητικότητα δια μέσου της συγκεκριμένης διαδρομής ( d) f( x, y) ds d N s ( d) f( x, y) ds ln N d r ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 15

16 Ανακατασκευή από προβολές 2/2 Για την πλήρη ανακατασκευή του στερεού σώματος Εκτιμάται η F(Ω 1,Ω 2 ) και κατ επέκταση η f(x,y) από τον υπολογισμό της p θ (t) για διάφορες γωνίες στο διάστημα [0 π] Εφαρμόζεται η παραπάνω διαδικασία για διάφορα παράλληλα επίπεδα (τομές) και στη συνέχεια γίνεται η κατάλληλη αντιστοίχισή τους ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 16

17 Σχέση Χώρου Συχνότητας F(Ω 1, Ω 2 ) = FT[f(t 1,t 2 )] f(t 1,t 2 ): απόλυτα ολοκληρώσιμη Εάν f(t 1,t 2 ): ζωνοπεριορισμένη f(n 1,n 2 ) F(ω 1, ω 2 ) = DSFT[f(n 1,n 2 )], (DS: discrete space) Εάν f(n 1,n 2 ) περιορισμένης χωρικής επέκτασης F(k 1, k 2 ) (δειγματοληψία του DSFT) F(k 1, k 2 ) = DFT[f(n 1,n 2 )] ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 17

18 Περιγραφή συχνοτικού περιεχομένου (1/5) To ζεύγος DFT για 2D σήματα είναι (με συμβολισμό πιο συνήθη σε ΨΕΑΕ): Εμφάνιση συχνοτήτων σε μονοδιάστατα σήματα ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 18

19 Περιγραφή συχνοτικού περιεχομένου (2/5) Όμοια για τα δισδιάστατα σήματα Η ολίσθηση είναι της μορφής F(u,v) F(u-N/2,v-N/2) Χαμηλές συχνότητες Ομαλές περιοχές στην εικόνα Υψηλές συχνότητες Περιγράμματα και άκρα εικόνας λόγω παραθύρωσης ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 19

20 Περιγραφή συχνοτικού περιεχομένου (3/5) Μετασχηματισμός Fourier (στο σύστημα αξόνων u-v), p 0 (t) (κατά μήκος του άξονα v), p π/2 (t) (κατά μήκος του άξονα u) v u Η υψηλή ενέργεια που εμφανίζεται στις υψηλές συχνότητες κατά μήκος των αξόνων δικαιολογείται από τις έντονες διακυμάνσεις και τις ασυνέχειες των καμπυλών p θ (t) κατά μήκος των αξόνων ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 20

21 Περιγραφή συχνοτικού περιεχομένου (4/5) Μετασχηματισμός Fourier, p 3π/4 (t) (κατά μήκος της v=-u), p π/4 (t) (κατά μήκος της v=u) Ενώ στο άξονα v=-u υπάρχει ενέργεια στις υψηλές συχνότητες (η αντίστοιχη καμπύλη μεταβάλλεται γρήγορα) δεν συμβαίνει το ίδιο με τον άξονα v=u (η αντίστοιχη καμπύλη είναι σαφώς ομαλότερη) ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 21

22 Περιγραφή συχνοτικού περιεχομένου (5/5) Άλλα παραδείγματα: ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 22

23 Δειγματοληψία (1/5) Η εικόνα ψηφιοποιείται για να γίνει η επεξεργασία της από υπολογιστή Η δειγματοληψία αναφέρεται στην διακριτοποίηση των αξόνων x,y της εικόνας (δηλ. του πεδίου ορισμού) Από το σήμα x α (t 1,t 2 ) λαμβάνεται το σήμα x(n 1,n 2 ) Ομοιόμορφη δειγματοληψία (εύκολη υλοποίηση) Ανομοιόμορφη δειγματοληψία (π.χ., περισσότερα δείγματα στα περιγράμματα) Δυο ενδιαφέροντα προβλήματα Σχέση φασμάτων συνεχούς και διακριτού σήματος Ανακατασκευή συνεχούς από διακριτό σήμα ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 23

24 Δειγματοληψία (2/5) Πλέγμα δειγματοληψίας t = Vn, t = [t 1,t 2 ] T, n = [n 1, n 2 ] T, V = [v ij ] 2x2 x(n) = x α (Vn) Ορθογώνιο πλέγμα Εξαγωνικό πλέγμα (βέλτιστο για κυκλικά φάσματα) ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 24

25 Δειγματοληψία (3/5) Σχέση φασμάτων (FT DSFT) x(n)=x α (Vn) Σχέση φασμάτων με χρήση ορθογώνιου πλέγματος x(n 1,n 2 )=x α (n 1 T 1,n 2 T 2 ), T=T 1 xt 2 (χωρική περίοδος) ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 25

26 Δειγματοληψία (4/5) Παράδειγμα συνεχούς και διακριτού φάσματος ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 26

27 Δειγματοληψία (5/5) Ανακατασκευή αναλογικού σήματος Εφαρμογή ορίου Nyquist σε κάθε συνιστώσα κατά την δειγματοληψία για να αποφευχθεί η αναδίπλωση συχνότητας ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 27

28 Κβαντισμός (1/3) Ο κβαντισμός αναφέρεται στη διακριτοποίηση της τιμής f του κάθε εικονοστοιχείου (δηλαδή του πεδίου τιμών) Διαδικασία κβαντισμού To πεδίο τιμών της f χωρίζεται σε L υποδιαστήματα Οι ακραίες τιμές κάθε υποδιαστήματος είναι τα όρια απόφασης d i-1, d i και μια τιμή μεταξύ αυτών ονομάζεται επίπεδο κβάντισης r i Αν d i-1 < f d i τότε το f q =Q(f)=r i ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 28

29 Κβαντισμός (2/3) Θόρυβος κβαντισμού: f=f q +e q To e q εξαρτάται από το σήμα και το L Ομοιόμορφος κβαντισμός d i -d i-1 =Δ, r i =(d i +d i-1 )/2, 1 i L, Δ=(d L -d 0 )/2(# ψηφίων) ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 29

30 Παράδειγμα κβαντισμού (3/3) Επανα-κβαντισμός εύρους τιμών [0:255] στα πέντε επίπεδα [0:51:255] και αντιστοίχιση στην κεντρική τιμή Στη νέα εικόνα εμφανίζονται μόνο πέντε επίπεδα του γκρι ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 30

31 Διανυσματικός κβαντισμός (1/4) Οι ποσότητες που κβαντίζονται είναι Ν-διάστατα διανύσματα που παράγονται είτε από μια διανυσματική πηγή είτε μετά από ομαδοποίηση βαθμωτών ποσοτήτων Δημιουργείται ένας Ν-διάστατος χώρος Διαδικασία κβαντισμού (δοθέντος του διαν. κβαντιστή) Ο χώρος είναι διαχωρισμένος σε L υποπεριοχές R i Τα όρια αυτών των υποπεριοχών είναι τα όρια απόφασης και επιλέγεται κάποιο διάνυσμα εντός των ορίων που ονομάζεται επίπεδο κβάντισης r i (ή κεντροειδές της υποπεριοχής) Αν το διάνυσμα g ανήκει στην περιοχή R i τότε: g q =Q(g) =r i και g = g q + e q ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 31

32 Παράδειγμα διανυσματικού κβαντισμού Έστω g=[g 1 g 2 ] T, 0 g 1,g 2 1 και L=4 Οι περιοχές μπορούν να έχουν οποιοδήποτε σχήμα και τα διανύσματα r i μπορεί να μην είναι στο κέντρο κάθε περιοχής (2/4) ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 32

33 Διανυσματικός κβαντισμός (3/4) Επιλογή R i, r i Βέλτιστη επιλογή με βάση κάποιο κριτήριο (π.χ. Ευκλείδιο απόσταση)»d=e[d(g,g q )], d(g,g q )=(g q -g) T (g q -g) Για τον βέλτιστο διανυσματικό κβαντιστή πρέπει να ισχύουν οι εξής ιδιότητες»(1)g q =Q(g)=r i, αν και μόνο αν d(g,r i ) d(g,r j ), j i, 1 j L» (2) To r i πρέπει να είναι κεντροειδές, δηλαδή ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 33

34 Διανυσματικός κβαντισμός (4/4) Ο καθορισμός των r i μπορεί να γίνει με τον αλγόριθμο Κ-means 1. Επιλέγονται τυχαία M (Μ>>L) διανύσματα g i (διανύσματα εκπαίδευσης) 2. Από αυτά επιλέγονται L και θεωρούνται τα κεντροειδή διανύσματα. 3. Χρησιμοποιώντας το MSE D (MSE Distance) κατηγοριοποιούνται τα διανύσματα στις L υποπεριοχές (ιδιότητα 1 του βέλτιστου κβαντιστή) 4. Για κάθε υποπεριοχή υπολογίζονται τα νέα κεντροειδή - Όταν χρησιμοποιείται το MSE Distance τότε τα κεντροειδή υπολογίζονται από τον μέσο όρο των διανυσμάτων κάθε περιοχής 5. Επιστροφή στο Βήμα 3 χρησιμοποιώντας να νέα κεντροειδή αυτή η διαδικασία συνεχίζεται έως ότου τα κεντροειδή παραμείνουν τα ίδια (ή σχεδόν ίδια) ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 34