ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ Σ.Α.Ε. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 3

2 ) Αρχικό σήµα ( ) Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται ένα περιοδικό σήµα ( ), το οποίο έχει ληφθεί από µέτρηση. Πρόκειται για το ρεύµα που διαρρέει έναν ηλεκτρονικό λαµπτήρα εξοικονόµησης έργειας ισχύος W. Η καταγραφή του σήµατος έγινε µε χρήση ψηφιακού παλµογράφου και κατάλληλου σηµατολήπτη ρεύµατος ( curre prbe). ( ) Amp (sec) Το σήµα έχει καταγραφεί για µία περίοδο Τ. sec, άρα f / 5 Hz και ω π f 34.6 rd / sec. Έχουν ληφθεί στο χρονικό παράθυρο των. sec συνολικά Ν 4 δείγµατα. Παρότι το σήµα εδώ φαίνεται σαν συνεχές αν κάνουµε µια «µεγέθυνση» του σχήµατος µεταξύ των τιµών. sec και.6 sec ( µεταξύ των δύο κόκκινων γραµµών) θα φανούν τα δείγµατα του σήµατος ( βλ. παρακάτω σχήµα) ( ) Amp 5 5 sec (sec) Το διάστηµα δειγµατοληψίας όπως φαίνεται είναι / N. / sec.

3 3 ) Υπολογισµός αναπτύγµατος Furer του σήµατος µε αριθµητικό τρόπο Το σήµα ( ) το γνωρίζουµε από τα δείγµατά του δηλ. από ένα πίνακα τιµών. Παρακάτω παραθέτουµε ένα µικρό κοµµάτι του αρχείου µε τα δείγµατα του σήµατος. αριθµός δείγµατος (sec) ( ) ( Amp).E E-3 5.E E-3 3.E E-3 4.5E E-3 5.E E- 6.5E E E E E E- 9 4.E E-3 4.5E E-3 5.E E- 5.5E E- 3 6.E E E E- 5 7.E E E E- 7 8.E E E E- 9 9.E E- 9.5E E E E-.5E E- 3.E E- 4.5E E-3 5.E E-3. ( συνεχίζεται µέχρι. sec) Προφανώς δ διαθέτουµε αναλυτική περιγραφή του σήµατος. Αν θέλουµε να υπολογίσουµε το ανάπτυγµα Furer του σήµατος σε µορφή «Α» δηλ. να υπολογίσουµε τους συντελεστές: ( ) c + [ s ( ω ) + b cs ( ω ) ] c ( ) d, ( ) s ( ω ) d, b ( ) cs ( ω ) d

4 4 θα µπορούσαµε εδώ να κάνουµε υπολογισµό των παραπάνω ολοκληρωµάτων µε χρήση των απλών σχέσεων: N ( ) d ( ) c () N ( ) s ( ω ) d ( ) s ( ω ) () για,,. b N ( ) cs ( ω ) d ( ) cs ( ω ) (3) για,,. ηλαδή υπολογίζουµε προσεγγιστικά τα ολοκληρώµατα ως αθροίσµατα Remm χρησιµοποιώντας ένα σχετικά µεγάλο αριθµό σηµείων ( Ν 4 ) και µε 5 5 sec. Ο τρόπος αυτός,υπολογισµού των ολοκληρωµάτων, λέγεται αριθµητικός Παρουσιάζει διαφέρον ο υπολογισµός αυτός, καθώς και ο έλεγχος του αποτελέσµατος που θα προκύψει. Αρχικά υπολογίζουµε το c που είναι και η µέση τιµή του σήµατος. Παρατηρώντας το αρχικό σχήµα, φαίνεται ότι η µέση τιµή είναι ίση µε το µηδέν ( συµµετρία στο σήµα). Παρ όλα αυτά µια πιο προσεκτική παρατήρηση δείχνει µια ελαφρά µετατόπιση προς τις αρνητικές τιµές, άρα µια µικρή αρνητική τιµή του c. Πράγµατι ο αριθµητικός υπολογισµός δίνει: N 5 c ( ) Amp. Στη συνέχεια υπολογίζουµε τους συντελεστές πεπερασµένο αριθµό αρµονικών Ν h. Από τις τιµές των αντίστοιχες τιµές των c και b µέχρι, προφανώς, ένα και b ( µορφή «Α») µπορούµε εύκολα να βρούµε τις c και ϑ ( µορφή «Β»), από τους γνωστούς τύπους: + b και Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι τιµές των µεγεθών ϑ b, b,όπως υπολογίστηκαν από τις προσεγγιστικές σχέσεις (),() και (3) για τις 3 πρώτες αρµονικές δηλ για,,,,3. Κατόπιν στις δύο τελευταίες στήλες αναγράφονται οι τιµές των και c, ϑ όπως υπολογίζονται από τις τιµές των και b

5 5 τάξη αρµονικης συχνοτητα ϑ (Amp) (Amp) (Amp) (µοιρες) (Hz) b c -.989E E-.459E-.3E E E E E E-.7983E E-3.64E E E-.98E-.5E E-3.445E E E-.34E-.375E E-3.537E-3.637E E E-.38E E E-3.695E E- -.77E-.94E E E E E-.7743E-.67E E-3.57E E E-.34E-.474E E E-4.635E E E-.94E E E E E- -.87E-.E E E E E-.5539E-.6E E-3.63E-3.485E E-.676E-.868E E E E E E-.666E E-4 -.8E-3.577E E- -.6E-.74E E E-4.565E E-.3436E-.683E E-3 -.5E E Με βάση τα δεδοµένα του παραπάνω πίνακα το σήµα ρεύµατος ( ) µπορεί να γραφεί σε ανάπτυγµα Furer, Μορφής «Β» ως εξής: ( ) s ( π ) s ( π ) s ( 3 π ) s ( 4 π ) s ( 5 π ) s ( 6 π ) +....

6 6 Παρατηρώντας τα πλάτη των αρµονικών βλέπουµε ότι οι άρτιες αρµονικές (, 4, 6 ) έχουν πλάτη τάξεις µεγέθους µικρότερα από τα πλάτη των περιττών αρµονικών (, 3, 5 ). Αυτό ουσιαστικά σηµαίνει ότι το σήµα έχει, κύρια, περιττές αρµονικές. Στο παρακάτω σχήµα έχει σχεδιαστεί το φάσµα πλάτους του σήµατος. Στον οριζόντιο άξονα έχουµε την συχνότητα f σε Hz. Επειδή, στο διάγραµµα, φθάνουµε µέχρι τα 5 Ηz, αυτό σηµαίνει ότι φθάνουµε µέχρι την η αρµονική, διότι η η αρµονική έχει συχνότητα f / 5 Hz. Παρατηρείστε ότι οι περιττές αρµονικές έχουν πολύ µεγαλύτερες τιµές από τις άρτιες. Παρατηρείστε επίσης στο διάγραµµα, ότι, όπως προαναφέρθηκε η µέση τιµή c έχει αρνητική τιµή. c ( Amp) f ( Hz) Φάσµα πλάτους του σήµατος ( )

7 3) Αναπαραγωγή του σήµατος ( ) από τις αρµονικές του Παρουσιάζει µεγάλο διαφέρον η ακόλουθη διαδικασία: 7 Εφ όσον διαθέτουµε τα αναπτύγµατα Furer του σήµατος, µε αριθµητικό υπολογισµό των συντελεστών, b, c, ϑ, να κάνουµε αναπαραγωγή του σήµατος ( ) από τις αρµονικές του χρησιµοποιώντας, βέβαια, ένα πεπερασµένο αριθµό αρµονικών. Παρακάτω ακολουθούν παραδείγµατα: αρχικο σηµα ( ) αναπαραγωγ η σηµατος µε 5 αρµονικες ( ) ( ) ( Amp) ( sec) Στο ανωτέρω σχήµα φαίνεται µε µαύρο χρώµα το αρχικό σήµα ( ) και µε µπλέ χρώµα η αναπαραγωγή του σήµατος από το ανάπτυγµα Furer χρησιµοποιώντας τις 5 πρώτες αρµονικές, δηλ για έως 5. Υπάρχει µια αρκετά σηµαντική διαφορά αλλά ας µην ξεχνάµε ότι χρησιµοποιήθηκε πολύ µικρός αριθµός αρµονικών

8 8 αρχικο σηµα ( ) αναπαραγωγ η µε αρµονικες σηµατος ( ) ( ) ( Amp) ( sec) Στο ανωτέρω σχήµα φαίνεται µε µαύρο χρώµα το αρχικό σήµα ( ) και µε µπλέ χρώµα η αναπαραγωγή του σήµατος από το ανάπτυγµα Furer χρησιµοποιώντας τις πρώτες αρµονικές, δηλ για έως. ιαπιστώνεται σαφής βελτίωση της ακρίβειας αρχικο σηµα ( ) αναπαραγωγ η µε αρµονικες σηµατος ( ) ( ) ( Amp) ( sec) Στο ανωτέρω σχήµα φαίνεται µε µαύρο χρώµα το αρχικό σήµα ( ) και µε µπλέ χρώµα η αναπαραγωγή του σήµατος από το ανάπτυγµα Furer χρησιµοποιώντας τις πρώτες αρµονικές, δηλ για έως. Εδώ έχουµε πλήρη ταύτιση των δύο σηµάτων και για τον λόγο αυτό δ φαίνεται καθόλου,επικαλύπτεται πλήρως, το αρχικό σήµα ( µαύρη γραµµή).

9 4 ) Υπολογισµοί παραµέτρων του σήµατος 9 Είδαµε λοιπόν στην προηγούµη παράγραφο ότι, αν χρησιµοποιήσουµε, ένα σχετικά µεγάλο αριθµό αρµονικών ( N h ) µπορούµε να πετύχουµε άριστη περιγραφή του σήµατος. Ας δούµε τώρα πως µπορούµε να υπολογίσουµε διάφορες παραµέτρους του σήµατος. α) Ενεργός τιµή Υπολογίζεται από την γνωστή σχέση: ( ) d Επειδή, όπως προαναφέρθηκε, δ διαθέτουµε αναλυτική περιγραφή του σήµατος αλλά έναν πίνακα τιµών αυτού, θα γίνει προσεγγιστικός αριθµητικός υπολογισµός του ολοκληρώµατος µε χρήση της παρακάτω απλής σχέσης: N ( ) όπου Τ. sec, N 4, 5 5 sec, και οι τιµές ( ) δίνονται από πίνακα το αποτέλεσµα που θα πάρουµε είναι: Amp Μπορούµε αλλακτικά να κάνουµε χρήση του τύπου του Prsevl για τον υπολογισµό της εργού τιµής : c c, Prsevl c όπου βέβαια, σε πρακτικό υπολογισµό, το άθροισµα κάπου πρέπει να σταµατήσει. Στην περίπτωσή µας επειδή διαθέτουµε τιµές των συντελεστών c για τις πρώτες αρµονικές, µπορούµε να υπολογίσουµε αυτό το άθροισµα ακριβώς µε αυτές τις τιµές. Το αποτέλεσµα θα είναι:, Prsevl c + c.8757 Amp Παρατηρείται εξαιρετική συµφωνία µεταξύ των δύο τιµών και, Prsevl

10 β) Υπόλοιπο αρµονικών R Το υπόλοιπο αρµονικών R µπορεί να υπολογιστεί από την σχέση: R c θέτοντας:.85365, c και c.3 θα πάρουµε: c R.7986 Amp γ) Ολική αρµονική παραµόρφωση (HD %) Έχουµε την σχέση ορισµού: R HD (%) c / µε αντικατάσταση τιµών θα πάρουµε: % HD ( % ) 9.65 % τιµή πολύ µεγάλη, διότι η µορφή του σήµατος ( παλµική µορφή) απέχει πολύ από αυτήν ός καθαρού ηµιτόνου