3.3. T E H N O L O G I A P C R
|
|
- Κήυξ Ζάρκος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Genetica microorganismelor şi inginerie genetică microbiană 3.3. T E H N O L O G I A P C R Definire. Generalităţi. Reacţia (Polymerase Chain Reaction = Reacţie de Polimerizare în Lanţ) este o metodă de amplificare enzimatică in vitro a unei anumite secvenţe de ADN. În prezent a fost dezvoltată o adevarată tehnologie care este folosită într-o varietate foarte mare de domenii: biologie moleculară, ştiinţele mediului, criminalistică, ştiinţe medicale, biotehnologie, microbiologie, industria alimentară, epidemiologie etc. Din punct de vedere chimic, reacţia este constituită din cicluri succesive de replicare ADN in vitro, folosind 2 primeri oligonucleotidici ce hibridizează cu cele 2 catene ale secvenţei originale (folosită ca matriţă în replicare). Diferenţa esenţială între o asemenea reacţie de replicare şi un proces de replicare ADN in vivo, îl reprezintă faptul că în reacţia etapa de desfacere a dublului helix matriţă şi, respectiv, cea de ataşare a primerilor, nu sunt realizate enzimatic, ci prin parcurgerea unor trepte de temperatură, iar singura enzimă folosită în reacţie este o ADN polimerază ADN-dependentă (cu funcţie de replicază). Principalele 3 etape ale unei reacţii pot fi sintetizate astfel : ADN d.c. matriţă ADN m.c. ataşarea primerilor polimerizare ADN polimerază ADN dependentă termostabilă 2 molecule ADN d.c. identice cu molecula matriţă Principalele componente ale reacţiei sunt : ADN matriţă, o ADN polimerază termostabilă, primeri oligonucleotidici, deoxinucleotidtrifosfati (dntp), tamponul de reacţie, ioni de Mg ++. O reacţie este formată din n cicluri (între 25 şi 40), în fiecare ciclu fiind parcurse 3 etape principale: denaturarea termică a matriţei (deci, desfacerea dublului helix ADN), ataşarea primerilor şi polimerizarea propriu-zisă. La terminarea unui ciclu de replicare in vitro (de amplificare), cantitatea de ADN rezultată este dublă faţă de matriţă. Mai mult, produsele rezultate într-un ciclu sunt folosite ca matriţă în ciclul urmator, astfel încât numărul final de copii ADN este de 2 n x y, unde y = numărul iniţial de copii, iar n = numărul de cicluri de replicare. Este de subliniat faptul că moleculele acumulate exponenţial reprezintă copii ale matriţei care la capete au incorporaţi primerii. In concluzie, reacţia este o metodă prin care se obţin cantităţi mari dintr-o anumită secvenţă ADN. Aceste molecule pot fi ulterior manipulate/analizate fără a fi necesară o prealabila clonare moleculară a acestora. Prima raportare în literatura de specialitate a unui experiment de amplificare in vitro a unei secvenţe ADN prin a fost realizată de Kary Mullis în Ulterior, metoda a fost aplicată de către un grup de cercetători de la Departamentul de Genetică Umană de la Cetus Corporation (SUA) pentru amplificarea secvenţei de ADN ce codifică -globina umană şi pentru diagnosticul prenatal al anemiei falciforme. Initial, reacţia folosea ca replicază fragmentul mare (Klenow) al ADN polimerazei I de la Escherichia coli. Această enzimă era însa inactivată de temperaturile ridicate necesare etapei de denaturare a matritei. Ca urmare, la fiecare ciclu de replicare trebuia adaugată enzimă proaspătă. Ulterior, a fost descoperită şi introdusă în reacţia o ADN polimerază termostabilă izolata iniţial dintr-o tulpină de Thermus aquaticus (bacterie termofilă izolată din izvoarele termale Yellow Spring din SUA). Un alt pas important în dezvoltarea tehnologiei a fost procesul de automatizare care a condus la producerea în prezent a unor aparate ce desfaşoară singure întreg procesul de, parcurgând toate treptele de temperatură în n cicluri. Componentele reacţiei a) Matriţa ADN. De cele mai multe ori, într-o reacţie se introduc molecule de ADN d.c. linear/circular ce include secvenţa de amplificat. Puritatea ADN introdus ca matriţă reprezintă un parametru important pentru succesul unei reacţii. De exemplu, cantităţi mari de ARN dintr-un extract ADN pot chelata ionii de Mg++, determinând astfel o activitate scăzută a ADN polimerazei. Pe de altă parte, o serie de contaminanţi din extractul ADN pot inhiba acţiunea ADN polimerazei. 1
2 Cap. 3-2 Tehnologia Cantitatea de matriţă ADN introdusă într-o reacţie influenţează puternic performanţa reacţiei. Cantităţile recomandate pentru o reacţie standard sunt: maximum 500 ng pentru ADN genomic uman, 1-10 ng ADN bacterian, ng ADN plasmidial. Cantitatea ADN trebuie însă corelată cu numărul de copii de secvenţă matriţă, aceasta depinzând de complexitatea moleculelor de ADN. Astfel, pentru un plasmid de 4 kbp din care trebuie amplificată o secvenţă de 1 kbp, secvenţa matriţă reprezinta 25% din ADN introdus în reacţie. In timp ce, o secvenţă tot de 1 kbp, dar dintr-un ADN genomic uman (specia umană având un genom de aproximativ 3.3 x 10 9 bp), reprezintă doar % din ADN introdus în reacţie. Ca urmare, pentru a avea acelaşi număr de secvenţe matriţă, trebuie introdusă o cantitate de aproximativ 1 milion de ori mai mare în cazul ADN genomic uman. Ca recomandare generală, se porneşte cu un minimum de 10 4 copii de secvenţă matriţă pentru a obtine un semnal într-o reacţie de cicluri, având însă grijă ca, concentraţia finală de ADN în amestecul de reacţie să fie mai mică sau egală cu 10 ng/μl. Conversia acizilor nucleici din microgram în numar de molecule Cantitate Acid nucleic Număr de molecule 1 μg 1 kbp ARN 1.80 x μg 1 kbp ADN d.c x μg Vectorul pgem 3/4 Z 2.85 x μg ADN de fag λ 1.90 x μg ADN genomic E.coli 2.00 x μg ADN genomic uman 3.04 x 10 5 b) primerii oligonucleotidici. In general, dimensiunea primerilor folosiţi în reacţiile este cuprinsă între 15 şi 30 bp şi, de obicei, sunt complementari cu capetele 5 şi, respectiv, 3 ale regiunii ce urmează a fi amplificată. Se recomandă ca primerii să aibă un procent molar de guanină + citozină (% mol GC) cuprins între 40 60% şi să aibă o distribuţie echilibrată a domeniilor bogate în A/T şi G/C. Este recomandabil ca cei 2 primeri să aibă valori Tm care să permită temperaturi de ataşare între 55 şi 65 o C (pentru specificitate maximă se folosesc temperaturi de o C). Pe de altă parte, este ideal ca cei 2 primeri să aibă valori Tm identice sau foarte apropiate şi să nu prezinte secvenţe cu complementaritate intracatenară (şi care, deci, să determine structuri secundare interne). Totodată, pentru a se evita dimerizarea primerilor, este necesar ca primerii să nu fie complementari unul cu celalalt. In general, concentraţiile optime ale primerilor într-o reacţie sunt cuprinse între 0.1 şi 0.6 μm. Intr-o reacţie, un parametru important îl repezintă temperatura de ataşare a primerilor la matriţa ADN ( primer annealing temperature ). Astfel, în cazul primerilor cu valori ridicate de Tm poate fi crescută temperatura de ataşare a primerilor. Acest lucru conduce la minimizarea ataşărilor nespecifice, la reducerea cantităţii de dimeri de primeri, precum şi la creşterea cantităţii de produs corect. Pentru a determina valorile Tm ale acizilor nucleici există numeroase formule. Pentru determinarea acurată a valorilor Tm ale primerilor, se recomandă efectuarea reacţiei la diverse temperaturi de ataşare, pornind de la o temperatură cu 5 o C mai mică decât valoarea Tm calculată. Formula de mai jos poate fi folosită pentru a estima temperatura de topire pentru orice oligonucleotid: Tm = x (log 10 [Na + ]) x (%G+C) 675/n Unde [Na + ] reprezintă concentraţia salină molară ([K + ] = [Na + ]) şi n = numărul de baze din oligonucleotid De exemplu, pentru calcularea Tm a unui oligonucleotid 22mer (format din 22 de nucleotide) cu 60% G + C în 50 mm KCl: Tm = x (log 10 [0.05]) x (60) 675/22 = o C c) ADN polimeraza termostabilă In prezent în toate reacţiile de tip se introduc ADN polimeraze termostabile. Variantele naturale ale unor asemnea enzime au fost izolate din microorganisme termofile, care posedă echipamente enzimatice cu temperaturi optime ridicate (mai mari de 70 o C) şi care sunt capabile să desfăşoare activităţile specifice şi după treceri peste temperaturi extreme (în jur de 100 o C). In marea majoritate a cazurilor, pornind de la asemenea variante naturale, ADN polimeraze termostabile au fost manipulate genetic (cu obţinerea unor variante ameliorate) şi clonate în tulpini de E.coli (microorganism ce este mult mai uşor de crescut şi manipulat decât bacteriile termofile). In majoritatea experimentelor, cantitatea optimă de ADN polimerază termostabilă (sau de amestec de ADN polimeraze) este cuprină între 0.5 şi 0.25 U / 50 μl volum de reacţie. Tipuri de ADN polimeraze ADN dependente termostabile a) ADN polimeraze ADN dependente termostabile din clasa Taq 1) ADN polimeraza Taq 2
3 Genetica microorganismelor şi inginerie genetică microbiană Dezvoltarea foarte mare a tehnologiei, precum şi a aplicaţiilor sale se datorează în bună masură, înlocuirii în asemenea tehnici, a fragmentului Klenow-ADN pol I izolat din E.coli cu o ADN polimerază termostabilă izolată din Thermus aquaticus şi denumită Taq pol. Prima specie moleculară de Taq pol izolată (în anii ) avea o greutate moleculară de aproximativ 70 KDa şi o activitate specifică de 2000 unităţi/mg. Ulterior (în 1989), a fost izolată o altă specie moleculară de Taq pol, cu o greutate moleculară de 94 KDa şi cu o activitate specifică de unităţi/mg. Această enzimă are temperatura optimă de o C, iar la temperaturi de peste 90 o C activitatea sa scade semnificativ. La temperatura optimă, o moleculă din această enzimă polimerizează aproximativ 150 nucleotide/sec. In afară de activitatea de polimerizare (în direcţia 5-3 ), această specie moleculară de ADN polimerază, mai are şi activitate exonucleazică în aceeaşi direcţie cu cea de polimerizare (5-3 ). Nu are însă activitate exonucleazică în direcţie inversă polimerizarii (3-5 - activitate enzimatică ce asigură funcţia de citire şi incorporare corectă a nucleotidtrifosfaţilor - proofreading), astfel încât fidelitatea incorporării depinde strict de concentraţia dntp în amestecul de reacţie. Analizele moleculare au demonstrat ca Taq pol prezintă similaritate de secvenţă a aminoacizilor cu ADN polimeraza I din E.coli, mai ales în treimea dinspre capătul amino-terminal, domeniu care la E.coli ADN pol I este responsabil de activitatea exonucleazică 5-3. Taq pol permite realizarea de reacţii în 3 trepte de temperatură (Fig3.31), în care denaturarea moleculelor de ADN d.c. se realizează la o C, ataşarea primerilor la o C, iar polimerizarea la o C. 2) ADN polimeraza Ampli-Taq. Această enzimă este o ADN polimerază recombinantă obţinută prin exprimarea unei forme modificate a genei pentru Taq pol în E.coli. Activitatea optimă a acestei enzime se desfăşoară în range-ul de temperatura la care are loc şi ataşarea stringentă a primerilor (55-75 o C, cu maximumul la 60 o C). Ca urmare, folosirea acestei enzime simplifică reacţia de la 3 trepte de temperatură la 2 trepte (Fig 3.32): 95 o C temperatura la care se realizează denaturarea ADN d.c., 60 o C ataşarea primerilor şi polimerizarea. Pe de alta parte, Ampli-Taq pol are o stabilitate mult mai mare la temperaturi de peste 90 o C, faţă de Taq pol, a cărui activitate enzimatică scade semnificativ cu fiecare trecere peste 90 o C. In plus, Ampli-Taq pol are şi activitate exonucleazică în direcţie 3-5, ceea ce determină ca această enzimă să prezinte o mult mai mare specificitate de citire şi de incorporare. 3) ADN polimeraza Ampli-Taq fragmentul Stoffel este reprezentat de Ampli-Taq din care a fost scos un fragment de 290 aminoacizi de la capul N-terminal. Fragmentul excizat este responsabil de activitatea exonucleazica în directie 5 3, şi deci, Stoffel-Ampli-Taq nu prezintă acest tip de activitate, ceea ce, pe de o parte, creşte mult viteza de polimerizare, iar pe de altă parte permite o amplificare mai eficientă a matriţelor circulare (de ex. ADN plasmidial). Este de 2 ori mai termostabilă decat Ampli-Taq şi îşi păstrează activitatea optimă într-un range mult mai larg de concentraţii de Mg ++. b) ADN polimeraze ADN dependente termostabile din clasa VENT 1) ADN polimeraza VENT pol este o ADN polimerază ADN dependentă termostabilă izolată din Thermococcus litoralis. Această bacterie trăieşte în izvoare marine calde, cunoscute în literatura de specialitate sub denumirea de vent-uri. VENT pol desfăşoară ambele tipuri de activităţi exonucleazice(în direţie 3-5 şi, respectiv, în direcţie 5-3 ). 2) ADN polimeraza VENT pol (exo-) este similară cu VENT pol, dar nu are activitate exonucleazică 5 3. c) ADN polimeraze ADN dependente termostabile din clasa DEEP VENT 1) ADN polimeraza DEEP VENT pol este o enzimă izolată dintr-o tulpină de Pyrococcus (microorganism ce trăieşte în izvoare marine calde de mare adâncime). Această enzimă desfăşoară ambele tipuri de activităţi exonucleazice, dar este mai rezistentă decât VENT pol, şi decât Ampli-Taq pol la temperaturi de 100 o C - temperaturi necesare denaturării matriţelor (în mod special la matriţele circulare, lungi sau cu % mol GC ridicat). 2) DEEP VENT (exo-) pol este similară cu DEEP VENT pol, dar nu are activitate exonucleazică 5 3. d) ADN polimeraze ambivalente termostabile 1) ADN polimeraza rtth pol este o ADN polimerază recombinată obţinută prin exprimarea unei forme modificate a genei din Thermus thermophilus, în E.coli. Caracterul ambivalent al acestei enzime constă în faptul că poate fi folosită ca ADN polimerază ARN dependentă (revers-transcriptază), în prezenţa MnCl 2, după care, prin chelatarea ionilor de Mn şi adăugare de MgCl 2, poate acţiona ca ADN polimerază ADN dependentă, desfăşurând o reacţie. In afară de asemenea enzime tipic ambivalente, este de menţionat faptul că şi alte ADN polimeraze (Taq, Ampli-Taq, Stoffel) prezintă şi activitate revers-transcriptazică, dar foarte slabă. In ceea ce priveşte concentraţia de enzima polimerizatoare, aceasta depinde de tipul de enzimă folosita. Pentru ADN polimeraza Taq pol sunt suficiente 1.25 U într-un volum de reacţie de 50 μl (pentru multe aplicaţii va fi chiar într-un oarecare exces). Cantităţi crescute de enzimă sau timpi 3
4 Cap. 3-2 Tehnologia prelungiţi de polimerizare nu vor creşte semnificativ produsul de reacţie, ci vor genera artefacte datorate activităţii exonucleazice 5 3 a ADN polimerazei Taq pol (în gelul de verificare vor apărea ca nişte benzi mânjite ). Un alt parametru important al reacţiei este temperatura la care are loc reacţia de polimerizare ( extension temperature ). Această temperatură este determinată de tipul de ADN polimerază folosită, în general recomandându-se menţinerea timpului de 1 minut pentru fiecare kbp de amplificat. Ca număr de cicluri, pentru marea majoritate a reacţiilor sunt suficiente de cicluri. Un alt aspect important în manipulările genetice ulterioare ale unui produs de reacţie îl reprezintă tipul de capete pe care îl generează ADN polimeraza respectivă. Astfel, ADN polimeraza Taq pol generează capete coezive cu prelungiri 3 -A. In timp ce majoritatea enzimelor ce prezintă activitate exonucleazică 3 5 generează capete netede. - denaturarea termica a matritei o C ADN matrita: o molecula de ADN d.c. M a tr i\ ` denaturat` - atasarea primerilor o C - reactia de polimerizare pornind de la primeri o C ADN polimeraza ADN polimeraza - al 2-lea ciclu de amplificare Produsul unui ciclu de amplificare: doua molecule de ADN d.c. 4 molecule ADN d.c. - n cicluri de amplificare Fig Reacţia în 3 trepte de temperatura 4
5 Genetica microorganismelor şi inginerie genetică microbiană - denaturarea termica a matritei o C ADN matrita: o molecula de ADN d.c. Matrita denaturata - atasarea primerilor - reactia de polimerizare pornind de la primeri o C ADN polimeraza ADN polimeraza - al 2-lea ciclu de amplificare Produsul unui ciclu de amplificare: doua molecule de ADN d.c. 4 molecule ADN d.c. - n cicluri de amplificare n 2 molecule ADN d.c. Fig Reacţia în 2 trepte de temperatură Stabilitate la 95- Activitate exonucleazică Activitate exonucleazică Nr.trepte de temperatură Microorganism T o C Tipul de ADN de origine optimă polimerază 100 o C Klenow-ADN pol I E.coli 37 + Taq pol Thermus aquaticus Ampli-Taq ADN pol Stoffel-Ampli-Taq pol Vent pol Thermococcus litoralis Vent pol (exo - ) Deep Vent pol Deep Vent pol (exo-) Pfu pol Pyrrococcus furiosus RTth pol 2 d) dntp (deoxinucleotidtrifosfaţi = datp, dgtp, dctp, dttp). Deoxinucleotidtrifosfaţii introduşi în reacţie sunt folosiţi de către ADN polimerază în reacţia de polimerizare. In amestecul de reacţie se introduc cantităţi echimolare din cele 4 tipuri de molecule; în caz contrar scade fidelitatea ADN polimerazei. Concentraţia optimă a dntp variază între 50 şi 500 μm (pentru fiecare dntp), valoarea cea mai uzuală fiind 200 μm. Această concentraţie trebuie corelată cu concentraţia Mg ++. In cazul în care se doreşte obţinerea unor produşi de reacţie marcaţi (radiactiv sau neradioactiv), se introduc dntp marcate. 5
6 Cap. 3-2 Tehnologia e) tamponul de reacţie (contine Tris-hidroxi-aminometan - ca substanţă amfoter -, şi MgCl 2, necesar funcţionării optime a ADN polimerazei termostabile). Există şi variante în care tamponul de reacţie nu conţine Mg ++, iar acesta este livrat separat, permiţând optimizarea concentraţiei ionilor de Mg ++. Ionii Mg ++ formează complexe solubile cu moleculele dntp pentru a produce substratul propiu-zis recunoscut de ADN polimerază. Concentraţia ionilor de Mg ++ este un factor crucial ce afectează performanţa oricărei ADN polimeraze. Astfel, o serie de componente ale reacţiei de (matriţa ADN, agenţi chelatori prezenţi în proba de ADN cum sunt de exemplu EDTA sau citraţii - sau diverse tipuri de proteine) pot scădea cantitatea ionilor liberi de Mg ++, ceea ce conduce la o activitate slabă sau chiar inactivitate a Taq polimerazei. Pe de altă parte, excesul ionilor de Mg ++ reduce fidelitatea enzimei şi poate conduce la creşterea amplificărilor nespecifice. Concentraţia optimă de MgCl 2 variază între 1 şi 5 mm, valoarea cea mai frecvent folosită fiind 1.5 mm (cu dntp la concentraţia de 200 μm fiecare). Mg ++ influenţează activitatea enzimei şi creşte valoarea Tm a ADN d.c. Excesul ionilor de Mg ++ într-o reacţie poate creşte ataşările nespecifice ale primerilor. Din aceste motive este necesar a determina concentraţia optimă de MgCl 2 pentru fiecare reacţie. Acest lucru poate fi realizat prin prepararea unei serii de reacţii ce conţin diverse concentraţii de Mg ++, între 1.5 şi 3.0 mm Mg ++ (cu incremente de 0.5 mm), prin adăugarea a 3, 4, 5 şi, respectiv, 6 μl dintr-o soluţie stoc de 25 mm MgCl 2 la amestecuri de reacţie de 50 μl. Este important de reţinut că în acest caz trebuie folosit un tampon de reacţie ce nu conţine MgCl 2. Nota: Inainte de folosire, soluţiile ce conţin Mg ++ trebuie dezgheţate complet şi vortexate câteva secunde pentru că atunci când sunt îngheţate soluţiile de MgCl 2 tind să formeze gradienţi de concentraţie. Dupa amestecarea tuturor componentelor unei reacţii se adaugă un strat de ulei mineral pentru a preveni evaporarea în timpul reacţiei. Dacă termocycler-ul este prevăzut cu un capac cu încălzitor, nu este necesar stratul de ulei mineral. Treptele de temperatură ale unei racţii standard Denaturarea iniţială Pentru ca oreacţie să se desfăşoare eficient, este foarte important ca moleculele ADN matriţă să fie denaturate iniţial complet. Acest lucru poate fi realizat prin încălzirea iniţială ă amestecului de reacţie 2 min la o C. Treapta de denaturare din cadrul fiecărui ciclu De obicei, este suficientă o denaturare de sec la o C, dar aceasta trebuie adaptată funcţie de termocycler şi de tuburile folosite (de ex., dacă se lucrează în tuburi de 500 μl sunt necesari timpi mai lungi decât dacă se lucrează în tuburi de 200 μl). Totodată, pentru matriţe bogate în GC se recomandă folosirea unor timpi de denaturare mai lungi. Ataşarea primerilor In marea majoritate a experimentelor, temperatura de ataşare a primerilor trebuie determinată şi optimizată empiric. Alegerea acestei temperaturi reprezintă unul din factorii cei mai critici pentru asigurarea unei înalte specifictăţi a reacţiei. Dacă temperatura de ataşare este mult prea înaltă, nu are loc ataşarea primerilor, iar dacă temperatura este prea scăzută, atunci creşte probabilitatea ataşărilor nespecifice. Polimerizarea propriu-zisă Taq ADN pol polimerizează aproximativ 60 baze per secundă la 72 o C. In fiecare ciclu, o perioadă de polimerizare de 45s este suficientă pentru amplificarea unor fragmente de până la 1 kbp. Pentru amplificarea unor fragmente mai mari de 1 kbp, timpul se calculează în multiplii de 45s, urmat de ajustări pentru diverse matriţe. Pentru a obţine o cantitate cât mai mare de amplicon, se poate varia timpul de polimerizare, astfel: pentru primele 10 cicluri se foloseşte un timp constant de polimerizare (de ex. 45s pentru 1 kbp), iar pentru următoarele 20 de cicluri se creşte timpul de polimerizare cu 2-5s per ciclu (de ex. 50s pentru ciclul 11, 55s pentru ciclul 12 etc). O asemenea mărire progresivă a timpului de polimerizare oferă enzimei mai mult timp pentru polimerizare, pentru că pe măsură ce reacţia avansează, în amestecul de reacţie se găseşte din ce în ce mai multă matriţă şi din ce în ce mai puţină enzimă activă (randamentul enzimei scade datorită expunerii prelungite la temperaturi înalte). Numărul de cicluri Intr-o reacţie obişnuită, mai puţin de 10 molecule de matriţă pot fi amplificate în mai puţin de 40 de cicluri, obţinându-se un produs (amplicon) detectabil în electroforeză în gel de agaroză. La o creştere mult prea mare a numărului de cicluri, se pot acumula produşi de reacţie nespecifici. 6
7 Genetica microorganismelor şi inginerie genetică microbiană Polimerizarea (extensia) finală In multe reacţii, după ultimul ciclu de amplificare, tuburile de reacţie se tin 5-15 min la 72 o C pentru a realiza polimerizarea completă a produşilor parţiali, precum şi renaturarea moleculelor monocatenare. Platoul amplificării O reacţie de amplificare ADN in vitro nu este infinită: după un anumit număr de cicluri, secvenţa amplificată nu se mai acumulează exponenţial, iar reacţia intră într-o fază lineară (staţionară) denumită platoul amplificării. In laboratorul nostru efectuăm reacţiile cu ajutorul unui kit Promega Core System II (cu Taq polymerase) pentru care producătorii recomandă următoarele volume de reacţie şi concentraţii finale pentru reacţia de control : Component Volum Concentraţie finală Soluţie MgCl 2 25 mm 3 μl 1.5 mm Tampon 10X fără MgCl 2 5 μl 1 X Amestec dntp 10mM 1 μl 0.2 mm Upstream control primer 15μM * 3.3 μl 1 μm Downstrean control primer 15μM * 3.3 μl 1 μm ADN polimeraza Taq 5U/μl 0.25 μl 1.25 U / 50 μl Plasmid - control pozitiv 1ng/μl * 1 μl <1ng / 50 μl Apa nuclease-free Până la volum total de 50 μl * Kitul Promega Core System II conţine (ca, de altfel, toate kiturile de comercializate) şi un sistem de control pozitiv constitutit dintr-un ADN matriţă plasmidială şi 2 primeri specifici pentru acesta. Acest sistem permite verificarea calităţii celorlalte componente ale reacţiei: ADN polimerază, tamponul, soluţia de MgCl 2, amestecul de dntp. Volumele şi concentraţiile listate în acest tabel sunt valabile pentru sistemul de control pozitiv. Pentru diverse probe este necesară încercarea a mai multor variante de reacţie. Este evident că cei 2 primeri sunt utili numai pentru matriţa plasmidială de control. In laboratorul nostru s-a folosit o schemă similară celei prezentate mai sus: Component Volum Concentraţie finală Tampon 10X cu 15mM MgCl 2 5 μl 1X cu 1.5 mm MgCl 2 Amestec dntp 10mM 1 μl 0.2 mm Upstream control primer 15μM * 2 μl 0.6 μm Downstrean control primer 15 μm * 2 μl 0.6 μm ADN polimeraza Taq 5U/μl 0.3 μl 1.5 U / 50 μl Plasmid - control pozitiv 1ng/μl * 1 μl <1ng / 50 μl Apa nuclease-free 38.7 μl Componentele reacţiei (cu excepţia matriţei) au fost amestecate într-un tub Eppendorf de 0.5 ml cu pereţi subţiri (pentru a se realiza mai rapid transferul de temperatură). Intr-un alt tub a fost pus 1.25 μl ADN matriţă (plasmid de control pozitiv 1ng/μl). Tubul a fost introdus în termocycler unde a fost denaturat 6 min la 95 o C. Apoi, din matriţa denaturată a fost adăugat 1 μl în amestecul de reacţie. Tubul a fost apoi vortexat şi centrifugat 30 sec. In final, tubul a fost introdus în termocycler, iar acesta a fost programat pentru : 25 cicluri formate din: 95 o C 1 min : denaturare 50 o C 1 min : ataşare primeri 72 o C 2 min : polimerizare elongare finală 7 min la 72 o C Dupa terminarea reacţiei, ca de altfel, în foarte multe alte situaţii, înainte de a analiza sau manipula ampliconul, este necesară efectuarea unei electroforeze în gel de agaroză pentru verificarea reacţiei. In funcţie de dimensiunea moleculei amplificate se prepară un gel de agaroză de diverse concentraţii. Totodată, pentru verificarea dimensiunii moleculare a ampliconului este necesară folosirea unui marker de greutate moleculară. Pentru ampliconul de control din kitul Promega Core System II (323 bp) se recomandă folosirea unui gel de agaroză de concentraţie 2%, preparat în tampon TBE 1X, iar tamponul de electroforeză să fie TBE 0.5X (în general, pentru fragmente de ADN d.c. linear de dimensiuni relativ mici se recomandă TBE 0.5X ca tampon de electroforeză). 7
8 Cap. 3-2 Tehnologia Nr. λ-adn / EcoRI, λ-adn / BstEII fragmente HindIII Sigma marker bp bp bp Fig Electroforeza în gel de agaroză 2%, TBE 0.5X a ampliconului de control din kitul Promega Core System II (ampliconul a fost obţinut în condiţiile de reacţie menţionate mai sus). Godeuri: 1- λ-adn / BstEII; 2- Ampliconul de control (25 μl); 3- Sigma marker; 4- λ- ADN / EcoRI, HindIII. In laboratorul nostru se realizează un studiu privind frecvenţa alelelor STR in diverse segmente din populaţia Romaniei. Locii STR (Short Tandem Repeat) constau în secvenţe repetitive scurte, de 3-7 bp. Aceste repetiţii sunt abundente în genomul uman şi sunt localizate în diverse gene (de ex. genele pentru lipoproteinlipază, tirozinhidroxilază, tiroidperoxidază, factorul XIII de coagulare etc). Pentru fiecare din aceste gene se manifestă un polimorfism al locilor STR (distingându-se astfel diverse alele), polimorfism dat de prezenţa / absenţa secvenţelor repetitive şi, respectiv, de numărul acestor secvenţe. Folosirea STR ca markeri polimorfici este utilă in diferenţierea populaţiilor umane. Cea mai facilă metodă de detectare a acestor secvenţe foloseşte reacţia. Cu ajutorul kiturilor Promega, se realizează următourl amestec de reacţie : Componentele reacţiei Volum (μl) Apa nuclease-free 18.5 Tampon 10X pentru STR * 2.5 Pereche de primeri specifici pentru locusul analizat 10X 2.5 Taq ADN pol 0.5U/μl 0.5 ADN genomic uman ** 1 * Tampon 10X pentru STR: 500 mm KCl, 100 mm Tris.HCl, 15 mm MgCl2, 1% Triton X100, 2mM din fiecare dntp ** Acest protocol poate fi folosit utilizând cantităţi foarte mici de ADN (1-5 ng) Dupa amestecarea tuturor componentelor reacţiei se adaugă o picătură de ulei mineral. Condiţiile de amplificare: Denaturare iniţială - 2 min la 96 o C Amplificare 30 cicluri : 1min la 94 o C 1 min la 60 o C 1.5 min la 70 o C Variante tehnice şi aplicatii ale tehnologiei Marele avantaj al tehnicilor îl reprezintă faptul că permite obţinerea unei cantităţi mari dintr-o anumită secvenţă ADN, fără a necesita clonarea acesteia în prealabil într-o moleculă de tip vector. Pe de altă parte, tehnologia a revoluţionat şi implicarea geneticii moleculare în domenii în care se apelează la cantităţi foarte mici de ADN. Asemenea situaţii se întâlnesc în : - diagnosticul unor boli monogenice, precum şi detectarea de noi tipuri de mutaţii în gene importante în anumite boli; - diagnosticul unor infecţii umane: permite detectarea particulelor infecţioase bacteriene şi virale chiar aflate într-o proporţie mică, chiar pentru specii ce se cultivă dificil in vitro, chiar pentru patogeni cu variabilitate antigenică mare, şi chiar pentru patogeni ce au perioadă mare de latenţă; astfel, pot fi identificaţi indivizii umani pozitivi înainte de seroconversie; - studii privind mecanismele genetice ce acompaniază procesele maligne (detectarea secvenţei şi ţesutului în care se exprimă anumite oncogene în diverse procese maligne); - studii de taxonomie, sistematică şi filogenie moleculară: obţinerea rapidă a unei cantităţi mari din secvenţe ADN cu valoare taxonomică şi/sau filogenetică; - biologia populaţiilor, inclusiv la organisme mici: tehnologia permite secvenţierea rapidă a unor molecule de ADN de la foarte mulţi indivizi, fără a necesita în prealabil clonarea acestora; 8
9 Genetica microorganismelor şi inginerie genetică microbiană - studii de antropologie: tehnica permite în prezent recuperarea şi analiza unor secvenţe ADN din fosile; - medicină legală: cu ajutorul reacţiilor pot fi în prezent analizate la nivel molecular o serie întreagă de probe biologice. In afară de toate aceste aplicaţii directe ale tehnologiei, pornind de la reacţia iniţială de amplificare, au fost imaginate o serie întreagă de variante tehnice ce permit abordarea unor manipulări cât mai acurate a moleculelor de acizi nucleici. 1. Obţinerea unor cantităţi suficiente dintr-o anumită secvenţă Cu ajutorul tehnologiei se pot obţine cantităţi suficiente dintr-o anumită secvenţă ADN, astfel încât să poată fi folosită în diverse manipulări, inclusiv pentru secvenţiere sau experimente de clonare. 2. Obţinerea de sonde ADN/ARN marcate Foarte multe tehnici de obţinere de sonde ADN/ARN folosesc variante de reacţii. Astfel, într-o primă variantă, se folosesc primeri marcaţi (în sistem radioactiv sau neradioactiv de marcare) şi dntp nemarcate. Ampliconii obţinuţi într-o asemenea reacţie sunt molecule dublu-catenare marcate la capete (primerii unei reacţii intră în structura produşilor de reacţie). Matrita denaturarea termica a matritei atasarea primerilor marcati reactia de polimerizare folosind dntp nemarcate n molecule dc marcate la capete denaturare sonde marcate la capete Fig Obţinerea prin de sonde marcate la capete Intr-o altă variantă tehnică, în reacţia se introduc atât primeri marcaţi, cât şi dntp marcate. Ampliconii obţinuţi vor fi reprezentaţi de molecule marcate pe toată lungimea. In ambele cazuri, ampliconii rezultaţi sunt denaturaţi termic, obţinându-se în final sondele monocatenare utilizabile în reacţiile de hibridizare moleculară. 3. în mutageneza situs-specifică Pornind de la faptul ca primerii folosiţi într-o reacţie sunt incluşi în produsele (ampliconi), au fost dezvoltate o serie întreagă de variante tehnice ale acestei reacţii. Astfel, în experimentele de mutageneză situs-specifică, modificările dorite pot fi introduse în ampliconi pe calea primerilor, fie că este vorba de inserţii sau de deleţii. In toate aceste cazuri se utilizează o tehnologie în care reacţia de amplificare este împărţită în 2 reacţii separate în care sunt amplificate cele 2 secvenţe ADN aflate de o parte şi de alta a situsului de modificat (Fig.3.36). In aceste 2 etape se folosesc perechi de primeri constituite dintr-un primer extern (pentru capătul moleculei ADN iniţiale) şi un primer intern (primerii interni sunt complementari situsului de modificat şi conţin în secvenţă modificarea dorită). Prin folosirea unor asemenea primeri, ampliconii rezultaţi conţin deja modificarea dorită, precum şi o zonă de complementaritate inter-ampliconi. După această etapă se realizează îndepartarea primerilor interni, amestecarea celor 2 produse, denaturarea termică a moleculelor urmată de renaturarea acestora în condiţii de stringenţă. Se adaugă primeri exteriori şi se realizează o noua reacţie, al cărei rezultat va fi reprezentat de molecule ADN identice cu matriţa initială, conţinând însă şi modificarea dorită. 9
10 Cap. 3-2 Tehnologia Spre deosebire de tehnicile clasice de mutageneză, şi chiar de experimentele de mutageneză cu ajutorul transposonilor, asemenea variante tehnice de permit o rezoluţie şi o acurateţe mult mai mare în obţinerea de molecule ADN modificate. In mare majoritate, aplicaţiile practice vizează analiza corelaţiilor dintre secvenţa de nucleotide a unor molecule ADN şi realizarea anumitor funcţii. Matrita denaturarea termica a matritei atasarea primerilor marcati reactia de polimerizare folosind dntp marcate n molecule dc marcate pe toata lungimea denaturare sonde marcate pe toata lungimea Fig Obţinerea prin de sonde marcate pe toata lungimea Situs unde vom introduce o pereche de baze ADN d.c tinta Primer extern 1 Reactii separate, folosind primeri interni care contin o alterare Primer intern 2 Primer intern 1 Primer extern 2 - indepartarea primerilor interni; - amestecarea celor 2 produse ; - denaturare-renaturare, urmate de atasare de primeri Primeri - polimerizare Molecule ADN care contin o alterare Fig Mutageneză situs specifică prin 10
11 Genetica microorganismelor şi inginerie genetică microbiană ADN d.c. tinta Secventa de inserat Primeri Doua reactii separate Primeri Primeri interni care contin secventa ce va fi inserata Amestecarea celor doua produse de reactie, denaturare, renaturare in conditii de stringenta Hibrid molecular -atasare primeri -polimerizare Fig pentru introducere de inserţii Secventa ce va fi deletata ADN d.c. tinta Doua reactii separate Primeri Primeri Primeri interni Primeri interni Amestecarea celor 2 produse de reactie, denaturare, renaturare in conditii de stringenta Hibrid molecular - atasare de primeri - polimerizare ADN d.c ce prezinta o deletie Fig pentru producere de deleţii 11
12 Cap. 3-2 Tehnologia 4. în obţinerea de molecule ADN recombinate Un alt set de studii îşi propun analiza funcţiilor de promotor a unor secvenţe ADN, sau chiar obţinerea de molecule ADN recombinate cu rată înaltă de transcriere (Fig.). In acest scop, se foloseşte o schemă de manipulare genetică similară celei de mai sus. Astfel, se realizează 2 reacţii separate în care sunt amplificate secvenţa potenţial promotor şi, respectiv, secvenţa codificatoare. In ambele reacţii se utilizează perechi de primeri constituite dintr-un primer extern şi un primer intern (în acest caz, primerii interni conţin şi o porţiune complementară celeilalte molecule). Etapele următoare sunt similare: ampliconii rezultaţi în aceste 2 reacţii se amestecă, se denaturează şi se renaturează în condiţii de stringenţă. In această a treia reacţie se introduc doar primeri şi se obţin molecule ADN recombinate, formate din secvenţa promotor şi din secvenţa codificatoare. Promotor Secventa codificatoare (ORF) separat pentru fiecare secventa 2 n 2 n Amestecarea celor 2 produse de reactie, denaturare-renaturare in conditii de stringenta Hibrid molecular cu primeri Promotor Secventa codificatoare Fig combinatorial n 2 molecule 5. ARN O serie întreagă de experimente vizează obţinerea de molecule de ADNc (complementar cu anumite molecule ARN). O variantă tehnică utilizează reacţiile de revers-transcriere, în timp ce o altă variantă se bazează pe reacţii (Fig.3.40). Astfel, dupa denaturarea structurilor secundare ale moleculelor ARN, se ataşează un primer complementar capului 3 al moleculei ARN şi are loc sinteza primei catene de ADNc. In această reacţie se foloseşte o ADN polimerază ARN-dependentă (reverstranscriptază), de tipul AMV-RT (Avian Mieloblastosis Virus Revers-Transcriptase), MLV-RT (Murine Leukaemia Virus Revers-Transcriptase), rtth(recombinant Thermus thermophilus DNA polymerase). Hibridul ARN:ADN obţinut în această reacţie de revers-transcriere este supus unei reacţii de distrugere a catenei ARN cu RNaza H, după care la catena ADN rămasă este ataşat un primer complementar cu capul 3 al acesteia. După sinteza celei de-a doua catene ADN, moleculele sunt introduse într-o reacţie obişnuită la sfârşitul căreia sunt obţinute moleculele de ADNc (complementar cu moleculele ARN de la care s-a plecat). Avantajul unei asemenea variante tehnice îl reprezintă faptul că se obţine o cantitate mare a secvenţelor ADNc. invers In foarte multe experimente este necesară amplificarea unor molecule de ADN cu secvenţă necunoscută. Un asemenea caz este şi cel în care se studiază situsurile în care se inserează o serie de transposoni sau genomul unor virusuri (Fig.3.41). In această situaţie se secţionează cu endonucleaze de restricţie o moleculă ADN ce cuprinde secvenţa cunoscută (transposon, genom viral) încadrată de secvenţe necunoscute (aparţinând genomului gazdei). Această moleculă este apoi circularizată şi introdusă într-o reacţie în care se folosesc primeri complementari cu capetele secvenţei cunoscute. Ampliconul rezultat este reprezentat de secvenţa necunoscută. 12
13 Genetica microorganismelor şi inginerie genetică microbiană ARN m.c. - denaturarea structurilor secundare cu metilmercur hidroxid - atasare primer 1 (primer ARN) - sinteza primei catene de ADNc (revers transcriere) Hibrid ADN :ARN - degradarea catenei ARN cu RN azah - atasarea primer 2 - polimerizare cu ADN polimeraza termostabila - denaturarea termica a ADN d.c. - atasarea primerilor 1 si 2; polimerizare n 2 molecule Fig ARN- Digestie cu enzime de restrictie si circularizare Regiune cunoscuta Secvente primer orientate invers ADN cu secventa necunoscuta, de studiat n 2 molecule 6. in situ Una din limitările tehnicii o reprezintă necesitatea de a extrage şi purifica matriţa (ADN sau ARN) înainte de amplificare. Varianta tehnică in situ combină o reacţie cu o hibridizare moleculară in situ. Astfel, reacţia se realizează în celule intacte şi este apoi detectată prin hibridizare in situ (întreaga reacţie, atât, cât şi hibridizarea, se realizează pe ţesut împarafinat şi plasat pe lama de microscop). Printr-o asemenea tehnica se poate identifica foarte exact care celule poseda o anumita secvenţă ADN, sau care exprima o anumita gena. Pe de alta parte, se reduce foarte mult riscul contaminarii produselor cu alte secvenţe ADN. Fig invers 13
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
MARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
a. 0,1; 0,1; 0,1; b. 1, ; 5, ; 8, ; c. 4,87; 6,15; 8,04; d. 7; 7; 7; e. 9,74; 12,30;1 6,08.
1. În argentometrie, metoda Mohr: a. foloseşte ca indicator cromatul de potasiu, care formeazǎ la punctul de echivalenţă un precipitat colorat roşu-cărămiziu; b. foloseşte ca indicator fluoresceina, care
Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili
Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.2 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Radicalul C 6 H 5 - se numeşte fenil. ( fenil/
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
riptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g.
II. 5. Problee. Care ete concentraţia procentuală a unei oluţii obţinute prin izolvarea a: a) 0 g zahăr în 70 g apă; b) 0 g oă cautică în 70 g apă; c) 50 g are e bucătărie în 50 g apă; ) 5 g aci citric
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
CIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE. MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit
CIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit CUPRINS 1. Avantajele si limitarile MMIC 2. Modelarea dispozitivelor active 3. Calculul timpului de viata al MMIC
10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
5.1. Noţiuni introductive
ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul
5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
V O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi
I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare.
Capitolul 3 COMPUŞI ORGANICI MONOFUNCŢIONALI 3.2.ACIZI CARBOXILICI TEST 3.2.3. I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Reacţia dintre
Criptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Capitolul 14. Asamblari prin pene
Capitolul 14 Asamblari prin pene T.14.1. Momentul de torsiune este transmis de la arbore la butuc prin intermediul unei pene paralele (figura 14.1). De care din cotele indicate depinde tensiunea superficiala
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.
TEHNOLOGIA ADN RECOMBINANT
11 TEHNOLOGIA ADN RECOMBINANT Descifrând enigmele structurii genelor, savanţii au început să se preocupe de izolarea şi sinteza lor. În urmă cu 30 de ani cei care credeau în reuşita acestor deziderate
Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
REACŢII DE ADIŢIE NUCLEOFILĂ (AN-REACŢII) (ALDEHIDE ŞI CETONE)
EAŢII DE ADIŢIE NULEFILĂ (AN-EAŢII) (ALDEIDE ŞI ETNE) ompușii organici care conțin grupa carbonil se numesc compuși carbonilici și se clasifică în: Aldehide etone ALDEIDE: Formula generală: 3 Metanal(formaldehida
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE TEST 2.3.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Acetilena poate participa la reacţii de
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Studiu privind soluţii de climatizare eficiente energetic
Studiu privind soluţii de climatizare eficiente energetic Varianta iniţială O schemă constructivă posibilă, a unei centrale de tratare a aerului, este prezentată în figura alăturată. Baterie încălzire/răcire
Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)
Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...
SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA IZOLĂRII NODURILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele
Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Sulfonarea benzenului este o reacţie ireversibilă.
Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
POSDRU/156/1.2/G/138821 Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Reactia de amfoterizare a aluminiului
Problema 1 Reactia de amfoterizare a aluminiului Se da reactia: Al (s) + AlF 3(g) --> AlF (g), precum si presiunile partiale ale componentelor gazoase in functie de temperatura: a) considerand presiunea
3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
Examen. Site Sambata, S14, ora (? secretariat) barem minim 7 prezente lista bonus-uri acumulate
Curs 12 2015/2016 Examen Sambata, S14, ora 10-11 (? secretariat) Site http://rf-opto.etti.tuiasi.ro barem minim 7 prezente lista bonus-uri acumulate min. 1pr. +1pr. Bonus T3 0.5p + X Curs 8-11 Caracteristica
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii în tehnică
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii în tehnică Sisteme de încălzire a locuinţelor Scopul tuturor acestor sisteme, este de a compensa pierderile de căldură prin pereţii locuinţelor şi prin sistemul
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Unitatea atomică de masă (u.a.m.) = a 12-a parte din masa izotopului de carbon
ursul.3. Mării şi unităţi de ăsură Unitatea atoică de asă (u.a..) = a -a parte din asa izotopului de carbon u. a.., 0 7 kg Masa atoică () = o ărie adiensională (un nuăr) care ne arată de câte ori este
2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER
2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Exerciţii şi probleme E.P.2.4. 1. Scrie formulele de structură ale următoarele hidrocarburi şi precizează care dintre ele sunt izomeri: Rezolvare: a) 1,2-butadiena;
2CP Electropompe centrifugale cu turbina dubla
2CP Electropompe centrifugale cu turbina dubla DOMENIUL DE UTILIZARE Capacitate de până la 450 l/min (27 m³/h) Inaltimea de pompare până la 112 m LIMITELE DE UTILIZARE Inaltimea de aspiratie manometrică
BARDAJE - Panouri sandwich
Panourile sunt montate vertical: De jos în sus, îmbinarea este de tip nut-feder. Sensul de montaj al panourilor trebuie să fie contrar sensului dominant al vântului. Montaj panouri GAMA ALLIANCE Montaj
2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare. Copyright Paul GASNER
2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare Copyright Paul GASNER Adunarea în sistemul binar Adunarea se poate efectua în mod identic ca la adunarea obişnuită cu cifre arabe în sistemul zecimal
Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1
Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric
Transformări de frecvenţă
Lucrarea 22 Tranformări de frecvenţă Scopul lucrării: prezentarea metodei de inteză bazate pe utilizarea tranformărilor de frecvenţă şi exemplificarea aceteia cu ajutorul unui filtru trece-jo de tip Sallen-Key.
Stabilizator cu diodă Zener
LABAT 3 Stabilizator cu diodă Zener Se studiază stabilizatorul parametric cu diodă Zener si apoi cel cu diodă Zener şi tranzistor. Se determină întâi tensiunea Zener a diodei şi se calculează apoi un stabilizator
Cursul 6. Tabele de incidenţă Sensibilitate, specificitate Riscul relativ Odds Ratio Testul CHI PĂTRAT
Cursul 6 Tabele de incidenţă Sensibilitate, specificitate Riscul relativ Odds Ratio Testul CHI PĂTRAT Tabele de incidenţă - exemplu O modalitate de a aprecia legătura dintre doi factori (tendinţa de interdependenţă,
* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Ecuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT. x 4
FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT Se numeşte reţea de transport un graf în care fiecărui arc îi este asociat capacitatea arcului şi în care eistă un singur punct de intrare şi un singur punct de ieşire.
14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA SECŢIUNILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor
CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
prin egalizarea histogramei
Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice
Laborator 4 Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Obiective: o Semnalul sinusoidal, o Semnalul dreptunghiular, o Semnalul triunghiular, o Generarea diferitelor semnale folosind placa multifuncţională
11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.
Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Fig Dependenţa curentului de fugă de temperatură. I 0 este curentul de fugă la θ = 25 C [30].
Fig.3.43. Dependenţa curentului de fugă de temperatură. I 0 este curentul de fugă la θ = 25 C [30]. Fig.3.44. Dependenţa curentului de fugă de raportul U/U R. I 0 este curentul de fugă la tensiunea nominală
Curs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul