Criptosisteme cu cheie publică III

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Criptosisteme cu cheie publică III"

Transcript

1 Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017

2 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }. Problemă: Determinaţi o submulţime I {0, 1, 2,..., k 1} astfel incât V = v i. i I Reformulare: Determinaţi un număr ε = (ε k 1 ε k 2... ε 0 ) 2 scris in baza 2 (ε i {0, 1}) astfel incât k 1 V = ε i v i. i=0 Problema rucsacului este foarte dificilă! Nu există nici un algoritm care să o rezolve in timp polinomial.

3 Problema rucsacului - cazul supercrescător Problema rucsacului este mult mai simplă in cazul in care şirul {v 0, v 1,..., v k 1 } este supercrescător i 1 v i > v j, i = 1, 2,..., k 1. j=0

4 Algoritm (cazul supercrescător) 1 w := V, j := k 1, ε k 1 =... = ε 0 = 0 2 Dacă v j > w scrie j := j 1 Dacă j 0 mergi la 2 Dacă j < 0 scrie Problema nu are soluţie; exit. Dacă v j w scrie ε j := 1, w := w v j, j := j 1 Dacă w = 0 scrie ε k 1 ε k 2... ε 0; exit. Dacă w > 0 - Dacă j 0 mergi la 2 - Dacă j < 0 scrie Problema nu are soluţie; exit.

5 Criptosistemul Merkle-Hellman (1978) Unitatea de mesaj: bloc de k biţi = intreg m scris in baza 2, cu k biţi Exemplu: o literă din alfabetul latin = număr in baza 2 intre 0 şi = 25, k = 5. Alegerea cheilor: Fiecare utilizator A alege un şir de numere naturale {v0 A, v 1 A,..., v k 1 A }, supercrescător. A alege un intreg m A > k 1 i=0 v i A. A alege un intreg a A, 0 < a A < m A, (a A, m A ) = 1. A calculează b A := a 1 A (mod m A) w A i = a A v A i (mod m A ) A face publică cheia K e = {w0 A, w 1 A,..., w k 1 A } A ţine secretă cheia K d = {b A, m A }. Informaţiile vi A, a A sunt secrete şi pot fi şterse.

6 Criptosistemul Merkle-Hellman (1978) Algoritm de criptare: B vrea să trimită mesajul m = (ε k 1 ε k 2... ε 0 ) 2 lui A. B calculează B transmite c. k 1 c := f (m) = ε i wi A i=0

7 Criptosistemul Merkle-Hellman (1978) Algoritm de decriptare: A primeşte c şi calculează Avem k 1 V = ε i b A wi A i=0 Observăm că V < m A, k 1 mai sus este chiar egalitate. V := b A c (mod m A ) k 1 i=0 i=0 v i A ε i v A i (mod m A ) < m A, deci congruenţa de A aplică algoritmul anterior pentru a determina ε k 1, ε k 2,..., ε 0 şi recuperează mesajul m.

8 Problema codului perfect într-un graf Definiţie Se numeşte graf o pereche G = (V, L) unde V este o mulţime finită de vârfuri (puncte din spaţiu) şi L este o mulţime de laturi ce unesc unele dintre vârfuri. Notăm uv o latură ce uneşte vârfurile u şi v.

9 Problema codului perfect într-un graf Definiţie Se numeşte vecinătate a vârfului v V mulţimea V (v) = {u V uv L} {v}. Definiţie O submulţime C V se numeşte cod perfect al grafului G dacă oricare ar fi vârful u V, există un unic v C astfel încât u V (v).

10 Problema codului perfect într-un graf

11 Problema codului perfect într-un graf Nu orice graf admite un cod perfect. Dacă un graf admite un cod perfect, acesta nu este unic. Chiar dacă ştim a priori că un graf G admite un cod perfect, determinarea acestuia este o problemă foarte dificilă: nu există în prezent nici un algoritm eficient care să rezolve această problemă în toate cazurile. Pe de altă parte, dată fiind o mulţime de vârfuri V şi o submulţime a acesteia C V, se poate construi uşor un graf G care să aibă pe V ca mulţime de vârfuri şi pentru care C să fie un cod perfect. construcţia unui astfel de graf poate fi privită ca o funcţie cu sens unic!

12 Problema codului perfect într-un graf

13 Problema codului perfect într-un graf 1. Se aleg vârfurile care vor constitui codul perfect C.

14 Problema codului perfect într-un graf 2. Se construiesc laturi care unesc fiecare din celelalte vârfuri cu exact unul din vârfurile din C.

15 Problema codului perfect într-un graf 3. Se construiesc alte laturi care unesc vârfuri din V \ C. Dacă V este amplă şi numărul laturilor construite la acest pas este suficient de mare, cele de la pasul 2 se vor pierde printre acestea şi stelele obţinute la pasul 2 vor fi foarte greu de detectat.

16 Un criptosistem bazat pe problema codului perfect Toţi utilizatorii (Alice, Bob, Claire) au la dispoziţie o configuraţie de n puncte în spaţiu, V

17 Un criptosistem bazat pe problema codului perfect Alegerea cheilor Alice construieşte un graf urmând paşii 1, 2, 3 de mai sus: alege o submulţime C V,

18 Un criptosistem bazat pe problema codului perfect Alegerea cheilor..., construieşte laturi care unesc fiecare din celelalte vârfuri cu exact unul din vârfurile din C,

19 Un criptosistem bazat pe problema codului perfect Alegerea cheilor..., construieşte suficient de multe laturi care unesc vârfuri din V \ C, pentru ca C să fie foarte greu de detectat în graful G obţinut.

20 Cheia publică: graful G. Cheia secretă: lista nodurilor din C. Merkle-Hellman Un criptosistem bazat pe problema codului perfect Alegerea cheilor

21 Un criptosistem bazat pe problema codului perfect Criptarea mesajului Bob doreşte să trimită mesajul M lui Alice. Să presupunem că M poate fi reprezentat ca un număr natural (între 1 şi 100: M = 23). In configuraţia iniţială de puncte, Bob asociază fiecărui punct v i un număr întreg a i astfel încât a a n = M(= 23)

22 Un criptosistem bazat pe problema codului perfect Criptarea mesajului Bob obţine cheia publică a lui Alice, graful G

23 Un criptosistem bazat pe problema codului perfect Criptarea mesajului Bob asociază fiecărui vârf v i un număr întreg b i astfel încât b i = a j. 3 2 v j V (v i )

24 Un criptosistem bazat pe problema codului perfect Criptarea mesajului Mesajul criptat: Graful G cu valorile b i ataşate vârfurilor

25 Un criptosistem bazat pe problema codului perfect Decriptarea mesajului Alice primeşte mesajul criptat şi folosind cheia secretă (lista vârfurilor din C calculează b i = M. 3 v i C

26 Un criptosistem bazat pe problema codului perfect Atac: Dacă adversarul Claire poate determina codul perfect C (sau orice alt cod perfect al lui G!) având la dispoziţie cheia publică G şi mesajul criptat (valorile b i ), atunci poate recupera mesajul în clar M. In prezent nu există nici un algoritm eficient care să determine un cod perfect al unui graf oarecare. Problemă: Claire poate recupera M fără a determina vreun cod perfect al lui G! Este suficient să rezolve sistemul de ecuaţii de gradul 1, cu necunoscutele a i : a j = b i, i = 1, 2,..., n. v j V (v i )

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016 16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011 Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 21.2 - Sistemul de criptare ElGamal Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Scurt istoric

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey

Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey Mihai Suciu Facultatea de Matematică și Informatică (UBB) Departamentul de Informatică Mai, 16, 2018 Mihai Suciu (UBB) Algoritmica

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

VII.2. PROBLEME REZOLVATE

VII.2. PROBLEME REZOLVATE Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a VII-a. Fie în exteriorul triunghiului ascuţitunghic ABC, triunghiurile dreptunghice ABP şi ACT cu ipotenuzele

Διαβάστε περισσότερα

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Prelegerea 11. Securitatea sistemului RSA Informaţii despre p şi q

Prelegerea 11. Securitatea sistemului RSA Informaţii despre p şi q Prelegerea 11 Securitatea sistemului RSA Vom trece în revistă câteva modalităţi de atac ale sistemelor de criptare RSA. Ca o primă observaţie, RSA nu rezistă la un atac de tipul meet-in-the middle, strategia

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία - Εισαγωγή Stimate Domnule Preşedinte, Stimate Domnule Preşedinte, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Stimate Domnule,

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară Curs 7 II.3 Grupuri II.3.1 Definiţie. Exemple Definiţia II.3.1.1. Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară pe G, notată : G G G, (x, y) x y, astfel încât: (G1) (Asociativitate) (x y) z =

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 SUBIECTUL CLASA a IV-a Într-o zi de Duminică, la Salina Turda, a venit un grup de vizitatori, băieți și de două ori mai multe fete. Au intrat în Salină 324 băieți și 400

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

cercului circumscris triunghiului ABE.

cercului circumscris triunghiului ABE. Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro Ediția a IV-a 2012-2013 Problema 1. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia (x 2 + y 2 ) 3 = (x 3 y 3 ) 2. Soluţie. Ecuaţia se scrie echivalent x

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Grafuri planare Colorarea grafurilor. Curs 12. Grafuri planare. Colorarea grafurilor. Polinoame cromatice. 23 decembrie 2016.

Grafuri planare Colorarea grafurilor. Curs 12. Grafuri planare. Colorarea grafurilor. Polinoame cromatice. 23 decembrie 2016. Grafuri planare Polinoame cromatice 23 decembrie 2016 Definiţii şi exemple Grafuri planare Un graf G este planar dacă poate fi desenat în plan astfel încât muchiile să nu se intersecteze decât în nodurile

Διαβάστε περισσότερα

Demonstraţie: Să considerăm polinomul {f(x)} asociat cuvântului - cod: f(x) = h(1) + h(α)x h(α n 1 )X n 1 = a 0 (1 + X + X

Demonstraţie: Să considerăm polinomul {f(x)} asociat cuvântului - cod: f(x) = h(1) + h(α)x h(α n 1 )X n 1 = a 0 (1 + X + X Prelegerea 13 Coduri Reed - Solomon 13.1 Definirea codurilor RS O clasă foarte interesantă de coduri ciclice a fost definită în 1960 de Reed şi Solomon. Numite în articolul iniţial coduri polinomiale,

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri.

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri 17 decembrie 2016 Cuprinsul acestui curs Cuplaje Cuplaj perfect, maxim, maximal Cale

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme liniare - metode directe

Sisteme liniare - metode directe Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K

Διαβάστε περισσότερα