SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
|
|
- Ἀδάμ Θεοδωρίδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = , s n0 +2 = , s n = , n IN, n n 0. Se numeşte serie de numere reale (sau serie numerică) perechea {( ) n, (s n ) n } formată din şirurile ( ) n şi (s n ) n. se numeşte termenul general al seriei, iar (s n ) n se numeşte şirul sumelor parţiale asociat şirului ( ) n. Vom nota seria prin:, sau Definiţia 3.2. sumelor parţiale. Fie (n 0 IN) o serie numerică şi (s n ) şirul a) Seria se numeşte convergentă (sau seria converge) dacă (s n ) este convergent. În acest caz, limita şirului (s n) se numeşte suma seriei şi se notează prin.
2 b) Seria se numeşte divergentă (sau seria diverge) dacă nu este convergentă deci dacă (s n ) este divergent. Dacă limita şirului (s n ) este + sau, atunci se spune că suma seriei este + sau şi se notează = + sau =. Observaţia 3.3. (Serii remarcabile) a) Seria geometrică de raţie q: q n, q IR (q 0 = 1). Dacă q (, 1], atunci seria este divergentă. Dacă q ( 1, 1), atunci seria este convergentă şi are suma q n = 1 1 q. Dacă q 1, atunci seria este divergentă şi are suma q n = +. b) Seria armonică generalizată: n=1 1 n α, α IR. Dacă α > 1, atunci seria este convergentă. Dacă α 1, atunci seria este divergentă. Pentru α = 1, seria numeşte seria armonică. n=1 1 n se Observaţia 3.4. Fie seria α cu termen general = α IR, n IN (şirul ( ) este constant). Dacă α = 0, atunci seria este convergentă şi are suma 0. Dacă α 0, atunci seria este divergentă. Definiţia 3.5. Fie (b n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale. O serie de forma (b n b n 1 ) se numeşte serie telescopică. În acest caz, şirul +1 sumelor parţiale este s n = b n b n0, n IN, n n Definiţia 3.6. Dacă două serii şi b n (n 0 IN) au aceeaşi natură (adică sunt în acelaşi timp convergente sau divergente), atunci vom nota b n.
3 Teorema 3.7. (Condiţiecesară de convergenţă) Dacă seria (n 0 IN) este convergentă, atunci lim = 0. În consecinţă, rezultă: Corolar 3.8. Dacă ( ) n este convergent şi lim 0 sau dacă ( ) este divergent (ceea ce vom nota prin 0), atunci seria este divergentă. Propoziţia 3.9. (Proprietăţi generale ale seriilor convergente) i) Fie seria (n 0 IN). Dacă din şirul ( ) se elimină sau se adaugă un număr finit de termeni, atunci natura seriei nu se schimbă (dar în caz de convergenţă, suma seriei se modifică). Astfel, vom face convenţia de ota o serie prin atunci când ne va interesa doar natura seriei (nu şi suma seriei). ii) Dacă într-o serie convergentă se asociază termenii seriei în grupe finite, cu păstrarea ordinii termenilor, atunci se obţine tot o serie convergentă şi cu aceeaşi sumă. Dacă seria este divergentă, atunci rezultatul nu se mai păstrează. De exemplu, fie seria divergentă ( 1) n 1 şi seria: n=1 (1) [1 + ( 1)] + [1 + ( 1)] [1 + ( 1)] +... obţinută prin asocierea termenilor în grupe de câte doi termeni. Se observă că seria (1) este convergentă şi are suma 0. iii) Fie seria (n 0 IN) şi k IN. Atunci +k. În caz de convergenţă, dacă = s, atunci +k = s ( k 1). Invers, dacă +k = t, atunci = t + ( k 1). iv) Fie (n 0 IN) o serie numerică şi pentru orice p IN, fie seria. Atunci. În caz de convergenţă, se +p+1 +p+1
4 118 notează n=p+1 lim r p = 0. p =r p (numit restul de ordin p al seriei ) şi avem Teorema (Teorema lui Cauchy de caracterizare) O serie (n 0 IN) este convergentă dacă şi numai dacă ε > 0, N(ε) = N IN, astfel încât n N, n n 0 şi p IN, p < ε. Observaţia Dacă seria (n 0 IN) are proprietatea că 0, n n 0, atunci şirul sumelor parţiale este crescător. În acest caz, se spune că seria este cu termeni nenegativi. Teorema Fie o serie cu termeni nenegativi şi (s n ) şirul sumelor parţiale. Atunci seria este convergentă dacă şi numai dacă (s n ) este majorat. Observaţia a) O serie cu termeni nenegativi (n 0 IN) este divergentă dacă şi numai dacă (s n ) este nemajorat ceea ce este echivalent cu faptul că lim s n = +. b) O serie cu termeni nenegativi are întotdeauna sumă în [0, + ]. Teorema (Criteriul de comparaţie de specia I) Fie şi b n (n 0 IN) serii cu termeni nenegativi astfel încât b n, n n 0. i) Dacă seria b n converge, atunci seria converge. ii) Dacă seria diverge, atunci seria b n diverge. Teorema (Criteriul de comparaţie de specia a II-a) Fie seriile şi b n (n 0 IN) astfel încât > 0, b n > 0 şi +1 b n+1 b n pentru orice n n 0. i) Dacă seria b n este convergentă, atunci seria este convergentă.
5 ii) Dacă seria este divergentă, atunci seria b n este divergentă. lim Teorema (Criteriul de comparaţie cu limită) Fie şi b n serii cu termeni pozitivi astfel încât există limita = λ [0, + ]. b n i) Dacă λ (0, + ), atunci b n. ii) Pentru λ = 0, dacă seria b n converge, atunci seria converge; dacă seria diverge, atunci seria b n diverge. iii) Pentru λ = +, dacă seria converge, atunci seria b n converge; dacă seria b n diverge, atunci seria diverge. Corolar Fie seria b n (n 0 IN) unde > 0, b n > 0, n n 0. Dacă există limita lim b n = λ şi λ (0, + ), atunci b n. Teorema (Criteriul lui Cauchy de condensare) Fie o serie cu termeni nenegativi astfel încât şirul ( ) este descrescător. Atunci 2 n a 2 n. Teorema (Criteriul rădăcinii cu mărginire) Fie seria (n 0 IN) cu termeni nenegativi. i) Dacă există M < 1 astfel încât n M, n n 0, atunci seria converge. ii) Dacă există M 1 astfel încât n M, n n 0, atunci seria diverge. Teorema (Criteriul rădăcinii cu limită superioară) Fie o serie cu termeni nenegativi. i) Dacă lim sup ii) Dacă lim sup n an < 1, atunci seria este convergentă. n an > 1, atunci seria este divergentă. Teorema (Criteriul rădăcinii cu limită) Fie seria cu termeni nenegativi astfel încât există limita lim n an = α.
6 i) Dacă α < 1, atunci seria converge. ii) Dacă α > 1, atunci seria diverge. Teorema (Criteriul raportului cu mărginire) Fie (n 0 IN) o serie cu > 0 pentru orice n n 0. i) Dacă există M < 1 astfel încât +1 M, n n 0, atunci seria este convergentă. ii) Dacă există M 1 astfel încât +1 M, n n 0, atunci seria este divergentă. Teorema (Criteriul raportului cu limite extreme) Fie (n 0 IN) o serie cu > 0 pentru orice n n 0. i) Dacă lim sup ii) Dacă lim inf < 1, atunci seria converge. > 1, atunci seria diverge. Teorema (Criteriul raportului cu limită) Fie (n 0 IN) o serie cu > 0 pentru orice n n 0 astfel încât există limita lim +1 = α. i) Dacă α < 1, atunci seria este convergentă. ii) Dacă α > 1, atunci seria este divergentă. Teorema (Criteriul lui Raabe - Duhamel) Fie (n 0 IN) o serie cu > 0 pentru orice n n 0 astfel încât există ( ) limita lim n an 1 = β. +1 i) Dacă β > 1, atunci seria converge. ii) Dacă β < 1, atunci seria diverge. Teorema (Criteriul lui Gauss) Fie seria +1 (n 0 IN) cu > 0 pentru orice n n 0 astfel încât se a poate scrie în forma: n +1 = 1 + β n + xn, n n n 1+α 0, unde α, β IR, α > 0 şi (x n ) IR este un şir mărginit.
7 i) Dacă β > 1, atunci seria converge. ii) Dacă β 1, atunci seria diverge. Corolar (Gauss) Fie seria orice n n 0 având proprietatea: (n 0 IN) cu > 0 pentru = 1 + P 1(n) +1 Q 1 (n) + P 2(n) Q 2 (n) + + P k(n) Q k (n) + x n n 1+α, n n 0, unde P i, Q i sunt polinoame cu coeficienţi reali astfel încât: grad Q i grad P i = 1, i = 1, k, α (0, ) şi (x n ) IR este un şir mărginit. Notând cu b i respectiv c i, coeficientul dominant al polinomului P i respectiv al polinomului Q i, i = 1, k şi cu β = k i=1 pentru β > 1, seria converge, pentru β 1, seria diverge. b i c i, avem: Teorema (Criteriul lui Dirichlet) Fie seria b n (n 0 IN) care verifică condiţiile: i) seria are şirul sumelor parţiale (s n ) mărginit (adică există α 0 astfel încât s n α, n n 0 ), ii) (b n ) este un şir descrescător cu lim b n = 0. Atunci seria b n este convergentă. Teorema (Criteriul lui Abel) Fie b n o serie pentru care au loc afirmaţiile: i) seria este convergentă, ii) (b n ) este un şir monoton şi mărginit. Atunci seria b n este convergentă. Definiţia O serie numerică alternată dacă +1 < 0, n n 0. (n 0 IN) se numeşte serie În acest caz, se mai scrie în forma = ( 1) n b n pentru orice n n 0 sau = ( 1) n+1 b n pentru orice n n 0, unde b n > 0 pentru orice n n 0 (se observă că b n = pentru orice n n 0 ).
8 Teorema (Criteriul lui Leibniz) Fie ( 1) n b n (n 0 IN) o serie alternată (b n > 0, n n 0 ) astfel încât şirul (b n ) este descrescător şi lim b n = 0. Atunci seria ( 1) n b n este convergentă. Definiţia a) O serie se numeşte absolut convergentă dacă seria este convergentă. b) Seria se numeşte semiconvergentă (sau condiţionat convergentă) dacă seria este convergentă, iar seria este divergentă. Teorema Dacă o serie este absolut convergentă, atunci seria an este convergentă. Observaţia a) Reciproca teoremei 3.33 nu este adevărată (vezi problema ). b) Dacă se aplică criteriul raportului sau cel al rădăcinii pentru seria an şi aceasta este divergentă, atunci şi seria este divergentă (vezi problema 3.5). Teorema (Produs cu un scalar) Fie seria (n 0 IN) şi λ IR. Dacă λ 0, atunci (λ ) şi în caz de convergenţă avem (λ ) = λ. Teorema (Suma a două serii) Fie seriile şi b n (n 0 IN). i) Dacă ambele serii sunt convergente, atunci şi seria ( + b n ) este convergentă şi ( + b n ) = + b n. ii) Dacă seria converge şi seria b n diverge (sau invers), atunci seria ( + b n ) diverge. Definiţia (Produsul Cauchy al două serii) Fie seriile, b n şi fie (c n ) şirul definit prin: c 0 = a 0 b 0, c 1 = a 0 b 1 + a 1 b 0,
9 c 2 = a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0,..., c n = a 0 b n + a 1 b n b 0 = n a k b n k, n IN. Atunci seria c n se numeşte produs Cauchy al seriilor şi k=0 b n. Teorema (Mertens) Fie şi b n serii convergente. Dacă cel puţin una dintre serii este absolut convergentă, atunci seria produs Cauchy, ( )( c n = b n ). Dacă = b n, n IN, atunci vom nota c n, este convergentă şi ( )( ) ( ) 2. b n prin A ridica seria la pătrat înseamnă a efectua produsul Cauchy al seriei cu ea însăşi. Corolar (Teorema lui Cauchy) Dacă două serii şi b n sunt absolut convergente, atunci seria produs ( )( Cauchy, c n, este absolut convergentă şi c n = b n ). Observaţia (Calculul aproximativ al sumelor de serii) Fie o serie convergentă cu suma s. În acest caz, şirul sumelor parţiale s n = a 0 + a converge la s iar restul de ordin n al seriei, r n = k=n+1 a k = s s n, converge la 0. Pentru determinarea cu aproximaţie a sumei s, se poate folosi formula de aproximare: s = s n, fiind necesară o evaluare a erorii absolute r n = s s n. De exemplu: a) Presupunem că există n 0 IN şi λ (0, 1) astfel încât +1 λ pentru orice n n 0. Atunci +1 λ, +2 λ +1 λ 2,
10 +3 λ 3,, +p λ p, p IN. Conform problemei 3.19, s s n = r n = a k a k λ k λ = k=n+1 k=n+1 k=1 1 λ. Deci λ s s n 1 λ, n n 0. Să presupunem că vrem să calculăm s cu o aproximaţie dată ε > 0. Pentru aceasta, vom determina N IN, N minim şi N n 0 astfel încât λ 1 λ ε pentru n N. Atunci s = s N. b) Fie ( ) un şir descrescător de numere pozitive, cu 0 astfel încât seria ( 1) n este convergentă şi are suma s. Să arătăm că r n +1, n IN. Fixând n IN, pentru orice k IN avem: ( 1) k+1 +k + ( 1) k+2 +k Trecând la limită pentru k se obţine ( 1) n+1 r n +1. Rezultă s s n = r n +1, n IN. Dacă vrem să calculăm s cu o aproximaţie dată ε > 0, atunci vom determina N IN, N minim astfel încât +1 ε pentru orice n N. Atunci s = s N.
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότερα1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45
Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότερα1 Şiruri şi serii numerice Proprietăţi ale şirurilorconvergente... 10
Cuprins 1 Şiruri şi serii numerice 9 1.1 Şiruri numerice în R şi C.... 9 1.2 Proprietăţi ale şirurilorconvergente.... 10 1.3 Şiruri numerice în R 2 şi R 3.... 15 1.4 Serii numerice în R şi C.... 17 1.5
Διαβάστε περισσότεραCURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραII. Analiză matematică 0. 7 Şiruri şi serii numerice 1. 8 Calcul diferenţial pentru funcţii de o variabilă reală 43
Cuprins II. Analiză matematică 7 Şiruri şi serii numerice 8 Calcul diferenţial pentru funcţii de o variabilă reală 43 9 Calcul integral pentru funcţii de o variabilă reală 6 Funcţii de mai multe variabile
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICI SPECIALE APLICATE ÎN ECONOMIE
MIHAI TURINICI MATEMATICI SPECIALE APLICATE ÎN ECONOMIE Partea II: Programare neliniară şi dinamică Casa de Editură VENUS Iaşi 1999 Cuprins 4 Complemente de analiză 1 4.1 Structuri de convergenţă pe spaţii
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραANALIZĂ MATEMATICĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI. pentru studenţi
ANALIZĂ MATEMATICĂ, ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ pentru studenţi în învăţământul superior tehnic Ciprian Deliu 2014 If it sits down, I teach it; if it stands up, I will continue
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραSiruri de numere reale
Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραLecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu
Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu 2 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale.
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier
Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραIntegrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότερα3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI
Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραîn care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul
Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραProbleme pentru clasa a XI-a
Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =
Διαβάστε περισσότεραexistă n0 N astfel ca pentru orice 1.Teoremă. Orice şir (xn)n din Q convergent la un, x Q are loc xn+p-xn ε (propritatea lui Cauchy).
TEOREME CAUCHY În 1810, Cauchy merge la Cherbourg pentru a lucra la fortificaţiile pentru invazia lui Napoleon în Anglia. In această perioadă produce câteva rezultate, inclsiv soluţia unei probleme puse
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.
ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii
Διαβάστε περισσότερα, m ecuańii, n necunoscute;
Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραTema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότεραTransformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică
Daniel BREAZ Nicolae SUCIU Păstorel GAŞPAR Nicoleta BREAZ Monica PÎRVAN Valeriu PREPELIŢĂ Gheorghe BARBU Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Volumul 1 Funcţii complexe cu
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2. Integrala stochastică
Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραCapitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este
o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραTeorema lui Peano de existenţă
Universitatea Alexandru Ioan Cuza Lucrare de licenţă Teorema lui Peano de existenţă locală Student: Cosmin Burtea Coordonator ştiinţific: Prof. Ioan I.Vrabie 2 Prefaţă Lucrarea de faţă tratează problema
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότερα7.1 Exerciţii rezolvate Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Întrebări de autoevaluare... 74
MC. 5 AUTOEVALUARE Cuprins MC. Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor 5. Exerciţii rezolvate............................................ 5. Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri...............................
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραMETODA FUNCTIILOR GENERATOARE
METODA FUNCTIILOR GENERATOARE LIVIU I. NICOLAESCU ABSTRACT. In aceasta nota vom descriem o tehnica deosebit de flexibila de abordare a multor probleme de combinatorica enumerativa. CONTENTS Introducere.
Διαβάστε περισσότερα3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.
Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă
Διαβάστε περισσότερα5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII
Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότερα