Ecuatii trigonometrice

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ecuatii trigonometrice"

Transcript

1 Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a, a R. () Cum rezolvarea ecuatiilor trigonometrice se reduce la rezolvarea ecuatiilor de tipul () (utilizand diferite transformari), vom aminti afirmatiile de baza referitor solutiile ecuatiilor (). Afirmatia. Ecuatia sin x = a, a R, () pentru a > solutii nu are, iar pentru a multimea solutiilor ei se contine in formula x = ( ) n arcsin a + πn, n Z, () unde arcsin a [ π; π ] este unghiul, sinusul caruia este egal cu a, iar Z desemneaza multimea numerelor intregi,, echivalent (tinand seama de paritatea lui n), in totaliatea [ x = arcsin a + πk, x = π arcsin a + πk, k Z. () Nota. Daca in ecuatia () a {0; ; } solutiile ei () se scriu mai simplu, si anume sin x = 0 x = πn, n Z, sin x = x = π + πn, n Z, sin x = x = π + πn, n Z. Exemplul. Sa se rezolve ecuatiile a) sin x = ; b) sin x = ; c) sin x =. Rezolvare. a) Cum, conform () solutiile ecuatiei date sunt x = ( ) n arcsin + πn, n Z, tinand seama ca arcsin = π, se obtine x = ( ) n π 6 + πn, n Z.

2 ( b) Similar exemplului a) se obtine x = ( ) n arcsin ) + πn, n Z, tinand seama arcsinus ca functia este o functie impara, x = ( ) n+ arcsin + πn, n Z. c) Cum >, rezulta ca ecuatia data nu are solutii. Afirmatia. Ecuatia cos x = a (5) pentru a > nu are solutii, iar pentru a multimea solutiilor ei se contine in formula x = ± arccos a + πn, n Z, (6) unde arccos a [0; π] este unghiul, cosinusul caruia este egal cu a. Nota. Daca in ecuatia (5) a {0; ; } solutiile ei (6) se scriu mai simplu, si anume cos x = 0 x = π + πn, n Z, cos x = x = πn, n Z, cos x = x = π + πn, n Z. Exemplul. Sa se rezolve ecuatiile: a) cos x = ; b) cos x = + ; c) cos x =. ( Rezolvare. a) Cum, conform (6) solutiile ecuatiei date sunt x = ± arccos ) + ( πn, n N, tinand seama ca arccos ) = π, se obtine x = ±π + πn, n Z. b) Similar exemplului a) se obtine x = ± arccos + πn, n Z. + c) Cum >, ecuatia data nu are solutii. Afirmatia. Ecuatia are solutiile tg x = a, a R (7) x = arctg a + πn, n Z, (8) unde arctg a ( π; π ) este unghiul, tangenta caruia este egala cu a. Afirmatia. Ecuatia ctg x = a, a R (9)

3 are solutiile x = arcctg a + πn, n Z, (0) unde arcctg a (0; π) este unghiul, cotangenta caruia este egala cu a. Exemplul. Sa se rezolve ecuatiile a) tg x = ; b) tg x = ; c) ctg x = ; d) ctg x =. Rezolvare. a) Conform (8) solutiile ecuatiei date sunt x = arctg + πn, n Z, tinand seama ca arctg = π, se obtine x = π + πn, n Z. b) Similar exemplului precedent se obtine x = arctg( ) + πn, n Z, tinand seama ca arctangenta este o functie impara, x = arctg + πn, n Z. c) Se tine seama de (0) si se obtine x = arcctg( ) + πn, n Z,, cum arcctg( ) = π, x = π + πn, n Z. d) Similar exemplului c) se obtine x = arcctg + πn, n Z. Observatie. Ecuatiile sin f(x) = a, cos f(x) = a, tg f(x) = a, ctg f(x) = a () prin intermediul substitutiei f(x) = t se reduc la rezolvarea ecuatiilor (). Exemplul. Sa se rezolve ecuatiile a) sin(x ) = ; b) cos(x + ) = ; c) tg x = ; d) ctg x =. Rezolvare. a) sin(x ) = { sin t = ; t = x, x = π + πn +, n Z x = π + πn +, n Z. x = π + πn, n Z { { cos t =, x b) cos(x + ) = t = x + = π + πn, n Z, +, π + πn, x = π + πn, n =,,,... x = ± π + πn, n =,,,... (se tine seama ca radicalul de ordin par exista doar din valori nenegative). c) tg x = x = arctg + πn, n Z x = π + πn, n Z x = π 6 + π n, n Z. d) ctg x = x = arcctg( ) + πn, n Z x = arcctg( ) + πn, n Z. Ecuatii trigonometrice reductibile la ecuatii de gradul al doilea

4 Ecuatia a sin x + b sin x + c = 0, a, b, c R, a 0 () prin intermediul substitutiei t = sin x, ( t ) se reduce la ecuatia patrata at + bt + c = 0. Exemplul 5. Sa se rezolve ecuatiile a) sin x 5 sin x + = 0; b) sin x sin x = 0; c) sin x sin x + 6 = 0. Rezolvare. a) Se noteaza sin x = t si ecuatia devine t 5t + = 0, de unde t = si t =. Cum t, ramane t = echivalenta cu ecuatia sin x =, si prin urmare ecuatia initiala este solutiile careia sunt (a se vedea ()) x = ( ) n π 6 + πn, n Z. b) Se noteaza sin x = t si se obtine ecuatia patrata t t = 0 cu solutiile t = 0 si t =. Astfel ecuatia initiala este echivalenta cu totalitatea de ecuatii [ sin x = 0, sin x =, de unde x = π n, n Z, x = π + πk, k Z. c) Similar exemplelor precedente se obtine ecuatia patrata t t + 6 = 0, care nu are solutii. Rezulta ca si ecuatia trigonometrica nu are solutii. Ecuatiile a cos x + b cos x + c = 0, () a tg x + b tg x + c = 0, () a ctg x + b ctg x + c = 0, (5) unde a, b, c R, a 0 se rezolva similar ecuatiei (). In cazul ecuatiei () se tine seama ca t = cos x in modul urmeaza sa nu intreaca unu, iar pentru t = tg x (t = ctg x) in ecuatia () (respectiv (5)) restrictii nu sunt. Exemplul 6. Sa se rezolve ecuatiile a) 6 cos x 5 cos x + = 0; b) tg x tg x + = 0; c) ctg x ctg x = 0.

5 Rezolvare. a) Se noteaza cos x = t si se obtine ecuatia patrata 6t 5t + = 0 cu solutiile t = si t =. Cum ambele solutii verifica conditia t se obtine totalitatea cos x =, cos x =, de unde x = ± arccos + πn, n Z, x = ±π + πk, k Z. b) Se noteaza tg x = t si se obtine ecuatia patrata t t + = 0 cu solutiile t = si t =. Prin urmare tg x =, tg x =, x = π + πn, n Z, x = arctg + πk, k Z, de unde x = π 8 + π n, x = arctg + π k, n, k Z. c) Se rezolva similar exemplului precedent si se obtine x = π πk, n, k Z. + πn, x = arcctg + Ecuatia a cos x + b sin x + c = 0, (6) utilizand identitatea trigonometrica de baza sin x + cos x =, se reduce la rezolvarea unei ecuatii de tipul (): a( sin x) + b sin x + c = 0. Similar, ecuatia se reduce la rezolvarea unei ecuatii de tipul (): Utilizand formulele a sin x + b cos x + c = 0 (7) a( cos x) + b cos x + c = 0. cos x = sin x, cos x = cos x ecuatiile a cos x + b sin x + c = 0, (8) a cos x + b cos x + c = 0, (9) 5

6 se reduc la rezolvarea ecuatiilor de tipul () si respectiv (). Exemplul 7. Sa se rezolve ecuatiile: a) sin x + 5 cos x 5 = 0; b) cos x + sin x = 0. Rezolvare. a) Cum sin x = cos x, ecuatia devine ( cos x) + 5 cos x 5 = 0 cos x 5 cos x + = 0, de unde cos x = (aceasta ecuatie nu are solutii) cos x =, cu solutiile x = πk, k Z. b) Cum cos x = sin x, ecuatia devine sin x + sin x = 0, de unde sin x( sin x ) = 0, sin x = 0, sin x =, si x = π k, x = π ( )n 8 + πn, k, n Z. Ecuatia a tg x + b ctg x + c = 0 (0) tinand seama ca tg x ctg x = (x π k, k Z) prin intermediul substitutiei t = tg x (atunci ctg x = ) se reduce la o ecuatie trigonometrica de tipul (). t Exemplul 8. Sa se rezolve ecuatia: ( tg x 5 tg x π Rezolvare. Cum sin 7π = si tg ( x π ) ) = 6 sin 7π. tg x + 5 ctg x 6 = 0. ( ) π = tg x = ctg x, ecuatia devine Se noteaza tg x = t, atunci ctg x = t (x π k) si se obtine ecuatia patrata t 6t + 5 = 0 6

7 cu solutiile t = si t = 5. Asadar [ tg x =, tg x = 5, x = π + πk, k Z, x = arctg 5 + πn, n Z. Ecuatii omogene Ecuatia a 0 sin n x + a sin n x cos x a k sin x cos n x + a n cos n x = 0, () unde a 0 a n 0, se numeste ecuatie omogena de gradul n in raport cu sin x si cos x. Cum x = π + πk, k Z nu verifica ecuatia () (toti termenii, incepand cu al doilea sunt nuli, iar primul este diferit de zero) multiplicand ecuatia cu ( 0) se obtine ecuatia cos n x echivalenta a 0 tg n x + a tg n x a n tg x + a n = 0 care prin substitutia tg x = t, se reduce la rezolvarea unei ecuatii algebrice de gradul n. Exemplul 9. Sa se rezolve ecuatiile a) sin x cos x = 0; c) 5 sin x + 5 sin x cos x = ; b) sin x + sin x cos x = 0; d) cos x + sin x =. Rezolvare. a) Ecuatia a) reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul intai. Se multiplica cu si se obtine ecuatia liniara in raport cu tg x cos x tg x = 0 de unde tg x = si x = π 8 + π n, n Z. b) Cum sin x = sin x cos x ecuatia b) se scrie sin x+ sin x cos x cos x = 0 si reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul al doilea. Se multiplica cu si se obtine ecuatia cos x patrata tg x + tg x = 0 cu solutiile tg x = si tg x =. Prin urmare x = arctg + πn, n Z, x = π + πk, k Z. c) Se scrie = = (sin x + cos x) si ecuatia devine 5 sin x + 5 sin x cos x = sin x + cos x 7

8 sin x + 5 sin x cos x cos x = 0 adica o ecuatie trigonometrica omogena de gradul al doilea. Se rezolva similar exemplelor precedente si se obtin solutiile x = arctg + πk, k Z si x = arctg + πn, n Z. d) Cum cos x = cos x sin x, sin x = sin x cos x, = (sin x + cos x), ecuatia devine cos x sin x + sin x cos x = sin x + cos x ( + ) sin x sin x cos x + ( ) cos x = 0, adica este o ecuatie trigonometrica omogena de gradul al doilea. Se multiplica cu obtine ecuatia patrata ( + ) tg x tg x + = 0 cu solutia tg x =, rationalizand numitorul, tg x =. + Asadar, x = arctg( ) + πn, n Z. cos x si se Metoda transformarii sumei functiilor trigonometrice in produs Ecuatiile de forma cu ajutorul formulelor transformarii sumei in produs sin α(x) ± sin β(x) = sin sin α(x) ± sin β(x) = 0 () cos α(x) ± cos β(x) = 0 () α(x) ± β(x) cos α(x) β(x) α(x) + β(x) α(x) β(x) cos α(x) + cos β(x) = cos cos α(x) β(x) α(x) + β(x) cos α(x) cos β(x) = sin sin se reduc la ecuatii trigonometrice simple. Exemplul 0. Sa se rezolve ecuatiile () (5) (6) a) sin x + sin x = 0; c) cos 5x = sin x; b) cos x + cos x = 0; d) sin x + cos x + sin x + cos x = 0. Rezolvare. a) sin x + sin x = 0 sin x + x cos x x sin x = 0, = 0 cos x = 0, x = πn, n Z, x = π + πk, k Z x = πn, n Z (se observa ca solutiile x = π + πk, k Z 8

9 se contin in solutiile x = πn, n Z - a se desena cercul trigonometric si a se depune pe el solutiile obtinute). b) cos x + cos x = 0 cos x cos( x) = 0. Cum functia cosinus este o functie para, se obtine totalitatea [ cos x = 0, cos x = 0, de unde x = π + π k, k Z, x = π + πn, n Z. ( ) π c) Cum cos 5x = sin 5x (formulele de reducere) se obtine ecuatia ( ) π sin 5x sin x = 0 ( ) ( ) π π sin x cos x = 0, de unde, tinand seama ca functia sinus este impara, iar functia cosinus este para, se obtine totalitatea ( sin x π ) = 0, ( cos x π ) = 0, x π = πk, x = π 6 + π k, k Z, x π = π + πn, x = π + πn, n Z. d) Se grupeaza convenabil: (sin x + sin x) + (cos x + cos x) = 0, se aplica formulele () si (5) si se obtine ecuatia sin x cos x + cos x cos x = 0 cos x(sin x + cos x) = 0, de unde rezulta totalitatea de ecuatii [ cos x = 0, sin x + cos x = 0. Din prima ecuatie se obtine x = π + πn, n Z. Ecuatia secunda a totalitatii se rezolva similar exemplului c) si se obtine x = π + πm, m Z (se contine in solutia deja obtinuta) si x = π 0 +πk 5, k Z. Asadar solutiile ecuatiei initiale sunt x = π π +πn, x = 0 +πk, n, k Z. 5 Metoda transformarii produsului in suma (utilizarea formulelor sin(α ± β), cos(α ± β)). 9

10 Exemplul. Sa se rezolve ecuatiile a) cos x cos x sin x sin x = ; b) cos x cos x = cos x. Rezolvare. a) cos x cos x sin x sin x = cos(x + x) = cos x = x = πk, k Z x = π k, k Z. b) Cum cos x cos x = [cos(x + x) + cos(x x)] = (cos x + cos x) se obtine cos x cos x = 0, de unde rezulta cos x + cos x = cos x, sin( x) sin x = 0. Ultima ecuatie este echivalenta cu totalitatea [ sin x = 0, sin x = 0, de unde x = πk, k Z (solutiile primei ecuatii se contin in solutiile ecuatiei secunde). Aceasta metoda utilizeaza formulele Metoda micsorarii puterii cos x = sin x = + cos x, (7) cos x, (8) sin x + cos x = sin x, (9) sin 6 x + cos 6 x = sin x, (0) sin 8 x + cos 8 x = cos x + 8 sin x, () in scopul micsorarii gradului ecuatiei ce urmeaza a fi rezolvate. utilizeaza si la rezolvarea ecuatiilor Formulele (7) si (8) se sin ax + sin bx = sin cx + sin dx, () cos ax + cos bx = cos cx + cos dx, () daca numerele a, b, c si d verifica una din conditiile a + b = c + d a b = c d. 0

11 Exemplul. Sa se rezolve ecuatiile a) cos x + cos x + cos x = ; b) sin x + cos x = sin x cos x; c) cos 6 x + sin 6 x = cos x. Rezolvare. a) Se utilizeaza formula (7) si se obtine ecuatia echivalenta + cos x Se grupeaza convenabil si se obtine + + cos x + + cos 6x cos x + cos x + cos 6x = 0. = (cos x + cos 6x) + cos x = 0 cos x cos x + cos x = 0 cos x( cos x + ) = 0 cos x = 0, cos x =, x = π 8 + π n, n Z, x = ± π + πk, k Z. b) Cum (a se vedea (9)) sin x + cos x = sin x, iar sin x cos x = sin x, ecuatia devine sin x = sin x sin x + sin x = 0, de unde rezulta sin x = si x = π 8 + π n, n Z. c) Cum cos 6 x + sin 6 x = sin x = ( cos x) = + cos x, ecuatia devine + cos x cos x = 0 cos x cos x + = 0, de unde rezulta totalitatea cos x =, cos x =, x = πn, n Z, x = ± arccos + πk, k Z. Ecuatii de tipul a sin x + b cos x = c, a b c 0. () Se propun urmatoarele metode de rezolvare a ecuatiilor de forma ():

12 a) Reducerea la o ecuatie omogena de gradul al doilea in raport cu sin x si cos x. Se scrie sin x = sin x = sin x cos x, cos x = cos x = cos x sin x, c = c = c ( sin x + x ) cos si ecuatia () devine (b + c) sin x a sin x cos x + (c b) cos x = 0, - omogena de gradul daca (c b)(b + c) 0,, in caz contrar, se reduce la rezolvarea unei ecuatii omogene de gradul si a unei ecuatii de tipul () (5). Exemplul. Sa se rezolve ecuatiile a) sin x + cos x = ; b) sin x + cos x =. Rezolvare. a) sin x + cos x = sin x cos x + cos x sin x = sin x + cos x sin x = 0, sin x cos x sin x = 0 sin x(cos x sin x) = 0 cos x sin x = 0, sin x = 0, x = πk, k Z, tg x =, x = π + πn, n Z. b) sin x + cos x = sin x cos x + x cos x sin = sin x + cos x ( +) sin x sin x cos x +( ) cos x = 0 ( +) tg x tg x+ = 0 tg x = x = arctg( ) + πn, n Z. b) Utilizarea formulelor sin α = tg α + tg α, cos α = tg α + tg α (α π + πk, k Z). (5) Cu ajutorul formulelor indicate, ecuatia () se reduce al o ecuatie patrata in raport cu tg x. Se tine seama ca aplicarea acestor formule aduce la pierderea solutiilor α = π +πk, k Z, din ce cauza se verifica (prin substituirea directa in ecuatia initiala), daca ele sunt ba solutii ale ecuatiei (). Exemplul. Sa se rezolve ecuatiile a) sin x + cos x = ; b) sin x + cos x =.

13 Rezolvare. a) Cum sin x = tg x + tg x, cos x = ( tg x + tg x, x π ) + πn, n Z x = π + πn, n Z nu verifica ecuatia data, ecuatia este echivalenta cu ecuatia si cum tg x + tg x + tg x + tg x = + tg x = tg x + tg x, de unde rezulta tg x = 0, tg x =, x = πk, k Z, x = π + πn, n Z. b) Se aplica formulele (5) si se obtine tg x =, tg x + tg x + tg x + tg x x π + πk, k Z, =, tg x + tg x = tg x, x π + πk, k Z, de unde si x = π + πn, n Z. Verificarea directa arata ca si x π + πk, x = π + πk, k Z sunt solutii ale ecuatiei date. Asadar solutiile ecuatiei date sunt x = π + πk, x = π + πn, k, n Z. Cum a b c 0 ecuatia () se scrie c) Metoda unghiului auxiliar. a a + b sin x + b a + b cos x = c a + b (6) a b si cum, a + b si a + b un unghi α, astfel incat ( a a + b ) + ( b a + b ) = rezulta ca exista un unghi β, astfel incat cos α = sin β = a a + b si sin α = a a + b si cos β = b a + b (7) b a + b. (8)

14 Atunci ecuatia (6) se scrie sin(x + α) = cos(x β) = c a + b, c a + b. Ultimile ecuatii nu prezinta greutati in rezolvare. c Nota. Se observa ca ecuatia () are solutii daca si numai daca, iar valoarea a + b maxima a functiei f(x) = a sin x + b cos x este a + b si valoarea minima este a + b. Exemplul 5. Sa se rezolve ecuatiile a) sin x + cos x = ; b) sin x + cos x = 5; c) sin x + cos x =. Rezolvare. a) sin x + cos x = sin x + cos x = ) cos x cos π +sin x sin π = cos x = π ± π + πk, k Z ( x π x = πn, n Z, = x π = ±π +πk, k Z x = π + πk, k Z. b) sin x + cos x = 5 5 sin x + sin x cos α + cos x sin α =, 5 cos x = sin α = 5 ; cos α = 5, sin(x + α) =, tg α =, x = π + πk arctg, k Z. c) Cum valoarea maxima a membrului din stanga ecuatiei este + = si < rezulta ca ecuatia nu are solutii. Ecuatii de tipul F (sin x ± cos x, sin x cos x) = 0. Ecuatiile de asa tip se rezolva cu ajutorul substitutiei t = sin x ± cos x, t. Exemplul 6. Sa se rezolve ecuatiile: a) (sin x + cos x) + sin x + = 0; b) sin x = cos x sin x; c) cos x + sin x + sin x cos x = 5. Rezolvare. a) Se noteaza t = sin x+cos x, atunci t = (sin x+cos x) = +sin x, si ecuatia devine t + t = 0, de unde t = 0 t =. Cum ecuatia sin x + cos x = nu are solutii, ramane sin x + cos x = 0 - ecuatie omogena de gradul intai cu solutiile x = π + πn, n Z.

15 b) Se noteaza cos x sin x = t, atunci sin x = t si ecuatia devine t = t cu solutiile t = 0, t =. Asadar cos x sin x = 0, cos x sin x =, x = π + πk, k Z, x = π ± π + πn, n Z c) DVA al ecuatiei este R \ tg x = 0, ( cos x + π ) =, x = π + πk, k Z, x = πn, n Z, x = π + πm, m Z. { π n, n Z }. In DVA ecuatia se scrie sin x + cos x 5 sin x cos x + = 0. Se noteaza t = sin x + cos x si se obtine ecuatia patrata 5t t 7 = 0, cu solutiile t = si t = 7 5. Prin urmare sin x+cos x =, de unde x = π ± π +πm, m Z (nu verifica DVA al ecuatiei) sin x + cos x = 7 5, de unde x = π ± arccos πk, k Z. Metoda descompunerii in factori Aceasta metoda este una din cele mai frecvente si presupune o cunoastere satisfacatoare a formulelor trigonometrice. Exemplul 7. Sa se rezolve ecuatiile a) sin x cos x = cos x; b) sin x sin x + cos x = cos x sin x; c) sin x + cos x = + tg x. Rezolvare. a) sin x cos x = cos x (sin x cos x)(sin x + sin x cos x + cos x) = 5

16 = cos x sin x (sin x cos x)( + sin x cos x + (cos x + sin x)) = 0 tg x =, sin x cos x = 0, + t + t = 0, + sin x cos x + (cos x + sin x) = 0, t = sin x + cos x, x = π + πn, n Z, t + t + = 0, t = sin x + cos x, x = π + πk, k Z, sin x + cos x =, x = π + πk, k Z, x = π + πn, n Z, x = π + πm, m Z. b) Se trec toti termenii in stanga ecuatiei si se grupeaza convenabil: (sin x + sin x) + cos x (sin x + cos x) = 0. Se utilizeaza formulele sumei sinusurilor si sinusului unghiului dublu si se obtine ( sin x cos x + cos x) ( sin x cos x + cos x) = 0 cos x [(sin x + ) (sin x + cos x)] = 0. Se tine seama ca sin x + = sin x cos x + sin x + cos x = (sin x + cos x) si ecuatia devine de unde se obtine totalitatea cos x[(sin x + cos x) (sin x + cos x)] = 0 cos x(sin x + cos x)(sin x + cos x ) = 0, cos x = 0, sin x + cos x = 0, sin x + cos x = 0. Din prima ecuatie a totalitatii se obtine x = π +πk, k Z. Cea secunda reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul intai cu solutiile x = π + πm, m Z. Ecuatia a treia se rezolva, de exemplu, prin metoda introducerii unghiului auxiliar si are solutiile x = πn, n Z 6

17 si x = π + πl, l Z. Ultimul set de solutii se contine in multimea solutiilor primei ecuatii si prin urmare multimea solutiilor ecuatiei initiale este x = π + πk, x = π + πm, x = πn, k, m, n Z. { } π c) DVA al ecuatiei este R \ + πk, k Z (cos x 0). Ecuatia se scrie Se grupeaza convenabil: sin x + cos x = + sin x cos x sin x cos x + cos x cos x sin x = 0., cum cos x = ( sin x) = sin x, cos x( sin x ) + ( cos x sin x) = 0, cos x( sin x ) + ( sin x sin x) = 0. Cum sin x sin x = sin x + sin x sin x = ( sin x) + sin x( sin x) = = ( sin x)( + sin x), ecuatia devine cos x( sin x ) + ( sin x)( + sin x) = 0, ( sin x )( cos x sin x ) = 0. Cum cos x sin x = (cos x ) sin x = ( sin x ) sin x cos x = = sin x ( sin x + cos x ), ecuatia se scrie de unde rezulta ( sin x ) sin x ( sin x + cos x ) = 0. sin x =, cu solutiile x = ( )n π 6 + πn, n Z, sin x = 0, cu solutiile x = πm, m Z, sin x + cos x = 0, cu solutiile x = arctg + πk, k Z. Toate solutiile obtinute verifica DVA al ecuatiei. In incheiere vom prezenta unele metode utile de rezolvare a ecuatiilor trigonometrice. 7

18 Exemplul 8. Sa se rezolve ecuatiile: a) cos x + cos x + cos x cos nx = n, n N, n ; b) sin x + sin x + sin x sin nx = n, n N, n ; c) sin x + cos x = ; d) sin 0 x cos 7 x = ; e) sin x cos x = ; f) sin x + cos 6x cos x + sin 0x = 7; g) sin x (cos x ) sin x + cos x ( + sin x cos x) = 0; h) sin x sin x sin x + sin x = 0; i) 6 + cos x 9 cos x cos x cos x = ; j) cos x cos x cos x cos 8x = 6. Rezolvare. a) Cum pentru orice m natural cos mx, membrul din stanga ecuatiei va fi egal cu n daca si numai daca fiecare termen va fi egal cu unu. Asadar rezulta sistemul cos x =, cos x =,... cos nx = cu solutiile x = πk, k Z. b) Se rezolva similar exemplului a) si se obtine sistemul sin x =, sin x =,... sin nx =, care este incompatibil. Intr-adevar, solutiile primei ecuatii: x = π + πn, n Z nu verifica a ( ) π doua ecuatie a sistemului: sin + πn = sin(π + πn) = 0. Prin urmare ecuatia nu are solutii. c) Cum sin x sin x, cos x cos x implica sin x + cos x sin x + cos x, sin x + cos x, iar in ultima inegalitate semnul egalitatii se atinge daca si numai daca { sin x = 0, cos x =, { sin x =, cos x = 0. 8

19 rezulta ca ecuatia are solutiile x = πm, m Z (din primul sistem al totalitatii) si x = π + πn, n Z (din sistemul secund). d) Se utilizeaza acelasi procedeu ca si in exemplul precedent: sin 0 x sin x, cos 7 x cos x, de unde sin 0 x cos 7 x si, prin urmare, semnul egalitatii se atinge cand { sin 0 x = sin x, cos 7 x = cos x, adica sin x {0; ; }, iar cos x {0; }. Asadar se obtine x = π + πn; x = π + πm, n, m Z. e) Cum sin x, cos x, membrul din stanga ecuatiei va fi egal cu minus unu, daca si numai daca sin x =, cos x =, sin x =, cos x =. Din sin x =, rezulta x = π + πn si atunci cos x = cos(π + 8πn) =, adica primul sistem al totalitatii este incompatibil. Din sin x = rezulta x = π + πk si atunci cos ( π + πk) = cos π =, deci x = π + πk, k Z sunt solutiile sistemului (si ecuatiei enuntate). f) Cum sin x+ cos 6x cos x sin x+ cos x 5 (a se vedea nota la Metoda unghiului auxiliar), sin 0x se obtine sin x + cos 6x cos x + sin 0x 7, si semnul egalitatii se atinge doar pentru { { cos 6x =, sin 6x = 0, sin 0x =, sin 0x =, de unde x = πn 6, n Z, x = π 0 + πm 0, m Z. Ultimul sistem este incompatibil. In adevar conduce la ecuatia in numere intregi πn 6 = π 0 + πm 0, n, m Z 0n = + 6m 0n 6m = care nu are solutii: diferenta a doua numere pare nu este un numar impar. Prin urmare ecuatia enuntata nu are solutii. 9

20 g) Ecuatia se scrie ( sin x + x ) (sin x + cos x) + cos x = 0 sin 5x + cos x =. Membrul din stanga nu intrece doi (sin 5x, cos x ), prin urmare ecuatia are solutii daca si numai daca sin 5x =, x = π 5 + πk 5, k Z cos x =, x = πn, n Z. Sistemul obtinut (si deci si ecuatia initiala) are solutii daca vor exista asa n, k Z astfel incat π 5 + πk 5 = πn, + k = 5n de unde k = 5n k = n + (n ). Asadar, n urmeaza a fi divizibil prin, adica n = s, s Z de unde n = s + si cum + k = 5n, adica k = 5(s + ) se obtine k = 5s +, si x = π + πs, s Z. h) Membrul din stanga ecuatiei se considera trinom patrat in raport cu sin x. Discriminantul acestui trinom este D = 6 sin x 6 sin x, de unde rezulta ca ecuatia enuntata va avea solutii doar pentru sin x 0 sin x. Prin urmare (cum sin α 0 si sin β ) ecuatia poate avea solutii doar daca sin x = 0 sin x = adica x = πn respectiv x = π 6 + π m, n, m Z. Se substituie in ecuatie si se obtine. sin π n sin πn sin π n + sin πn = 0. Cum sin πn = 0, ramane sin π n = 0, de unde n = m, m Z, adica din primul set se obtine solutiile x = πm, m Z. ( π. sin 6 + π ) ( ) ( π π m sin + πm sin 6 + π ) ( ) π m + sin + πn = 0. Cum sin ( π + πm ) = cos πm =, se obtine ( π sin 6 + π ) ( π m sin 6 + π ) m + = 0 adica ( ( π sin 6 + π ) m ) = 0, de unde rezulta x = π 6 + πk x = 5π 6 + πk, k Z adica x = ( )k π 6 + πk, k Z. 0

21 Asadar solutiile ecuatiei date sunt x = πn, n Z, x = ( ) n π 6 + πk, k Z. i) Se noteaza cos x = t si ecuatia devine 6t 8t + + de unde 6t t + 9 (t ) + (t ) =, t + t =. Se tine seama ca t = t si = = t + t si utilizand proprietatile modulului se obtine inecuatia (t )( t) 0, de unde t, adica cos x cos x. Din ultima inecuatie se obtine (a se vedea tema Inecuatii trigonometrice) solutiile ecuatiei enuntate x = { } { π 6 + πk; π + πk πk π ; πk π }, k Z. 6 j) Cum x = πk, k Z nu sunt solutii ale ecuatiei date (cos πk = ±, cos πk = cos πk = = cos 8πk = ) se multiplica ambii membri ai ecuatiei cu 6 sin x si se utilizeaza formula sinusului unghiului dublu 6 sin x cos x cos x cos x cos 8x = sin x, 8 sin x cos x cos x cos 8x = sin x, sin x cos x cos 8x = sin x, sin 8x cos 8x = sin x, sin 6x = sin x, sin 6x sin x = 0, sin 5x 7x cos = 0, de unde sin 5x = 0, x = πk 5, k Z, k 5s, s Z (deoarece x πm) si cos 7x = 0, x = π 7 + πm, m Z, m 7s+8, s Z. 7 Sa se rezolve ecuatiile. sin x = cos x; Exercitii pentru autoevaluare

22 . 7 tg x ctg x = ;. tg x tg x + = 0;. 6 cos x + 5 cos x + = 0; 5. sin x cos x = cos x; 6. cos x + sin x cos x + 5 sin x = ; 7. cos x sin x sin x cos x = 0; 8. cos x cos x = sin 7x sin 6x + 8 cos π ; 9. cos x cos 6x = cos 5x cos 8x; 0. sin x + sin x = sin x + sin x;. (sin x + cos x) = sin x cos x + sin x cos x ;. cos x = cos x;. sin x = sin x;. sin 5x = cos x; 5. cos x + cos x = 0; 6. 8 sin x cos x + sin x = (sin x + cos x) ; 7. sin x + sin x = cos x; 8. 8 cos x = + 5 cos x; 9. sin x( + cos x) = 7 sin x; 0. sin x sin x = ;. cos x + cos x + cos x + cos x = ;. 6 cos x + cos x = cos x;. sin x + cos x + sin x + cos x + = 0;. tg x = cos x ctg x; 5. + sin x cos x = 0.

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC .Masurarea unghiurilor intr-un triunghi dreptunghic sin B= cateta opusa ipotenuza = AC BC cateta alaturata, cos B= AB ipotenuza BC cateta opusa AC cateta alaturata AB tg B=, ctg B= cateta alaturata AB

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc = GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier

Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

VII.2. PROBLEME REZOLVATE

VII.2. PROBLEME REZOLVATE Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.2 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Radicalul C 6 H 5 - se numeşte fenil. ( fenil/

Διαβάστε περισσότερα

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y). Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme de ecuaţii diferenţiale

Sisteme de ecuaţii diferenţiale Curs 5 Sisteme de ecuaţii diferenţiale 5. Sisteme normale Definiţie 5.. Se numeşte sistem normal sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi dx dt = f (t, x, x 2,..., x n ) dx 2 dt = f 2(t, x, x

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

1Ecuaţii diferenţiale

1Ecuaţii diferenţiale 1Ecuaţii diferenţiale 1.1 Introducere Definitia 1.1 Se numeşte ecuaţie diferenţială ordinarădeordin1: y 0 (x) =f (x, y (x)) (EDO) unde y este funcţia necunoscută, iar f este o funcţie de două variabile

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA SECŢIUNILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor

Διαβάστε περισσότερα

Lucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi

Lucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC http://mathettituiasiro/maticiuc/ CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii

Διαβάστε περισσότερα

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a)

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a) Universitatea "Dunărea de Jos" din Galaţi MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA 01 DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a Testele sunt recomandate pentru următoarele domenii de licenţă şi facultăţi:

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI

IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ 2018

TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ 2018 TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ 8 A U T O R I Prof.univ.dr. Vasile Câmpian Prof.univ.dr. Iuliu Crivei Prof.univ.dr. Bogdan Gavrea Prof.univ.dr. Ioan Gavrea Prof.univ.dr. Dumitru Mircea Ivan Prof.univ.dr. Nicolaie

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016 16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα