Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μαθηματικών ΒΑΡΥΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. Διπλωματική εργασία της: Ελένης-Άννας Φαλλίδα. Επιβλέπων καθηγητής: Βασίλειος Παπαγεωργίου

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μαθηματικών ΒΑΡΥΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Διπλωματική εργασία της: Ελένης-Άννας Φαλλίδα Επιβλέπων καθηγητής: Βασίλειος Παπαγεωργίου Πάτρα, Σεπτέμβριος 2016

2 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω κι από την θέση αυτή τον Καθηγητή κ. Βασίλη Παπαγεωργίου για την επίβλεψη της παρούσας εργασίας και την υποστήριξή του καθ όλη τη διάρκεια των μεταπτυχιακών σπουδών μου. Ιδιαίτερα θέλω να ευχαριστήσω από καρδιάς τον Καθηγητή κ. Δημήτρη Τσουμπελή για τον χρόνο που διέθεσε για να με μυήσει στην Γενική Σχετικότητα, την υπομονή και τη στήριξη που μου προσέφερε. Οι σημειώσεις που έθεσε στη διάθεσή μου, οι εύστοχες παρατηρήσεις του και η οργάνωση που μου υπέδειξε αποτέλεσαν σημαντική βοήθεια στην ολοκλήρωση της εργασίας αυτής. Τέλος, ευχαριστώ θερμά τον κ. Αναστάσιο Τόγκα για την βοήθεια και τις συμβουλές που μου προσέφερε απλόχερα για την εκπόνηση της εργασίας μου.

3

4 Περίληψη Η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας είναι η κλασική θεωρία του πεδίου βαρύτητας, στην οποία κατέληξε ο Albert Einstein το 1915, έχοντας ξεκινήσει με σποπό να γενικεύσει τα αποτελέσματα της Ειδικής Σχετικότητας. Στη βάση αυτής της θεωρίας, ο Einstein πρόβλεψε την ύπαρξη βαρυτικών κυμάτων που είναι και το αντικείμενο μελέτης της παρούσας διπλωματικής εργασίας. Στις αρχές του τρέχοντος έτους (2016), η επιστημονική ομάδα του LIGO (Laser Interferometer Gravitational-wave Observatory) ανακοίνωσε την καταγραφή βαρυτικών κυμάτων από τους ανιχνευτές της ομώνυμης πειραματικής διάταξης. Τα βαρυτικά κύματα, λοιπόν, αποτελούν ένα από τα πιο ενδιαφέροντα θέματα της σύγχρονης φυσικής, αφού, εκτός των άλλων, ανοίγουν το δρόμο για έναν εντελώς καινούριο τρόπο αστρονομικής παρατήρησης του σύμπαντος. Ο στόχος της εργασίας αυτής είναι διπλός: α) Χρησιμοποιώντας μια σύγχρονη γεωμετρική σκοπιά, να παρουσιάσουμε το απαραίτητο θεωρητικό πλαίσιο της Γενικής Θεωρίας Σχετικότητας του Einstein και, ειδικότερα, το μέρος που αφορά το θέμα διαπραγμάτευσης της παρούσας εργασίας - τα βαρυτικά κύματα - και β) να παρουσιάσουμε πρόσφατα επιτεύγματα και εξελίξεις στην ανίχνευση βαρυτικών κυμάτων και την χρησιμότητά τους στην αστρονομική παρατήρηση. Έτσι, στο πρώτο κεφάλαιο, παρουσιάζονται τα βασικά μαθηματικά εργαλεία που είναι απαραίτητα για τη διατύπωση της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας, δηλαδή, κάποια στοιχεία τανυστικού λογισμού και διαφορικής γεωμετρίας. Αναλύουμε τις έννοιες του τανυστή και της πολλαπλότητας με ορισμούς, παραδείγματα και εφαρμογές που θα αποτελέσουν τη βάση για τη μετέπειτα μελέτη Στο δεύτερο κεφάλαιο, συνδυάζοντας την γεωμετρία του χωροχρόνου με τη φυσική μελετάμε τα βασικά σημεία της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας, με αναφορές στη Νευτώνεια φυσική και διατυπώνουμε τις εξισώσεις πεδίου που προτάθηκαν από τον Einstein το Στο τρίτο κεφάλαιο, αναλύουμε την λύση Schwarzschild. Η λύση αυτή παρουσιάστηκε μόλις λίγους μήνες μετά τη δημοσίευση Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας από τον Einstein. Η λύση του Schwarzschild περιγράφει το εξωτερικό βαρυτικό πεδίο ενός στατικού και σφαιρικά συμμετρικού σώματος, όπως μπορεί να θεωρηθεί η γη και ο ήλιος μας, με μια αρκετά καλή προσέγγιση.

5 Συνεχίζουμε με τo κύριο μέρος της διπλωματικής αυτής εργασίας, το οποίο παρουσιάζεται στο τέταρτο κεφάλαιο και αφορά τα βαρυτικά κύματα, όπως αυτά αναδύονται από την γραμμική προσέγγιση των εξισώσεων πεδίου του Einstein. Στο πλαίσιο της Γενικής Σχετικότητας, η γραμμική προσέγγιση περιγράφει αρκετά καλά τα περισσότερα βαρυτικά φαινόμενα, εκτός από εκείνα που συνδέονται με την βαρυτική κατάρρευση άστρων και τις «μαύρες τρύπες», καθώς και την δομή του χωροχρόνου σε μεγάλη κλίμακα. Θα δούμε ότι οι κυματικές λύσεις οδηγούν στο αποτέλεσμα ότι τα βαρυτικά κύματα είναι εγκάρσια κύματα με δυο καταστάσεις πόλωσης. Η ανίχνευση των κυμάτων βαρύτητας, τα οποία προβλέπονται από τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας, θα αποτελέσει και την παρατηρησιακή επαλήθευσή της. Πιθανές πηγές ανιχνεύσιμων βαρυτικών κυμάτων είναι οι μαύρες τρύπες ή γενικότερα συμπαγείς αστέρες που περιστρέφονται ο ένας γύρω από τον άλλον. Με βάση τον τρόπο με τον οποίο αλληλεπιδρούν τα βαρυτικά κύματα με την ύλη έχουν κατασκευαστεί όργανα ανίχνευσής τους στη γη και στο διάστημα. Οι μέθοδοι και τα όργανα ανίχνευσης των βαρυτικών κυμάτων καθώς και οι πιο πρόσφατες εξελίξεις στον τομέα αυτό, είναι το αντικείμενο του πέμπτου και τελευταίου κεφαλαίου της εργασίας αυτής.

6 Abstract The General Theory of Relativity is the classical theory of gravity that Albert Einstein arrived to in 1915, as the end result of his attempts to generalize Special Relativity. In General Relativity, Einstein predicted the existence of gravitational waves which are the topic of this thesis. In the early 2016, the LIGO (Light Interferometer Gravitational waves Observatory) group of scientistists announced the detection of gravitational waves by LIGO s interferometers. So, gravitational waves are one of the most interesting subjects in modern physics, because of their connection with results of astronomical observations. The present thesis has a double goal: a) To describe the mathematical tools used in the formulation of General Relativity, especially the part related to gravitational waves, which are the main topic of the thesis and b) To present the latest developments in experimets for the detection of gravitational waves and their use in astronomical observations. In the first chapter, we present the mathematical background of General Relativity, in particular, tensor calculus and differential geometry. We analyze the meaning of tensors and manifolds, using specific examples and applications. In the second chapter, combining the geometry of spacetime with physics, we describe the foundations of General Relativity, in parallel with Newtonian physics, and introduce the field equations introduced by Einstein in Then, in the third chapter, we present the Schwarzschild solution, which was derived a few months after the publication of General Relativity by Einstein. The Schwarzschild solution describes the external gravitational field of a static and spherically symmetric distribution of mass, such as one can consider the Earth and the Sun, to a good approach. We continue with the main part of this thesis, which is covered in the fourth chapter, and we study gravitational waves, as they arise in the linear approximation to Einstein s field equations. This lapproximation describes most of gravitational phenomena, except from those connected with gravitational collapse of stars, black holes, and the structure of spacetime in the large scale. We conclude that General Relativity predicts the existence of gravitational waves, which are transverse and have two states of polarization. Detection of gravitational waves, which are predicted by the General Theory of Gravitation, will be crucial for its oabservational verification. Possible sources of detectable gravitational waves are black holes or compact rotating stars in general. Based on how gravitational waves react with matter, detectors have been designed on Earth and in space. The methods and technology used to detect gravitational waves, and the latest developments in this field are the subject of the fifth and last chapter of this thesis.

7 Κεφ. 1 Διαφορική γεωμετρία και τανυστικός λογισμός 1.1 Διαφορική γεωμετρία Όπως αναφέραμε στην περίληψη, η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας χρησιμοποιεί ως πρότυπο του χωρόχρονου μια τετραδιάστατη διαφορίσιμη πολλαπλότητα. Σε τούτο το εδάφιο εξηγούμε ποια είναι η έννοια αυτή και μια σειρά από γεωμετρικές κατασκευές που συνδέονται με την έννοια της διαφορικής πολλαπλότητας. Ένας τοπολογικός χώρος Hausdorff, που σε κάθε σημείο του υπάρχει περιοχή ομοιομορφική προς ένα ανοικτό σύνολο του n, λέγεται τοπολογική πολλαπλότητα ή απλώς πολλαπλότητα διάστασης n. (Ομοιομορφισμός ονομάζεται μια αμφιμονότιμη συνεχής απεικόνιση από εναν τοπολογικό χώρο σε έναν άλλον με συνεχή αντίστροφη απεικόνιση). Απλούστερα, μια πολλαπλότητα μοιάζει τοπικά με τον ευκλείδιο χώρο. Για παράδειγμα, αν συγκρίνω μια σφαίρα S 2 με το επίπεδο 2 φαινομενικά δεν έχουν καμία σχέση, όμως τοπικά ενα "κομμάτι" της σφαίρας παρουσιάζει ομοιότητες με ενα "κομμάτι" του 2 : Θεωρώ το σύνολο των σημείων (x, y, z) 3 για τα οποία ισχύει x 2 + y 2 + z 2 = 1 Το παραπάνω σύνολο ορίζει τη μοναδιαία σφαίρα S 2 στον 3 που αποτελεί πολλαπλότητα διάστασης 2. Θεωρώ ακομα τα ημισφαίρια z<0 και z>0 και ορίζω τους ομοιομορφισμούς φ 1 : S 2 (z > 0) U 1 : φ 1 (x, y, z) = (x, y, 0), φ 2 : S 2 (z < 0) U 2 : φ 2 (x, y, z) = (x, y, 0), όπου U 1 και U 2 η περιοχή x 2 + y 2 < 1 του 2 και S 2 (z > 0) τα σημεία της σφαίρας που ανήκουν στο πάνω ημισφαίριο, ενώ S 2 (z < 0) τα σημεία της σφαίρας που ανήκουν στο κάτω ημισφαίριο.

8 Με τον ίδιο τρόπο ορίζω και τους ομοιομορφισμούς για τα ημισφαίρια x>0, x<0, y>0, y<0. Επομένως, η σφαίρα μπορεί να καλυφθεί από 6 ημισφαίρια ομοιόμορφα προς ανοιχτά σύνολα του ευκλείδιου επίπεδου και άρα είναι μια τοπολογική πολλαπλότητα διάστασης 2. Τοπικός χάρτης μιας πολλαπλότητας Μ ονομάζεται κάθε ομοιομορφική απεικόνιση φ: U V ενός ανοικτού συνόλου U της Μ σε ένα ανοικτό σύνολο V του n. Σε μια πολλαπλότητα ορίζονται πάντα τοπικοί χάρτες. Σχ.1. Θεωρούμε μια πολλαπλότητα M διάστασης n στην οποία ισχύουν τα εξής: α) Υπάρχει μια οικογένεια ανοιχτών συνόλων της Μ, η {U α } που καλύπτουν την πολλαπλότητα έτσι ώστε αν ένα σημείο p ανήκει στην Μ τότε να ανήκει σε ένα τουλάχιστον από τα μέλη της {U α } και β) Σε κάθε U α ορίζεται η αντίστοιχη συνεχής και 1-1 απεικόνιση φ α : U α n. Ένα σύνολο χαρτών (U α, φ α ) που καλύπτουν ολόκληρη την πολλαπλότητα ονομάζεται άτλας. Ας υποθέσουμε ότι, U a U β και οι ομοιομορφισμοί φ α και φ β είναι τέτοιοι ώστε, ο ομοιομορφισμός φ α φ -1 β του φ α (U a U β ) επί του φ β (U a U β ) να είναι διαφορίσιμος κλάσης C r. Τότε λέμε ότι, η πολλαπλότητα είναι εφοδιασμένη με διαφορική δομή. Κάθε τοπολογική πολλαπλότητα εφοδιασμένη με μια διαφορική δομή καλείται διαφορική πολλαπλότητα. Δοσμένης μια πολλαπλότητας, μπορώ να ορίσω πάνω σε αυτή καμπύλες και επιφάνειες παραμετρικά. Έτσι, μια καμπύλη που έχει ένα βαθμό ελευθερίας, εξαρτάται από μια παράμετρο και γράφεται ως εξής 2

9 x a = x a (u) (a = 1, 2,..., n) (1.1) όπου u είναι η παράμετρος και x 1 (u), x 2 (u),..., x n (u) είναι n συναρτήσεις της παραμέτρου u. Όμοια, ένας υποχώρος ή μια επιφάνεια διάστασης m<n έχει m βαθμούς ελευθερίας, εξαρτάται από m παραμέτρους και δίνεται από τις παραμετρικές εξισώσεις: x a = x a u 1, u 2,..., u m (a = 1, 2,..., n) (1.2) Άν, πιο συγκεκριμένα ισχύει, m = n - 1, τότε ο υποχώρος καλείται υπερεπιφάνεια και σε αυτή την περίπτωση γράφω x a = x a u 1, u 2,..., u n-1 (a = 1, 2,..., n) (1.3) και οι n - 1 παράμετροι μπορούν να απαλειφούν από τις n εξισώσεις και να προκύψει μια εξίσωση που συνδέει τις συντεταγμένες, δηλαδή f x 1, x 2,..., x n = 0 (1.4) Ένα σημείο λοιπόν σε μια πολλαπλότητα έχει n βαθμούς ελευθερίας, αν βρίσκεται σε μια υπερεπιφάνεια,δηλαδη σε έναν n-1 διάστασης υπόχωρο, τότε θα ικανοποιεί έναν περιορισμό, όπως στη σχέση (1.4). Ομοια, σημεία που βρίσκονται σε έναν m-διάστατο υποχώρο της πολλαπλότητας (m<n) θα πρέπει να ικανοποιούν n-m περιορισμούς f 1 x 1, x 2,..., x n = 0... (1.5) f n-m x 1, x 2,..., x n = 0 που είναι μια εναλλακτική παραμετρική αναπαράσταση της (1.3). Οπως είπαμε παραπάνω, ένα σημείο σε μια πολλαπλότητα μπορεί να ανήκει σε παραπάνω από έναν χάρτες. Ετσι, θα πρέπει να μπορούμε να μεταφερθούμε από το ένα σύστημα συντεταγμένων στο αλλο. Γι αυτό, θεωρούμε την αλλαγή συντεταγμένων x a x' a που δίνεται από n εξισώσεις x' a = f a x 1, x 2,..., x n (a = 1, 2,..., n) (1.6) όπου f a συνεχώς διαφορίσιμες συναρτήσεις. Πιο απλά μπορούμε να γράψουμε x' a = x' a (x) (1.7) Εάν παραγωγίσω τις n συναρτήσεις της (1.7) ως προς καθεμια από τις συντεταγμένες x b, θα προκύψει ένας n n πίνακας μετασχηματισμού 3

10 Η ορίζουσα x'a x b = x' 1 x' 1 x 1 x 2... x' 2 x' 2 x 1 x 2... x' 1 x n x' 2 x n x' n x 1 x' n x 2... του παραπάνω πίνακα J λέγεται Ιακωβιανή του μετασχηματισμού. x' n x n J = x'a x b (1.9) Όταν η Ιακωβιανή είναι μη μηδενική, τότε ο πίνακας (1.8) είναι αντιστρέψιμος και άρα μπορώ να λύσω τις σχέσεις (1.7) ως προς τις παλιές συντεταγμένες και να πάρω τις αντίστροφες συναρτήσεις ενώ για τις Ιακωβιανές θα ισχύει οτι J = 1 / J. x a = x a (x') (1.10) Σε αυτό το σημείο εισάγουμε την σύμβαση του Einstein σύμφωνα με την οποία όταν σε μια έκφραση ένας δείκτης εμφανίζεται δυο φορές, μια πάνω μια κάτω, τότε η δοσμένη έκφραση σημαίνει το άθροισμα των όρων που προκύπτουν όταν ο δείκτης πάρει όλες τις δυνατές τιμές του. Για παράδειγμα: T a n b x b = T a b x b = T a 1 x 1 + T a 2 x T a n x n (1.11) b=1 Ο δείκτης a που συναντάται και στα δυο μέλη της εξίσωσης ονομάζεται ελεύθερος δείκτης και παίρνει κάθε τιμή ξεχωριστά από το 1 έως το n, ενώ ο δείκτης b στο δεξί μέλος καλείται επαναλαμβανόμενος ή βουβός δείκτης και ως προς αυτόν υπονοείται η άθροιση. Το δ του Kronecker ως εξής: δ a b = 1 για a = b 0 για a b Άρα, από τον ορισμό της μερικής παραγώγου προκύπτει: x' a (1.12) x ' b = xa x b = δ b a (1.13) Παραδειγμα: Ένα διάνυσμα Α μ έχει συνιστώσες (x y, 3 y, y z ) σε ένα σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων ( x, y, z ) = x 1, x 2, x 3 ). Να βρεθούν οι συνιστώσες του σε σφαιρικές 4

11 συντεταγμένες ( r, θ, φ )= (x') 1, (x') 2,(x') 3 ) Λυση: Οι συνιστώσες του διανύσματος στις καρτεσιανές συντεταγμένες είναι: Α 1 = x y = x 1 x 2 Α 2 = 3 y = 3 x 2 Α 3 = y z = x 2 x 3 οπότε στο νέο σύστημα συντεταγμένων οι συνιστώσες θα δίνονται από τη σχέση: x j Α k = x' A k j = x1 x' A k 1 + x2 x' A k 2 + x3 x' A k 3 (1.14) j οπότε στην ουσία απαιτείται ο υπολογισμός των στοιχείων xj x' k μετασχηματισμού των καρτεσιανών σε σφαιρικές συντεταγμένες x 1 = r sinθ cosφ = x' 1 sinx' 2 cos x' 3 οπότε x 2 = r sinθ sinφ = x' 1 sinx' 2 sin x' 3 x 3 = r cosθ = x' 1 cos x ' 2 του Ιακωβιανού πίνακα Α' 1 = x1 x' 1 με ανάλογο τρόπο A 1 + x2 x' 1 A 2 + x3 x' 1 A 3 = sinx' 2 cos x' 3 x 1 x sin x' 2 sinx' 3 x 2 + cos x' 2 x 2 x 3 = x' 1 3 sin 3 x' 2 sinx' 3 cos 2 x' x 1 sin 2 x' 2 sin 2 x' 3 + x 1 2 sinx' 2 cos 2 x' 2 sinx' 3 Α' 2 = x1 x' 2 Α' 3 = x1 x' 3 A 1 + x2 x' 2 A 2 + x3 x' 2 A 3 A 1 + x2 x' 3 A 2 + x3 x' 3 A 3 Το ολικό διαφορικό μιας διαφορίσιμης συνάρτησης δύο μεταβλητών, f (x, y), γράφεται ως εξής: d z = f x dx + f y dy (1.15) Με ανάλογο τρόπο μπορούμε να γράψουμε το ολικό διαφορικό κάθε μιας από τις συναρτήσεις (1.7) στη μορφή d x' a = x'a x 1 dx1 + x'a x 2 dx x'a x n dxn, (1.16) 5

12 ή, με βάση την σύμβαση Einstein, d x' a = x'a x b dxb (1.17) 1.2 Τανυστικός λογισμός Θα ορίσουμε τώρα μια σειρά από γεωμετρικές ποσότητες, με βάση τον τρόπο με τον οποίο μετασχηματίζονται όταν περνάμε από το ένα σύστημα συντεταγμένων σε ένα άλλο. Τανυστής ονομάζεται κάθε γεωμετρική ποσότητα που ορίζεται σε μια διαφορική πολλαπλότητα και είναι ανεξάρτητη από τις συντεταγμένες (χάρτες) που είναι απαραίτητες για την τμηματική απεικόνιση της πολλαπλότητας στον n. Γενικότερα ένας τανυστής εκφράζεται τοπικά, δηλαδή, σε κάθε χάρτη ξεχωριστά, από ένα σύνολο συναρτήσεων n μεταβλητών. Αυτές οι συναρτήσεις ονομάζονται συνιστώσες του τανυστή στο αντίστοιχο σύστημα συντεταγμένων. Ονομάζουμε ανταλλοίωτο τανυστή 1 ης τάξης ένα σύνολο n ποσοτήτων που συμβολίζεται με X a στο σύστημα συντεταγμένων x a που είναι προσαρτημένο στο σημείο P και μετασχηματίζεται ως εξής: X ' a = x' a x b Xb (1.18) Μπορούμε να γενικεύσουμε και να μιλήσουμε και για ανταλλοίωτους τανυστές ανώτερης τάξης. Έτσι τανυστής 2 ης τάξης ορίζεται το σύνολο n 2 ποσοτήτων σ ένα σημείο P, συμβολίζεται X ab και μετασχηματιζεται σύμφωνα με τη σχέση: X ' ab = x' a x c x' b Με ανάλογο τρόπο ορίζονται και οι τανυστές ανώτερης τάξης. x d Xcd (1.19) Συναλλοίωτος τανυστής 1 ης τάξης ονομάζεται σύνολο n ποσοτήτων που στο σύστημα συντεταγμένων x a στο σημείο P συμβολίζεται με X a και μετασχηματίζεται ως εξής: X a = x b x ' a X b (1.20) Ακόμα ορίζεται και μεικτός τανυστής που περιλαμβάνει συναλλοίωτους και ανταλλοίωτους δείκτες. Για παράδειγμα ένας μεικτός τανυστής 3ης τάξης μετασχηματίζεται με τον κανόνα ' X a bc = x' a x d x e x xf ' b x X d ' c ef (1.21) Εάν ένας μεικτός τανυστής έχει ανταλλοίωτη τάξη p και συναλλοίωτη τάξη q τότε γράφω οτι είναι τύπου (p,q). 6

13 ΤΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ο γραμμικός συνδυασμός δυο τανυστών τάξης m του ίδιου τύπου και ορισμένων στο ίδιο σημείο του χώρου, είναι και αυτός τανυστής τάξης m. Το τανυστικό γινόμενο δυο τανυστών (πολλαπλασιασμός) τάξης m και n, που ορίζονται στο ίδιο σημείο του χώρου, είναι ένας τανυστής τάξης m+n. Υπάρχει η δυνατότητα συστολής των δεικτών ενός μεικτού τανυστή που στην ουσία ελαττώνει την τάξη του τανυστή κατα 2 τάξεις. Για παράδειγμα: X a ab = X b ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Λέμε οτι ένας τανυστής X ab είναι συμμετρικός σε ένα σύστημα συντεταγμένων αν ισχύει X ab = X ba (1.22) Ένας τανυστής X ab είναι αντισυμμετρικός σε ένα σύστημα συντεταγμένων αν ισχύει ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ X ab = -X ba (1.23) Η μερική παράγωγος ενός ανταλλοίωτου τανυστή X a συμβολίζεται με b X a ή Xa x b X a b (όμοια και για τανυστές μεγαλύτερης τάξης) και δεν είναι πάντα τανυστής. ή Xa, b ή Γι αυτό, εισάγουμε μια καινούργια έννοια παραγώγισης, η οποία μας επιτρέπει να ορίσουμε μια παράγωγο διανυσμάτων και γενικότερα τανυστών που είναι τανυστής. Συγεκριμένα, θεωρούμε αρχικά έναν χάρτη και ένα σύνολο n 3 συναρτήσεων που θα συμβολίζουμε με Γ a bc. Στη συνέχεια, θεωρούμε τον συνδυασμό c X a := c X a + Γ a bc X b (1.24) και απαιτούμε να είναι τανυστής τύπου (1, 1). Εύκολα αποδεικνύει κανείς ότι, αυτή η απαίτηση ικανοποιείται αν, κατά την αλλαγή συντεταγμένων x a x' a οι συναρτήσεις Γa bc μετασχηματίζονται ως εξής: ' Γ a bc = x' a x d x e x ' b xf x ' c Γ ef Ο συνδυασμός c X a ονομάζεται διανύσματος X a και, εναλλακτικά, συμβολίζεται με ή X a ;c ή X a c. d + x' a x 2 x d (1.25) d x ' b x ' c συναλλοίωτη παράγωγος του ανταλλοίωτου Η συναλλοίωτη παράγωγος ενός τανυστή συναλλοίωτου X a θα είναι c X a := c X a - Γ a bc X b (1.26) Γενικά, η συναλλοίωτη παράγωγος ενός τανυστή τύπου (p,q) είναι τανυστής τύπου (p,q+1). Το σύνολο των συναρτήσεων Γa bc που μετασχηματίζεται όπως παραπάνω καλείται γραμμική σύνδεση. Από την (1.25) γίνεται φανερό ότι η Γa bc δεν είναι τανυστής. Μία 7

14 πολλαπλότητα εφοδιασμένη με γραμμική σύνδεση ονομάζεται αφινική πολλαπλότητα. Γενικεύοντας για οποιοδήποτε τανυστή γράφω: c T a... b... = c T a... b... + Γ a dc T d... b Γ d bc T a... d (1.27) Η συναλλοίωτη παραγώγιση σε αντίθεση με τη μερική, δεν είναι αντιμεταθετική. Έτσι, αν θεωρήσω ένα ανταλλοίωτο διανυσμα (τανυστή τύπου (1,0)) X a, τότε χρησιμοποιώντας τις παραπανω σχέσεις για να υπολογίσω τις ποσότητες d c X a και c d X a και την αντιμεταθετικότητα της μερικής παραγωγισης, καταλήγω στο εξής αποτέλεσμα: όπου c d X a - d c X a = Ra bcd Ra bcd X b + (Γ e cd - Γ e dc ) e X a, (1.28) = c Γ a bd - d Γ a bc + Γ e bd Γ a ec - Γ e bc Γ a ed. (1.29) Οι ποσότητες που Ra bcd αποτελούν τις συνιστώσες ενός τανυστής τύπου (1,3) που ονομάζεται τανυστής Riemann. Σε έναν χώρο n διαστάσεων, ο τανυστής Riemann θα έχει n2 n 2-1 ανεξάρτητες συνιστώσες. 12 ποσότητα όπου Ολική παράγωγος ενός τανυστή Ta... b... κατα μήκος μιας καμπύλης C ορίζεται να είναι η D / Du (T a... b... ) = X Ta... b..., (1.30) Χ Τ a... b... = X c c Ta... b... (1.31) Ένα διανυσματικό πεδίο v(p) είναι ένα σύνολο διανυσμάτων που ορίζεται σε κάθε σημέιο P σε μια περιοχή του χωροχρόνου. Το διάνυσμα που ορίζεται σε ένα σημείο της επιλεγμένης περιοχής δεν είναι απαραίτητα το ίδιο με αυτό που προκύπτει αν το μεταφέρουμε παράλληλα κατα μήκος μιας καμπύλης σε ένα άλλο κοντινό σημείο. Αυτή η διαφορά μπορεί να οφείλεται στο οτι ο χωροχρόνος είναι καμπυλωμένος ή στο πως ορίζεται το διανυσματικό πεδίο. Ως παράδειγμα μπορούμε να θεωρήσουμε το μοναδιαίο ακτινικό διανυσματικό πεδίο e r (r, φ) σε πολικές συντεταγμένες : το διάνυσμα e r 1, π αφού έχει υποστεί παράλληλη μεταφορά στο 2 σημείο (1,0) είναι κάθετο στο διάνυσμα e r (1, 0). Ξεκινάω λοιπόν από ένα σημείο P και ορίζω δυο διανύσματικά πεδία u και v τα οποία δεν αντιμετατίθενται απαραίτητα με την έννοια οτι αν μεταφερθεί κατα μα απόσταση Δt κατα μήκος της καμπύλης με εφαπτόμενο διάνυσμα το u και κατα μια απόσταση Δs κατα μήκος της καμπύλης με εφαπτόμενο διάνυσμα το v, δεν θα φτάσουν απαραίτητα στο ίδιο σημείο που θα φταναν αν αντιστρεφόντουσαν τα δυο βήματα. Εάν τα δυο πεδία όντως αντιμετατίθενται τότε γράφω [u,v]=0 και οι αποστάσεις Δt και Δs μοναδικά προσδιορίζουν το σημείο άφιξης και οι παράμετροι s και t μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως συντεταγμένες για να την επιφάνεια που 8

15 παράγεται από τα δυο διανύσματα. Αν ορίσω με w τον αντιμεταθέτη, δηλαδή w=[u,v] τότε θα ισχύει οτι w = w a v - v a u x a x a σε επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων στο οποίο το διάνυσμα u εξαρτάται από την παράμετρο t και w a ( / x a ) = έτσι ώστε u a = (1, 0, 0, 0). Επομένως w = v. Το w δηλαδή περιγράφει t t την αλλαγή στο διάνυσμα v κατα μήκος της ολοκληρωτικής καμπύλης του u. Αυτό είναι γνωστό ως παράγωγος Lie του v ως προς u: L u v = [u, v] := w a σε σύστημα συντεταγμένων όπου u = t. v - v a u x a x a = v t Για να επεκτείνουμε την έννοια της παραγώγου Lie σε τανυστές απαιτούμε τις παρακάτω ιδιότητες: Αρχικά η παράγωγος Lie να ισούται με τη συνήθη παράγωγο όταν δρα σε βαθμωτά και επιπλέον να υπακούει στον κανόνα του Leibniz. Ονομάζουμε αφινική γεωδαισιακή μια καμπύλη κατα μήκος της οποίας το εφαπτόμενο διάνυσμα στην οικογένεια καμπυλών x a = x a (u), dxa = du Xa μεταφέρεται παράλληλα ως προς τον εαυτό του, άρα θα ισχύει D / Du (dx a / du) = λ (u) dxa du X X a = λx a (1.32) d 2 x a du + Γ 2 bc dxb du dxc du = λ dxa du (1.33) Ενώ, αν διαλέξω τέτοια παραμετρικοποίηση στην καμπύλη ετσι ώστε το λ να εξαφανίζεται, τότε η παράμετρος ονομάζεται αφινική παράμετρος, συνήθως συμβολίζεται με s και η αφινική γεωδαισιακή εξίσωση γράφεται ή d 2 x a ds X X a = 0 (1.34) + Γ bc a dxb ds dxc ds = 0 (1.35) Σε κάθε σημείο P μιας πολλαπλότητας μπορούμε να εισαγάγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων, που καλείται γεωδαισιακό σύστημα συντεταγμένων, στο οποίο να ισχύει [Γ a bc ] P 0. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, επιλέγω το P να βρίσκεται στην αρχή του συστήματος συντεταγμένων, x a 0, και θεωρώ τον μετασχηματισμό σε ένα νέο σύστημα συντεταγμένων: 9

16 όπου Q a bc [Γ' a bc,d P 0. x a x ' a = x a Q bc a x b x c (1.36) = Qa cb σταθερές. Έτσι καταλήγω στο οτι [Γ' a bc P 0 αλλα οχι απαραίτητα και οτι Γενικά, αν υπάρχει ένα σύστημα συντεταγμένων στο οποίο η σύνδεση μηδενίζεται οχι μονο σε ένα σημείο αλλα παντού επάνω στην πολλαπλότητα, τότε η πολλαπλότητα ονομάζεται αφινικά επίπεδη ή επίπεδη. Σε μια αφινική πολλαπλότητα, εάν μπορούμε να μεταφέρουμε ένα διάνυσμα από ενα σημείο σε ένα άλλο και το τελικό διάνυσμα προκύπτει ανεξάρτητα από τη διαδρομή που επιλέξαμε, τότε λέμε οτι η σύνδεση είναι ολοκληρώσιμη. Λήμμα (1): Αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι η σύνδεση ολοκληρώσιμη, είναι να μηδενίζεται ο τανυστής Riemann. Λήμμα (2): Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι μια πολλαπλότητα αφινικά επίπεδη, είναι να έχει συμμετρική και ολοκληρώσιμη σύνδεση. Θεώρημα: Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι μια πολλαπλότητα αφινικά επίπεδη είναι να μηδενίζεται ο τανυστής Riemann. Για να ορίσουμε αποστάσεις και μήκη διανυσμάτων σε μια πολλαπλότητα, χρησιμοποιουμε την μετρική ή πρώτη θεμελιώδη μορφή. Κάθε συμμετρικό συναλλοίωτο τανυστικό πεδίο τάξης 2, έστω g ab (x) ορίζει μια μετρική. Έτσι, η απόσταση ds μεταξύ δυο γειτονικών σημείων x a και x a + dx a ορίζεται ως εξής: ds 2 = g ab (x) dx a dx b (1.37) Αυτή η διγραμμική μορφή λέγεται γραμμικό στοιχείο της πολλαπλότητας. Οι χώροι στους οποίους έχει οριστεί μια μετρική ονομάζονται μετρικοί χώροι. Μια πολλαπλότητα εφοδιασμένη με μια μετρική ονομάζεται Πολλαπλότητα Riemann. Παράδειγμα. Σύμφωνα με την Ειδική Σχετικότητα, ο χώρος και ο χρόνος αποτελούν μια τετραδιάστατη πολλαπλότητα που καλείται χώρος Minkowski. Το γραμμικό στοιχείο αυτού του χώρους γράφεται στη μορφή ds 2 = d t 2 - d x 2 - d y 2 - d z 2 (1.38) όπου (t, x, y, z) οι συντεταγμένες ενός τυχαίου γεγονότος και οι μονάδες έχουν είναι τέτοιες που η ταχύτητα του φωτός στο κενό c = 1. Η ουσιώδης ιδιότητα της μετρικής Minkowski είναι οτι μένει αλλοίωτη κάτω από τους μετασχηματισμούς Lorentz. Η τανυστική μορφή της μετρικής αυτής είναι 10

17 ds 2 = η ab (x) dx a dx b, (1.39) όπου με η ab συμβολίζω τον διαγώνιο πίνακα η ab = = diag(1, -1, -1, -1) (1.40) Ακολουθούν καποια παραδείγματα γραμμικών στοιχείων: Στον 3-διάστατο ευκλείδειο χώρο το γραμμικό στοιχείο γράφεται: ds 2 = d x 2 + d y 2 + d z 2 ενώ στον 4-διάστατο χώρο Minkowski (χωροχρόνος) οι αποστάσεις ορίζονται από τη σχέση: ds 2 = d t 2 - d x 2 - d y 2 - d z 2 Η μετρική του χώρου Minkowski σε κυλινδρικές συντεταγμένες ds 2 = d t 2 - d r 2 - r 2 d φ 2 - d z 2 Η μετρική μιας σφαίρας ακτίνας r ds 2 = r 2 d θ 2 + r 2 sin 2 θ d φ 2 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 Να υπολογιστεί ο ανταλλοίωτος μετρικός τανυστής του ευκλείδειου χώρου σε σφαιρικές συντεταγμένες: Λύση: Ο μετρικός τανυστής είναι g ab = Βρίσκω την ορίζουσα det(g ab ) = r 4 sin 2 θ r r 2 sin 2 θ Οι μη μηδενικές συνιστώσες του προσαρτημένου πίνακα είναι Άρα ο ανταλλοίωτος μερικός τανυστής θα είναι G 11 = r 4 sin 2 θ, G 22 = r 2 sin 2 θ, G 33 = r 2 11

18 g ab = G 11 det g ab G 22 det g ab G 33 det g ab = r r 2 sin 2 θ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2 Να γίνει αλλαγή από καρτεσιανές συντεταγμένες (x a ) = (x, y) στις πολικές συντεταγμένες (x' a ) = (r, φ) του 2. Λύση Οι συντεταγμένες μετασχηματίζονται με βάση τους τύπους Ο Ιακωβιανός πίνακας θα είναι με ορίζουσα det J=r x = r cosθ και y = r sinθ J = xa x' a = cosθ sinθ -r sinθ r cosθ J -1 cosθ -r sinθ = sinθ r cosθ J -1 t cosθ sinθ = -r sinθ r cosθ Οι συνιστώσες του εφαπτόμενου διανύσματος σε μια καμπύλη που αποτελείται από κύκλο ακτίνας α και κέντρο την αρχή των αξόνων, στο νέο σύστημα συντεταγμένων υπολογίζονται ως εξής: x ( φ ) = (a cos φ, a sin φ ) x ( φ ) = ( -a sin φ, a cos φ ) Χ' 1 = x1 φ Χ1 φ = -a sin φ X 1 φ Χ' 2 = x2 φ Χ2 φ = a cosφ X 2 φ εξής: Το τετράγωνο του μήκους ή η νόρμα ενός ανταλλοίωτου διανύσματος X a ορίζεται ως Ένα διάνυσμα θεωρείται X 2 = g ab (x) X a X b (1.41) 12

19 χρονοειδές αν X 2 > 0 χωροειδές αν X 2 < 0 φωτοειδές αν X 2 = 0 Δυο διανύσματα X a και Y a είναι ορθογώνια όταν το εσωτερικό τους γινόμενο μηδενίζεται δηλαδή όταν ισχύει g ab X a Y a = 0 από το οποίο προκύπτει οτι κάθε φωτοειδές διάνυσμα είναι ορθογώνιο στον εαυτό του. Το σύνολο όλων των φωτοειδών διανυσμάτων σε ένα σημείο P πάνω σε μια πολλαπλότητα Minkowski, σχηματίζει έναν διπλό κώνο που ονομάζεται κώνος φωτός. Σε συντεταγμένες Minkowski, τα φωτοειδή διανύσματα X a σε ένα σημείο P ικανοποιούν τη σχέση η ab X a X b = 0 X X X X 3 2 = 0 που είναι η εξίσωση του διπλού κώνου. Εάν ορίσουμε ένα χρονοειδές διάνυσμα T a σε συντεταγμένες Minkowski ως εξής T a = (1, 0, 0, 0) τότε ένα χρονοειδές ή φωτοειδές διάνυσμα X a θα λέμε οτι είναι μελλοντικό αν η ab X a T b > 0 παρελθοντικό αν η ab X a T b < 0 Όλα τα μελλοντικά διανυσματα βρίσκονται μέσα ή πάνω στο ένα τμήμα του κώνου που ονομάζεται μελλοντικό τμήμα και όλα τα παρελθοντικά διανύσματα βρίσκονται μέσα ή πάνω στον άλλο τμήμα του κώνου που ονομάζεται παρελθοντικό τμήμα. 13

20 Σχ.2 Κώνος φωτός. Ονομάζονται σύμβολα Cristoffel πρώτου είδους οι ποσότητες: {ab, c} = 1 / 2 ( b g ac + a g bc - c g ab (1.42) και σύμβολα Cristoffel δευτέρου είδους οι ποσότητες a bc = gad {bc, d} (1.43) ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Να υπολογιστούν τα σύμβολα Cristoffel για τη μετρική της σφαίρας ds 2 = d t 2 - d r 2 - r 2 d θ - r 2 sin 2 θ d φ 2. Λύση g ab = Τα μόνα μη μηδενικά σύμβολα Cristoffel είναι r r 2 sin 2 θ 14

21 {12, 2} = 1 / 2 ( 2 g g 22-2 g 12 ) = 1 / 2 r -r 2 = -r {13, 3} = 1 / 2 ( 3 g g 33-3 g 13 ) = 1 / 2 r -r 2 sin 2 θ = -r sin 2 θ {21, 2} = 1 / 2 ( 1 g g 12-2 g 21 ) = 1 / 2 r -r 2 = -r {22, 1} = 1 / 2 ( 2 g g 21-1 g 22 ) = -1 / 2 r -r 2 = r {23, 3} = 1 / 2 ( 3 g g 33-3 g 23 ) = -1 / 2 θ -r 2 sin 2 θ = -r 2 sinθ cosθ {31, 3} = 1 / 2 ( 1 g g 13-3 g 31 ) = 1 / 2 r -r 2 sin 2 θ = -r sin 2 θ {32, 3} = 1 / 2 ( 2 g g 23-3 g 32 ) = 1 / 2 θ -r 2 sin 2 θ = -r sin θ cos θ {33, 1} = 1 / 2 ( 3 g g 31-1 g 33 ) = -1 / 2 r -r 2 sin 2 θ = r sin 2 θ {33, 2} = 1 / 2 ( 3 g g 32-2 g 33 ) = -1 / 2 θ -r 2 sin 2 θ = r 2 sin θ cos θ ΘΕΩΡΗΜΑ: Όταν η η γραμμική σύνδεση είναι συμμετρική και η μετρική τέτοια ώστε c g ab = 0 (1.44) Τότε οι συνιστώσες της γραμμικής σύνδεσης καθορίζονται πλήρως από τις συνιστώσες της μετρικής και τις μερικές παραγώγους, δηλαδή Γ a bc = a bc = 1 2 gad ( b g dc + c g db - d g bc (1.45) Συνεχίζοντας την παραπάνω ΕΦΑΡΜΟΓΗ, μπορώ να υπολογίσω τώρα τις σχέσεις (1.52) Οι μη μηδενικές συνιστώσες της αφινικής σύνδεσης θα είναι: Γ 1 22 = -r Γ 1 33 = r sin 2 θ Γ 2 12 = r -1 Γ 2 33 = -sin θ cos θ Γ 3 13 = r -1 Γ 3 23 = cot θ Σε κάθε σημείο μιας πολλαπλότητας,η g ab είναι ένας συμμετρικός πίνακας με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς. Άρα θα υπάρχει μετασχηματισμός τέτοιος ώστε να πρόκύπτει διαγώνιος πίνακας με +1 ή -1 στην κύρια διαγώνιό του. Η διαφορά των θετικών προσήμων από 15

22 τα αρνητικά ονομάζεται πρόσημο της μετρικής. Όταν λοιπόν υπάρχει η δυνατότητα δηλαδή ένα σύστημα συντεταγμένων ώστε η μετρική να μετασχηματίζεται σε διαγώνια μορφή πίνακα με στοιχεία +1,-1 στην κύρια διαγώνιο, τότε η μετρική καλείται επίπεδη. Μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι η μετρική επίπεδη, είναι να μηδενίζεται ο τανυστής Riemann. Με βάση τον τανυστή Riemann ορίζουμε και καποιυς άλλους σημαντικούς τανυστές: Τον τανυστή Ricci: R ab = Rc acb = g cd R dacb (1.46) το βαθμωτό Ricci: Τον τανυστή Einstein: R = g ab R ab (1.47) G ab = R ab g ab R (1.48) και τον τανυστή Weyl που ορίζεται για πολλαπλότητες με διάσταση n 3 ως εξής: C abcd = R abcd + 1 n - 2 (g ad R cb + g bc R da - g ac R db - g bd R ca ) + 1 (n - 1) (n - 2) (g ac g db - g ad g cb ) R. (1.49) ΙΣΟΜΕΤΡΙΕΣ Στον τανυστικό λογισμό μεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζει το πως οι ποσότητες αλλάζουν κάτω από μετασχηματισμούς συντεταγμένων. Και κυρίως το πως μια ποσότητα παραμένει αμετάβλητη στους μετασχηματισμούς. Για παράδειγμα, οι μετασχηματισμοί συντεταγμένων που αφήνουν αμετάβλητη μια μετρική είναι μέγιστης σημασίας διότι περιέχουν πληροφορίες για τις συμμετρίες. Μια μετρική καλείται αναλλοίωτη υπό τον μετασχηματισμό x a x' a όταν ισχύει g' ab (y) = g ab (y) (1.50) για όλες τις συντεταγμένες y c Ένας μετασχηματισμός που αφήνει τη μετρική g ab αναλλοίωτη ονομάζεται ισομετρία. Αν θεωρήσω έναν απειροστό μετασχηματισμό συντεταγμένων x a x' a = x a + εx a (x) (1.51) όπου το ε είναι πολύ μικρό και X a ένα διανυσματικό πεδίο, τότε χρησιμοποιώντας διαφόριση και το θεώρημα Taylor η (1.44) γράφεται: b X a + a X b = 0 (1.52) Οι σχέσεις αυτές ονομάζονται εξισώσεις Killing και κάθε λύση αυτών των εξισώσεων 16

23 ονομάζεται διανυσματικό πεδίο Killing. ΘΕΩΡΗΜΑ: Μια απειροστή ισομετρία παράγεται από ένα Killing διανυσμα X a (x) που ικανοποιεί την (1.51). 17

24 Κεφ. 2

25 Κεφ. 2 Γενική θεωρία της σχετικότητας 2.1 Η θεωρία βαρύτητας του Νεύτωνα Σύμφωνα με τον Νεύτωνα, την αλληλεπίδραση των σωμάτων διέπει ο Νόμος της παγκόσμιας έλξης: Κάθε σώμα στο σύμπαν έλκει κάθε άλλο σώμα με δύναμη που είναι ανάλογη του γινομένου των μαζών τους και αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης του κέντρου μάζας τους. Αναλυτικότερα, η δύναμη F m που ασκεί ένα σώμα μάζας M σ ένα άλλο μάζας m και η δύναμη F M που ασκεί το δεύτερο στο πρώτο (βλ. Σχ.1), δίνονται από τον τύπο του Coulomb, F m = -F M = - G M m r m - r M r m - r M. 3 (2.1) όπου G η παγκόσμια σταθερά. 19

26 Σχ.1 Η δύναμη με την οποία κάθε σώμα έλκει κάθε άλλο ονομάζεται βαρυτική ενώ η ιδιότητα των υλικών σωμάτων να έλκουν και να έλκονται αμοιβαία ονομάζεται βαρύτητα. Ο τύπος του Coulomb μπορεί να διατυπωθεί και ως εξής: Ενα σωμάτιο μάζας M που ακινητεί στην αρχή των αξόνων δημιουργεί το βαρυτικό πεδίο Γ(r) = - G M 1 r r. 3 (2.2) όπου r := ( x, y, z ), r := r := x 2 + y 2 + z 2. (2.3) Στο δεύτερο σωμάτιο, που έχει μάζα m και βρίσκεται στο σημείο r, ασκείται η δύναμη F(r) = m Γ(r) = -m G M 1 r r. 3 (2.4) Το διανυσματικό πεδίο Γ(r) γράφεται σαν κλίση ενός βαθμωτού, που λέγεται βαρυτικό δυναμικό: Γ(r) = - Φ(r), Φ(r) = -G M 1 r. Στη γενικότερη διάταξη του Σχ. 1, η μάζα M ακινητεί στο τυχαίο σημείο r M = (a, b, c). Τότε, το βαρυτικό δυναμικό Φ στο σημείο r δίνεται από τον τύπο όπου Φ(r) = - G M r - r M (2.5) r - r M := (x - a) 2 + (y - b) 2 + (z - c) 2. (2.6) Θεωρούμε τώρα ένα σώμα Σ, που καταλαμβάνει την περιοχή Ω του 3 και η πυκνότητα της μάζας του στο σημείο r της Ω δίνεται από τη συνάρτηση ρ(r). Τότε, το βαρυτικό δυναμικό στο τυχαίο σημείο r του 3 δίνεται από τον τύπο Φ(r) = -G Ω ρ(ξ) r - ξ d ξ. (2.7) Με βάση αυτό τον τύπο, μπορεί να δειχτεί το εξής: Τοπικά, η σχέση ανάμεσα στο δυναμικό Φ(r) και την πυκνότητα μάζας ρ(r) περιγράφεται από την εξίσωση Poisson 2 Φ(r) = 4 π G ρ(r) (2.8) Στην κλασική μηχανική, η κίνηση των σωμάτων καθορίζεται από τον 2ο νόμος του Νεύτωνα που διατυπώνεται ως εξής: Θεωρούμε ένα σωμάτιο μάζας m που, τη χρονική στιγμή t, βρίσκεται στο σημείο r(t) := x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t). Αν εκείνη τη στιγμή στο σωμάτιο ασκείται 20

27 δύναμη F := F 1, F 2, F 3, τότε αυτό επιταχύνεται με επιτάχυνση ίση με d 2 x i d t 2 = 1 m Fi, i = 1, 2, 3. (2.9) Παρατήρηση: Ο 2ος νόμος της κλασικής μηχανικής ισχύει μόνο στα συστήματα αναφοράς που ονομάζουμε αδρανειακά (βλ. και παρακάτω). Ερχόμαστε τώρα στην ειδική περίπτωση που η F είναι η δύναμη της βαρύτητας. Τότε, η δύναμη που ασκείται σ' ένα σωμάτιο μάζας m που βρίσκεται στο σημείο r δίνεται από τον τύπο: F(r) = -m Φ(r). (2.10) Κατά συνέπεια, όταν η δύναμη που ασκείται στο σωμάτιο είναι αμιγώς βαρυτική, οι εξισώσεις κίνησης παίρνουν την ακόλουθη μορφή: d 2 x i d t 2 = - Φ(r) x i, i = 1, 2, 3. (2.11) Ειδικότερα, όταν η ένταση Φ(r) του πεδίου βαρύτητας είναι σταθερή, όταν δηλαδή Φ(r) όπου γ i τυχαίες σταθερές, τότε οι εξισώσεις κίνησεις γίνονται x i = γ i, i = 1, 2, 3. (2.12) d 2 x i d t 2 = -γi, i = 1, 2, 3. (2.13) Είναι προφανές ότι οι παραπάνω εξισώσεις κίνησης δεν περιέχουν την μάζα m του σωμάτιου. Κατά συνέπεια, δύο σωμάτια με διαφορετική μάζα κινούνται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Σ' αυτήν ακριβώς την παρατήρηση στηρίζεται η "αρχή της ισοδυναμίας" του Einstein. Πιο συγκεκριμένα, ας θεωρήσουμε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς Σ κι ένα δεύτερο σύστημα αναφοράς το Σ που κινείται ως προς το Σ με επιτάχυνση a = a 1, a 2, a 3. Ας θεωρήσουμε επίσης ένα σωμάτιο σ που κινείται ελεύθερα, δηλαδή, χωρίς να ασκείται επάνω του κάποια δύναμη. Ακριβώς επειδή το Σ είναι αδρανειακό, σ' αυτό το σύστημα αναφοράς ισχύει ο 2ος νόμος του Νεύτωνα. Αρα, ως προς το Σ, το σωμάτιο σ έχει μηδενική επιτάχυνση και κινείται σε ευθεία γραμμή (ή μένει ακίνητο). Αντίθετα, ως προς το Σ, το σωμάτιο σ εμφανίζεται να κινείται με επιτάχυνση ίση με -a. Αυτή η επιτάχυνση είναι ανεξάρτητη από τη μάζα του σ. Αυτό σημαίνει πως, όλα τα σωμάτια που από τη σκοπιά του ΑΣΑ Σ κινούνται ελεύθερα, στο Σ κινούνται σαν να βρίσκονται υπό την επίδραση ενός σταθερού πεδίου βαρύτητας. Αναλυτικότερα, στο Σ, οι εξισώσεις κίνησης κάθε σωμάτιου που από τη σκοπιά του ΑΣΑ Σ κινείται ελεύθερα, παίρνουν την ακόλουθη μορφή: d 2 x i d t 2 = -a i, i = 1, 2, 3. (2.14) 21

28 2.2 Εξισώσεις πεδίου Einstein Όπως ήδη αναφέραμε ο Einstein στην προσπάθειά του να γενικεύσει την Ειδική Σχετικότητα κατέληξε σε μια διαφορετική εικόνα για τον χώρο και το χρόνο. Συγκεκριμένα ο χωροχρόνος πλέον αποτελεί μια διαφορίσιμη πολλαπλότητα τεσσάρων διαστάσεων της οποίας η δομή καθορίζεται από τα σώματα και την κίνησή τους. Αναλυτικότερα, η μετρική του χωροχρόνου καθορίζεται από τις λεγόμενες εξισώσεις πεδίου που συνοπτικά γράφονται ως εξής: Ισοδύναμα, R ab g ab R = 8 π G T ab c 4 (2.15) G ab = 8 π G c 4 T ab (2.16) Αυτή η εικόνα ενσωματώνει το πεδίο βαρύτητας με τον ακόλουθο τρόπο: Το πεδίο βαρύτητας αντιπροσωπεύεται από την καμπυλότητα της πολλαπλότητας Μ. Σε αυτές τις εξισώσεις το T ab είναι ο τανυστής τάσης-ενέργειας που παριστάνει την κατανομή των μαζών, την κίνησή τους και τα άλλα πεδία πλην της βαρύτητας. Γι αυτό, στο κενό, οι εξισώσεις πεδίου ανάγονται στις G ab = 0 (2.17) Τότε, G a a = -R = 0 και άρα οι εξισώσεις πεδίου στο κενό γράφονται και ως εξής: R ab = 0 (2.18) Μια σύντομη παρουσίαση των εξισώσεων πεδίου του Einstein στη γενική τους μορφή δίνεται παρακάτω: Τα υλικά σώματα που υπάρχουν σε μια περιοχή και ο τρόπος με τον οποίο κινούνται και ανταλλάσουν ενέργεια περιγράφεται από τον τανυστή T ab. Ο τανυστής T ab είναι ο τανυστής ενέργειας-ορμής και στην Ειδική Σχετικότητα, σε συντεταγμένες Minkowski, ικανοποιεί την αρχη διατήρησης b T ab = 0 (2.19) Στην Γενική Σχετικότητα, σύμφωνα με την αρχή ελάχιστης σύζευξης, ο παραπάνω νόμος διατήρησης γίνεται b T ab = 0. (2.20) Επιπλέον, η συναλλοίωτη παράγωγος του τανυστή Einstein μηδενίζεται λόγω των ταυτοτήτων Bianchi: 22

29 b G ab 0. (2.21) Οι δυο τελευταίες εξισώσεις δείχνουν οτι οι τανυστές T ab και G ab είναι ανάλογοι, επομένως θα έχω όπου k σταθερά αναλογίας που καλείται σταθερά σύζευξης. G ab = k T ab (2.22) Για να προσδιορίσουμε την σταθερά αναλογίας k, θεωρούμε το σύστημα συντεταγμένων (x a ) = x 0, x 1, x 2, x 3 = x 0, x λ = (c t, x, y, z) (2.23) και υποθέτουμε οτι το πεδίο παράγεται από σώματα των οποίων οι ταχύτητες v είναι πολυ μικρές σε σχέση με την ταχύτητα του φωτός c. Υποθέτω οτι η μετρική g ab διαφέρει ελάχιστα από τη μετρική Minkowski η ab όπου ε μικρή αδιάστατη παράμετρος της τάξης του v / c. g ab = η ab + ε h ab + O ε 2 (2.24) Θεωρούμε οτι η κίνηση ενός ελεύθερου σωματιδίου που κινείται με ταχύτητα της τάξης v γίνεται κατα μήκος μιας γεωδαισιακής καμπύλης x a = x a (τ), που είναι χρονοειδεής (βλ. επόμενο εδάφιο). Αρα, d 2 x a d τ 2 + Γ bc a d xb d τ d xc d τ = 0 (2.25) Λόγω του οτι δουλεύω με την μικρότερη τάξη του ε μπορώ να αντικαταστήσω το τ με t. καταλήγω στην Προσέχοντας μονο το χωρικό κομμάτι της (2.25), και λαβαίνοντας υπόψη την (2.24), d 2 x λ d t = - 1 c 2 g 00 [1 + O(ε)] (2.26) 2 2 x λ Στη νευτώνεια θεωρία, η κίνηση σε βαρυτικό δυναμικό φ περιγράφεται από τις εξισώσεις d 2 x λ d t = - φ (2.27) 2 x λ Αρα, από τη σύγκριση των (2.26) και (2.27) προκύπτει ότι. g 00 = φ c + O(v / c). 2 (2.28) Συνεπώς, 2 g 00 = 2 2 φ. c 2 (2.29) Σε συνδυασμό με τη διαφορική εξίσωση του Poisson, αυτό δείχνει το k στις εξισώσεις πεδίου του Einstein θα ισούται με κ = 8 πg c 4. (2.30) 23

30 Συνήθως στο πλαίσιο της Γενικής Σχετικότητας δουλέυει κανείς σε μονάδες όπου c = 1 και G = 1. Αυτές είναι οι σχετικιστικές μονάδες, στις οποίες οι εξισώσεις πεδίου του Einstein παίρνουν την απλούστερη μορφή: G ab = 8 π T ab (2.31) Οι εξισώσεις πεδίου μπορούν να μελετηθούν με τρεις διαφορετικούς τρόπους: 1. Είναι διαφορικές εξισώσεις, από τις οποίες, όταν μου δίνεται ο τανυστής ενέργειας-ορμής T ab, μπορώ να προσδιορίσω τον μετρικό τανυστή g ab. Δηλαδή διαβάζω τις εξισώσεις από δεξιά προς τα αριστερά. Με αυτόν τον τρόπο, ουσιαστικά γνωρίζοντας την κατανομή της ύλης λύνω τις εξισώσεις και καταλήγω στη γεωμετρία του χώρου. 2. Οι εξισώσεις πεδίου παριστάνουν εξισώσεις, από τις οποίες, δοσμένου του μετρικού τανυστή g ab, μπορώ να προσδιορίσω τον τανυστή ενέργειας-ορμής. Εδώ, διαβάζουμε τις εξισώσεις από τα αριστερά προς τα δεξιά. Διαλέγουμε καπως αυθαίρετα δέκα συναρτήσεις συντεταγμένων, δηλαδή τον συμμετρικό πίνακα g ab, υπολογίζω τα G ab και από τις εξισώσεις πεδίου βρίσκω τα τανυστή T ab. Κατι τέτοιο βέβαια, συνήθως καταλήγει σε μη ρεαλιστικά αποτελέσματα από φυσικής άποψης διότι παραβιάζονται βασικές αρχές της ενεργειας. 3. Οι εξισώσεις πεδίου (1.31) αποτελούνται από 10 εξισώσεις που συνδέουν 20 ποσότητες, 10 συνιστώσες του g ab και 10 του τανυστή T ab. Με αυτόν τον τρόπο θεώρησης, προσδιορίζω μερικώς τη γεωμετρία του χώρου, σε συνδυασμό με κάποιους περιορισμούς για τον τελεστή ενέργειας-ορμής που αντιπροσωπεύουν τη φυσική πραγματικότητα, και δουλευοντας ταυτόχρονα τα δυο μέλη, προσπαθω να προσδιορίσω ακριβώς και τις δυο ποσότητες g ab και T ab. 2.3 Γεωδαισιακές καμπύλες Σύμφωνα με τον Einstein, η βαρυτική έλξη είναι μια γεωμετρική ιδιότητα του χωρόχρονου. Συγκεκριμένα, ο χωροχρόνος είναι ενα ευλύγιστο μέσον το οποίο μπορεί να κάμπτεται και να συστρέφεται. Ο τρόπος με τον οποίο καμπυλώνεται ο χωροχρόνος διαμορφώνει το βαρυτικό πεδίο δυνάμεων. Η παρουσία μάζας (ύλης) προκαλεί την καμπύλωση αυτή. Τα φαινόμενα της βαρύτητας δεν είναι παρά οι παραμορφώσεις, τα εξογκώματα και τα βαθουλώματα του χωροχρόνου. Η μετρική είναι αυτή που καθορίζει την απόσταση μεταξύ δυο σημείων στον χωροχρόνο και άρα και τη γεωμετρία του. Η γειτονιά οποιουδήποτε σημείου μπορεί να θεωρηθεί ως ένας επίπεδος τετραδιάστατος διανυσματικός χώρος. Λόγω της καμπύλωσης του χωροχρόνου, τα διανύσματα δεν έχουν τη μορφή βέλους που ενώνει δυο σημεία. Όμως από την 24

31 αρχή της ισοδυναμίας γνωρίζουμε οτι σε μια επαρκώς μικρή περιοχή ενός σημείου στον χωροχρόνο - τέτοια ώστε οι συνέπειες των παλιρροιακών δυνάμεων να θεωρουνται αμελητέεςη αρχική αντίληψη που έχουμε για τα διανύσματα ισχύει. Επομένως μπορούμε να ορίσουμε ένα διάνυσμα με βάση διαφορικές ποσότητες που περιορίζονται στη γειτονιά ενός σημείου στον χωροχρόνο. Γνωρίζουμε οτι τα διανύσματα αποτελούν κατευθυντήριες παραγώγους στη γειτονια ενός σημείου του χωροχρόνου οπότε τώρα μένει να εξετάσουμε πως συνδέονται τα διανύσματα σε διαφορετικά σημεία. Σε έναν επίπεδο χώρο ξέρουμε οτι για να συγκρίνουμε δυο διανύσματα σε διαφορετικά σημεία, απλά σύρουμε το ένα ως προς το άλλο. Όταν το σύρουμε είναι σημαντικό να μην αλλάξουμε τον προσανατολισμό του και το μήκος του, κατι το οποίο εξασφαλίζεται με την παράλληλη μεταφορά, δηλαδή σε κάθε στάδιο της διαδικασίας το μεταφερόμενο δίανυσμα παραμένει παράλληλο στον εαυτό του στην προηγούμενη θέση. Μια παρόμοια διαδικασία παράλληλης μεταφοράς μπορεί να επιτευχθεί και σε καμπυλωμένο χωροχρόνο δεδομένου οτι απειροστές μεταφορές μπορούν να θεωρηθούν οτι γίνονται όπως και στον επίπεδο χώρο (χάρη στην αρχή της ισοδυναμίας). Όμως για μια σειρά μεταφορών μεταξύ δυο σημείων που δεν βρίσκονται απειροστώς κοντα είναι σημαντικό να προσδιορίσουμε την καμπύλη πάνω στην οποία θα μεταφέρεται το διάνυσμα. Αυτό καθορίζεται από τους συντελεστες αφινικής σύνδεσης. Στη Νευτώνεια Μηχανική, ένα σώμα θα κινηθεί σε ευθεία γραμμή όταν δεν ασκούνται σε αυτό εξωτερικές δυνάμεις. Με τον όρο ευθεία εννοούμε την ευθεία σε ένα ευθύγραμμο σύστημα συντεταγμένων σε ένα τοπικά αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Στον καμπυλωμένο χωροχρόνο τέτοιες γραμμές καλούνται γεωδαισιακές. Γεωδαισιακή ονομάζουμε μια καμπύλη κατα μήκος της οποίας το εφαπτόμενο διάνυσμα στην καμπύλη μεταφέρεται παράλληλα στον εαυτό του. Στη φυσική οι γεωδαισιακές αντιπροσωπεύουν τροχιές ελεύθερα κινούμενων σωματιδίων. Μια καμπύλη x a (t) με εφαπτόμενο διάνυσμα το u = d / d t είναι γεωδαισιακή αν u b b u a = 0 (2.32) Η παραπάνω ονομάζεται γεωδαισιακή εξίσωση. Αφού λοιπόν u a = d x a / d t, η γεωδαισιακή εξίσωση, δηλαδή η τροχιά ενός ελεύθερα κινούμενου σώματος θα ικανοποιεί την εξίσωση d 2 x a + Γa d xb d x c bc = 0. (2.33) d t d t d t Σε έναν επίπεδο χώρο οι γεωδαισιακές είναι ευθείες και τούτο προκύπτει από τον μηδενισμό των συμβόλων Christoffel. Σε έναν καμπύλο χώρο τα σύμβολα Christoffel δεν μηδενίζονται και κατα συνέπεια οι γεωδαισιακές καμπύλες παύουν να είναι ευθείες. Οι γεωδαισιακές καμπύλες χαρακτηρίζονται ως χρονοειδείς, χωροειδείς και φωτοειδείς με κριτήριο το πρόσημο του μέτρου του εφαπτόμενου διανύσματος της γεωδαισιακής καμπύλης. Για παράδειγμα, αν το εφαπτόμενο διάνυσμα της γεωδαισιακής καμπύλης είναι το u a τότε το 25

32 μέτρο του θα δίνεται από τη σχέση και αν u 2 = g ab u a u b u 2 < 0, χρονοειδής u 2 = 0, φωτοειδής u 2 > 0, χωροειδής 2.4 Εξίσωση γεωδαισιακής απόκλισης Στο πλαίσιο της Γενικής Σχετικότητας, η αρχή της ισοδυναμίας του Einstein εκφράζεται από το ακόλουθο γεγονός: Με κατάλληλη επιλογή των συντεταγμένων, μπορούμε να μηδενίσουμε τις συνιστώσες Γa bc της γραμμικής σύνδεσης σε οποιοδήποτε σημείο p της χωροχρονικής πολλαπλότητας. Από φυσική άποψη αυτό σημαίνει ότι, στη γειτονιά του p, η επιτάχυνση ενός ελεύθερου σωματίδιου μηδενίζεται. Αυτό το αποτέλεσμα αφήνει την εντύπωση ότι το πεδίο βαρύτητας μπορεί να εξαφανιστεί. Το ότι αυτή η εντύπωση είναι λαθεμένη φαίνεται καθαρά αν εξετάσουμε την σχετική επιτάχυνση δύο ελεύθερων σωματιδίων που κινούνται κατά μήκος γειτωνικών γεωδεσιακών. Για το σκοπό αυτό, θεωρούμε μια επιφάνεια S 2 διαστάσεων που ορίζεται από ένα πλέγμα χρονοειδών γεωδαισιακών, δηλαδή μια οικογένεια γεωδαισιακών καμπυλών τέτοια ώστε ακριβώς μια καμπύλη να διέρχεται από κάθε σημείο της S. Η παραμετρική εξίσωση της S θα δίνεται x a = x a (τ, ν), όπου τ είναι ο ιδιόχρονος κατα μήκος των γεωδαισιακών και το ν δηλώνει τον διαχωρισμό των γεωδαισιακών. και Ορίζουμε δυο διανυσματικά πεδία πάνω στην S u a = d xa d τ ξ a = d xa d ν (2.34) (2.35) Το u a είναι το εφαπτόμενο διάνυσμα στη χρονοειδή γεωδαισιακή σε κάθε σημείο και ξ a είναι ενα συνδετικό διάνυσμα που συνδέει δυο γειτονικές καμπύλες. Τότε για τα δυο αυτα διανύσματα θα ισχύει: [u, ξ] a = u b b ξ a - ξ b b u a = dxb dxa - dxb dxa dτ x b dν dν x b dτ Ο αντιμεταθέτης όμως ισούται και με την παράγωγο Lie L u ξ a. = d2 x a dτdν - d2 x a dνdτ = 0 (2.36) 0 = L u ξ a = u b b ξ a - ξ b b u a = u b b ξ a - ξ b b u a = u ξ a - ξ u a (2.37) 26

33 Παίρνοντας συναλλοίωτη παράγωγο της παραπάνω εξίσωσης ως προς u a θα έχουμε Από την άλλη, ισχύει η ταυτότητα u u ξ a = u ξ u a (2.38) X ( Y Ζ a ) - Y ( X Z a ) - [X,Y] Z a = Ra bcd Z b X c Y d. (2.39) Αν θέσουμε X a = Z a = u a και Y a = ξ a, τότε ο δεύτερος όρος στο αριστερό μέλος μηδενίζεται, επειδή το u a είναι εφαπτόμενο σε μια αφινικά παραμετρικοποιημένη γεωδαισιακή και άρα u u a = 0. Ο τρίτος όρος του αριστερού μέλους επίσης μηδενίζεται, λόγω της (1.36). Επομένως η (1.38) γίνεται Εξ ορισμού ισχύει ότι Ετσι, η (1.40) γίνεται u ξ u a - Ra bcd u b u c ξ d = 0 (2.40) D 2 ξ a Dτ 2 D 2 ξ a που λέγεται εξίσωση της γεωδαισιακής απόκλισης. Dτ 2 = u u ξ a. (2.41) - R a bcd u b u c ξ d = 0 (2.42) Η μορφή αυτή της εξίσωσης έχει το τετραδιάστατο διάνυσμα ξ a που εμπεριέχει 4 πληροφορίες ενώ εμείς ενδιαφερόμαστε μόνο για τη χωρική πληροφορία της παραπάνω εξίσωσης. Θα ξεκινήσουμε εισάγοντας τον προβολικό τανυστή h a b που ορίζεται ως εξής: h a b δ a b - u a u b. (2.43) Αυτός προβάλλει τανυστές στον τρισδιάστατο χώρο ορθογώνια στο u a σε κάθε σημείο P της S. Οι παρακάτω ιδιότητες θεμελιώνουν την προβολική του ταυτότητα. h a b u b = 0, (2.44) w a u a = 0 h a b w b = w a, (2.45) h a b h b c = h a c, (2.46) Έτσι, ορίζουμε το ορθογώνιο συνδετικό διάνυσμα η a ως εξής h a a = 3, (2.47) h ab = h ba. (2.48) η a h a b ξ b (2.49) Χρειαζόμαστε ακόμα ένα αποτέλεσμα που προκύπτει από το γεγονός οτι το u a είναι μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα, αφού u a u a = g ab u a u b = g ab d x a d τ d x b d τ = 1 (2.50) 27

34 Παίρνοντας συναλλοίωτη παράγωγο ως προς ξ a προκύπτει ότι, ξ (u a u a ) = u a ( ξ u a ) + u a ( ξ u a ) = 2 u a ξ u a = 0 (2.51) αφού η συναλλοίωτη παράγωγος του 1 είναι μηδέν. Τότε Επιπλέον Dξ a Dτ = uξ a = u η a + u a u b ξ b = u η a + ( u u a ) u b ξ b + u a ( u u b ) ξ b + u a u b u ξ b = Dηa Dτ + ua u b ξ u b = Dηa Dτ a R bcd u b u c ξ d = Ra bcd (2.52) u b u c η d + u d u e ξ e = Ra bcd u b u c η d (2.53) αφού ο Ra bcd είναι αντισυμμετρικός ως προς c και d. Επομένως τώρα η (1.42) μπορεί να γραφεί με όρους η a ως εξής D 2 ξ a Dτ 2 - R a bcd u b u c η d = 0 (2.54) Οπως έχουμε τονίσει, στο πλαίσιο της Γενικής Σχετικότητας, το πεδίο βαρύτητας εκφράζεται από την καμπυλότητα του χωρόχρονου, δηλαδή από τον τανυστή του Riemann R a bcd. Η εξίσωση της γεωδεσιακής απόκλισης, λοιπόν, δείχνει καθαρά ότι η σχετική επιτάχυνση δύο ελεύθερων σωματιδίων που κινούνται κατά μήκος γειτονικών γεωδεσιακών μηδενίζεται εάν και μόνο όταν το πεδίο βαρύτητας (ο τανυστής R a bcd ) είναι τέτοιο(ς) που ο δεύτερος όρος στην (2.54) είναι μηδενικός. 28

35

36 28

37 Κεφ. 3 Λύσεις των εξισώσειων πεδίου του Einstein 3.1 Λύσεις των εξισώσεων πεδίου Οπως ήδη σημειώσαμε, οι εξισώσεις πεδίου του Einstein αποτελούν ένα περίπλοκο σύστημα μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους. Γι' αυτό κι ο ίδιος ο Einstein θεωρούσε οτι ποτέ κανείς δεν θα κατάφερνε να βρεί ακριβή λύση των εξισώσεών του. Αποτέλεσε έκπληξη λοιπόν όταν ο Schwarzschild βρήκε μια λύση σε λιγότερο από ένα χρόνο από τη δημοσίευση της θεωρίας το Για να κατασκευάσει τη λύση των εξισώσεων πεδίου που φέρει το όνομά του, ο Schwarzschild στηρίχτηκε στην έννοια της συμμετρίας. Με τον ίδιο ουσιαστικά τρόπο κατασκευάστηκε αργότερα το μεγαλύτερο κομμάτι από την πληθώρα των λύσεων που διαθέτουμε σήμερα. Πιο συγκεκριμένα, η λύση Schwarzschild, την οποία θα μελετήσουμε στο παρόν κεφάλαιο, είναι μια σφαιρικά συμμετρική και στατική λύση των εξισώσεων πεδίου του Einstein στο κενό. Για να γίνουν κατανοητές αυτές οι ιδιότητες, παραθέτουμε αρχικά τους αντίστοιχους ορισμούς. Ο χωρόχρονος λέγεται σφαιρικά συμμετρικός αν και μόνο αν επιδέχεται τρία γραμμικώς ανεξάρτητα χωροειδή διανυσματικά πεδία Κilling X a λ, λ = 1, 2, 3, των οποίων οι τροχιές είναι κλειστές (δηλαδή τοπολογικοί κύκλοι) και ικανοποιούνται οι σχέσεις [X a 1, X a 2 ] = Xa 3 [X a 2, X a 3 ] = Xa 1 [X a 3, X a 1 ] = Xa 2 όπου [X, Y] = X Y - Y X η αγκύλη Lie των διανυσματικών πεδίων X, Y Διαισθητικά, σφαιρική συμμετρία σημαίνει οτι υπάρχει ένα σημείο που καλείται αρχή, 29

38 τέτοιο ώστε το σύστημα να μένει αναλλοίωτο σε χωρικές στροφές γύρω από αυτό. Ο χωροχρόνος λέγεται στάσιμος αν και μόνο αν επιδέχεται ένα χρονοειδές διανυσματικό πεδίο Killing, T a. Εάν ο χωρόχρονος είναι στάσιμος, τότε μπορεί τοπικά να εισαγχθεί ένα σύστημα συντεταγμένων x 0, x λ, λ = 1, 2, 3, τέποιο ώστε η μετρική να είναι ανεξάρτητη από την χρονική συντεταγμένη x 0 που ορίζει το διάνυσμα Killing T a. Ομως, στο γραμμικό στοιχείο θα υπάρχουν γινόμενα της μορφής d x 0 d x λ. Ενας στάσιμος χωρόχρονος λέγεται στατικός αν και μόνο αν το χρονοειδές διάνυσμα Killing T a είναι ορθογώνιο προς τις υπερεπιφάνειες x 0 = σταθ. Ενα στάσιμο σύστημα δεν αλλάζει με την πάροδο του χρόνου. Οταν λοιπόν λέμε ότι ο χωρόχρονος είναι στάσιμος εννούμε ότι είναι συμμετρικός ως προς οποιαδήποτε μετάθεση της συντεταγμένης του χρόνου, x 0. Ωστόσο, δεν είναι και συμμετρικός ως προς την αντικατάσταση x 0 -x 0. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να διακρίνουμε δύο χρονικές κατευθεύνσεις, ή το μέλλον από το παρελθόν. Η ισχυρότερη απαίτηση του να είναι μια λύση στατική, σημαίνει ότι η λύση παραμένει αναλλοίωτη κατά την αντιστροφή της χρονικής συντεταγμένης x 0. Σε έναν στατικό χωρόχρονο, υπάρχει σύστημα συντεταγμένων προσαρτημένο στο χρονοειδές διανυσματικό πεδίο Killing T a, στο οποίο η μετρική είναι ανεξάρτητη του χρόνου και στο γραμμικό στοιχείο δεν εμφανίζονται γινόμενα της μορφής d x 0 d x λ. 3.2 Η λύση του Schwarzschild Η απαίτηση της στατικής λύσης σημαίνει οτι τα g ab είναι ανεξάρτητα της χρονικής συντεταγμένης x 0 ή t και επίσης οτι g 0 λ = 0. Οι χωρικές συντεταγμένες θα είναι οι σφαιρικές με x 1 = r, x 2 = θ, x 3 = φ. Η πιο γενική μορφή του γραμμικού στοιχείου ds 2 που μπορούμε να πάρουμε για να είναι συμβατό με τη σφαιρική συμμετρία είναι d s 2 = A d t 2 - B d r 2 - C r 2 d θ 2 + sin 2 θ d φ 2 (3.1) όπου τα A, B και C είναι συναρτήσεις εξαρτώμενες μόνο από το r. Για απλούστευση θεωρούμε οτι C = 1. Πιο συγκεκριμένα υποθέτουμε οτι το παραπάνω γραμμικό στοιχείο στις 4 διαστάσεις μπορεί να έχει τη μορφή d s 2 = e ν d t 2 - e λ d r 2 - r 2 d θ 2 + sin 2 θ d φ 2 (3.2) όπου ν = ν(r), λ = λ(r) 30

39 άγνωστες συναρτήσεις που θα προσδιοριστούν από τη λύση των εξισώσεων του Einstein στο κενό. Η συναλλοίωτη μετρική είναι g ab = diag e ν, -e λ, -r 2, -r 2 sin 2 θ (3.3) και αφού ο πίνακας είναι διαγώνιος, η ανταλλοίωτη μορφή της θα είναι g ab = diag e -ν, -e -λ, -r -2, -r -2 sin -2 θ (3.4) Υπολογίζω τους συντελεστές αφινικής σύνδεσης και προκύπτει οτι οι μόνες μη μηδενικές συνιστώσες είναι Γ 1 00 = ν' 2 eν-λ, Γ 0 01 = ν' 2, Γ 11 0 = λ' 2 eλ-ν, Γ 1 11 = λ' 2 (3.5) Γ 2 12 = 1 r, Γ 13 3 = 1 r, Γ 22 1 = -r e -λ (3.6) Γ 3 23 = cot θ, Γ 1 33 = -r e -λ sin 2 θ, Γ 2 33 = sin θ cos θ (3.7) Χρησιμοποιώντας αυτό το αποτέλεσμα μπορούμε πλέον να υπολογίσουμε τις συνιστώσες του τανυστή Ricci. Εκείνες που δεν μηδενίζονται ταυτοτικά έχουν ως εξής: R 00 = e λ-ν -ν'' 2 + ν'2 ν' λ' λ' r (3.8) R 11 = -ν'' 2 - ν'2 ν' λ' λ' r (3.9) R 22 = -e -λ 1 + r 2 (ν' - λ') + 1 (3.10) R 33 = sin 2 θ R 22 (3.11) Κατά συνέπεια, οι μη μηδενικές συνιστώσες του τανυστή Einstein είναι οι G 0 o = e -λ λ' r - 1 r r 2 (3.12) G 1 1 = -e -λ ν' r + 1 r r 2 (3.13) G 2 2 = G 3 3 = 1 2 e-λ -ν'' - ν'2 ν' λ' λ' r - ν' r (3.14) Με βάση τις ταυτότητες Bianchi η (3.14) μηδενίζεται όταν μηδενίζονται οι (3.12) και (3.13). Αρα, οι εξισώσεις πεδίου στο κενό, G b a = 0, ανάγονται στις ακόλουθες τρεις: e -λ λ' r - 1 r r = 0 2 (3.15) e -λ ν' r + 1 r 2-1 r = 0 2 (3.16) 31

40 Προσθέτω τις (3.15) και (3.16) και έχω και ολοκληρώνω: λ' + ν' = 0 (3.17) λ + ν = 0 (3.18) Εδώ, το λ είναι μια συνάρτηση του r, και άρα η (3.17) είναι μια συνήθης διαφορική εξίσωση η οποία γράφεται: ή ισοδύναμα: που με ολοκλήρωση έχω: διαλέγω τη σταθερά ολοκλήρωσης να είναι -2m και παίρνω: Και η μόνη συνιστώσα της μετρικής που αλλάζει είναι Επομένως η (3.2) γίνεται e -λ - r e -λ λ' = 1 (3.19) r e -λ ' = 1 (3.20) r e -λ = r + σταθερά (3.21) e λ = (1-2 m / r) -1 (3.22) g' 00 = (1-2 m / r) (3.23) d s 2 = (1-2 m / r) d t 2 - (1-2 m / r) -1 d r 2 - r 2 d θ 2 + sin 2 θ d φ 2 (3.24) που είναι το γραμμικό στοιχείο Schwarzschild. Οι μη μηδενικές συνιστώσες της γραμμικής σύνδεσης για το γραμμικό στοιχείο Schwarzschild θα είναι οι Γt t r = ν' 2, Γ r t t = ν' 2 eν-λ, Γr r r = λ' 2 (3.25) Γr θθ Γθ φ φ = -r e -λ, Γr φ φ = -sin θ cos θ, Γ φ r φ = -r e -λ sin 2 θ, Γθ r θ = 1 r, Γ θ φ φ = 1 r = cosθ sin θ (3.26) (3.27) Από αυτές έπεται ότι οι μη μηδενικές συνιστώσες του τανυστή καμπυλότητας έχουν ως εξής: R 0101 = 2 m r -3 R 0202 = m r R 0303 = m r m r m r sin2 θ 32

41 R 1212 = 1-2 m -1 m r r R 1313 = 1-2 m -1 m r r sin2 θ R 2323 = -2 m r sin 2 θ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ SCHWARZSCHILD Από τη μορφή του γραμμικού στοιχείου Schwarzschild είναι εύκολο να παρατηρήσουμε οτι η λύση είναι συμμετρική ως προς τον χρόνο, δηλαδή αναλλοίωτη στο μετασχηματισμό t t' = -t, και αναλλοίωτη σε χρονικές μεταφορές δηλαδή αμετάβλητη από τον μετασχηματισμό t t' = t + σταθ., άρα αποτελεί στατική λύση. Το αποτέλεσμα αυτό περιγράφεται από το παρακάτω θεώρημα. ΘΕΩΡΗΜΑ BIRKHOFF Μια σφαιρικά συμμετρική λύση των εξισώσεων πεδίου του Einstein στο κενό, στην εξωτερική περιοχή, είναι απαραίτητα στατική. Από την (3.24), παρατηρώ οτι αν πάρουμε το όριο r, τότε παίρνουμε την μετρική του επίπεδου χώρου σε σφαιρικές συντεταγμένες, δηλαδή d s 2 = d t 2 - d r 2 - r 2 d θ 2 + sin 2 θ d φ 2. (3.28) Δείξαμε επομένως οτι μια σφαιρικά συμμετρική λύση των εξισώσεων πεδίου στο κενό είναι ασυμπτωτικά επίπεδη. Από φυσικής άποψης, κάτι τέτοιο δείχνει οτι καθώς το r το πεδίο βαρύτητας μηδενίζεται. Μπορούμε να προσπαθήσουμε να ερμηνεύσουμε τη σταθερά m που εμφανίζεται στην (3.24), λαμβάνοντας υπόψη το Νευτώνειο όριο. Στη Νευτώνεια θεωρία, μια σημειακή μάζα Μ που βρίσκεται στην αρχή των αξόνων παράγει δυναμικό φ = -GM / r. Εισάγοντας αυτή την έκφραση στη σχέση (2.12) για το όριο ασθενούς πεδίου, έχω g φ c 2 = 1-2 G M c 2 r. (3.29) Από τη σύγκριση της τελευταίας το με το γραμμικό στοιχείο (3.28) προκύπτει οτι m = G M c 2 (3.30) σε μη-σχετικιστικές μονάδες. Άρα, εάν θεωρήσουμε ότι η λύση Schwarzschild αντιστοιχεί σε ένα σημειακό αντικείμενο που τοποθετείται στην αρχή των αξόνων, τότε η σταθερά m είναι απλά η μάζα του αντικειμένου και σύμφωνα με την (3.24) έχει διαστάσεις μήκους. Αυτή τη μάζα την ονομάζουμε 33

42 γεωμετρική μάζα. Συνοψίζοντας τις ιδιότητες της λύσης Schwazschild έχω οτι: 1. Είναι σφαιρικά συμμετρική 2. Εχει συντεταγμένες προσαρτημένες στο χρονοειδές διανυσματικό πεδίο Killing X a 3. Είναι στατική 4. Είναι ασυμπτωτικά επίπεδη 5. Εχει γεωμετρική μάζα m = GM c 2 Μπορούμε επίσης να γράψουμε το γραμμικό στοιχείο του χωροχρόνου Schwarzschild σε ένα νέο σύστημα συντεταγμένων, έτσι ώστε το χωρικό τμήμα να είναι ανάλογο του 3-διάστατου Ευκλείδειου χώρου. Συγκεκριμένα, θα προσπαθήσουμε να γράψουμε την (3.24) στη μορφή d s 2 = A(r) d t 2 - B(r) d σ 2 (3.31) όπου d σ 2 είναι το γραμμικό στοιχείο του 3-διάστατου ευκλείδειου χώρου: d s 2 = d x 2 + d y 2 + d z 2 σε καρτεσιανές συντεταγμένες, ή σε σφαιρικές συντεταγμένες. d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2 + r 2 sin 2 θ d φ 2 Θεωρούμε λοιπόν ένα μετασχηματισμό στον οποίο οι συντεταγμένες θ, φ και t μένουν αμετάβλητες ενώ r ρ (r) όπου το ρ είναι κάποια άλλη ακτινική συντεταγμένη, και θα προσπαθήσουμε να φέρουμε τη λύση στη μορφή d s 2 = (1-2 m / r) d t 2 - [λ(ρ)] 2 d ρ 2 + ρ 2 d θ 2 + sin 2 θ d φ 2 (3.32) Συγκρίνοντας την (3.24) με την (3.32) οι συντελεστές του d θ 2 + sin 2 θ d φ 2 θα πρέπει να είναι ίσοι, άρα: και εξισώνοντας τα δυο ακτινικά στοιχεία θα έχω r 2 = λ 2 ρ 2 (3.33) (1-2 m / r) -1 d r 2 = λ 2 d ρ 2. (3.34) Απαλοίφοντας το λ και παίρνοντας τετραγωνικές ρίζες προκύπτει ότι d r r mr 2 = ±d ρ ρ (3.35) Αυτή είναι μια συνήθης διαφορική εξίσωση χωριζομένων μεταβλητών. Αφού απαιτούμε ρ 34

43 καθώς r, κρατάμε το θετικό πρόσημο και ολοκληρώνοντας προκύπτει r = ρ m / ρ 2 (3.36) και από την (3.33) λ 2 = m / ρ 4 (3.37) Χρησιμοποιούμε την (3.36) για να απαλοίψουμε το r και βρίσκουμε οτι η λύση Schwarzschild μπορεί να γραφτεί στην παρακάτω μορφή, που ονομάζεται ισοτροπική μορφή. d s 2 (1-2 m / r)2 = (1 + 2 m / r) d 2 t m / ρ 4 d ρ 2 + ρ 2 d θ 2 + sin 2 θ d φ 2 (3.38) Αν χρησιμοποιούσαμε καρτεσιανές συντεταγμένες η ισοτροπική μορφή της λύσης θα ήταν όπου d s 2 = (1-2 m / r)2 (1 + 2 m / r) d 2 t m / ρ 4 d x 2 + d y 2 + d z 2 (3.39) r = x 2 + y 2 + z = ρ m / ρ 2 (3.40) Η λύση όπως είναι γραμμένη στη σχέση (3.24) αφορά σε ένα συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων. Γενικά, όταν θέλουμε να γράψουμε μια λύση των εξισώσεων πεδίου, χρειάζεται να πάρουμε συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων. Εστω οτι στη λύση Schwarzschild εφαρμόζω καποιο πολύπλοκο μετασχηματισμό συντεταγμένων και ονομάζω τις νέες συντεταγμένες x' a. Και έστω οτι μου ζητείται να ερμηνεύσω τη λύση αυτή. Τότε ναι μεν η λύση θα επαληθεύει τις τις εξισώσεις πεδίου στο κενό, όμως οι καινούριες συντεταγμένες είναι αμφίβολο οτι θα έχουν κάποια γεωμετρική σημασία. Εξετάζοντας πιο προσεκτικά τις συντεταγμένες στη λύση Schwarzschild έχω οτι: g 00 = 1-2 m r -1 g 11 = m r g 22 = -1 r 2 g 33-1 = r 2 sin 2 θ επομένως η x 0 = t είναι χρονική και η x 1 = r είναι χωρική συνιστώσα για r>2m και οι x 2 = θ, x 3 = φ είναι κι οι δυο χωρικές. Επιπλέον, αφού η μετρική είναι ανεξάρτητη του χρόνου και δεν υπάρχουν όροι γινόμενα με dt, συμπεραίνουμε οτι η λύση είναι στατική. Η συντεταγμένη r είναι ακτινική παράμετρος με την ιδιότητα η 2-σφαίρα t=σταθερά και r=σταθερά να έχει ως γραμμικό 35

44 στοιχείο : d s 2 = -r 2 d θ 2 + sin 2 θ d φ από το οποίο προκύπτει η επιφάνεια που καύπτει η περιοχή είναι μια σφαίρα διάστασης 2 και ίση με 4 πr 2. Μια τέτοια ερμηνεία δεν θα μπορούσαμε να την έχουμε αν είχαμε πάρει ως συντεταγμένες τις ισοτροπικές με ακτινική παράμετρο το ρ. Τέλος, τα θ και φ είναι οι συνήθεις γωνίες στις πολικές συντεταγμένες για σφαίρες διάστασης 2 που είναι αμετάβλητες όπως επιβάλλει η σφαιρική συμμετρία. Συνοψίζοντας, οι συντεταγμένες Schwarzschild (t, r, θ, φ) είναι κανονικοποιημένες συντεταγμένες που έχουν οριστεί ως αμετάβλητες από τις παρούσες συμμετρίες. ΙΔΙΟΜΟΡΦΙΕΣ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ SCHWARZSCHILD Ένα πρόβλημα που προκύπτει από τη χρήση συγκεκριμένων συντεταγμένων είναι οτι αυτές δεν μπορούν καλύψουν όλη την πολλαπλότητα, αλλά ισχύουν για ένα μέρος της. Έτσι, οι συντεταγμένες Schwarzschild δεν ισχύουν για τους άξονες θ=0,π διότι το γραμμικό στοιχείο εκφυλίζεται εκεί και η μετρική παύει να έχει διάσταση 4. Αυτή η ανωμαλία μπορεί να παρακαμφθεί αν εισάγουμε καρτεσιανές συντεταγμένες (x,y,z), όπου ως συνήθως x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ Τέτοια σημεία ονομάζονται ανωμαλίες συντεταγμένων διότι αντικατοπτρίζουν την ανεπάρκεια του συστήματος συντεταγμένων που χρησιμοποιούμε και ανήκουν στις φαινομενικές ανωμαλίες.υπάρχουν όμως άλλα δυο σημεία στη λύση Schwarzschild στα οποία παρουσιάζεται ανωμαλία, και αυτά είναι για r=2m και r=0. Η τιμή r=2m ονομάζεται ακτίνα Schwarzschild και η υπερεπιφάνεια r=2m αποτελεί φαινομενική ανωμαλία συντεταγμένων. Αυτό φαίνεται και από τον τανυστή Riemann R abcd R abcd = 48 m 2 r -6 που είναι πεπερασμένη ποσότητα στο r=2m. Από τη στιγμή που είναι βαθμωτό, η τιμή του παραμένει ίδια σε όλα τα συστήματα συντεταγμένων. Η πραγματική ή ουσιαστική ανωμαλία βρίσκεται στο σημείο r=0. Η λύση Schwarzschild ερμηνεύεται ως μια λύση των εξισώσεων πεδίου του Einstein στο κενό, και αφορά στην εξωτερική περιοχή ενός σφαιρικού αντικείμενου ακτίνας α>2m. Μια διαφορετική μετρική θα μπορούσε να περιγράψει το ίδιο το σώμα για r<α, και τότε θα μπορούσε να αντιστοιχεί σε κατανομή μάζας που θα είχε ως αποτέλεσμα μη μηδενικό τανυστή ενέργειας-ορμής. 36

45 Από τις συντεταγμένες της μετρικής Schwarzschild είναι προφανές οτι η r=2m είναι μια φωτοειδής υπερεπιφάνεια, η οποία χωρίζει την πολλαπλότητες σε δυο περιοχές: i) 2 m < r < i i) 0 < r < 2 m Στο εσωτερικό της περιοχής (ii) οι συντεταγμένες t και r αλλάζουν τη σημασία τους, με την t να γίνεται χωρικού τύπου και την r να γίνεται χρονική. Για να δούμε ένα σημαντικό φαινόμενο που συνδέεται με τη λύση Schwarzschild, θεωρούμε ένα φωτόνιο που κινείται κατά μήκος μιας ακτίνας (θ, φ σταθερές). Η κίνηση του φωτόνιου καθορίζεται από τη συνθήκη Αρα, d s 2 = (1-2 M / r) -1 d r 2 - (1-2 M / r) c 2 d t 2 = 0 d r d t = ± 1-2 M / r c. Η τελευταία σχέση αποτελεί μια συνήθη διαφορική εξίσωση για τη συνάρτηση r(t). H λύση της δεν είναι δύσκολη (βλ. παρακάτω). Ωστόσο, τα ποιοτικά συμπεράσματα συνάγονται αμέσως από την εξής παρατήρηση: Οταν η d r > 0, η συντεταγμένη r αυξάνει ή μειώνεται ανάλογα με το αν αυξάνει ή μειώνεται η συντεταγμένη t. Αντίθετα, όταν η d r της t οδηγεί στη μείωση της r κι αντίστροφα. d t d t < 0, η αύξηση Ας υποθέσουμε πρώτα ότι βρισκόμαστε στην περιοχή όπου το r > 2 M. Τότε 1-2 M / r = 1-2 M / r. Συνεπώς, το θετικό πρόσημο στη σχέση d r = ± 1-2 M / r c αντιστοιχεί σ ένα φωτόνιο που κινείται προς τα έξω: d r πρόσημο αντιστοιχεί σ ένα φωτόνιο που κινείται προς τα μέσα: d r ταχύτητα d r d t τείνει στην ταχύτητα του φωτός στο κενό: d r d t d t = ±c, r 2 M. d t > 0. Με τη σειρά του, το αρνητικό d t < 0. Ασυμπτωτικά, η Αντίθετα, για r > 2 M και r 2 M, η ταχύτητα με την οποία το φωτόνιο διατρέχει την ακτινική συντεταγμένη r είναι σχεδόν μηδενική: d r d t 0. Οταν περνάμε στην περιοχή 0 < r < 2 M, η 1-2 M / r = -(1-2 M / r). Αρα, το θετικό πρόσημο στη σχέση d r d r = ± 1-2 M / r c συνεπάγεται ότι < 0, ενώ το αρνητικό d t d t οδηγεί στην d t > 0. Ομως, στην περιοχή r < 2 M, ο συντελεστής (1-2 M / d r r)-1 του d r 2 στην έκφραση d s 2 = (1-2 M / r) -1 d r 2 - (1-2 M / r) c 2 d t 2 είναι αρνητικός, ενώ ο (1-2 M / r) c 2 του d t 2 είναι θετικός. Αυτό σημαίνει ότι η μεταβλητή r είναι πλέον χρονική και η t χωρική. Συνεπώς, η συνθήκη d r < 0, η οποία είναι ταυτόσημη με 37 d t

46 την d t d r < 0, αντιστοιχεί στην περίπτωση όπου, με την πάροδο του χρόνου (d r > 0), η χρονική συντεταγμένη t του φωτόνιου μικραίνει. Το αντίθετο συμβαίνει όταν d r Σε κάθε περίπτωση, το σημαντικό είναι ότι d r d t d t > 0 ή d t d r > 0. 0, καθώς το r πλησιάζει την τιμή r = 2 M, από τ αριστερά (r < 2 M). Αρα, ένα φωτόνιο που εκπέμπεται από ένα σημείο της περιοχής 0 < r < 2 M δεν μπορεί να περάσει στην περιοχή r > 2 M. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο λέμε ότι η η λύση Schwarzschild περιγράφει μια μαύρη τρύπα, δηλαδή μια περιοχή του χωροχρόνου από την οποία δεν μπορεί να διαφύγει ούτε το φως. Σχ.1 Η επιφάνεια r=2m δρα ως μεμβράνη μιας κατεύθυνσης, που αφήνει μόνο τις μελλοντικές χρονοειδείς ή φωτοειδείς καμπύλες να περάσουν από έξω (από την περιοχή (i)) προς τα μεσα ( την περιοχή (ii)). Επιπλέον, καμία μη μελλοντική χρονοειδής ή φωτοειδής 38

47 καμπύλη δεν μπορεί να δραπετεύσει από την περιοχή (ii) στην περιοχή (i). Η επιφάνεια r=2m καλείται ορίζοντας γεγονότων επειδή αντιπροσωπεύει το όριο όλων των γεγονότων που μπορούν να παρατηρηθούν από έναν εξωτερικό αδρανειακό παρατηρητή. Ο ορίζοντας γεγονότων Schwarzschild είναι απόλυτος, διότι μπλοκάρει όλα τα εσωτερικά γεγονότα από κάθε εξωτερικό παρατηρητή. Στο Σχ. 4, δείχνουμε την κοσμική καμπύλη ενός σωμάτιου που πέφτει ελεύθερα προς το κέντρο, r = 0, μιας μαύρης τρύπας, με παράμετρο μάζας M = 1 / 2. Εχουμε υποθέσει ότι το σωμάτιο βρισκόταν στο σημείο r = 10 τη χρονική στιγμή t = 0. Σε διάφορα σημεία της καμπύλης δείχνουμε δύο ευθύγραμμα τμήματα που σχηματίζουν ένα V. Αυτό παριστάνει τον μελλοντικό κώνο φωτός στο αντίστοιχο χωροχρονικό σημείο. Σην περιοχή r > 2 M, ένα από τα σκέλη του V κατευθύνεται προς τα δεξιά και πάνω. Αυτό αντιστοιχεί σ ένα εξερχόμενο φωτόνιο. Αντίθετα, στην περιοχή 0 < r < 2 M και τα δύο σκέλη του V δείχνουν προς το r = 0. Αυτό σημαίνει πως, όταν το σωμάτιο περάσει στην περιοχή 0 < r < 2 M είναι αδύνατο να εκπέμψει ένα φωτόνιο που θα φτάσει στην εξωτερική περιοχή r > M. t r Σχ.2 Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι, ένα φωτόνιο που εκπέμπεται κατακόρυφα προς τα πάνω από την επιφάνεια ενός πλανήτη ή ενός αστεριού (συνήθους ή άσπρου νάνου ή αστέρα νετρονίων) πάντα διαφεύγει στο άπειρο. Ο λόγος είναι ότι η ακτίνα αυτών των σχεδόν σφαιρικών συγκεντρώσεων ύλης είναι πάρα πολύ μεγαλύτερη από το μήκος 2 M, που λέγεται ακτίνα Schwarzschild του σώματος. 39

48 Σχ.3 ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ Η συζήτηση για τις μαύρες τρύπες θα ήταν απλά ακαδημαική αν δεν υπήρχαν λόγοι να πιστεύουμε οτι υπάρχουν στη φύση. Η πιθανότητα της ύπαρξής τους προκύπτει από την ιδέα της βαρυτικής κατάρευσης που αρχικά μελετήθηκε από τους Oppenheimer και Volkoff το Η θεωρία της αστρικής εξέλιξης μας λέει οτι τα αστέρια που έχουν μάζα μεγαλύτερη από τη μάζα του ήλιου, φτάνουν σε μια κατάσταση ισορροπίας ως λευκοί νάνοι ή αστέρια νετρονίων. Όμως, για πολύ μεγαλύτερες μάζες (μεγαλύτερες από 10 φορές τη μάζα του Ήλιου) το αποτέλεσμα είναι η βαρυτική κατάρρευση. Η γενική θεωρία της σχετικότητας προβλέπει οτι ένα σφαιρικά συμμετρικό αστέρι θα συνεχίσει να συστέλλεται μέχρις ότου όλη του η ύλη να συγκεντρωθεί στο κέντρο συμμετρίας του, την ανωμαλία. Φανταζόμαστε μια κατάσταση στην οποία παρατηρούμε την κατάρευση ενός σφαιρικά συμμετρικού μη-περιστρεφόμενου αστεριού, που συνεχίζει μέχρι η ακτίνα του να φτάσει την ακτίνα Schwarzschild. Για να πάρουμε μια ιδέα του μεγέθους της ακτίνας Schwarzschild, σημειώνεται πως η ακτίνα Schwarzschild της γης είναι περίπου 1 εκ. και του Ηλιου περίπου 3 χλμ. Για όσο το αστέρι κρατάει τη σφαιρική συμμετρία του, το εξωτερικό πεδίο είναι αυτό που περιγράφεται από τη λύση Schwarzschild στο κενό. Όταν η ακτίνα του αστεριού γίνει μικρότερη από την ακτίνα Schwarzschild η κατάρρευση συνεχίζεται μέχρι το σημείο ανωμαλίας r=0. Το αστέρι χάνεται αφήνοντας μια μαύρη τρύπα στον χώρο που απορροφά οτιδήποτε πλησιάσει. Βέβαια κάτι τέτοιο θα ισχύει μόνο αν η γενική σχετικότητα συνεχίζει να υφίσταται σε καταστάσεις υψηλών θερμοκρασιών και πυκνοτήτων κοντά στο τελικό σημείο της κατάρρευσης. Η αντιστροφή αυτού του φαινομένου οδηγεί στη λευκή τρύπα. 40

49 41

50 40

51 41

52 42

53 Κεφ 4 Βαρυτικά κύματα Ένα από τα κεντρικά θέματα που πραγματεύεται η γενική θεωρία της σχετικότητας είναι η βαρυτική ακτινοβολία. Μέχρι πρόσφατα, είχε γίνει αρκετή θεωρητική δουλειά πάνω στα βαρυτικά κύματα, αλλά ήταν αδύνατο να αποδειχτεί πειραματικά οτι αυτά υπάρχουν. Τα βαρυτικά κύματα παράγονται από μεταβολές των βαρυτικών πεδίων ή από επιταχύνσεις μαζών. Ο τρόπος παραγωγής τους είναι αντίστοιχος με αυτό των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων τα οποία παράγονται από μεταβολές των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων ή επιταχύνσεις φορτίων. Συνήθως οι ασύμμετρες μεταβολές βαρυτικών πεδίων παράγουν πολύ ασθενή βαρυτικά κύματα που είναι δύσκολο να ανιχνευτούν. Συγκρούσεις αστέρων νετρονίων, μαύρων τρυπών αλλά και το πρώιμο σύμπαν αποτελούν ισχυρές πηγές βαρυτικών κυμάτων. Εμείς θα μελετήσουμε την πρωτοποριακή δουλειά του Einstein πάνω στα βαρυτικά κύματα, που στηρίχτηκε στην γραμμικοποιημένη μορφή των εξισώσεων πεδίου. Η προσέγγιση αυτή θα μας οδηγήσει στο συμπέρασμα οτι οι επίπεδες κυματικές λύσεις δίνουν εγκάρσια βαρυτικά κύματα με δυο καταστάσεις πόλωσης. 4.1 Ασθενή βαρυτικά κύματα Ένα βαρυτικό πεδίο γύρω από τον Ήλιο περιγράφεται από μια μετρική που διαφέρει λίγο από την μετρική Minkowski: Η διαφορά αυτή εκφράζεται με τον όρο 2 m / r της μετρικής Schwarzschild, με μέγιστη τιμή της τάξης του 10-5 στην επιφάνεια του Ήλιου. Στο εσωτερικό του Ήλιου αυτή η διαφορά είναι μεγαλύτερη, εξαρτάται από την κατανομή της μάζας του Ήλιου, αλλά δεν αναμένεται να ξεπερνάει την τάξη του Ένα βαρυτικό πεδίο που περιγράφεται από μια μετρική που διαφέρει λίγο από τη μετρική Minkowski καλείται ασθενές βαρυτικό πεδίο. Σύμφωνα με τα παραπάνω το βαρυτικό πεδίο του Ήλιου είναι παντού ασθενές. Μαλιστα, αυτή η περίπτωση ισχύει για όλα τα αστρικά αντικείμενα. Οι λευκοί νάνοι έχουν ακτίνα περίπου 100 φορές μικρότερη από την ακτίνα του Ήλιου και η διαφορά τους από τη μετρική Minkowski είναι της τάξης του 10-2 στο κέντρο του αστεριού. Η μόνη εξαίρεση στην οποία το βαρυτικό πεδίο δεν είναι ασθενές, είναι η περίπτωση 43

54 του αστέρα νετρονίου, η ακτίνα του οποίου είναι της τάξης του 2 m. Ξεκινάμε λοιπόν με την ακόλουθη υπόθεση: Η μετρική g a b που αντιστοιχεί σε ένα ασθενές βαρυτικό πεδίο διαφέρει ελάχιστα τη μετρική Minkowski, Αυτό μας επιτρέπει να πούμε ότι η ab = diag(1, -1, -1, -1). (4.1) g ab = η ab + ε h ab, (4.2) όπου ε είναι μια μικρή αδιάστατη παράμετρος, εννοώντας το εξής: Στο δεξί μέλος της (4.2) έχουν παραλειφθεί όλοι οι όροι 2ης και μεγαλύτερης τάξης στο ε. Το ίδιο θα κάνουμε καθ όλη την έκταση της μελέτης μας. Αυτός είναι ο λόγος που η μέθοδος που χρησιμοποιούμε αναφέρεται ως γραμμική προσέγγιση. Οπως δείχνουμε παρακάτω, οι εξισώσεις του Einstein για την μετρική (4.2) ανάγονται σ ένα σύστημα γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων, που λέγονται γραμμικοποιημένες εξισώσεις πεδίου. Επιπλέον, θα υποθέσουμε ότι ο χωρόχρονος είναι ασυμπτωτικά επίπεδος. Δηλαδή, h ab r 0, (4.3) όπου η ακτινική παράμετρος r συμβολίζει την συνήθη απόσταση από την αρχή των χωρικών αξόνων x 1, x 2, x 3. Θέτοντας βρίσκουμε ότι, σε πρώτη τάξη στο ε, h ab η ac η bd h cd, (4.4) g ab = η ab - ε h ab. (4.5) Από τις (4.2) και (4.4) εύκολα βρίσκουμε ότι, οι συνιστώσες της γραμμικής σύνδεσης είναι ίσες με κι εκείνες του τανυστή του Riemann Γ a bc = 1 2 ε (ha c,b + h a b,c - h a bc, ) (4.6) R abcd = 1 2 ε (h ad,bc + h bc,ad - h ac,bd - h bd,ac ). (4.7) Με τη σειρά του, ο τανυστής του Ricci δίνεται από την R ab = η cd R cadb = 1 2 ε(hc a,bc + h c b,ac - h ab - h,ab ), (4.8) όπου και ο τελεστής d Alembert: h η cd h cd = h c c (4.9) h ab = 2 t 2-2 h ab. (4.10) 44

55 Το βαθμωτό του Ricci είναι ίσο με R = ε h cd,cd - h (4.11) και, τέλος, ο τανυστής του Einstein G ab = 1 2 ε hc a,bc + h c b,ac - h ab - h,ab - η ab h cd,cd + η ab h. (4.12) Για να απλοποιήσουμε τις παραπάνω εκφράσεις, εισάγουμε τις νέες μεταβλητές ψ ab h ab η ab h. (4.13) Ετσι, R ab = 1 2 ε (ψc a,bc + ψ c b,ac - h ab ), (4.14) R = 1 2 ε 2 ψcd,cd - h, (4.15) G ab = 1 2 ε ψc a,bc + ψ c b,ac - ψ ab - η ab ψ cd,cd. (4.16) Από τον τελευταίο τύπο έπεται οτι οι εξισώσεις πεδίου θα καταλήξουν σε κυματικές εξισώσεις αν επιβάλουμε τη συνθήκη ψ a b,a = 0 (4.17) ή, με όρους του h ab, h a b,a h,b = 0. (4.18) Αυτή η συνθήκη είναι αναλογη με τη συνθήκη βαθμίδας Lorentz στον ηλεκτρομαγνητισμό και ονομάζεται βαθίδα Einstein, de Donder, Hilbert ή Fock. Στη συνέχεια κάνω τον εξής μετασχηματισμό συντεταγμένων: x a x' a = x a + ε ξ a (4.19) Τότε, ο h ab μετασχηματίζεται ως εξής h ab h' ab = h ab - 2 ξ (a,b) (4.20) Αντίστοιχα, ψ ab ψ' ab = ψ ab - ξ a,b - ξ b,a + η ab ξ c,c. (4.21) Συνεπώς, ψ' a b,a = ψ a b,a - ξ b. (4.22) Αν λοιπόν επιλέξουμε τις συναρτήσεις ξ a τέτοιες ώστε ξ b = ψ a b,a (4.23) τότε 45

56 ψ' a b,a = 0. (4.24) Δηλαδή, η συνθήκη βαθμίδας (4.18) θα ικανοποιείται και από τις ψ' ab. Σύμφωνα με την (4.23), οι συναρτήσεις ξ b προσδιορίζονται λύνοντας μη ομογενείς κυματικές εξισώσεις. Ωστόσο, με την παραπάνω επιλογή η βαθμίδα δεν προσδιορίζεται πλήρως. Γιατί μπορούμε να κάνουμε έναν επιπλέον μετασχηματισμό της μορφής (4.19) με ξ a τέτοιο που Δηλαδή, ξ a = 0. (4.25) Οι γραμμικοποιημένες εξισώσεις πεδίου προκύπτουν αντικαθιστώντας την (4.16) στις Αρα, στο κενό, ή G ab = 8 π G c 4 T ab (4.26) 1 2 ε ψ a b = - 8 π G T a b c 4 (4.27) ψ ab = 0, (4.28) h ab = 0. (4.29) Δηλαδή, οι συναρτήσεις h ab (x) αποτελούν λύσεις της κυματικής εξίσωσης. Τα βαρυτικά κύματα είναι μεταβολές της καμπυλότητας του χωροχρόνου που, στο κενό, περιγράφονται από την ομογενή κυματική εξίσωση (4.28). Αυτή επιδέχεται περιοδικές λύσεις της μορφής ψ ab = A ab cos(k c x c ) (4.30) όπου A ab είναι ένας συμμετρικός τανυστής. Αυτός ονομάζεται τανυστής πόλωσης και περιέχει πληροφορία για το πλάτος και την πόλωση των βαρυτικών κυμάτων. Το κυματοδιάνυσμα k c καθορίζει την διεύθυνση διάδοσης και τη συχνότητα του κύματος. Η λύση (4.30) θα πρέπει να ικανοποιεί τη συνθήκη βαθμίδας (4.17). Δηλαδή Από αυτήν προκύπτει αμέσως η συνθήκη ορθογωνιότητας Επιπλέον, από την κυματική εξίσωση (4.28) έχουμε οπότε ψ a b,a = -A ab k a sin(k c x c ) = 0. (4.31) A ab k a = 0. (4.32) ψ ab,c c = A ab k c k c cos(k c x c ) = 0, (4.33) 46

57 k c k c = 0. (4.34) Δηλαδή, το διάνυσμα k c είναι φωτοειδές. Μπορούμε λοιπόν να συμπεράνουμε οτι τα βαρυτικά φαινόμενα συμπεριφέρονται ως κύματα που διαδίδονται με την ταχύτητα του φωτός. Αν ισχύει η (4.29), τότε από την σχέση (4.7) έχω R abcd = 0. (4.35) Έτσι, ο ίδιος τανυστής Riemann, που αποτελεί κριτήριο για την ύπαρξη βαρυτικού πεδίου, ικανοποιεί την κυματική εξίσωση. Θα αναζητήσουμε τώρα μια απλή λύση των γραμμικοποιημένων εξισώσεων πεδίου του Einstein στο κενό που θα αναπαριστά επίπεδα κύματα που διαδίδονται στην κατεύθυνση του x. Ξεκινάμε εισάγοντας τις συντεταγμένες x 0, x 1, x 2, x 3 = (t, x, y, z) (4.36) και την υπόθεση εργασίας h ab = h ab (t, x), (4.37) που σημαίνει ότι h ab,2 = h ab,3 = 0. (4.38) Αντικαθιστώντας στην (4.7), βρίσκουμε το εξής αποτέλεσμα: R 0123 = R 0223 = R 0323 = R 1223 = R 1323 = R 2323 = 0, (4.39) R 0101 = 1 2 ε(2 h 01,01 - h 00,11 - h 11,00 ), R 0102 = 1 2 ε(h 02,01 - h 12,00 ), R 0112 = 1 2 ε(h 02,11 - h 12,01 ), (4.40) R 0103 = 1 2 ε(h 03,01 - h 13,00 ), R 0113 = 1 2 ε(h 03,11 - h 13,01 ), R 0202 = ε h 22,00, R 0203 = ε h 23,00, R 0303 = ε h 33,00, R 0212 = ε h 22,01, R 0213 = ε h 23,01, R 0313 = ε h 33,01, R 1212 = ε h 22,11, R 1213 = ε h 23,11, (4.41) R 1313 = ε h 33,11. Τώρα επιβάλλουμε τις γραμμικοποιημένες εξισώσεις πεδίου στο κενό στη μορφή R ab = 0. (4.42) που σε συνδυασμό με τις σχέσεις (4.31),(4.32),(4.33) θα έχουμε 47

58 R 12 = R 1020 = 0 R 13 = R 1030 = 0 R 20 = R 1210 = 0 R 30 = R 1310 = 0 R 11 = R R R 1212 = 0 R 10 = R R 1330 = 0 R 22 = R R 1212 = 0 R 23 = R R 1213 = 0 R 33 = R R 1313 = 0 R 00 = R R R 1010 = 0 (4.43) Παρατηρούμε οτι μόνο από τις σχέσεις (4.41) προκύπτουν μη μηδενικές συνιστώσες κι αυτές περιέχουν μόνο τους όρους h 22, h 23 και h 33. Άρα, μπορούμε να σπάσουμε τα h ab σε δυο μέρη ως εξής: όπου και h ab = h ab (1) + h ab (2) (4.44) h ab (1) = h 22 h h 23 h 33 (4.45) h ab (2) = h 00 h 01 h 02 h 03 h 01 h 11 h 12 h 13 h 02 h h 03 h (4.46) Οι εξισώσεις πεδίου στο κενό οδηγούν στο αποτέλεσμα οτι ο τανυστής καμπυλότητας των h (2) ab είναι ταυτοτικά μηδέν. Άρα υπάρχει ένα σύστημα συντεταγμένων στο οποίο τα h ab έχουν μόνο τι συνιστώσες h 22, h 23 και h 33 και επομένως η h ab είναι μια λύση τύπου h (1) ab. Ισχυροποιούμε την υπόθεση εργασίας που κάναμε νωρίτερα υποθέτοντας οτι h ab = h ab (t - x) (4.47) Αυτή η λύση αναπαριστά ένα κύμα που διαδίδεται στην κατεύθυνση του x άξονα με την ταχύτητα του φωτός. Η αντικατάσταση της (4.47) στη συνθήκη βαθμίδας Einsten (4.18) δίνει τις σχέσεις h 00,0 - h 01,1-1 h,0 = 0 2 h 01,0 - h 11,1-1 2 h,1 = 0 h 02,0 - h 12,1 = 0 h 03,0 - h 13,1 = 0 (4.48) Αν συμβολίσουμε με τόνο την παραγώγιση ως προς t - x, οι παραπάνω σχέσεις γίνονται h' 00 - h' h' = 0 h' 01 - h' h' = 0 h' 02 - h' 12 = 0 h' 03 - h' 13 = 0 (4.49) 48

59 Ολοκληρώνοντας βρίσκουμε ότι h 00 - h h = f 1 h 01 - h h = f 2 (4.50) h 02 - h 12 = f 3 h 03 - h 13 = f 4 όπου οι f a είναι συναρτήσεις των y και z. Ωστόσο, αφού οι h ab μηδενίζονται κατα την ακτινική διεύθυνση ασυμπτωτικά, Αρα, f 1 = f 2 = f 3 = f 4 = 0. (4.51) h 01 = -h h 00 h 02 = h 12 h 03 = h 13 h 33 = -h 22 (4.52) οπότε h ab = h 00 -h h 00 h 02 h 03 -h h 00 h 11 -h 02 -h 03 h 02 -h 02 h 22 h 23 h 03 -h 03 h 23 -h 22 (4.53) Τώρα, η ελευθερία βαθμίδας (4.20) μας επιτρέπει να αντικαταστήσουμε τις h ab από τις h' a b για τις οποίες h' 00 = h' 02 = h' 03 = h' 11 = 0. (4.54) Αρκεί να επιλέξουμε το κατάλληλο διάνυσμα ξ a και με τρόπο ώστε ξ a = 0. Πραγματικά, για την επιλογή (4.54), η (4.20) γίνεται h 00-2 ξ 0,0 = 0 h 02 - ξ 0,2 - ξ 2,0 = 0 h 03 - ξ 0,3 - ξ 3,0 = 0 (4.55) h 11-2 ξ 1,1 = 0 Αν λοιπόν υποθέσουμε οτι ξ a = ξ a (t - x) (4.56) τότε η ξ a = 0 ικανοποιείται αυτομάτως. Από την άλλη, η αντικατάσταση των (ξ 0, ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) = (F 0 (u), F 1 (u), F 2 (u), F 3 (u)), (4.57) όπου u = t - x, κι στις (4.55) δείχνει οτι οι συναρτήσεις F 0, F 1, F 2, F 3 καθορίζονται από τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις: 49

60 d F 0 d u d F 1 d u d F 2 d u d F 3 d u = 1 2 h 00(u) = h 11(u) = h 02(u) = h 03(u) Τέλος, η παραπάνω η επιλογή για το διάνυσμα ξ a αφήνει τις συνιστώνες h 22, h 23, h 33 αμετάβλητες: h' 22 = h 22, h' 23 = h 23, h' 33 = h 33. Αποδείξαμε λοιπόν οτι, με την κατάλληλη επιλογή βαθμιδας, οι h ab μετασχηματίζονται και παίρνουν μια κανονική μορφή, που, παραλείποντας τους τόνους, γράφεται ως εξής: h ab = 0 0 h 22 h (4.59) h 23 -h 22 Προφανώς, οι h ab εξαρτώνται από δυο μόνο συναρτήσεις τις h 22 (t - x) και h 23 (t - x). Στην περίπτωση που η h 23 = 0, το γραμμικό στοιχείο γίνεται d s 2 = d t 2 - d x 2 - [1 - ε h 22 (t - x)] d y 2 - [1 + ε h 22 (t - x)] d z 2, (4.60) οπότε η λύση ονομάζετα κύμα (τύπου) h 22. Θα ερευνήσουμε την περίπτωση που ένα τέτοιο κύμα προσπίπτει σε μια κατανομή ελεγκτικών σωματιδίων (test particles). Αρχικά θεωρούμε δυο γειτονικά σωματίδια στο επίπεδο y z με συντεταγμένες (y 0, z 0 ) και (y 0 + d y, z 0 ). Σύμφωνα με το γραμμικό στοιχείο (4.60) η απόσταση μεταξύ τους θα είναι: d s 2 = -(1 - ε h 22 ) d y 2 (4.61) Οταν λοιπόν η συνάρτηση h 22 αυξάνεται κι από μηδέν γίνεται θετική, η απόσταση των δύο σωματιδίων μειώνεται. Αντίθετα, όταν η η h 22 μειώνεται κι από μηδέν γίνεται αρνητική, η απόσταση των δύο σωματιδίων αυξάνεται. Στη συνέχεια, θεωρούμε δυο γειτονικά σωματίδια στο επίπεδο y z με συντεταγμένες (y 0, z 0 ) και (y 0, z 0 + d z). Σύμφωνα με το γραμμικό στοιχείο (4.60) η απόσταση μεταξύ τους θα είναι: d s 2 = -(1 + ε h 22 ) d y 2 (4.62) Άρα, η απόσταση αυτών των δύο σωματιδίων θα αυξομειώνεται αντίστροφα από εκείνη των δύο προηγούμενων. Από την προηγούμενη ανάλυση καταλήγουμε στο εξής συμπέρασμα: Οταν ένα κύμα τύπου h 22, κινούμενο στην κατεύθυνση x, προσπέσει σε μια κυκλική διάταξη σωματιδίων τοποθετημένων στο επίπεδο y z, αυτή η διάταξη θα διαταραχτεί και θα πάρει μορφή έλλειψης με κύριους άξονες παράλληλους προς τους άξονες y και z. Αυτό δείχνει καθαρά ότι ένα κύμα h 22 50

61 είναι τον εγκάρσιο. Θα αναφερόμαστε σε αυτή την κατάσταση ενός επίπεδου βαρυτικού κύματος ως πόλωση+. Σχ.1 Χρονική ακολουθία ενός συστήματος σωματιδίων που αρχικά βρίσκονται σε κυκλική διάταξη στο επίπεδο yz, που διαταράσσονται από εγκάρσιο κύμα με πόλωση+ Θα εξετάσουμε τώρα την περίπτωση του κύματος (τύπου) h 23, δηλαδή, όταν η h 22 = 0 και το γραμμικό στοιχείο έχει τη μορφή: d s 2 = d t 2 - d x 2 - d y ε h 23 (t - x) d y d z - d z 2 (4.63) Κάντοντας στροφή 45 στο επίπεδο y z, σύμφωνα με τις σχέσεις, y' = y cos45 + z sin45 = 2 2 z' = -y sin45 + z cos45 = 2 2 το γραμμικό στοιχείο (4.63) μετατρέπεται στο (y + z) (-y + z) (4.64) d s 2 = d t 2 - d x 2 - [1 - ε h 23 (t - x)] d y' 2 - [1 + ε h 23 (t - x)] d z 2 (4.65) Συγκρίνοντάς το με το γραμμικό στοιχείο (4.60), βλέπουμε οτι ένα κύμα h 23 παράγει τα ίδια αποτελέσματα με αυτά του κύματος h 22, με τη διαφορά οτι έχουμε στρίψει τους άξονες κατα 45. Και πάλι ο εγκάρσιος χαρακτήρας του κύματος είναι προφανής και σε αυτή την κατάσταση θα αναφερόμαστε ως πόλωση. Σχ.2 Χρονική ακολουθία ενός συστήματος σωματιδίων που αρχικά βρίσκονται σε κυκλική διάταξη στο επίπεδο yz, που διαταράσσονται από εγκάρσιο κύμα με πόλωση. 51

62 Μια εναλλακτική μέθοδος για να οδηγηθούμε στα ίδια αποτελέσματα είναι να ξεκινήσει κανείς από την εξίσωση γεωδαισιακής απόκλισης D 2 ζ a Dτ - 2 Ra bcd v b v c ζ d = 0. (4.66) Για το το χωρικό κομμάτι του διανύσματος απόκλισης ζ a, αυτή γίνεται D 2 ζ λ Dτ - 2 Ra bcd e λ a v b v c ζ d = 0, λ = 1, 2, 3, (4.67) όπου e b a ένα ορθοκανονικό σύστημα διανυσμάτων τα οποία μεταφέρονται παράλληλα κατά μήκος της γεωδεσιακής καμπύλης αναφοράς. Εισάγοντας ένα τοπικό σύστημα συντεταγμένων τέτοιο ώστε e a i δ a i, η (4.66) γίνεται D 2 ζ λ Dτ - 2 Rλ 0 μ0 ζ μ = 0 (4.68) Θέτοντας η β = (x, y, z) (4.69) και χρησιμοποιώντας τις (4.39)-(4.41), βρίσκουμε ότι οι (4.67) παίρνουν την ακόλουθη μορφή: D 2 x Dτ 2 = 0 D 2 y Dτ ε(h 22,00 y + h 23,00 z) = 0 2 D 2 z Dτ 2-1 ε(h 22,00 z - h 23,00 y) = 0 2 Για ένα κύμα h 22 γ.π., οι τελευταίεςσ σχέσεις ανάγονται στις (4.70) D 2 y Dτ 2 = - 1 εh'' 22 y 2 D 2 (4.71) z Dτ 2 = 1 εh'' 22 z 2 που συνεπάγονται την συμπεριφορά των ελεγκτικών σωματιδίων την οποία περιγράψαμε πιο πάνω (βλ. Σχ.1). 52

63 4.2 Ακριβείς λύσεις των εξισώσεων πεδίου που περιγράφουν επίπεδα βαρυτικά κύματα Εισάγοντας τις νέες συντεταγμένες u = t - x, v = t + x, (4.72) γράφουμε το γραμμικό στοιχείο που αντιστοιχεί σε ένα κύμα τύπου h 22 στη μορφή όπου d s 2 = d u d v - f 2 (u) d y 2 - g 2 (u) d z 2 (4.73) f 2 (u) = 1 - ε h 22 (u), g 2 (u) = 1 + ε h 22 (u). (4.74) Στη συνέχεια, θεωρούμε ότι οι συναρτήσεις f, g που εμφανίζονται στο γραμμικό στοιχείο (4.73) είναι άγνωστες. Εύκολα βρίσκουμε οτι οι μόνες μη μηδενικές συνιστώσες γραμμικής σύνδεσης είναι οι Γ 1 22 = 2 f f ', Γ 1 33 = 2 g g', Γ 2 02 = f ' f, Γ 02 2 = g' g. (4.75) Ο τανυστής Riemann έχει δυο μόο ανεξάρτητες συνιστώσες, τις R 0202 = f f '', R 0303 = g g''. (4.76) Ετσι, οι εξισώσεις πεδίου στο κενό ανάγονται σε μία μόνο εξίσωση, την f '' f + g'' g = 0. (4.77) Ονομάζουμε τον πρώτο όρο αυτής της εξίσωσης συνάρτηση h(u), δηλαδή, οπότε η (4.77) ικανοποιείται όταν το g είναι τέτοιο ώστε g'' f '' f = h (4.78) g = -h. (4.79) Οι δυο τελευταίες εξισώσεις λύνονται για να δώσουν τις f και g συναρτήσει της h. Έτσι, οποιαδήποτε επιλογή της αυθαίρετης συνάρτησης h δίνει και μια λύση των εξισώσεων πεδίου στο κενό. Τέτοιες λύσεις ονομάζονται γραμμικώς πολωμένα επίπεδα βαρυτικά κύματα. Αναπαριστούν επίπεδα βαρυτικά κύματα απομακρυσμένα από πηγές που διαδίδονται στην κατεύθυνση του άξονα x. Η μορφή του γραμμικού στοιχείου (4.73) προτάθηκε από τον Rosen. Εάν κάνουμε τον μετασχηματισμό συντεταγμένων U = u, V = v + y 2 f f '' + z 2 g g', Y = f y, Z = g z, (4.80) τότε το γραμμικό στοιχείο Rosen μετασχηματίζεται στη μορφή που έδωσε Brickmann, 53

64 d s 2 = h(u) Z 2 - Y 2 d U 2 + d U d V - d Y 2 - d Z 2 (4.81) που δείχνει την εξάρτηση από τη συνάρτηση h. Η συνάρτηση αυτή θα μπορούσε να παριστάνει το πλάτος του πολωμένου κύματος. Αν και τέτοιες λύσεις είναι μη ρεαλιστικές από φυσικής πλευράς, διότι είναι άπειρες σε έκταση, θα μπορούσαν να αναπαριστούν κάποιες από τις ιδιότητες αληθινών κυμάτων από φραγμένες πηγές σε κάποια απομακρυσμένη περιοχή. Πιο συγκεκριμένα, μας επιτρέπουν να ερευνήσουμε τη σύγκρουση των βαρυτικών κυμάτων. Θα πρέπει βέβαια να σημειώσουμε ότι, στη Γενική Σχετικότητα δεν ισχύει η αρχή της επαλληλίας, όπως στον κλασικό ηλεκτρομαγνητισμό. Σε αντίθεση λοιπόν με τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα που, λόγω της γραμμικότητας των αντίστοιχων εξισώσεων πεδίου, περνάνε το ένα μέσα από το άλλο, δεν περιμένοουμε να γίνεται το ίδο και με τα βαρυτικά κύματα. Με άλλα λόγια, περιμένουμε ότι η μη γραμμικότητα των εξισώσεων πεδίου του Einstein να αποκαλυφθεί στην αλληλεπίδραση δυο βαρυτικών κυμάτων. Ωστόσο, η (4.81) δείχνει ότι, ειδικά για δυο επίπεδα κύματα που κινούνται στην ίδια κατεύθυνση, η αρχή της επαλληλίας ισχύει: Το συνολικό κύμα προκύπτει προσθέτοντας τις αντίστοιχες συναρτήσεις h. Έτσι, όταν κινούνται στην ίδια κατεύθυνση, δυο τέτοια βαρυτικά κύματα δεν σκεδάζουν (διασκορπίζουν) το ένα το άλλο. Για να έχουμε διασκορπισμό, χρειαζόμαστε δυο κύματα που κινούνται σε διαφορετικές κατευθύνσεις. 4.3 Επίπεδοι βαρυτικοί παλμοί Σε αυτή την ενότητα θα χρειαστεί να εισαγάγουμε τις συναρτήσεις Heaviside και δέλτα του Dirac. Η συνάρτηση Heaviside ορίζεται ως εξής: θ(u) = 0, u 0 1, u 0 (4.82) Μιλώντας διαισθητικά, η δέλτα του Dirac, δ(u), είναι μια συνάρτηση που α) μηδενίζεται σε κάθε σημείο εκτός από το u = 0 όπου απειρίζεται, δ(u) =, u = 0 0, u 0 (4.83) και β) Για κάθε ομαλή συνάρτηση f (u), - f (u) δ(u) du = f (0). (4.84) Αυστηρά μιλώντας, η δ δεν είναι συνάρτηση αλλά κατανομή, αλλα για λόγους ευκολίας αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως συνάρτηση. Με βάση τους παραπάνω ορισμούς εύκολα, αποδεικνύονται οι σχέσεις: θ' (u) = δ(u), u δ(u) = 0. (4.85) 54

65 Θεωρούμε τώρα το γραμμικό στοιχείο Rosen d s 2 = d u d v - f 2 (u) d y 2 - g 2 (u) d z 2 (4.86) με Εύκολα αποδεικνύονται οι σχέσεις f ' = -g' = θ(u), f (u) = 1 + u θ(u), g(u) = 1 - u θ(u). (4.87) f '' = -g'' = δ(u), f '' f = - g'' g = δ(u) (4.88) Αρα, ικανοποιείται και η εξίσωση (4.77), οπότε μπορούμε να πούμε ότι, με την επιλογή (4.87) το γραμμικό στοιχείο (4.86) αντιστοιχεί σε ένα επίπεδο κύμα. Οι τανυστές Ricci και Einstein μηδενίζονται, αλλά οι συνιστώσες R 0202 και R 0303 του τανυστή καμπυλότητας είναι μη μηδενικές: R 0202 = -R 0303 = δ(u). (4.89) Η λύση περιλαμβάνει συναρτήσεις δέλτα στην καμπυλότητα, που σημαίνει οτι είναι μη επίπεδη μόνο όταν u = 0. Αυτό γίνεται πιο ξεκάθαρο αν γράψουμε το γραμμικό στοιχείο στη μορφή Brickman (4.81). Τότε, και άρα, όταν η u = U 0, το γραμμικό στοιχείο ανάγεται στο h(u) = δ(u) (4.90) d s 2 = d U d V - d Y 2 - d Z 2 (4.91) που παριστάνει τον χωροχρόνο Minkowski. Η υπερεπιφάνεια u = 0, όπου το βαρυτικό πεδίο είναι μη μηδενικό, χωρίζει δυο επίπεδες περιοχές. Κάθε τέτοια λύση καλείται ωστικό επίπεδο βαρυτικό κύμα (impulsive plane gravitational wave). 55

66 Σχ.3. Το διάγραμμα παριστάνει ένα ωστικό επίπεδο κύμα σε χωρόχρονο μιας χωρικής διάστασης. 4.4 Συγκρουόμενοι επίπεδοι βαρυτικοί παλμοί Γενικεύοντας την μορφή του γραμμικού στοιχείου που εισήγαγε ο Rosen, θέτουμε όπου l = l (u, v), f = f (u, v) και g = g (u, v). d s 2 = l d u d v - f 2 d y 2 - g 2 d z 2 (4.92) Αυτή η μορφή μας επιτρέπει να ενσωματώσουμε κύματα που κινούνται και προς τις δυο κατευθύνσεις. Μια συγκεκριμένη λύση των εξισώσεων πεδίου στο κενό της μορφής (4.92) δόθηκε από τους Penrose και Khan και ορίζεται από τις σχέσεις όπου m 3 l = r w(p q + r w) f 2 = m 2 r + q w + p r - q w - p g 2 = m 2 r - q w - p r + q w + p (4.93) p = u θ(u), q = v θ(v), r = 1 - p 2 1 2, w = 1 - q 2 1 2, m = 1 - p 2 - q (4.94) 56

67 Σχ.4. Η λύση των Penrose και Khan. Στο παραπάνω σχήμα απεικονίζεται η λύση των Penrose και Khan. Παρατηρούμε οτι η λύση ορίζεται σε τέσσερις περιοχές: Την περιοχή (I) στην οποία u<0, v<0 Την περιοχή (II) όπου 0<u<1, v<0 Την περιοχή (III) στην οποία u<0, 0<v<1 και Την περιοχή (IV) όπου u>0, v>0 και u 2 + v 2 < 1. Η περιοχή I χωρίζεται από την περιοχή ΙΙ από ένα ωστικό βαρυτικό κύμα κι από την περιοχή ΙΙΙ από ένα άλλο κύμα του ίδιου τύπου. Και στις τρεις περιοχές Ι, ΙΙ και ΙΙΙ, η λυση είναι ομαλή. Τα δυο ωστικά κύματα κινούνται σε κατευθύνσεις και συγκρούονται στην αρχή των αξόνων t = 0, x = 0. Η περιοχή ΙV αναπαριστά την αλληλεπίδρασή τους. Σε αυτή την περιοχή η καμπυλότητα του χωρόχρονου είναι μη μηδενική και σε πεπερασμένο χρόνο παρουσιάζει ουσιώδη ανωμαλία. Η λύση παρουσιάζει ανωμαλία και στα άκρα u = 1, v < 0 και v = 1, u < 0, των περιοχών ΙΙ και ΙΙΙ, αντίστοιχα, όπου συναντιούνται φωτοειδείς γεωδαισιακές. Τα παραπάνω άκρα αντιστοιχούν σε επιφάνειες δύο διαστάσεων που λέγονται καυστικές (caustics). Οι ανωμαλίες στις καυστικές είναι τοπολογικές και όχι ουσιώδεις ανωμαλίες καμπυλότητας. Ορίζουμε ως κύμα σαντουιτς μια λύση των εξισώσεων πεδίου στο κενό για την οποία η καμπυλότητα είναι μη μηδενική σε μια περιοχή ανάμεσα σε δύο επίπεδες υπερεπιφάνειες έξω από τις οποίες η καμπυλότητα μηδενίζεται (βλ. Σχ.5). Ένας παρατηρητής που κινείται πάνω σε 57

68 μια γεωδαισιακή θα αισθανθεί το κύμα να περνάει για ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα, δηλαδή όσο θα κινείται στην περιοχή II του Σχ.5. Γειτονικά ελεύθερα σωματίδια θα επιταχύνονται κάθετα στην κατεύθυνση διάδοσης του κύματος. Ενα ωστικό βαρυτικό κύμα μπορεί να θεωρηθεί ως ένα λεπτό κύμα σαντουιτς με κατάλληλο όριο καθώς η λεπτότητα πηγαίνει στο μηδέν. Παρόλο που τα κύματα σάντουιτς υπάρχουν μόνο σε θεωρητικό επίπεδο, αποδεικνύεται οτι είναι ευκολότερο να δουλέψουμε με αυτά παρά με τα πιο γενικά κύματα. Σχ.5. Το διάγραμμα παριστάνει ένα κύμα σαντουιτς σε χωρόχρονο μιας χωρικής διάστασης. 58

69 55

70 56

71 57

72 58

73 ΚΕΦ.5 Ανίχνευση βαρυτικών κυμάτων O J. Weber, τη δεκαετία του 1960, ασχολήθηκε με την πιθανή ανίχνευση των βαρυτικών κυμάτων. Η μέθοδός του βασίστηκε στο γεγονός οτι ελεύθερα σωματίδια που κινούνται υπό την επίδραση ενός βαρυτικού πεδίου δέχονται σχετική επιτάχυνση που εκφράζεται από την εξίσωση γεωδαισιακής απόκλισης. Η τεχνική του Weber στηρίζεται στην μέτρηση των παραμορφόσεων που δέχεται ένας μεγάλος κύλινδρος από αλουμίνιο από την βαρυτική ακτινοβολία. Αρκετές αμφιβολίες ακολουθούσαν τους ισχυρισμούς του Weber ότι είχε ανιχνεύσει ακτινοβολία που προέρχεται από το κέντρο του γαλαξία, αφού η ευαισθησία της ράβδου του δεν ήταν αρκετή για να ανιχνευσει την ακτινοβολία που προσδωκούσε. Τέτοια σήματα θα χάνονταν μέσα στον θόρυβο των ανθρώπων, των αυτοκινήτων, των αεροσκαφών κλπ που περιέβαλλαν τον εξοπλισμό. Ο Thorne διαχωρίζει την ακτινοβολία σε τρια είδη: εκρηκτική, περιοδική και στοχαστική. Πιθανές πηγές της εκρηκτικής ακτινοβολίας είναι πυρήνες σουπερνοβα αστέρων που καταρρέουν ή πάλλονται στον δικό μας γαλαξία ή σε άλλους, η δημιουργία μια μαύρης τρύπας, συγκρούσεις μεταξύ μαύρων τρυπών ή μεταξύ μαύρων τρυπών και αστέρων νετρονίων, γαλαξιακοί πυρήνες και quasars και η τροχιακή κατάρευση ενός δυαδικού palsar. Πιθανές πηγές περιοδικής ακτινοβολίας περιλαμβάνουν δυαδικά συστήματα αστέρων, στροβιλιζόμενα αστέρια, λευκοί νάνοι που στροβιλίζονται και διακυμάνσεις λευκών νάνων που ακολουθούνται από εκρήξεις νοβα. Στοχαστικές πηγές θεωρούνται η μεγάλη έκρηξη, μη ομογένειες του πρόωρου σύμπαντος και μαύρες τρύπες που σχηματίστηκαν πριν τους γαλαξίες. Τα ποσά ενέργειας που εκλύονται από τις διάφορες πηγές είναι πολύ δύσκολο να εκτιμηθούν λόγω της πολυπλοκότητας του μοντέλου που χρησιμοποιείται καθώς και των αλγεβρικών υπολογισμών που χρειάζονται. Έτσι, τη σκυτάλη παίρνει η αριθμητική σχετικότητα που περιλαμβάνει τη χρήση υπολογιστών για τη λύση των εξισώσεων του Αινσταιν αριθμητικά με δοσμένες αρχικές συνθήκες. Για παράδειγμα, οι αριθμητικοί κώδικες υποδηλώνουν οτι ένα αστέρι που καταρέει μπορεί να εκπέμψει το 1 ή 2% της μάζας του με τη μορφή βαρυτικών κυμάτων. 59

74 5.1 Ανιχνευτές βαρυτικών κυμάτων Mέχρι σήμερα έχουν σχεδιαστεί τρείς τύποι ανιχνευτών βαρυτικών κυμάτων: Οι μπάρες του Weber, τα συμβολόμετρα λέιζερ και οι διαστημικοί ανιχνευτές Οι μπάρες Weber (Weber bars) Οι μπάρες Weber είναι συσκευές που χρησιμοποιούνται για την ανίχνευση βαρυτικών κυμάτων και προτάθηκαν και κατασκευάστηκαν από τον φυσικό Joseph Weber στο πανεπιστήμιο του Maryland (Σχ.1). Οι τεράστιοι κύλινδροι από τους οποίους αποτελούνταν είχαν μήκος 2 μέτρα και διάμετρο 1 μέτρο, ενώ μετρούσαν συχνότητες συντονισμού 1660 Hertz. Οι μπάρες είναι κατασκευασμένες από διάφορα υλικά όπως αλουμίνιο, σιλικόνη και νιόβιο, είναι απομονωμένες από ηχητικές πηγές και βρίσκονται σε μέγιστη θερμοκρασία 2Κ. Οι ταλαντώσεις μετρώνται από μηχανικούς ή ηλεκτρικούς μετασχηματιστές. Σχ.1 Ο J. Weber στο εργαστήριό του. Υπάρχουν αρκετά κέντρα με μπάρες Weber οι οποίες μπορούν να ανιχνεύσου κύματα πλάτους h ~ Ο πλέον ευαίσθητος ανιχνευτής είναι ο Nautilus (Σχ.2) που βρίσκεται στο 60

75 Frascatti κοντά στη Ρώμη και έχει τα εξής τεχνικά χαρακτηριστικά: M = 2260Kg (Aluminium 5056), L = 3m, T = 0.1K και συχνότητα συντονισμού ω 0 ~ 906Hz. Με βάση αυτά τα χαρακτηριστικά ο Nautilus μπορεί να ανιχνεύσει βαρυτικά κύματα πλάτους h εφόσον τα κύματα εκπέμπονται σε συχνότητες που θα προκαλέσουν τον συντονισμό του ανιχνευτή δηλαδή περί τα 900Hz. Οι πιθανές μελλοντικές βελτιώσεις για αυτού του είδους τους ανιχνευτές περιορίζονται από τις διαστάσεις του συστήματος οι οποίες δεν μπορούν να γίνουν πολύ μεγαλύτερες από μερικά μέτρα με αντίστοιχη αύξηση της μάζας και κατά συνέπεια της ευαισθησίας κατά μία τάξη μεγέθους. Σχ.2 Το πείραμα Ναutilus Συμβολόμετρα λέιζερ Τα συμβολόμετρα είναι όργανα με πολύ μεγαλύτερη ευαισθησία από άλλα όργανα ανίχνευσης βαρυτικών κυμάτων και έχουν τη δυνατότητα να λειτουργούν σε ένα μεγαλύτερο εύρος συχνοτήτων σε σχέση με τις μπάρες Weber. Το συμβολόμετρο LIGO γ.π. μπορεί να μετρήσει μια απόσταση της διαμέτρου ενός πρωτονίου. Ευρέως διαδεδομένα σήμερα, τα συμβολόμετρα εφευρέθηκαν τον 19ο αιώνα από τον Albert Michelson. Το συμβολόμετρο Michelson χρησιμοποιήθηκε το 1887 από τον ίδιο κι αργότερα στο περίφημο πείραμα Michelson-Morley, το οποίο ερευνούσε την ύπαρξη του αιθέρα (luminiferous aether), μιας ουσίας που θεωρούνταν οτι υπήρχε στο Σύμπαν εκείνη την εποχή. 61

76 Όλα τα σύγχρονα συμβολόμετρα εξελίχθηκαν με βάση αυτό, αφού επιδείκνυε πως οι ιδιότητες του φωτός μπορεί να χρησιμοποιηθούν για να γίνουν πολύ μικρές μετρήσεις. Η εφεύρεση των λέιζερ αργότερα διευκόλυνε και διέυρυνε αυτές τις μετρήσεις όπως αυτές που απαιτούνται στο LIGO. Η βασική διάταξη του συμβολόμετρου Michelson παρουσιάζεται στο Σχ. 3. Αποτελείται από ένα λέιζερ, έναν διαχωριστή ακτίνας (beam splitter), μια σειρά καθρεφτών (mirrors) και έναν ανιχνευτή (screen) που καταγράφει τη συμβολή των ακτίνων φωτός μετά την ανάκλασή τους στους καθρέφτες. Σχ.3 Το συμβολόμετρο Μichelson Το πιο προχωρημένο πείραμα με στόχο την ανίχνευση των διακυμάνσεων που προκαλούν βαρυτικά κύματα στην περιοχή της γης, έχει ξεκινήσει εδώ και μερικά χρόνια και συνεχώς αναβαθμίζεται. Πρόκειται για το LIGO (Laser Interferometer Gravitational Wave Observatory). Ιδρύθηκε το 1992 από τους Kip Thorne και Ronald Drever του Τεχνολογικού Ιδρύματος της Καλιφόρνια μαζί με τον Rainer Weiss του MIT. Στην πραγματικότητα το LIGO είναι ένα διπλό πείραμα: Ενας από τους δύο ανιχνευτές έχει εγκατασταθεί στο Livingston Observatory, στην πόλη Livingston της πολιτείας της Louisiana, κι ο δεύτερος βρίσκεται χλμ μακριά, στο Hanford Observatory, που βρίσκεται κοντά στο Richland, της πολιτείας Washington (σχ.4). 62

77 Σχ.5 Livingston observatory. Το LIGO αποτελείται από δυο τεράστια συμβολόμετρα λέιζερ μήκους 4km σε σχήμα L και βασίζονται στη δομή των συμβολόμετρων του Michelson. Εκτός από το κοινό σχήμα, έχουν επίσης καθρέφτες στα άκρα των βραχιόνων τους που αντανακλούν το φως και ανιχνευτές που μετράνε την ένταση του φωτός που προκύπτει από την συμβολή των δυο αρχικών δεσμών (Σχ. 5). Ωστόσο τα συμβολόμετρα του LIGO ξεπερνάνε κατα πολύ σε μέγεθος και πολυπλοκότητα αυτά του Michelson. Σχ.5 LIGO interferometer Οι ακτίνες λέιζερ είναι ακριβώς ρυθμισμένες ώστε, κάθε φορά που δυο ακτίνες συναντιούνται στη γωνία L, το φως να συνδυάζεται και ακτίνες αλληλοεξουδετερώνονται. Αυτό σημαίνει οτι η κορυφή του κύματος που διασχίζει το ένα σκέλος συμπίπτει με την κοιλάδα του κύματος που διασχίζει το άλλο σκέλος, με αποτέλεσμα τα δυο σήματα να αλληλοαναιρούνται. 63

78 Οι φυσικοί ονομάζουν αυτό το φαινόμενο συμβολή του φωτός. Εάν τώρα προσπέσει στο βραχίονα κάποιο βαρυτικό κύμα, τότε θα συμπιέσει το ένα σκέλος και θα επιμηκύνει το άλλο. Οι κορυφές και οι κοιλάδες του κύματος φωτός παύουν να συμπίπτουν κι έτσι τα δυο σήματα σταματούν να αλληλοακυρώνονται. Το αποτέλεσμα είναι ένα ανιχνεύσιμο σήμα από τη συμβολή του φωτός, λόγω της βαρυτικής παρεμβολής. Η διάταξη L του πειράματος LIGO έχει σχεδιαστεί με τρόπο που να επιτρέπει την ανίχνευση μεταβολών μεγέθους εκατοστών ή περίπου εκατό εκατομμυριοστά της διαμέτρου του υδρογόνου. Μικροσκοπικές διακυμάνσεις αυτού του μεγέθους μπορεί να τις προκαλέσουν όμως και πολλά καθημερινά φαινόμενα, όπως ένας μικρός σεισμός, ή τα κύματα που χτυπούν την ακτή ή η πτώση των δέντρων που κόβουν οι υλοτόμοι στο παρακείμενο δάσος. Κατασκευάζοντας δυο πανομοιότυπα εργαστήρια σε μεγάλη απόσταση μεταξύ τους με σκοπό την ταυτόχρονη ανίχνευση σημάτων και στα δυο, οι επιστήμονες μπορούν ουσιαστικά να αποκλείσουν αυτές τις τοπικές επιρροές. Άλλοι συμβολομετρικοί ανιχνευτές είναι τοποθετημένοι στην Ευρώπη. Υπάρχει ο Ιταλο-Γαλλικός ανιχνευτής EGO κοντά στην Πίζα της Ιταλίας με βραχίονες μήκους 3 km και το Γερμανο-Αγγλικός GEO600 κοντά στο Αννόβερο της Γερμανίας με βραχίονες μήκους 600m. Τέλος υπάρχει συμβολόμετρο λέιζερ και στην Ιαπωνία, στο Τόκυο, ο TAMA με βραχίονες 300m Διαστημικοί ανιχνευτές Για χαμηλές συχνότητες, μικρότερες από 1 Hz είναι δύσκολο έως ακατόρθωτο να προστατευθούν οι επίγειοι ανιχνευτές από τον ήχο και τον σεισμικό θόρυβο. Ο μόνος τρόπος υπέρβασης αυτού του εμποδίου είναι να τεθούν σε λειτουργία ανιχνευτές στο διάστημα. Με βάση αυτή την ιδέα σχεδιάστηκε το διαστημόπλοιο LISA (Σχ.6) το οποίο τον Δεκέμβριο του 2015 ξεκίνησε την αποστολή του στο διάστημα προκειμένου να διαπιστωθεί εάν κάποιες συγκεκριμένες τεχνολογίες, οι οποίες είναι απαραίτητες για τη δημιουργία ενός διαστημικού παρατηρητηρίου βαρυτικών κυμάτων, λειτουργούν και πώς μπορούν να βελτιωθούν. 64

79 Σχ.6 Lisa pathfinder Στο τελικό όργανο LISA θα υπάρχουν τρεις δοκιμαστικές μάζες σε απόσταση πέντε χιλιομέτρων η μια από την άλλη, σχηματίζοντας ένα ισοσκελές τρίγωνο (Σχ.7). Κάθε μια από αυτές τις μάζες θα είναι συνδεδεμένη με ένα δορυφόρο εξοπλισμένο με τεχνολογία λέιζερ, με τον οποίο θα μετρείται συνεχώς η σχετική απόσταση μεταξύ των τριών μαζών και οι αλλαγές που προκαλούνται σε αυτή την απόσταση από την ύπαρξη βαρυτικών κυμάτων. 65

80 Σχ.7 elisa Το μήκος κάθε πλευράς του τριγώνου θα είναι km. Κάθε διαστημόπλοιο διαθέτει αισθητήρες και προωθητές που θα επιτρέπουν τον ακριβή εντοπισμό και διατήρηση της της σχετικής του θέσης σε σχέση με τα άλλα δυο οχήματα. Επιπλέον κάθε διαστημόπλοιο θα μεταφέρει δυο τηλεσκόπια με διάμετρο 40 cm για να συλλαμβάνουν το φως που θα έρχεται από το πιο μακρινό. Τα βαρυτικά κύματα που θα μπορεί να ανιχνεύει θα έχουν περίοδο από 10 sec έως 10 ώρες. Η αποστολή του LISA έχει σχεδιαστεί προκειμένου να αναζητήσει βαρυτικά κύματα από συγκρούσεις μακρινών αστέρων νετρονίων και μαύρων τρυπών, που είτε βρίσκονται υπερβολικά μακριά είτε δεν είναι αρκετά βίαιες για να τις ανιχνεύσει το LIGO. 66

81 5.2 Αστροφυσικές πηγές βαρυτικών κυμάτων ΣΥΓΛΙΝΟΝΤΑ ΖΕΥΓΗ ΑΣΤΕΡΩΝ ΝΕΤΡΟΝΙΩΝ ΚΑΙ ΜΑΥΡΩΝ ΤΡΥΠΩΝ Ένα αστρικό ζεύγος νετρονίων, αλλά και γενικά ένα σύστημα δυο σωμάτων που περιφέρεται γύρω από το κοινό κέντρο μάζας τους, εκπέμπει βαρυτικά κύματα (βλ. Σχ.8). Σχ.8 Εκπομπή βαρυτικών κυμάτων από ένα σύστημα αστέρων νετρονίων Την θεωρία αυτή στήριξε η ανακάλυψη ενός συστήματος δύο πάλσαρ που έγινε το 1974 από τους Αμερικανούς αστροφυσικούς Russel Hulse και Joseph Taylor, οι οποίοι τιμήθηκαν το 1993 με το Βραβείο Νομπέλ Φυσικής. Τα πάλσαρ είναι ταχύτατα περιστρεφόμενα άστρα νετρονίων με πανίσχυρα μαγνητικά πεδία που εκπέμπουν ακτινοβολίες, όπως ένας φάρος. Το αστρικό σύστημα των Hulse-Taylor έχει βοηθήσει στον έλεγχο αρκετών προβλέψεων της Γενικής Σχετικότητας. Γιατί, καθώς τα δύο άστρα νετρονίων στροβιλίζονται όλο και πιο κοντά το ένα στο άλλο, υπολογίζεται ότι θα συγκρουστούν σε περίπου 300 εκατ. έτη, αφού σύμφωνα με τον Einstein, όταν ένα τέτοιο διπλό αστρικό σύστημα εκπέμπει βαρυτικά κύματα η περίοδος της τροχιάς του μειώνεται. Με βάση τον τρίτο νόμο του Kepler όταν η συχνότητα των βαρυτικών κυμάτων από το ζεύγος παλσαρ PSR είναι γύρω στα Hz, το πλάτος των εκπεμπόμενων βαρυτικών κυμάτων θα είναι περίπου Η εξέλιξη αυτή ισχύει και για ζεύγη μαύρων τρυπών, μόνο που αυτές συγκλίνουν ταχύτερα. 67

82 5.3 Παρατήρηση βαρυτικών κυμάτων από τη συγχώνευση δυο μαύρων τρυπών. Στις 14 Σεπτεμβρίου του έτους 2015, στις 09:50:45, τα παρατηρήτηρια του LIGO στο Hanford της Washington και Livingston της Louisiana ανίχνευσαν το σήμα GW Ειδικές αναλύσεις με φίλτρα που χρησιμοποιούν σχετικιστικά μοντέλα κυματομορφών έδειξαν οτι το σήμα αυτό είναι το πιο σημαντικό όλων των μέχρι τώρα παρατηρήσεων των ανιχνευτών. Μόνο οι ανιχνευτές του LIGO ανίχνευσαν εκείνη τη στιγμή το GW Ο ανιχνευτής του Virgo έκανε αναβάθμιση και ο GEO 600 λειτουργούσε αλλά δεν ήταν σε θέση να το παρατηρήσει. Τα βασικά χαρακτηριστικά αυτού του σήματος δηλώνουν οτι παράχθηκε από τη συγχώνευση δυο μαύρων τρυπών σε απόσταση 1,3 δισεκατομμυρίων ετών φωτός από τη Γη. Η μία από τις δύο αυτές μαύρες τρύπες είχε μάζα 36 ηλιακές μάζες και η άλλη 29 ηλιακές μάζες. Λίγο πριν από την σύγκρουση οι δύο μαύρες τρύπες περιφέρονταν 250 φορές το δευτερόλεπτοη μία γύρω από την άλλη, ενώ η ταχύτητά τους έφτανε τα χλμ. το δευτερόλεπτο. Η σύγκρουση, σε διάστημα ενός πέμπτου του δευτερολέπτου, δημιούργησε μία μεγαλύτερη με μάζα 62 ηλιακές μάζες με το σήμα της παρατήρησης να είναι ιδιαίτερα θεαματικό (Σχ.9). Η μάζα της μαύρης τρύπας που δημιουργείται από την συγκρουση δύο άλλων εξαρτάται από την γεωμετρία και το σπιν της σύγκρουσης κι έτσι δεν είναι το άθροισμα των μαζών τους. Ενα 5% περίπου "χάνεται" με την μορφή της ενέργειας των βαρυτικών κυμάτων που παράγονται κατά την σύγκρουση. Έτσι κι εδώ, αντί των 65 ηλιακών μαζών έχουμε μία μαύρη τρύπα 62 ηλιακών μαζών. Οι τρεις χαμένες ηλιακές μάζες μετετράπησαν σε ενέργεια βαρυτικών κυμάτων η οποία ως ορατό φως θα ήταν αντίστοιχο με ένα δισεκατομμύριο τρισεκατομμυρίων ήλιους. Και οι δυο ανιχνευτές βρίσκονταν σε σταθερή κατάσταση λειτουργίας για αρκετές ώρες κοντά στην ανίχνευση του GW Ενδελεχείς έρευνες για άλλες μηχανικές και περιβαλλοντικές διαταραχές διεξήχθησαν και έδειξαν οτι οποιαδήποτε εξωτερική διαταραχή αρκετά μεγάλη για να προκαλέσει το παρατηρούμενο σήμα θα είχε ανιχνευτεί από του περιβαλλοντικούς ανιχνευτές. 68

83 Σχ.9 Το σήμα από τη σύγκρουση μαύρων τρυπών 69