2ο Μάθημα Μετασχηματισμοί 2Δ/3Δ και Συστήματα Συντεταγμένων
|
|
- Πρίαμ Δελή
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 2ο Μάθημα Μετασχηματισμοί 2Δ/3Δ και Συστήματα Συντεταγμένων Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος
2 Σύνοψη του σημερινού μαθήματος 1 Εισαγωγή 2 Επανάληψη 3 Συσχετισμένοι 4 Γραμμικοί 2Δ 5 Ομογενείς 6 Σύνθεση 7 Μετασχηματισμοί
3 Εισαγωγή Εισαγωγή Στα γραφικά είναι πολλές φορές απαραίτητο να αλλάξει η μορφή των αντικειμένων ή να αλλάξει το σύστημα των συντεταγμένων Για παράδειγμα, η ψηφιακή μορφή ενός αυτοκινήτου μπορεί να χρησιμοποιηθεί πολλές φορές στο μοντέλο μιας σκηνής Μπορεί να είναι τοποθετημένο σε διάφορες θέσεις, προσανατολισμούς, αλλά και να έχει διάφορα μεγέθη Στη συνθετική κίνηση, ένα αντικείμενο μπορεί να αλλάζει από καρέ σε καρέ Αυτός ο μετασχηματισμός μπορεί να εμπλέκει τη θέση, τον προσανατολισμό, το μέγεθος, ακόμη και το σχήμα του
4 Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Εισαγωγή Εισαγωγή Όλες οι παραπάνω αλλαγές χρησιμοποιούν για την υλοποίησή τους μετασχηματισμούς συντεταγμένων Είναι το πιο σημαντικό και κλασικό θέμα στα γραφικά Είναι τα εργαλεία της αλλαγής
5 Εισαγωγή Εισαγωγή Τα σημεία στον 3Δ Ευκλίδειο χώρο θα παριστάνονται σαν διανύσματα στήλες 3 1 Δηλαδή: p x P = p y p z Ενώ οι γραμμικοί μετασχηματισμοί σαν πίνακες 3 3 που πολλαπλασιάζονται από αριστερά με ένα σημείο, παράγοντας ένα άλλο σημείο p x p y p z = m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 7 m 8 m 9 p x p y p z
6 Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Εισαγωγή Εισαγωγή Τα συστήματα συντεταγμένων που θα χρησιμοποιούμε θα είναι δεξιόστροφα
7 Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Σημεία και Διανύσματα Έστω E 3 ο 3Δ Ευκλίδειος χώρος Τα σημεία του E 3 έχουν θέση, δεν έχουν κατεύθυνση ή μήκος Θα συμβολίζουμε τα σημεία ως πχ: P R 3 : 3Δ διανυσματικός Ευκλίδειος χώρος Τα διανύσματα του R 3 έχουν κατεύθυνση/μήκος, δεν έχουν θέση Θα συμβολίζουμε τα διανύσματα ως: a Στα γραφικά, τα αντικείμενα είναι σύνολα σημείων του E 3
8 Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Σημεία και Διανύσματα - Ορισμοί Ορισμός Για κάθε δύο σημεία P 1, P 2 E 3, υπάρχει ένα ακριβώς διάνυσμα u R, το οποίο δείχνει από το P 1 προς το P 2, το οποίο συμβολίζεται u = P 2 P 1 Συμπέρασμα Το αποτέλεσμα της αφαίρεσης δύο σημείων του E 3 είναι ένα διάνυσμα του R 3
9 Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Σημεία και Διανύσματα - Ορισμοί Ορισμός Για κάθε σημείο P E 3 και για κάθε διάνυσμα u R 3, ισχύει Συμπέρασμα P + u = Q E 3 Πρόσθεση σημείου και διανύσματος έχει ως αποτέλεσμα νέο σημείο του E 3 Για κάθε διάνυσμα u R 3, υπάρχει άπειρο πλήθος ζευγών σημείων ( P 1, P 2 ), για τα οποία ισχύει u = P 2 P 1, επειδή για τυχαίο x R ισχύει u = ( P 2 + x) ( P 1 + x)
10 Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Σημεία και Διανύσματα - Ορισμοί Ορισμός Για όλα τα P, Q, R E 3, ισχύει ο κανόνας ( P Q) + ( Q R) = P R Συμπέρασμα Γεωμετρική Ερμηνεία
11 Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Αρχές Διανυσματικών Χώρων Το σύνολο R 3 που περιγράφηκε, είναι ένας διανυσματικός χώρος Ορισμός Έστω ένα σύνολο Τα στοιχεία του θα συμβολίζονται ως a, b, x κλπ Στο σύνολο αυτό ορίζονται δύο πράξεις: Διανυσματική Πρόσθεση: δύο στοιχεία του στοιχείο του Βαθμωτός Πολλαπλασιασμός: πραγματικός αριθμός και στοιχείο του στοιχείο του Το σύνολο καλείται διανυσματικός χώρος πάνω στους πραγματικούς αριθμούς, αν και μόνο αν για τις πράξεις που ορίστηκαν, ισχύουν συγκεκριμένες ιδιότητες
12 Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Ιδιότητες Διανυσματικής Πρόσθεσης Αντιμεταθετικότητα: a + b = b + a, a, b Προσεταιρισμός: a + ( b + c) = ( a + b) + c, a, b, c Μηδενικό Στοιχείο: 0 : 0 + a = a + 0 = a, a Αντίθετο Στοιχείο: a, a : a + ( a) = 0
13 Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Ιδιότητες Βαθμωτού Πολλαπλασιασμού Επιμερισμός ως προς πρόσθεση: λ( a + b) = λ a + λ b, a, b, λ R Επιμερισμός πρόσθεσης ως προς πολλαπλασιασμό: (λ + µ) a = λ a + µ a, a, λ, µ R Προσεταιρισμός: (λµ) a = λ(µ a), a, λ, µ R Μονάδα: 1 a = a, a, 1 R
14 Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Παραδείγματα Πράξεων Διανυσματικών Χώρων Τα στοιχεία ενός διανυσματικού χώρου καλούνται διανύσματα Για τον 3Δ Ευκλίδειο χώρο: Πρόσθεση: a + b = (a 1, a 2, a 3 ) + (b 1, b 2, b 3 ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ) Πολλαπλασιασμός: λ a = λ(a 1, a 2, a 3 ) = (λa 1, λa 2, λa 3 ) Για πολυώνυμα βαθμού k: Πρόσθεση: (a 0 + a 1 t + a 2 t a k t k ) + (b 0 + b 1 t + b 2 t b k t k ) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )t + (a 2 + b 2 )t (a k + b k )t k Πολλαπλασιασμός: λ(a 0 + a 1 t + a 2 t a k t k ) = (λa 0 ) + (λa 1 )t + (λa 2 )t (λa k )t k )
15 Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Γραμμικοί Συνδυασμοί Ορισμός Έστω x 1, x 2,, x m Κάθε έκφραση της μορφής y = λ 1 x 1 + λ 2 x λ m x m λέγεται γραμμικός συνδυασμός των x 1, x 2,, x m και οδηγεί επίσης σε στοιχεία του ίδιου χώρου, αφού η πρόσθεση και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός οδηγούν σε στοιχεία του ίδιου χώρου
16 Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Γραμμική Ανεξαρτησία Ορισμός Τα διανύσματα x 1, x 2,, x m θα λέγονται γραμμικά ανεξάρτητα αν η εξίσωση λ 1 x 1 + λ 2 x λ m x m = 0 έχει λύση μόνο την μηδενική: λ 1 = λ 2 = = λ m = 0 Σε αντίθετη περίπτωση, τα x 1, x 2,, x m θα λέγονται γραμμικά εξαρτημένα
17 Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Γραμμική Ανεξαρτησία Παράδειγμα Στον Ευκλίδειο χώρο, τα διανύσματα i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) είναι γραμμικά ανεξάρτητα Απόδειξη: λ 1 i + λ 2 j + λ 3 k = 0 λ 1 (1, 0, 0) + λ 2 (0, 1, 0) + λ 3 (0, 0, 1) = (0, 0, 0) (λ 1, λ 2, λ 3 ) = (0, 0, 0) λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0
18 Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Γραμμική Ανεξαρτησία Συνέπεια Αν ένα διάνυσμα μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός κάποιων γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων x 1, x 2,, x m, τότε η έκφραση αυτή είναι μοναδική Απόδειξη: Έστω ότι το y μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός με δύο διαφορετικές εκφράσεις, συναρτήσει των x 1, x 2,, x m Τότε: y = λ 1 x 1 + λ 2 x λ m x m = µ 1 x 1 + µ 2 x µ m x m 0 = (λ 1 µ 1 ) x 1 + (λ 2 µ 2 ) x (λ m µ m ) x m Επειδή τα x 1, x 2,, x m είναι γραμμικά ανεξάρτητα, τότε λ i µ i = 0 λ i = µ i, i = 1, 2,, m
19 Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Ορισμός Βάση διανυσματικού χώρου είναι ένα σύνολο από διανύσματα, τα οποία είναι γραμμικά ανεξάρτητα και τέτοια ώστε κάθε διάνυσμα του χώρου να μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός αυτών Η έκφραση που έχει κάθε στοιχείο του διανυσματικού χώρου ως γραμμικός συνδυασμός είναι μοναδική Οι μοναδικοί συντελεστές λέγονται συντεταγμένες του διανύσματος ως προς τη βάση αυτή Κάθε διανυσματικός χώρος δεν έχει μοναδική βάση Όλες οι βάσεις ενός διανυσματικού χώρου έχουν ίδια διάσταση (πλήθος στοιχείων)
20 Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Παραδείγματα βάσεων διανυσματικού χώρου Παράδειγμα 3Δ Ευκλίδειος χώρος: Μια βάση αποτελείται από τα διανύσματα i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφεί σαν γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων της βάσης, ως v = x i + y j + z k Παράδειγμα Για τον διανυσματικό χώρο των πολυωνύμων, βαθμού k, μια βάση αποτελείται από πολυώνυμα 1, x 2,, x k Οι συντεταγμένες ενός πολυωνύμου βαθμού k είναι οι συντελεστές των αντίστοιχων όρων a 0 + a 1 x + a 2 x a k x k Η διάσταση του διανυσματικού αυτού χώρου είναι k + 1
21 Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Παραδείγματα βάσεων διανυσματικού χώρου Μια βάση ενός διανυσματικού χώρου δεν είναι μοναδική Οποιοδήποτε σύνολο n γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων του χώρου είναι βάση του Παράδειγμα 3Δ Ευκλίδειος χώρος: Μια βάση αποτελείται από τα γραμμικά διανύσματα: i = (1, 0, 0), j = (1, 1, 0), k = (1, 1, 1) Παράδειγμα Πολυώνυμα βαθμού k: Τα k + 1 πολυώνυμα Bernstein αποτελούν βάση για ( ) το διανυσματικό χώρο των πολυωνύμων k βαθμού k: B k i (t) = t i i (1 t) k i, i = 0, 1,, k
22 Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Συστήματα Συντεταγμένων Ορισμός Αν Ō E 3 σταθερή αρχή, ( i, j, k) βάση του R 3, το (Ō; i, j, k) ονομάζεται συσχετισμένο σύστημα συντεταγμένων του E 3 Το Ō είναι τυχαίο, ενώ τα ( i, j, k) είναι μια οποιαδήποτε βάση, άρα υπάρχουν πολλά συστήματα συντεταγμένων Ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων: ( i, j, k) έχουν μήκος 1 και είναι ανά δύο κάθετα Για ένα σημείο P E 3, για το οποίο ισχύει P Ō = x i + y j + z k, τα (x, y, z) ονομάζονται συντεταγμένες του P ως προς το σύστημα συντεταγμένων (Ō; i, j, k) Οι τιμές των συντεταγμένων του P εξαρτώνται από το σύστημα συντεταγμένων
23 Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Ιδιότητες Διανυσμάτων Για ένα διάνυσμα v = (x, y, z) R 3, ορίζεται το μήκος του ως v = x 2 + y 2 + z 2 Για δύο σημεία P 1, P 2, η απόσταση μεταξύ τους ορίζεται ως το μήκος του διανύσματος v = P 2 P 1, δηλαδή το μέγεθος v = P 2 P 1 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 Ειδικά, εάν Ō = (0, 0, 0), τότε η απόσταση του P = (x, y, z) από το Ō είναι ίση με P Ō = x 2 + y 2 + z 2
24 Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Ορισμός Για δύο διανύσματα v και w, το εσωτερικό γινόμενό τους είναι ένας πραγματικός αριθμός που ορίζεται ως εξής: v w = n v i w i (1) i=1 όπου v = (v 1, v 2,, v n ) και w = (w 1, w 2,, w n ) Στα γραφικά, ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση 2Δ/3Δ Ευκλείδιων χώρων Για 3Δ χώρο: v w = v x w x + v y w y + v z w z, με v = (v x, v y, v z ), w = (w x, w y, w z )
25 Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Ιδιότητες Εσωτερικού Γινομένου Συμμετρία: v w = w v v v = 0 v = 0 Διγραμμική: v( u + a w) = v u + a( v w) Για τη δημιουργία διανυσμάτων μήκους 1 (κανονικοποίηση): v = v v Για τον υπολογισμό της γωνίας ( θ μεταξύ ) των u, v: v u = v u cos θ θ = cos 1 v u v u ειδικά για μοναδιαία διανύσματα: v = u = 1, άρα θ = cos 1 ( v u)
26 Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Προβολή Διανυσμάτων Για v μοναδιαίο και τυχαίο w, έστω u το διάνυσμα που προκύπτει ως η κάθετη προβολή του w στο v Θα ισχύει v = w cos θ = w v w v w = v w Συμπέρασμα Το εσωτερικό γινόμενο των u, w ισούται με το μήκος της προβολής u του w στο v, αν το v είναι μοναδιαίο
27 Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Ορισμός Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων v = (v x, v y, v z ) και w = (w x, w y, w z ) είναι ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν τα v, w και ορίζεται ως εξής: v w = (v y w z v z w y ) i + (v z w x v x w z ) j + (v x w y v y w x ) k Ένας εύκολος κανόνας για τον υπολογισμό του εξωτερικού γινομένου είναι ο εξής: i j k v w = det v x v y v z w x w y w z
28 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Στα μαθηματικά, μετασχηματισμός ονομάζεται μια απεικόνιση στην οποία τα πεδία ορισμού και τιμών είναι το ίδιο σύνολο, πχ από το E 3 στο E 3 Ο συσχετισμένος συνδυασμός είναι άλλη μια πράξη που εφαρμόζεται στα σημεία του E 3 Ονομάζεται και βαρυκεντρικός συνδυασμός Για ένα σύνολο από σημεία P 1, P 2,, P n E 3, ορίζεται ο συσχετισμένος συνδυασμός τους ως n P = a j P j j=0 με a 0, a 1,, a n R και n j=0 a j = 1
29 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Παρατήρηση Το δεξί μέρος της προηγούμενης εξίσωσης έχει νόημα, αφού n a j P j = P 0 + j=0 n a j ( P j P 0 ) δηλαδή είναι η πρόσθεση του διανύσματος n j=1 a j( P j P 0 ) στο P 0, με αποτέλεσμα ένα σημείο P E 3 j=1
30 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Οι συντελεστές a 0, a 1,, a n είναι οι συσχετισμένες συντεταγμένες του P αναφορικά με τα P 0, P 1,, P n Ο συντελεστής a j (βάρος) δίνει το ποσοστό που συνεισφέρει το αντίστοιχο σημείο στο σχηματισμό του συσχετισμένου συνδυασμού Κυρτός Συνδυασμός: συσχετισμένος συνδυασμός με a j 0 Βρίσκεται πάντα στο εσωτερικό της κυρτής περιβάλλουσας των σημείων
31 Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Στην περιοχή των γραφικών, οι περισσότερες πράξεις που εφαρμόζονται σε αντικείμενα (στροφή, μετατόπιση) είναι συσχετισμένοι μετασχηματισμοί
32 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Ορισμός Μια απεικόνιση Φ : E E 3 ονομάζεται συσχετισμένος μετασχηματισμός, εάν αφήνει αναλλοίωτους τους συσχετισμένους συνδυασμούς, δηλαδή εάν P = n a j P j j=0 ένας συσχετισμένος μετασχηματισμός, τότε n Φ( P) = a j Φ( P j ) j=0
33 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Συμπέρασμα Η εφαρμογή ενός συσχετισμένου μετασχηματισμού Φ πάνω σε ένα σημείο P το οποίο είναι ο συσχετισμένος συνδυασμός των P 0, P 1,, P n, με βάρη a 0, a 1,, a n, μας δίνει το ίδιο σημείο όπως ο συσχετισμένος συνδυασμός των Φ( P 0 ), Φ( P 1 ),, Φ( P n ), με τα ίδια βάρη a 0, a 1,, a n Παράδειγμα Η εφαρμογή συσχετισμένου μετασχηματισμού πάνω σε ευθύγραμμο τμήμα S, απεικονίζει το μέσο του S στο μέσο της συσχετισμένης εικόνας Φ(S)
34 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Εάν το σημείο P E 3 παρασταθεί με 3 1 πίνακα P = P x P y P z, τότε ένας συσχετισμένος μετασχηματισμός Φ παρίσταται ως εξής: Φ( P) = A P + t, όπου a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 (3 3 πίνακας) και t = a 31 a 32 a 33 t x t y t z R 3
35 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Βασικοί Μετασχηματισμοί Γραφικών Οι βασικοί μετασχηματισμοί στα γραφικά (μετατοπίσεις, στροφές, αλλαγές κλίμακας, στρεβλώσεις) είναι παραδείγματα συσχετισμένων μετασχηματισμών Μετατόπιση (translation): T( P) = I P + d Στροφή (rotation): R( P) = R z,ϕ P (γύρω από τον z-άξονα και κατά γωνία ϕ) Αλλαγή Κλίμακας (scaling): S( P) = D P Στρέβλωση (shearing): SH( P) = SH x,y P (στην x και y κατεύθυνση, με αμετάβλητη την z κατεύθυνση
36 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Βασικοί Μετασχηματισμοί Γραφικών Οι πίνακες που αναφέρονται στους βασικούς μετασχηματισμούς γραφικών είναι οι ακόλουθοι: I = (μοναδιαίος πίνακας) d = d x (διάνυσμα μετατόπισης) d y d z cos ϕ sin ϕ 0 R z,ϕ = sin ϕ cos ϕ
37 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Βασικοί Μετασχηματισμοί Γραφικών s x 0 0 D = 0 s y s z (s x, s y, s z : παράγοντες αλλαγής κλίμακας στη x, y, z κατεύθυνση, αντίστοιχα) 1 a b SH x,y = c 1 d 0 0 1
38 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Οι συσχετισμένοι μετασχηματισμοί μπορούν να συνδυασθούν Έτσι ένας πολύπλοκος μετασχηματισμός να μπορεί να θεωρηθεί ως σύνθεση ακολουθίας συσχετισμένων μετασχηματισμών Έχει αποδειχθεί ότι ο οποιοσδήποτε συσχετισμένος μετασχηματισμός μπορεί να θεωρηθεί ως σύνθεση μετατοπίσεων, αλλαγών κλίμακας, στροφών και στρεβλώσεων
39 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Βαθμός Πίνακα A Ορισμός Ο βαθμός (rank) ενός πίνακα είναι ο μεγαλύτερος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων στήλης του πίνακα Ο βαθμός του πίνακα A έχει την ακόλουθη γεωμετρική ερμηνεία: rank(a) = 3: απεικονίζει 3Δ σε 3Δ αντικείμενα (γραμμικοί μετασχηματισμοί) rank(a) 3 παράλληλη προβολή στο 2Δ ή 1Δ χώρο (προβολές)
40 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Η εφαρμογή μιας πράξης, η οποία περιγράφεται με έναν Το σύστημα συντεταγμένων θεωρείται σταθερό P x πίνακα στο σημείο P = P y E 3 πραγματοποιείται με P z τον πολλαπλασιασμό P = M P P όπου P x m 1 m 2 m 3 = P y και = m 4 m 5 m 6 P z m 7 m 8 m 9 Στα γραφικά, ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί σε 2 ή 3 διαστάσεις
41 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί σε 2Δ Μεταφορά Ορισμός Μια μεταφορά (μετατόπιση) του σημείου P(x, y) E 2, κατά το d = (d x, d y ) R 2, ώστε το P να βρεθεί στο P (x, y ) E 2 : Θεωρώντας 2 1 πίνακες x = x + d x, y = y + d y P = P + d, όπου [ ] P x =, P = y [ ] x y [ ], dx d = d y
42 Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί σε 2Δ Μεταφορά Μεταφορά κατά το διάνυσμα (a, b)
43 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί σε 2Δ Αλλαγή Κλίμακας Ορισμός Η αλλαγή κλίμακας είναι η μεγεύθυνση ή σμίκρυνση των συντεταγμένων του P(x, y), μέσω των s x και s y, οι οποίοι επιδρούν κατά μήκος των αξόνων x και y, αντίστοιχα: x = s x x, y = s y y Θεωρώντας 2 1 πίνακες για τα σημεία και 2 2 για την αλλαγή κλίμακας P = S(s x, s y ) P, όπου [ ] P x =, P = y [ ] x y [ ] sx 0, S(s x, s y ) = 0 s y
44 Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί σε 2Δ Αλλαγή Κλίμακας Αλλαγή κλίμακας κατά s x = 2 και s y = 1/2 στους άξονες x και y, αντίστοιχα
45 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί σε 2Δ Αλλαγή Κλίμακας Αν s x < 1 ή s y < 1, τότε γίνεται σμίκρυνση κατά τον αντίστοιχο άξονα Αν s x > 1 ή s y > 1, τότε γίνεται μεγεύθυνση κατά τον αντίστοιχο άξονα Αν s x s y, τότε αλλάζουν οι αναλογίες Αν s x = s y, τότε δεν αλλάζουν οι αναλογίες
46 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί σε 2Δ Στροφή Σημείου Ορισμός Η στροφή σημείου P(x, y) κατά γωνία θ, γύρω από την αρχή των αξόνων κατά τη μαθηματική φορά (αντίθετη των δεικτών του ρολογιού), δηλαδή κατά θετική γωνία, φέρνει το P στη θέση P (x, y )
47 Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί σε 2Δ Στροφή Σημείου Στροφή σημείου κατά (θετική) γωνία θ
48 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί σε 2Δ Στροφή Σημείου Από το σχήμα: x = l cos(ϕ + θ) = l(cos ϕ cos θ sin ϕ sin θ) = x cos θ y sin θ y = l [ sin(ϕ ] + [ θ) = l(cos ϕ sin ] [ θ ] sin ϕ cos θ) = x sin θ + y cos θ x cos θ sin θ x Άρα y = ή sin θ cos θ y [ ] cos θ sin θ P = R(θ) P, R(θ) = sin θ cos θ
49 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί σε 2Δ Στροφή Σημείου Για αρνητικές γωνίες, ο πίνακας στροφής γίνεται [ ] [ ] cos( θ) sin( θ) cos θ sin θ R( θ) = = sin( θ) cos( θ) sin θ cos θ
50 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί σε 2Δ Στρέβλωση Ορισμός Μια στρέβλωση του P(x, y) κατά μήκος του x άξονα με παράγοντα στρέβλωσης a, φέρνει το P στο P (x, y), με x = x + ay, y = y Θεωρώντας 2 1 πίνακες για τα σημεία και 2 2 για τη στρέβλωση P = SH x P, όπου [ ] P x =, P = y [ x y ], SH x (a) = [ ] 1 a 0 1 Αντίστοιχα, για στρέβλωση κατά [ μήκος] του y άξονα, κατά 1 0 παράγοντα b, θα πρέπει SH y (b) = b 1
51 Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί σε 2Δ Στρέβλωση Στρέβλωση του τετραγώνου A κατά μήκος του x και του y άξονα κατά a = 2 και b = 2
52 Ομογενείς Συντεταγμένες Ομογενείς Συντεταγμένες H μεταφορά δεν μπορεί να παρασταθεί με πολλ/μό πινάκων, πχ για μεταφορά από τo O: [ ] [ ] [ ] a1 a = a 3 a Για την αναπαράσταση και της μεταφοράς με πολλ/μό, πρέπει να αλλαχθεί το σταθερό σημείο Για το λόγο αυτό χρησιμοποιούνται οι ομογενείς συντεταγμένες Σε κάθε σημείο εισάγεται μια τρίτη συντεταγμένη και έτσι το (x, y) (x, y, w), w 0 Για την ακρίβεια, η τριάδα (x, y, w) παριστάνει τις ομογενείς συντεταγμένες του (x/w, y/w) E 2 Κάθε σημείο έχει άπειρες παραστάσεις!
53 Ομογενείς Συντεταγμένες Ομογενείς Συντεταγμένες Για w = 1, προκύπτει η βασική παράσταση και το P(x, y) έχει ομογενείς συντεταγμένες τις (x, y, 1) Έτσι, με ομογενείς συντεταγμένες, το (0, 0, 1) μπορεί να μετασχηματιστεί όπως οποιοδήποτε άλλο σημείο Οι τριάδες (x, y, w) και (tx, ty, tw) παριστάνουν το ίδιο σημείο Η τριάδα (0, 0, 0) δεν είναι επιτρεπτή
54 Ομογενείς Συντεταγμένες Ομογενείς Συντεταγμένες Θεωρώντας όλες τις τριάδες (tx, ty, tw), t 0, (παριστάνουν το ίδιο σημείο) σχηματίζουν μια ευθεία στον 3Δ χώρο Ομογενοποιώντας, προκύπτει τριάδα της μορφής (x, y, 1) Τα ομογενοποιημένα αυτά σημεία σχηματίζουν το επίπεδο w = 1 του (x, y, w) συστήματος συντεταγμένων Σημεία στο άπειρο (w = 0) δεν μπορουν να παρασταθούν!
55 Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Ομογενείς Συντεταγμένες Ομογενείς Συντεταγμένες Βασική παράσταση ομογενών συντεταγμένων
56 Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Ομογενείς Συντεταγμένες και Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Με ομογενείς συντεταγμένες, ένα σημείο του E 2 περιγράφεται με 3 1 πίνακα Είναι προφανές ότι οι γραμμικοί μετασχηματισμοί πρέπει να περιγράφονται με 3 3 πίνακες
57 Ομογενείς Συντεταγμένες και Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Μεταφορά σε Ομογενείς Συντεταγμένες Οι εξισώσεις μεταφοράς γράφονται x 1 0 d x x y = 0 1 d y y d x ή P = T( d) P, με T( d) = 0 1 d y d x Επειδή T 1 ( d) = 0 1 d y, προκύπτει ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι η μεταφορά κατά διάνυσμα d = ( d x, d y ) Δηλαδή T 1 ( d) = T( d)
58 Ομογενείς Συντεταγμένες και Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Μεταφορά σε Ομογενείς Συντεταγμένες Η διαδοχική εκτέλεση δύο μεταφορών κατά τα διανύσματα d 1 = (d x1, d y1 ) και d 1 = (d x2, d y2 ) υπολογίζεται ως εξής: 01 P = T(d x1, d y1 ) P 02 P = T(d x2, d y2 ) P = T(d x2, d y2 )T(d x1, d y1 ) P Όμως 1 0 d x1 + d x2 T(d x2, d y2 )T(d x1, d y1 ) = 0 1 d y1 + d y Άρα η συνολική μετατόπιση θα είναι T( d 1 + d 2 )
59 Ομογενείς Συντεταγμένες και Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Αλλαγή Κλίμακας σε Ομογενείς Συντεταγμένες Η εξίσωση αλλαγής κλίμακας σε ομογενείς συντεταγμένες γράφεται x s x 0 0 x y = 0 s y 0 y Για τον αντίστροφο S 1 (s x, s y ) του S(s x, s y ) ισχύει ότι 1/s x 0 0 S 1 (s x, s y ) = 0 1/s y 0 = S(1/s x, 1/s y ) 0 0 1
60 Ομογενείς Συντεταγμένες και Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Αλλαγή Κλίμακας σε Ομογενείς Συντεταγμένες Η διαδοχική εκτέλεση δύο πράξεων αλλαγής κλίμακας με παράγοντες (s x1, s y1 ) και (s x2, s y2 ), περιγράφεται από τον πίνακα που προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό των (s x1, s y1 ) και (s x2, s y2 ) s x1 s x2 0 0 S(s x2, s y2 )S(s x1, s y1 ) = 0 s y1 s y2 0 = S(s x1 s x2, s y1 s y2 ) 0 0 1
61 Ομογενείς Συντεταγμένες και Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Αλλαγή Κλίμακας σε Ομογενείς Συντεταγμένες Εάν η αλλαγή κλίμακας γίνεται ως προς το Ō = (0, 0, 1) και ο παράγοντας αλλαγής είναι < 1, τότε το αντικείμενο μικραίνει και μεταφέρεται πλησιέστερα στην αρχή των αξόνων Εάν η αλλαγή κλίμακας γίνεται ως προς το Ō = (0, 0, 1) και ο παράγοντας αλλαγής είναι > 1, τότε το αντικείμενο μεγαλώνει και μεταφέρεται μακρύτερα από την αρχή των αξόνων Αντικείμενα κεντραρισμένα στο Ō δεν αλλάζουν θέση, παρά μόνο μέγεθος!
62 Ομογενείς Συντεταγμένες και Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Στροφή σε Ομογενείς Συντεταγμένες Η εξίσωση στροφής σε ομογενείς συντεταγμένες γράφεται x cos θ sin θ 0 x y = sin θ cos θ 0 y Για τον αντίστροφο R 1 (θ) του R(θ) ισχύει ότι cos θ sin θ 0 cos( θ) sin( θ) 0 R 1 (θ) = sin θ cos θ 0 = sin( θ) cos( θ) Προφανώς R 1 (θ) = R( θ) = R T (θ)
63 Ομογενείς Συντεταγμένες και Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Στροφή σε Ομογενείς Συντεταγμένες Η διαδοχική εκτέλεση δύο στροφών θ 1 και θ 2 περιγράφεται από τον πίνακα cos(θ 1 + θ 2 ) sin(θ 1 + θ 2 ) 0 R(θ 2 )R(θ 1 ) = sin(θ 1 + θ 2 ) cos(θ 1 + θ 2 ) 0 = R(θ 1 +θ 2 ) 0 0 1
64 Ομογενείς Συντεταγμένες και Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Στρέβλωση σε Ομογενείς Συντεταγμένες Για την περίπτωση της στρέβλωσης, οι πίνακες SH x και SH y γράφονται 1 a SH x (a) = 0 1 0, SH y (b) = b
65 Σύνθεση Μετασχηματισμών Σύνθεση Μετασχηματισμών Κάνοντας χρήση της προσεταιριστικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού πινάκων, μια ακολουθία μετασχησματισμών που εφαρμόζονται σε μια εικόνα μπορεί να αναπαρασταθεί με μόνο έναν πίνακα Για παράδειγμα, η αλλαγή κλίμακας ενός αντικειμένου ως προς σημείο C = (c x, c y, 1) (και όχι με το Ō), επιτυγχάνεται σε 3 βήματα: 01 Μεταφορά του αντικειμένου κατά διάνυσμα c = Ō C, ώστε να έρθει το C στο Ō 02 Αλλαγή κλίμακας με παράγοντες (s x, s y ) 03 Μεταφορά του αντικειμένου κατά διάνυσμα c = Ō C, ώστε το σημείο C να επιστρέψει στην αρχική του θέση
66 Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Σύνθεση Μετασχηματισμών Σύνθεση Μετασχηματισμών Ο συνολικός μετασχηματισμός εκφράζεται ως S all = T(c x, c y )S(s x, s y )T( c x, c y ) = = s x 0 c x (1 s x ) 0 s y c y (1 s y ) 0 0 1
67 Σύνθεση Μετασχηματισμών Σύνθεση Μετασχηματισμών Η σύνθεση των μετασχηματισμών είναι πολύ αποδοτική, γιατί αντί διαδοχικών εκτελέσεων μιας σειράς μετασχηματισμών, εφαρμόζεται μόνο ένας συνολικός Επίσης T(x 1, y 1 )T(x 2, y 2 ) = T(x 2, y 2 )T(x 1, y 1 ) = T(x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) S(s x1, s y1 )S(s x2, s y2 ) = S(s x2, s y2 )S(s x1, s y1 ) = S(s x1 s x2, s y1 s y2 ) R(θ 1 )R(θ 2 ) = R(θ 2 )R(θ 1 ) = R(θ 1 + θ 2 ) S(s x, s y )R(θ) = R(θ)S(s x, s y ), μόνο εάν s x = s y Στις περιπτώσεις αυτές ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, η οποία γενικά ΔΕΝ ισχύει Προσοχή στη σειρά: ο 1ος μετασχηματισμός που εφαρμόζεται, γράφεται τελευταίος, ο 2ος προτελευταίος, ο τελευταίος γράφεται 1ος
68 Σύνθεση Μετασχηματισμών Γεωμετρικές Ιδιότητες Οι μετασχηματισμοί T(x, y), S(s x, s y ), R(θ), SH x και SH y είναι συσχετισμένοι Δηλαδή, αν F ένας από τους παραπάνω μετασχηματισμούς, και P, Q δύο σημεία, τότε F(λ P + (1 λ) Q) = λf( P) + (1 λ)f( Q), 0 λ 1 Το σύνολο λ P + (1 λ) Q είναι το ευθύγραμμο τμήμα ανάμεσα στα P, Q
69 Σύνθεση Μετασχηματισμών Γεωμετρικές Ιδιότητες - Συμπεράσματα Συμπέρασμα Η σχέση δηλώνει ότι η απεικόνιση ευθύγραμμου τμήματος από τον F είναι και πάλι ευθύγραμμο τμήμα και η σχέση λ/(1 λ) παραμένει αναλλοίωτη Συμπέρασμα Παράλληλες ευθείες παραμένουν παράλληλες κάτω από συσχετισμένους μετασχηματισμούς Συμπέρασμα Αρκεί να απεικονίζονται μόνο τα άκρα ( P, Q) των ευθυγράμμων τμημάτων Τα υπόλοιπα σημεία προκύπτουν με παρεμβολή στα (F( P), F( Q))
70 Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Η σύνθεση μεταφοράς με στροφή περιγράφεται από τον πίνακα cos θ sin θ cos θd x sin θd y R(θ)T( D) = sin θ cos θ sin θd x + cos θd y Για τον άνω αριστερό πίνακα 2 2 οι γραμμές του θα είναι: Προφανώς ισχύουν: r 1 = (cos θ, sin θ), r 2 = (sin θ, cos θ) r 1 = r 2 = 1, r 1 r 2 = 0 Δηλαδή, τα r 1, r 2 είναι μοναδιαία και κάθετα
71 Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Επιπλέον ( ) cos θ sin θ det = cos 2 θ + sin 2 θ = 1 sin θ cos θ Άρα ο 2 2 πίνακας είναι ορθογώνιος Ένας πίνακας της μορφής a 11 a 12 t x a 21 a 22 t y [ ] a11 a με 12 ορθογώνιο: αναλλοίωτα μήκη και γωνίες a 21 a 22 Ένας τέτοιος μετασχηματισμός λέγεται Μετασχηματισμός Ομοιότητας
72 Μετασχηματισμοί Ομοιότητας 2Δ Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Στις περισσότερες εφαρμογές είναι προτιμότερο να εισάγονται τα γραφικά δεδομένα στις παγκόσμιες συντεταγμένες Ορισμός Παγκόσμιες Συντεταγμένες: Το σύστημα συντεταγμένων στο οποίο έχει δημιουργηθεί το μοντέλο ενός συνθετικού κόσμου Χρησιμοποιείται για γεωμετρικούς υπολογισμούς Οι συντεταγμένες θα δίνονται με τη βοήθεια δυάδων ή τριάδων αριθμών κινητής υποδιαστολής Διευκολύνονται δομή/μεταφερσιμότητα προγραμμάτων Παράμετροι όπως ανάλυση οθόνης, μέγεθος επιφάνειας σχεδίασης δύσκολα μπορούν να ληφθούν υπόψη
73 Μετασχηματισμοί Ομοιότητας 2Δ Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Οι εικόνες που δημιουργούνται είναι ορισμένες στο παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων Πρέπει να απεικονισθούν στο σύστημα συντεταγμένων της συσκευής Υπάρχουν δύο τρόποι να γίνει η απεικόνιση αυτή Δίνεται από τον προγραμματιστή ο πίνακας μετασχηματισμού για την απεικόνιση (δύσκολο) Ο προγραμματιστής ορίζει: ορθογώνια περιοχή στο παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων (παράθυρο) ορθογώνια περιοχή στο σύστημα συντεταγμένων της συσκευής (πεδίο παράστασης)
74 Μετασχηματισμοί Ομοιότητας 2Δ Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Στη δεύτερη περίπτωση, το πακέτο γραφικών αναλαμβάνει τον υπολογισμό του πίνακα μετασχηματισμού παράστασης που απαιτείται για την απεικόνιση στο πεδίο παράστασης (window to viewport transformation) Η έκταση του παγκόσμιου συστήματος συντεταγμένων είναι θεωρητικά απεριόριστη Περιορίζεται μόνο από την περιοχή των αριθμών κινητής υποδιαστολής του υπολογιστή Η μέγιστη περιοχή απεικόνισης σε μια μονάδα εξόδου (οθόνη, εκτυπωτής) είναι περιορισμένη
75 Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Απεικόνιση Παραθύρου Απεικόνιση παραθύρου στο πεδίο παράστασης
76 Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Πίνακας Μετασχηματισμού Θα υπολογιστεί ο πίνακας μετασχηματισμού M wv για την περίπτωση παραθύρου και πεδίου παράστασης παράλληλα στους άξονες Έστω (x min, y min ), (x max, y max ) η κάτω αριστερή και η πάνω δεξιά κορυφές του παραθύρου Έστω (u min, u max ), (v min, v max ) η κάτω αριστερή και η πάνω δεξιά κορυφές του πεδίου παράστασης Για τον υπολογισμό του πίνακα μετασχηματισμού απαιτούνται τρία βήματα
77 Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Υπολογισμός Πίνακα Μετασχηματισμού 01 Μετατόπιση ώστε η κορυφή (x min, y min ) να ταυτιστεί με την αρχή των αξόνων Πίνακας μετασχηματισμού T( x min, y min ) 02 Αλλαγή κλίμακας ώστε το παράθυρο να αποκτήσει το μέγεθος του πεδίου παράστασης Πίνακας μετασχηματισμού S(s x, s y ), με s x = u max u min x max x min και s y = v max v min y max y min 03 Μετατόπιση του παραθύρου ώστε να έρθει στη θέση του πεδίου παράστασης Πίνακας μετασχηματισμού T(u min, v min )
78 Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Υπολογισμός Πίνακα Μετασχηματισμού Βήματα για τον υπολογισμό του μετασχηματισμού παραθύρου στο πεδίο παράστασης
79 Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Υπολογισμός Πίνακα Μετασχηματισμού Ο συνολικός μετασχηματισμός υπολογίζεται ως M wv = T(u min, v min ) S(s x, s y ) T( x min, y min ) όπου T( x min, y min ) = 1 0 x min 0 1 y min T(u min, v min ) = 1 0 u min 0 1 v min s x 0 0 S(s x, s y ) = 0 s y
80 Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Υπολογισμός Πίνακα Μετασχηματισμού Κάνοντας τις πράξεις, ο πίνακας μετασχηματισμού M wv προκύπτει ίσος με u max u min u x max x min 0 u min x max u min min x max x min M wv = v 0 max v min v y max y min v min y max v min min y max y min Άρα το τυχαίο σημείο P(x, y) του παραθύρου μετασχηματίζεται στο P (x, y ) του πεδίου παράστασης ως εξής x x (x x min ) umax u min y x max x min + u min = M vw y = (y y min ) v max v min y max y min + v min 1 1 1
81 Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Λόγος Διαστάσεων Παρατήρηση Όταν s x s y είναι φυσικό να παρουσιάζονται αλλοιώσεις στα σχήματα Πχ ο κύκλος γίνεται έλλειψη Για την αντιμετώπιση των αλλοιώσεων αυτών, ορίζεται ο λόγος διαστάσεων (aspect ratio) a w ο λόγος διαστάσεων του παραθύρου με a w = x max x min y max y min a v ο λόγος διαστάσεων του πεδίου παράστασης a v = umax u min v max v min
82 Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Λόγος Διαστάσεων Αν a w = a v η σχέση πλευρών παραθύρου είναι ίδια με εκείνη του πεδίου παράστασης δεν παρατηρούνται αλλοιώσεις πλην ομοιόμορφων μεγευθύνσεων/σμικρύνσεων Αν a w a v εμφανίζονται παραμορφώσεις πρέπει να γίνει διόρθωση
83 Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Διόρθωση Παραμορφώσεων Για τη διόρθωση ορίζονται τα μεγέθη w dx = x max x min, w dy = y max y min v dx = u max u min, v dy = v max v min Εφαρμόζεται το παρακάτω βήματα αν v dx /v dy > w dx /w dy, τότε w dx = w dy (v dx /v dy ) διαφορετικά, αν v dy /v dx > w dy /w dx, τότε w dy = w dx (v dy /v dx ) Παρατήρηση Αλλάζει, έτσι το u max ή το v max (αντίστοιχα το s x ή το s y ) Ορίζεται ένα πεδίο παράστασης εντός του αρχικού που έχει τον ίδιο λόγο με το παράθυρο Μέρος του αρχικού πεδίου παράστασης μένει ανεκμετάλλευτο
84 Γενίκευση στον 3Δ χώρο Πίνακες Μετασχηματισμού στον 3Δ χώρο Ανάλογα με την περίπτωση των 2Δ, ένα σημείο του 3Δ χώρου που εώς τώρα συμβολιζόταν με τον 3 1 πίνακα (x, y, z) T με ομογενείς συντεταγμένες, τώρα συμβολίζεται με τον 4 1 πίνακα (x, y, z, w) T Δύο τετράδες παριστάνουν το ίδιο σημείο όταν πχ (x, y, z, w) T και (xt, yt, zt, wt) T, t 0 Το σημείο έχει βασική παράσταση (x/w, y/w, z/w, 1) T Η παράσταση αυτή χρησιμοποιείται συνήθως στα γραφικά
85 Γενίκευση στον 3Δ χώρο Πίνακες Μετασχηματισμού στον 3Δ χώρο Η μετατροπή σε ομογενείς συντεταγμένες λέγεται ομογενοποίηση Οι ομογενείς συντεταγμένες (x, y, z, w) T του E 3 μπορούν να θεωρηθούν ως καρτεσιανές σημείου του E 4 Η τετράδα (0, 0, 0, 0) T δεν είναι επιτρεπτή Όλες οι τετράδες (xt, yt, zt, wt) T, t 0 που παριστάνουν το ίδιο σημείο του E 3 αντιστοιχούν σε μια ευθεία του E 4 Η ομογενοποίηση οδηγεί σε 3Δ υποχώρο του 4Δ χώρου (προβολή στο επίπεδο w = 1 του E 4 Σημεία με w = 0 (στο άπειρο) δεν μπορούν να παρασταθούν στο w = 1
86 Γενίκευση στον 3Δ χώρο Πίνακες Μετασχηματισμού στον 3Δ χώρο Χρησιμοποιείται δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων Θετική στροφή: αντίθετη της φοράς των δεικτών του ρολογιού Οι γραμμικοί μετασχηματισμοί παριστάνονται με 4 4 πίνακες
87 Μετασχηματισμοί στον 3Δ χώρο Μεταφορά στον 3Δ χώρο Η μεταφορά του P E 3 με ομογενείς συντεταγμένες (x, y, z, 1) T, κατά το d = (d x, d y, d z ) γίνεται με τον πίνακα d x T( d) = d y d z Έτσι το P μεταφέρεται στο P (x, y, z ) με x x x + d x y z = T( d) y z = y + d y z + d z 1 1 1
88 Μετασχηματισμοί στον 3Δ χώρο Αλλαγή Κλίμακας στον 3Δ χώρο Η αλλαγή κλίμακας του P E 3 με ομογενείς συντεταγμένες (x, y, z, 1) T, με παράγοντες s x, s y, s z κατά μήκος των αξόνων x, y, z, αντίστοιχα, γίνεται με τον πίνακα s x S(s x, s y, s z ) = 0 s y s z Έτσι το P μεταφέρεται στο P (x, y, z ) με x x s x x y z = S(s x, s y, s z ) y z = s y y s z z 1 1 1
89 Μετασχηματισμοί στον 3Δ χώρο Στροφή στον 3Δ χώρο Οι πίνακες R x (θ), R y (θ), R z (θ) που χρησιμοποιούνται για στροφές γύρω από τους άξονες x, y, z, αντιστοιχα, ορίζονται ως R x (θ) = 0 cosθ sinθ 0 0 sinθ cosθ cosθ 0 sinθ 0 R y (θ) = sinθ 0 cosθ cosθ sinθ 0 0 R z (θ) = sinθ cosθ
90 Μετασχηματισμοί στον 3Δ χώρο Στροφή στον 3Δ χώρο Είναι φανερό ότι στροφή κατά γωνία θ γύρω πχ από τον z-άξονα αντιστοιχεί σε στροφή στις δύο διαστάσεις: cosθ sinθ 0 0 x cosθx sinθy sinθ cosθ 0 0 y z = sinθx + cosθy z αντίστοιχα με cosθ sinθ 0 x cosθx sinθy sinθ cosθ 0 y = sinθx + cosθy Ανάλογη θεώρηση μπορεί να γίνει και για τους R x (θ), R y (θ)
91 Μετασχηματισμοί στον 3Δ χώρο Στροφή στον 3Δ χώρο Οι γραμμές των 3 3 υποπινάκων των R x (θ), R y (θ), R z (θ) είναι ανά δύο κάθετα και μοναδιαία διανύσματα με ορίζουσα των υποπινάκων ίση με 1 Οι υποπίνακες είναι ορθογώνιοι Ο υποπίνακας 3 3 του γινόμενου μετασχηματισμών είναι επίσης ορθογώνιος Τα μεγέθη μηκών και γωνιών παραμένουν αναλλοίωτα
92 Μετασχηματισμοί στον 3Δ χώρο Αντίστροφοι μετασχηματισμοί Μεταφορά: T 1 ( d) = T( d) Αλλαγή Κλίμακας: S 1 (s x, s y, s z ) = s(1/s x, 1/s y, 1/s z ) Στροφή: (θ) = R x ( θ), R 1 (θ) = R y ( θ), R 1 (θ) = R z ( θ) R 1 x Παρατήρηση y Ο αντίστροφος ορθογωνίου είναι ίσος με τον ανάστροφο: R 1 x (θ) = R x (θ), R 1 y (θ) = R y (θ), R 1 z (θ) = R z (θ) z
93 Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Μετασχηματισμοί στον 3Δ χώρο Στρέβλωση στον 3Δ χώρο Υπάρχουν 3 περιπτώσεις στρέβλωσης στον 3Δ χώρο 01 Στρέβλωση στο (XY)-επίπεδο 02 Στρέβλωση στο (YZ)-επίπεδο 03 Στρέβλωση στο (XZ)-επίπεδο
94 Μετασχηματισμοί στον 3Δ χώρο Στρέβλωση στο (XY)-επίπεδο Η z συντεταγμένη παραμένει αμετάβλητη Αν a, b οι παράγοντες στρέβλωσης κατά μήκος των αξόνων x, y, αντίστοιχα, η στρέβλωση με ομογενείς συντεταγμένες περιγράφεται ως εξής 1 0 a 0 SH x,y (a, b) = 0 1 b Δηλαδή, ο μετασχηματισμός SH x,y (a, b) στο σημείο (x, y, z, 1) T το μεταφέρει στο (x, y, z, 1) T ως εξής x x x + az y y + az y z = SH x,y(a, b) = 1 z 1 z 1
95 Μετασχηματισμοί στον 3Δ χώρο Στρέβλωση στο (YZ)-επίπεδο Η x συντεταγμένη παραμένει αμετάβλητη Αν a, b οι παράγοντες στρέβλωσης κατά μήκος των αξόνων y, z, αντίστοιχα, η στρέβλωση με ομογενείς συντεταγμένες περιγράφεται ως εξής SH y,z (a, b) = a b Δηλαδή, ο μετασχηματισμός SH y,z (a, b) στο σημείο (x, y, z, 1) T το μεταφέρει στο (x, y, z, 1) T ως εξής x x x y y + ax y z = SH y,z(a, b) = 1 z 1 z + bx 1
96 Μετασχηματισμοί στον 3Δ χώρο Στρέβλωση στο (XZ)-επίπεδο Η y συντεταγμένη παραμένει αμετάβλητη Αν a, b οι παράγοντες στρέβλωσης κατά μήκος των αξόνων x, z, αντίστοιχα, η στρέβλωση με ομογενείς συντεταγμένες περιγράφεται ως εξής 1 a 0 0 SH x,z (a, b) = b Δηλαδή, ο μετασχηματισμός SH x,z (a, b) στο σημείο (x, y, z, 1) T το μεταφέρει στο (x, y, z, 1) T ως εξής x x x + ay y y y z = SH x,z(a, b) = 1 z 1 z + by 1
Μετασχηµατισµοί 2 &3
Μετασχηµατισµοί &3 Περιγράφονται σαν σύνθεση βασικών: µετατόπιση, αλλαγή κλίµακας,περιστροφή, στρέβλωση Χωρίζονται σε γεωµετρικούς (εδώ) και αξόνων (αντίστροφοι) Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling transformations)
Μετασχηματισμοί Δ Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling trnformtion) Καθορισμός μετασχηματισμών των αντικειμένων Τα αντικείμενα περιγράφονται στο δικό τους σύστημα συντεταγμένων Επιτρέπει την χρήση
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηµατισµοί 2 & 3
Μετασχηµατισµοί & 3 Περιγράφονται σαν σύνεση βασικών: µετατόπιση αλλαγή κλίµακαςπεριστροφή στρέβλωση Χωρίζονται σε γεωµετρικούς (εδώ) και αξόνων (αντίστροφοι) Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ Εισαγωγή /4 Το σχήμα και το μέγεθος των δισδιάστατων αντικειμένων περιγράφονται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες x, y. Με εφαρμογή γεωμετρικών μετασχηματισμών στο μοντέλο
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη #10. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Γραφικά με υπολογιστές. Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο.
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmlonas@ionio.gr Διάλεξη # Δ Μετασχηματισμοί (γενικά) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Απλοί Συσχετισμένοι
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα συντεταγμένων
Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα συντεταγμένων
Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διαλέξεις #11-#12
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmlonas@ionio.gr Διαλέξεις #-# Σύνθεση Δ Μετασχηματισμών Ομογενείς Συντεταγμένες Παραδείγματα Μετασχηματισμών
Διαβάστε περισσότεραισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς
Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικό υπόβαθρο. Κεφάλαιο 3. Μαθησιακοί στόχοι. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Σημεία και διανύσματα
Κεφάλαιο 3 Μαθηματικό υπόβαθρο Μαθησιακοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση αυτού του κεφαλαίου, ο αναγνώστης θα είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις βασικές ιδιότητες και να πραγματοποιεί πράξεις των σημείων και των
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία μετασχηματισμών
Μήτρα Μετασχηματισμού Η γεωμετρία ενός αντικειμένου μπορεί να παρουσιαστεί από ένα σύνολο σημείων κατανεμημένων σε διάφορα επίπεδα. Έτσι λοιπόν ένα πλήθος δεδομένων για κάποιο αντικείμενο μπορεί να αναπαρασταθεί
Διαβάστε περισσότεραΘέση και Προσανατολισμός
Κεφάλαιο 2 Θέση και Προσανατολισμός 2-1 Εισαγωγή Προκειμένου να μπορεί ένα ρομπότ να εκτελέσει κάποιο έργο, πρέπει να διαθέτει τρόπο να περιγράφει τα εξής: Τη θέση και προσανατολισμό του τελικού στοιχείου
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά Υπολογιστών. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης. Γραφικά Υπολογιστών ΣΤ Εξάμηνο. Δρ Κωνσταντίνος Δεμερτζής
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης ΣΤ Εξάμηνο Δρ Κωνσταντίνος Δεμερτζής η Μετασχηματισμοί kdemertz@fmenr.duth.gr Μετασχηματισμοί Κατά τον σχηματισμό του εικονικού κόσμου
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότερα4ο Μάθημα Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης
4ο Μάθημα Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος 2016-17 Εισαγωγή Προοπτική Προβολή Παράλληλη Προβολή Ορθογραφικές Προβολές Πλάγιες Παράλληλες
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)
TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων
Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο M3. Διανύσµατα
Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση με Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σχεδίαση με Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Ενότητα # 2: Μετασχηματισμοί συντεταγμένων στις 2 διαστάσεις Καθηγητής Ιωάννης Γ. Παρασχάκης Τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών
Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Γεωμετρικός Πυρήνας Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Γεωμετρικός Πυρήνας Εξομάλυνση Σημεία Καμπύλες Επιφάνειες
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ & ΓΡΑΦΙΚΩΝ. Τρισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ & ΓΡΑΦΙΚΩΝ Γ Ρ Α Φ Ι Κ Α Τρισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί εξιόστροφο σύστημα Θετικές περιστροφές ως προς τους άξονες συντεταγμένων x, y, z Αριστερόστροφο Σύστημα Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότερα1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο
1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.
ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο συμβολίζουμε με Σε αυτό το σύνολο γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το
Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/44 1. Ορισµοί 2. Είδη διανυσµάτων 3. Πράξεις διανυσµάτων 4. Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό γινόµενο
Διαβάστε περισσότεραΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα
ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων
Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΕιδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Μωσαϊκά-Συρραφή Εικόνων Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή
Διαβάστε περισσότερα2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί
Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί 5 Γενικά Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Μία σχέση μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων Α,Β αντιστοιχίζει στοιχεία του Α με στοιχεία του Β άλλου μέσω ενός κανόνα που μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραΤαξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.
Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε
Διαβάστε περισσότερα[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)
[] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή
Διαβάστε περισσότερα( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η
Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί στον R 2 Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με πολλαπλασιασμό πινάκων Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σαν μετασχηματισ
Μετασχηματισμοί στον R 2 Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με πολλαπλασιασμό πινάκων Μετασχηματισμοί στον R 2 Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με πολλαπλασιασμό πινάκων Ο πολλαπλασιασμός
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια
Διαβάστε περισσότεραΔιανύσµατα στο επίπεδο
Διανύσµατα στο επίπεδο Ένα διάνυσµα v έχει αρχικό και τελικό σηµείο. Χαρακτηρίζεται από: διεύθυνση (ευθεία επί της οποίας κείται φορά (προς ποια κατεύθυνση της ευθείας δείχνει µέτρο (το µήκος του, v ή
Διαβάστε περισσότεραΑντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί
Αντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Τα βασικά γεωμετρικά αντικείμενα και οι μεταξύ τους σχέσεις μπορούν να περιγραφούν με τρεις βασικές γεωμετρικές οντότητες: σημεία, βαθμωτά μεγέθη, διανύσματα
Διαβάστε περισσότεραd dx ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ α) Η παράγωγος μιας συνάρτησης = f() σε ένα σημείο 0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης (ή τον παράγωγο αριθμό) στο σημείο 0. β) Γραφικά, η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο
Διαβάστε περισσότεραΜηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 2012. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα ΟΙ να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία Ox. Λέμε
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά με Η/Υ Αποκοπή
Γραφικά με Η/Υ Αποκοπή Βασικές λειτουργίες απεικόνισης μετατροπή των φυσικών συντεταγμένων, ενός αντικειμένου, σε συντεταγμένες της συσκευής απεικόνισης (δημιουργία μετασχηματισμού απεικόνισης) αφαίρεση
Διαβάστε περισσότερααπό t 1 (x) = A 1 x A 1 b.
Σύνοψη Κεφαλαίου 2: Ομοπαραλληλική Γεωμετρία Γεωμετρία και μετασχηματισμοί 1. Μία ισομετρία του R 2 είναι μία απεικόνιση από το R 2 στο R 2 που διατηρεί αποστάσεις. Κάθε ισομετρία του R 2 έχει μία από
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού
Διαβάστε περισσότερα1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός.
1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. ( Καρτεσιανή ) επιλέχθηκε για το σχήµα. Ο αριθµός a δεν επιρρεάζει
Διαβάστε περισσότερα1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1
1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου
Διαβάστε περισσότεραn, C n, διανύσματα στο χώρο Εισαγωγή
Θα περιοριστούμε σε διανύσματα των οποίων τα στοιχεία προέρχονται από τον χώρο και τον C, χωρίς καμία δυσκολία όμως μπορούν να αναχθούν σε οποιοδήποτε χώρο K Το πρώτο διάνυσμα: Τέρματα που έχουν πέτυχει
Διαβάστε περισσότεραΔιανύσματα. (α) μέτρο, (β) διεύθυνση και. (γ) φορά. (κατεύθυνση=διεύθυνση+φορά).
Διανύσματα Βαθμωτή Ποσότητα: αυτή που μπορεί να οριστεί πλήρως με έναν αριθμό και μια μονάδα. Ο αριθμός και η μονάδα συνιστούν το μέτρο της βαθμωτής ποσότητας. Διάνυσμα: είναι η ποσότητα που έχει (α) μέτρο,
Διαβάστε περισσότερα1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων
3 1.1 Διανύσματα 1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων ΑΣΚΗΣΗ 1.1 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα î + ĵ + ˆk και î + ĵ ˆk. z k i j y x Τα δύο διανύσματα που προκύπτουν από
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του
Διαβάστε περισσότερα1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης
1 Oct 16 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 4 η Γεωμετρική Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανύσματα στους Rn, Cn, διανύσματα στο χώρο (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανύσματα στους, C, διανύσματα στο χώρο (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρικοί μετασχηματιμοί εικόνας
Γεωμετρικοί μετασχηματιμοί εικόνας Μάθημα: Υπολογιστική Οραση 1 Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί Ορισμός σημείου στονευκλείδιοχώρο: p=[x p,y p,z p ] T, όπου x p, y p, z p πραγματικοί αριθμοί. ΕστωΕ 3 τοσύνολοτωνp.
Διαβάστε περισσότεραΑπαραίτητες αφού 3Δ αντικείμενα απεικονίζονται σε 2Δ συσκευές. Θέση παρατηρητή. 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης
Προβολές Προβολές Απαραίτητες αφού 3Δ αντικείμενα απεικονίζονται σε Δ συσκευές. Θέσεις αντικειμένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3Δ Μαθηματικά Μοντέλα 3Δ Μετασχ/σμοί Μοντέλου 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.
ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ
1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..
Διαβάστε περισσότερα,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.
Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI
Διαβάστε περισσότεραΚλασικη ιαφορικη Γεωµετρια
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ - ΣΥΝΟΨΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ - Π. ΑΣΒΕΣΤΑΣ E MAIL: pasv@uniwa.gr Εφαρμογές ρομποτικής στην Ιατρική Κλασσική χειρουργική Ορθοπεδικές επεμβάσεις Νευροχειρουργική Ακτινοθεραπεία Αποκατάσταση φυσιοθεραπεία 2 Βασικοί
Διαβάστε περισσότερα4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER
4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ 1 η Σειρά Ασκήσεων Πλαίσια, γεωμετρικοί μετασχηματισμοί και προβολές 1. Y B (-1,2,0) A (-1,1,0) A (1,1,0)
Διαβάστε περισσότεραΒ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 27 Δεκεμβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη 7 Δεκεμβρίου 016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Αν ( xy, )
Διαβάστε περισσότεραΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 4 Μαίου 2018 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια
Διαβάστε περισσότεραΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά Ι. Ενότητα 4: Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης. Θεοχάρης Θεοχάρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Γραφικά Ι Ενότητα 4: Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Θεοχάρης Θεοχάρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Ενότητα 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης
Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Εισαγωγή Ο νόµος του Gauss: Μπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Βασίζεται
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Μαθηματικών 1
Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Διανύσματα Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Διανύσματα 3.1 Έννοια διανύσματος Ορισμός 1 Ονομάζουμε Διάνυσμα ΑΒ ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με αρχή το Α και πέρας
Διαβάστε περισσότερα = 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z
Οκτώβριος 2017 Ν. Τράκας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διάνυσμα: κατεύθυνση (διεύθυνση και ϕορά) και μέτρο. Συμβολισμός: A ή A. Αναπαράσταση μέσω των συνιστωσών του: A = (A x, A y ) σε 2-διαστάσεις και
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.
ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότερα(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac
Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας
Διαβάστε περισσότερα( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η
Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν
Διαβάστε περισσότερα) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A
[Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή Αποκοπή ευθείας σε 2Δ Αποκοπή πολυγώνου σε 2Δ Αποκοπή σε 3Δ. 3ο Μάθημα Αποκοπή. Γραφικα. Ευάγγελος Σπύρου
Εισαγωγή Αποκοπή ευθείας σε 2Δ Αποκοπή πολυγώνου σε 2Δ Αποκοπή σε 3Δ Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος 2016-17 Εισαγωγή Αποκοπή ευθείας σε 2Δ Αποκοπή πολυγώνου σε 2Δ Αποκοπή σε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα. Γ.1 Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα Η αναγκαιότητα για τον ορισμό και την περιγραφή των ολοκληρωμάτων που θα περιγράψουμε στο Παράρτημα αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι τα μεγέθη που
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και
Διαβάστε περισσότερα